Mtemtik A 9. évfolm 7. modul: EGYENLETEK Tnári kézikönv VI. Kétismeretlenes egenletrendszerek Behelettesít módszer Mintpéld Két testvér érletpénztárnál jeget vásárol. Az egik vonljegért és eg átszálló jegért 60 Ft-ot, másik 6 vonljegért és átszállójegért 80 Ft-ot fizet. Mennie kerül eg vonljeg és eg átszállójeg? Jelöljük vonljegek árát -szel, z átszálló jegekét -nl. Íg következ egenletrendszert kell megoldnunk: 60 6 80 Az els egenletl fejezzük ki -t: 60 Ezt helettesítsük e második egenlete, helére: 60 80 6 6 0 8 80 0 70 Az -et ismerve -t visszhelettesítéssel kiszámíthtjuk: 60 60 70 60 0 90 Eg vonljeg 70 Ft, míg eg átszállójeg 90 Ft- kerül. Ellenrzés szöveg lpján. Behelettesít módszer A kétismeretlenes egenletrendszer egik egenletél kifejezzük vlmelik ismeretlent és kpott kifejezést, ehelettesítjük másik egenlete. Íg eg egismeretlenes egenletet kpunk, ezt megoldv megkpjuk z egik ismeretlent. Ennek segítségével kiszámítjuk másik ismeretlent is.
6 Tnári kézikönv Mtemtik A 9. évfolm 7. modul: EGYENLETEK Feldtok Fejtör feldt z ór elejére, hog emelegedjenek z gtekervének. 9. 7 perc múlv kezddik U egüttes koncertje. A fs társságnk már csk eg hídon kell átkelnie, hog odérjen. Viszont híd egszerre csk emert ír el. Azonkívül sötét vn és világítás nélkül eg tpodtt sem tudnk megtenni, de szerencsére vn eg zselámpájuk. Tehát vlki világít és átkísér eg emert, ztán vissz kell vinni zselámpát (átdoni nem tudják), st. Az egik emer perc ltt ér át hídon, másik perc ltt, hrmdik perc ltt, negedik 0 perc ltt. Milen sorrenden menjenek át, hog 7 perc múlv mind négen híd túloldlán legenek? Ersítsük meg gerekeken, hog semmiféle trükk nincs feldtn és létezik megoldás. Sokn úg gondolkodnk, hog leggorsk ingáznk hídon, megoldás kulcs n rejlik, hog z leggors, h két leglssú emer egszerre cmmog át hídon. Elször menjen át hídon perces és z perces. Ez összesen percet vesz igéne, mjd hozz vissz lámpát z, ki perc ltt ér át. Eddig három perc telt el. Adj át lámpát másik két rátjánk (z percesnek és 0 percesnek) kik egütt átcmmognk hídon. perc telt el összesen. k átdják lámpát percesnek, ki átszld hídon z utolsó emerért. Most trtunk percnél. Ketten egütt visszjönnek, mi szintén percet vesz igéne. Most telt le 7 perc, kezddhet koncert. A tnulók párn dolgoznk tová. 0.rlének két fj érkezett földre. Az egik fjnk feje és 7 lá, másiknk feje és eg lá vn. Összesen 6 fejük és 89 láuk vn. Hán rlén érkezett z eges fjokól? Az egik fj képviselinek számát jelöljük -szel, másikét -nl. 6 7 89 El 89 7, ezt visszhelettesítve z els egenlete: 89 7 6
Mtemtik A 9. évfolm 7. modul: EGYENLETEK Tnári kézikönv 7 Ezt visszhelettesítve z eredeti egenletrendszer egik egenletée kpjuk, hog 89 7 89 7 89 8. Ellenrzés szöveg lpján. Tehát háromfejekl, míg kétfejekl rlén érkezett földre.. Oldd meg következ egenletrendszert! 7 A második egenletl: Behelettesítve z els egenlete: A megoldás ; rendezett számpár.. Oldd meg következ egenletrendszert! 9 A els egenletl: 9 7 Behelettesítve második egenlete:, 9, A megoldás,;, rendezett számpár.. Három szám közül középs ugnnnivl ngo legkisenél, mint legngo középsnél. A két kise szám szorzt 8, két ngoé. Melek ezek számok? Legen három szám: z, ekkor z 8 z.
8 Tnári kézikönv Mtemtik A 9. évfolm 7. modul: EGYENLETEK Az els egenletl: z. Ezt ehelettesítve hrmdik:, de másodikól 8, ezért 00 0. Csk pozitív megoldások felelnek meg z feltételnek, ezért 8,, 0, z,.. Eg háromszög oldlink hossz cm, 9 cm és 6 cm. Rjzoljunk köröket háromszög mindhárom csúcs körül úg, hog ezek körök páronként érintsék egmást. Mekkorák körök sugri? z A feldt szerint: z 9. A három egenletet összedv: z 8, 6 el z 9. Innen, felhsználv feldt feltételeit: 6 cm, 0 cm, z cm. Házi feldt jvslt:. feldt Egenl egütthtók módszere Mintpéld Oldjuk meg következ egenletrendszert! 7 0 Az els egenletet szorozzuk -gel, másodikt -tel. 0 8 0 00 Kivonjuk z els egenletl második egenletet: 9 Visszhelettesítve vlmelik eredeti egenlete:
Mtemtik A 9. évfolm 7. modul: EGYENLETEK Tnári kézikönv 9 Ellenrzés: 7 0 A megoldás ; rendezett számpár. Egenl egütthtók módszere Úg szorozzuk z egenleteket, hog vlmelik ismeretlenünk egütthtój mindkét egenleten egenl, vg egmás ellentettje legen. Ezután két egenletet összedv vg egiket másikól kivonv, eg egismeretlenes egenlethez jutunk. Ezt megoldv megkpjuk z egik ismeretlen értékét. Ennek segítségével kiszámítjuk másik ismeretlen értékét is. Feldtok. Ádám nég évvel ezeltt háromszor nni ids volt, mint Dávid. Öt év múlv pedig kétszer nni ids lesz. Hán évesek most? Ádám Dávid évvel ezeltt Most év múlv + + A feldt szövege lpján két egenletet is felírhtunk:, Ádám, Dávid éves most.
0 Tnári kézikönv Mtemtik A 9. évfolm 7. modul: EGYENLETEK 6. Oldd meg következ egenletrendszert! 6 89 96 Az els egenletet szorozzuk -tel, másodikt 6-tl. 0 0 0 96, A megoldás ; rendezett számpár. 7. A picon vlki kg krumplit és kg hgmát vásárolt 0 Ft-ért. A sorn mögötte álló kg hgmáért és kg krumpliért 00 Ft-ot fizetett. Mennie kerül ennél zöldségesnél krumpli és hgm? Jelöljük krumpli árát -szel, hgmáét -nl. Íg következ egenletrendszert kell megoldnunk: 0 00 80, 0 Eg kilogrmm krumpli 0 Ft, míg eg kilogrmm hgm 80 Ft. Házi feldt jvslt: 6. feldt Egenletrendszerek megoldhtóság Elevenítsük fel, hog milen módszereket ismertünk meg z elz órákon. Adjuk ki csoportoknk, hog foglmzzák meg vlmelik módszer lépéseit. Ügeljünk rr, hog mindkét módszert válssz vlmelik csoport. A tnulók csoportokn dolgoznk, z áltluk válsztott módszeren. H elkészültek, hllgssuk meg csoportok eszámolóit. Figelik egmás eszámolóit, véleménezik, hog jó volt-e megfoglmzás.
Mtemtik A 9. évfolm 7. modul: EGYENLETEK Tnári kézikönv Mintpéld Oldjuk meg z lái egenletrendszereket! ) 6 8 6 8 ) 6,0000 7,99998,99999 8,0000 c) 6 ) Az egik egenlet következméne másiknk, íg z egenletrendszer megoldásink elég z els egenletet kielégítenie. Ez zt jelenti, hog z egenletrendszernek végtelen sok megoldás vn. (Bármel értékhez kiszámíthtjuk, hog menni hozzátrtozó ) Például: H. H 0. ) Alklmzzuk z egenl egütthtók módszerét, vonjuk ki z els egenletl másodikt 0, 00000, 0000. Ezt visszhelettesítve z eredetie kpjuk: 0. A megoldás 0; rendezett számpár. c) A második egenletet kettvel egszersítve kpjuk:, mi ellentmond z els egenletnek. Ekkor z egenletrendszernek nincsen megoldás. Új ismeretlen evezetése Mintpéld Oldjuk meg Megoldás I.: 0, 6 7 0 7 egenletrendszert! 6 7 7 Az els egenletet másodikkl elosztv z kpjuk, hog: 6 7 7 90 7 889 7
Tnári kézikönv Mtemtik A 9. évfolm 7. modul: EGYENLETEK Visszhelettesítünk z eredeti egenletrendszer egik egenletée: 6 7 6 7 8 7 8 7 8 Ekkor Megoldás II.:. Vezessük e z, ismeretleneket, ez megkönníti z egenletrendszerünk megoldását. Az új egenletrendszer: 6 7 7 Az egenl egütthtók módszerével megoldv z egenletrendszert és dódik. Sokn itt efejezik feldtot, h megkpták -t és -t, és nem számolják ki -et és - t. hívjuk fel figelmet, hog mindig z eredeti egenlet ismeretleneit kell kiszámolni. Most már kiszámíthtjuk és értékét: ;. A ; rendezett számpár eleme z egenletrendszer lphlmzánk, és z ellenrzésnél két oldl helettesítési értéke egenl, ezért ez vlón megoldás. Új ismeretlen evezetése Akkor célszer ezt módszert lklmzni, h egenleteinken hsonló kifejezéseket fedezünk fel, íg egszeré tehetjük megoldndó feldtot.
Mtemtik A 9. évfolm 7. modul: EGYENLETEK Tnári kézikönv Feldtok 8. Oldd meg következ egenletrendszert! 8 7 Vezessük e z, ismeretleneket. 8 7, Kiszámíthtjuk -et és -t: A megoldás ; rendezett számpár. 9. Oldd meg következ egenletrendszert! 8 7 Vezessük e z, ismeretleneket. 8 7, Kiszámíthtjuk -et és -t:
Tnári kézikönv Mtemtik A 9. évfolm 7. modul: EGYENLETEK, A megoldás,8 ; rendezett számpár. 0. Két utó egenl teljesítmén motorjánk gzdságosságát vizsgálv kiderül, hog dott id ltt z egik 60 liter enzint fogsztott, másik két órávl kevese id ltt 8, litert. H z els motor nnit fogsztott voln óránként, mint második, második pedig nnit mint z els, kkor z eli idk ltt egenl lett voln fogsztásuk. Óránként hán litert fogsztott z. és mennit. motor? 60 8, H z. motor fogsztás liter/ór,. motoré liter/ór, kkor. H z. motor litert,. motor litert fogsztn óránként, kkor fogsztásuk, 60 8,, illetve lenne, mi feldt szerint megegezik: 60 8,. Vezessük e következ jelöléseket:,. Ezekkel: 60 8, 60 8,. A második egenletet átlkítv: (A negtív érték nilván nem megoldás.) Ezt z els egenlete írv: 8, 60 8, 0, 8. 60 60 0,8 8,. El, 8.,8,8 A másik érték 6. A motorok fogsztás tehát,8 liter, illetve 6 liter. 0,8 Házi feldt jvslt: 8. feldt