Az előadások dátuma (2017-ben) és tervezett tematikája:

Tájékoztató a Halmazok és függvények tárgy 2017/2018. tanév I. félévi kurzusairól és számonkéréséről Az előadások és gyakorlatok időpontja, tematikája Az előadás kódja: TTMBE0201, TMOE0205, heti óraszáma: 2, kreditértéke: 3. Az előadás időpontja: csütörtök 10.00 11.40; helyszíne: Matematikai és Földtudományi Épület M 426 tanterem. Előadó: Boros Zoltán (e-mail: zboros@science.unideb.hu) Az előadások dátuma (2017-ben) és tervezett tematikája: szeptember 14.: Halmazelméleti alapfogalmak, aiómák. Halmaz megadása tulajdonsággal. Russel tétele. Műveletek halmazokkal, műveleti tulajdonságok. Hatványhalmaz. De Morgan azonosságok. szeptember 21.: Rendezett párok, Descartes-szorzat. A reláció fogalma, reláció értelmezési tartománya, értékkészlete, inverze. Halmaz reláció általi képe. Relációk kompozíciója, a kompozíció tulajdonságai. szeptember 28.: A függvény fogalma, injektív, szürjektív, bijektív függvények. Halmazok függvény általi ősképe, az őskép és a halmazműveletek kapcsolata. Függvények kompozíciója. Ekvivalencia reláció és indukált osztályozás. Részbenrendezési reláció (parciális rendezés), halmaz alsó/felső korlátja, minimuma, maimuma, infimuma, szuprémuma, minimális/maimális eleme. október 5.: Részbenrendezett halmaz teljessége. Intervallumok. Rendezett halmaz, jólrendezett halmaz; (maimális) lánc. Jólrendezett halmazok kezdőszegmensei. Indeelt halmazcsalád. A kiválasztási aióma és ekvivalens alakjai: Zermelo jólrendezési tétele, Hausdorff-féle maimum-elv, Kuratowski Zorn-lemma. október 12.: Tarski-féle fipont-tétel. Halmazok számossága. Egyenlő számosság, kisebb vagy egyenlő számosság. A számossági relációk tulajdonságai, Schröder Bernstein-tétel. Hatványhalmaz számossága (Cantor tétele). október 19.: A valós számok aiómarendszere, a testaiómák és rendezési aiómák néhány következménye. Az abszolút érték függvény. A Dedekind-tétel és a Cantor-féle metszettétel. október 26.: 1. zárthelyi dolgozat (a gyakorlatok tananyagából) november 9.: Természetes számok. Archimédeszi tulajdonság. Teljes indukció és a rekurzív definíció elve. A binomiális tétel és a Bernoulli-egyenlőtlenség. november 16.: Egész számok, az egész rész és törtrész-függvény. Racionális és irracionális számok, sűrűségi tételek. A valós számok meghatározottsági tulajdonsága. A p-adikus törtbefejtés. november 23.: Az n-edik gyök fogalma és létezése, racionális kitevőjű hatványok. Nevezetes egyenlőtlenségek: a számtani, mértani és harmonikus közepek közti egyenlőtlenség; a Cauchy- Bunyakovszkij- Schwarz- és a Minkowski-egyenlőtlenség. 1

november 30.: A komple számok halmaza és algebrai struktúrája. Komple szám valós része, képzetes része, konjugáltja és abszolút értéke. A Cauchy- Bunyakovszkij- Schwarz-egyenlőtlenség komple számokra. december 7.: 2. zárthelyi dolgozat (a gyakorlatok tananyagából) december 14.: Számhalmazok számossága. Végtelen és véges halmazok. Véges halmazok jellemzése. Megszámlálhatóan végtelen és kontinuum számosság. Végtelen halmaz megszámlálható részhalmaza. N, Z, Q, R és C számossága. A gyakorlatok órarendje: A gyakorlat kódja: TTMBG0201, TMOG0205, heti óraszáma: 2, kreditértéke: 2. Órarendi időpont Tanterem Gyakorlatvezető csütörtök 14.00 15.40 M 204 Boros Zoltán csütörtök 16.00 17.40 M 316 Pénzes Evelin péntek 10.00 11.40 M 204 Pénzes Evelin A gyakorlatok dátuma (2017-ben) és tervezett tematikája: szeptember 14 15.: Az előadás anyagához kapcsolódó elméleti és gyakorlati feladatok (halmazműveletek azonosságainak igazolása; példák). szeptember 21 22.: Az előadás anyagához kapcsolódó elméleti és gyakorlati feladatok (Descartes-szorzatra és halmazműveletekre vonatkozó azonosságok igazolása; példák halmazok relációk általi képére). szeptember 28 29.: Az előadás anyagához kapcsolódó elméleti és gyakorlati feladatok (példák halmazok függvény általi képére, ősképére; ezekre vonatkozó azonosságok igazolása; példák relációkra, tulajdonságok ellenőrzése illetve cáfolása). október 5 6.: Az előadás anyagához kapcsolódó elméleti és gyakorlati feladatok (példák részbenrendezett halmazokra; a linearitás, a teljesség és a jólrendezettség vizsgálata). Valós függvények invertálhatósága, értékkészlete (egyszerűbb esetekben), az inverz meghatározása (konkrét példák). október 12 13.: Az előadás anyagához kapcsolódó elméleti feladatok (néhány egyszerűbb állítás halmazok számosságára). Egyenlőtlenségek megoldása (másodfokú és arra visszavezethető polinomiális egyenlőtlenségek; törtfüggvényeket tartalmazó egyenlőtlenségek; abszolút értéket tartalmazó egyenlőtlenségek). október 19 20.: Egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása (a megoldás során felhasznált aiómák, definíciók és állítások kiemelésével). október 26 27.: Az előző heti előadás anyagához kapcsolódó elméleti feladatok (a valós számok aiómarendszere egyszerűbb következményeinek igazolása). Példák halmaz pontos alsó (illetve felső) korlátjának meghatározására. november 9 10.: Azonosságok és egyenlőtlenségek igazolása teljes indukcióval. Intervallum-sorozatok metszete, egyesítése (példák). 2

november 16 17.: Egész illetve racionális számokkal paraméterezett számhalmazok pontos alsó illetve felső korlátainak meghatározása. Példák p-adikus törtbe fejtésre. november 23 24.: Nevezetes egyenlőtlenségek alkalmazásai. november 30 december 1.: Egyenlőtlenségek igazolása (teljes indukció illetve nevezetes egyenlőtlenségek alkalmazásával). december 7 8.: Az előző heti előadás anyagához kapcsolódó elméleti és gyakorlati feladatok (műveletek komple számokkal; komple számok abszolút értéke; az abszolút értékre vonatkozó azonosságok és egyenlőtlenségek igazolása). december 14 15.: Nehezebb feladatok (a feladatgyűjteményekben alább *-jellel hivatkozott feladatok) és egyéb szorgalmi feladatok megoldása. A felkészüléshez ajánlott jegyzetek: [BM-Ap] Bessenyei Mihály: Analízis Példatár, (DE Mat. Int., 2014) [1 72. Feladat (2 10. old.)], http://math.unideb.hu/media/bessenyei-mihaly/downloads/anale.pdf [BZ-Ha] Boros Zoltán: Halmazelméleti alapok, http://math.unideb.hu/media/boros-zoltan//boros Z-Halmazelmeleti alapok.pdf [GF-Ma] Gecse Frigyes: Matematikai alapok, Z-Press Kiadó, Miskolc, 2013. [LK-A1] Lajkó Károly: Analízis I. (KLTE Mat. és Inf. Int., 1998) [I II. fejezet (7 37. old.)] [LK-K1] Lajkó Károly: Kalkulus I. (DE Mat. Int., 2003) [I II. fejezet (9 33. old.)] [LK-K1p] Lajkó Károly: Kalkulus I. példatár, (DE Inf. Int., 2004) [I II. fejezet (9 31., 34. old.)] [PZs-A] Páles Zsolt: Bevezetés az analízisbe [I II. fejezet (1 37. old.)], http://math.unideb.hu/media/pales-zsolt//anal.pdf [RJ-A1] Rimán János: Matematikai analízis I. Líceum Kiadó, Eger, 1998. [RJ-Af] Rimán János: Matematikai analízis feladatgyűjtemény, Líceum Kiadó, Eger, 1998. [Rudin] Walter Rudin: A matematikai analízis alapjai, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1978. [SzL-H&f] Székelyhidi László: Halmazok és függvények (Híd a felsőbb matematikához), Palotadoktor Bt., 2008. 3

A tananyag számonkérése A tantárgy teljesítéséhez gyakorlati és kollokviumi jegyet kell szerezni. A korábban ebből a tantárgyból megszerzett gyakorlati jegyek természetesen érvényesek. A gyakorlat teljesítése: A gyakorlatok tananyagát a gyakorlatvezetők határozzák meg (a fentiekben javasolt tematika figyelembe vételével). A gyakorlatokon az aktív (!) részvétel kötelező (a gyakorlatvezetők a gyakorlatokon rendszeresen bevonják a feladatok megoldásába a jelenlévő hallgatókat és nyilvántartják a hiányzásokat; háromnál több igazolatlan hiányzás esetén illetve abban az esetben, ha a hallgató felkészületlensége miatt több esetben nem tud vagy nem akar közreműködni a feladatok megoldásában megtagadják az aláírást). A gyakorlati jegy megszerzéséhez két dolgozatot kell megírni (ez alól a hiányzás igazolása sem mentesít, igazolt távolmaradás esetén pótdolgozat írandó). Dolgozatonként legfeljebb 25 pont, összesen maimum 50 pont szerezhető. A gyakorlatokon új vagy nehezebb feladatok megoldásának bemutatásáért a gyakorlatvezető a hallgatónak a félév folyamán összesen legfeljebb 10 szorgalmi pontot adhat, amit a gyakorlati jegy megállapításakor hozzáadunk a dolgozatok összpontszámához. A dolgozatban szorgalmi feladatként adott problémák kidolgozásáért szerezhető többletpontok a dolgozat pontszámába beszámíthatók, de így is dolgozatonként legfeljebb 25 pont adható (a dolgozat szorgalmi feladatainak megoldásáért járó, de a dolgozat pontszámába a maimum elérése miatt be nem számítható többletpontok a féléves maimum 10 pontos szorgalmi pontszámba számíthatók be). A dolgozatokat az erre kijelölt időpontokban (az előadás helyén és idősávjában) kell megírni: október 26. csütörtök 10.00, M 426: első dolgozat; december 7. csütörtök 10.00, M 426: második dolgozat; december 18. hétfő 10.00, M 426 1 : javító dolgozat (opcionális). A javító dolgozat alkalmával lehetőséget adunk valamelyik dolgozat újraírására vagy pótlására (minden hallgató az igazolt hiányzások miatt szervezett pótlástól eltekintve legfeljebb egy dolgozatot javíthat vagy pótolhat). Az újraírt dolgozat eredeti pontszámát töröljük és az új pontszámmal helyettesítjük (függetlenül attól, hogy melyik a nagyobb). A felkészülést segítik a következő oldalakon található mintadolgozatok is. A gyakorlati jegy megállapítása: 0 20 pont... 1 21 27 pont... 2 28 35 pont... 3 36 43 pont... 4 44 50+ pont... 5 1 A teremfoglalás csak a vizsgahirdetési időszakban lesz véglegesítve. 4

Halmazok és függvények 1. mintadolgozat (október 26., csütörtök 10:00, M 426) Az alábbi feladatok összpontszáma 25, megoldási idő 100 perc. használható. Feladatok Tankönyv, jegyzet nem 1. Igazolja, hogy tetszőleges A, B, C halmazok esetén A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) (3 pont) 2. Igazolja, hogy ha X, Y halmazok, f : X Y akkor minden A, B Y esetén f 1 (A \ B) = f 1 (A) \ f 1 (B). (3 pont) 3. Legyen R [0, 1] [0, 1] az alábbi módon értelmezett reláció: (, y) R (azaz Ry) pontosan akkor, ha 4 6y 9. Döntse el, hogy R függvény-e, refleív-e, szimmetrikus-e, illetve tranzitív-e! (1+1+2+2=6 pont) 4. Igazolja, hogy ha f függvény és g f, akkor g is függvény! (2 pont) 5. Injektív-e az alábbi módon megadott függvény: f() = 1 + + 2(1 + ) ( R)? Ha igen, adja meg f inverzét! (3 pont) 6. Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenlőtlenségeket! 1 + 4 3; 2 5 + 4 0; 1 1 2 1. (3+2+3=8 pont) 7. Szorgalmi feladat: Legyen f : X Y. Igazolja, hogy az f függvény akkor és csak akkor injektív, ha létezik g : Y X úgy, hogy minden X esetén g(f()) = teljesül! (5 pont) 5

Halmazok és függvények 2. mintadolgozat (december 7., csütörtök, 10:00, M 426) Az alábbi feladatok összpontszáma 25, megoldási idő 100 perc. használható. Feladatok Tankönyv, jegyzet nem 1. Igazolja, hogy tetszőleges, y R esetén ( )y = y! (2 pont) 2. Igazolja, hogy ha, y R, 0 < < y, akkor 3. Igazolja, hogy minden n N esetén 1 y < 1 teljesül! (5 pont) k 2 = n(n + 1)(2n + 1) 6! (4 pont) 4. Igazolja, hogy [n, + [=! n=1 (4 pont) 5. Igazolja, hogy ha 0 < R és 2 = 3, akkor / Q! (5 pont) 6. Igazolja, hogy bármely, y, z [0, + [ esetén 8yz ( + y)(y + z)( + z)! (5 pont) 7. Szorgalmi feladat: Igazolja, hogy minden n pozitív egész számra 2 k(k + 1)(k + 2) = 1 2 1 (n + 1)(n + 2), 2 (k + 1) < 1 3 2 és 1 k 3 < 5 4 teljesül! (2+2+1=5 pont) { } 3n + 4 8. Szorgalmi feladat: Legyen H = n + 2 n N. Meghatározandó inf H és sup H. Létezik-e min H illetve ma H? (1+2+1+1=5 pont) 6

A gyakorlatokra ajánlott feladatok A dolgozatok előtt egyéni felkészülésre ajánlottak a mintadolgozatok feladatsorai. A gyakorlatokra ajánlottak az ajánlott példatárak tananyaghoz illeszkedő feladatai, különösen az alábbiak (a * szimbólummal megjelölt feladatok szorgalmi feladatnak tekintendők): [BM-Ap]: 1 6., 7.*, 11 12., 13.*, 14.*, 15 18., 19.*, 20.*, 21 33., 35.*, 36.*, 37., 38.*, 39.*, 40.*, 41.*, 42., 43.*, 44 49., 51 52., 57 59., 60.*, 61.*, 62.*, 63.*, 64.*, 65.*, 66.*, 67 68., 69.*, 70.*, 71.*, 72.* feladatok; [BZ-Ha]: 1.39. Példák (2-5.) vizsgálata (részbenrendezés-e, rendezés-e, jólrendezés-e, teljes-e). Az érvelésekben felhasználható az 1. példa, vagyis az, hogy (R, ) teljes rendezett halmaz, amelyben R sem alulról, sem felülről nem korlátos. Vizsgálandók továbbá azok az esetek, amikor a 2. és 5. példában R helyett N szerepel (felhasználva, hogy (N, ) jólrendezett halmaz). [LK-K1p]: I. 1 11., II. 1 12. feladatok. További gyakorló feladatok: 1. Jelölje X Y azt, hogy az X és Y halmazok egyenlő számosságúak, illetve jelölje H X az f: X H függvények halmazát! Igazolja, hogy ha A C és B D, akkor A B C D és B A D C. 2. Határozza meg a valós számok azon legbővebb részhalmazát, amelyen az f függvény az alábbi képlettel értelmezhető! Határozza meg f értékkészletét! Vizsgálja meg, hogy f injektív-e, és ha annak bizonyul, határozza meg az inverzét! f() = 2 +, f() = 1, f() = 5 + 4 2, f() = 3 + 1 + 2 1 3, f() =, f() =. 1 + 2 + 1 + 1 2 3. Határozza meg az alábbi egyenlőtlenségek valós megoldásainak halmazát: + 2 + 3 9, + 2 + 2 3 5, + 1 5 2, 6 2 2 4 + 5, 2 + < 1, 12 4 2 + 5, 1 2, 2 1 + + 1 1, 4. Igazolja, hogy minden n pozitív egész számra 2 n 1 k n 2n 1 2 + 1, 1 k k 1 + ( 2) n 1 1 ( 2) n 1 ( 2 1) 5. Legyen H 1 = { n } 2n + 1 n N 2 1 + 5 + 1. és 1 k k < 1 + 1 2 1. { és H 2 = s + 4s } s ]0, + [ Q. Meghatározandó inf H j és sup H j. Létezik-e min H j illetve ma H j (j = 1, 2)? [Jelölés: inf H = ha H alulról nem korlátos, illetve sup H = + ha H felülről nem korlátos]. 6. Határozza meg az alábbi komple számok valós részét, képzetes részét és abszolút értékét: 1 + i 1 i, 3 2 i + 7i 1 + 2i, ( 3 + i) 2017 ( 3 i) 2017. 7

További nehezebb (elméleti) feladatok: 1. Igazolja, hogy a Zorn-lemma (amit Kuratowski Zorn-lemmaként is szoktak említeni) ekvivalens a Hausdorff-féle maimum-elvvel! 2. Igazolja, hogy a Hausdorff-féle maimum-elvből következik Zermelo jólrendezhetőségi tétele! 3. Igazolja, bármely két jólrendezett halmaz közül az egyik beágyazható a másikba (beágyazáson injektív, szigorúan monoton növekvő leképezést értünk)! 4. Adjon példát olyan rendezett testre, amelyikben a természetes számok halmaza felülről korlátos! 5. Tegyük fel, hogy az (F,, +, ) rendezett testben a természetes számok halmaza (a legszűkebb induktív halmaz) felülről nem korlátos, továbbá a n, b n F, esetén n N a n a n+1 b n+1 b n (n N) [a n, b n ]. Igazolja, hogy a rendezés teljes! Az elméleti vizsga teljesítése Beszámoló nehezebb elméleti feladatok megoldásából: Aki a szorgalmi időszak alatt kidolgozza legalább két nehezebb elméleti feladat (a fentiek, valamint [BM-Ap]: 40., 41., 61.(iv), 62.(iii),(v)) megoldását és azt (másolatban) eljuttatja az előadóhoz, jelentkezhet beszámolóra (a szorgalmi időszak vége előtt). A külön egyeztetett időpontban szervezett beszámolón a hallgató szóban is bemutatja a megoldását. Ennek során a feladatban szereplő fogalmakkal és a gondolatmenetben felhasznált tételekkel, állításokkal kapcsolatban néhány kérdésre is válaszolnia kell (a tananyag egyéb fejezeteiből nem kell külön készülni). Sikeres beszámoló esetén az előadó megajánlott jegyet jegyez be (jeles vagy jó vizsgajegyet, a teljesítmény függvényében). Amennyiben a beadott megoldás nem áttekinthető vagy erősen hiányos, a beszámolóra jelentkezést az előadó elutasíthatja. Elutasított vagy sikertelen beszámolót követően (illetve a hallgató által el nem fogadott megajánlott jegy esetén) is letehető a rendes szóbeli vizsga (kollokvium). Az elméleti vizsga (kollokvium) szabályai: A kollokvium szóbeli, tételhúzással, írásbeli felkészüléssel. A tételsor ezen tájékoztató utolsó oldalán található. A tétel-lapokon megjelölt tétel(eke)t (két rövidebb vagy egy terjedelmesebb témakört) kell kidolgozni az írásbeli felkészülés során. Elvárható, hogy a vizsgázó az ismertetett fogalmakat példákon is be tudja mutatni. A tétel kidolgozása során a bizonyítások leírására vagy felvázolására (majd részletesebb szóbeli ismertetésére) is törekedjenek! Természetesen a hosszabb, összetettebb bizonyítások ismerete csak a jeles illetve (részben) a jó érdemjegy megszerzéséhez követelhető meg. A vizsga során a felkészültség minél pontosabb felmérése érdekében a kihúzott tétel áttekintése mellett a tananyag más részeiből (a többi tétel anyagából) is kapnak kérdéseket (fogalmakra, alapvető tételekre vonatkozóan). A felkészülés folyamán különösen ügyeljenek az alább felsorolt alapvető fogalmak (definíciók) illetve tételek pontos megtanulására, mivel ezek hibátlan ismertetése (a kihúzott vizsgatétel témakörében illetve a vizsga során feltett kérdésre válaszolva) elengedhetetlen a kollokvium sikeréhez! 8

Alapfogalmak Tartalmazás, egyenlőség halmazok között. Halmazműveletek. Két halmaz Descartes-szorzata; reláció, függvény. Halmaz reláció általi képe, reláció (ill. függvény) értelmezési tartománya, értékkészlete. Injektív, szürjektív, bijektív függvény. Halmazok számosságának összehasonlítása (egyenlő, kisebb vagy egyenlő, kisebb). A (részben-) rendezett halmaz aiómái. Alulról/felülről korlátos halmaz, minimum, maimum, (pontos) alsó/felső korlát. Teljes (részben-) rendezett halmaz. A valós számok aióma-rendszere (testaiómák, rendezési aiómák, a műveletek kapcsolata a rendezéssel, teljesség). Természetes, egész és racionális számok; egész rész, abszolút érték. Az n-edik gyök fogalma; racionális kitevőjű hatványok. Komple számok (alaphalmaz, műveletek); komple szám valós/képzetes része, abszolút értéke. KOLLOKVIUMI TÉTELEK 1. Halmazműveletek (unió, metszet, különbség, komplementer, hatványhalmaz) és azonosságaik; tartalmazás és egyenlőség. 2. Rendezett elempár, két halmaz Descartes-szorzata; kapcsolat a tartalmazással és a műveletekkel. Reláció fogalma, jelölése. Relációk inverze és kompozíciója. Halmaz reláció általi képe és kapcsolata a halmazműveletekkel. 3. Függvény fogalma, megadása. Függvények kompozíciója. Halmaz függvény általi képe illetve ősképe és kapcsolata a halmazműveletekkel. Injektív, szürjektív, bijektív függvény. Indeelt halmaz-család. 4. Az ekvivalencia-reláció fogalma és kapcsolata az osztályozással. Példák. 5. (Részben)rendezett halmazok; alsó/felső korlát, minimális/maimális elem, minimum, maimum, infimum, supremum, teljesség; példák. Intervallumok. Jólrendezett halmazok. A kiválasztási aióma és ekvivalens alakjai. 6. Tarski-féle fipont-tétel. Halmazok számossága; Schröder Bernstein-tétel, Cantor-tétel. 7. A valós számok aióma-rendszere; testaiómák, a műveletek monotonitása, a (teljes) rendezett test fogalma; a testaiómák következményei; rendezett testek tulajdonságai (pl. 0 < 1). 8. Az abszolút érték és tulajdonságai. A Dedekind-tétel és a Cantor-féle metszet-tétel. 9. Természetes számok. Archimédeszi tulajdonság. Teljes indukció és a rekurzív definíció elve. Véges sok valós szám összege, szorzata. A binomiális tétel és a Bernoulliegyenlőtlenség. 10. Egész és racionális számok. Az egész rész függvény. A racionális számok sűrűsége. A valós számok halmazának meghatározottsága. A p-adikus törtek. 11. Hatványozás. Az n-edik gyök létezése, azonosságai. Racionális kitevőjű hatványok és azonosságaik. Nevezetes egyenlőtlenségek. 12. A komple számok halmaza; a komple abszolút érték. 13. Számhalmazok számossága. 9