Feltesszük, hogy a mintaelemek között nincs két azonos. ha X n a rendezett mintában az R n -ik. ha n 1 n 2

Átírás

1 Kabos: Ordinális változók Hipotézisvizsgálat-1 Minta: X 1, X 2,..., X N EVM (=egyszerű véletlen minta) X-re Feltesszük, hogy a mintaelemek között nincs két azonos. Rendezett minta: X (1), X (2),..., X (N) a minta nagyság szerint növekedő sorbarendezése: X (1) < X (2) < < X (N) Rangszámok: R 1, R 2,..., R N ha X n a rendezett mintában az R n -ik. Belátható, hogy X n = X ( R n ) és E {R n } = N V ar {R n } = (N + 1) (N 1) 12 Cov {R n1, R n2 } = N minden n = 1..N -re ha n 1 n 2

2 Kabos: Ordinális változók Hipotézisvizsgálat-2 Hipotézisvizsgálat két független populációra Legyen X 1, X 2,..., X N EVM X-re, és Y 1, Y 2,..., Y M EVM Y -ra. Az egyesített {X 1, X 2,..., X N,..., Y 1, Y 2,..., Y M } mintában az X-ek rangszámai: R 1, R 2,..., R N Wilcoxon rangösszeg statisztika: W X = Mann-Whitney statisztika: U X = W X N n=1 ( N 2 Belátható, hogy ha X és Y eloszlása azonos, akkor R n ) E {W X } = N(N + M + 1) 2 V ar {W X } = NM(N + M + 1) 12

3 Kabos: Ordinális változók Hipotézisvizsgálat-3 Legyen X 1, X 2,..., X N EVM az X változóra, a minta empírikus eloszlásfüggvénye ˆF N (t) = 1 N # {n : X n < t}. Legyen Y 1, Y 2,..., Y N EVM az Y változóra, a minta empírikus eloszlásfüggvénye ĜN(t) = 1 N # {n : Y n < t}. Feltesszük, hogy X 1,.., X N, Y 1,.., Y N teljesen független megfigyelések. Kolmogorov-Szmirnov statisztika: { ĜN(t)} B N = ˆFN (t) sup <t< Kolmogorov-Szmirnov statisztika: { A N = ˆF } N (t) ĜN(t) sup <t< A Kolmogorov-Szmirnov próba a két eloszlás azonosságát vizsgálja. A t-próba a két eloszlás várhatóértékének egyenlőségét vizsgálja.

4 Kabos: Ordinális változók Hipotézisvizsgálat-4 Összefüggésvizsgálat Legyen (X 1, Y 1 ), (X 2, Y 2 ),..., (X N, Y N ) EVM (X, Y )-ra Az adatelemzés szóhasználatában ezt az adatrendszert így nevezik: összetartozó minták és ezzel megkülönböztetik az eddig tárgyalt adatrendszerektől, melyek a független minták. Összetartozó minta például, ha N házaspárt kérdezünk: az n-ik házaspárnál a férj válasza X n és a feleség válasza Y n A következő próbával X és Y függetlenségét tudjuk tesztelni. Wilcoxon előjeles rangpróba kiszámítjuk a Z n = X n Y n értékeket, n = 1..N kiszámítjuk a Z n rangszámait: R n W + = a pozitív előjelű Z n -ekhez tartozó R n -ek összege Wilcoxon kiszámította W + eloszlását arra az esetre, ha X és Y függetlenek.

5 Kabos: Ordinális változók Hipotézisvizsgálat-5 Összefüggésvizsgálat Legyen (X 1, Y 1 ), (X 2, Y 2 ),..., (X N, Y N ) EVM (X, Y )-ra R = (R 1, R 2,..., R N ) ahol R n az X n rangja az X-mintában, Q = (Q 1, Q 2,..., Q N ) ahol Q n az Y n rangja az Y -mintában. S = (S 1, S 2,..., S N ) ahol S n = R n Q n n = 1..N Spearman-korreláció: r S = corr(r, Q) Belátható, hogy r S = 1 6 N(N + 1)(N 1) ( ) 2 N + 1 Belátható, hogy E {T } = N és 2 V ar {T } = 1 N 1 Megjegyzés: r S = ( N(N + 1)(N 1) 12 ) 2 1 N 1 T E{T } V ar{t } N n=1 S 2 n

6 Kabos: Ordinális változók Hipotézisvizsgálat-6 Értelmezzük az azonosan rendezett párok (C = C 1 + C 2 ) és az eltérően rendezett párok (D = D 1 + D 2 ) számát : C 1 = # {(n, m) : X n < X m és Y n < Y m } C 2 = # {(n, m) : X n > X m és Y n > Y m } D 1 = # {(n, m) : X n < X m és Y n > Y m } D 2 = # {(n, m) : X n > X m és Y n < Y m } Kendall-féle τ : τ A = C D T ahol T = N(N 1) Belátható, hogy τ A = C D C + D = 2C N(N 1) 1 feltéve, hogy a mintaelemek között nincs két azonos. Az azonos értékek kezelése: X az A 1,..., A I különböző értékeket veszi fel, a 1,..., a I multiplicitással Y a B 1,..., B J különböző értékeket veszi fel, b 1,..., b J multiplicitással Legyen α = I a i (a i 1) és β = i=1 J b j (b j 1) j=1 τ B = C D (T α) (T β)

7 Ordinális változók elemzése ISSPSocIneq változók: v4 v10 v11 v12 v34 urbrural educyrs v4 Importance: coming from a wealthy famil Frequency Percent Valid Percent Cumulative Percent Valid Essential Very important Fairly important Not very important Total Missing Cant choose No answer Total Total v10 People study to earn a lot of money Valid Frequency Percent Valid Percent Cumulative Percent Strongly agree Agree Neither agree nor disagree Disagree Total Missing Cant choose No answer Total Total v11 Differences in income are necessary Valid Frequency Percent Valid Percent Cumulative Percent Strongly agree Agree Neither agree nor disagree Disagree Total Missing Cant choose No answer Total Total

8 v12 Inequa. exists because of lack of union Valid Cumulative Frequency Percent Valid Percent Percent Strongly agree Agree Neither agree nor disagree Disagree Total Missing Cant choose No answer Total Total v34 Differences in income are too large Valid Frequency Percent Valid Percent Cumulative Percent Strongly agree Agree Neither agree nor disagree Disagree Total Missing Cant choose No answer 4.3 Total Total urb Urban-Rural Valid Frequency Percent Valid Percent Cumulative Percent urban else Total

9 Valid Missing educyrs Educ Years (numerical) Cumulative Frequency Percent Valid Percent Percent 1 year Total No form school NA Total Total coeducyrs Educ Years (cat-ordinal) Valid Frequency Percent Valid Percent Cumulative Percent primary secondary high univ Total

10 Kétmintás összehasonlítás szám-értékű változóra: t-próba T-TEST GROUPS=urb(1 2) /VARIABLES= v4 v10 v11 v12 v34. Independent Samples Test v4 v10 v11 v12 v34 Equal variances Equal variances not Equal variances Equal variances not Equal variances Equal variances not Equal variances Equal variances not Equal variances Equal variances not t df t-test for Equality of Means Sig. (2- tailed) Mean Difference 95% Confidence Interval of the Difference Std. Error Difference Lower Upper

11 Kétmintás összehasonlítás ordinális változóra: Mann-Whitney-Wilcoxon próba NPAR TESTS /M-W= v4 v10 v11 v12 v34 BY urb(1 2). Ranks v4 v10 v11 v12 v34 urb N Mean Rank Sum of Ranks urban else Total 1092 urban else Total 1120 urban else Total 1089 urban else Total 1041 urban else Total 1132 Test Statistics a v4 v10 v11 v12 v34 Mann-Whitney U Wilcoxon W Z Asymp. Sig. (2-tailed) a. Grouping Variable: urb

12 Teszt két eloszlás egyenlőségére: Kolmogorov-Szmirnov próba NPAR TESTS /K-S= v4 v10 v11 v12 v34 BY urb(1 2). Most Extreme Differences a. Grouping Variable: urb Test Statistics a v4 v10 v11 v12 v34 Absolute Positive Negative Kolmogorov-Smirnov Z Asymp. Signif. (2-tailed)

13 Wilcoxon előjeles rangpróba NPAR TEST /WILCOXON=v4 v10 v11 v12 v34 WITH coeducyrs. coeducyrs - v4 coeducyrs - v10 coeducyrs - v11 coeducyrs - v12 coeducyrs - v34 a. coeducyrs < v4 b. coeducyrs > v4 c. coeducyrs = v4 d. coeducyrs < v10 e. coeducyrs > v10 f. coeducyrs = v10 g. coeducyrs < v11 h. coeducyrs > v11 i. coeducyrs = v11 j. coeducyrs < v12 k. coeducyrs > v12 l. coeducyrs = v12 m. coeducyrs < v34 n. coeducyrs > v34 o. coeducyrs = v34 Ranks N Mean Rank Sum of Ranks Negative Ranks 669 a Positive Ranks 159 b Ties 264 c Total 1092 Negative Ranks 318 d Positive Ranks 430 e Ties 372 f Total 1120 Negative Ranks 673 g Positive Ranks 175 h Ties 241 i Total 1089 Negative Ranks 498 j Positive Ranks 211 k Ties 332 l Total 1041 Negative Ranks 279 m Positive Ranks 476 n Ties 377 o Total 1132

14 Wilcoxon előjeles rangpróba Test Statistics c coeducyrs - v4 coeducyrs - v10 coeducyrs - v11 coeducyrs - v12 coeducyrs - v34 Z -17,330 a -5,350 b -17,471 a -9,388 a -8,435 b Asymp a. Based on positive ranks. b. Based on negative ranks. c. Wilcoxon Signed Ranks Test

15 Összefüggésvizsgálat szám-értékű változókra: Pearson-korreláció CORRELATIONS /VARIABLES= v4 v10 v11 v12 v34 coeducyrs WITH educyrs /PRINT=TWOTAIL NOSIG /MISSING=PAIRWISE. s v4 educyrs Pearson,083 ** Sig. (2-tailed).008 N 1016 v10 Pearson,226 ** N 1038 v11 Pearson -,071 * Sig. (2-tailed).024 N 1008 v12 Pearson,221 ** N 968 v34 Pearson,232 ** N 1045 coeducyrs Pearson,926 ** N 1059 **. is significant at the 0.01 level (2-tailed). *. is significant at the 0.05 level (2-tailed).

16 Összefüggésvizsgálat ordinális változókra NONPAR CORR /VARIABLES= v4 v10 v11 v12 v34 WITH coeducyrs /PRINT=BOTH TWOTAIL NOSIG /MISSING=PAIRWISE. s coeducyrs Kendall's v4 tau_b.035 Sig. (2-tailed).182 N 1092 v10,144 ** N 1120 v11 -,083 ** Sig. (2-tailed).002 N 1089 v12,137 ** N 1041 v34,148 ** N 1132 Spearman's v4 rho.040 Sig. (2-tailed).187 N 1092 v10,166 ** N 1120 v11 -,094 ** Sig. (2-tailed).002 N 1089 v12,157 ** N 1041 v34,172 ** N 1132 **. is significant at the 0.01 level (2-tailed).

17 Kategoriális főkomponens elemzés CATPCA VARIABLES=v4 v10 v11 v12 v34 /ANALYSIS=v4(LEVEL=ORDI) v10(level=ordi) v11(level=ordi) v12(level=ordi) v34(level=ordi) /DIMENSION=2 /NORMALIZATION=VPRINCIPAL /PRINT=QUANT LOADING /PLOT=LOADING. Quantifications Table v4 Importance: coming from a wealthy famil a Centroid Coordinates Vector Coordinates Category Frequency Quantification Essential Very important Fairly important Not very important Missing 50 Variable Principal Normalization. a. Optimal Scaling Level: Ordinal. v10 People study to earn a lot of money a Centroid Coordinates Vector Coordinates Category Frequency Quantification Strongly agree Agree Neither agree nor disagree Disagree Missing 22 Variable Principal Normalization. a. Optimal Scaling Level: Ordinal.

18 v11 Differences in income are necessary a Centroid Coordinates Vector Coordinates Category Frequency Quantification Strongly agree Agree Neither agree nor disagree Disagree Missing 53 Variable Principal Normalization. a. Optimal Scaling Level: Ordinal. v12 Inequa. exists because of lack of union a Centroid Coordinates Vector Coordinates Category Frequency Quantification Strongly agree Agree Neither agree nor disagree Disagree Missing 101 Variable Principal Normalization. a. Optimal Scaling Level: Ordinal. v34 Differences in income are too large a Centroid Coordinates Vector Coordinates Category Frequency Quantification Strongly agree Agree Neither agree nor disagree Disagree Missing 10 Variable Principal Normalization. a. Optimal Scaling Level: Ordinal.

19 Component Loadings Component Loadings v4 Importance: coming from a wealthy famil v10 People study to earn a lot of money v11 Differences in income are necessary v12 Inequa. exists because of lack of union v34 Differences in income are too large Variable Principal Normalization.