Az ideális Fermi-gáz termodinamikai mennyiségei Kiegészítés III. éves BSc fizikusok számára Cserti József Eötvös Loránd udományegyetem, Komplex Rendszerek Fizikája anszék 2017. március 1. Néhány alapvető formula 1.1. Fermi-Dirac integrál: f s z) = 1 Γs) ˆ 0 x s 1 dx 1 z ex + 1. 1) A f s z) függvényt az irodalomban ismert polylogaritmus függvénnyel kifejezhetjük Polylogarithm function): 1.2. A f s z) függvény: f s z) = Li s z), ahol 2) z k Li s z) = k = z + z2 s 2 + z s +... ) s k=1 5 4 f /2 z) f 5/2 z) f /2 z),f 5/2 z) 2 1 0 0 2 4 6 8 z 1. ábra. A f s z) függvények.
2. ermodinamikai mennyiségek hőmérsékletfüggése Az alábbiakban az N részecskeszám rögzített. A számolások részletei hasonlóak, mint amelyeket a Bose-gázra végeztünk az előadás jegyzetben az Appendix A-ban. A továbbiakban szűkségünk lesz a hőmérséklet és a kémiai potenciál kapcsolatára: ) 2/ 2/ =, ahol z = e βµ és 0 z. 4) Γ/2)f /2 z) 2.1. A kémiai potenciál hőmérsékletfüggése: ahol E F = k B a Fermi-energia. µ = lnz), 5) k B ) ] 2 µ köz E F 1 π2, ha, 6) µ) 1 π2 t2, µ) µ) k B t = / 2. ábra. A kémiai potenciál hőmérsékletfüggése. 2.2. Az energia hőmérsékletfüggése: E ) = 2 f 5/2z) f /2 z) = 2 Nk f 5/2 z) B f /2 z), 7) E köz ) ] 2 5 E F 1 + 5π2, ha. 8)
2.0 E 1.5 0.5 E) E low t) 5 1+ 5π2 t2 ) E high t) t 2 + 1 2 2π 1 t 1.2 t = /. ábra. Az energia hőmérsékletfüggése. 2.. Az entrópia hőmérsékletfüggése: S = E+pV µn = 5 E Nk B ln z, innen kapjuk S ) = 5 2 S köz π2 2 f 5/2 z) lnz), 9) f /2 z), ha. 10).0 2.5 S) k B 2.0 1.5 0.5 S) π2 2 t, S) t = / 4. ábra. Az entrópia hőmérsékletfüggése.
2.4. Állandó térfogaton vett fajhő hőmérsékletfüggése: ) = 15 4 f 5/2 z) f /2 z) 9 f /2 z) 4 f 1/2 z), 11) ) π2 2 Nk B, ha. ) 1.4 1.2 ),low t) π2 2 t,high t) 2 t /2 4 2π 0.5 1.5 2.0 2.5 t = / 5. ábra. Állandó térfogaton vett fajhő hőmérsékletfüggése. 2.5. Az állandó nyomáson vett fajhő hőmérsékletfüggése: ) = 25 4 ) π2 2 f5/2 z) ] 2 f1/2 z) f/2 z) ] 15 4 1 + π2 f 5/2 z) f /2 z), 1) ) ] 2, ha. 14)
2.5 2.0 1.5 0.5 ),low t) π2,high t) 5 2 0.5 1.5 2.0 2.5.0.5 4.0 t = / 2 t 1 t /2 2 2π ) 6. ábra. Állandó nyomáson vett fajhő hőmérsékletfüggése. 2.6. hőmérsékletfüggése: = 5 f 5/2 z)f 1/2 z) f/2 z) ] 2, 15) 1 + π2 ) 2, ha. 16) 1.6 1.4 1.2 0.5 1.5 2.0 2.5.0.5 4.0 t = / 1+ π2 5 t2 1 t /2 2π ) 7. ábra. hőmérsékletfüggése.
2.7. Adiabatikus kompresszibilitás hőmérsékletfüggése: κ S = 1 V V p ahol n = N/V., S,N κ S ) = 1 f /2 z) nk B 5f 5/2 z) κ S ) 2nk B 1 5π2 ) 1 17) ) 2 ], ha. 18) 1.4 1.2 κ S ) κ S,low 2 κ S,high 5t 1 5π2 t2 ) κs)nkbf 0.5 1.5 2.0 2.5.0.5 t = / 8. ábra. Adiabatikus kompresszibilitás hőmérsékletfüggése. 2.8. Izotermikus kompresszibilitás hőmérsékletfüggése: κ = 1 V V p ahol n = N/V.,,N κ ) = 1 f 1/2 z) nk B f /2 z) κ ) 2nk B 1 π2 ) 1 19) ) 2 ], ha. 20)
κ)nkbf 1.6 1.4 1.2 κ ) κ,low 2 κ,high 1 t 1 π2 t2 ) 0.5 1.5 2.0 2.5.0.5 t = / 9. ábra. Izotermikus kompresszibilitás hőmérsékletfüggése. 2.9. Hőtágulási együttható hőmérsékletfüggése: α = 1 V V p,n, α ) = 1 α ) π2 2 ) 5 f 5/2 z)f 1/2 z) 2 f/2 z) ] 2, 21) 2 ) ] 2 1 π2 Magashőmérsékleti közelítésben α klassz ) = 1/., ha. 22) α ) α,low π2 2 t α,high 1 t 5t 5/2 6 2π α)nkbf 0.5 1.5 2.0 2.5.0.5 t = / 10. ábra. Hőtágulási együttható hőmérsékletfüggése.
2.10. Hangsebesség hőmérsékletfüggése: v hang ) = p ϱ = S,N V mn 1 κ S, ahol ϱ = mn/v a tömegsűrűség. v hang ) k B m v hang ) k B m = 5f 5/2 z) f /2 z) π2 2, 2) 1 π2 ) 2 ], ha. 24) 2.0 1.5 vhang)/ kbf/m 0.5 v hang ) v hang,low 2 6 v hang,high ) 1+ 5π2 24 t2 5t + 1 6 0.5 1.5 2.0 t = / 5 6π 1 t 11. ábra. Hangsebesség hőmérsékletfüggése.. Irodalom: 1. R. K. Pathria: Statistical Mechanics, 2nd Edition, 1996, Bunerworth-Heinemann Linacre House 2. Linda E. Reichl: A Modern Course in Statistical Physics 2rd Edition, 1998, Wiley-VCH. Franz Schwabl: Statistical Mechanics, 2000, Springer-Verlag, Berlin 4. K. Huang: Statistical Mechanics, 2nd Edition, 1987, John Wiley & Sons