Eövös Lorád Tdomáyegyeem Meeorológa Taszé Egydmezós véges elemes módszere alalmazása adveós feladaora észíee: rüzsely Iloa Témavezeő: Dr. Havas Áges (ELTE Meeorológa Taszé) Bdapes, 9
Taralomegyzé. Bevezeés.. 3. Az adveós felada 5.. A szeyezőayag-eredés egyele... 5.. Operáorszeleelés.. 6.3. Az adveó. 8.4. Nmers módszere. 9 3. A véges elemes módszerről. 4. A Galor-módszer..... 4.. A agyomáyos véges elemes módszer.. 4 4.. A Perov Galor-módszer..... 8 4.3. A legsebb égyzee módszere.... 4.4. Perods peremfeléel... 4 5. A eszelés eredméye 7 6. Forer-aalízs... 35 6.. A agyomáyos véges elemes módszer.. 37 6.. A Perov Galor-módszer..... 39 6.3. A legsebb égyzee módszere 4 6.4. Eredméye 4 7. A édmezós adveós felada.. 47 8. Összefoglalás 5 Függelé... 53 Irodalomegyzé.. 57
. Bevezeés Napaba ge megaározó probléma a légszeyezés, lleve aa öveezméye, m a savas eső, a límaválozás, vagy a boszférába oozo ár. Ado szeyezőayago légör arózodás dőüől függőe aár öbb ezer loméerre s elsodródaa a bosáás elyéől, így regoáls, ső globáls sálá s problémáa ooza. Ilye regoáls probléma, ogy a rogé-oxdo, a é-doxd és a szlfáo száraz, lleve edves ülepedésével a ala és a felszí vze savasoda, am a övéye és víz élőléye árosodásáoz, lleve pszlásáoz veze. Egy más regoáls példa az ózoszeyezés, am ge egaív aással va az ember egészségre és a vegeáóra. A roposzférs ózo másodlagos szeyező, azaz ülöböző elsődleges szeyező, rogé-oxdo, szé-mooxd, meá és lléoy szerves ayago (VOC Volale Orga Compods) fooéma reaó sorá eleez. Az egy éél osszabb arózodás dővel redelező ayago globáls sálá s éreze aása. Az öveezer éves álagos arózodás dővel redelező CFC-gázo a fő oozó a szraoszférs ózomeység söeésée, és így aa s, ogy a áros UV-B sgara elér a földfelszí. A megöveede oeráóú üvegázaású gázo pedg (vízgőz, CO, CH 4, N O, O 3, CFC-gázo) ozzáárla a globáls límaválozásoz. Mdezeről a problémáról bővebbe olvasa aers és Bordea máába (995). Ado légszeyező ayag legmagasabb oeráóá vagy ülepedésé, ame még s áros aása a boszférára egy elégségese osszú dősza ala, az ado ayag elfogadaó vagy rs oeráóáa vagy ülepedésée evezzü. Elerüledő e rs sz úllépésé, so ayag eseébe söee ell a bosáás, de em obba, m szüséges, sze az emsszó-söeés drága, gazdaság öveezméye s vaa. Mdemelle a ülöböző szeyezőayago öz ölsöaásoa s fgyelembe ell ve. Aoz, ogy meg d aároz, ogy egy leeséges emsszós forrás meyre erele meg a öryezee, lleve az, ogy a bosáás vsszaszoríása meyre befolyásolá aa szeyezeségé, maemaa modelle dolgozására és azo elemzésére va szüség. Erre a élra az ú. szeyezőayag-eredés modellee aszálá. Eze a modelle a ömegmegmaradás elvé alapla, am egy paráls 3
dffereálegyele-redszerrel feezeü, az ú. szeyezőayag-eredés egyeleeel. A agyávolságú légszeyezés ö ülöböző részfolyama együes eredméye, úgym. az adveó,. a dffúzó, 3. az ülepedés, 4. az emsszó 5. és a éma reaó. A eredés egyelee ezee a eleségee írá le. Aalsa ezee az egyeleee sa rreáls egyszerűsíése melle lee megolda, ezér mers módszere alalmazására va szüség. Az első lépés lee, ogy az erede redszer felbo a fe fza folyamao szer egyszerűbbe ezeleő alredszerere az operáorszeleelés segíségével. A szadolgozaba egy lye részfelada, az adveós felada mers megoldásával foglaloz. Az adveós felada mers megoldásáál a érbel dszrezáóra véges elemes módszeree aszál. A agyomáyos véges elemes (Galor-) módszer perbols feladao eseé álalába ams oszlláóa ad az eredméybe (Hsdorfer ad Verwer, 3), ezér más elárásoa s almáyoz, ogy megvzsgál, söeeő-e az oszlláó mérée, ll. apa-e poosabb megoldás. A dolgozaba a agyomáyos véges elemes módszer, egy Perov Galorféle módszer és a legsebb égyzee módszerée aszálaóságá, ll. a Foreraalízs segíségével azo ladosága vzsgál. A. feeze vázola, ogya lee a eredés egyeleeől el az adveós felada megoldáság. A 3. feezebe a véges elemes módszere aszálaáról, aszálaóságáról lesz szó. A 4. feeze aralmazza a Galor-módszere smereésé, míg az 5. feeze az ezeel végze ísérlee eredméye. A módszere Forer-aalízse a 6. feezebe alálaó. A 7. feezebe a édmezós adveós felada megoldásával foglaloz, mad a főbb eredméye összefoglalása zára a dolgozao. 4
. Az adveós felada.. A szeyezőayag-eredés egyele Jelöle Tegyü fel, ogy m ülöböző éma ayag oeráóválozásá vzsgál. m R veor az m ayag oeráóá, am álalába érbe és dőbe váloz, azaz ( x, ). Ha ( x, ) elöl a áromdmezós sebességveor, és egyele ayag oeráóá az m özül, aor válozásá a ( ) ( ) R( x, ) E σ paráls dffereálegyeleel és a megfelelő ezde és peremfeléeleel íra le (Zlaev, 995). A bal oldal másod aga íra le az adveó. A obb oldal első aga feez a rbles dffúzó, aol ( x, ) a dffúzós együaó-márx. R ( x, ) reprezeála az ado ayaggal végmeő éma reaóa, ez a ag ö össze az m darab egyelee. E íra le az emsszó, a ermészees és aropogé szeyezőayag-bosáás. A σ ag az ado ayag edves és száraz ülepedésé feez. A fe redszer em lee megolda aalsa, a velezeő és megbízaó mers megoldásra pedg a legobb, és soszor egyele módszere az operáorszeleelés elsődleges alalmazása. 5
.. Operáorszeleelés Az operáorszeleelés léyege, ogy az erede modell öbb, egyszerűbb alredszerrel elyeesíü, amelye megoldására aár ülöböző mers elárásoa s aszála. A öveezőbe az operáorszeleelés Csomós e al. (5) és Havas e al. () máa alapá smereü. Legye egy ormál ér, és esü a dw ( ) Aw( ) (,T ] d w w ( ) ezdeéré-feladao, aol w [, T ] : smerele függvéy, és A : leárs operáor. Tegyü fel, ogy az A operáor felboaó é egyszerű operáor összegére, evezeese az A és A operáoréra. A legegyszerűbb operáorszeleelés módszer az ú. szeveáls szeleelés, amelye léyege a öveező. A felada dőervallmá darab részervallmra bo. (Az egyszerűség edvéér együ fel, ogy eze egyelő osszúságúa.) A részervallmo τ T / osszúságá szeleelés dőlépsőe evezzü. Első lépésbe az első részervallmo megold az A operáorú részfeladao a megado ezde feléelből dlva. Ezá a számío megoldás ezde feléelé alalmazva megold az A operáorú részfeladao. Ez a folyamao sméelü az összes szeleelés dőlépsőbe úgy, ogy a ezde feléel mdg az előbb megoldo részfelada megoldása lesz. épleel eá a megoldadó feladasoroza a öveezőéppe adaó meg: és () () dw d w ( ) ( ) ( A w ) ( ) (( ) τ, τ ] ( ) ( ) (( τ ) ) w (( τ ) ) dw d w ( ) ( ) ( A w ) ( ) (( ) τ, τ ] ( ) ( (( ) τ ) w ) ( τ ), aol,,... és alalmazaó. ( ) ( ) w w. Ez az elárás ermészeese öbb részoperáorra s 6
Az operáorszeleelés alalmazása redszer bá ooz a megoldásba. A megoldás vzsgál sa az első szeleelés lépésbe, azaz -re, azzal a feléelezéssel, ogy az erede felada és az összes részfelada s megoldaó poosa! Ha az ()() felada megoldásá ŵ( τ )-val elölü, aor az Err sp ( τ ): wˆ ( τ ) w( τ ) feezés loáls szeleelés báa evezzü. Jelöle [ A, A ]: A o A A o A A és A ommáorá. Beláaó, ogy a szeveáls szeleelés loáls szeleelés báa poosa aor ű el mde ezde feléelre, a az [ A A ], feléel elesül. A szeveáls operáorszeleelése ívül egyéb operáorszeleelés elárásoa s alalmaza a légszeyezés modellebe, példál a szmmers, a súlyozo szeveáls és a súlyozo szmmers operáorszeleelés módszeree (rag, 963, 968; Csomós e al., 5). Az operáorszeleelés segíségével eá a eredés egyelee részfeladaora boa. Eze egye az adveós felada, amellyel foglaloz ívá. 7
.3. Az adveó Az adveó a szélmezővel való szállíódás folyamaá ele. Legye (x,y,z,) egy 3 ado ayag oeráóa az ( x, y, z) D R poba és a [,T ] dőpllaaba. Jelöle a szélsebesség árom ompoesé (x,y,z,), v(x,y,z,) és w(x,y,z,). Tegyü fel, ogy a szélsebessége smerü az egész D aromáyo, lleve az egész [,T ] dőervallmo. Eor az ado ayag szélmezővel való eredésé a öveező paráls dffereálegyeleel íra le: x ( ) ( v) ( w) y z 3 ( x, y, z) D R, [,T ] Egyszerűsíeü az egyelee, a feléelezzü, ogy a sebességmező dvergeamees, azaz, a elesül, ogy v w x y z 3 ( x, y, z) D R, [,T ]. Így a v w x y z 3 ( x, y, z) D R, [,T ] adveós egyelee ap. Tovább egyszerűsöd az egyele, a az áramlás mező osas. Eor az adveós egyele alaa az alább: (3) v x w y z x, y, z D R, [,T ] 3 ( ) A fe egyeleeel aalóg módo fel lee ír az egy- és édmezós adveós egyeleee s. Természeese az egyeleeez aroza megfelelő ezde és peremfeléele s. A (3) egyszerűsíe egyele gyara előfordl a szeyezőayageredés modelle adveós részeé. A megoldására aszál mers módszere alalmazaóságáa elleőrzésére, vagy elméle vzsgálaoba alalmazzá (ress ad Olger, 97). 8
.4. Nmers módszere Az adveós egyelee álalába em oldaó meg aalsa, de mers megoldásra öbb elárás s íáloz, és legöbbü besorolaó az alább égy módszer özé: araerszá módszere véges ülöbséges módszer véges elemes módszer speráls módszer A legelső módszer, amelye az adveós felada megoldására aszála, a araerszá módszere. Ez a legéyelmesebb módszer, a, v és w elégí bzoyos feléelee. Azoba a eredés modellebe a sebesség álaláos függvéye (x,y,z,)-e, ezér aszálaa evéssé épszerű, ee elleére so elye alalmazzá. Bővebbe lásd Rmyer ad Moro (967) és m (978). A véges ülöbséges módszeree a XX. század eleéől ezdve aszálá a dffereálegyelee megoldására, a 6-as, 7-es éveől pedg egyre szélesebb örbe alalmazzá eredés modellebe s. Álalába a legalább armad- és egyedredű sémá az elerede. Bővebbe lásd Co (985, 99) és Log ad Pepper (98). A speráls és véges elemes módszer az ú. Galor-módszer é válozaa. A speráls módszereél orogoáls függvéyredszer segíségével ír fel az smerele válozóa. Ee s é válozaa va: a speráls módszerél Forer-együaóa, az ú. pszedosperáls módszerél Csebsev-polomoa aszála. Bővebbe lásd ress ad Olger (97) és Orszag (97, 97). 9
3. A véges elemes módszerről A véges elemes módszer (VEM) egy olya dszrezáós módszer, amely sorá az smerele válozóa sa loálsa em llaéréű polomo leárs ombáóaé özelíü. A véges elemes séma számos előyös ladosággal redelez. A meeorológa egyeleere való alalmazása agyo poos fázseredés ad, és ge ól ezel a emlearásoa (Haler ad Wllams, 98). A módszer aszálaó válozó felboásál (Côé e al., 998) vagy szabályala aároál (larz e al., 979). A VEM legagyobb áráya az, ogy mde dőlépsőbe, mde válozóra egy agy márxo ell verál (Haler ad Wllams, 98). A légszeyezés modellebe főé egyszerűbb, példál elsőredű leárs egydmezós véges elemes sémáa aszála (Co 985, 99; Pepper e al.,979), de próbáloza feleebb módszereel s, amelyee loálsa agyobb felboásál aszálaa (Nea ad Wllams, 986; Nea, 99). A dffúzós-adveós-reaós egyelere Coda számos véges elemes módszer összegyűö és összeasolío ébe (Coda, 998). A véges elemes módszer aszálaa egyre agyobb ér ódí a meeorológa modellezés más erülee s. Côé és afor (99) é globáls szem-lagrage- seélyvízmodell asolío össze, amelye özö sa a érbel dszrezáóba vol ülöbség. Az egy modellbe speráls, a másba véges elemes módszer alalmaza. Arra oa, ogy a é modell madem azoos mőségű előreelzés ad rögzíe dőlépsőre és összeasolíaó érbel felboásra, de a véges elemes módszer aszáló modell s obba bzoyl. A VEM más előye, ogy agy felboásál ölségaéoyabb, m a speráls módszer. A aada Meeorológa özpoba a rövdávú regoáls előreelzésere éveg a Regoáls Véges Elem (RFE Regoal Fe Eleme) (Malo e al. 997) modell aszálá, mígem 997 febrárába felváloá a GEM (Global Evromeal Mlsale) modellel (Côé e al. 998), am egy globáls, válozó rásfelboású, mlsáláú modell, és aársa az RFE modell, áromdmezós véges elemes módszer alalmaz a érbel dszrezáóra. A GEM modell árom ülöböző sáláú ofgráóval redelez. Az evdszás felboású, globáls sáláú ofgráó az dőárás-előreelzése ívül a límaválozás és a agyávolságú szeyezőayag-eredés modellezésére s aszálá. A válozó felboású szops sáláú ofgráóval rövdávú előreelzésee észíee, és a regoáls límá és légszeyezesége
modellez. Végül a válozó felboású mezo-β, ll. mezo-γ sáláú ofgráó még poosabb előreelzésere és szmláóra alalmazzá. Erópába s va példa a VEM operaív aszálaára. U és Horal (3) megvzsgála, ogy meyre aéoy az egydmezós véges elemes módszer az operaíva műödő véges ülöbségessel szembe a szem-lagrage- sémá alalmazó ECMWF (Eropea Cere for Medm Rage Weaer Foreass) előreelző modellbe a veráls dszrezáóál. A VEM leárs bázsfüggvéyeel egyedredbe, armadfoúaal yoladredbe poos, míg a véges ülöbséges módszer sa másodredű. A véges elemes séma söeee a veráls őmérséle profl számíás módsaa amplúdóá és a modellbe eleező globáls ózoveszesége a 6 apos előreelzésebe. Négydmezós varáós adaasszmláós (4D-Var) ísérleee s végeze, és eredméyül az apá, ogy a VEM söeee a veráls zaoa és a egaív őmérséle aomáláa a szraoszférába. A pozív eredméye öveezméyeé az ECMWF aáráól a deermszs és esemble előreelzésebe, ll. a varáós adaasszmláóba operaíva aszála a veráls dszrezáóra a véges elemes módszer armadfoú bázsfüggvéyeel, ső még a 4 éves re-aalízsél (ERA4) s alalmazá.
4. A Galor-módszer A Galor-módszer és a árom véges elemes sémá, amelyeel a dolgozaba foglalozom, a oré adveós felada segíségével smereem. A módszere elméle vzsgálaá és eszelésé s eze a feladao végezem. A felada egy érbe egydmezós, omogé, perbols paráls dffereálegyele omogé ezde és peremfeléellel: (4), > x (5) (, ) g( ), [,T ] (6) ( x,) ( x), x Ω [ ; ], osas, [,T ], x Ω [ ; ] Az osas sebessége adveós sebessége evezzü. Az egydmezós modelle álalába em reálsa a szeyezőayago eredésée vzsgálaáál, bár vaa speáls esee, aol alalmazaó, példál a rövdsáláú szállíódásál, aol a szélráy özelíőleg álladóa eeő. Egyszerűségü azoba alalmassá esz őe ú mers módszere eszelésére. Jelöle Ω T az [,T ] Ω almaz. A (4)-(6) felada lasszs megoldása az x és szer egyszer folyoosa dffereálaó függvéye örébe aroz, azaz ( Ω ) C,, aol elégí a ezde és peremfeléelee. Ha egy felada em oldaó T meg aalsa, aor özelíő megoldásra va szüség. A, ( ) eéz özelíe, ezér, ( ) megoldás. C Ω T ér függvéye C Ω T -él bővebb függvéyoszályba eresü egy ú. gyege A gyege megoldás érelmezéséez először vegyü észre, ogy a lasszs megoldása a (4)-(6) feladaa, aor elégí az, x (7) η( x ) ( x ) η( x) ( x, ) egyelee mde [,T ] és mde L ( Ω) égyzeese egrálaó függvéye Hlber-eré elöl a Vegyü észre, ogy (7) már em sa, ( ) függvéyre s, amely η eseé. I L (Ω) az Ω almazo Ω, η η salárszorzaal. C Ω T -bel függvéyere érelmes, aem olya
. szer dffereálaó, és amelyre mde rögzíe [,T ] x, ( x ) függvéy L ( Ω) -bel; eseé az. amelyre mde rögzíe [,T ] eseé az x ( x, ) függvéy H ( Ω) azaz ömaga és első dervála s L ( Ω) Ír fel a (4) egyelee a (8) A D alaba, aol D és ( x, ) ( Ω) } -bel. -bel, A, és vezessü be a V : { ( x, ) :, : L ( Ω) ; x : x H elölés. Eor az mod, ogy V gyege megoldása a (8)-(5)-(6) feladaa, a (9), η A, η D η L ( Ω) elesül mde rögzíe [,T ] eseé, és elégí az (5) peremfeléel és a (6) ezde feléel. A (9) egyelee (8) gyege alaáa, az η(x) függvéy pedg próbafüggvéye evezzü. A gyege megoldás özelíésé egy ovábbá a (9) egyelőség elesülésé em mde L ( Ω) aem sa egy L ( Ω) érből, amelyre () D, A, η V V véges dmezós alérbe eressü, η függvéyre öveelü meg, W alér elemere. Azaz eresü egy olya özelíés a V elesül mde [,T ] 6). η η L ( Ω) W eseé, és amely elégí az (5)-(6) feléelee (a e al., A V és W ere bázsfüggvéy-redszeree megválaszásáól függőe öbbféle véges elemes Galor-módszer léez. 3
4.. A agyomáyos véges elemes módszer A agyomáyos VEM eseébe a özelíő megoldás és az η próbafüggvéy gyaabból a érből való (, η V ), és megegyeze bázsfüggvéye s. A véges elemes módszere léyege, ogy az Ω aromáy részaromáyora bo, és a megoldás mde dőpoba olya folyoos függvéyel özelíü, amely mde lye részaromáyo álalába azoos foszámú, de ülöböző alaú alasoyredű polomo összegeé áll elő. Azaz V olya folyoos függvéyeből áll, amelyee az egyes részaromáyoo alasoyredű polomo leárs ombáóával ad meg. Eze ér bázsfüggvéye egy sszámú részaromáyól eleve mdeol lla érée vesze fel, véges számú po véelével derválaó, és mag és dervála s Rema-egrálaó. A m eseübe a bázsfüggvéye az. ábrá s láaó szaaszoé leárs alapfüggvéye: ( ) x δ, aol δ a roeer-dela, 6). x (, ), a részaromáyo száma (a e al.,. ábra A agyomáyos véges elemes módszer bázsfüggvéye 4
Tesü a () egyelee feve: () η η x V aol - a öveező alaba eressü: () (, x) ( ) ( x), η, [,T ] és az () egyelőre smerele függvéye -e. Mvel mde η felíraó a bázsfüggvéye leárs ombáóaé, () egyelősége elég a η - elye mde bázsfüggvéyre gazol. Ez fgyelembe véve, és ()- beelyeesíve ()-be, a (3) ( ) ( ), egyeleredszer ap mde dőpora. Az ( ) függvéy a -módszerrel (Hsdorfer ad Verwer, 3) özelíü. Ez az egy legeleredebb dőegrálás módszer, amelye műödésé a ( ) f ( w) w, álaláos dőfüggő özöséges dffereálegyelee ma be. Jelöle N az dőlépése számá, és w az dőlépső osszá. Eor a ( ) f (, w ) f ( w ) w,, N; sémá alalmazz w özelíő számíására, aol [,] N T. Ha >, aor a séma mpl. A érééől függőe a -módszere léez éáy speáls esee:,5 expl Eler-séma rapézformla mpl Eler-séma A (3) összefüggésbe az dőbel dszrezáóra a fe -módszer alalmazva a ( ) [( ) ], ;, N 5
6 egyeleredszer ap, am áredezve a (4) ( ), ;, N alaba íraó. Felaszálva a peremfeléel, azaz, ogy ( ) g (, N), el (5)-öz. (5) ( ) ( ) ( ) ( ) g g, ;, N Így végül mde dőréegre egy egyeleből álló leárs egyeleredszerez, amelybe az smerelee az (,...) együaó. Az érée smere az előző dőréege apo megoldásból, lleve eseé a ezde feléelből. Az egráloa számolva ap meg a végső alaá a leárs egyeleredszerüe: (6) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f g f g, N, aol veor aralmazza az együaóa, valam Ο Ο 4 4 4 6 O O, Ο Ο O O,
7 6 M f és ( ) 6 M f. A épleebe a lépésossz elöl. Láaó, ogy a márxo sa a rdagoálsoba aralmaza emlla eleme, mvel, ll. érée lla, a - >.
4.. A Perov Galor-módszer A Perov Galor-módszerél a próbafüggvéy és a erese özelíő megoldás ere em egyez meg, és bázsfüggvéye ülöbözőe. Megválaszásól függőe öbbféle Perov Galor-módszer aszálaos. Az álal válaszo módszer Hdsdorfer ad Verwer (3) alapá ma be. A W ér bázsfüggvéye, a éyleges próbafüggvéye (. ábra) az alább alaba íraó fel: ψ ( x) ( x) κσ ( x), 3 x x aol σ ( x) 3 x x ( )( x x), ( )( x x), x x x x x x. ábra A próbafüggvéy (folyoos é voal) és bázsfüggvéye (szaggao zöld voal) és µ κ µ e e, lleve µ a µ az ú. Pèle-szám. A módszer adveós-dffúzós d dffereálegyeleeél szoá aszál, aol a d a dffúzós együaó, am a m eseübe lla. Így µ végele, és κ aárérée. Eor (3) elye a ( ) ( ) σ σ, 8
9 egyeleredszer ap mde -re, am az dődervál -módszerrel öréő dszrezáóa á a ( ) ( ) σ σ σ σ, ;, N alao öl. A peremfeléel felaszálva a (7) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) σ σ σ σ σ σ σ σ g g, ;, N összefüggésez. Az egráloa számíva egy egyeleből álló leárs algebra egyeleredszer ap mde dőréegre. (8) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 4 3 4 3 4 3 f g f g, N, aol és már feebb defál márxoa elöl, valam Ο Ο 4 3 O O, Ο Ο 4 O O,
4 6 3 M f és ( ) ( ) 4 6 4 M f.
4.3. A legsebb égyzee módszere A legsebb égyzee módszerée smereéséez az előzőeől elérőe em dőfüggő feladaból dl. Tesü az Lw f alaú egyelee, aol L egy operáor, w smerele, f pedg smer L (Ω)-bel függvéy. Ee az egyelee az η Lη f L Lw,, ( ) Ω L η gyege alaába a próbafüggvéy η elye Lη alaú. A dszré felada (9) L f L Lw η η,, V η, V w. A (9) egyelee léez egyele w megoldása, és érvéyes rá a V v w L w w η f ( ( ) w Lw L w Ω : ) babeslés (Er e al., 4). Mvel a legsebb égyzee módszeré sa a érbel dszrezáóra aszál, ezér első lépésé az (4) egyelebe szereplő dőderválra alalmazz a -módszer! () ( ) ) ( ) ( ) ( x x x, N Eor az L operáorra d L, () dszré gyege alaa pedg ( ) d d d d η η η η V η ;, N, aol özelíő megoldás a öveező alaba eressü: x x ) ( ) (. Az Lη próbafüggvéy elye elegedő függvéyee (, ) (3. ábra) vzsgál. Így
3. ábra A próbafüggvéy (folyoos voal) és a erese függvéy bázsfüggvéye (szaggao voal) ( ) ( ) ( ) ( ), ;, N. Felaszálva a peremfeléel a () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g g, ;, N. egyeleredszer ap. Az egráloa számolva az () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 5 6 5 6 5 f g f g,... N
3 egyeleredszerez, aol Ο Ο 5 O O, Ο Ο 6 O O, ( ) 6 5 M f és ( ) ( ) ( ) 6 6 M f.
4 4.4. Perods peremfeléel Az oldalsó elye perods peremfeléellel s megvzsgál az adveós feladao. Eor eá a ( ) ( ),, peremfeléel aszál, amől megválozo a végső leárs egyeleredszere alaa. Tesü először a agyomáyos véges elemes módszer! A (4) egyelebe az (, N) összefüggés elyeesíü, és a ( ) ( ), ;, N egyeleredszer ap, amely az egrálo számolása á az ( ), N alao öl, aol Ο Ο 4 4 4 6 O O, Ο Ο O O A Perov Galor-módszer eseé a peremfeléel felaszálása á (7) elye a
5 ( ) ( ) ( ) ( ) σ σ σ σ σ σ σ σ, ;, N. egyeleredszerez, am az egrálo számíása á a öveezőéppe alal: ( ) 4 3 4 3, N, aol Ο Ο 4 3 O O és Ο Ο 4 O O. A legsebb égyzee módszerée alalmazásáál a perods peremfeléel melle az alább egyelee ap mde -re ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ;, N, am az áalaíáso á az
6 ( ) ( ) ( ) ( ) 6 5 6 5,... N leárs algebra egyeleredszer eredméyez, aol Ο Ο 5 O O és Ο Ο 6 O O.
5. A eszelés eredméye A megoldás Malab program segíségével számío. A eszelésél a ( x) s( x) ezde feléel, és az oldalsó peremfeléeles esebe a ( ) s( ) g peremfeléel, ovábbá az dőervallm osszára a T és az adveós sebességre az éréee válaszo meg. Eor az aals megoldás ( x, ) s( x ). A megoldó programo öbb ülöböző -ra lefa N melle, és ábrázol az eredméyee. Az fgyeleü meg, ogy, 5 melle mdárom véges elemes módszer számío megoldása egybesml a poos megoldással. A <, 5 eseere az sablás, míg a >,5 eseere a számío megoldás sllapodása a ellemző. Mél ávolabb es a,5-ől, aál valószíűbb eze előfordlása. Oldalsó peremfeléel melle a árom módszer özül a agyomáyos esebe már,4 -él megele az sablás, míg a más é módszer eseé sa,3-él (a legsebb égyzee módszerée eseébe a programódo lásd a Függelébe). A 4. ábrá a, 3 melle eredméye láaó mdárom módszer eseé. A Perov Galor-módszerél sa s oszlláó fgyeleő meg, míg a agyomáyos VEM megoldása sabl. A sllapodás sa, 9 melle fgyeleő meg agyo s mérébe. 7
4. ábra A agyomáyos véges elemes (bal felső), a legsebb égyzee (bal alsó) és a Perov Galor- (obb oldal) módszere (é voal) összeasolíása a poos megoldással (zöld voal) a T dőpllaaba,3 melle Perods peremfeléelél már sebb -ál (,7-,8) eleez a sllapodás, vszo s oszlláó a legrosszabb esebe s sa,-él. Ez a legrosszabb ese a agyomáyos véges elemes módszerél vol apaszalaó, mözbe a Perov Galormódszerél (a programódo lásd a Függelébe) sa, 5 melle vol oszlláó. Ha T elye T -zel számol, aor mde módszer eseé már,4 -él sablás,, 6 -él sllapodás fgyeleő meg. Az 5. ábrá a Perov Galor-módszer eredméye láaó ebbe a é esebe. 8
5. ábra A Perov Galor-módszerrel számío mers (é folyoos voal) és a poos (zöld szaggao) megoldás T melle,4 (bal oldalo) és,6 (obb oldalo) eseé A dolgozaba a -módszer é speáls eseébe vzsgál a véges elemes módszeree, evezeese, 5 és eseébe. Megfelelő felboás és ezde és peremfeléele melle eze - melle s aláloza oszlláóval (bár a megoldás sabl, lásd 6.feeze). Legyee eze a feléele a öveező: ( x) ( x) feléel, g( ) ( ) s ezde s perods peremfeléel, adveós sebesség, N rásfelboás. A 6. és 7. ábra a árom véges elemes séma eredméye maa be,5 (6. ábra) és (7. ábra) melle. 9
6. ábra A poos és számío megoldás T és,5 melle felülről redre a agyomáyos véges elemes, a legsebb égyzee és a Perov Galor-módszere eseébe, a bal oldal ábráo [;]- perods peremfeléellel, a obb oldal ábráo [;]- oldalsó peremfeléellel Mdé ábra alapá az moda, ogy a agyomáyos véges elemes módszerrel apo megoldás oszllál legább, míg a Perov Galor melle a legevésbé, és az oldalsó peremfeléelél sebb az oszlláó mérée. Az dőbel dszrezáós sémáa összeasolíva pedg az lá, ogy az mpl Eler-módszer ( ) ada a sebb oszlláó. 3
7. ábra A poos és számío megoldás T és melle felülről redre a agyomáyos véges elemes, a legsebb égyzee és a Perov-Galor módszere eseébe, a baloldal ábráo [;]- perods peremfeléellel, a obb oldal ábráo [;]- oldalsó peremfeléellel A megoldás ábrázolása melle számol az oldalsó peremfeléellel redelező adveós felada báá s, am a poos és a számío megoldás ülöbségée dszré l -bel ormáával feezü. Jelöle e a poos és a özelíő megoldás ülöbségé az -ed dőpllaaba, az x elye, e pedg az összes ér- és dőbel oszópoba érelmeze dszré bafüggvéy. Eor az e ba dszré l -bel ormáá az e l N : ( ) ( Ω ) e T 3
épleel érelmezzü. A baszámolásál az adveós sebesség 3 vol, így az aalsa s megapaó megoldás ( x, ) s( x 3 ). A báa, 5 melle az -3. áblázao aralmazzá. a érbel, N az dőbel oszásözö száma. Ado oszlopba rögzíe dőlépsőöz arozó bá alálaó feleződő lépésöz melle. Láaó, ogy agy melle feleaora dőlépsőél agyából egyedaora a ba, eá a módszer dőbe másodredűe vseled, am vár s, sze a rapézformla, am aszál, másodredű dőegrálás séma. N N N3 N6 N 4,757,75,748,748,748 8,734,733,733,733,733 6,473,47,47,47,47 3,7,65,64,65,65 64,96,68,66,66,66 8,49,74,68,67,66 56,36,37,,7,7 5,35,34,5,6,4 4,35,34,5,4,. Tábláza A agyomáyos véges elemes módszer báa,5 melle A agyomáyos véges elemes módszer (. ábláza) ~ ala másodredűe vseled, sebb lépésözöre már sa elsőredűe, mad egyálalá em söe a ba, mvel az dődszrezáó báa gáa szab a ovább avlása. Láaó, ogy az dőlépése számá övelve agyobb mérébe söe a ba a öveedésével. N~ és ~ eseé a ba már sa -5 agyságredű. N N N3 N6 N 4,46,464,465,4655,4656 8,67,695,699,6,6 6,93,98,99,93,93 3,9,49,47,47,48 64,36,4,8,5,4 8,35,34,5,6,4 56,35,34,5,4, 5,35,34,5,4, 4,35,34,5,4,. Tábláza A Perov Galor-módszer báa,5 melle A Perov Galor-módszer báa mde ado rásfelboásál sebb, m a agyomáyos véges elemé. Maxmm -5 agyságredű bá már N~ és ~6 örül 3
éréeél apa. Ado érée melle a módszer aár obba s vseled, m egy másodredű séma. N N N3 N6 N 4,693,666,68344,75,7899 8,7,859,475,5538,64 6,347,86,4,99,3346 3,9,38,87,4,53 64,36,45,39,5,65 8,35,34,6,7,8 56,35,34,5,4, 5,35,34,5,4, 4,35,34,5,4, 3. Tábláza A legsebb égyzee módszerée báa,5 melle A legsebb égyzee módszerée báá a 3. ábláza szemléle. Ado rásfelboásál a ba sebb, m a agyomáyos véges elemes módszerél, de agyobb, m a Perov Galor-séma eseébe. Az mpl Eler-módszer aszálva az dőbel dszrezáóra, mdárom véges elemes módszer ermészeese elsőredűe vseled, érbe s éréeél másodredűe, agyobbaál elsőredűe vseled, míg már s ovább avlás. A bá agysága a árom sémáál agyából azoos. A agyomáyos véges elemes módszer báá a 4. ábláza aralmazza. Az N~~ felboásál apo ba s -3 agyságredű, mözbe eez, 5 melle már N~ és ~5 rásfelboás s elegedő. N N N3 N6 N 4,759,79,7457,77,7 8,686,473,893,7839,7553 6,9978,99,868,559,485 3,9,989,6644,355,35 64,96,9675,6486,376,99 8,983,965,646,347,954 56,977,9646,6456,34,948 5,976,9645,6455,34,947 4,976,9645,6454,34,947 4. Tábláza A agyomáyos véges elemes módszer báa melle Összefoglalva, md a ba agyságá, md az oszlláó méréé vzsgálva elmoda, ogy az adveós felada eseébe a legélszerűbb a Perov Galormódszer aszál, mer ez a séma geerála a legsebb zaoa és ada a legpoosabb 33
eredméyee. A öveezőbe a árom vzsgál véges elemes módszer elméle vzsgálaá végezzü el. 34
6. Forer-aalízs Ha a (4) egydmezós adveós egyeleez szer perods ezde és peremfeléel ad meg, aor a felada poos megoldása előáll dszré llámmódso összegeé, és mdegy móds az adveós sebességgel ered válozala amplúdóval. A megoldás ladosága így végső soro a llámösszeevő ladoságaól függe. Ezér egy mers sémá ól ellemez, ogy meyre poosa íra le egyele llámmóds, azaz egy (3) ( x x, ) ( x ) C e alaú ezde függvéy ovábberedésé a llámszám függvéyébe. A Forer-aalízs sorá a llámmegoldásoa a sablás, a fív sllapodás, a relaív fázssebesség és a számíás dszperzó szempoából vzsgál (Rddaway, 986). A (3) ezde feléelez arozó folyoos megoldás a ( ) ( x x, ) C e függvéy, aol C a llámszámól függő osas. L l a llámossz, és l az L ado llámosszoz arozó oszásözö száma (egyél agyobb egész szám). A C exp( x ) ezde feléelez arozó dszré felada megoldása (4) ( λ ) C exp( x ) alaú, aol λ egy llámszámól függő omplex meység, amelye λ λ e φ alaba felírva (4) elye a C λ exp x φ éplee ap. Egy sémá sabla evezü, a a bemeő adaoól folyoosa függ a megoldás. Más szóval, a léez olya verzáls álladó, amellyel megszorozva a bemeő adao ormáá, a megoldás ormáá felülről besüleü. Ha a ezde függvéy dszré llámmódso összege, aor a mers megoldás aor lesz sabl, a eze llámmódso egyée sem vál végeleé az amplúdóa az dőbe, azaz a 35
a (4) mers megoldásba λ mde llámszámra, sze ülöbe em léeze a megöveel felső beslés. o esebe a sablás elvár valamlye összefüggés az dő- és érbel lépésöz özö. A gyaorlaba ez az ele, ogy ado érbel lépésöz melle sa orláozo dőlépsővel számola. Ha egy mers sémáál s lye megöés, aor az a sémá abszolú sabla evezzü. Az adveós felada poos megoldásába a llámo válozala amplúdóval alada, ezér a sablás melle az s szereé, a az amplúdó em sllapodáa az dővel, azaz a a D : λ fív sllapodásra D elesüle. Abba az esebe, a ez elesül, a mers sémá erálsa evezzü. Míg a poos megoldás llámösszeevő az adveós sebességgel erede, a mers megoldásba a llámszámú llám eredés sebességé (más szóval fázssebességé) a φ éple ada meg. Aa ellemzésére, ogy egy mers módszer meyre ól íra le az ado llám eredés sebességé, az r relaív fázssebessége aszál. Ha r, aor a llámszámú llám fázssebességé poosa íra le a módszer. Ha r <, aor a mers módszer allbesül, a pedg r >, aor felülbesül a poos eredés sebessége. Ha r <, aor a eredés ráyá s bása íra le a módszer, vagys lyeor az ado llám a pozív elye a egaív x ráyba ered. A mers séma dszperzó ooza a megoldásba még aor s, a az erede egyele em dszperzív. Ez az ele, ogy a zavar em őrz meg az alaá elmozdlás özbe, azaz a ( ) g, soporsebesség em egyez meg a fázssebességgel. A soporsebességez arozó relaív soporsebesség éplee g, g,. r 36
6.. A agyomáyos véges elemes módszer A (6) egyeleredszer alapá a véges elemes séma a a 4 a 6 6 6 a 6 6 6 ( ) 4 a( ) egyeleel íraó le. Ez 6 -val megszorozva és bevezeve az ε elölés az ( 3ε ) 4 ( 3ε ) ( 3ε ( )) 4 ( 3ε ( )) összefüggés ap. Az ε számo Cora-száma evezzü. Mvel ado ráspoba a bázsfüggvéye özül sa egy vesz fel emlla érée, evezeese az egye, így ado poba egyelebe elyeesíve az. Teá a (4) feezés a fe ( 3ε )( λ ) C exp( ( x ) ) 4( λ ) C exp( x ) ( 3ε )( λ ) C exp( ( x ) ) ( λ ) C [( 3ε ( )) exp( ( x ) ) 4exp( x ) ( 3ε ( )) exp( ( x ) )] egyelee ap. Egyszerűsísü a özös C (λ ) - exp(x ) éyezővel! ( ) ( ) 3ε λ e 4λ 3ε λ e ( 3ε ( )) e 4 ( 3ε ( )) e Ebből feezeő λ a öveezőéppe: ( ) ( 3ε ( )) e 4 ( 3ε ( )) e λ λ os s ( 3ε ) e 4 ( 3ε ) e ( os ) 9ε ( ) s 3ε s ( os ) ( os ) 9ε s ( os ) 9ε s. Mvel λ λ os φ λ s φ, így a λ 4 ( os ) 9ε ( ) s ( os ) [( os ) 9ε s ] feezés ap, melye érée a sablás érdeébe em lee agyobb egyél. Ez a feléel felaszálva az 37
(5) ( ) ( os ) 9 s 4 ε egyelőleségez. Az mpl Eler-sémával ( ) a agyomáyos véges elemes módszer eseé (5) mdg feáll, azaz a módszer abszolú sabl. Más melle sa a feléeles sablás álla fö, a elesül, ogy (6) 3a os. s Nem apaszal sllapodás az mpl Eler-séma eseé, a D, azaz a 9ε s. Ez aor elesül, a p ( p Z ), vagys a a /l felíraó egy l egész szám feleé. Ilye l éré sa egy léez, evezeese a. A rapézformla eseé a eralásoz az egyelősége ell elesüle a (6) feléelbe. öl: Mvel gφ Imλ, a fázssebesség és a relaív fázssebesség a öveező alao Reλ arg 3ε s ( os ) ( ) ( ) os 9ε s arg ε 3ε s ( os ) ( ) ( ) os 9ε s r A soporsebesség és a relaív soporsebesség melle: 3ε( os ) ( os ) 9ε s, g. 3( os ) ( os ) 9ε s r g,.,. 38
6.. A Perov Galor-módszer A (8) egyeleredszerből a séma a 6 4 a 6 4 4 a 6 4 6 6 4 6 4 ( ) a( ) alaú. Ez áalaíva az előzőeez asolóa, a λ ( ( 3ε ( )) os ( 3ε ( ))) 9( ε ( )) [ ( 3ε ) os ( 3ε )] 9( ε ) s feezés ap. A sablás λ feléele elesül, a ( os ) 6 ( )( os ) ε. Ez mdg gaz, a, 5. sebb éréere sa feléelese sabl a módszer. s. A D feléel elesül, azaz a módszer eráls, a os. Ez aor öveez be, a s, ezér mdg va sllapodás. p ( p Z ), azaz a l reproa egész szám. Ilye l éré l A fázssebessége és a relaív fázssebessége a öveező éplee adá meg: r arg 6ε s ( os 7) ( ) ( ) 6ε os 6 3ε 5ε 6ε os 5 6ε 36ε ( os 7) 6ε s arg ε 36 ( ) ( ) 6ε os 6 3ε 5ε 6ε os 5 6ε ε A soporsebesség és relaív soporsebesség éplee agyo boyoll, ezér ezee em üeü fel, de az óbb l-ől való függésé a -3. ábra szemléle.,. 39
6.3. A legsebb égyzee módszere A séma () alapá: a 6 a 6 4 a 6 ( ) 4 a ( ) ( ) a a ( ) ( ) 6 6 ( ) ( ) ( ) ( ) a a 6 Ie az előzőeez asolóa levezeeő, ogy λ [( 6ε ( ) ) os ( 6ε ( ) )] [( 6ε ) os ( 6ε )] 9ε s A λ egyelőleségbe beelyeesíve, áalaíáso á a. [( 4 3) os 4 os 8 3] ε ( )( os ) egyelőlesége ap, amelyről beláaó, ogy mde ε-ra elesül, 5 eseé, azaz eor a módszer abszolú sabl. Az egyelőség aor gaz, 5 melle, a [( 4 3) os 4 os 8 3] és ( )( os ) ε. Ez sa aor öveez be, a os, eá a módszer eráls, a p l ( p Z ). Ilye l éré s, ezér mdg va sllapodás. Az mpl Eler dődszrezáós sémá aszálva a legsebb égyzee és a agyomáyos véges elemes módszerél azoos fázs- és soporsebességee ap. A fázssebesség és relaív fázssebesség: r 3ε s arg, os 3ε s arg. ε os, 4
6.5. Eredméye A 8-3. ábrá szemléle a fív sllapodás, a relaív fázssebessége, lleve a relaív soporsebessége az l oszásözszám, így özveve az L llámossz függvéyébe. Mdárom éréél az szereé, a egyelő leée eggyel, sze ez az eleeé, ogy a séma eráls, ovábbá a fázs,- ll. soporsebesség megegyez az adveó sebességével. Mde ábrá a görbé láa, a árom véges elemes módszer eredméye a é speáls dődszrezáó eseé, evezeese a rapézformla és az mpl Eler-séma (IE) eseé. A 9.,. és. ábrá láaó eredméye ε,9549 ( N ) melle, míg a 8.,. és 3. ábra eredméye ε, 955 ( N és ) melle érvéyese. Mdegy sémáál a agyobb l érée, azaz agyobb llámossza és sebb Cora-számo eseébe lesze az érée özelebb egyez. Fív sllapodás (ε,955), D,9,8,7,6,5,4 4 6 8 vem l pg vem_ie l_ie pg_ie l 8. ábra A agyomáyos véges elem, a Perov Galor-módszer és a legsebb égyzee módszerée rapézformlá, ll. mpl Eler-sémá alalmazó válozaáa fív sllapodása l függvéyébe ε,955 melle A fív sllapodás (8-9. ábra) érée a llámossz öveedésével az egyez araa. Az eredméye a agyomáyos véges elemes módszer eseé a legobba mdé dődszrezáós sémáál, ll. Cora-számál. Ado véges elemes módszerél a, 5 esebe ap edvezőbb D meységee. 4
Fív sllapodás (ε,9549), D,8,6,4, 4 6 8 vem l pg vem_ie l_ie pg_ie l 9. ábra A agyomáyos véges elem, a Perov Galor-módszer és a legsebb égyzee módszerée rapézformlá, ll. mpl Eler-sémá alalmazó válozaáa fív sllapodása l függvéyébe ε,9549 melle A relaív fázssebesség (-. ábra) érée (a relaív soporsebességeé s) a agyomáyos véges elem és legsebb égyzee módszeréél megegyeze eseé, és agyo asolóa, 5 és ε, 955 melle. Eze a sémá adá a legobb eredméyee mdé -ál. A Perov Galor-módszerél egyél agyobb éréee s ap, am az ele, ogy ebbe az esebe a fázssebesség agyobb, m az adveós sebesség. ε, 9549 melle s l éréere pedg egaív eredméy ad a módszer a legsebb égyzee módszerével együ, azaz a llám eredésée ráya s rossz. Relaív fázssebesség (ε,955),4 r,,8,6,4 vem l pg vem_ie l_ie, pg_ie 4 6 8 l. ábra A agyomáyos véges elem, a Perov Galor-módszer és a legsebb égyzee módszerée rapézformlá, ll. mpl Eler-sémá alalmazó válozaáa relaív fázssebessége l függvéyébe ε,955 melle 4
Relaív fázssebesség (ε,9549),5 vem r,5 -,5 4 6 8 l pg vem_ie l_ie pg_ie - l. ábra A agyomáyos véges elem, a Perov Galor-módszer és a legsebb égyzee módszerée rapézformlá, ll. mpl Eler-sémá alalmazó válozaáa relaív fázssebessége l függvéyébe ε,9549 melle A relaív soporsebességeél agy egaív éréee s ap s l-ere, ezér az ábrá az r g érée sa -ól vaa felüeve, ogy a agyobb l éréeél obba lászódo az eredméy. Mdé Cora-szám eseé a legsebb égyzee módszere - mpl Eler-módszerél a agyomáyos véges elemes módszerrel együ - ada a legobb eredméyee. Nagyobb ε-ra a rapézformlás, míg sebbre az mpl Eler-sémá alalmazó módszere a obba. Relaív soporsebesség (ε,955),5 rg,5,5 vem l pg vem_ie l_ie pg_ie 4 6 8 l. ábra A agyomáyos véges elem, a Perov Galor-módszer és a legsebb égyzee módszerée rapézformlá, ll. mpl Eler-sémá alalmazó válozaáa relaív soporsebessége l függvéyébe ε,955 melle 43
Relaív soporsebesség (ε,9549) rg 3,5,5,5 4 6 8 l vem l pg vem_ie l_ie pg_ie 3. ábra A agyomáyos véges elem, a Perov Galor-módszer és a legsebb égyzee módszerée rapézformlá, ll. mpl Eler-sémá alalmazó válozaáa relaív soporsebessége l függvéyébe ε,9549 melle Ha a fázs- és soporsebesség em egyez meg, dszperzó ap a megoldásba. Az 5. és 6. ábláza a relaív fázs- és soporsebességee aralmazza l függvéyébe a árom VEM eseé, 5 melle. Mél agyobb a ülöbség a é sebesség özö, aál erősebb a dszperzó. Az 5. áblázabel érée ε, 9549, vem l l 3 4 6 r,69,887,9,977 r g -3,4957,773,933 l 3 4 6 r -,676,94,9389,9734 r g -3,844,74,755,959,9946 l 3 4 6 r -,77,966,84,69 r g -,787,6897,37,78,3 5. Tábláza A agyomáyos véges elem, a Perov Galor-módszer és a legsebb égyzee módszerée relaív fázs- és soporsebessége ε,9549 és,5 eseé pg míg a 6. áblázabele ε, 955 melle érvéyese. Láaó, ogy s l érée melle erős a dszperzó, de a llámossza öveedésével söe mdárom módszerél. A legsebb dszperzóa a legsebb égyzee módszeréél (l), míg a legerősebbe a Perov Galor-módszerél (pg) apaszala. ε, 955 eseé a legsebb égyzee módszere melle a agyomáyos VEM (vem) s s dszperzó ad. 44
vem l l 3 4 6 r,85,9533,996,9988 r g -3,746,9576,9945 l 3 4 6 r,837,9549,998,9988 r g,784,959,854,857,96 l 3 4 6 r,749,674,63,39 r g,377,76,635,75,9545 6. Tábláza A agyomáyos véges elem, a Perov Galor-módszer és a legsebb égyzee módszerée relaív fázs- és soporsebessége ε,955 és,5 eseé pg A 7. ábláza az mpl Eler-sémáoz arozó relaív fázs- és soporsebességee aralmazza. I a agyobb Cora-szám melle soal erősebb dszperzóa ap, m a rapézformlás esebe. Egy eddg még em apaszal eredméy s leolvasa a áblázaról, mégpedg az, ogy ε, 955 melle a Perov Galor-módszer ada a legsebb dszperzó. ε,9549 vem l pg l 3 4 6 r,535,649,786,9 r g -3,458,4837,73 l 3 4 6 r,4574,63,77,8979 r g -,783 -,755,469,4439,73 ε,955 vem l pg l 3 4 6 r,896,9485,989,9979 r g -3,7349,956,998 l 3 4 6 r,75,37,78,4 r g -7,689,3,6,47,44 7. Tábláza A agyomáyos véges elem, a Perov Galor-módszer és a legsebb égyzee módszerée relaív fázsés soporsebessége ε,9549 és ε,955 eseé melle A Forer-aalízs eredméye összefoglalva elmodaó, ogy ado séma a fív sllapodásá, relaív sebessége vagy dszperzóá ézve a agyobb llámosszara és s Cora-számora a obb. A legsebb sllapodás a agyomáyos véges elemes módszer ada, míg a legpoosabb fázs- és soporsebességee a legsebb égyzee módszere, ermészeese ado esebe a agyomáyos véges elemes módszerrel együ. A 45
dszperzó a agyomáyos véges elemes módszerél, ll. a legsebb égyzee módszeréél a legsebb, véve mpl Eler-formla és s Cora-szám melle, aol a Perov Galor-séma a legobb. Az dődszrezáós séma megválaszásáál aálo fgyelembe ve, ogy a rapézformlás sémá sebb sllapodás ooza, lleve az s, ogy a ezeel számol, aor agyobb Cora-számoál poosabb fázs- és soporsebessége ap. 46
7. A édmezós adveós felada Az egydmezós véges elemes módszereel aár édmezós feladaoa s megolda operáorszeleelés segíségével. Ilyefaa dmezós szeleelés serrel alalmazo példál Hsdorfer és pee (995) a édmezós adveós feladara, bár ő a érbel dszrezáó véges érfoga sémával oldoá meg. Clle (973) megmaa, ogy a leárs agyomáyos véges elemes módszer, a leap-frog sémá aszál az dőbel dszrezáóra, a édmezós adveós feladara megöveel az d 6 sablás feléel, aol d a somópoo özö ávolság. Egy dmezóba ez a feléel (Haler ad Wllams, 98) gyegébb, az 3 egyelőleséggel íra le. Bár m -módszer aszál az dőbel dszrezáóra, am, 5 esebe abszolú sabl megoldás ad a próbál véges elemes módszereel, de megvzsgál ebbe az esebe s érdemes a problémá. Másrész öbb dmezóba a 4. feeze egyeleredszerebe az egrálo számolása soal boyollabb és számíásgéyesebb. Tesü az alább édmezós adveós feladao! x v y ( x, y,) s x s y (, y, ) (, y ), ( x,, ) ( x, ),, aol és v a osas adveós sebessége. A poos megoldás: ( x, y, ) s( x ) ( y v ) s. A mersa megoldásoz először eá operáorszeleelés aszál, így a.. alfeeze alapá é egyszerűbbe megoldaó egydmezós részfeladaoz : 47
48 ( ) ( ) x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y x y x,,,,, N és ( ) ( ) y v ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y x y x,,,,, N, aol ( )( ) y x y x s s,,. Legye x A : és y v A :. Eél a feladaál perods peremfeléelél az operáorszeleelés em ooz bá a megoldásba, mer A és A ommál, sze [ ]( ), x y v y x v x y v y v x A A. 4. ábra A agyomáyos véges elemes (fe balra), a Perov-Galor (fe obbra) módszer és legsebb égyzee módszerée (le balra) számío megoldása és a poos megoldás (le obbra) T-be
Ado dőréege megold egymás á a é adveós feladao, úgy, aogy az egy dmezóba eü, ezde feléelé mdg az olára apo eredméy felaszálva. Idődszrezáós sémaé a ísérleeél a rapézformlá aszál, érbe pedg próbál mdárom véges elemes módszer (a Perov Galor-módszer programódá lásd a Függelébe). Az dőervallm ossza T, a é adveós sebesség pedg és v 3 vol, így a poos megoldás: ( x, y, ) s( x ) s( y ) 3. Jelöle a érbel oszásözö számá x ráyba, y ráyba J, az dőbel oszásözö számá pedg N. A 4. ábrá N J melle T -be láaó a árom módszerrel számío mers és a poos megoldás. Ráézésre sa a legsebb égyzee módszerée megoldása ér el a poos megoldásól. 5. ábra A agyomáyos véges elemes (bal felső), a legsebb égyzee (bal alsó) és a Perov Galor-módszer (obb oldal) megoldásáa elérése a poos megoldásól T-be A 5. ábra a árom módszer megoldásáa poos megoldásáól ve elérésé szemléle N J eseé T -be. A agyomáyos véges elemes módszer báa egy agyságreddel agyobb a más é módszeréél, és oszllál. A Perov 49
Galor-módszer báa asoló alaú, de oszlláó élül. A pereme melle agy gradese fgyeleő meg. A bafüggvéye gya agy válozéoyságo maa, de a megoldásba ez a bá s agyságrede ma em lászód meg, sa a legsebb égyzee módszerée eseé. A módszere báá ado dőpllaaba a poos és a özelíő megoldás ülöbségée dszré l -bel ormáával feezzü az 5. feezebe alálaó bával asoló módo, de mos (x,) sí elye (x,y) sío számol. Teá e dszré bafüggvéy dszré l -bel ormáá e l J : ( ) ( Ω ) e T épleel számol. A 8. áblázaba J melle a árom véges elemes módszer báa láaó. Az dőbel oszópoo száma, és az érée T -be érvéyese. A módszere érbe másodredűe vselede, és a legsebb báa mos s a Perov Galor-módszer ada. A bá 8 melle -3 agyságredűe, é agyságreddel agyobba, m eél a felboásál az egydmezós feladaál apo bá, amor rapézformlá aszál, de sebbe, m mor az mpl Elersémával oldo meg a feladao. vem l pg 4,8638,468,563549 8,4454,44743,46335 6,849,8377,87396 3,6854,765,839 64,67,436,49 8,7,9,4 8. Tábláza A árom módszer báa 5
8. Összefoglalás A szadolgozaba osas áramlás sebességű adveós feladaoa vzsgál. Három véges elemes módszer alalmaz a feladao megoldására: a agyomáyos véges elemes és egy Perov Galor-módszer, ll. a legsebb égyzee módszeré. Az dőbel dszrezáóra a -módszer aszál, melye főé é speáls eseével, a rapézformlával (, 5) és az mpl Eler-sémával ( ) foglaloz.,5-él sebb -val em érdemes számol, mer ezebe az eseebe öbbyre sabl megoldás ap. Megállapío, ogy megfelelőe megválaszo ezde és peremfeléele, ll. rásfelboás melle, 5 eseé s megelee oszlláó. Ezee a zaoa legább a Perov Galor-módszer épes elyom. Egydmezós esebe a özelíő megoldás báa a rapézformlával számolva már N~ és ~6 rásfelboás melle maxmm -5 agyságredű. Ez a poosságo az mpl Eler-módszerrel még N~~ melle sem éreü el. Az mpl Eler-séma álagosa é-árom agyságreddel rosszabb eredméyee ad, m a rapézformla. A véges elemes módszere dőbe a válaszo dődszrezáós sémáa megfelelőe vselede, érbe pedg s lépésözöre másod-, agyobbara elsőredűe vselede, míg az dődszrezáó gáa em szab a ovább avlása. A legsebb báa a Perov Galor-módszerél ap. A 6. feezebe elvégezü a véges elemes módszere Forer-aalízsé. Mdárom séma abszolú sabla bzoyl, 5 melle. Csllapodás mde llámosszra mdárom módszerél ellemző, véve a agyomáyos véges elemes módszer l -él. A fázs- és soporsebesség sem egyez meg az adveós sebességgel egy séma eseébe sem, bármlye llámossz s veszü. Ugyaaor megállapío, ogy agyobb llámosszara és s Cora-számra a sllapodás eleőse söe, a fázs- és soporsebesség poosabb, és a dszperzó s sebb. A legsebb sllapodás a agyomáyos véges elemes módszer eseé ap, míg a legpoosabb fázs- és soporsebességee, ll. a legsebb dszperzó a legsebb égyzee módszere eseé, ermészeese ado esebe a agyomáyos véges elemes módszerrel együ. Az dődszrezáós séma megválaszásáál aálaos fgyelembe ve, ogy a rapézformla sebb sllapodás ooz, valam agyobb Coraszámoál poosabb fázs- és soporsebessége eredméyez. Habár a legsebb báa 5
és zaoa a Perov Galor-módszer ada, a llámmóds leíró ladoságo eél a sémáál a legrosszabba. Az egydmezós véges elemes módszereel a édmezós adveós felada s megoldaóa bzoyl operáorszeleelés segíségével. A legsebb báa az egydmezós feladaoz asolóa a Perov Galor-módszer ada. 5
Függelé. Az egydmezós, oldalsó peremfeléeles adveós felada legsebb égyzee módszerével való megoldására aszál Malab programód: fo lr_ea(,n) %Legsebb égyzee módszere %d/da*d/ aos, a> %(,)g() :[,T] %(x,)(x) x:[,p] %g()-s(a*) %s(x) a; T; dt/n; p/; ea.5; sdag(4*(oes(,)))dag(oes(,-),)dag(oes(,-),-); s(,); sdag(zeros(,))dag(.5*oes(,-),)dag(-.5*oes(,-),-); s(,).5; s3dag(zeros(,))dag(-.5*oes(,-),)dag(.5*oes(,-),-); s3(,).5; s4dag(*(oes(,)))dag(-*oes(,-),)dag(-*oes(,-),-); s4(,); /6*sa*d*ea*sa*d*ea*s3a*a*d*d*ea*ea/*s4; sorx:; xsorx*; sor:n; sor*d; x_eles[ x]; sorx:(*); xsorx*/; x_eles[ x]; %ezde feléel g(-s(a*)); s(x); s(x); %poos megoldas: for :N; p(:,)(s(x_eles-a*()))'; p(:,)(s(x_eles-a*()))'; ed fzeros(,); f()/6a*d*ea/; fzeros(,); f()-a*d*(ea-)/-a*a*d*d*ea*(ea-)/; f3zeros(,); 53
f3()-a*d*ea/-a*a*d*d*ea*ea/; (:,)[g(); ']; alfa'; for :N; F(g()-g())*fg()*f-g()*f3(/6*sa*d*(ea-)*s... a*d*ea*s3a*a*d*d*ea*(ea-)/*s4)*alfa; alfav()*f; (:,)[g(); alfa]; ed %ba -p; plo(x_eles,(:,n), x_eles,p(:,n),'--') axs([ p ]) ed. Az egydmezós, perods peremfeléeles adveós felada Perov Galormódszerrel való megoldására aszál Malab programód: fo pgr_ppf(,n) %Perov-Galor módszer %d/da*d/ aos, a> %(x,)(xp,) :[,T] %(x,)(x) x:[,p] %s(x) a; T; dt/n; *p/; ea.5; sdag(zeros(,))dag(.5*oes(,-),)dag(-.5*oes(,-),-); s(,).5; s(,)-.5; sdag(*(oes(,)))dag(-*oes(,-),)dag(-*oes(,-),-); s(,); s(,)-; s3dag(4*(oes(,)))dag(oes(,-),)dag(oes(,-),-); s3(,); s3(,4); s4dag(zeros(,))dag(-*oes(,-),)dag(oes(,-),-); s4(,); s4(,); a*d*ea*sa*d*ea/*s/6*s3/4*s4; sorx:; 54
xsorx*; sor:n; sor*d; x_eles[ x]; %ezde feléel s(x); %poos megoldas: for :N; p(:,)(s(x_eles-a*()))'; ed (:,)(s(x_eles))'; alfa'; for :N; F(-a*d*(-ea)*s-a*d*(-ea)/*s/6*s3/4*s4)*alfa; alfav()*f; (:,)[alfa(); alfa]; ed %ba -p; plo(x_eles,(:,n), x_eles,p(:,n),'--') axs([ *p ]) ed 3. A édmezós, perods peremfeléeles adveós felada agyomáyos véges elemes módszerrel való megoldására aszál Malab programód: fo vem_d_ppf(,j,n) %Hagyomáyos véges elemes módszer %d/d*d/v*d/dy,vos,,v> %(x,y,)(x*p,y,) :[,T] %(x,y,)(x,y*p,) x:[,x] %(x,y,)(x,y)s(x)s(y) y:[,y] ; v3; T; X*p; Y*p; dt/n; xx/; yy/j; ea.5; sdag(zeros(,))dag(.5*oes(,-),)dag(-.5*oes(,-),-); s(,).5; 55
s(,)-.5; sdag(4*(oes(,)))dag(oes(,-),)dag(oes(,-),-); s(,); s(,); *d*ea*sx/6*s; s3dag(zeros(,j))dag(.5*oes(,j-),)dag(-.5*oes(,j-),-); s3(j,j).5; s3(,j)-.5; s4dag(4*(oes(,j)))dag(oes(,j-),)dag(oes(,j-),-); s4(j,j); s4(,j); v*d*ea*s3y/6*s4; sorx:; xsorx*x; sory:j; ysory*y; sor:n; sor*d; x_eles[ x]; y_eles[ y]; %poos megoldas: for :J p(:,)(s(x_eles-*(n))s(y_eles()-v*(n))); ed %ezde feléel for :; (,:)s(x_eles())s(y_eles); ed for :N; for :J; F(x/6*s-*d*(-ea)*s)*(:,); alfav()*f; (:,)[alfa(); alfa]; ed (:,)(:,J); for :; F(y/6*s4-v*d*(-ea)*s3)*(,:J)'; alfav()*f; (,:)[alfa(j); alfa]'; ed (,:)(,:); ed %ba -p; %max ba bmax(max(abs(-p))) mes(x_eles,y_eles,p) ed 56
Irodalomegyzé Co, D. P., 985: A omparso of meral meods for solvg adveo eqaos II. Amos. Evro., 9, 57-586. Co, D. P., 99: A omparso of meral meods for solvg adveo eqaos III. Amos. Evro., 5A, 853-87. Coda, R., 998: Comparso of fe eleme meods for solvg e dffsooveo-reao eqao. Comp. Meods Appl. Me. Egrg., 56, 85-. Côé, J. ad afor, A.,99: A Arae ad Effe Fe-Eleme Global Model of e allow-waer Eqaos. Mo. Wea. Rev., 8, 7-77. Côé, J., Gravel,., Méo, A., Paoe, A., Ro, M. ad afor, A., 998: Te operaoal CMC MRB Global Evromeal Mlsale (GEM) model: Par I. Desg osderaos ad formlao. Mo. Wea. Rev., 6, 373 395. Csomós, P., Faragó, I., ad Havas, Á., 5: Weged eqeal plgs ad Ter Aalyss. Comp. Ma. Appl., 5, 7-3. Clle, M. J. P., 973: A smple fe eleme meod for meeorologal problems. J. Is. Ma. Appls.,, 5-3. Er, A. ad Germod, J.-L., 4: Teory ad Prae of Fe Elemes. prger, New Yor. Haler G., J. ad Wllams, R.,T., 98: Nmeral Predo ad Dyam Meeorology. Jo Wley & os I., New Yor. Havas, Á., Baroly, J., ad Faragó, I., : plg meod ad s applao ar pollo modelg. Időárás, 5, 39-58. Hsdorfer, W. ad pee, E. J., 995: A Effe Horzoal Adveo eme for e Modelg of Global Traspor of Coses. Mo. Wea. Rev., 3, 3554-3564. Hdsdorfer, W. ad Verwer, J. G., 3: Nmeral olo of Tme-Depede Adveo-Dffso-Reao Eqaos. prger, Berl. a, J. va, Vermole, F. ad egal, A., 5: Nmeral Meods ef Compg. VD, Delf. ress, O. ad Olger, J., 97: Comparso of arae meods for e egrao of yperbol eqaos. Tells, 4, 99-5. Log, P. E. Jr ad Pepper, D. W., 98: A exmao of some smple meral semes for allag salar adveo. J. Appl. Ma.,, 46-56. 57
Malo, J., arraz, R., Blodea, B., Bre, N. ad Peller, G., 997: Developme of e 35-m verso of e operaoal regoal foreas sysem. Amos. Oea. 35, 8. Nea, B., 99: Aalyss of fe elemes ad fe dfferees for sallow waer eqaos: A revew. Maemas ad Compers mlao, 34, 4-6. Nea, B. ad Wllams, R. T., 986: ably ad pase speed for varos fe eleme formlaos of e adveo eqaos. Compers ad Flds, 34, 393-4. Orszag,. A., 97: Nmeral smlao of ompressble flows w smple bodares I. J. Fld. Me., 49, 75-. Orszag,. A., 97: Comparso of psedosperal ad speral approxmaos. d. Appl. Ma., 5, 53-59. Pepper, D. W., er, C. D. Log ad P. E Jr, 979: Modellg e dsperso of amosper pollo sg b sples ad apea fos. Amos. Evro., 3, 3-37. Rddaway, R. W., 986: A Irodo o Nmeral Meods for Weaer Predo. Ieral Reopor from ECMWF, Meeorologal Trag Corse, Lere Noe No..4. Rmyer, R. D. ad Moro,. W., 967: Dfferee meods for al vale problems. Iersee Pblsers, New Yor. larz, M. A., pelvogel, L. Q. ad Looms, H. G., 979: Nmeral mlao of e 9 November 975 Islad of Hawa Tsam by e Fe-Eleme Meod. Joral of Pysal Oeaograpy, 9, -3. ms, G. D., 978: Nmeral solo of paral dffereal eqaos: Fe dfferees. Oxford Uversy Press, Oxford. aers, D. ad Bordea, P., 995: Erope's Evrome - Te Dobrs Assessme. EEA (Eropea Evrome Agey) rag, G., 963: Arae paral dfferee meods I: Lear Cay problems. Ar. Raoal Me. Aal.,, 39-4. rag, G., 968: O e osro ad omparso of dfferee semes. IAM J. Nmer. Aal., 5, 56-57. U, A. ad Horal, M., 3: A Fe-Eleme eme for e Veral Dsrezao e em-lagraga Verso of e ECMWF Foreas Model. ECMWF, Readg. Zlaev, Z., 995: Comper Treame of Large Ar Pollo Models. lwer Aadem Pblsers. 58
öszöeylváíás Ezúo szereém megöszö az úmaás és a so segísége émavezeőme, Havas Ágese, és az érées avaslaoa Faragó Isváa és Izsá Feree. 59