Funkcionálanalízis 12-13. el adás 212. május 9.-16. Általánosított függvények Disztribúciók Lineáris funkcionál Legyen C () az függvénytér, amely a végtelen sokszor dierenciálható, kompakt tartójú függvényeket tartalmazza: ϕɛc (), ha ϕ : végtelen sokszor dierenciálható, és tartója (support) supp(ϕ) := {x : ϕ(x) } kompakt. (Más szóval, I véges intervallum, melyre ϕ(x) = ha xɛ I.) C () lineáris tér. A továbbiakban rövid jelölést használunk D := C (). Deníció. A (ϕ n ) D sorozat konvergens (jelölés ϕ n ϕ) ha: 1) I véges, melyre supp ϕ n I n. 2) ϕ n (k) ϕ (k) egyenletesen k-ra, azaz minden derivált egyenletesen konvergál a határérték deriváltjaihoz az I intervallumban. Deníció. A T : D funkcionál általánosított függvény, ha: 1) lineáris: T (αϕ + βψ) = αt (ϕ) + βt (ψ), ha ϕ, ψɛd és α, βɛ. 2) folytonos: ϕ n ϕ T ϕ n T ϕ. Tehát az általánosított függvény egy speciális lineáris funkcionál. Az általánosított függvény elnevezés mellett használjuk a disztribúció elnevezést is. 1
Jelölés. D := { disztribúciók }. 1. Példa. f : tetsz leges folytonos függvény. A T f hozzárendelést így adjuk meg: Ekkor T f : D disztribúció. ϕ T f (ϕ) := fϕdx. 2. Példa. T (ϕ) := ϕ() nevezetes disztribúció. Ehhez kapcsolódó jelölések: δ(ϕ) := ϕ(), δ a (ϕ) := ϕ(a) Fizikában néha ezt a disztribúciót az el z példához hasonlóan jelölik: δ(ϕ) = (Mintha olyan lenne...) 3. Példa. f : tetsz leges lokálisan integrálható függvény. T f : D, T f (ϕ) := fϕdx ϕ(x)δ(x)dx. Jelölje L 1 loc () az -n értelmezett, lokálisan integrálható függvények halmazát. Minden fɛl 1 loc () "közönséges" függvény egyben általánosított függvény is. Ebben az esetben a "közönséges" függvényt és az általánosított függvényt ( megfelel lineáris funkcionált) azonosnak vesszük. Deníció. Ha a T ɛd disztribúcióhoz van fɛl 1 loc () függvény, melyre T = T f, akkor T reguláris disztribúció. 4. Példa. Dirac-δ disztribúció. T (ϕ) = ϕ() Ehhez nincs megfelel közönséges függvény. Ez a disztribúció nem reguláris. Disztribúciók deriválása A deníció el tt nézzük meg, mit remélhetünk. Deriválásnál elvárjuk, hogy ha f dierenciálható függvény, akkor legyen (T f ) = T f. Eszerint: T f (ϕ) = f ϕdt = fϕ } {{ } = fϕ dx = T f (ϕ ) Deníció. T ɛd deriváltja T ɛd, melyet így értelmezünk: T (ϕ) := T (ϕ ).
Tehát a T derivált egy olyan disztribúció ( lineáris funkcionál), mely tetsz leges ϕɛdhez a fenti módon rendel értéket. Következmény. Minden T ɛd akárhányszor deriválható, és k-dik deriváltja k T (ϕ) = (1) k T (ϕ (k) ). 5. Példa. A Dirac delta deriváltja δ(ϕ) = δ (ϕ) = ϕ (). 6. Példa. A Heaviside-függvény (egység-ugrás): A hozzá tartozó disztribúció: Ennek deriváltja: (T H ) (ϕ) = T H (ϕ ) = H(x) = T H (ϕ) =, x < 1, x [ ϕ (x)dx = ϕ(x)dx. ] ϕ(x) = + ϕ() = δ(ϕ) Tehát az egység-ugrás függvény deriváltja a Dirac delta általánosított függvény. 7. Példa. Ha az f függvény szakaszonként folytonosan dierenciálható - például ugrás van benne, - akkor általánosított értelemben vett deriváltjában megjelenik a Dirac delta függvény. Ezen az ábrán az f függvényben az x pontban egy m nagyságú ugrás van. Formálisan azt írhatjuk, hogy f = f + mh(x + x ), ahol f folytonosan dierenciálható, H pedig az egység-ugrás függvény. Ekkor a disztribúció értelemben vett derivált: f = f + mδ x.
Deníció. Az fɛl 1 loc-hez tartozó gyenge derivált gɛl 1 loc, ha: Állítás. ϕɛd : fϕ dx = gϕ dx - Az f függvény gyenge deriváltja - ha létezik - akkor egyértelm. - Ha f dierenciálható, akkor gyenge deriváltja g = f. - Ha az f függvényhez tartozó T f disztribúció deriváltja reguláris, éspedig T f = T g, akkor f gyenge deriváltja g. 8. Példa. Az f(x) = x függvény gyenge deriváltja? 1. ábra. Az abszolút érték függvény klasszikus értelemben nem deriválható. A denícióban megfogalmazott tulajdonság szerint az - egyel re ismeretlen - g függvényre A baloldalt átalakítva: x ϕ (x)dx = = [ xϕ(x) ] + x ϕ (x)dx = g(x)ϕ(x) dx. (x)ϕ (x)dx xϕ (x)dx = (1) ϕ(x)dx + [ xϕ(x) ] + 1 ϕ(x)dx. A függvény megváltozások elt nnek, csak a két integrál marad végül: x ϕ (x)dx = g(x)ϕ(x) dx, g(x) = Tehát g(x) = sgn(x) m.m. 1 ha x < +1 ha x >
2. ábra. Az abszolút érték függvény gyenge deriváltja. 9. Példa. Legyen f a racionális számok karakterisztikus függvénye: 1, xɛq f(x) = χ Q (x) =, egyébként Ennek gyenge deriváljta g(x) = (hiszen f = m.m). 1. Példa. Az f(x) = függvény gyenge deriváltja g(x) = H(x). 1, x < 1 + x, x