áros nomáls próák Kontngena-tálázatok (rx tálázat) elemzése, ha sem a sor-, sem az oszlop-összegek nem rögzítettek sak N adott - Szmmetra-vzsgálat (összefüggés-vzsgálat) - Függetlenség-vzsgálat BIOMETRIA_NEMARAMÉTERES_3 1
Szmmetra-vzsgálat 7. példa G.A.Walker: Common statstal methods for lnal researh wth SAS examples, Collns-Wellesley ulshng, San Dego, Calforna, 1996 Véletlenszerűen kválasztottak 86 páenst, akk egy adott kezelést kaptak. Mndenknek megmérték a lrun-szntjét kezelés előtt és kezelés után s. Kérdés: A kezelésnek van-e mellékhatása a vzelet lrunszntjére, vagys hogy a kezeléstől megváltozk-e a lrun-sznt. Kezelés előtt Kezelés után normáls magas normáls 6 14 74 magas 6 6 1 66 86 dszkordáns egyedek N rögzített! BIOMETRIA_NEMARAMÉTERES_3
Nullhpotézs kétféle megfogalmazása: a r1 d r 1 N kezelés előtt (x): normáls () kezelés után (y): magas (1) π 11 π 1 π 1 π H H 1 : : x, y 1 x 1, y H : 1 1 x, y 1 x 1, y H 1 : 1 1 azaz annak a valószínűsége, hogy valak a tálázat ellájáól átkerüljön a tálázat ellájáa, ugyanakkora, mnt annak, hogy valószínűsége, hogy a ellájáól a ellájáa kerüljön át BIOMETRIA_NEMARAMÉTERES_3 3
BIOMETRIA_NEMARAMÉTERES_3 4 : H y x : H 1 y x azaz annak a valószínűsége, hogy valak az egyk (x) szempont szernt az első soporta tartozzék, ugyanakkora, mnt hogy a másk (y) szempont szernt az első soporta tartozzék, 1,, 1, : H y x y x y x y x Átrendezve:
BIOMETRIA_NEMARAMÉTERES_3 5 z A folytonosság korrekóval: z 1 1 n k n k n k p.5 n<, ksmntás n, nagymntás.5.5 n n z < Szmmetra-vzsgálat számítása: n ^
Statsts > Nonparametrs > x tale Frequenes, row 1 erent of total Frequenes, row erent of total Column totals erent of total Ch-square (df=1) V-square (df=1) Yates orreted Ch-square h-square Fsher exat p, one-taled two-taled MNemar Ch-square (A/D) Ch-square (B/C) x Tale Column 1 Column Row Totals 6 14 74 69.767% 16.79% 86.47% 6 6 1 6.977% 6.977% 13.953% 66 86 76.744% 3.56% 5.59 p=.181 5.5 p=.188 3.98 p=.46.6499 p=.8 p=.8 4.56 p=..45 p=.1175 z z 14 6 14 6 1 14 6 1 14 6 1.788 1.565 14 6 14 6 3.197 14 6 1 1 14 6 BIOMETRIA_NEMARAMÉTERES_3 6.45
8. példa (hpotetkus) Függetlenség-vzsgálat Egy szoológa vzsgálatnál 5 véletlenszerűen kválasztott emert a házastárs hűséghez való vszonyáról kérdeztek. Független-e a kérdésre adott válasz egymástól? H : független hűséges-e fontosnak tartja-e a hűséget a házasságan gen nem gen π j 18 nem 6 4 3 π +j 4 6 5 π + BIOMETRIA_NEMARAMÉTERES_3 7
Függetlenség-vzsgálat számításának elve: O j E E j j j ν = (r 1ሻ ( 1ሻ O j E j oserved value, azaz megfgyelt (mntael) érték expeted value, azaz a függetlenség esetén várt érték E j = N π j = N π + π +j = N r N j N = r j N BIOMETRIA_NEMARAMÉTERES_3 8
7. példa számítása: Statsts > Bas Statsts and Tales > Tales and anners E 11 = r 1 1 N = 4 5 = 9.6 E 1 = r 1 N = 6 5 = 1.4 χ = j (O j E j ሻ (18 9.6ሻ (4 15.6ሻ = +.. + E j 9.6 15.6 = 3.56. 5 r 1 1 11 1 1 3. 841 Döntés? Summary Tale: Expeted Frequenes (huseg n huseg) Summary Frequeny Tale (huseg n huseg) Marked ells have ounts > 5 Marked ells have ounts > 5 earson Ch-square: 3,5577, df=1, p=,1 Weght varale: szam fontos gen fontos nem Row Totals 18 6 4 3 4 6 5 Weght varale: szam fontos gen fontos nem Row Totals 9,6 1,4, 14,4 15,6 3, 4, 6, 5, BIOMETRIA_NEMARAMÉTERES_3 9
Statsts > Nonparametrs > x tales Frequenes, row 1 erent of total Frequenes, row erent of total Column totals erent of total Ch-square (df=1) V-square (df=1) Yates orreted Ch-square h-square Fsher exat p, one-taled two-taled MNemar Ch-square (A/D) Ch-square (B/C) x Tale (Spreadsheet1) Column 1 Column Row Totals 18 36.% 4.% 4.% 6 4 3 1.% 48.% 6.% 4 6 5 48.% 5.% 3.56 p=. 3.9 p=..84 p=..47115 p=. p=..6 p=.444 1.13 p=.889 BIOMETRIA_NEMARAMÉTERES_3 1
A - próához szükséges előfordulás számok Cohran: egyk E j sem lehet kse 1-nél, és a ellák legfölje %-áan lehet kse 5-nél Conover: ha néhány E j érték.5 körül van, de a töség nagyo 1-nél, az eljárás alkalmazható Ha túlságosan ksnyek a várható előfordulás számok, a ellákat összevonhatjuk. BIOMETRIA_NEMARAMÉTERES_3 11
Fsher egzakt próája a sor- és oszlop-összegek s adottak 9. példa A. Agrest: Categoral data analyss, J. Wley,, p. 444 Fsher kolléganője szernt a teát úgy kell helyesen elkészíten, hogy először a tejet öntk a sészée, utána a teát. Fsher kétsége vonta, hogy a tea ízéől észre lehet venn a sorrendet. Ezért az alá kísérletet végezte: Készített 4-4 sésze teát mndkét sorrend szernt és megkóstoltatta a kolléganőjével (ak azt tudta, hogy mndkét reepttel 4-4 tea készült). tényleges sorrend vélt sorrend tej elő tea elő tej elő 3 1 4 tea elő 1 3 4 4 4 8 BIOMETRIA_NEMARAMÉTERES_3 1
tényleges sorrend vélt sorrend tej elő tea elő tej elő 3 1 4 tea elő 1 3 4 4 4 8 hpergeometrkus eloszlás M a valószínűsége annak, hogy a 4 tej elő sésze teáól éppen 3-t talál el helyesen: k = a = 4 4 3 1 3. 9 8 4 kedvező esetek összes eset = r 1a r 1 r 1 a N r 1 BIOMETRIA_NEMARAMÉTERES_3 13
p annak valószínűsége, hogy a talált vagy annál szélsőségese eredmény álljon elő: 4 4 4 8 4 4. 143 p.9.143.433 A ks mnta-elemszám matt nagyok az ugrások, p<.5 sak akkor lenne, ha mnd a 4 sésze teát jól eltalálnák. BIOMETRIA_NEMARAMÉTERES_3 14
Összefoglaló tálázat x tálázatok elemzéséhez Típus I. II. III. IV. V. Rögzített - N 1, r 1, r 1,, r 1, r Véletlen Eloszlás H róa N, 1,, r 1, r 4 független osson 1, r 1 r 1 1 - multnomáls 1 = 1 ( = ) (szmmetra) j j (függetlenség) MNemar, Megj. log-lnear ross-setonal két független nomáls 11 = 1 ( a = ), nomáls egzakt ase-ontrol, retrospetve két független nomáls 11 = 1 a =, nomáls egzakt lnal tral, ohort study prospetve hpergeometrkus 1 a d 11 1 1 1 Fsher egzakt, BIOMETRIA_NEMARAMÉTERES_3 15
1. példa A ztonság öv használata és a halálos alesetek száma közt kapsolatot kívánjuk vzsgáln. Hogyan kell a vzsgálatot elvégezn, hogy az elő tálázat szernt I., II., III. ll. IV. típusú tálázatot kapjuk? BIOMETRIA_NEMARAMÉTERES_3 16
11. példa rx kontngena-tálázatok elemzése - homogentás vzsgálat χ -próával - (Box-Hunter-Hunter: Statsts for Expermenters, J. Wley, 1978, p. 145) 5 kórházan vzsgálták egy zonyos etegség-típusnál elért javulást. nns javulás részleges javulás teljes gyógyulás A 13 18 16 47 B 5 1 16 31 kórház C 8 36 35 79 D 1 56 51 18 E 43 9 1 8 9 149 18 367 BIOMETRIA_NEMARAMÉTERES_3 17
Sorok (kórházak) független multnomáls eloszlást alkotnak. Nullhpotézs: a multnomáls eloszlások paramétere kórházanként megegyeznek, azaz a különöző kórházakan megegyezk a javulás esélye H : j j 1. Kezeljük egyelőre a javulás fokozatokat névleges skálán mért értékeknek! Ha a nullhpotézs gaz: π j = j N E j = r π j = r j N BIOMETRIA_NEMARAMÉTERES_3 18
Summary Frequeny Tale (korhaz n Workook1) Marked ells have ounts > 5 (Margnal summares are not marked) oserved Weght varale:! ~\FT1,,,\38,gyakorsag korhaz nns reszleges teljes Row Totals A 13 18 16 47 B 5 1 16 31 C 8 36 35 79 D 1 56 51 18 E 43 9 1 8 All Grps 9 149 18 367 O j E E j j ν = (r 1ሻ ( 1ሻ j Summary Tale: Expeted Frequenes (korhaz n Workook1) Marked ells have ounts > 5 earson Ch-square: 56,75, df=8, p=, Weght varale:! ~\FT1,,,\38,gyakorsag nns reszleges teljes Row Totals 11,56 19,8 16,39 47, 7,6 1,59 1,81 31, 19,373 3,7 7,55 79, 31,39 51,97 44,64 18,,19 33,9 8,6 8, 9, 149, 18, 367, E 11 = r 1 1 N = 47 9 367 = 11.56 BIOMETRIA_NEMARAMÉTERES_3 19
. Sorrend skálán kezelve a javulás adatokat: egyfaktoros ANOVA rangszámokra végezve Depend.: A B C D E Kruskal-Walls ANOVA y Ranks; (korhaz.sta) Independent (groupng) varale: korhaz Kruskal-W alls test: H ( 4, N= 367) =49.38915 p =. Code Vald Sum of Mean N Ranks Rank 11 47 8417.5 179.957 1 31 6733.5 17.97 13 79 1696.5 14.595 14 18 5674..5781 15 8 9776.5 119.56 Mood-féle Medan Test, Overall Medan = 1.; (korhaz.sta) Independent (groupng) varale: korhaz Dependent: Ch-Square = 6.8919 df = 4 p =. A B C D E Total <= Medan: oserved 31. 15. 44. 77. 7. 39. expeted 3.6763.1881 51.44687 83.3569 53.45 os.-exp..3937-5.1881-7.44687-6.3569 18.5995 > Medan: oserved 16. 16. 35. 51. 1. 18. expeted 16.3937 1.81199 7.55313 44.6431 8.5995 os.-exp. -.3937 5.1881 7.44687 6.3569-18.5995 Total: oserved 47. 31. 79. 18. 8. 367. BIOMETRIA_NEMARAMÉTERES_3
3. az E kórház és a tö kórház összehasonlítása Summary Frequeny Tale (korhaz n Workook1) Marked ells have ounts > 5 (Margnal summares are not marked) Weght varale:! ~\FT1,,,\38,gyakorsag melyk nns reszleges teljes Row Totals E 43 9 1 8 neme 47 1 118 85 All Grps 9 149 18 367 Summary Tale: Expeted Frequenes (korhaz n Workook1) Marked ells have ounts > 5 earson Ch-square: 49,8439, df=, p=, Weght varale:! ~\FT1,,,\38,gyakorsag nns reszleges teljes Row Totals,1899 33,916 8,5995 8, 69,8911 115,784 99,45 85, 9, 149, 18, 367, BIOMETRIA_NEMARAMÉTERES_3 1