Mesterséges intelligencia, 7. előadás október 13. Készítette: Masa Tibor (KPM V.)
|
|
- Gréta Takácsné
- 8 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Mesterséges intelligencia, 7. előadás október 13. Készítette: Masa Tibor (KPM V.) Bizonytalanságkezelés: Az eddig vizsgáltakhoz képest teljesen más világ. A korábbi problémák nagy része logikai, keresési algoritmusokat jelentett, ahol az elemek igaz/hamis értékeket vehettek fel. A logikai következtetések kérdése egy átmenetet jelentett a logika világából a valószínűség világába. A valós ágensek azonban szinte soha nem férnek hozzá a környezetüket érintő teljes igazsághoz, bizonytalanság közepette működnek, ezért a valós problémák kezelésében ezek a problémák gyakrabban használtak lesznek. A logikával kizárólag nem lehet dolgozni, mert ha: 1. nem teljes a tudásunk, nem tudunk logikai következtetést levonni minél jobban ismerjük a világot, annál több megfigyelési adat kell a következtetéshez. Ha nem ismerek valamilyen szükséges adatot, nem tudok következtetni, a logikában nincsen közelítési lehetőség. 2. nem dolgozunk komplex elméletekkel, csak egyszerűekkel, akkor az egyszerűsített elmélet nem mindig helyes például egy útvonal-tervezés során, ha feltételezem, hogy mivel nem lesz dugó, odaérek a repülőtérre, kellemetlen meglepetés érhet, ha mégis dugó van, vagy ha lerobban az autó. Sem a túl részletes, sem a közelítő megoldás nem jó! A megoldás: ha ebből a világból egy lesimítottabb világba lépünk ki, ahol a világ dolgainak nem csak igaz-hamis állapota van, hanem köztes állapotok is, amivel kezelni tudjuk a tudásunk hiányát. Erre használjuk a valószínűség-számítás eszközrendszerét. Az órán vizsgált problémákhoz többnyire egy fogorvosi diagnosztikai rendszert használunk, amely során az orvosi diagnózisban a fogfájást, valamint a lyukas fogat vizsgáljuk. Egyszerű logikai szabályokkal nem lehet megfogalmazni ezt a problémát, hiszen nem teljes (ha a tünetünk a fogfájás, nem biztos, hogy automatikusan lyukas a fogunk lehet a gond egy gyulladás, vagy bármi más), vagy ha teljes, akkor túl egyszerű (ha feltesszük, hogy minden lyukas fog fájdalommal jár, nem lesz igaz automatikusan). A tudás tökéletlenségének általában három oka van: 1. lustaság túl nagy munka ok-okozatok teljes eseményhalmazának felsorolása, e nélkül nem lesz mindig érvényes a szabály, 2. elméleti tudatlanság a tudományterület elmélete nem teljes, 3. gyakorlati tudatlanság hiába ismerjük a teljes szabályrendszert, lehetünk bizonytalanok egyes esetekben, mert előfordulhat, hogy nem végezhető el az összes szükséges vizsgálat. Ezekből következnek tehát a véletlen viselkedések, valószínűségek. A valószínűség-számítás tehát az elsődleges eszköz a meggyőződési értékek kezelésére. A tudás tökéletlenségét véletlen hatásként kezeli, minden mondathoz egy [0,1] közötti meggyőződési mértéket rendel. Fontos tudni, hogy a valószínűségeket itt nem, mint az igazság fokát vizsgáljuk, hanem mint a hit fokát. Tehát ha tudás reprezentálására akarjuk használni a valószínűség-számítást, akkor látni kell, ha valami valószínűsége 0.8, akkor ez nem azt jelenti, hogy ez a világban ténylegesen 80%-os valószínűséggel teljesül, hanem azt, hogy a rendelkezésünkre álló 1
2 információ alapján 80%-os mértékben hiszünk abban, hogy a valóságban ténylegesen fenn áll ez az esemény. Jelen esetben az igazságérték folytonosságáról van szó (például: ez a ház kicsi nem tudom rámondani, hogy igaz vagy hamis, hiszen mihez képest az? van egy folytonossági aspektus). Tehát nem a világ bizonytalanságáról, hanem a nyelv tökéletlenségéről beszélünk. Ha a valóság eseményeit jelöljük ( az igazság mértéke, mint a meggyőződés mértékének az ellentéte, ahogy a tankönyv mondja), akkor az egy más téma, amit fuzzy logika névvel illetünk. Ezzel itt nem foglalkozunk. Minden valószínűségi kijelentésnek hivatkoznia kell azokra a tényekre, amelyek alapján az adott valószínűség az állításhoz lett rendelve. A valószínűség mértéke függ a tapasztalatunktól is: mielőtt tények birtokába jutunk, előzetes (a priori, feltétel nélküli) valószínűségről, a tények birtokában utólagos (a posteriori, feltételes) valószínűségről beszélünk. A racionális ágensek (fő tulajdonságaik: van egy kiértékelő függvényük, valamint olyan cselekvéseket eszközölnek, amelyek ezt maximalizálják) ebből a szempontból úgy képzelendők el, mint amik egy bizonyos kimenetnek valószínűségeket adnak, és a kimenet a rendelkezésére álló kiértékelő függvény várható értékét adja neki. Erre már láttunk példát a játékelmélet során, az olyan játékokban, ahol vannak véletlen lépések (pld. kockadobás). Ott a véletlen értékek felett kell várható értéket számolnunk. Valószínűségi kijelentések nyelve: Nem válik erősen ketté a szintaxis és a szemantika. A használt nyelv alapeleme a véletlen (valószínűségi) változó: ezek az ítéletkalkulusban megismert ítéletek szerepét fogják betölteni, logikai operátorokkal formulák készíthetők velük. Ezeknek mindig van egy neve, értékük igaz vagy hamis. A véletlen változók lehetséges értékeit (értéktartományát) nevezzük domaineknek. Jelölés szerint mindig nagybetűvel jelöljük a változó-neveket, kisbetűvel az értékeiket. Tehát például a Lyuk valószínűségi változó egy fog esetleges lyukasságát mutatja. A Lyuk hoz például az <igaz,hamis> értéktartomány tartozik. Ebből ítélet a következőképpen lesz: Fogfájás = igaz. Ezzel gyártottam egy elemi kijelentést. A Fogfájás = igaz jelölhető a következőképpen: fogfájás, hiszen ekkor veszi fel a Fogfájás valószínűségi változó az igaz értéket. A véletlen változók tipikusan három típusba sorolhatók: 1. Boole-típusú, logikai véletlen változók, olyan változók, melyeknek domain-je az <igaz,hamis>. 2. Diszkrét véletlen változók, melyek logikai változók is lehetnek, és megszámlálható tartományból kapnak értéket. Például ilyen lehet az időjárás, amely domain-je lehet <napos,esős,felhős,havazik>. A kitétel az, hogy egyszerre pontosan egy értékük lehet igaz, se több, se kevesebb. 3. Folytonos véletlen változók, melyek valós értéket vehetnek el, amely lehet akár a teljes valós tengely, akár egy részhalmaza, például [0,1]. Általában mi a diszkrét esettel foglalkozunk. Összetett állítások létrehozásához olyan elemi állításokat használunk, amelyeket logikai kapcsolat felhasználásával kombinálunk. Tehát az ÉS, VAGY, NEM, stb. logikai operátorok használatával komplex kijelentéseket generálhatunk. Ezzel készen is van a nyelv alapja, mellyel kijelentések gyárthatók. 2
3 Ebbe a nyelvbe ültethetjük be az elemi eseményeket. Az elemi esemény analógnak tekinthető az ítéletkalkulusbeli modellel (ha csak logikai véletlen változók vannak). Valószínűségi változókkal definiáljuk őket. Az elemi esemény egy olyan kijelentés, ahol minden egyes valószínűségi változóhoz hozzárendelek pontosan egy értéket, és ezeket összeéselem, konjugálom. Pld. Lyuk = igaz ÉS Idő = napos ÉS. stb. Ha az összes ilyen lehetséges eseményt leírom, akkor a megkülönböztethető világokat definiálom. Például: kockadobás ha valószínűségi változóval kezdem a definiálást, például: a kocka értéke háromnál nagyobb lesz, akkor csak kétféle világot tudok megkülönböztetni ilyen szempontból mindegy, hogy ez egy kocka vagy bármi más, két elemi eseményem van, azonos valószínűséggel! Tehát a nyelv az, mely meghatározza az elemi eseményeket, a megkülönböztethető világok definiálásához. Ha egy világban például két logikai változó van (mint például az előző példában), akkor összesen 2 2 = 4 elemi esemény létezik. Az elemi események tulajdonságai: - egymást kölcsönösen kizáró események, legfeljebb egy lehet igaz, - az összes elemi esemény halmaza kimerítő, tehát legalább az egyiknek igaznak kell lennie, - az előző kettőből tehát az következik, hogy a világ aktuális fennállását pontosan egy darab elemi esemény írja le, - egy elemi esemény minden lehetséges elemi kijelentéshez igazságértéket rendel, - minden kijelentés logikailag ekvivalens a neki nem ellentmondó elemi eseményeket leíró kijelentések halmazával. A priori valószínűség: Minden kijelentéshez valószínűséget rendelünk. Egy a állításhoz tartozó a priori (feltétel nélküli) valószínűség az a meggyőződési mérték, amely bármely más információ hiányában az állításhoz kapcsolható. Jele: a) Például, ha 0.2 annak az a priori valószínűsége, hogy az idő: napos, akkor a jelölés a következő: Idő=napos) = 0.2. A a) jelölésben fontos a kisbetű, a A) jelölés ugyanis az A valószínűségi változó eloszlását jelöli. Ezeket a kéziratban aláhúzással jelölve találjuk, ami a vastag betű tipográfiai jelölése. Ezért a kéziratban aláhúzással jelölt eloszlásokat a továbbiakban vastag betűvel írom a jegyzetben. Például Idő) = (0,2 ; 0,3 ; 0,4 ; 0,1), ahol napos) = 0,2 ; esős) = 0,3 stb. Az eloszlás tehát P összes értékére megmondja a valószínűségeket. A 1,A 2 ) nem más, mint A 1 és A 2 együttes eloszlása, vagyis az A 1 -A 2 értékeiből álló párok valószínűséget leíró táblázat. Konvenció szerint A,a) olyan vektor, ahol A véletlen változó, a egy kijelentés, és benne A=v 1 Ù a), A=v 2 Ù a) szerepel, ahol v i pedig A értékeit adja. Kettőnél több változóra értelemszerűen kell a jelölést kibővíteni. Ha A folytonos valószínűségi változó, akkor eloszlás helyett sűrűségről beszélünk, ami egy x értéknél P (A Î [x ; x+dx]) / dx (egy nagyon pici intervallumba beleesés valószínűsége, ez elosztva az intervallum hosszával). Ez nem valószínűség jellegű mennyiség, de analóg képleteket eredményez vele, összegzés helyett integrált használunk. Másrészt a sűrűség nem mindig létezik, nem mindig jól definiált. 3
4 Feltételes valószínűség: Jelölése függőleges vonallal: például a b), ahol a és b kijelentések. Ennek jelentése, hogy a valószínűsége ennyi, ha tudom, hogy b igaz, és a teljes tudásunk b. Technikai definíció: a b) = aùb) / b) Ez a definíció nincs értelmezve, ha b)>0. Egyszerűbb definíciója a szorzatszabály, amelyben a és b szerepe felcserélhető. aù b) = a b)b) = b a)a) A B) pedig nem más, mint a A=a i B=b j ) értékek táblázata, ahol a i és b j A és B értékei minden párosításban. Jelölése: A,B) = A B)B). Fontos megjegyezni, hogy itt nem mátrix-szorzásról van szó, csak egyszerűsítő jelölésről. Az egyenlőség tehát tagonként értendő, mindkét tagra igaznak kell lennie. Ugyanez érvényes a tagonkénti szorzatra is. A valószínűség tulajdonságai és axiómái: Az eddigiekben szintaxist definiáltunk, most meg kell fogalmaznunk egy szemantikát is. Ezt az axiómákkal kezdjük: 1. A valószínűség mindig [0,1] között van. 2. Azonosan igaz esemény logikai valószínűsége mindig 1, azonosan hamis esemény logikai valószínűsége mindig AÚ B) = A) + B) AÙ B) Axiómák használata: Állítás: Ø a) = 1- a) Bizonyítás: 3. axiómából, ha A és B helyére a-t és Øa -t írunk 2. axiómából: 1 = a) + Ø a ) 1 a) = Ø a ) Állítás: P Bizonyítás: å ( a ) = e i Îe ( a) P ( A= e 1 ), ahol e(a) az a-t alkotó elemi események halmaza 1. elemi események kölcsönösen kizáróak 2. minden állítás elemi események diszjunkciója -> 3. axiómából kijön az állítás Filozófiai megjegyzések: 1. Mennyire jó a valószínűségi tárgyalásmód? Ha teljes a tudásunk, igaz lesz, hogy a valószínűség pontosan egy elemi eseményhez egy, a többihez nulla. A tudásunk azonban soha nem teljes. 2. Elemi eseményekhez rendelt valószínűség meghatározza bármely kijelentés valószínűségét (a priori) az axiómák által. Vitatkozni csak az elemi események valószínűségével vagy az axiómákkal érdemes. 3. De nem éri meg máshogy megállapítani a kijelentések valószínűségét, mert - a valószínűség azt jelenti, hogy az ágens adott értéket hajlandó fogadni. Például ha szerinte a)=0,2, akkor 2:8 arányban fogadni Øa-ra, és 8:2 arányban fogadni a-ra ugyanaz szerinte, neki mindegy, de - ekkor belátható, hogy mindig veszít az ágens, ha nem követi az axiómákat. 4
5 Egy példa: Ágens-1 Ágens-1 Ágens-2 a Ù b a Ù Ø b Ø a Ù b Ø a Ù Ø b tippje tudása tippje a 0,4 a b 0,3 b a Ú b 0,8 Ø (a Ú b) Szum: A táblázatban látható, hogy aú b valószínűsége 0,8. Ez azonban nem lehetséges, hiszen maximum 0,7 lehet akkor, ha a és b kölcsönösen kizárja egymást. Ekkor biztos, hogy ez az ágens egy axiómákat alkalmazó ágenssel szemben mindig veszít. Tehát ha a tudásbázis nem konzisztens az axiómákkal, matematikailag bebizonyítható, hogy ekkor a játékot mindig elveszíti az ágens. Mivel aú b valószínűségét túlbecsüli az első ágens, ezért fogadunk arra, hogy Ø ( aú b), hiszen az első ágens ennek ellentétére fogad, és enged minket erre fogadni, 8:2 arányban. Ezt akkor látjuk, ha megnézzük a játék összes lehetséges kimenetelét, mert minden egyes esetben veszít az első ágens a kettessel szemben (a kettes tud úgy választani). Valószínűségi következtetések: A logika azt mutatja meg, tudásunknak mik a logikai következményei? A valószínűség azt mutatja meg, milyen hatása van egy adott kijelentés valószínűségére tudásunknak? Kiindulás a teljes együttes eloszlás, azaz elemi események valószínűségei (véletlen változók bármely értékkombinációja). Tehát következtetéseinket a teljes valószínűségi eloszlás alapján tesszük fel. Például tegyük fel, hogy egy Fogfájás, Lyuk, Beakadás tartomány teljes együttes eloszlása: fogfájás Ø fogfájás beakadás Ø beakadás beakadás Ø beakadás lyuk 0,108 0,012 0,072 0,008 Ø lyuk 0,016 0,064 0,144 0,576 Kérdés: az orvos észreveszi-e a lyukat? Ha a beakad igaz értéket kap, igen. Látható, hogy a teljes együttes eloszlás táblázatként írható fel, 3 db kétértékű valószínűségi változóval. Az összes lehetséges kombináció ekkor 8 db (2 3 ), egyszerű összegzéssel bármelyik állítás valószínűsége kiszámítható. Egy vagy több elemi kijelentés konjunkciója a marginális valószínűséget adja meg. Például lyukú fogfájás) = 0, , , , , ,064. Az első sor bejegyzéseinek összege például a lyuk feltétel nélküli (peremeloszlását) adja: lyuk) = 0,108+0,012+0,072+0,008 = 0,2. Ezt a folyamatot marginalizálásnak vagy kiátlagolásnak hívjuk, mert a Lyuk on kívüli változókat kiösszegezzük. Ez a folyamat az ún. marginális eloszlást adja meg. Ezen kiszámítási módszerek alapján egyszerűsítő jelölésmódot vezethetünk be: A) = å A,B), ahol A egy változó, vagy változók egy halmaza, és b az A-n kívüli változók b összes értéke. 5
6 A szorzatszabállyal ugyanez: A)=å A b)b). Itt annak a változónak a feltétel feletti b eloszlását kapjuk meg, amelyet tartalmazó együttes eloszlásokból kiátlagoljuk az összes többi változót a szorzatszabályban. Ennek neve: feltételfeloldás (conditioning). Például: lyuk fogfájás) = lyuk Ù fogfájás) / fogfájás) = (0, ,012) / (0, , , ,064) = 0,6 Eloszlásra ugyanez megadva: Lyuk fogfájás) = (1/fogfájás))*Lyuk,fogfájás) = (1/fogfájás)) * (0,12 ; 0,08) = α(0,12 ; 0,08) Megjegyzés: ha Lyuk,fogfájás) ismert, akkor 1/fogfájás) kiszámítható, mert Lyuk,fogfájás) 1-re összegződik. Ilyenkor gyakran csak α-t írunk, ami a normalizálási konstans. Általában: A b) = αa,b) = αå x A,b,x), ahol α: normalizálási konstans, b: ismert tények (kijelentések), x: azon változók összes lehetséges értéke, amelyeknek az értéke ismeretlen (ezekből képzett kijelentések), A: változó, érdeklődésük tárgya. Megjegyzés: ez az érték kiszámítható, ha a teljes együttes eloszlás ismert (például táblázatban adjuk meg). De a táblázat ordo(2 n ) méretű n változóra! Tehát összesen 2 n db elemi kijelentés lesz, ennek valószínűségét egyesével definiálnom kell. Hatékony reprezentáció és algoritmusok kellenek! Kérdés: hogyan lehet az eloszlást táblázat helyett jobban reprezentálni? A kulcsgondolat a függetlenség: Kétfajta függetlenségről beszélünk: 1. abszolút függetlenség (két véletlen változó független hatékonyan használható valószínűségi tábla redukálására), 2. feltételes függetlenség (finomabb módszer, további tömörítést tesz lehetővé). Ha veszek két véletlenszerű valószínűségi változót (pld. 1. fogfájás, 2. balkezes), azt gondolom, a kettő független egymástól. Az a kifejezés, hogy mekkora a valószínűsége annak, hogy valakinek fáj a foga, ha balkezes, értelmes. Ekkor a (fogfájás valószínűsége * balkezesség valószínűsége) művelet a standard módja a függetlenség kiszámításának. Például: fogfájásùbalkezes) = fogfájás)balkezes) 6
7 Ez inspirálja a definíciót: - a és b függetlenek akkor és csak akkor, ha aùb) = a)b), ahol a és b kijelentések, - A és B változók függetlenek akkor és csak akkor, ha A,B) = A) B). Ezzel ekvivalens definíciók: 1. A B)=A) ; 2. B A)=B). Ha változók egy halmaza felbontható független részhalmazokra, csökkenthető a teljes együttes eloszlás tárolási mérete. Ekkor minden részhalmazhoz elég az együttes eloszlás lokálisan, ezáltal sokszor nagy tömörítést érhetünk el. Például ha m+n változót m és n elemű halmazra bontunk, 2 m +2 n változó lesz 2 m+n helyett! Megjegyzés: ok és okozat nem egyezik meg a függetlenséggel! A függetlenség szimmetrikus, tehát két irányban áll fenn, ezáltal a függés is, az okság viszont nem (csak ok okozat felé áll fenn)! Például az időjárás okozhat fogfájást, tehát az idő és a fogfájás nem függetlenek (ilyen szempontból a tankönyv hibás, ott végig ez a példa van)! Persze elképzelhető, hogy adott valószínűségi változók halmaza egyáltalán nem tartalmaz függő párokat, azaz minden változó teljesen független az összes többi változótól. Erre jó példa lehet n kockadobás, ahol minden dobás független az összes többitől. A valószínűség-számításban ez előbbi a tipikus, a világban nem. Ezért a függetlenséget finomítani kell: feltételes függetlenségről beszélünk a továbbiakban. ( Ezen a ponton jött el az előadáson egy pihentető kérdés: Képzeljünk el egy olyan teljes, együttes eloszlást, amelybe véletlenszerűen írunk be számokat, figyelve, hogy az összegük 1 legyen. Függő vagy független valószínűségi változók lesznek? A válasz: Függőek lesznek. ) Lehet, hogy a és b általában nem függetlenek, viszont létezik c úgy, hogy aù b c) = a c)b c). Ekkor a és b kijelentések feltételesen függetlenek (c feltevésével), például akkor, ha a és b közös oka c. Például fogfájás és beakad nem függetlenek (lásd fogorvosi példa), de ha feltesszük, hogy van lyuk, akkor már igen. Általában A és B változó függetlenek, akkor és csak akkor, ha létezik C úgy, hogy A B,C) = A C)B C). A definícióval ekvivalens két másik definíció: A B,C) = A C) és B A,C) = B C). (Gyakorlatilag a definíciók ugyanazok lesznek, mint előbb, de minden formula után odatesszük, hogy feltesszük C-t.) Például ha tudjuk, hogy A és B függetlenek C feltevésével, akkor két táblázatot vehetünk fel, egyiket C, másikat ØC táblázattal, majd tárolhatjuk feltételes valószínűségeket. A két táblázat méretének összege kisebb lesz, mintha mindent tárolnék, hiszen mindenhol csak egyik változót kell néznem. A következő óra nagy részében ezeket a feltételes függetlenségi feltevésekkel foglalkozunk, hogy teljes együttes eloszlást lehető legtömörebb módra hozzunk. 7
8 Formalizálva ezt: x c) és x Ø c)-re is külön táblát írunk fel, és a szorzatszabállyal [aù b c) = aùbù c)c), stb] c)-t használva kijön bármely kijelentés valószínűsége. Például: aù bù c) = aùb c) c) = a c)b c)c), ahol az első egyenlőségnél a szorzatszabályt használtuk, a második egyenlőségnél a független c szerint kisebb táblázatokat hoztunk létre. Extrém eset: legyenek A, valamint B 1 B n valószínűségi változóink, amelyekre feltesszük, hogy P ( B 1... B n A) P ( B i A) - vagyis A-t feltéve B-k egymástól függetlenek. Ez a Õ = i naiv Bayes-modell alapja, amelynek segítségével exponenciális helyett lineáris tárigényt tudok kialakítani. Bayes-szabály: a b) b) Állítás: b a) = a) Bizonyítás: aùb) = a b)b) = b a)a) A B) B) Általában is: B A) =, ahol A és B véletlen változók halmaza A) (Motiváció: 1. Feltételes függetlenség kompakt reprezentációja használható. 2. A gyakorlatban sokszor a jobb oldalon lévő példák ismertek, míg a bal oldaliak nem.) A Bayes-szabály során az okból az okozatra következtető valószínűséget használjuk fel arra, hogy okozatból okra következtető valószínűséget kapjunk. Például A = Lyuk, B = fogfájás. Ekkor Fogfájás Lyuk) jól mérhető, és stabil: nem függ Lyuk)-tól. Például, ha Lyuk) változik, Lyuk fogfájás) várhatóan változik. Másik alakja (α normalizálási konstans használatával): B A) = αa B)B), itt α adódik az 1-re normalizálásból, de a teljes eloszlást ki kell hozzá számolni. Naiv Bayes-következtetés: é ù A B 1 B n )= a P ( B 1... Bn A) P ( A ) = aêõ B i A) ú A) ë i û Például A egy spam- , B 1 B n pedig adott szavak előfordulása. Gyakorlati alkalmazás: Például spam- ek szűrése. A naiv Bayes-következtetés során meg tudom nézni, hogy mi annak a valószínűsége, hogy pont B 1 B n szavakat látok az ben, ha azt feltételezem, hogy a levél (A) egy spam. Feltételezhetjük, hogy a szótartalmazások függetlenek egy spam ben, ez azonban nem igaz. A szavak függenek a többi szótól. Például gyógyszert reklámozó levélben a gyógyszerek nevének előfordulása gyakori. Szegeden a Bayes-módszer szerint minden angol nyelvű spamnek minősül! Eddig jutottunk el az előadáson, következő órán a Bayes-hálókkal kezdünk. 8
Dr. Jelasity Márk. Mesterséges Intelligencia I. Előadás Jegyzet (2008. október 6) Készítette: Filkus Dominik Martin
Dr. Jelasity Márk Mesterséges Intelligencia I Előadás Jegyzet (2008. október 6) Készítette: Filkus Dominik Martin Elsőrendű logika -Ítéletkalkulus : Az elsőrendű logika egy speciális esete, itt csak nullad
RészletesebbenBizonytalanság Valószín ség Bayes szabály. Bizonytalanság. November 5, 2009. Bizonytalanság
November 5, 2009 i következtetés Legyen az A t akció az, hogy t perccel a repül gép indulása el tt indulunk otthonról. Kérdés, hogy A t végrehajtásával kiérünk-e id ben? Problemák: 1. hiányos ismeret (utak
RészletesebbenMesterséges Intelligencia MI
Mesterséges Intelligencia MI Valószínűségi hálók - alapok Dobrowiecki Tadeusz Eredics Péter, és mások BME I.E. 437, 463-28-99 dobrowiecki@mit.bme.hu, http://www.mit.bme.hu/general/staff/tade A szükséges
RészletesebbenMesterséges Intelligencia MI
Mesterséges Intelligencia MI Bizonytalan tudás és kezelése Dobrowiecki Tadeusz Eredics Péter, és mások BME I.E. 437, 463-28-99 dobrowiecki@mit.bme.hu, http://www.mit.bme.hu/general/staff/tade Milyen matematikát
RészletesebbenMatematika. 5. 8. évfolyam
Matematika 5. 8. évfolyam 5. 6. évfolyam Éves órakeret: 148 Heti óraszám: 4 Témakörök Óraszámok Gondolkodási és megismerési módszerek folyamatos Számtan, algebra 65 Összefüggések, függvények, sorozatok
RészletesebbenMATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Matematika emelt szint 0613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók
RészletesebbenMatematika felvételi feladatok bővített levezetése 2013 (8. osztályosoknak)
Matematika felvételi feladatok bővített levezetése 2013 (8. osztályosoknak) Erre a dokumentumra az Edemmester Gamer Blog kiadványokra vonatkozó szabályai érvényesek. 1. feladat: Határozd meg az a, b és
RészletesebbenKomputer statisztika gyakorlatok
Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tómács Tibor Komputer statisztika gyakorlatok Eger, 2010. október 26. Tartalomjegyzék Előszó 4 Jelölések 5 1. Mintagenerálás 7 1.1. Egyenletes
RészletesebbenRelációs algebra áttekintés és egy táblára vonatkozó lekérdezések
Relációs algebra áttekintés és egy táblára vonatkozó lekérdezések Tankönyv: Ullman-Widom: Adatbázisrendszerek Alapvetés Második, átdolgozott kiadás, Panem, 2009 2.4. Relációs algebra (áttekintés) 5.1.
RészletesebbenValószínűségszámítás
Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tómács Tibor Valószínűségszámítás programtervező informatikusok részére Eger, 010. szeptember 0. Tartalomjegyzék 1. Véletlen események...............................
RészletesebbenMesterséges Intelligencia I. (I602, IB602)
Dr. Jelasity Márk Mesterséges Intelligencia I. (I602, IB602) harmadik (2008. szeptember 15-i) előadásának jegyzete Készítette: Papp Tamás PATLACT.SZE KPM V. HEURISZTIKUS FÜGGVÉNYEK ELŐÁLLÍTÁSA Nagyon fontos
RészletesebbenTermészetes számok: a legegyszerűbb halmazok elemeinek. halmazokat alkothatunk, ezek elemszámai természetes 3+2=5
1. Valós számok (ismétlés) Természetes számok: a legegyszerűbb halmazok elemeinek megszámlálására használjuk őket: N := {1, 2, 3,...,n,...} Például, egy zsák bab felhasználásával babszemekből halmazokat
RészletesebbenBIZONYTALAN ADATOK KEZELÉSE: FUZZY SZAKÉRTŐI RENDSZEREK
BIZONYTALAN ADATOK KEZELÉSE: FUZZY SZAKÉRTŐI RENDSZEREK Szakértői rendszerek, 14. hét, 2008 Tartalom 1 Bevezető 2 Fuzzy történelem A fuzzy logika kialakulása Alkalmazások Fuzzy logikát követ-e a világ?
RészletesebbenMiskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28.
Miskolci Egyetem Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. KOMBINATORIKA Permutáció Ismétlés nélküli permutáció alatt néhány különböző dolognak a sorba rendezését értjük. Az "ismétlés
Részletesebben6. AZ EREDMÉNYEK ÉRTELMEZÉSE
6. AZ EREDMÉNYEK ÉRTELMEZÉSE A kurzus anyagát felhasználva összeállíthatunk egy kitűnő feladatlapot, de még nem dőlhetünk nyugodtan hátra. Diákjaink teljesítményét még osztályzatokra kell átváltanunk,
RészletesebbenCsődvalószínűségek becslése a biztosításban
Csődvalószínűségek becslése a biztosításban Diplomamunka Írta: Deák Barbara Matematikus szak Témavezető: Arató Miklós, egyetemi docens Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék Eötvös Loránd Tudományegyetem,
RészletesebbenMATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét
MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét - 1 - Az óraszámok az AROMOBAN követhetőek nyomon! A tananyag feldolgozása a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA (Mozaik, 013) tankönyv és a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY
RészletesebbenGAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN
GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten LINEÁRIS PROGRAMOZÁS Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor Vázlat 1 2 3 4 A lineáris
RészletesebbenVári Péter-Rábainé Szabó Annamária-Szepesi Ildikó-Szabó Vilmos-Takács Szabolcs KOMPETENCIAMÉRÉS 2004
Vári Péter-Rábainé Szabó Annamária-Szepesi Ildikó-Szabó Vilmos-Takács Szabolcs KOMPETENCIAMÉRÉS 2004 2005 Budapest Értékelési Központ SuliNova Kht. 2 Országos Kompetenciamérés 2004 Tartalom 1. Bevezetés...4
RészletesebbenÁltalános statisztika II. Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László
Általános statisztika II Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László Általános statisztika II Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László Publication
Részletesebben1. Három tanuló reggel az iskola bejáratánál hányféle sorrendben lépheti át a küszöböt?
skombinatorika 1. Három tanuló reggel az iskola bejáratánál hányféle sorrendben lépheti át a küszöböt? P = 3 2 1 = 6. 3 2. Hány különböző négyjegyű számot írhatunk föl 2 db 1-es, 1 db 2-es és 1 db 3-as
RészletesebbenKövetkezõ: Lineáris rendszerek jellemzõi és vizsgálatuk. Jelfeldolgozás. Lineáris rendszerek jellemzõi és vizsgálatuk
1 1 Következõ: Lineáris rendszerek jellemzõi és vizsgálatuk Jelfeldolgozás 1 Lineáris rendszerek jellemzõi és vizsgálatuk 2 Bevezetés 5 Kérdések, feladatok 6 Fourier sorok, Fourier transzformáció 7 Jelek
RészletesebbenXII. LABOR - Fuzzy logika
XII. LABOR - Fuzzy logika XII. LABOR - Fuzzy logika A gyakorlat célja elsajátítani a fuzzy logikával kapcsolatos elemeket: fuzzy tagsági függvények, fuzzy halmazmveletek, fuzzy következtet rendszerek felépítése,
RészletesebbenMára új helyzet alakult ki: a korábbiakhoz képest nagyságrendekkel komplexebb
Iskolakultúra 2004/8 Nagy József ny. egyetemi tanár, Szegedi Tudományegyetem, Szeged Az elemi kombinatív képesség kialakulásának kritériumorientált diagnosztikus feltárása tanulmány Ha beírjuk a számítógép
RészletesebbenÅÌ ¹ ÄÌ ÐÑ Ð Ø Þ Ì Ò Þ ÃÙØ Ø ÓÔÓÖØ Ì ÓÖØÙ ÓÑ ÒÝÓ ÑÙÒ Ø Ö Î Ñ Ö Ø ØÙ Ó Ú ÒØÙÑØ Ö ÐÑ Ð Ø Ò ÅÌ Ó ØÓÖ ÖØ Þ ÒÝ ØÚ ¾¼¼ º ÖÙ Ö ¾ Ã Þ Ò ØÒÝ ÐÚ Ò Ø ÀÓÖÚ ÞØÓ ØÓØØ Þ È ÐÐ Ä Þ ØÓÒ Þ Ò Ø ØÑÓÒ Ó Ñ Ò ÞÓ Ò Ò Ð Ð Þ ÑÙÒ
RészletesebbenReiczigel Jenő, 2006 1
Reiczigel Jenő, 2006 1 Egytényezős (egyszempontos) varianciaelemzés k független minta (k kezelés vagy k csoport), a célváltozó minden csoportban normális eloszlású, a szórások azonosak, az átlagok vagy
RészletesebbenSzeminárium-Rekurziók
1 Szeminárium-Rekurziók 1.1. A sorozat fogalma Számsorozatot kapunk, ha pozitív egész számok mindegyikéhez egyértelműen hozzárendelünk egy valós számot. Tehát a számsorozat olyan függvény, amelynek az
RészletesebbenBevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény. Szeszlér Dávid, Wiener Gábor
Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény Szeszlér Dávid, Wiener Gábor Tartalomjegyzék Előszó 2 1. Feladatok 5 1.1. Térbeli koordinátageometria........................... 5 1.2. Vektortér, altér..................................
RészletesebbenMátrixok. 3. fejezet. 3.1. Bevezetés: műveletek táblázatokkal
fejezet Mátrixok Az előző fejezetben a mátrixokat csak egyszerű jelölésnek tekintettük, mely az egyenletrendszer együtthatóinak tárolására, és az egyenletrendszer megoldása közbeni számítások egyszerüsítésére
RészletesebbenKészítette: niethammer@freemail.hu
VLogo VRML generáló program Készítette: Niethammer Zoltán niethammer@freemail.hu 2008 Bevezetés A VLogo az általános iskolákban használt Comenius Logo logikájára épülő programozási nyelv. A végeredmény
RészletesebbenKosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013
Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István tankönyv 0 Mozaik Kiadó Szeged, 03 TARTALOMJEGYZÉK Gondolkodási módszerek. Mi következik ebbõl?... 0. A skatulyaelv... 3. Sorba rendezési
Részletesebben6. évfolyam MATEMATIKA
28 6. évfolyam MATEMATIKA Országos kompetenciamérés 28 Feladatok és jellemzőik matematika 6. évfolyam Oktatási Hivatal Budapest, 29 6. ÉVFOLYAM A kompetenciamérésekről 28 májusában immár hatodik alkalommal
RészletesebbenElméleti összefoglalók dr. Kovács Péter
Elméleti összefoglalók dr. Kovács Péter 1. Adatállományok létrehozása, kezelése... 2 2. Leíró statisztikai eljárások... 3 3. Várható értékek (átlagok) vizsgálatára irányuló próbák... 5 4. Eloszlások vizsgálata...
RészletesebbenSZÁMOLÁSTECHNIKAI ISMERETEK
SZÁMOLÁSTECHNIKAI ISMERETEK Műveletek szögekkel Geodéziai számításaink során gyakran fogunk szögekkel dolgozni. Az egyszerűbb írásmód kedvéért ilyenkor a fok ( o ), perc (, ), másodperc (,, ) jelét el
RészletesebbenAz értelem elemei. Az értelem elemei. Tartalom. Megjegyzés
Tartalom Az értelem és elemei: a tudás, az intelligencia és a beleérző képesség. Mennyire járnak ezek együtt, és milyen kombinációkban fordulnak elő az emberekben? Mi jellemzi a zsenit, tehetséget és a
RészletesebbenHELYI TANTERV MATEMATIKA (emelt szintű csoportoknak) Alapelvek, célok
HELYI TANTERV MATEMATIKA (emelt szintű csoportoknak) Alapelvek, célok Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési,
RészletesebbenMesterséges Intelligencia (Artificial Intelligence)
Mesterséges Intelligencia (Artificial Intelligence) Bevezetés (ágens típusok, környezet tulajdonságai) Ágens: Környezetébe ágyazott (érzékelések, beavatkozások) autonóm rendszer (minimum válasz). [Bármi
RészletesebbenElső sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x =
2000 Írásbeli érettségi-felvételi feladatok Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a egyenletet! cos x + sin2 x cos x +sinx +sin2x = 1 cos x (9 pont) 2. Az ABCO háromszög
RészletesebbenV. Bizonytalanságkezelés
Bizonytalanság forrásai V. Bizonytalanságkezelés Hiányzó adat mellett történő következtetés Mi lehet a páciens betegsége? Bizonytalan adatra épülő következtetés objektív Pontatlan műszerek pontatlan leolvasása:
RészletesebbenKódolás, hibajavítás. Tervezte és készítette Géczy LászlL. szló 2002
Kódolás, hibajavítás Tervezte és készítette Géczy LászlL szló 2002 Jelkapcsolat A jelkapcsolatban van a jelforrás, amely az üzenő, és a jelérzékelő (vevő, fogadó), amely az értesített. Jelforrás üzenet
Részletesebben2. MÉRÉSELMÉLETI ISMERETEK
2. MÉRÉSELMÉLETI ISMERETEK A fejezet célja azoknak a módszereknek a bemutatása, amelyekkel adatokat gyűjthetünk annak érdekében, hogy kérdéseinkre választ kapjunk. Megvizsgáljuk azokat a feltételeket is,
RészletesebbenII. Halmazok. Relációk. II.1. Rövid halmazelmélet. A halmaz megadása. { } { } { } { }
II. Halmazok. Relációk II.1. Rövid halmazelmélet A halmaz (sokaság) jól meghatározott, megkülönböztetett dolgok (tárgyak, fogalmak, stb.) összessége. A halmaz alapfogalom. Ez azt jelenti, hogy csak példákon
RészletesebbenMATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Matematika emelt szint 1613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 016. május 3. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:
RészletesebbenGyakorlatok. P (n) = P (n 1) + 2P (n 2) + P (n 3) ha n 4, (utolsó lépésként l, hl, u, hu-t léphetünk).
Gyakorlatok Din 1 Jelölje P (n) azt a számot, ahányféleképpen mehetünk le egy n lépcsőfokból álló lépcsőn a következő mozgáselemek egy sorozatával (zárójelben, hogy mennyit mozgunk az adott elemmel): lépés
Részletesebben2) = 0 ahol x 1 és x 2 az ax 2 + bx + c = 0 ( a,b, c R és a 0 )
Fogalom gyűjtemény Abszcissza: az x tengely Abszolút értékes egyenletek: azok az egyenletek, amelyekben abszolút érték jel szerepel. Abszolútérték-függvény: egy elemi egyváltozós valós függvény, mely minden
RészletesebbenJANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok
JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok Pécs, 1994 Lektorok: Dr. FEHÉR JÁNOS egyetemi docens, kandidtus. Dr. SIMON PÉTER egyetemi docens, kandidtus 1 Előszó Ez a jegyzet
Részletesebben10. Valószínűségszámítás
. Valószínűségszámítás.. Események A valószínűségszámítás nagyon leegyszerűsítve események bekövetkezésének valószínűségével foglalkozik. Példák: Ha egy játékban egy dobókockával dobunk, akkor a kockadobás
RészletesebbenModuláris elektronikai eszközök a gyakorlatban. Írta: Zabari István 2009. október 01. csütörtök, 14:33
Most induló cikksorozatunkban szeretnénk, gyakorlati oldalról bemutatni a ma már a legtöbb gyártó kínálatában szereplő moduláris elektronikai eszközöket, az egyszerű alkonykapcsolóktól a fényerőszabályzókon
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. május 9. EMELT SZINT
) A PQRS négyszög csúcsai: MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 006. május 9. EMELT SZINT P 3; I., Q ;3, R 6; és S 5; 5 Döntse el, hogy az alábbi három állítás közül melyik igaz és melyik hamis! Tegyen * jelet a táblázat
Részletesebben1 Rendszer alapok. 1.1 Alapfogalmak
ÉRTÉKTEREMTŐ FOLYAM ATOK MENEDZSMENTJE II. RENDSZEREK ÉS FOLYAMATOK TARTALOMJEGYZÉK 1 Rendszer alapok 1.1 Alapfogalmak 1.2 A rendszerek csoportosítása 1.3 Rendszerek működése 1.4 Rendszerek leírása, modellezése,
Részletesebben86 MAM112M előadásjegyzet, 2008/2009
86 MAM11M előadásjegyzet, 8/9 5. Fourier-elmélet 5.1. Komplex trigonometrikus Fourier-sorok Tekintsük az [,], C Hilbert-teret, azaz azoknak a komplex értékű f : [,] C függvényeknek a halmazát, amelyek
RészletesebbenGeometriai axiómarendszerek és modellek
Verhóczki László Geometriai axiómarendszerek és modellek ELTE TTK Matematikai Intézet Geometriai Tanszék Budapest, 2011 1) Az axiómákra vonatkozó alapvető ismeretek Egy matematikai elmélet felépítésének
RészletesebbenBlonde. Szépségszalon, Szolárium, Spa, Fitness. Ügyviteli Rendszer. Funkcionális Specifikáció. Verzió 1.1
Blonde Szépségszalon, Szolárium, Spa, Fitness Ügyviteli Rendszer Funkcionális Specifikáció Verzió 1.1 Blonde Funkcionális Specifikáció v1.1 2012.01.12 1 Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 3 1.1. A dokumentum
RészletesebbenÚj kötelezettségek személyes adatok megsértése esetére
Új kötelezettségek személyes adatok megsértése esetére Szerző: Dr. Halász Bálint ügyvéd 2013. szeptember 12. 2013. augusztus 25-én hatályba lépett az Európai Bizottság 611/2013/EU számú rendelete, amely
RészletesebbenEMMI kerettanterv 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet 2. sz. melléklet 2.2.03. Matematika az általános iskolák 5 8.
EMMI kerettanterv 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet 2. sz. melléklet 2.2.03 Matematika az általános iskolák 5 8. évfolyama számára Alapelvek, célok Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet
RészletesebbenNem teljesen nyilvánvaló például a következı, már ismert következtetés helyessége:
Magyarázat: Félkövér: új, definiálandó, magyarázatra szoruló kifejezések Aláhúzás: definíció, magyarázat Dılt bető: fontos részletek kiemelése Indentált rész: opcionális mellékszál, kitérı II. fejezet
RészletesebbenHasznos tippek betétlekötéshez
Hasznos tippek betétlekötéshez Frissítve: 2016.01.01. Szerző: BankRáció csapat Mi az a lekötött betét? Bankba tett pénz, amely gyakorlatilag a banknak nyújtott hitel. Azért cserébe, hogy a banknál hagyjuk
RészletesebbenLoad-flow jellegű feladat a villamos rendszerirányításban
NASZVADI PÉTER Load-flow jellegű feladat a villamos rendszerirányításban TDK dolgozat 2006 Előszó: Adott egy (villamosenergiaellátást biztosító) villamoshálózat, és ezen hálózathoz csatlakozó energiatermelők
RészletesebbenINFORMATIKAI ALAPISMERETEK
Informatikai alapismeretek középszint 1321 ÉRETTSÉGI VIZSGA 2014. október 13. INFORMATIKAI ALAPISMERETEK KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA
RészletesebbenI. Gondolkodási módszerek: (6 óra) 1. Gondolkodási módszerek, a halmazelmélet elemei, a logika elemei. 1. Számfogalom, műveletek (4 óra)
MATEMATIKA NYEK-humán tanterv Matematika előkészítő év Óraszám: 36 óra Tanítási ciklus 1 óra / 1 hét Részletes felsorolás A tananyag felosztása: I. Gondolkodási módszerek: (6 óra) 1. Gondolkodási módszerek,
RészletesebbenAnalízis előadás és gyakorlat vázlat
Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 00-. I. Félév . fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik.. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b) elemei:
RészletesebbenMatematika. Padányi Katolikus Gyakorlóiskola 1
Matematika Alapelvek, célok: Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről.
RészletesebbenEgyszerű tábla. Nagy Zsófia: A mi táblánk
Nagy Zsófia: A mi táblánk 2011 decemberében, karácsonyi meglepetésként, egyik diákom családjának közbenjárása révén került osztálytermünkbe egy Mimio interaktív tábla. Persze nagy volt az öröm a gyerekek
Részletesebben0663 MODUL SÍKIDOMOK. Háromszögek, nevezetes vonalak. Készítette: Jakucs Erika, Takácsné Tóth Ágnes
0663 MODUL SÍKIDOMOK Háromszögek, nevezetes vonalak Készítette: Jakucs Erika, Takácsné Tóth Ágnes Matematika A 6. évfolyam 0663. Síkidomok Háromszögek, nevezetes vonalak Tanári útmutató 2 MODULLEÍRÁS A
RészletesebbenSzakmai zárójelentés
Szakmai zárójelentés A csoporttechnológia (Group Technology = GT) elvi és módszertani alapjaihoz, valamint a kapcsolódó módszerek informatikai alkalmazásaihoz kötődő kutatómunkával a Miskolci Egyetem Alkalmazott
RészletesebbenEMMI kerettanterv 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet 1. sz. melléklet 1.2.3. Matematika az általános iskolák 1 4. évfolyama számára
EMMI kerettanterv 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet 1. sz. melléklet 1.2.3 Matematika az általános iskolák 1 4. évfolyama számára Célok és feladatok Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet
RészletesebbenTANMENETJAVASLAT AZ ÚJ KERETTANTERVHEZ MATEMATIKA 1. ÉVFOLYAM KÉSZÍTETTÉK: KURUCZNÉ BORBÉLY MÁRTA ÉS VARGA LÍVIA TANKÖNYVSZERZŐK 2013
TANMENETJAVASLAT AZ ÚJ KERETTANTERVHEZ MATEMATIKA 1. ÉVFOLYAM KÉSZÍTETTÉK: KURUCZNÉ BORBÉLY MÁRTA ÉS VARGA LÍVIA TANKÖNYVSZERZŐK 2013 1 Kedves Kollégák! Tanmenet javaslatunkkal segítséget kívánunk nyújtani
RészletesebbenAnalóg és digitális jelek. Az adattárolás mértékegységei. Bit. Bájt. Nagy mennyiségû adatok mérése
Analóg és digitális jelek Analóg mennyiség: Értéke tetszõleges lehet. Pl.:tömeg magasság,idõ Digitális mennyiség: Csak véges sok, elõre meghatározott értéket vehet fel. Pl.: gyerekek, feleségek száma Speciális
RészletesebbenI. Bevezetés... 3 II. Jogszabály tervezetére vonatkozó általános rendelkezések... 3 1. A jogszabály tervezetének a megszövegezésére vonatkozó
SEGÉDLET AZ ÖNKORMÁNYZATI RENDELETEK MEGALKOTÁSÁHOZ A JOGSZABÁLYSZERKESZTÉSRŐL SZÓLÓ 61/2009. (XII. 14.) IRM RENDELET ALAPJÁN Készítette: dr. Antalóczi-Szilágyi Adrienn dr. Karvalics Katalin dr. Kiss Bernadett
Részletesebben6. előadás PREFERENCIÁK (2), HASZNOSSÁG
6. előadás PREFERENCIÁK (), HASZNOSSÁG Kertesi Gábor Varian 3. fejezetének 50-55. oldalai és 4. fejezete alapján PREFERENCIÁK FEJEZET FOLYTATÁSA 6. A helyettesítési határarány Dolgozzunk mostantól fogva
Részletesebben* Modern piacelmélet. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. Tárgyfelelős neve * Modern piacelmélet Összejátszás, kartell
* Modern piacelmélet ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Tárgyfelelős neve * Modern piacelmélet Összejátszás, kartell ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Készítette: Hidi János * Verseny és versenyellenesség
RészletesebbenECP. Site Administration System. Felhasználói kézikönyv. v2.9.24+ (1. kiadás a 2.9.24 és újabb verziójú ECP SAS rendszerekhez)
v2.9.24+ ECP Site Administration System Felhasználói kézikönyv (1. kiadás a 2.9.24 és újabb verziójú ECP SAS rendszerekhez) AW STUDIO Nyíregyháza, Luther utca 5. 1/5, info@awstudio.hu 1 2 Jelen dokumentáció
Részletesebben9. előadás Környezetfüggetlen nyelvek
9. előadás Környezetfüggetlen nyelvek Dr. Kallós Gábor 2015 2016 1 Tartalom Bevezetés CF nyelv példák Nyelvek és nyelvtanok egy- és többértelműsége Bal- és jobboldali levezetések A fák magassága és határa
RészletesebbenVargha András PSZICHOLÓGIAI STATISZTIKA DIÓHÉJBAN 1. X.1. táblázat: Egy iskolai bizonyítvány. Magyar irodalom. Biológia Földrajz
Megjelent: Vargha A. (7). Pszichológiai statisztika dióhéjban. In: Czigler I. és Oláh A. (szerk.), Találkozás a pszichológiával. Osiris Kiadó, Budapest, 7-46. Mi az, hogy statisztika? Vargha András PSZICHOLÓGIAI
RészletesebbenProgramozás alapjai C nyelv 5. gyakorlat. Írjunk ki fordítva! Írjunk ki fordítva! (3)
Programozás alapjai C nyelv 5. gyakorlat Szeberényi Imre BME IIT Programozás alapjai I. (C nyelv, gyakorlat) BME-IIT Sz.I. 2005.10.17. -1- Tömbök Azonos típusú adatok tárolására. Index
RészletesebbenA deduktív logika elemei. Érveléselmélet, 2015. 10. 12.
A deduktív logika elemei Érveléselmélet, 2015. 10. 12. Ismétlés: Deduktív érvelés Deduktív érvelés: A premisszák igazsága szükségszerűen maga után vonja a konklúzió igazságát. Minden magyar adócsaló. Pityu
Részletesebben(C) Dr. Bagyinszki Gyula: ANYAGTECHNOLÓGIA II.
HŐKEZELÉS Hőkezelés az anyagok ill. a belőlük készült fél- és készgyártmányok meghatározott program szerinti felhevítése hőntartása lehűtése a mikroszerkezet ill. a feszültségállapot megváltoztatása és
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. október 21. KÖZÉPSZINT I.
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 008. október 1. KÖZÉPSZINT I. 1) Adja meg a 4 egyjegyű pozitív osztóinak halmazát! A keresett halmaz: {1 4 6 8}. ) Hányszorosára nő egy cm sugarú kör területe, ha a sugarát háromszorosára
RészletesebbenBUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM. Puskás Csaba, Szabó Imre, Tallos Péter LINEÁRIS ALGEBRA JEGYZET
BUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM Puskás Csaba, Szabó Imre, Tallos Péter LINEÁRIS ALGEBRA JEGYZET BUDAPEST, 1997 A szerzők Lineáris Algebra, illetve Lineáris Algebra II c jegyzeteinek átdolgozott
RészletesebbenGrilla Stúdiója - gyógytorna, szülésfelkészítés
Az ikrek nevelése R.: - Önt talán azért is érdekli az ikerkutatás, az ikergyerekek világa és élete, mert Ön is egy iker, ikerpár egyik tagja. Önök egypetéjû ikrek, vagy kétpetéjû ikrek? Métneki Júlia,
RészletesebbenLineáris Algebra gyakorlatok
A V 2 és V 3 vektortér áttekintése Lineáris Algebra gyakorlatok Írta: Simon Ilona Lektorálta: DrBereczky Áron Áttekintjük néhány témakör legfontosabb definícióit és a feladatokban használt tételeket kimondjuk
RészletesebbenAz enyhe értelmi fogyatékos fővárosi tanulók 2009/2010. tanévi kompetenciaalapú matematika- és szövegértés-mérés eredményeinek elemzése
E L E M Z É S Az enyhe értelmi fogyatékos fővárosi tanulók 2009/2010. tanévi kompetenciaalapú matematika- és szövegértés-mérés eredményeinek elemzése 2010. szeptember Balázs Ágnes (szövegértés) és Magyar
RészletesebbenZajszűrés III. Réges-régi szkennek (DCP előttről) Áttekintés
Zajszűrés III. Réges-régi szkennek (DCP előttről) Áttekintés Mielőtt feltűnt volna a DCP az egységesített feljavításaival, a képregények szkennelt változatai leginkább egy kíváncsi amatőr ősrégi honlapokra
RészletesebbenAZ ORSZÁGOS VÁLASZTÁSI BIZOTTSÁG 2012. JANUÁR 11-ÉN MEGTARTOTT ÜLÉSÉNEK A JEGYZŐKÖNYVE
AZ ORSZÁGOS VÁLASZTÁSI BIZOTTSÁG 2012. JANUÁR 11-ÉN MEGTARTOTT ÜLÉSÉNEK A JEGYZŐKÖNYVE Köszöntöm az Országos Választási Bizottság ülésén megjelenteket. Megállapítom, hogy az Országos Választási Bizottság
RészletesebbenMATEMATIKA 5 8. ALAPELVEK, CÉLOK
MATEMATIKA 5 8. ALAPELVEK, CÉLOK Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről.
RészletesebbenA tanítás-tanulás két sikertényezője
A tanítás-tanulás két sikertényezője BÁCSI János SZTE Juhász Gyula Gyakorló Általános Iskolája, Alapfokú Művészetoktatási Intézménye, Napközi Otthonos Óvodája, Szeged bacsi@jgypk.u-szeged.hu Ha feltesszük
RészletesebbenDUMASZÍNHÁZ, FÉNYFESTÉS ÉS SÁRKÁNYHAJÓZÁS VISSZAESÉS A RENDEZVÉNYPIACON
DUMASZÍNHÁZ, FÉNYFESTÉS ÉS SÁRKÁNYHAJÓZÁS VISSZAESÉS A RENDEZVÉNYPIACON Továbbra sem indult meg a kilábalás a rendezvényes szakma válságából, a 2009 és 2010-es súlyos visszaesés után a gödör mélyén vegetál
RészletesebbenNémedi Mária Margareta A békés világtársadalom lehetőségének és lehetetlenségének szociológiaelméleti vizsgálata
Némedi Mária Margareta A békés világtársadalom lehetőségének és lehetetlenségének szociológiaelméleti vizsgálata mari szerzői kiadása - Budapest 2012 ISBN 978-963-08-4652-3 Semmilyen jog nincs fönntartva!
RészletesebbenBói Anna. Konfliktus? K. könyvecskék sorozat 1.
Bói Anna Konfliktus? K könyvecskék sorozat 1. Tartalom: Üdvözölöm a kedves Olvasót! Nem lehetne konfliktusok nélkül élni? Lehet konfliktusokkal jól élni? Akkor miért rossz mégis annyira? Megoldás K Összegzés
RészletesebbenIdőt kezelő modellek és temporális logikák
Időt kezelő modellek és temporális logikák Valósidejű rendszerek követelményeinek formalizálása és ellenőrzése Majzik István Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Méréstechnika és Információs
RészletesebbenMATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Matematika emelt szint 05 ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. május 9. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók A dolgozatot
Részletesebben10.3. A MÁSODFOKÚ EGYENLET
.. A MÁSODFOKÚ EGYENLET A másodfokú egenlet és függvén megoldások w9 a) ( ) + ; b) ( ) + ; c) ( + ) ; d) ( 6) ; e) ( + 8) 6; f) ( ) 9; g) (,),; h) ( +,),; i) ( ) + ; j) ( ) ; k) ( + ) + 7; l) ( ) + 9.
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2007. október 25. EMELT SZINT I.
1) x x MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 007. október 5. EMELT SZINT I. a) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! (5 pont) b) Oldja meg a valós számpárok halmazán az alábbi egyenletrendszert! lg x
Részletesebben10. évfolyam, negyedik epochafüzet
10. évfolyam, negyedik epochafüzet (Geometria) Tulajdonos: NEGYEDIK EPOCHAFÜZET TARTALOM I. Síkgeometria... 4 I.1. A háromszög... 4 I.2. Nevezetes négyszögek... 8 I.3. Sokszögek... 14 I.4. Kör és részei...
RészletesebbenNyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Prof. Dr. Závoti József. Matematika III. 6. MA3-6 modul. A statisztika alapfogalmai
Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Prof. Dr. Závoti József Matematika III. 6. MA3-6 modul A statisztika alapfogalmai SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról szóló 1999.
Részletesebben10. JAVÍTÓKULCS ORSZÁGOS KOMPETENCIAMÉRÉS MATEMATIKA. példaválaszokkal. s u l i N o v a K h t. É R T É K E L É S I K Ö Z P O N T É V F O L Y A M
10. É V F O L Y A M ORSZÁGOS KOMPETENCIAMÉRÉS JAVÍTÓKULCS MATEMATIKA s u l i N o v a K h t. É R T É K E L É S I K Ö Z P O N T 2 0 0 6 példaválaszokkal Hány órából áll egy hét? Válasz: A feleletválasztós
RészletesebbenLegrövidebb utat kereső algoritmusok. BFS (szélességi keresés)
Legrövidebb utat kereső algoritmusok Adott gráfban szeretnénk egkeresni két pont között a legrövidebb utat (a két pont távolsága érdekel). Ezt úgy fogjuk tudni megtenni, hogy közben megkapjuk az összes
RészletesebbenBizonytalanság. Mesterséges intelligencia április 4.
Bizonytalanság Mesterséges intelligencia 2014. április 4. Bevezetés Eddig: logika, igaz/hamis Ha nem teljes a tudás A világ nem figyelhető meg közvetlenül Részleges tudás nem reprezentálható logikai eszközökkel
RészletesebbenMATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK
MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: - középszinten a mai társadalomban tájékozódni és alkotni tudó ember matematikai ismereteit kell
RészletesebbenKözépszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 2005. november. I. rész
Pataki János, 005. november Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 005. november I. rész. feladat Egy liter 0%-os alkoholhoz / liter 40%-os alkoholt keverünk.
Részletesebben