I ALAPFOGALMAK I BEVEZETİ Jelölése: K: véletle ísérlet, ω : elem eseméy, { : } Ω= ω : eseméytér, F Ω : eseméyalgebra, A F : eseméy, Ω F : bztos eseméy Mővelete eseméyeel: összegzés: A+B (halmazuó), szorzás: AB (halmazmetszet), egálás: A =Ω \ A, voás (dffereca): A \ B= AB, szmmetrus dffereca: A4B=(A\B)+(B\A) Két eseméy acsolata: A maga utá voja B-t ( A B ), A és B zárjá egymást (dszjuta) ( AB= ) (D) Teljes eseméyredszer: Az A eseméye ~t alota, ha ároét dszjuta ( j: AA j= ) és összegü a bztos eseméy ( A =Ω ) (A) F ú σ-algebrát alot: azaz eleme a bztos eseméy ( Ω F ), és zárt az összegzés és a egálás mőveletere (vagys bármely elemée a egáltja és bármely elemee az összege s eleme) (D) P valószíőség: P: F [,] úgy, hogy a bztos eseméy valószíősége (P(Ω)=), és ároét dszjut eseméye eseté P az összeadásra homomorf (mővelettartó), azaz eze összegée valószíősége a valószíőségü összegével egyelı, tehát: A F, j: AA j = = P A P( A ) (T) P tulajdosága: P( A) P( A) =, A B P( A) P( B), P( A \ B) P( A) P( AB) = + (T) Pocare-tétel: P A = ( ) P A j = = j< j < < j = (szeml: szta -módszer) (T) Boole-egyelıtleség(e): P A P( A), ll P A P( A) = = = = (T) Folytoosság tétel(e): + Z : A F és A A+ P A = lm P( A), = + Z : B F és B B+ P B = lm P( B) = Ω,F,P hármast a (D) Kolmogorov-féle valószíőség mezı: A fet tulajdoságoa megfelelı K véletle ísérlethez tartozó ~e evezzü Ω,F,P hármas mdg Kolmogorov-féle valószíőség mezıt jelöl (hogy Megjegyzés: Ietıl a e ellje mdg ír) I KLASSZIKUS VALÓSZÍNŐSÉG #A Ω {,,, } és # véges, : P, F= A F eseté P( A) Ω= ω ω ω Ω= ω = = = # Ω Szemléletese: véges so elem eseméy va, eze valószíősége megegyez, és mde eseméy megfgyelhetı Leggyaorbb esete: ocadobás, ézfeldobás, ártyahúzás, lottóhúzás, FELADATOK MEGOLDÁSA: A feladatoba szövegese defált eseméye valószíőségét ell számol Ehhez meg ell határozu az elem eseméye számát (Ω számosságát), majd az A eseméyhalmaz számosságát Ez utóbbt ombatora módszere haszálatával öyíthetjü meg (smételjü át ezzel acsolatos smereteet) Fgyeljü arra, hogy esetszétválasztásál semmt e hagyju, és semmt e számolju étszer Néha l a omlemeter eseméy számosságáa meghatározása léyegese egyszerőbb; ezt, és az ehhez hasoló trüöet célszerő észreve - -
I3 GEOMETRIAI VALÓSZÍNŐSÉG Ω egy véges területő síbel alazat (Vezessü be az m() területfüggvéyt, amely egy alazathoz egy véges értéet redel, ameybe az mérhetı területő!) F eleme az Ω mérhetı területő része m( A) A F eseté P( A) =, vagys A és Ω területée aráya m Ω Leggyaorbb esete: Két folytoos értéő araméterrel leírható véletle ísérlete Pl: ét tetszılegese választott és özé esı valós szám, FELADATOK MEGOLDÁSA: A szöveges secfácó alajá észítsü rajzot Ω-ról és a eresett A eseméye megfelelı alazatról Egy boyolult alazat területée a számításához (egyszerő alazat területét ráézésre megállaítju) vegyü fel egy oordátaredszert, amelybe határozzu meg az alazato határvoalat leíró függvéyeet és eze segítségével tegrálással aju meg a eresett területet (tegrál tud ell) Összetett alazatoat darabolju szét egyszerőbbere, és ezere egyeét alalmazzu a fet módszert Ha meghatároztu A és Ω területét, aor már csa a életet ell haszál A omlemeteres trü éha tt s bejöhet I4 FELTÉTELES VALÓSZÍNŐSÉG (D) Feltételes valószíőség: A,B F és P( B) P( AB) PB( A) = P( A B) = Szemléletese: ha tudju hogy B beövetezett, aor az A eseméy P( B) beövetezésée a valószíősége PB( A ) (T) A feltételes valószíőség tulajdosága: Csa szemléletese: a P B feltételes valószíőség otosa úgy vseled, mt a P valószíőség azzal az eyhítéssel, hogy mde Ω helyébe B írható (de em ötelezı) Vagys mde P-re voatozó formula átírható P B -re > esté az A eseméye a B-re voatoztatott ~e: (D) Függetleség: A, B F eseté az A és B eseméye függetlee ha P( AB) = P( A) P( B) (T) A függetleség tulajdosága: ) Ha A és B eseméye függetlee A,Bs függetlee (reurzíve: A,B és A,B s) ) Ha P( A) {,} B F eseté A és B függetlee (D) Az A {,,} F eseméye ároét függetlee, ha j eseté A és A j függetlee { },, (D) Az A {,,} F eseméye teljese függetlee, ha I eseté P( A ) = P A, vagys özülü tetszılegese választott eseméye függetlee I I {,,} (T) Ha A {,,} F eseméye teljese függetlee I eseté a B {,,} eseméye s teljese függetlee, ahol: B A ha I = A, ha I Szemléletese: özülü tetszılegese választott eseméyeet az elletettjüre cserélve (megegálva) az eseméye továbbra s teljese függetlee marada A FELTÉTELES VALÓSZÍNŐSÉGGEL KAPCSOLATOS FONTOS TÉTELEK: (T) Teljes valószíőség tétel: Ha A = eseméy P( B) P( B A ) P( A ) F teljes eseméyredszer, P( A ) > és B F tetszıleges Szemléletese a teljes valószíőség tétele azt állítja, hogy egy B eseméy valószíőségét úgy s megállaíthatju, hogy a bztos eseméyt feldarabolju (legfeljebb megszámlálhatóa végtele darabra), és a B eseméye eze darabora számított feltételes valószíőséget összeadju - -
(T) Bayes-tétel: Ha P A B A P( A) P( A ) P B A = P B A F teljes eseméyredszer, P( A ) > és B F P B >, A Bayes-tétel tulajdoée a teljes valószíőség tétele egy cst átalaított alaja A feladattól függ, hogy a ettı özül melyet csélszerő haszál, vagys hogy mely életbe szerelı valószíősége értéét egyszerőbb számol az adott feladatba > = (T) Szorzás szabály: Ha A {,,} F eseméyere teljesül, hogy P A P A = P( A) P A A j = = j= Csa aor célszerő haszál, ha a feladat szövegezése matt a fet feltételes valószíőségeet agyo öyő számol A FELTÉTELES VALÓSZÍNŐSÉGGEL KAPCSOLATOS FELADATOK MEGOLDÁSA: A feladato általába olyao, hogy meg va adva éháy eseméy, éháy valószíőség, esetleg az eseméye egymáshoz való vszoya (függetlee, egymást zárjá, A maga utá voja B-t), és ezebıl ell mdeféle egyéb valószíőségeet számol Kezdjü azzal, hogy az eseméye egymáshoz való vszoyaból (feltéve ha volt lye megadva) egyeleteet íru fel: P AB = P A P B A és B függetlee A és B zárjá egymást P( AB) = A maga utá voja B-t P( A) P( B) és P( AB) = P( A) Ezutá ézzü meg, hogy a eresett valószíőséget mlye élettel tudju felír Pl: P( AB) P( A+ B) = P( A) + P( B) P( AB) vagy P( A B) = Ehhez agy segítség lehet, ha az P B eseméye vszoyát s halmazos ábrával szemléltetjü magua Így ezeet a életeet sem agyo ell megjegyez (em mtha olya eheze leée), mert a rajzról tsztá leolvasható De azért agy öyebbség, ha észrevesszü, hogy hol lehet a fet tétele valamelyét haszál Végül a már smert valószíősége értéét írju be, a még em smerteet edg a fet módszerrel róbálju továbbota (-3 léésél többre általába cs szüség) Nézzü egy éldát: Legyee A, B, C teljese függetle eseméye, P( A) = P( B) =, Keressü a övetezıet: P( A B+ C ) =?, P( B A4B ) =?, Megoldás: P A A C? + = és A, B, C teljese függetlee P( AB) = P( A) P( B) = 4, P( AC) P( A) P( C) 3 P( BC) = P( B) P( C) = 3 és P( ABC) = P( A) P( B) P( C) = 6 P( AB+ AC) P( AB) + P( AC) P 5 ( ABC) 4+ 3 6 P( A B+ C) = = = = = 5 P( B+ C) P( B) + P( C) P( BC) + 3 3 6 ( ) P( B A4B) ( + AB) + + P( A( A+ C) ) P( A ) 3 P( A A+ C) = = = = P( A+ C) P( A) + P( C) P( AC) + 5 = =, 4 4 P ABC =? P B A4B P B \ A P B P AB = = = = = = P A4B P AB P A P B P AB 3 3 P C = 5 = = 6 P( ABC) P( ABC) 3-3 -
II VALÓSZÍNŐSÉGI VÁLTOZÓK II VALÓSZÍNŐSÉGI VÁLTOZÓ ELOSZLÁSFÜGGVÉNE (D) Valószíőség változó: Az :Ω R fv-t valószíőség változóa evezzü, ha t R : A= ω: ω < t F, azaz mde lye A megfgyelhetı eseméy (Az A eseméyt a t- { } hez tartozó ívóeseméye evezzü) Megjegyzés: A valószíőség változóat azért vezetjü be, hogy a ezdetbe bevezetett módszert egy olyaal váltsu fel, amely boyolultabb feladatoál soal éyelmesebbe ezelhetı (mt azt ésıbb lát fogju) Ietıl a valószíőség változó helyett a vv rövdítést haszálom F : R,, ahol (D) Eloszlásfüggvéy: Az vv eloszlásfüggvéye [ ] F ( t) P A { : t} = = ω ω <, azaz F értée t-be a t-hez tartozó ívóeseméy valószíősége (T) F tulajdosága: u< v : F u F v ) ) F mooto ı ( ) F mde otjába balról folytoos ( u : lm F ( t) = F ( u) R ) t u lm F t = és lm F t = ) 3) Határértée a - be, a + be ( t t + (T) Kolmogorov: Mde a fet tulajdoságoat teljesítı F függvéyhez létez értelmes véletle ísérlet, és eze egyértelmőe meghatározzá egymást (T) Tetszıleges x<y esté: ) P( x < y) = F ( y) F ( x) ) P( x< < y) = F ( y) F ( x+ ) 3) P( x y) = F ( y+ ) F ( x) 4) P( x y) F ( y ) F ( x ) < = + + (D) Dszrét vv: Az vv dszrét, ha értéészlete legfeljebb megszámlálhatóa végtele számosságú ( E R, ahol #E ℵ ) Ietıl a dszrét vv helyett a dvv rövdítést haszálom ( { } ) (D) Az dvv eloszlása: { } P x P A : x = =,, = = ω ω =, ahol az A eseméy az x értéhez tartozó elem eseméye halmaza Természetese: és = (T) Az dvv eloszlásfüggvéye: F t = (D) Folytoos vv: Az vv folytoos, ha értéészlete otuum számosságú, és F eloszlásfüggvéye abszolút folytoos, azaz folytoos és legfeljebb véges so ot vételével dfferecálható Ietıl a folytoos vv helyett az fvv rövdítést haszálom (D) Az fvv sőrőségfüggvéye: Az fvv F eloszlásfv-e az abszolút folytoosság x tulajdosága matt felírható x < t (T) A sőrőségfv tulajdosága: f( t) és II VALÓSZÍNŐSÉGI VÁLTOZÓK TRANSZFORMÁCIÓI F x = f t dt alaba, ahol f az fvv sőrőségfv-e + f t dt= Dszrét-dszrét traszformácó: Legye, dvv, g : E E P( = y) = P( = x) x : g x = y és g = Eor: Szemléletese: az -hez tartozó véletle ísérlet eseméyterét egyértelmőe (em feltétleül egyegyértelmőe) leéezem egy új, az -hoz tartozó véletle ísérlet eseméyterére - 4 -
Folytoos-dszrét traszformácó (dszretzácó): Legye fvv és = [ ) = =+ Eor = y : [ u,u ) dvv és u és u + R u, u +, ahol u u = P = y = f t dt Szemléletese: A valós számo halmazát legfeljebb megszámlálhatóa végtele számosságú tervallumra artícoálom (vagys a artícó dszjuta és lefed a teljes halmazt) és az egyes tervallumohoz egy véletle ísérlet elem eseméyet redelem, ahol eze elem eseméye valószíősége a hozzáju tartozó tervallumba esés valószíőségével egyelı T: Nem agyo ell! Folytoos-folytoos traszformácó: Legye fvv és T : R R dffható és vertálható és T f t f T t d = T t = Eor: fvv és dt T: Ezt agyo ell tud! Az ezzel acsolatos feladato általába olyao, hogy: adott egy F eloszlásfv-ő fvv (ha em az eloszlásfv va megadva, haem modju a sőrőségfv, aor abból számíthatju az eloszlásfvt) és = g, tehát l: = Keressü az F eloszlásfv-t A megoldás meete: eressü az F ( t) = P( < t) eloszlásfv-t helyére beírju F ( t) P( g t) értéét az F ( t) = P( < t) eloszlásfv felhaszálásával Modju a fet éldába: g -et: = < és a zárójele belül fejezést átredezzü -re, majd leolvassu a fejezés F t = P < t = P < t+ = P t+ < < t+ = F t+ F t+ Az alább ét tétel a fete secáls esete: U, F y egy szgorúa mooto övevı eloszlásfv azo az (T) Ha fvv és tervallumo, ahol < F( y) <, aor az = F vv eloszlásfv-e ée F y lesz Vagys a tétel az állítja, hogy ha a [,] tervallumo egyeletes eloszlású vv-t behelyettesítü egy egyértelmőe vertálható eloszlásfv verzée életébe, aor ée egy lye eloszlású valószíőség változót au eredméyül F t eloszlásfv-e szgorúa mooto övevı azo az tervallumo, ahol (T) Ha az vv < F ( t) <, aor az = F vv-ra teljesül, hogy: U(,) Vagys ha egy a feltételee megfelelı eloszlásfv-el redelezı valószíőség változót behelyettesítü a saját eloszlásfüggvéyébe, aor ée a [,] tervallumo egyeletes eloszlást aju eredméyül A fet tétele elmélet jeletısége az, hogy segítségüel bármely smert eloszlásfüggvéyő vv szmulálható (l számítógé segítségével) A feladatoba dıt yerhetü vele, ha em ell véggvezetü a számítást, mert ésszrevesszü, hogy a fet tétele valamelye alalmazható II3 VÁRHATÓ ÉRTÉK (D) Várható érté (-örül elsı mometum): Az vv várható értéét E{ } -el jelöljü Az dvv-a létez a várható értée, ha x P( = x) < Eor E{ } = xp( = x) x + Az fvv-a létez a várható értée, ha x f ( x) dx< Eor { } x + E xf x dx = Szemléletese: az egyes x értéehez tartozó valószíőséget a -tól való elıjeles távolság elsı hatváyával (azaz x-el) súlyozzu Ezért evezzü a várható értéet a -örül elsı mometuma A várható érté fogalma erıs árhuzamba állítható a tömegözéot fza fogalmával - 5 -
(T) Legye vv, g : R R és = g Eor ha vv és: g x P = x < E = g x P = x ) dszrét esetbe: ha { } x + ) folytoos esetbe: ha g ( x ) f ( x) dx< { } x + E = g x f x dx< (K) Ha az vv-a létez a várható értée, aor az =a+b vv-a s létez a várható értée, és E{ } = ae{ } + b Szemléletese: az E {} várhatóérté-ézés leárs oerátor (T) Az E {} oerátor dvv- eseté az összeadásra homomorf (mővelettartó), azaz: ha, dvv és létez a várható értéü, aor: E{ + } = E{ } + E{ } C (D) Cetralzált: Az vv cetralzáltja az E{ } = vv, szemléletese: özéotját a -ba tolju Trváls övetezméy, hogy a cetralzált vv várható értée mdg ( E{ C } = ) (T) Marov-egyelıtleség: Ha II4 SZÓRÁSNÉGZET (D) -ed mometum: Az vv ~á az vv és E{ } δ> : P( ) (D) Szóráségyzet (a várható érté örül másod mometum): δ E{ } = vv várható értéét értjü { } { E } { } Az vv-a létez a szóráségyzete (varacája), ha az E{ } értée szóráségyzetét σ { } -el jelöljü Tehát: { } E E{ } δ µ = vv-a létez a várható σ = Vagys az vv szóráségyzete az cetralzáltjáa a másod mometuma Szemléletese: az egyes x értéehez tartozó valószíőséget a várható értétıl való elıjeles távolság másod hatváyával (azaz x E{ } -el) súlyozzu Ezért evezzü a szóráségyzetet a várható érté örül másod mometuma A szóráségyzet fogalma erıs árhuzamba állítható a tehetetleség yomaté fza fogalmával, am é a tömegözéot örül másod mometum (T) A szóráségyzet tulajdosága: a, b R : σ a+ b = a σ ) Ha vv és σ { } { } { } ) { } P E{ } σ = = =, vagys csa a ostas vv szóráségyzete (D) Szórás: Az vv szórása a szóráségyzetée oztív égyzetgyöe: { } { } σ =+ σ (T) Steer-tétel: a R : µ { a} =σ { } + E{ } a v { } Secálsa a = eseté: { } { } { } { } { } σ = E a E a σ = E E (általába ezzel számolju a szóráségyzetet) Megjegyzés: ez a tétel egy az egybe megfelel a fzából tault Steer-tétele a R : σ µ a, vagys mde vv-ra gaz, hogy egy (K) Ha vv és σ { }, aor { } { } tetszıleges érté örül másod mometuma aor mmáls, ha ez az érté é a várható ertée C S E{ } (D) Stadardzált: Az vv stadardzáltja az = = vv, szemléletese: σ σ özéotját a -ba tolju és egységy szórásúra zsugorítju Trváls övetezméy, hogy a S σ = ) stadardzált vv várható értée mdg ( E{ S } { } { } = ) és a szóráségyzete mdg ( { } σ ε> ( ε) ε (T) Csebsev-egyelıtleség: Ha vv és σ { } < : P E{ } { } - 6 -
II5 NEVEZETES VALÓSZÍNŐSÉGI VÁLTOZÓK ) Kostas dvv ω Ω : ( ω ) = c P( = c, t c ) = ; F ( t ) = { ; E{ } = c; σ { } =, t> c ) Idátor dvv ( IA ) Legye A F és = P( A) > Eor az IA az A-hoz tartozó dátor vv, ha: ( ω ) = {, ω A, ω A P( ) ; P( ) ; E{ } ; { } ( ) = = = = = σ = 3) Egyeletes eloszlású dvv Az Ω= { ω {,,} } és P( A= { ω } ) = véletle ísérlethez tartozó ( ω ) = dvv araméterő egyeletes eloszlású dvv, amelyre:, t + P( = ) = ; F =, < t + ; E{ } = ; σ { } =, t> = 4) Egyeletes eloszlású fvv ( U( [ a,b] ) ) Az fvv az [a,b] tervallumo egyeletes eloszlású, ha eloszlásfüggvéye:, x a x a F ( x ) = b a, a< x b Eor: a b b a b a, x a,b + f x = ; E, x> b { } = ; σ { } =, x a, b 5) Bomáls eloszlású dvv ( B(,), ahol és (,) ) { },, : { } = P = = ; E = ; σ { } = ( ) * { = } = = ( + ) (T) max P, vagys értée legagyobb valószíőséggel * Tus esete(): Legye egy véletle ísérletbe A F egy oztív valószíőségő eseméy = P A ) Hajtsu végre a ísérletet -szer egymástól függetleül, és jelölje az A eseméy ( beövetezésée számát a ísérletsorozatba! 6) Posso-eloszlású dvv ( Po λ, ahol λ> ) λ λ N : = P( = ) = e ; E{ } =λ; σ { } =λ! B, lm = Po λ, vagys a Posso-eloszlás az, (T) Legye Eor,, λ, araméterő bomáls eloszlás határesete, ha tart végtelebe, tart -hoz, de úgy, hogy özbe a szorzatu λ Tus esete(): Az elızı tétel alajá olya szeres ísérletsorozato, ahol az agyo agy, ellebe a megfgyelt eseméy valószíősége agyo cs Pl: ögylosságo száma 7) Geometra eloszlású dvv ( G( ), ahol (,) ) + Z : = P( = ) = ( ) ; E{ } = ; σ { } = Z (T) A geometra eloszlás öröfjú tulajdosága: m, + : P( = m+ > m) = P( = ) Szemléletese azt jelet, hogy az dı múlásával az eseméy beövetezésée esélye em változa, tehát ha már egy órája dobálom a ocát, attól aa az esélye, hogy mostaatól ée harmadra dobo fejet, em változ - 7 -
Tus esete(): Egy ísérletet addg hajtsu végre, amíg a valószíőségő A eseméy be em övetez jelölje, hogy az A eseméy háyad ísérlet sorá övetezett be elıször Pl: addg dobju a ocával, amíg 6-ost em dobu 8) Exoecáls eloszlású fvv ( E λ, ahol λ> ) λx λx F ( x ) = e, x> { ; f( x ) = λ e, x> { ; E{ } = ; σ { } =, x, x λ λ (T) Az exoecáls eloszlás öröfjú tulajdosága: Az fvv-ra teljesül, hogy x, t : P x t x P t λ> : E λ > ( < + ) = ( < ) Vagys a tétel azt állítja, hogy az exoecáls eloszlású az egyetle fvv, amely öröfjú tulajdoságú, azaz aa a valószíősége -ba, hogy legfeljebb t-g él ugyaay, mt aa a valószíősége x-be, hogy legfeljebb x+t-g él Szemléletese: a túlélés odícó az dı múlásával em változa Tus esete(): Beredezése élettartalmáa vzsgálata, ahol λ a beredezés meghbásodás valószíősége 9) Hergeometra eloszlású dvv ( Hg( N,F, ), ahol F N és m{ F, N F} F N F ( ) < ) F F F N N : = P = = ; E{ } = ; σ { } = N N N N N F (T) Ha N, F, aor Hg( N, F,) B, N Tus esete(): Egy dobozba va N db golyó: ebbıl F db fehér és N-F db ros Vsszatevés élül húzu db golyót Mey eze özött a fehér? Ilye egyébét a lottóhúzás s: egy - Hg 9,5,5 P = értée adja találatos szelvéy töltésée a valószíőségét egy vv ) Normáls eloszlású fvv ( N (, ) ( x ) µ σ, ahol µ, σ R és σ> ) ( t ) µ x µ σ σ µ, σ µ, σ σ π σ π { } { } f x =ϕ x = e ; F x =Φ x = e dt; E =µ ; σ =σ Ha N(,), aor stadard ormáls eloszlású vv-ról beszélü, és: x f( x) =ϕ ( x) = e ; F ( x) =Φ ( x) = e dt; E{ } = ; σ { } = x π π (T) A φ(x) Gauss-függvéy tulajdosága: áros ( ( x) ( x) t ϕ =ϕ ), flexós helye a + és a -, maxmuma ϕ ( ) =, határértée a végtelebe lmϕ ( x) = lm ϕ ( x) = és ϕ ( x) = xϕ ( x) π x x x µ x µ Φ µ, σ x =Φ ; Φ x =Φµ, σ σ x +µ ; ϕ µ, σ x = ϕ ; ϕ x =σϕµ, σ σ x+µ σ σ σ Tus esete(): Aor haszálju, ha a feladatba megadjá, hogy ormáls eloszlásról va szó (T) - 8 -
DISZKRÉT VALÓSZÍNŐSÉGI VÁLTOZÓK: Név Jelölés Eloszlás Várható érté E{ } Szóráségyzet σ Kostas P( = c) = c Idátor I A P = = P = = Egyeletes P( = ) =, {,,} Bomáls B, és, P( = ) = ( ), {,,,} { } ( ) + ( ) Posso Po( λ) Geometra Hergemetra λ> G( ), Hg N,F, F< N és m F, N F { } λ λ P( = ) = e,! N = = P, + Z F N F ( = = ) N P, N λ λ F F F N N N FOLTONOS VALÓSZÍNŐSÉGI VÁLTOZÓK: Név Jelölés Eloszlásfv F Sőrőségfv f E{ } { } σ Egyeletes Exoecáls Normáls U a, b a< b E( λ) λ> N µ, σ σ>, x a x a, a < x < b b a, x b λx e, x>, x Φ x, x a,b b a, x a, b λ > λx e, x, x ( x) = ϕ ( t) dt µ, σ( x) µ, σ µ, σ ( x µ ) a b + λ b a λ σ ϕ = e µ σ σ π Std ormáls N(,) Φ ( x) = ϕ( t) dt ( x) x ϕ = e π x - 9 -
III VALÓSZÍNŐSÉGI VEKTORVÁLTOZÓK III VALÓSZÍNŐGSÉGI VÁLTOZÓK EGÜTTES ELOSZLÁSA (D) Valószíőség vetorváltozó: Az : ha ( ) R { } Ω R fv egy -dmezós valószívőség vetorváltozó, t= t,, t : A= ω: ω < t, F, azaz mde lye A megfgyelhetı eseméy (Az A eseméyt a t vetorhoz tartozó ívóeseméye evezzü) Megjegyzés: A valószíőség vetorváltozóat azért vezetjü be, hogy a vv- özött összefüggéseet éyelmese tudju ezel Ietıl a valószíőség vetorváltozó helyett a vvv rövdítést haszálom (T) vvv ha omoese vv (D) Együttes eloszlás és eloszlásfv: Az,,, vv- együttes eloszlásfüggvéye, vagy más = vvv eloszlásfüggvéye F : [,] éve az (,,, ) F ( t) P( A { : t, } ) R salár-vetor fv, ahol = = ω ω <, azaz F értée t-be a t-hez tartozó ívóeseméy valószíősége Megjegyzés: Az eloszlás és az eloszlásfv elméletleg egy cst mást jelet, de gyaorlatlag ugyaaz, hsze ölcsööse egyértelmőe meghatározzá egymást (T) F tulajdosága: ) F változójába mooto ı ( u v : F ( u) F ( v), ahol u v jeletése: : u v ) R ) ) F változójába balról folytoos ( u : lm F ( t) = F ( u) t u 3) Ha -e legalább egy omoesével a --be tartu, aor F értée lesz 4) Ha -e mde omoesével a +-be tartu, aor F értée lesz 5) Legye T : [ a,b) = [ a, b) [ a,b ) a, b) -dmezós tégla és {,} ε dmezós bárs vetor Eor: = ε - P x T = F aε+ b ε, vagys a téglala ε csúcsahoz tartozó eloszlásértée megfelelıe elıjelezett összege soha em egatív (Ez azért va így, mert ez az elıjeles összeg ée aa a valószíősége, hogy a vvv értée a téglateste belülre es, am em lehet egatív, hsze egy eseméy valószíősége) =,, egy -dmezós vvv és egy - (D) Vetület- vagy eremeloszlásfv: Ha ( ) e tetszıleges < omoesébıl álló vvv ( (,, ) = ), aor omoesee együttes eloszlásfüggvéyét az egy -dmezós vetület eloszlásfüggvéyée evezzü F t meghatározza az összes vetület eloszlásfüggvéyét (Fordítva általába em gaz!): (T) F ( : t ) lm F ( t) =, vagys az összes olya omoessel tartu a végtelebe, : t amely cs bee az -ba (D) Az vvv omoese ároét függetlee, ha j: F, ( t, t j) F ( t) F ( t j) =, j j vagys a bármely ét omoes met -dmezós eremeloszlásfüggvéye szorzata megegyez a ét omoes met -dmezós eremeloszlásfüggvéyel : F : t = F t, (D) Az vvv omoese teljese függetlee, ha : vagys a bármely < omoes met -dmezós eremeloszlásfüggvéye szorzata megegyez a omoes met -dmezós eremeloszlásfüggvéyel - -
(D) Dszrét vvv: dszrét vvv (rövde: dvvv), ha omoese dvv E = x, aor (D) Ha -dmezós dvvv omoesee értéészlete: { } r = P ( = x ) jelöl az dvvv =,, gaz, hogy: r és r = (D) Folytoos vvv: folytoos vvv (rövde: fvvv), ha f( t) (D) Az fvvv sőrőségfv-e: az a Rema-tegrálható f x = Trválsa gaz, hogy F x f t dt x értévetorához tartozó valószíőséget Trválsa sőrőségfüggvéye t fv, amelyre: t : f t és f( t) dt= (D) Az fvvv eremsőrőségfv-e: az eremeloszlásához tartozó sőrőségfv-t úgy aju f t sőrőségfv-t a eremeloszlás által em tartalmazott omoese szert meg, hogy az tıl + g tegrálju Az általáos élet csúya és áttethetetle, em írom le csa a étváltozós esetet: f u, v Eor az omoeshez tartozó Legye egy -dmezós fvvv sőrőségfv-e: f u f u, v dv eremsőrőségfv-e: = (T) Az fvvv omoese ároét függetlee ha j: f t, t = f t f t,, j j j j (T) Az fvvv omoese teljese függetlee ha : f : t = f t :, III NEVEZETES EGÜTTES ELOSZLÁSOK ) Polomáls eloszlású dvvv ( Pol(,,,, ) r +, ahol, r Z, > és r = ) = Alosso r = P A > legye Hajtsu végre egymástól függetleül -szer a K ísérletet, és jelölje az A eseméy beövetezésée számát ebbe a ísérletsorozatba Eor az vvv olomáls eloszlású: az,,, ) A,, A teljes eseméyredszert egy K véletle ísérletbe úgy, hogy omoese értéészlete az -tıl em agyobb természetes számo halmaza ( { } és az értée özött szoros összefüggés va: összegü ( = ) r r P : = =!, ahol = =! = Megjegyzés: A bomáls eloszlás a olomáls eloszlás secáls esete, ahol r=, a ét eseméy B,, vagys a olomáls eloszlású vvv omoese Továbbá: ( ) edg A és elletettje Továbbá: egyeét bomáls eloszlásúa Tus esete(): Hétszer dobtu a ocával, mey a valószíősége, hogy a dobott számo özött va legalább 3 hatos ) Polhergeometra eloszlású dvvv ( PHg(, F, F,, F) r = r, ahol, F + Z ; m{ F } ) Egy dobozba va F db c szíő golyó Ebbıl (vsszatevés élül) húzu db-ot Jelölje a íhúzott c szíő golyó számát Eor az vvv olhergeometra eloszlású, az,,, ) és omoese értéészlete az -tıl em agyobb természetes számo halmaza ( { } - -
az értée özött szoros összefüggés va: összegü ( = ) Továbbá: P( : ) = = r F = N ( ), ahol r = = Megjegyzés: A olomáls és a olhergeometra eloszláso bár agyo hasolítaa, léyeges ülöbség, hogy az elsıél az ísérletet egymástól függetleül hajtottu végre, mg tt mde ísérlet befolyásolja az utáa övetezıet, hsze vsszatevés élül húzu Tus esete(): Mey a valószíősége, hogy a 3 laos ártyaalból húzott la özött l otosa ét -es és ét ász va 3) D tartomáyo egyeletes eloszlású fvvv ( U( D) Legye -dmezós fvvv és D R, ahol térfogata véges Ha m ( D) f x, ha x D =, ha x D r = ) 4) -dmezós ormáls eloszlású fvvv ( N (, ) Általáosa: m D <, vagys a tartomáy -dmezós µ Σ, ahol T µ R ; Σ R oz szemdef) x t Σ x t x τ Σ x τ T f t = e ; F t = e dτ π det Σ π det Σ Secálsa -dmezós esetre: Eloszlásfv-e: µ ; µ= µ σ Σ= ρσσ ρσσ σ, ahol σ, σ > u µ u µ v µ v µ x y ρ + ρ σσ F, x, y e σ σ dvdu tehát a sőrőségfv-e: = πσσ ρ, u µ u µ v µ v µ ρ + ρ σ σσ σ f, u, v = e, πσσ ρ továbbá megmutatható, hogy: N ( µ, σ ) és N (, ) Tus feladat: Ha a sőrőségfv µ σ µ és Σ számítása adott sőrőségfv alajá ( ) B u m + C u m v m + D v m f, u, v = e alaba adott (vagy lye alara π A A C hozható), aor: µ = m ; µ = m ; ρ= ; σ = ; σ = 4+ A C ρ B ρ D Másrészt az s gaz, hogy az A, B, C, D aramétere özül bármely három meghatározza a egyedet Tehát lehet olya feladat (és szoott s le), hogy modju A értée em smert, B, C és D meg vaa adva, és ezebıl ell számol aármt Ilyeor az együttható egyeztetésével ρ a övetezı egyelete írható fel: ( ρ ) σ =, ( ρ ) σ =, ( ρ ) σσ = B D C Az elsı ét egyelet szorzatáa égyzetgyöét összeegyeztethetjü a 3 egyelettel aju, hogy: ρ C C = ρ= ( ρ ) = Ezt vsszaírva az eredet egyeletebe BD C BD 4BD megaju ρ, σ ésσ értéét, ezebıl edg A =σσ ρ - -
III3 VALÓSZÍNŐSÉGI VEKTORVÁLTOZÓK TRANSZFORMÁCIÓI (T) Legye olya -dmezós fvvv, hogy f ívül Legye továbbá u : D H x sőrőségfv-e eltő a D R tartomáyo R bjetív és dfferecálható traszformácó Eor az = u fvvv sőrőségfv-ét az alább módo számíthatju: y H ; ülöbe, ahol J y az u leéezés Jacob-mátrxa: J( y) ( ) f y = f u y det J y, ha = j, ahol j a,b a,b ua = y (T) Két fvv összegée (ülöbségée) eloszlása: Legye és fvv és jelölje f ( x, y ) eze együttes sőrőségfüggvéyét Eor a Z Ha és függetlee s, aor: Z, f x f t, x t dt = ± fvv sőrőségfv-e: f x f t f x t dt Z = =, am a ét sőrőségfv ovolúcója Pl: Normáls eloszláso ovolúcója: Ha N ( µ, σ ) és N (, ) µ σ, aor: + N µ +µ, σ +σ, vagys a várható értée és a szóráségyzete összeadóda (T) Két dvv összegée eloszlása: Ha és emegatív egészértéő dvv, aor a Z = + szté emegatív egészértéő dvv eloszlása: P( Z= ) = P( =α, = α) α=,, N eseté Ha és függetlee s, aor: P( Z= ) = P( =α ) P( = α) Pl: Posso-eloszláso ovolúcója: Ha és egymástól függetlee és Posso-eloszlásúa, Po, Po + Po λ+µ azaz ( λ) ( µ ), aor: (T) Legye -dmezós dvvv és g : α= = g dvv, eor: ha E{ } E{ } = g( x) P( = x) (T) Legye -dmezós fvvv és g : R R tetszıleges -változós valós fv Legye továbbá = g fvv, eor: ha { } { } x R R tetszıleges -változós valós fv Legye továbbá E E = g x f x dx (K) Tetszıleges vvv omoesere teljesül: E E{ } = (K) Ha, függetle vv- és létez a várható értéü, aor E{ } = E{ } E{ } (T) Ha, orrelálatla vv- és létez a szóráségyzetü, aor { } { } { } σ ± =σ +σ Megjegyzés: A fet éldá és ez utóbb tétele haszálata gyara megöyít az életüet a feladatmegoldáso sorá, tehát érdemes észbe tarta ıet! A VVV-K TRANSZFORMÁCIÓIVAL KAPCSOLATOS FELADATOK MEGOLDÁSA: Alafeladat, sma egyváltozós: U( 5,8), eressü az eloszlásfv-ét és sőrőségfv-ét Abból dulu, hogy t 5 = U( 5,8), tehát F ( t) = 3, ha t ( 5,8) (Elıtte, utáa természetese) Tehát: t F t = 5 = P( < t) = P( < t) = P( > ) = P( < ), ahol t ( 5,8) azaz: ( t 5 8 t t, ) Ie: = = P( < ) = F, vagys F ( t ), t (, ) t 8 5 3 t t 8 8t 3 3 t t 8 5 = = 3 3t b - 3 -
Ezt derválva aju a sőrőségfv-t: f ( t ) 8, t (, ) = + 3 t 8 5 Kovolúcós: Legyee, U(,) egymástól függetlee és Z= + Kérdés: f t Valószíőgés változó összegét ovolúcóval számolu, ehhez általáos esetbe ell az együttes f u, v = f u f v, vagys: sőrőségfüggvéy, de mvel a ét változó függetle, ezért f t = f τ, t τ dτ= f τ f t τ dτ Z,, Nylvá f( t) f( t), t (,) Ezért az tegrálást tartomáyoét ell elvégez: ( ) =, t, : f t Z t, : f t = dτ= t Z t, Z Az tegrálás határoat az döt el, hogy az f (, t ) Várható értées: f u, v u v, u, v,, t, : f t = dτ= t = =, ülöbe, Z t Z t, : f t = τ τ szorzat mor, vagys: <τ, τ< ), = + Kérdés: E{ + } Tudju, hogy mdeor: E{ + } = E{ } + E{ } Ezért számolju a eremsőrőségfv-eet (ugyebár a más változó szert tegrálással): [ ] = = + = + = +, hasolóa f v v f u f u, v dv u vdv u v v u, Ie: { } 3 3 4 7 E = tf t dt= t + tdt= t + t =, hasoolóa { } 7 7 7 E + = E + E = + = 6 Tehát: { } { } { } ) f ( u, v) 6u v, u, v (,), = Kérdés: { } E = + 7 E = β Csa a traszformácós életre ell emléez Legye: g ( α, β ) =, eor Z g(,) Ezért: { } v, u E Z = g u, v f u, v dudv= 6u vdudv= 6v dv= α = = III4 KOVARIANCIA (D) Kovaraca: Az, vv- ovaracája cov(, ) E{ ( E{ } )( E{ } )} C C Vagys a ovaraca a cetralzált vv- szorzatáa a várható értée: cov(,) E{ } =, ha létez = (T) cov(, ) = E{ } E{ } E{ } Megjegyzés: általába ezzel számolu ovaracát (T) Ha, függetlee, aor cov(, ) = Vsszafelé általába em gaz! (T) A ovaraca tulajdosága: cov, = cov,, vagys a ovaraca ommutatív ) ) cov(, ) { } =σ, hsze: 3) cov( α +β, Z) =α cov(, Z) +β cov(, Z) { } C { C } { } cov, = E =µ =σ Megjegyzés: Eze a tulajdoságo (fıleg és 3) gyara felhaszálható a feladatoba σ ± =σ +σ ± cov, (T) { } { } { } (T) Schwarz-egyelıtleség: { } { } cov, σ σ Megjegyzés: Aalóga fgyelhetı meg a ovaraca és a síbel vetoro salárs szorzása özött: - 4 -
cov, { } σ{ } σ{ } x, y σ x, x = x cov, x, y x y De ez csuá egy érdeesség, em ell tud! III5 KORRELÁCIÓS EGÜTTHATÓ (D) Korrelácós együttható: Az, vv- orrelácós együtthatójá a stadardzáltju S S cov(, ) ovaracáját értjü: R(,) = cov(, ) = σ σ { } { } A Schwarz-egyelıtleség trváls övetezméye, hogy R(,) (D) Ha, vv-ra R(,) =, aor azt modju, hogy és orrelálatlao (T) R(,) = P( a b) Továbbá eor teljesül, hogy: R(, ) sg( a) = + =, vagys a ét vv özött leárs acsolat áll fe = T (D) Várhatóérté-vetor: Az -dmezós vvv ~a az E{ } E{ },,E{ } (D) Kovaracamátrx: Az -dmezós vvv ~a a cov(, j) (T) Σ szmmetrus és oztív szemdeft, azaz a R : a Σa Pl: -dmezós ormáls eloszlás: Ha N (, ) σ σ >, aor, = vetor Σ= -s mátrx µ σ ρσσ µ Σ, ahol µ=, Σ= és µ ρσσ σ R, =ρ Továbbá teljesül, hogy, függetlee ρ= FELADATOK KOVARIANCIÁRA ÉS KORRELÁCIÓS EGÜTTHATÓRA: Eze a feladato általába a ovaraca tulajdoságara voatozó életere alaoza! Pl: +, U, cov, = ), U =, Feladat: Legyee függetlee (vagys Vα =α + ( α ) Mvel egyelı cov( U,V α ), ha α (,)? Megoldás: A ovaraca tulajdosága alajá: + + + cov U, V = cov, α + α =α cov, + α cov, = ( α) cov(, ) cov(, ) cov(, ) cov(, ) { } { } = + + + = σ + σ α α α α α α III6 REGRESSZIÓ (D) Dvv- feltételes eloszlása: Legyee és dvv- Eor az P( = x,= y) = P( = x = y) = eloszlást az -e az = y eseméyre vett P = y feltételes eloszlásáa evezzü Eze eloszláso halmazát az -e az -ra vett feltételes eloszlásáa evezzü Vagys az feltételes eloszlás tulajdoée em s eloszlás, haem eloszláso halmaza Azt mutatja meg, hogy az egyes = y eseméye beövetezése eseté (amelye mellesleg teljes eseméyredszert alota) mlye eloszlást mutat Tehát az vv smeretébe határozzu meg az eloszlását T - 5 -
(D) Dvv- feltételes várható értée (regresszója): Legyee és dvv- Eor az -e az -ra vett feltételes várható értéé (regresszójá) az E( ) valószíőség változót értjü, amelye eloszlása: P( E( ) = ) = P( = y ) { } := E Tehát míg a feltételes eloszlás eloszláso halmaza, addg a regresszó egy eloszlás, vagys vv, amely szemléletese azt mér, hogy egy vv eloszlásáa smeretébe hogya öveteztethetü az vv várható értéére, vagys alajá hogya tudju megbecsül -et Természetese mél szorosabb az összefüggés és özött, aál jobb ez a becslés Gyaorlat alalmazása l amor egy eheze, vagy egyáltalá em mérhetı vv-t szereté mér (ez az ), és ezt úgy érjü el, hogy egy más, vele szoros acsolatba lévı, és öye mérhetı vv alajá (ez az ) róbálu öveteztet Ezt haszáljá l az dıjárás elırejelzésbe s, ahol a elövetezı ao dıjárását szereté megbecsül (ez az, am ugyebár em mérhetı), és ehhez az elmúlt ao dıjárását vesz fgyelembe (ez, amt vszot álladóa mére), hsze eze özött azért vaa összefüggése Mél szorosabba eze az összefüggése, aál otosabba az elırejelzése E egy jelölés, am egy valószíőség változót jelöl Megjegyzés: Fotos, hogy az (D) Fvv- feltételes eloszlásfv-e: Legye az és fvv- együttes eloszlásfv-e F, ( u, v ) Eor az -e az -ra voatozó feltételes eloszlásfv-e: v F, ( u, v) F ( u v) = P( < u = v) =, vagys az együttes eloszlásfv v szert arcáls f v derváltjáa és a met eremsőrőségfv-e a háyadosa F u, v, (D) Fvv- feltételes sőrőségfv-e: Legye az és fvv- együttes eloszlásfv-e, együttes sőrőségfv-e f,( u, v ) Eor az -e az -ra vett feltételes sőrőségfüggvéye: f,( u, v) f ( u v) = F ( u v) =, vagys az együttes sőrőségfv-e és az met u f ( v) eremsőrőségfv-e a háyadosa (K) A defícó trváls övetezméye, hogy: ( v) f = f v u f u v f u (D) Fvv- regresszója: Legye az és fvv- Eor -e az -ra vett feltételes várható E = r vv-t értjü, ahol: értéé (regresszójá) az uf u, v du, az ú regresszós görbe f( v ) r y = uf u v du= A dszrét esetre írt magyarázat természetese a folytoos esetre s voatoz Itt elsısorba az oozhat roblémát, hogy elég hasoló jelölése tömelegét haszálju, amelye azoba merıe mást jeletee, de gyaorlatlag (vagys feladato sztjé) csa az együttes és a eremsőrőségfveel való számolgatás az egész, ezért azoat ehhez jól ell tud! (T) A regresszó tulajdosága: { } E{ } ) E E( ) = Szemléletese ez azt jelet, hogy egy vv () várható értée em változ, ha azt (-et) egy más vv-ra vett regresszójával ( E( ) -al) özelítjü ) Ha, függetlee, aor E( ) E{ } aor -et úgy tudju özelíte, hogy -tól függetleül mdg E{ } -e vesszü az értéét Azaz ha semmlye lussz formácó em áll redelezésüre, aor a várható érté a legjobb özelítés = ostas vv Vagys ha -a cs öze -hez, 3) A regresszó leárs mővelet: E( ) E( ) E( ) α +α =α +α - 6 -
= g( ) E( ) 4) E g { } { } 5) E E( ) E f, vagys az E regresszó a lehetı legjobb özelítése -e (a égyzetes eltérése mmáls) (D) Leárs regresszó: A lehetı legjobb (legsebb égyzetes eltéréső) leárs özelítés, * * vagys: ha és vv-, aor az a + b vv az -e az -ra vett leárs regresszója, ha: * { } { } E a b* E a b, a,b R eseté Megjegyzés: Bár a leárs regresszó em feltétleül a lehetı legjobb özelítést adja, de a regresszóval elletétbe a leárs regresszó statsztalag mérhetı * * (T) Az -e az -ra vett leárs regresszója az a + b vv, ahol: * cov(, ) σ{ } * * a = = R (, ) és b = E{ } a E{ } σ σ { } { } A leárs regresszó számításához tulajdoée csa ezera a életere va szüség! Pl: dmezós ormáls eloszlás regresszója: A jól smert µ, µ, ρ, σ, σ araméterő σ σ dmezós ormáls eloszlás regresszója: E( ) =ρ +µ ρ µ, am leárs, hsze: σ σ * σ * σ a =ρ és b =µ ρ µ Ez feladatoba elıfordulhat, ezért esetleg célszerő lehet σ σ megjegyez! FELADATOK REGRESSZIÓRA: A regresszóval acsolatos feladatoat alavetıe ét csoortra lehet oszta: az egybe a feltételes eloszlást és/vagy a regresszót ell számol más adato alajá, míg a másba a feltételes eloszlás alajá ell számol más adatoat Ez utóbba ülöös smertetıjele, hogy a feladat szövegébıl lehet hámoz, vagys fel lehet ír a feltételes eloszlást Nézzü elıször erre egy éldát: Feladat: A és özött az egyeletes eloszlás törvéye szert választu egy számot Ezutá a és özött szté az egyeletes eloszlás törvéye szert választu egy számot Mey a P > valószíőség? f ( v u ) feltételes sőrőségfv? Mey a Megoldás: Tudju, hogy: f ( u ), t (, ) = Másrészt érezhetjü, hogy az -a az -re voatoztatott feltételes eloszlása a szövegbıl hámozható : v F ( v u) = P( < v = u) = < v< u< Ie a feltételes sőrőségfv: u f ( v u) = F ( v u ) =, v< u<, ambıl az együttes sőrőségfv számolható: v u f,( u, v) = f ( v u) f( u ) =, < v< u< Nylvávaló, hogy: u u P( > ) = dvdu = du ( l( u) ) ( l ) 53 u = = u Ném magyarázat az tegrálás határora: ugye u mehet -tıl -g, hsze ha -tıl sebb, aor -tıl sebb, aor em lehete -tıl agyobb, ugyaaor v -tıl mehet u-g, hsze -a - U, él agyobba ell lee, vszot em lehet agyobb -él, hsze Nézzü most egy éldát a más tíusú feladatra: - 7 -
Feladat: Legye, együttes sőrőségfv-e f ( u, v) = u+ v, u, v (,) Mey az Megoldás: Elıször felírju az -a az -re vett feltételes sőrőségfv-ét: f,( u, v) u+ v u+ v f ( v u) = = = Tudju, hogy f( u) u + 5 u+ vdv + v 3 + + + E = vf v dv= v dv= v+ v dv=, Feladat: Legye, együttes sőrőségfv-e, E( )? + E? f u, v =, u, és < v< u Mey az Megoldás: Most s elıször felírju az -a az -re vett feltételes sőrőségfv-ét: f,( u, v) f ( v u ) = = =, u u (,) és < v< u Ie: f( u) u dv v ( ) ( ) E = vf v dv= v dv= = = IV VALÓSZÍNŐSÉGI TÖRVÉNEK Ezt a témaört a jegyzet tömöre, mégs érthetıe elmagyarázza és szemléltet, ée ezért tt a teljesség géye élül csa egy rövd összefoglalót észíte a defícóról és tételerıl, amolya vzsga elıtt gyors smétlés jelleggel, a részletes magyarázat és a szemléltetés, valamt a éldafeladato megoldással együtt a jegyzetbe megtalálhatóa Másrészt ebbıl a témaörbıl a aratersztus fv-t véve em agyo szoott feladat elıfordul (esetleg a agy számo törvéyéhez, de az s csa rtá) Ugyaaor állítólag a szóbel elıszeretettel érdeze elméletet agyrészt ebbıla témaörbıl, így aztá a szóbelz szerete, az feltétleül észüljö fel ezebıl (Állítólag megér szóbelz, ha az ember agyjából tsztába va az ayaggal) IV VALÓSZÍNŐGSÉGI VÁLTOZÓK SOROZATAINAK KONVERGENCIÁJA Az alább defícóba :,,,, és vv- (D) valószíőséggel overgál -hez, ha P ({ ω: lm ( ω ) = ( ω )}) = Jele: (D) L r ormába overgál -hez, ha { r L r lm E } = Jele: (D) sztochasztusa overgál -hez, ha ({ }) st v ε> : lm P ω: ω ω >ε = Jele: (D) eloszlásba overgál -hez, ha = mde olya t R, ahol F ( t ) lm F t F t folytoos, vagys F ( t ) otoét overgál F (T) L st e v t -hez Jele: e - 8 -
IV NAG SZÁMOK TÖRVÉNEI (T) Beroull-féle gyege ala: Egy K véletle ísérletbe legye A F egy P( A) = oztív valószíőségő eseméy Hajtsu végre K-t egy véletle ísérletsorozatba, és legye az A-a az -ed ísérletbe való beövetezésée dátor valószíősége: IA Eor az r A = relatív gyaorságra teljesül, hogy: r ( A) P( A) = st Megjegyzés: A Borel-féle erıs ala azt állítja, hogy a fet feltételeel r ( A) P( A) v s teljesül (T) Csebsev-féle gyege ala: Legyee az,,,, vv- ároét függetlee és azoos eloszlásúa úgy, hogy létezzé µ= E{ } özös várható értéü és d =σ { } özös és véges szóráségyzetü Eor a Z st = vv-sorozatra teljesül, hogy: Z µ = (T) Kolmogorov-féle erıs ala: Legyee az,,,, vv- teljese függetlee, létezzé µ= E{ } özös várható értéü és szóráségyzetüre teljesüljö a a Z v = vv-sorozatra gaz, hogy: Z µ = IV3 KARAKTERISZTIKUS FÜGGVÉN σ { } (D) A Z= + omlex értéő vv várható értée az E{ Z} E{ } E{ } (D) Karatersztus fv: Az vv ( t) < feltétel Eor = = + omlex szám tx t E e E cos t E s t f x e dx ϕ aratersztus fv-e az sőrőségfv-ée Fourer- t traszformáltja, vagys: { } { } { } (T) A aratersztus fv tulajdosága: ϕ és ϕ = ) ( t ) ) ( t) ϕ egyeletese folytoos R -e 3) ( t) ϕ = = + = ϕ oztív szemdeft függvéy, vagys, t,, t ϕ( t tl) z zl = l= 4) ϕ ( t) =ϕ ( t),, teljese függetlee, aor: ϕ ( t) = ϕ ( t) 5) Ha 6) Ha elsı mometuma létez, aor ( t) ( t) R és z,,z C eseté ϕ -szer dfferecálható és () µ ϕ ϕ ( t) = + o( t ) ahol µ = E{ } = =! 7) Mde eloszlást egyértelmőe meghatároz a aratersztus fv-e Ha fvv, aor tx f( x) = ϕ ( t) e dx π - 9 -
NÉHÁN ELOSZLÁS KARAKTERISZTIKUS FÜGGVÉNE: ) Geometra eloszlás: Ha G( ) ( t) ) Egyeletes eloszlás: Ha U( a, b) ( t) 3) Exoecáls eloszlás: Ha E( λ ) t e ϕ = t e tb e e ϕ = t b ta ( a) t λ ϕ = λ t 4) Stadard ormáls eloszlás: Ha N(,) 5) Normáls eloszlás: Ha N ( µ, σ ) a b t ϕ = t e σ t t e µ t ϕ = = eseté ( t) s bt ϕ = bt IV4 CENTRÁLIS HATÁRELOSZLÁS TÉTELEK e (T) Helly-tétel: lm ( t) ( t) ϕ =ϕ (T) Cetráls határeloszlás tétel: Legyee,,,, vv- teljese függetlee, azoos eloszlásúa és létezzé a szórásu Haszálju továbbá az alább jelöléseet: µ= E{ }, d=σ { } és Z S teljesül, hogy: Z N(,) S Z µ = Eor Z stadardzáltja Z = = ( ) = µ és d d = e S, tehát < =Φ lm P Z t t (T) Movre-Lalace-tétel: A cetráls határeloszlás tétel secáls esete, amor IA, S P( A) = Eor Z = B(,) és lm Z = lm ( µ ) = N(,), vagys = = ha egy végtele ísérletsorozat sorá megfgyeljü az A eseméyt, aor a fet Z vv stadardzáltja a stadard ormáls eloszláshoz fog tarta B,, ahol agyo agy, aor az vv stadardzáltja jó özelítéssel a stadard (K) Ha S ormáls eloszlás lesz, vagys: N(,) JELMAGARÁZAT (A) axóma (D) defícó (T) tétel (K) övetezméy MEGJEGZÉSEK Készítette: Gáthy Lajos II évf mőf hallgató Készült: a Ketseméty-féle elıadásoo elhagzotta és a jegyzet alajá (egy-ét helye a saját észrevételemet s tartalmazza) A éldafeladato legagyobb gyeezetem szert ZH- és vzsgacetrusa Az esetleges hbáért elézést ére! Az észrevételeet, javaslatoat és hbajelzéseet szívese várom az aloe@schbmehu címre Verzó: 7 ovember 3 A legfrssebb verzót eresd a webe: htt://wwwhszbmehu/~gl55/ - -