HIPERGEO. BINOM. POISSON 4.1. Egy üzletben 100-an vásárolnak, közülük 80-an rendelkeznek bankkártyával. A pénztárnál 10-en állnak sorba, mi a valószínűsége, hogy 7-nek lesz bankkártyája? 4.2. Egy üzletben 100 vásárlóból átlag 80-an rendelkeznek bankkártyával. A pénztárnál 10- en állnak sorba, mi a valószínűsége, hogy 7-nek lesz bankkártyája? 4.3. Egy üzletben 100 vásárlóra átlag 80 bankkártya jut. A pénztárnál 10-en állnak sorba, mi a valószínűsége, hogy 7 darab bankkártya jut rájuk? 4.4. Egy úton hetente átlag 3 baleset történik. Mi a valószínűsége, hogy egy adott héten 2? 4.5. Egy úton hetente átlag 3 balesetes nap van. Mi a valószínűsége, hogy adott héten 2? 4.6. Egy vizsgán a hallgatóknak általában 60%-a megbukik. Egy nap 10-en vizsgáznak, mi a valószínűsége, hogy éppen a 20%-uk megy át? a) Mi a valószínűsége, hogy legfeljebb 2-en mennek át? b) Mi a valószínűsége, hogy legalább 2-en mennek át? c) Mi a valószínűsége, hogy legalább 4-en mennek át? 4.7. Egy nap 0,2 valószínűséggel esik eső. Mi a valószínűsége, hogy egy héten három nap esik? 4.8. Egy újságárus óránként átlag 42 darab újságot ad el. Mi a valószínűsége, hogy 10 perc alatt legfeljebb 2 darabot? 4.9. Egy könyvben 100 oldalon átlag 80 nyomdahiba található. Mi a valószínűsége, hogy 10 egymást követő oldalon 7 hiba lesz? 4.10. Egy autópályán 100 autóból átlag 12-nél találnak valamilyen szabálytalanságot. 10 autót véletlenszerűen megállítva mi a valószínűsége, hogy a) pontosan két autónál lesz valamilyen szabálytalanság? b) legfeljebb két autónál lesz szabálytalanság? c) legalább két autónál lesz szabálytalanság? 4.11. A közúti ellenőrzés során óránként átlag 8 autónál találnak valamilyen szabálytalanságot. Mi a valószínűsége, hogy negyedóra alatt háromnál? 4.12. Egy kertészetben 100 vásárlóból átlag 8-an reklamálnak. Mi a valószínűsége, hogy 10 vevőből a) ketten reklamálnak? b) legalább ketten reklamálnak? c) legalább öten reklamálnak? d) az első két vevő reklamál? e) csak az első két vevő reklamál? 4.13. Egy üzlet a következő 20 napból 3 nap zárva tart. Kiválasztunk 5 napot, mi a valószínűsége, hogy 3 nap lesz nyitva? 1
4.14. Annak valószínűsége, hogy egy hírlapárus negyedóra alatt egyetlen lapot sem tud 6 eladni, e az eladott lapok száma Poisson-eloszlást követ. Mennyit szokott eladni átlagosan óránként? Mekkora valószínűséggel ad el félóra alatt 10 darabot? 4.15. Egy étteremben dolgozó 20 pincér közül 7 tud németül. Egyik este éppen 8 pincér dolgozik és közülük 5-en a teraszon. Mi a valószínűsége, hogy a teraszon dolgozók közül 2-en beszélnek németül? 4.16. Valaki két lövést ad le egy céltáblára, mindkét alkalommal ugyanakkora de legalább 0,6 valószínűséggel talál célba. Annak valószínűsége, hogy csak egy lövés talál célba 0,32. Mekkora valószínűséggel talál mindkettő? 4.17. Egy esemény karakterisztikus eloszlásának szórása 0,4. Mekkora az esemény bekövetkezésének valószínűsége, ha az legalább 2/3? 4.18. Egy este átlagosan óránként 10 hullócsillagot látni. Ha a hullócsillagok száma Poissoneloszlást követ, mekkora a valószínűsége, hogy negyedóra alatt, a) kettőt látni? b) legfeljebb kettőt látni? c) legalább kettőt látni? 4. 19. Egy szövet anyagában átlag 10 méterenként van apró hiba. Mi a valószínűsége, hogy egy 6 méteres darab hibátlan? Mi a valószínűsége, hogy ha 30 méternyi szövetet 6 méteres darabokra vágnak, akkor pontosan két hibás darab lesz? És, hogy mind hibátlan lesz? EGYENLETES, EXP, NORM 4.20. A valószínűségi változó egyenletes eloszlású, várható értéke 10, szórása 3. Mekkora P ( 9) illetve P ( 12)? 4.21. Valaki egy telefonhívást vár, ami reggel 8 órától esedékes, érkezése egyenletes eloszlást követ. Annak valószínűsége, hogy a hívás 10-ig befut 0,2. a) Mi a valószínűsége, hogy 12-ig hívják? b) Mi a valószínűsége, hogy 13.00 és 14.00 között hívják? c) Mi a valószínűsége, hogy ha 13.00-ig nem hívják, 14.00-ig hívják? 4.22. Egy mobiltelefon élettartama exponenciális eloszlású 4 év várható élettartammal. Mekkora a valószínűsége, hogy legalább 8 évig működik? Mekkora a valószínűsége, hogy 8évnél tovább, de 10-nél kevesebb ideig működik? 4.23. Egy termék élettartama exponenciális eloszlású valószínűségi változó 4 év szórással. a) Mekkora valószínűséggel hibásodik meg a gyártástól számított 12 éven belül? b) Legfeljebb mekkora lehet a garanciaidő, ha a termékeknek legfeljebb 10%-át szeretnék garanciálisan javítani, vagy cserélni? 4.24. Egy tűzoltóságra átlagosan kétóránként érkezik riasztás. Mi a valószínűsége, hogy a) 8 óra alatt legfeljebb 2 riasztás érkezik? b) egy 12.00-kor érkező riasztás után a következő 13.30 és 14.00 között érkezik? 4.25. Egy bankba óránként átlag 24 ügyfél érkezik. Mi a valószínűsége, hogy a) 10 perc alatt legalább 2-en érkeznek, ha az ügyfelek száma Poisson-eloszlást követ? b) két ügyfél érkezése között 5 perc is eltelik, ha az eltelt idő exponenciális eloszlású? 2
4.26. Egy bankban, az esetek negyedében fordul elő, hogy egy ügyfelet 10 percen belül nem követ másik. Egy óra alatt várhatóan hány ügyfél érkezik? Mi a valószínűsége, hogy két ügyfél érkezése közt 15 perc is eltelik? 4.27. Egy üzletben két óra alatt átlagosan 30 vevő fordul meg. A vevők érkezése között eltelt idő exponenciális eloszlású valószínűségi változó. a) 10.00-kor érkezik egy vevő. Mi a valószínűsége, hogy a következő vevő 10.12 és 10.15 között érkezik? b) Ha a 10.00-kor érkező vevő után már 12 perce nem érkezett újabb vevő, mi a valószínűsége, hogy 10.15-ig érkezni fog? 4.28. Egy bankban, az esetek negyedében fordul elő, hogy egy ügyfelet 5 percen belül nem követ másik. Egy óra alatt várhatóan hány ügyfél érkezik? a) Mi a valószínűsége, hogy egy 10.00-kor érkező ügyfél után 10.12 és 10.17 között érkezik a következő? b) Mi a valószínűsége, hogy két ügyfél érkezése közt 15 perc is eltelik, akkor kevesebb, mint 20 perc telik el? 4.29. Egy napilap az esetek 0,3%-ában jelenik meg hibátlanul, a hibák száma Poissoneloszlást követ. Mekkora a sajtóhibák várható napi száma? P E( ) D( ) 2 E( ) D( )? 4.30. Egy üvegtáblában a gyártás során várhatóan 0,1 hiba keletkezik. Mekkora a valószínűsége, hogy egy tábla hibátlan? Ha egy megrendelőnek 100 darab hibátlan táblát kell leszállítani, várhatóan hány üvegtáblát kell legyártani? Mi a valószínűsége, hogy 10 táblából kettő hibás? 4.31. Egy készülék élettartama exponenciális eloszlású valószínűségi változó, száz ilyen készülékből átlagosan 55 hibásodik 400 üzemórán belül. a) Mekkora a készülék várható élettartama? b) Mekkora valószínűséggel lesz 10 készülékből 6 olyan, ami a várható élettartamnál tovább működik? 4.32. Egy ügyfélszolgálatra óránként átlag 18 hívás fut be. Mi a valószínűsége, hogy a) 10 perc alatt legalább 2 hívás érkezik, ha a hívások száma Poisson-eloszlású? b) két hívás között 5 perc is eltelik, ha a hívások közt eltelt idő exponenciális eloszlású? 4.33. A valószínűségi változó várható értéke 20, szórása 4. Lehet-e Poisson, illetve binomiális eloszlású? Ha igen, mekkora a P ( 18) valószínűség? 4.34. A valószínűségi változó várható értéke 49, szórása 7. Lehet-e Poisson, illetve binomiális eloszlású? Ha igen, mekkora a P ( 20) valószínűség? 4.35. Egy kamionsofőr az esetek 36,8%-ában legalább két órát várakozik a határállomáson, a várakozási idő exponenciális eloszlású valószínűségi változó. a) Mekkora az átlagos várakozási idő? b) Mennyi a valószínűsége, hogy egy adott esetben egy óránál kevesebbet kell várakoznia? D( ) 2 c) P ( M ( ) )? 4.36. Egy készülék élettartama exponenciális eloszlású valószínűségi változó 5 év szórással. a) Mekkora a valószínűsége, hogy egy ilyen készülék legalább 8 évig működik? 3
b) Ha egy ilyen készülék már legalább 8 éve működik, milyen valószínűséggel működik további legalább 3 évig? 4.37. Egy úton 500 méterenként átlag 25 kátyú van. Mekkora a valószínűsége, hogy a) Egy 100 méteres szakasz hibátlan? b) Egy 100 méteres szakaszon legalább két kátyú van? c) Két kátyú távolsága legalább 250 méter, de legfeljebb 300 méter? 4.38.Egy termék garanciaideje két év. Mekkora a termék várható élettartama, ha 12%-ukon kell garanciális javításokat végrehajtani és 3%-ukat a javíthatatlanság miatt cserélni? a) Mekkora a valószínűsége, hogy egy ilyen termék legalább 5 évig működik? b) Öt terméket kiválasztva mekkora a valószínűsége, hogy legalább kettő működik legfeljebb 3 évig? 4.39. Egy készülék élettartama exponenciális eloszlású valószínűségi változó, ezer ilyen készülékből átlag 36 darab hibásodik meg a gyártástól számított fél éven belül. a) Mekkora a készülék várható élettartama? b) Mekkora a valószínűsége, hogy egy ilyen készülék legalább 10 évig működik? c) Ha egy ilyen készülék már legalább 8 éve működik, milyen valószínűséggel működik további legalább 3 évig? 4.40. Egy készülék élettartama exponenciális eloszlású valószínűségi változó, annak 2 valószínűsége, hogy legalább 6 évig működik e. a) Mekkora a valószínűsége, hogy egy ilyen készülék legfeljebb 4 évig működik? b) Ha egy ilyen készülék már legalább 4 éve működik, milyen valószínűséggel működik további legalább 4 évig? 4.41. Egy üzlet napi forgalma közelítőleg normális eloszlású valószínűségi változó. A vásárlók átlagos száma 560 fő, a szórás 16 fő. Mekkora valószínűséggel lesz egy adott napon a vevők száma legfeljebb 600 fő? x 0,5 0,67 1 1,5 2 2,25 2,5 0,6915 0,7486 0,8413 0,9332 0,9772 0,9878 0,9938 4.42. Egy határátkelőhelyen a várakozási idő jó közelítéssel normális eloszlású valószínűségi változó, 24 perc várható értékkel. Annak valószínűsége, hogy az átkelésig legfeljebb fél órát kell várni 0,8413. a) Mekkora valószínűséggel tart legfeljebb 20 percig a várakozás? b) Mekkora a valószínűsége, hogy negyedóránál több, de 36 percnél kevesebbet kell várni? 0,5 0,3520 0,6915 1,67 0,0989 0,9525 0,67 0,3187 0,7486 2 0,0539 0,9772 1 0,2419 0,8413 2,25 0,0317 0,9878 1,5 0,1295 0,9332 2,5 0,0175 0,9938 4
4.43. Egy iskolában a tanulók magasságának eloszlása közelítőleg normális, 12cm szórással. Annak valószínűsége, hogy egy tanuló 144cm-nél alacsonyabb, 0,159. Mekkora a valószínűsége, hogy egy tanuló legalább 174cm? x x 0,159 0,5636 1,5 0,9332 0,5 0,6915 1,67 0,9525 0,67 0,7486 2 0,9772 1 0,8413 2,25 0,9878 4.44. Egy teszt megírására 90 perc áll rendelkezésre, a megírási idő normális eloszlású valószínűségi változó 65 perc várható értékkel és 10 perc szórással. Mekkora valószínűséggel végez valaki kevesebb, mint háromnegyed óra alatt? 0,159 0,3939 0,5636 1,5 0,1295 0,9332 0,5 0,3520 0,6915 1,67 0,0989 0,9525 0,67 0,3187 0,7486 2 0,0539 0,9772 1 0,2419 0,8413 2,25 0,0317 0,9878 4.45. Egy palackozó üzemben 1,5 literes gyümölcsleveket töltenek, közelítőleg normális eloszlással. Annak valószínűsége, hogy az üvegbe töltött gyümölcslé a várhatótól legalább 25 milliliterrel eltér 0,0456. Mekkora a szórás? x 0,5 0,67 1 1,5 2 2,25 2,5 0,6915 0,7486 0,8413 0,9332 0,9772 0,9878 0,9938 4.46. Egy méteráru kiskereskedés által naponta eladott szövet hossza normális eloszlású valószínűségi változó 45 m várható értékkel és 9 m szórással. Mi a valószínűsége, hogy valamely nyitvatartási napon az eladott szövet hossza a 40 métertől 10 méternél nagyobb mértékben tér el? x x 0,159 0,5636 1,5 0,9332 0,56 0,7123 1,67 0,9525 0,67 0,7486 2 0,9772 1 0,8413 2,25 0,9878 4.47. Egy csomagoló üzemben 900g-os üvegekbe töltenek mézeket. a) Legfeljebb mekkora szórást engedhetünk meg, ha az üvegekbe töltött méz mennyisége normális eloszlású valószínűségi változó és annak valószínűsége, hogy egy üvegben a méz mennyisége nem 890g és 910g közé esik legfeljebb 0,1096 valószínűségű lehet? b) Adjunk becslést a Csebisev-egyenlőtlenség segítségével, hogy legfeljebb mekkora lehet a szórás, ha az üvegekbe töltött méz mennyisége ismeretlen eloszlású és annak valószínűsége, hogy nem 890g és 910g közé esik legfeljebb 0,1096! 5
0,1 0,3700 0,5398 1,28 0,1858 0,8997 0,67 0,3187 0,7486 1,60 0,1109 0,9452 0,9 0,2661 0,8159 1,73 0,0893 0,9583 1,12 0,2131 0,8686 2,5 0,0175 0,9938 4.48*. Egy üvegbe töltött folyadék mennyisége normális eloszlású valószínűségi változó 1 liter várható értékkel. Mekkora a szórás, ha annak valószínűsége, hogy a folyadék mennyisége 990ml-nél kevesebb 1 (2)? Mi a valószínűsége, hogy egy 12 üveget tartalmazó csomagban legalább 2 üveg tartalma legfeljebb 990 milliliter? 4.49**. Egy csomagolóüzemben 500g-os konzerveket töltenek 2g szórással. Mekkora a valószínűsége, hogy egy 20 darabos csomagban legalább 18-ban a konzerv 494 és 506 gramm közé esik? 4.50. Tapasztalatok szerint valamely szolgáltató vállalathoz naponta beérkező megrendelések száma jó közelítéssel normális eloszlású valószínűségi változó 20 szórással. Mekkora a napi megrendelések számának várható értéke, ha p ( 60) 0, 1 0,1 0,3700 0,5398 1,28 0,1858 0,8997 0,9 0,2661 0,8159 1,60 0,1109 0,9452 1 0,2419 0,8413 1,73 0,0893 0,9583 1,12 0,2131 0,8686 2,5 0,0175 0,9938 4.51. Valamely üzletben a vásárlók száma jó közelítéssel normális eloszlású valószínűségi változó. Négy nyitvatartási napból átlagosan egyszer szokott előfordulni, hogy a vásárlók száma kevesebb, mint 40. Mekkora a vásárlók átlagos száma, ha a szórás 12? 0,1 0,3700 0,5398 1,28 0,1858 0,8997 0,67 0,3187 0,7486 1,60 0,1109 0,9452 0,9 0,2661 0,8159 1,73 0,0893 0,9583 1,12 0,2131 0,8686 2,5 0,0175 0,9938 4.52*. Egy dobozban van 3 piros és 2 zöld golyó. Addig húzunk visszatevés nélkül golyókat, amíg pirosat nem húzunk. Jelentse a húzott golyók számát, pedig a húzott zöld golyók számát. Adjuk meg és együttes eloszlását, valamint a peremeloszlásokat. Független-e és? 4.53*. Két kockával dobunk. Jelentse a páros dobások, pedig a hárommal osztható dobások számát. Adjuk meg és együttes eloszlását, valamint a peremeloszlásokat. Független-e és? 4.54*. Egy dobozban van egy kék, 2 zöld és 3 piros golyó. Addig húzunk visszatevés nélkül golyókat, amíg pirosat nem húzunk. Jelentse a húzott golyók számát, pedig a húzott zöld golyók számát. Adjuk meg és együttes eloszlását, valamint a peremeloszlásokat. Független-e és? 4.55*. Egy dobozban 3 piros, 2 fehér és 1 zöld golyó van. Kiveszünk a dobozból 3 golyót. Jelentse a húzott fehér golyók számát, pedig a húzott zöld golyók számát. 6
Adjuk meg és együttes eloszlását, valamint a peremeloszlásokat. Független-e és? 4.56. Az A esemény karakterisztikus eloszlásának valószínűségi változója legyen, míg a B eseményé. Adjuk meg és együttes eloszlását, perem-eloszlását és az együttes eloszlásfüggvényt, ha ismeretes, hogy P ( A) 0,2 P ( B A) 0, 5 P ( A B) 0, 4 4.57. Az A esemény karakterisztikus eloszlásának valószínűségi változója legyen, míg a B eseményé. Adjuk meg és együttes eloszlását, perem-eloszlását és az együttes eloszlásfüggvényt, ha ismeretes, hogy P ( A) 0,6 P ( A B) 0, 5 P ( A B) 0, 85 4.58**. A és független valószínűségi változók, Poisson-eloszlású, exponenciális eloszlású 2 paraméterrel. 3 P( 0) e míg P ( 2)? 4.59**. A és független valószínűségi változók, Poisson-eloszlású, exponenciális eloszlású E ( ) 2. P ( 2)? 4.60**. A és független valószínűségi változók, Poisson-eloszlású, egyenletes eloszlású E ( ) 3 és ( ) 3 P ( 4)? D. 4 P( 1) 4 e míg 4 P( 1) 4 e míg 4.61**. A és független valószínűségi változók, Poisson-eloszlású, D ( ) 2 míg exponenciális eloszlású P ( 2)? 6 P( 3) e. 4.62. Egy könyvárus óránként átlag 8 könyvet tud eladni. Mekkora a valószínűsége, hogy 5 óra alatt legalább 50 darabot? Adjunk erre becslést a Markov-egyenlőtlenséggel. 4.63. A valószínűségi változó várható értéke 20. Adjunk becslést a P ( 80) valószínűségre a Markov-egyenlőtlenséggel! 4.64. Egy csavargyárban 10 cm hosszú csavarokat gyártanak, 2 mm szórással. Egy csavar selejtes, ha a hossza 9,5 cm-nél kisebb vagy 10,5 cm-nél nagyobb. Adjunk becslést a selejtarányra. 4.65. Egy mozi előadásainak átlagos nézőszáma 120 fő, a szórás 16. Adjunk becslést annak valószínűségére, hogy egy előadáson a nézők száma 100 és 140 közé esik. 4.66. A valószínűségi változó várható értéke 20, szórása 4. Adjunk becslést annak valószínűségére, hogy 15 és 28 közé esik. 7
4.67. Egy üzletben óránként átlag 80-an vásárolnak, a szórás 10. Adjunk becslést annak valószínűségére, hogy egy adott órában a vevőszám 60 és 96 közé esik. 4.68. Egy üzemben 200 mm hosszú alkatrészeket gyártanak, 3 mm szórással. Egy alkatrész selejtes, ha a hossza 196 mm-nél kisebb vagy 209 mm-nél nagyobb. Adjunk becslést a selejtarányra. 4.69. Egy üzletben óránként átlag 12-en vásárolnak. Adjunk becslést annak valószínűségére, hogy egy 3 órás időtartamban a vevőszám 25 és 45 közé esik. 4.70. Egy vizsgán a hallgatók 60% vizsgázik sikeresen. Adjunk becslést annak valószínűségére, hogy egy alkalommal a 100 vizsgázóból a sikeresen vizsgázók száma 50 és 68 közé esik. 4.71. A valószínűségi változó várható értéke 20, annak valószínűsége, hogy 15 és 25 közé esik a Csebisev-egyenlőtlenség alapján legalább 0,96. Legfeljebb mekkora valószínűséggel esik a várhatótól legalább 4-nél távolabb? 4.72. A valószínűségi változó várható értéke 40, annak valószínűsége, hogy a várható értéktől legalább 6-tal eltér legfeljebb 0,25. Legalább mekkora valószínűséggel esik 30 és 52 közé? 8