tvo s Lora nd Tudoma nyegyetem Eo szettudoma nyi Kar Terme K oz ons eges differenci alegyenletek numerikus megold asa Szakdolgozat M esz aros Mirjana Matematika BSc - Matematikai elemz o szakir any T emavezet o: Kurics Tam as Alkalmazott Anal ızis es Sz am ıt asmatematikai Tansz ek 00
Köszönöm témavezetőmnek, Kurics Tamásnak, hogy a tanórák keretében és konzultációk alkalmával is segített megismerkedni ezzel a témával, továbbá, hogy hasznos tanácsaival hozzájárult a szakdolgozat megírásához.
Tartalomjegyzék. Motiváció. Bevezetés 3 3. Egylépéses módszerek 4 3.. Az Euler-módszer................................. 4 3... A módszer leírása............................. 4 3... Az Euler-módszer rendje......................... 6 3.. A javított Euler-módszer............................. 8 3... A módszer leírása............................. 8 3... A javított Euler-módszer rendje..................... 8 3.3. Implicit Euler-módszer.............................. 9 3.3.. A módszer leírása............................. 9 3.3.. Az implicit Euler-módszer rendje.................... 9 3.4. Trapéz módszer.................................. 0 3.4.. A trapéz módszer leírása......................... 0 3.4.. A trapéz módszer rendje......................... 0 3.5. A θ-módszer.................................... 3.6. Egylépéses módszerek tesztelése......................... 4. Runge-Kutta típusú módszerek 5 4.. Az explicit Runge-Kutta módszer........................ 5 4.. A kétlépcs s Runge-Kutta módszerek...................... 6 4.3. Harmadrend módszerek............................. 8 4.4. Negyed- és magasabbrend módszerek..................... 9 4.5. Runge-Kutta módszerek tesztelése....................... 9 5. Többlépéses módszerek 5.. A középpont szabály............................... 5.. Az Adams-Bashforth és Adams-Moulton módszerek.............. 3 5... Kétlépéses Adams-Bashforth módszer................. 4 5... Kétlépéses Adams-Moulton módszer.................. 5 5.3. A Nyström és a Milne-Simpson módszerek................... 6 5.4. A prediktor-korrektor módszerek........................ 6 5.5. Többlépéses módszerek tesztelése........................ 7 6. Összefoglalás 3
. Motiváció A mindennapi életben találkozunk olyan megoldandó problémákkal, ahol a probléma modellezése dierenciálegyenletekkel történik. Ezek lehetnek gazdasági, m szaki vagy akár biológiai problémák. Vegyük az alábbi példát, amikor egy hír terjedését vizsgáljuk egy közösségben (lásd []). Kezdetben a hírt a teljes lakosság y s r ség része ismeri, y nem ismeri. Ahhoz, hogy a hír továbbterjedjen, a két csoportnak találkoznia kell, ennek a valószín sége y( y). A találkozás sikeressége egy α pozitív konstanssal jellemezhet. Arra számítunk, hogy ahogy az id (t) múlik, annál nagyobb lesz a hírt ismer k aránya az egész lakosságban. Ha a t id pillanatban y(t) volt a s r ség, akkor a találkozás után, a t + t id pontban y(t + t) = y(t) + tαy(t)( y(t)), azaz y(t + t) y(t) = αy(t)( y(t)). t Ebb l adódik a következ dierenciálegyenlet: y (t) = αy(t)( y(t)). Egy másik érdekes példa egy fajon belül a populációszám vizsgálata (lásd []). Kezdjük a vizsgálatot a t 0 id ben, és legyen ekkor az egyedszám P 0. Arra vagyunk kíváncsiak, hogy mennyi lesz az egyedszám egy t = t pillanatban. Az egyedszámot két esemény befolyásolhatja, a születések és a halálozások. Adódhatnak még más befolyásoló tényez k, mint például a ki- és bevándorlás, betegségek, járványok, háborúk, de ezekkel most nem foglalkozunk. Legyen b a t id alatt születettek aránya a teljes lakossághoz képest, hasonlóan c a halálozás aránya. A modell felírva így néz ki: P (t + t) = P (t) + bp (t) t cp (t) t, vagy másképp P (t + t) P (t) = bp (t) cp (t) = kp (t). t Ebb l, az el bbi példához hasonlóan, kapjuk a dierenciálegyenletet. P (t) = kp (t) A példaként felhozott dierenciálegyenletek megoldhatóak analitikusan is, viszont a gyakorlatban felmerül problémák gyakran nemlineáris egyenletre vagy egyenletrendszerre vezetnek, ilyenkor numerikus módszerekhez fordulhatunk, ezeknek a módszereknek az összefoglalásával és tanulmányozásával foglalkozik a szakdolgozatom.
. Bevezetés Feladatunk az u (t) = f(t, u(t)) () alakú közönséges dierenciálegyenlet megoldása, ahol f(t, u) adott függvény és keressük u-t. Az () egyenlet magában nem elég ahhoz, hogy egyértelm en meghatározzuk az u függvényt. Nézzük a legegyszer bb esetet, amikor f(t, u) azonosan 0. Ekkor u valamilyen konstans függvény, hiszen egy függvény deriváltja pontosan akkor nulla, ha a függvény konstans. Hogy mennyi ez a konstans, azt egyértelm en nem tudjuk meghatározni, további információra van szükségünk. Ezt a plusz információt hívjuk kezdeti értéknek, azaz megmondjuk, hogy mennyi a függvény értéke a t = 0-ban, azaz u(0). Ezzel együtt megkaptuk a kezdetiérték feladatot: u (t) = f(t, u(t)), u(0) = u 0. () A megoldás létezését és egyértelm ségét az alábbi tétel garantálja:.. Picard-Lindelöf tétel. Egy kezdetiérték feladatnak létezik megoldása, és a megoldás egyértelm, ha: f folytonos az els argumentumában, azaz t-ben f Lipschitz -folytonos u-ban, azaz létezik olyan L állandó, hogy minden u, u és minden t értékre teljesül az f(t, u ) f(t, u ) L u u (3) egyenl tlenség. Miután deniáljuk a különböz numerikus módszereket, azok m ködését egy konkrét példán is tesztelni fogjuk, amit Matlab-ban programozok le. A tesztegyenletünk a következ lesz: aminek ismerjük a pontos megoldását, u (t) = λu(t) + λ(t + ) 3 + 3(t + ), u(0) = u 0 (4) u(t) = t 3 + 3t + 3t + + (u 0 )e λt. (5) A λ paraméter és a lépésköz változtatásával teszteljük a numerikus módszereket a [0, 4] intervallumban, a 4-beli értékét pedig összehasonlítjuk a pontos megoldás 4-beli értékével. abban az esetben, ha a függvényt egy [0,b] intervallumon vizsgáljuk Rudolf Otto Sigismund Lipschitz (83-903), német matematikus 3
3. Egylépéses módszerek Az u (t) = f(t, u(t)) megoldásához deniáljunk egy y rácsfüggvényt, úgy, hogy a t tengelyen vizsgált intervallumot fölosztjuk N egyenl részre, egy ilyen kis távolság hosszú lesz. A függvény értelmezési tartománya ezeknek a pontoknak a halmaza lesz, tehát: D(y ) = ω := {n ; n = 0,,.., N; > 0} ekvidisztáns rácsháló, t n = n. Néhány egyszer sít jelölést is bevezetünk, legyen y n := y (t n ), ez a közelít megoldás értéke a t n pontban, u n := u(t n ) pedig a pontos megoldás a t n pontban. A rácsfüggvény, y módszereknél fog szerepelni. pontos deníciója az egyes 3.. Az Euler-módszer 3... A módszer leírása A közönséges dierenciálegyenletek numerikus megoldásának legegyszer bb eszköze az Euler 3 -módszer, habár ezt csak ritkán használják, mert mint kés bb látni fogjuk, elég pontatlan. Ennél a módszernél a y rácsfüggvényt az alábbi módon deniáljuk: y n+ y n = f(t n, y n ) (6) y 0 = u 0 (7) Ezt átrendezve kapjuk, hogy: y n+ = y n + f(t n, y n ). (8) Ezt máshogy úgy is megkaphatjuk, hogy abból indulunk ki, hogy ismerjük az u (t) = f(t, u(t)) kezdetiérték feladatot az u 0 értékkel együtt, így ismerjük az u(t) deriváltját a t 0 = 0 pontban: u (0) = f(0, u(0)), és legyen ebben a kezdeti pontban y (0) = u (0). Választunk egy kis > 0 értéket, és a kiszámított derivált irányában teszünk egy vetület lépést: t = t 0 + =, y = y 0 + f(0, y 0 ). (9) 3 Leonhard Paul Euler (707-783), svájci matematikus 4
Ezek után újra kapunk egy (t, y(t)) pontot a síkon, melyben, az el z ekhez hasonlóan, a dierenciálegyenletb l kiszámolható a derivált, és így újra közelíthetjük a megoldást egy újabb hosszú szakaszon: t = t +, y = y + f(t, y ). (0) Általánosan leírva: t n+ = t n +, y n+ = y n + f(t n, y n ). () Nézzük meg a módszer lépéseit egy konkrét példán (lásd []): u (t) = Lu(t), t [0, ], u(0) =, () ahol L pozitív konstans. Ennek tudjuk a pontos megoldását, u(t) = e Lt, és így össze tudjuk hasonlítani a pontos megoldást a numerikus megoldással. Legyen = 0, és L = 0. t n u(t n ) y(t n ) 0,, 788 0, 7, 38906 4 0, 3 0, 0855 8..., 0 06, 5 04 Látszik, hogy az y(t n ) eredmények mennyire távol vannak a pontos u(t n ) értékekt l. Folytathatjuk a számolást úgy, hogy egyre kisebb -t veszünk, = /N, és mindig duplázzuk az intervallumok számát. e N := u(t N ) y(t N ), vagyis a pontos megoldástól való eltérés, t N = = N, y N pedig a becsült megoldás az t N pontban. N y N e N 0 0, 04 00, 5 0 0, 05 335, 6 870, 4 40 0, 05 753, 6 4503, 34 80 0, 05 365, 966, 3 60 0, 0065 636, 6 5709, 9 30 0, 0035 8900, 3 36, 0 640 0, 00565 0387, 5 639, 0 A pontos megoldás értéke u(t N ) = 06, 5. Látható, hogy ha lassan is, de az értékek konvergálnak a pontos megoldáshoz. 5
3... Az Euler-módszer rendje 3.. Deníció. Egy adott numerikus módszer által el állított y rácsfüggvény esetén, az e(t n, ) rácsfüggvényt a módszer hibafüggvényének vagy globális hibájának nevezzük, e n := y(t n ) u(t n ) = y n u n e : ω R (3) Az Euler-módszer: Mivel y n = u n + e n, ezért: y n+ y n = f(t n, y n ). (4) e n+ e n = f(t n, u n + e n ) u n+ u n e n+ e n = [f(t n, u n + e n ) f(t n, u n )] + [f(t n, u n ) u n+ u n ]. (5) ψ () n := u n+ u n + f(t n, u n ) (6) ψ () n := f(t n, u n + e n ) f(t n, u n ) (7) A ψ n () értéket nevezzük reziduális, vagy lokális approximációs hibának. ψ n () nem más, mint a pontos megoldás értéke a numerikus megoldást el állító algoritmusban. Tehát ha y = u(t), akkor ψ () n = 0. 3.. Deníció. Azt mondjuk, hogy egy numerikus módszer konzisztens, ha a képlethibájára igaz, hogy ψ () n rendje. = O( p ), ahol p > 0, a legnagyobb ilyen egész p a módszer konzisztencia Az Euler-módszer kozisztencia rendje ezek alapján: ψ () n := u n+ u n + f(t n, u n ) ψ n () = u(t n+) u(t n ) + f(t n, u(t n )) (8) u(t n+ ) = u(t n + ) = u(t n ) + u (t n ) + u (t n ) + O( 3 ). (9) A fenti felbontás az u(t n+ ) függvény t n pontbeli Taylor-polinommal 4 közelített alakja. A Taylor-polinom általános alakja: T n (x) = f(a) + f (a)(x a) +... + f (n) (a) (x a) n, n! 4 Brook Taylor (685-73), angol matematikus 6
ha az f függvény n-szer dierenciálható az a pontban. Mivel u(t) a kezdeti érték feladat megoldása, ezért u (t) = f(t, u(t)) minden t-re. Tehát a módszer els rendben konzisztens. u (t n ) = f(t n, u(t n )) ψ () n = u (t n ) u (t n ) + O( ) + u (t n ) ψ () n = u (t n ) + O( ) = O( ) (0) Vonjuk ki a 3.. denícióban deniált egyenletb l a pontos megoldást behelyettesítve a képletbe, azaz a u n+ = u n + f(t n, u n ) egyenletet, így a globális hibára az alábbi egyenleteket kapjuk: e n+ = e n + [f(t n, y n ) f(t n, u n )] + ψ () n, felhasználva a Lipschitz-tulajdonságot, következik a becslés, ami tovább fejtve e n+ e n + L f e n + ψ () n e n+ ( + L f ) e n + ψ () n + ( + L f ) ψ () n Itt... ( + L f ) n+ e 0 + n ( + L f ) n k ψ () k=0 ( + L f ) n+ [ e 0 + n k=0 ψ () k ]. k + L f e L f, tehát ( + L f ) n e L f n = e L f t n. Ezek után a végleges becslésünk a következ : e n+ e L f t n [ e 0 + n k=0 ψ () k ]. () 3.3. Deníció. Ha f Lip(y), akkor egy numerikus módszer stabil, ha igaz a következ : ahol C konstans. ( e n+ C e 0 + n k=0 ψ () k ), 7
Az Euler-módszer a fenti számolások miatt stabil. 3.. Tétel. Ha egy numerikus módszer konzisztens és stabil, akkor konvergens is, és a konvergencia rendje egybeesik a konzisztencia rendjével. Az Euler-módszer tehát mivel konzisztens és stabil is, ezért konvergens, a konvergencia rendje. A további egylépéses módszereknél szintén érvényes lesz a stabilitás (ezt nem számoljuk ki a továbbiakban), ezért elég lesz csak a konzisztencia rendjét kiszámolni, amib l adódik majd a konvergencia rendje. 3.. A javított Euler-módszer A fenti számolások mutatják, hogy az Euler-módszer lassan konvergál, ezért ritkán is használják. Egy kis javítással, viszont jobb eredményeket várhatunk. 3... A módszer leírása A módszert javíthatjuk úgy, hogy el ször egy fél lépést téve kiszámítjuk f értékét, és az így kapott meredekséggel teszünk egy egész lépést az eredeti (t n, y n ) pontból. Azt várjuk, hogy az így deniált módszer másodrend pontosságú lesz. Képletekkel felírva: t n+ és az egész lépés az új meredekséggel: = t n +, y n+ = y n + f(t n, y n ) () t n+ = t n +, y n+ = y n + f(t n+, y n+ ). (3) 3... A javított Euler-módszer rendje A képlethiba kiszámolásához fel kell tennünk, hogy f mindkét változója szerint kétszer folytonosan dierenciálható, így y háromszor folytonosan dierenciálható lesz t szerint. y n+ y n = f(t n+, y n+ ) Az u n+ és f(t n+, u n+ ψ () n = u n+ u n + f(t n+, u n+ ) (4) ) = u (t n+ ) függvényeket Taylor-sorba fejtve kapjuk, hogy: ψ () n = (u(t n) + u (t n ) + y (t n ) + O( 3 ) u(t n )) +u (t n ) + u (t n ) + 8 u (t n ) + O( 3 ) 8
ψ () n = u (t n ) u (t n ) + O( 3 ) + u (t n ) + u (t n ) + 8 u (t n ) + O( 3 ) = 8 u (t n ) + O( 3 ) = O( ). (5) Tehát a javított Euler-módszer tényleg másodrend. 3.3. Implicit Euler-módszer 3.3.. A módszer leírása néz ki: Az u = f(t, u(t)) egyenlet közelít megoldása az implicit Euler-módszerrel leírva így y n+ = y n + f(t n+, y n+ ). (6) Ahogy látható a keresett y n+ érték az egyenlet jobb oldalán is el fordul, ezért nevezzük ezt a módszert implicitnek. Ett l a módszert l azért várunk jobb eredményt, mert egy pontban a közelít megoldást (az explicit Eulerrel ellentétben) az adott pontban (és nem az el z ben) mért meredekség segítségével közelíti. 3.3.. Az implicit Euler-módszer rendje Az explicit Euler-módszerhez hasonlóan számolhatjuk ki az implicit módszer rendjét. Ismét e-vel jelölve a hibafüggvényt, és a e n = y n u n egyenletet használva: Ebb l: = e n+ e n [ f(t n+, u n+ + e n+ ) f(t n+, u n+ ) ψ () n = f(t n+, u n+ + e n+ ) u n+ u n ] [ + = u n+ u n f(t n+, u n+ ) u n+ u n + f(t n+, u n+ ). (7) Mivel u(t) a kezdeti érték feladat megoldása, ezért u (t) = f(t, u(t)) minden t-re. u (t n+ ) = f(t n+, u n+ ) Az u(t n+ ) kifejezést a már ismertek szerint felírhatjuk eképp: Kiszámolva ezek után ψ () n u(t n+ ) = u(t n + ) = u(t n ) + u (t n ) + értékét kapjuk, hogy u (t n ) + O( 3 ). ψ () n = u (t n ) u (t n ) + O( ) + u (t n+ ). ] Mivel u (t n+ ) = u (t n ) + u (t n ) + O( ), 9
ezért ψ () n = u (t n ) + O( ) = O( ). (8) A várttal ellentétben az implicit Euler-módszer, az explicithez hasonlóan, els rend. 3.4. Trapéz módszer 3.4.. A trapéz módszer leírása Az explicit és implicit Euler-módszert elemezve láttuk, hogy a két módszer nagyon lassan konvergál az eredeti megoldáshoz. Az explicit módszernél, egy lépésköznél mindig csak az intervallum kezd pontjában számoltuk ki a derivált értékét, és ez adta meg a folytatáshoz a meredekséget, míg az implicit módszernél csak az intervallum végpontjában számoltuk ki ezt az értéket. A trapéz módszernél az az ötlet, hogy vegyük az intervallum két végpontjában számolt értékek számtani közepét. Képlettel megfogalmazva: y n+ = y n + [f(t n, y n ) + f(t n+, y n+ )]. (9) 3.4.. A trapéz módszer rendje A trapéz módszerre kiszámított ψ n lokális approxiációs hiba: ψ n = u(t n+) u(t n ) Ezek után kiszámolhatjuk u(t n+ ) Taylor-polinomos alakját. Mivel u(t n+ ) u(t n ) = u(t n + ) u(t n ) = u(t n ) + u (t n ) + u(t n+ ) u(t n ) + [f(t n, u(t n )) + f(t n+, u(t n+ ))]. (30) u (t n ) + O( 3 ) u(t n ) = u (t n ) + u (t n ) + O( ) (3) f(t n, u(t n )) = u (t n ) és f(t n+, u(t n+ )) = u (t n+ ) = u (t n ) + u (t n ) + O( ) az el z leg látott Taylor-polinomos felbontás miatt, a ψ n kiszámolva: ψ n = u (t n ) u (t n ) + O( ) + u (t n ) + u (t n ) + u (t n ) + O( ) = O( ). (3) A trapéz módszer tehát a fenti számolások miatt másodrend. 0
3.5. A θ-módszer Az eddig megvizsgált módszereknél a közelít megoldást a (t n+, y n+ ) pontban úgy kaptuk, hogy vettük az y n és y n+ pontbeli deriváltak valamilyen átlagolását. Ezt összefoglalva, felírhatjuk ket általános alakban is, és általánosan vizsgálhatjuk a módszer rendjét is. Ezt nevezzük θ-módszernek, ahol a θ az átlagolás súlyparamétere, azaz formálisan: y n+ = y n + [θf(t n, y n ) + ( θ)f(t n+, y n+ )], (33) θ [0, ], aminek különböz értékeire különböz numerikus módszereket kapunk. Ha θ =, az explicit Euler-módszert, ha θ =, a trapéz módszert, ha θ = 0, az implicit Euler-módszert kapjuk. A numerikus módszer képletébe beírva a pontos megoldást, felírva u(t n+ )-et Taylor-sorba fejtve és kihasználva, hogy f(t n, u(t n )) = u (t n ), megmondhatjuk a módszerünk rendjét. ψ n () = u(t n+) u(t n ) [θf(t n, u(t n )) + ( θ)f(t n+, u(t n+ ))] = u(t n+) u(t n ) [θu (t n ) + ( θ)u (t n+ )] = [ u(t n ) + u (t n ) + u (t n ) + ] 6 3 u (t n ) u(t n ) { [ θu (t n ) + ( θ) u (t n ) + u (t n ) + ]} u (t n ) + O( 3 ) = ( θ ) ( u (t n ) + θ 3) u (t n ) + O( 3 ). (34) Tehát a módszer másodrend, ha θ = (trapéz módszer), különben meg els rend (explicit és implicit Euler-módszer). 3.6. Egylépéses módszerek tesztelése Miután több egylépéses módszerrel megismerkedtünk és kiszámoltuk a konvergencia rendjüket, a bevezet ben említettek szerint, egy konkrét példán teszteljük is ket. A tesztegyenletünk a következ : aminek a pontos megoldása u (t) = λu(t) + λ(t + ) 3 + 3(t + ), u(0) = u 0 u(t) = t 3 + 3t + 3t + + (u 0 )e λt.
A program futtatása során a λ paramétert és a lépésközt fogom változtatni, az u 0 kezdetiérték minden esetben 0 lesz, a numerikus módszereket a [0, 4] intervallumban vizsgálom és a végpontjában, 4-ben, megnézem, hogy a pontos és a közelített megoldás mennyivel tér el. A lépésközt el ször 0, -nek választom, majd megfelezve 0, 05 és 0, 05-nek, míg mindhárom lépésköznél a λ három értével, 0, 5 és 30-cal, futtatom a programot.. táblázat. Egylépéses módszerek hibája különböz -val és λ-val Explicit Euler Javított Euler Implicit Euler Trapéz módszer = 0, λ = 0 3, 5800 0, 000 3, 600 0, 000 λ = 5 0, 0993 0, 48 0, 0980 3, 33 0 4 λ = 30 9, 9 0 7, 46 0 6 0, 0493, 67 0 4 = 0, 05 λ = 0, 7950 0, 005, 8050 0, 0050 λ = 5 0, 0495 0, 046 0, 049 8, 33 0 5 λ = 30 0, 049 0, 0365 0, 047 4, 7 0 5 = 0, 05 λ = 0 0.8988 6, 5 0 4 0, 903, 0 0 3 λ = 5 0, 047, 80 0 3 0, 046, 08 0 5 λ = 30 0, 04 3, 70 0 3 0, 04, 04 0 5 A. táblázatból látszik, hogy az els rend explicit és implicit Euler-módszer szinte mindig rosszabb eredményt ad mind a két másodrend módszer, a javított Euler és a trapézmódszer (lásd., 3., 4. ábra). Az egyetlen kivétel, amikor a = 0, és λ = 30 (lásd. ábra), ugyanis ilyenkor egy merev dierenciálegyenletet kell megoldanunk, és arra az implicit módszerek sokkal jobb közelítést adnak. A másik érdekesség ami meggyelhet, hogy ugyanolyan λ mellett ha a lépéstávot felezzük, az els rend módszerek rendje felez dik, a másodrend eké negyedel dik.
. ábra. Egylépéses módszerek, λ = 0, = 0,. ábra. Egylépéses módszerek, λ = 30, = 0, 3
3. ábra. Egylépéses módszerek, λ = 0, = 0, 05 4. ábra. Egylépéses módszerek, λ = 30, = 0, 05 4
4. Runge-Kutta típusú módszerek 4.. Az explicit Runge-Kutta módszer Ebben a fejezetben megismerkedünk a Runge-Kutta 5 módszerekkel, amik szintén egylépésesek, viszont az eddig megismert módszerekkel ellentétben az a jellemz jük, hogy a numerikus eredmény kiszámolásához több értéket, "lépcs t", kell kiszámolnunk, így majd magasabbrend módszereket is el tudunk állítani. Deniáljuk rekurzívan az alábbi ξ számokat: ξ = y n ξ = y n + a, f(t n, ξ ) ξ 3 = y n + a 3, f(t n, ξ ) + a 3, f(t n + c, ξ ) ξ m = y n + m i=. a m,i f(t n + c i, ξ i ), és ezek lineáris kombinációjából kapjuk meg az y n+ értéket: y n+ = y n + m b j f(t n + c j, ξ j ). (35) Az m szám jelöli, hogy a Runge-Kutta módszer hány lépcs b l áll. j= Az a i,j elemekb l létrehozhatunk egy m m méret A mátrixot, ahol az üres helyeket nullával töltjük föl, 0 0 0... 0 a, 0 0... 0 A = a 3, a 3, 0... 0..... a m, a m,... a m,m 0 a b i és c i értékeket pedig vektorba rendezhetjük. b = b b b 3. b m c = 5 Carl David Tolmé Runge (856-97), Martin Wilhelm Kutta (867-944), német matematikusok c c c 3. c m 5
Az A mátrix és a b és c vektorok egyértelm en meghatározzák, hogy melyik Runge- Kutta módszerr l beszélünk, ezért ezeket az elemeket szokás egy táblázatba rendezni, amit Butcher 6 -táblázatnak hívunk. A Butcher-táblát a következ képpen kell kitölteni: 0 c a, c 3 a 3, a 3,..... c m a m, a m... a m,m b b... b m b m Az egylépéses módszerekhez hasonlóan, ezeknél a módszereknél is csak a konzisztenciát fogjuk vizsgálni, a stabilitást feltesszük, így megkapjuk majd a konvergencia rendjét. A Runge-Kutta módszerek stabilitását az alábbi tétel garantálja. 4.. Tétel. Legyen f Lip(y) L f Lipschitz-állandóval,ekkor a Runge-Kutta módszer stabil, azaz ahol e n+ e L Φ L Φ = L f ( s j= ( e 0 + n k=0 ψ () k ), ) b j + Q s (L f ), és a Q s (L f ) tag a L f -nek (s )-edfokú polinomja, amely eleget tesz a Q s (L f ) = O(L f ) egyenl ségnek. 4.. A kétlépcs s Runge-Kutta módszerek El ször a kétlépcs s módszereket vizsgáljuk és arra vagyunk kíváncsiak, hogy létezik-e kétlépcs s harmadrend módszer. El ször a f(t n + c, ξ ) kifejezésnek írjuk le a Taylor polinomos kifejtését a (t n, y n ) pont körül. A (35) egyenletb l f(t n + c, ξ ) = f(t n + c, y n + a, f(t n, y n )) [ ] f(t n, y n ) f(t n, y n ) = f(t n, y n ) + c + a, f(t n, y n ) + O( ) t y + b [ c f(t n, y n ) t y n+ = y n + (b + b )f(t n, y n ) 6 John C. Butcher (933- ), Új-zélandi matematikus f(t n, y n ) + a, f(t n, y n ) y ] + O( 3 ) (36) 6
adódik. Ezek után kifejthetjük a pontos megoldást szintén a (t n, y n ) körül. Jelöljük a pontos megoldást a t n+ -ben ỹ-nal. Ekkor ỹ(t n+ ) = y n + f(t n, y n ) + [ f(tn, y n ) t Összehasonlítva a (36) és a (37) egyenleteket, azt kapjuk, hogy b + b =, b c =, a, = c. ] + f(t n, y n ) f(t n, y n ) y + O( 3 ). (37) Ezek a feltételek sok kombinációra igazak, viszont a legnépszer bbek a következ k: 0 0, 0 3 3 4 3 4, 0. (38) A rend vizsgálatához bevezetünk néhány egyszer sít jelölést. Legyen b := b, ekkor b = b c := c = a,. Így (35)-b l kapjuk, hogy y n+ y n = ( b)f(t n, y n ) + bf(t n + c, y n + cf(t n, y n )) Tehát Kiszámolva végül ψ () n -t = y n by n + by n + bcy n. y n+ y n = ( + bc)y n. (39) ψ n () = u(t n+) u(t n ) + ( + bc)u(t n ) = u (t n ) u (t n ) u (t n ) 6 + O( 3 7 ) + ( + bc)u(t n ) [ ( ) = u(t n ) bc + ] + O( 3 8 ) 6 = u(t n ) 6 + O( 3 ) = O( ), (40) látjuk, hogy a tag nem t nik el, tehát nem lehet másodrend nél jobb kétlépcs s módszert csinálni. 7 u(t n+)-t kifejtettük a Taylor-polinomjával 8 u (t) = u(t) u (t) = u (t) = u (t) = u(t) 7
4.3. Harmadrend módszerek Ha harmadrend módszert szeretnénk el állítani, akkor háromlépcs s Runge-Kutta módszert kell választanunk, ennél már a ξ 3 értéke is szerepelni fog a módszert megadó képletben. ξ = y n, ξ = y n + a, f(t n, ξ ), ξ 3 = y n + a 3, f(t n, ξ ) + a 3, f(t n + c, ξ ), és ( ) y n+ = y n + b f(t n, y n ) + b f(t n + c, ξ ) + b 3 f(t n + c 3, ξ 3 ). (4) Ha ξ és ξ 3 értékeket Taylor-sorba fejtenénk és így visszahelyettesítenénk a képletbe, azt kapnánk, hogy a módszer harmadrend, és az ismeretlen a i,j, b i, c i értékekre is kapnánk megszorító feltételeket, amik a következ k: b + b + b 3 =, b a, + b 3 c 3 =, c = a,, c 3 = a 3, + a 3,, b a, + b 3c 3 = 6, b 3a 3, a, = 6. (4) Ezeknek a kritériumoknak egy speciális esete amikor b = b 3 = 6, b = 3, c 3 = a 3, + a 3, =, ezt Kutta harmadrend módszerének nevezzük. A további ismeretleneket kiszámolva: c = a, = a 3, =, a 3, =. Tehát a következ háromlépcs s módszer harmadrendben konvergál: ξ = f(t n, y n ) ξ = y n + f(t n, ξ ) ( ξ 3 = y n f(t n, y n ) + f t n + ), ξ y n+ = y n + 6 f(t n, y n ) + 3 f(t n +, ξ ) + 6 f(t n +, ξ 3 ). (43) 8
4.4. Negyed- és magasabbrend módszerek Negyedrend módszert csak négylépcs s Runge-Kuttával kaphatunk, ekkor 0 ismeretlent tartalmazó egyenletrendszert kell megoldanunk, melynek több megoldása is lehet. A legismertebb négylépcs s módszer az úgynevezett klasszikus Runge-Kutta módszer: 0 0 0 0 6 3 Ha magasabbrend numerikus módszert próbálunk meg el állítani, például ötödrend t, azt vesszük észre, hogy nem elég annyi lépcs t használni, ahányrend módszert szeretnénk kapni, például az ötödrend höz hatlépcs s Runge-Kutta módszer kell. Az alábbi összefüggések érvényesek a rend (p) és a lépcs szám (m) között: 3 6 (44) m 4: p m m 5 p m m 8 p m m 0 p m 3 (45) 4.5. Runge-Kutta módszerek tesztelése A Runge-Kutta módszerek közül négyet fogunk tesztelni, két kétlépcs s módszert, egy háromlépcs set 0 0, 0 3 valamint egy négylépcs set, a klasszikus Runge-Kutta módszert 6 3 3 4 6 3 4, (46), (47) 0 0 0 0 6 3 9 3 6. (48)
Az el z fejezetben megismert módszerek is Runge-Kutta típusúak voltak, csak az implicit Euler és trapéz módszer implicit Runge-Kutta típusúak, amiknek a Butcher-táblázata nem csak alsó háromszögmátrix, hanem telimátrix. Az értékeket úgy állítjuk be, hogy a kezdetiérték legyen, a paraméternek pedig λ = 0 értéket adunk, mert különben ha kicsi és λ nagy (lásd 5. ábra), a módszerek nem m ködnek jól (mi csak explicit Runge-Kutta módszereket vizsgáltunk, implicit módszerekre nem adna ilyen rossz eredményt λ nagy értékeire sem, lásd az. táblázatban az implicit Euler és a trapéz-módszer eredményeit). Így egy harmadfokú polinomot becslünk, a lépésköz felezgetésével a. táblázatban meggyelhetjük, hogyan változik a módszerek pontossága. Mind a négy módszer nagyon jó közelítést ad (lásd 6. ábra), a lépésköz felezésével az. táblázat. Runge-Kutta módszerek hibája felezésével = 0, = 0, 05 = 0, 05. kétlépéses 0, 000 0, 0050 0, 00. kétlépéses, 84 0 4, 4 0 4 < 0 6 Háromlépéses, 4 0 4, 4 0 3 8, 53 0 4 Négylépéses, 84 0 4, 84 0 4, 4 0 4 összes becslés pontosabb lesz, de az eredeti célunk nem jött be, azaz annak ellenére, hogy magasabbrend módszereket tudtunk el állítani, azok csak kevés esetben adtak jó közelít megoldást. 0
5. ábra. Runge-Kutta módszerek, λ = 30, = 0, 6. ábra. Runge-Kutta módszerek, λ = 0, = 0, 05
5. Többlépéses módszerek Az eddig vizsgált módszereknél mindig úgy jártunk el, hogy t 0 -ból indulva próbáltuk meghatározni a t pontbeli értéket, felhasználva azt, hogy ismerjük y 0 kezdeti értéket. Ezután t -b l próbáltunk meg t -beli értékre következtetni, y ismeretében, miközben y 0 értéket nem vettük gyelembe, kidobtuk, és így tovább. Ezeket neveztük egylépéses módszereknek. A többlépéses módszereknél azt az ötletet vesszük gyelembe, hogy az adott pontbeli megoldás, ne csak az eggyel el z, hanem több korábbi értékt l függjön. A többlépéses módszereket fölírhatjuk általános képlettel: a 0 y n +a y n +...+a p y n p = (b 0 f(t n, y n )+b f(t n, y n )+...+b q f(t n q, y n q )), (49) ahol az a i -k és b i -k konstansok (a 0 0). Ha b 0 = 0, a módszer explicit, ha b 0 0, akkor implicit. 5.. Deníció. Egy többlépéses módszer els és második karakterisztikus polinomjának nevezzük a ϱ(z) = a 0 z s + a z s +... + a s polinomokat, ahol s := max{p, q}. σ(z) = b o z s + a z s +... + b s 5.. Deníció. Azt mondjuk, hogy egy p polinomra teljesül a gyökfeltétel, ha p(z ) = 0 esetén z, ahol z = esetén z egyszeres gyöke p-nek. 5.. Tétel. Tegyük fel, hogy egy s-lépéses módszernél az y, y,..., y s értékek hibája nullához tart, ha 0. Ekkor az s-lépéses módszer pontosan akkor konvergens, ha konzisztens és a ϱ(z) polinomra teljesül a gyökfeltétel. A következ módszerekre megvizsgáljuk, hogy teljesül-e a gyökfeltétel, kiszámoljuk a konzisztencia rendjüket, és így megkapjuk az egyes módszerekre a konvergencia rendjét. 5.. A középpont szabály A középpont szabálynál a közelít értéket egy pontban, a kett vel korábbi értékkel együtt határozzuk meg (azaz s = ), a két érték közti pontban számolt derivált segítségével. y n y n = f(t n, y n ) (50) A középpont szabályra teljesül a gyökfeltétel, az els karakterisztikus polinomjának, ϱ(z) = z
két gyöke van, és, és ezek mind egyszeres gyökök. Ha kiszámoljuk a ψ n () értéket, azt fogjuk látni, hogy ez a módszer másodrendben konzisztens. Az egyszer ség kedvéért a (50) egyenletet átírhatjuk egy ekvivalens formájába: A ψ () n y n+ y n = f(t n, y n ). értéket most már könnyebben kiszámolhatjuk, a képletbe a pontos megoldást helyettesítve, és a megfelel értékek helyébe az Taylor-felbontásos alakjukat írva: ψ () n ψ n () = u(t n+) u(t n ) + f(t n, u(t n )) = (u(t n ) + u (t n ) + u (t n ) + 3 6 u (t n ) + O( 4 ) u (t n ) + 3 ) 6 u (t n ) + O( 4 ) + u (t n ) u(t n ) + u (t n ) ψ () n = u (t n ) 3 u (t n ) + O( 3 ) + u (t n ) ψ () n = 3 u (t n ) + O( 3 ) = O( ). (5) Tehát a középpont szabály konvergens, a konvergencia rendje. 5.. Az Adams-Bashforth és Adams-Moulton módszerek Az y n y n = (b 0 f n + b f n +... + b s f n s ) többlépéses módszert Adams-Bashforth 9 módszernek nevezzük, ha b 0 = 0, és ilyenkor a módszer explicit, az implicit módszert, amikor b 0 0, Adams-Moulton 0 módszernek nevezzük. Ahhoz, hogy meghatározzuk a konstansok értékeit, és ezzel együtt magát a módszert, az egyes osztópontok közötti közelít értéket integrálással fogjuk meghatározni, amit majd Newton -interpolációval fogunk közelíteni. Deniáljuk az osztott dierencia fogalmát: f[t ] := f(t ), f[t, t ] := f(t ) f(t ) t t, tegyük fel, hogy f[t, t,..., t k ]-t már deniáltuk, ekkor f[t, t,... t k+ ] := f[t,... t k+ ] f[t,... t k ] t k+ t. 9 John Couch Adams (89-89) és Francis Bashforth (89-9), brit matematikusok 0 Forest Ray Moulton (87-95), amerikai csillagász Sir Isaac Newton (643-77), angol matematikus, csillagász 3
5... Kétlépéses Adams-Bashforth módszer Keressünk kétlépéses Adams-Bashforth módszert, ami y n y n = (b f n + b f n ) alakú lesz. Az y n y n = y(t n ) y(t n ) kifejezést Newton-interpolációs polinommal közelítjük: y n y n u n u n = tn t n u (t)dt = tn t n f(t, u(t))dt = tn t n F (t)dt tn t n P (t)dt, ahol P (t) lesz az interpolációs polinom. Mivel explicit módszert szeretnénk kapni, ezért csak a t n, t n pontok között interpolálunk. y(t n ) y(t n ) P (t) = F (t n ) + F [t n, t n ](t t n ) tn t n F (t n ) + F [t n, t n ](t t n )dt = F (t n ) + F [t n, t n ] tn t n (t t n )dt Csak az integrált tekintve: tn [ ] t tn (t t n )dt = t n t t n = t n t n t n t n t = t n t n + t n + t n t n + =. Ezt visszahelyettesítve az el bbi képletbe: y(t n ) y(t n ) = F (t n ) + F [t n, t n ] = f(t n ) + n + t n fn f n y(t n ) y(t n ) = (3f n f n ). (5) A (5) egyenlettel megkaptuk a kétlépéses Adams-Bashforth módszer képletét, ha kiszámoljuk a konzisztencia rendjét, azt kapjuk, hogy a módszer másodrend. = ψ n () = u(t n+) u(t n ) (u(t n ) + u (t n ) + + 3 u (t n ) u (t n ) ) 6 u (t n ) u (t n ) u (t n ) + 3 (u (t n ) u (t n ) + ) u (t n ) + O( 3 ) + 3 u (t n ) = u (t n ) + O( 3 ) = O( ) (53) Erre a módszerre igaz a gyökfeltétel, a konzisztencia rendje, emiatt a módszer konvergens is és a konvergencia rendje. 4
5... Kétlépéses Adams-Moulton módszer Most az el z módszer implicit változatát szeretnénk elkészíteni, a y n y n = (b 0 f n + b f n + b f n ) egyenlet együtthatóinak meghatározásával, ehhez az y n y n értéket most is Newtoninterpolációval közelítjük. y n y n tn t n F (t n ) + F [t n, t n ](t t n ) + F [t n, t n, t n ](t t n )(t t n )dt tn tn = F (t n ) + F [t n, t n ] (t t n )dt + F [t n, t n, t n ] t n (t t n )(t t n )dt t n Az integrálokat kiszámítva, tn tn (t t n )dt = t n (t tt n tt n + t n t n )dt = 3 t n 6 majd visszahelyettesítve az interpolációs képletbe, y n y n = f n = f n fn f n F [t n, t n ] 3 6 F [t n, t n, t n ] 3 6 fn f n + f n+ megkapjuk a kétlépéses Adams-Moulton módszer képletét y n y n = (5f n + 8f n f n ). (54) Az implicit Adams-Moulton módszer konzisztencia rendjét, az el z módszeréhez hasonlóan számolhatjuk ki: ψ n () = u(t n+) u(t n ) + 5 u (t n+ ) + 8 u (t n ) u (t n ) = u (t n ) u (t n ) 6 u (t n ) + 5 u (t n ) + 5 u (t n ) + 5 4 u (t n ) + 8 u (t n ) u (t n ) + u (t n ) 4 u (t n ) + O( 3 ) ψ () n = O( 3 ). (55) Mivel erre a módszerre is igaz a gyökfeltétel, ezért a kétlépéses Adams-Moulton módszer konvergens, rendje 3. 5
5.3. A Nyström és a Milne-Simpson módszerek A két módszert általánosan leíró képlet a következ : y n y n = (b 0 f n + b f n +... + b s f n s ), (56) ha b 0 = 0, akkor Nyström módszernek hívjuk, ha b 0 0, akkor Milne-Simpson 3 módszernek. Az el z esetben explicit, az utóbbiban implicit a módszer. Egy konkrét esetet vizsgálva, például ha az (56) egyenletet s = esetben nézzük, akkor kapunk egy implicit Milne-Simpson módszert, aminek az együtthatóit kiszámolva kapjuk a Simpson-formulának elnevezett módszert: y n y n = 6 (f n + 4f n + f n ). A Nyström módszer egyik speciális esete a 5.. fejezetben vizsgált középpont szabály. 5.4. A prediktor-korrektor módszerek Ebben a fejezetben eddig többlépéses implicit és explicit módszereket is vizsgáltunk, most viszont egy olyan módszerrel foglalkozunk, ami mindkét módszert felhasználja. Ugyanis például az Adams-Bashforth módszereket nem szokták magukban alkalmazni, mindig egy implicit módszerrel együtt használják. A prediktor-korrektor módszer lényege az, hogy amikor a t n pontból becslünk a t n+ pontbeli értékre, akkor el ször egy explicit módszerrel kapunk egy értéket y n+ -re, ezt jelöljük yn+ 0 -val, majd ezt beírva f n+-be, egy implicit módszert használva javítunk a t n+ -beli becslésen. Ha például a már korábban a 5... és 5... pontokban vizsgált explicit Adams-Bashforth és implicit Adams-Moulton módszereket használjuk, az alábbiak szerint kell eljárnunk: P yn+ 0 = y n + (3f(t n, y n ) f(t n, y n )) E fn+ 0 = f(t n+, yn+ 0 ) C yn+ = y n + (5f n+ 0 + 8f n f n ) E fn+ = f(t n+, yn+ ), P a prediktor módszert jelöli, C a korrektor (correktor) módszert, E az értékadást (evaluation). A jobb közelítés érdekében a második és harmadik lépést lehet iterálni, ekkor P(EC) m E módszert kapunk, ahol m az iterációk számát jelöli. A prediktor-korrektor módszer rendjére az alábbi tétel igaz: 5.. Tétel. Legyen egy prediktor-korrektor módszer prediktor tagjának rendje p, a korrektor tagé p. Ekkor az egész módszer rendjére, q m -re, igaz, hogy q m = min(p, p + m), Evert J. Nyström (895-960), nn matematikus 3 Thomas Simpson (70-76), brit matematikus; William Edmund Milne (890-97), amerikai matematikus 6
ahol m az az iterációk számát jelöli. Ebb l következik az, hogy az iterációszámot általában egynek szokták választani, mert legtöbbször olyan prediktor-korrektor párt használnak, amelyek rendje megegyezik, vagy maximum eggyel tér el. Az el bb felírt módszer rendje 3, hiszen a kétlépéses Adams- Bashforth rendje, az Adams-Moulton rendje 3. 5.5. Többlépéses módszerek tesztelése A többlépéses módszerek közül, a szakdolgozatban is b vebben kifejtett, középpont szabályt, kétlépéses Adams-Bashforth és Adams-Moulton és a kétlépéses Adams-Bashforth és szintén kétlépéses Adams-Moulton módszerekb l álló prediktor-korrektor módszert fogjuk tesztelni. Az els kett rendje kett, az Adams-Moultonnak és a prediktor-korrektornak viszont három, ezért ezekt l a módszerekt l jobb eredményeket várunk. A programot a szokásos paraméterek kombinációival futtatjuk, y 0 = 0, = 0, vagy 0, 05 vagy 0, 05 és λ = 0, 5, 30. 3. táblázat. Többlépéses módszerek hibája különböz -val és λ-val Középpont Adams- Adams- Prediktorszabály Bashforth Moulton korrektor = 0, λ = 0 0, 0400 0, 0975 < 0 6, 84 0 4 λ = 5, 3 0 0, 30 0 9, 4 0 4 0, 005 λ = 30 6, 0 30, 96 0 3 8, 6 0 9 5, 35 0 9 = 0, 05 λ = 0 0, 000 0, 047, 84 0 4 < 0 6 λ = 5, 0 0 3 4, 7 0 4, 84 0 4 5, 8 0 5 λ = 30 6, 44 0 40, 8 0 8, 4 0 4 7, 64 0 5 = 0, 05 λ = 0, 50 0 3 6, 0 0 3 5, 68 0 4, 48 0 4 λ = 5 7, 3 0 3, 04 0 4, 48 0 4, 93 0 6 λ = 30, 45 0 47 5, 0 5, 48 0 4 6, 48 0 6 A középpont szabály szinte az összes beállításra rossz közelítést ad (lásd 3. táblázat), egyedül λ = 0-ra ad jó közelítést (lásd 7. ábra). A többi módszer nagyon jól közelíti a pontos megoldást ha és λ szorzata kicsi, a másodfokú Adams-Bashforthnál mindig jobb a két harmadfokú. Az egylépéses vagy a Runge-Kutta módszereknél tapasztaltuk, hogy bizonyos paraméterekkel, amikor és λ szorzata nagy, az explicit módszerek nagyon rossz közelítést adnak és az implicitek jobbak lesznek. Ez a többlépéses módszereknél is meggyelhet, de ezek a módszerek még érzékenyebbek a paraméterek megválasztására, például ezt tapasztaljuk már = 0, és λ = 5-nél (lásd 8. ábra), vagy = 0.05 és λ = 30-7
nál is (lásd 0. ábra), s t λ = 30, = 0, -nél a prediktor korrektor módszer is elromlik (lásd 9. ábra). Az implicit Adams-Moulton módszer kicsit ellenállóbb, mert hasonlóan jártunk el, mint az implicit Euler módszernél, azaz az egyenlet linearitását kihasználva ki tudtuk fejezni y n+ -et. Ez viszont általában nem lehetséges, ezért használjuk inkább a prediktor-korrektor módszereket. Azért az Adams-Moulton módszer sem lesz minden esetben jó, λ növelésével ez a módszer is elkezd romlani. Ha = 0, mellett a λ-t 65-nek választjuk, a közelített megoldás elkezd kicsit oszcillálni a pontos megoldás körül (lásd. ábra), hibája a 4-ben 4, 976 lesz, λ = 00-ra pedig teljesen elromlik (lásd. ábra), itt a hibája 3, 0 3 lesz. Ezekkel a beállításokkal már az összes általunk vizsgált módszer elszáll, legyen az egyvagy többlépéses, két módszer viszont még mindig jól közelíti a pontos megoldást 4. Ez a két módszer a két implicit els rend, az implicit Euler és a trapéz-szabály, amelyeknél a hiba λ = 65 esetén 0, 08 illetve 7, 6 0 5, λ = 00 esetén még mindig kevés, 0, 049 és 5 0 5. 4 Ez igaz lesz több általunk nem vizsgált módszerre is, például az implicit Runge-Kuttákra vagy a Gear-módszerekre. 8
7. ábra. Többlépéses módszerek, λ = 0, = 0, 8. ábra. Többlépéses módszerek, λ = 5, = 0, 9
9. ábra. Többlépéses módszerek, λ = 30, = 0, 0. ábra. Többlépéses módszerek, λ = 30, = 0, 05 30
. ábra. Többlépéses módszerek, λ = 65, = 0,. ábra. Többlépéses módszerek, λ = 00, = 0, 3
6. Összefoglalás A célunk az volt, hogy egy u (t) = f(t, u(t)) alakú, u 0 kezdeti érték közönséges dierenciálegyenlet megoldására keressünk numerikus módszereket, amik a pontos megoldást minél jobban közelítik. A szakdolgozat során megismerkedtünk egylépéses módszerekkel, Runge-Kutta és többlépéses módszerekkel is, megvizsgáltuk a módszerek rendjét és egy konkrét példán vizsgáltuk a módszerek m ködését. Meg- gyeltük az összefüggést a rend és a módszer pontossága között, valamint a paraméterek, ugymint a lépésszám és a λ érték, hatását a numerikus módszerek m ködésére. A tesztfeladatunk speciális volt, a pontosság meggyelésére igazából csak a λ = 0 választás volt alkalmas, nagy λ-ra merev lett az egyenlet, ezért ebben az esetben az implicit módszerek rendt l függetlenül jobb eredményt adtak az expliciteknél, s t az implicit Euler módszer jobb lett mint egy általános többlépéses implicit módszer. A merev dierenciálegyenletekre alkalmas módszerek vizsgálata meghaladja a dolgozat kereteit, ilyen módszerek a már korábban említett implicit Runge-Kutták és a Gearmódszerek. A merev rendszerek olyan egyenletek, ahol a lépésköz választását sokkal inkább a stabilitás határozza meg, mint a pontossági követelmények. 3
Hivatkozások [] F. R. Giordano, M. D. Weir, W. P. Fox: A rst course in mathematical modeling, Brooks/Cole. [] Stoyan Gisbert: Numerikus matematika mérnököknek és programozóknak, TypoTeX Kft. [3] Stoyan Gisbert - Takó Galina: Numerikus módszerek II., ELTE - TypoTeX kiadó. [4] Peter Henrici: Numerikus analízis, M szaki Könyvkiadó. [5] Arieh Iserles: A rst course in the numerical analysis of dierential equations, Cambridge University Press. 33