1. Rezgések A vátakozó feszütségő áafoása kapcsot fées vezetıben vátakozó áa jön éte. A tötéshodozók, a szabad eektonok eozdunak a féács entén, a panatn poztív póus ánába, aztán póusvátás töténk, a tötéshodozók eentétes ánba ndunak, ajd az sétet póusvátás hatásáa egnt ánt vátoztatnak. Beátható, hog eedet echanka ezgések haonkus ezgıozgás a ezgı- és köozgás kapcsoata a ezgıozgás dnaka szepontbó Rezgések I. heüktı ne keünek tatósan távoa, hane nkább egfajta ezgést végeznek. Az en ozgásokat echanka ezgéseknek, ezgıozgásoknak nevezzük. (A fzka szepontjábó nden oan vátozást, ae dıben vaaen sétıdést utat, ezgésnek nevezünk.) Hasonó jeenséget fgehetünk eg ugóa akasztott testte fotatott kíséetekné: 1 A ugóa fefüggesztett test egensú hezetében van. Eıve ktéítjük ebbı a hezetbı, ajd agáa hagjuk. 3 Azt tapasztajuk, hog a test bzonos hatáokon beü fe-e ozgást végez, a ugó egnúk, ajd összehúzódk, dıve az eedet, egensú hezetétı ege ksebb esz a test eozduása. 1 3 Azt a két hezetet, aeekben a ozgást végzı test egensú hezetétı egtávoabb van, szésı hezeteknek nevezzük. Ha eg pontszeő test két szésı hezet között peodkusan ozog, ezgıozgást végez. A ezgıozgás szabáosan sétıdı szakaszát peódusnak vag tejes ezgésnek nevezzük. Eg peódus tehát, aíg a test báe hezetébı a két szésı hezet éntéséve té vssza uganabba a hezetébe. Az eg peódus egtéteéhez szükséges dı a peódusdı vag ezgésdı. A fekvenca vag ezgésszá eg adott száú ezgés (peódus) és a közben etet dı hánadosa. Ha eg tejes ezgést vzsgáunk, akko a ezgések száa 1, a közben etet dı pedg éppen a peódusdı, íg a fekvenca száoható a peódusdı ecpokaként,. ebbı a peódusdı a fekvenca ecpokaként. A köfekvenca a fekvenca π-szeese. A ktéés az egensú hezettı vaó etávoodás, jee, az aptúdó pedg a axás ktéés, jee A. Az esı pédában szeepı e ktéését, etávoodását a féácsban évı ontó az dı függvénében ábázova: A -A A eozduó e féács -A 4 3 4 t Ha a ezgıozgást végzı test ktéése az dınek sznuszos függvéne, haonkus ezgıozgásó beszéünk. Haonkus ezgıozgás esetén a ktéés báe panatban = A snω t π = A sn t = A snπ f t A aptúdó (axás ktéés) ezgésdı (peódusdı) t az egensú hezet óta etet dı ω köfekvenca, a fekvenca (f) π-szeese. nsoft pus! jegzet nsoft 006. ou gotta ean and t s hgh te to t ease! Ez a jegzet etöthetı:
nsoft pus! ezgések. A ezgıozgás és a köozgás kapcsoata Vágítsunk eg odaó eg köozgást végzı testet, és fgejük eg függıeges feüete esı ánékát! szésı hezet = A egensú hezet A köozgást végzı test ánéka haonkus ezgıozgást végez, hszen = A sn = A snω t, a ktéés az dı sznuszos függvéne. szésı hezet 3. A ezgıozgást végzı test sebessége és gosuása A ezgıozgást végzı test sebességének nd ána, nd nagsága peodkusan vátozk. A ezgıozgást végzı test sebessége panatn étékének eghatáozása a köozgás vetítésének segítségéve: v v k v cos = v v k v = v k cos = A v = ω cos v = A ω cosω t π v = A ω cos t v = A ω cosπ f t A ezgıozgást végzı test sebessége az dınek kosznuszos függvéne. A ezgıozgást végzı test sebessége tehát a szésı étékekhez közeedve csökken (anná ksebb, né nagobb a ktéés), és az egensú hezetben a egnagobb. Ez úg ehetséges, ha gosuása a ktéésse aános, és ndg az egensú hezet feé utat (agában az egensú hezetben zéus): a cp = A a a sn = a a cp a = a cp sn a = ω sn ve = A,. A sn = és a gosuásvekto ndg eentétes ánú a ktéésse (az egensú hezet feé utat), ezét ha poztív ánnak a ktéést tekntjük, a gosuás negatív esz: a = A ω snω t a = A ω π sn t a = A ω snπ f t a = ω A ezgıozgást végzı test gosuása az dınek sznuszos függvéne, egenesen aános a ktéésse, és ndg a középpont hezet feé utat. nsoft pus! jegzet nsoft 006. ou gotta ean and t s hgh te to t ease! phs_76c0_ezgesek_v1 Ez a jegzet etöthetı:
nsoft pus! ezgések 3 4. A ezgıozgás dnaka szepontbó Feszítés unka (sétés) Uganaa a ugóa küönbözı töegő tágakat akasztva küönbözı étékben núk eg a ugó. Az eı, ae a ugót egnújtja, a test súa, ae F = g foában száítható, aho a áakasztott test töege. Azt tapasztajuk, hog az eıve egenesen aános a hatásáa étejövı egnúás, F ~, ezét a két ennség hánadosa áandó. Az F hánados íg a ugóa jeezı éték, e függ a ugó anagátó, kezdet hosszátó és keesztetszetétı, neve ugóáandó, jee. A képetet átendezve a ugót egnújtó eıt, a feszítıeıt egadhatjuk F f = aakban (Hook-tövén). A feszítıeı-egnúás gafkont feajzova: F f W A gafkon aatt teüet száétéke a unkát adja: W = Ff = 1 = A ugóban a feszítıeıve egegezı nagságú, de eentétes ánú ugóeı ébed: F = F f 1) A ezgő teste ható eedő eő Newton. tövéne kondja, hog ΣF = a. A ezgı test gosuását beheettesítve: ΣF = ( A) ω snω t = ω A snω t = ω ΣF = ω A ezgıozgást végzı teste ható eık eedıjének ána a test gosuásához hasonóan ndg az egensú hezet feé utat, és nagsága a ktéésse aános. ΣF ~. Ha a ugóa függesztett test nugaoban van, az azt éı eık kegenítk egást, eedıjük zéus. Eg ugón függı teste aapvetıen két eı hat: a gavtácós eı és ha a test nugaoban van az azza egensút tató ugóeı. Newton. tövénét feíva: ΣF = a = 0 g 0 = 0 Rezgı test esetén eg tetszıeges ktéésné á ne egenítk k egást a teste ható eık, hszen a gavtácós eı nagsága áandó, a ugóban ébedı ugóeı vszont aános a ktéésse, tehát etéı nagságú, nt a nuga hezetben. Newton. tövénéve: ΣF = a = g ( 0 + ) = g 0 g 0 = 0 (d. fejebb), íg ΣF = a = ΣF = Az összefüggés, eet kaptunk átaánosabb az eg konkét egensú hezetet eíó Hook-tövénné, ve kfejez, hog az eedı eı a ozgás báe panatában a ktéésse aános (íg ha a ktéés zéus, a testet éı eık eedıje s az). Az íg kapott összefüggéseket fehasznáhatjuk a ezgésdı (peódusdı) kfejezésée: = a = ω / : ( ) π = = 4π ΣF a ezgı testet éı eık eedıje a ezgıozgást végzı test töege ω köfekvenca, a fekvenca (f) πszeese. a panatn ktéés A haonkus ezgıozgás dnaka fetétee, hog a ozgó testet éı eık eedıje nden panatban egenesen aános egen a ktéésse, ána pedg eentétes egen azza, az egensú hezet feé utasson. = π Látható, hog a ezgésdıt csak a ugóa akasztott test töege és a ugóáandó hatáozza eg, ne függ a kezdet ktéítéstı (a késıbb aptúdótó). Ez csak úg tejesühet, ha a test sebessége vszont aános az aptúdóva. F 1 F E F nsoft pus! jegzet nsoft 006. ou gotta ean and t s hgh te to t ease! phs_76c0_ezgesek_v1 Ez a jegzet etöthetı:
nsoft pus! ezgések 4 5. ) A ezgő endsze echanka enegája Háofée echanka enegát seünk, a ozgás, hezet és ugaas enegát. Ezeknek összege adja eg endsze echanka enegáját. Vízszntes ánú ezgésné ezt könnebb eghatáozn, ve ha a ezgés síkját váasztjuk nuszntnek a hezet enega nden panatban zéus, csak a ozgás és ugaas enegákka ke száon. Mko kezdetben a ugót egfeszítjük, unkát végzünk ajta, íg a szésı hezetben a ugaas enega egenı a unkavégzésse (E = W), és ekko a ozgás enega nua, ve a test sebessége s zéus. Vízszntes ezgésné tehát: Szésı hezetben: E = E = 1 A Az egensú hezeten töténı áthaadásko egnagobb a test sebessége, aho a ugó nncs egfeszítve, íg a ugaas enega nua. Ienko a ezgı endsze enegája: 1 Egensú hezetben: E = E = v ax Eg tetszıeges ktéésné a endsze endekezk vaaekkoa E ozgás és E enegáva. Ha a ezgést csapító hatásoktó, a súódástó és a közegeenáástó etekntünk, a endsze zát endszenek teknthetı, enegája áandó. Íg báe panatban a echanka enega egenı a szésı hezet ugaas vag az egensú hezet ozgás enegájáva, ae ne ás, nt a ugó kezdet egfeszítéseko befektetett unka. A endsze echanka enegája: E = E + E = 1 1 + Az nga engésdeje 1) A fonánga v = 1 1 A = v ax = W = 1 A Az ngaozgás vzsgáatához endekezése áó egegszeőbb eszköz a fonánga (ateatka nga), e eg, az egk végén feeısített vékon, ks töegő, nújthatatan fonábó és a ásk végée kötött kséető, a fonához képest nag töegő testbı (p. óogoóbó) á. h F F k F g = g F = g sn = g h = g udjuk, hog F = g = = udjuk, hog = g π = (ve F eentétes ánú -na) π = π g g = π g Az nga engésdejét tehát csak az nga hossza és a nehézség gosuás nagsága (a födajz he) hatáozza eg. Ne függ a engı test töegétı és a kezdet ktéítéstı (a késıbb aptúdótó). Megjegzés: a evezetés soán h-t közeítésse -nak vettük. Ha a ktéés szöge, tú nag, anna egnıhet a küönbség h és között, hog összefüggésünk á ne fogja heesen eín a ozgást. Az nga engése átaánosan akko teknthetı haonkus ezgıozgásnak, ha < 3 o, de né ksebb szöget váasztunk, anná jobb. Az 1 éte hosszú fonángát ásodpecngának s nevezk, ve engésdeje egközeítıeg s (ez eg tejes engés deje, íg a két szésı hezet között utat köübeü 1 s aatt tesz eg). ) A fzka nga A fzka nga eg fefüggesztett, eev, ktejedt test, ae a súpontja feett fefüggesztve, a súpontja feett tengeen engéseket végez (súpontját egkaphatjuk súvonaanak etszéspontjaként). Lengésdeje száoható: = π Θ g s a engésdı Θ a fogástengee vonatkoztatott tehetetenség noaték g a nehézség gosuás a fzka nga töege s a súpont és a engéstenge távosága nsoft pus! jegzet nsoft 006. ou gotta ean and t s hgh te to t ease! phs_76c0_ezgesek_v1 Ez a jegzet etöthetı:
nsoft pus! ezgések 5 6. Fzka ezgések összefüggése, összegzése udjuk, hog haonkus ezgıozgás esetén a ozgó teste a ktéésse aános nagságú, azza eentétes ánú eedı eı hat, ae az adott panatban feépı gavtácós és a ugóban ébedı ugóeı vektoás összege (ezét eedı eı). M töténk azonban, ha a fent eített két eın kívü ás hatások s ék a testet? Newton. tövéne aapján továbba s az eedı eı fogja a test ozgását eghatáozn, de az eg bonout, ne fetéten peodkus ozgást s eedénezhet. Eıszö vzsgájuk eg néhán oan specás esetet, aeek könnebben átteknthetık. 1) Egánú ezgések összegzése Két ezgést egánúnak tekntünk, ha az azokat ozgató eık és ktéésük eg egenesbe esk. Ha a két ezgés fekvencája, f azonos, és nncs fázsetoódás (a két test egszee ént a egfeeı szésı hezeteket), a étejövı eedı ezgés aptúdója a két ezgés aptúdójának összege, A = A 1 + A, a két ezgés eısít egást. Ha a fekvenca azonos, de a fázs eentétes (a két test egszee ént az eentétes szésı hezeteket), a étejövı ezgés aptúdója a két ezgés aptúdóküönbségének abszoút étéke, A = A 1 + A, a két ezgés gengít egást. Ezen beü specás eset, ha a két eedet ezgés aptúdója egegezk, enko az eedı ezgés aptúdója zéus, a test nugaoban aad. f Ha a két ezgés fekvencája etéı, de azok aána aconás szá (tehát 1 Q ), a f étejövı eedı ezgés ne haonkus (de teészetesen peodkusan sétıdı ozgás, hszen ettı ezgés). Ha a fekvencák aána aconás szá, a étejövı ozgás ne ezgés. Ha a két fekvenca nagsága eég köze á egáshoz, a ebegés jeensége fgehetı eg: ekko az aptúdók vátozása utat peodctást (p. csatot fonángák). ) Meőeges ezgések összegzése Egása eıeges ezgésekbı étejövı ozgások páát az ún. Lssajous-göbék íják e. Ha a fekvencák aána aconás szá, a göbék önagukba záódnak; ha aconás, akko a Lssajous-göbék ne önagukba záódó göbék. Ha a két fekvenca azonos, a étejövı páa kö,. az egk ezgés 90 o -ka (neged peódussa) késk a áskhoz képest. nsoft pus! jegzet nsoft 006. ou gotta ean and t s hgh te to t ease! phs_76c0_ezgesek_v1 Ez a jegzet etöthetı: