Matematia A4 III. gyaorlat megoldás 1. Független eseménye Lásd másodi gyaorlat feladatsora.. Diszrét eloszláso Nevezetes eloszláso Binomiális eloszlás: Tipius példa egy pénzdobás sorozatban a feje száma. Ha n-szer dobtun fel egy érmét, amely p valószínűséggel fej (tehát lehet, hogy hamis, aor anna a valószínűsége, hogy pontosan db fej van a dobáso özött: ( n P (X = = b(; n, p = p (1 p n ( = 0, 1,..., n. Például, pontosan hatos valószínűsége 0 dobásból: P (X = = ( 0 (1/6 (5/6 1. Hipergeometrius eloszlás: A darab piros, és B darab fehér golyó özül húzun n darabot. Anna a valószínűsége, hogy pontosan darab piros golyót húzzun i: ( A B ( P (X = = h(; A, B, n = n ( A+B n Például, találat valószínűsége az ötös lottón: P (X = = (5 ( 85 ( = max(0, n B,..., min(a, n. ( 90 Geometriai eloszlás (optimista: Hányadi dobásra jön elő az első hatos? P (X = = (5/6 1 (1/6. Általánosabban: optimista, p paraméterű geometriai eloszlású az a valószínűségi változó, ami a sier első előfordulásáig szüséges ísérlete számát számolja (a sieres ísérlettel együtt, ahol a független ísérleteben a sier valószínűsége mindig p: P(X = = g(; p = (1 p 1 p ( = 1,,.... Geometriai eloszlás (pesszimista: Hány nemhatost dobo az első hatos dobás előtt? P (X = = (5/6 (1/6. Általánosabban: pesszimista, p paraméterű geometriai eloszlású az a valószínűségi változó, ami az első sierig beövetezett udarcoat számolja, ahol a független ísérleteben a sier valószínűsége mindig p: P(X = = (1 p p ( = 0, 1,,.... 5. 1
Negatív binomiális eloszlás (optimista: Hányadira jön i a harmadi hatos? P (X = = ( 1 (1/6 (5/6 (1/6 = ( 1 (1/6 (5/6. Általánosabban: a sier valószínűsége p, a valószínűségi változó azt számolja, hányszor ell a ísérletet (egymástól függetlenül elvégezni, hogy megapju az n-edi siert: ( 1 P(X = = n(; n, p = p n (1 p n ( = n, n + 1, n +,.... n 1 Negatív binomiális eloszlás (pesszimista: Hány nemhatost dobo a harmadi hatos dobás előtt? P (X = = ( + (1/6 (5/6 (1/6 = ( + (1/6 (5/6. Általánosabban: a sier valószínűsége p, a valószínűségi változó azt számolja, független ísérletenél hány udarc előzi meg az n-edi siert: ( ( + n 1 n P(X = = p n (1 p = p n ( q n 1 ( = 0, 1,,... ; q = 1 p. 1. A tanult nevezetes eloszláso özül melyi illi legjobban az alábbi valószínűségi változó modellezésére? a hányadi autó vesz fel, amior iállo az országútra, mert autóstoppal aaro utazni? Optimista geometria, hiszen azt az autót is beszámítju, ami végül felvesz. b 10 autó özül hány vesz fel stopposoat? Binomiális eloszlás c a 1. autó a harmadi piros? Optimista negatív binomiális eloszlás. Egy gyárban futószalag szállítja az alatrészeet. A futószalag leáll, ha selejtes termé érezi. A termée %-a selejtes. Mi az eloszlása anna a valószínűségi változóna, ami azt számolja, hogy a hányszor állt le a szalag az n-edi terméig (őt is beleértve? Binomiális eloszlás, ahol p = 0, 0. A súlyfüggvény = 0, 1,..., n esetben: ( n P(X = = 0, 0 0, 98 n. b hány terméet gyártott a gép az n-edi leállásig? Pesszimista negatív binomiális eloszlás, ahol p = 0, 0. A súlyfüggvény = 0, 1,... esetben: ( P(X = = 0, 0 0, 98 n+1. n 1 c hány terméet szállított ét leállás özött? Pesszimista geometriai eloszlás, ahol p = 0, 0. A súlyfüggvény = 0, 1,... esetben: P(X = = 0, 98 0, 0. d hány leállás történt egymás után anélül, hogy egyetlen jó termé is eletezett volna? (Selejtszéria hossza. Pesszimista geometriai eloszlás, ahol p = 0, 98. A súlyfüggvény = 0, 1,... esetben: P(X = = 0, 0 0, 98.
. A vidámparban a céllövöldében játszom. Egymás után vonulna fel a célponto, mindegyiet egymástól függetlenül / valószínűséggel eltalálom. Mennyi a valószínűsége, hogy 6 célzásból pontosan 4-et találo el? Mennyi a valószínűsége, hogy -nél többet találo el, de azért nem az összeset? Legyen X : a találato száma. Eor X binomiális eloszlást övet n = 6 és p = paramétereel. P(4-et találo el = P(X = 4 = ( ( 6 4 4 ( 1. P(-nél többet, 6-nál evesebbet találo el = P( < X < 6 = P( X 5 = P(X = +P(X = 4+P(X = 5 = ( ( ( ( ( 4 ( ( ( 5 ( 6 1 6 1 6 1 = + +. 4 5 4. Blicc úr minden nap villamossal megy dolgozni, de nincs bérlete, sem jegye. A villamosra minden nap 0, valószínűséggel száll fel ellenőr, és ilyenor 0, 95 valószínűséggel elapja Blicc urat. (Az ellenőr minden nap az addigiatól függetlenül dönti el, ellenőrzi-e aznap Blicc úr villamosát. a Mennyi a valószínűsége, hogy Blicc úrna "szerencsés hete" van, azaz az 5 munanap egyién sem ell büntetést fizetnie? Anna a valószínűsége, hogy Blicc urat egy nap megbünteti p = 0, 0, 95 = 0, 19. Ha X: az 5 munanap alatt beövetező büntetése száma, aor X binomiális eloszlást övet n = 5 és p = 0, 19 paramétereel. ( 5 P(szerencsés hét = P(X = 0 = 0, 19 0 0, 81 5 = 0, 81 5. 0 b Mennyi a valószínűsége, hogy pontosan étszer apjá el egy hét munanapjai alatt? A fenti rész jelölséeit használva ( 5 P(-szer bünteti meg = P(X = = 0, 19 0, 81. c Feltéve, hogy Blicc úrna "szerencsés hete" volt, mi a valószínűsége, hogy mind az ötször volt ellenőr a villamoson? Jelölje E azt az eseményt, hogy ötször volt ellenőr a villamoson, és F azt az eseményt, hogy Blicc úrna "szerencsés hete" van. Anna a valószínűsége, hogy ha van ellenőr a buszon, nem bünteti meg Blicc urat 0, 05.Eor a eresett valószínűség: P(E F = P(E F P(F = P(F E P(F P(F = 0, 055 0, 5 0, 81 5 d Mi a valószínűsége hogy csütörtöön bünteti meg másodszor? Jelölje Y a napo számát a másodi büntetésig. Eor Y negatív binomiális eloszlást övet p = 0, 19 paraméterrel. ( P(Y = 4 = 0, 81 0, 19 0, 19. 1 5. Egy szöcse elindul a számegyenes origójából. Minden lépésnél 1/ valószínűséggel jobbra, 1/ valószínűséggel balra ugri. 0 ugrás megtétele után
a milyen valószínűséggel lesz a 0-ban? Jelölje X a szöcse által megtett balralépése számát. Eor X binomiális eloszlást övet n = 0, p = 1 paramétereel. Ha a 0-ban lesz, aor az azt jelenti, hogy 10-szer lépett balra és 10-szer jobbra. Azaz ( ( 10 ( 10 0 1 1 P(0-ban lesz = P(X = 10 =. 10 b milyen valószínűséggel lesz az 1-ben? Ez a valószínűség 0, ugyanis páros számú lépés után csa páros pontban lehet a szöcse. c milyen valószínűséggel lesz a ( -ben, ha az utolsó előtti ugrás után a ( -ban volt? Teintve, hogy az ugráso egymástól függetlene, így 1/ anna a valószínűsége, hogy a ( - ből a ( -ba ugri függetlenül az előző lépsetől. 6. Egy 0 fős osztályban 1 lány van. Véletlenszerűen iválasztana az osztályból egy 1 fős csapatot egy vetéledőre. Legyen a csapatba erült lányo száma X. P (X = =? Eor X hipergeometriai eloszlást övet. ( 1 ( 1 P(X = = ( 0 1 5.. 80 üveg bor van egy borospincében össze-vissza lerava, ebből 0 fehér, 50 vörös. A vendége a fogadóstól üveg fehér és vörösbort rendelne, de a pincében iégett a villany. A fogadós véletlenszerűen iválaszt 10 üveget. Mi a valószínűsége, hogy minden vendég ap nei megfelelő itóát? Jelölje X: a iválasztott fehér boros üvege számát. Eor X hipergeometriai eloszlást övet. ( 0 ( 50 P(X = = ( 80 10. 8. Van ét érmém, az egyi igazságos érme, a mási cinelt, de ránézésre nem tudom őet megülönböztetni egymástól. A cinelt érme /4 valószínűséggel mutat fejet. Előveszem az egyi érmét a zsebemből, 1/ eséllyel az igazságosat, 1/ eséllyel a cineltet. A iválasztott érmét feldobom 0-szor, és azt tapasztalom, hogy 5-ször mutatott fejet. Mi a valószínűsége, hogy a cinelt érmét vettem elő? Jelölje X: a dobott feje számát, és C azt az eseményt, hogy a cinelt ocával dobtam. Eor az X = 5 C változó binomiális eloszlást övet n = 0 és p = 4 paramétereel illetve az X = 5 C változó binomiális eloszlást övet n = 0 és p = 1 paramétereel. Eor a Bayes-tételt használva apju, hogy P(C X = 5 = P(X = 5 C P(C P(X = 5 C P(C + P(X = 5 C P(C = = ( 0 ( 0 5 ( 4 5 ( 1 4 5 1 ( 5 ( 1 5 4 4 5 1 + ( ( 0 1 5 ( 1 5 5 1 = 5 5 + 0. 9. Feltéve, hogy a balezese aránya átlagosan 1%, becsüljü meg anna a valószínűségét, hogy 00 véletlenszerűen iválasztott ember özött legalább négy balezes van. Jelölje X: a balezese arányát. Eor X binomiális eloszlást övet p = 0, 01 és n = 00 paramétereel. (A valószínűség becslésére a 4. gyaorlaton erül sor. Eor 00 ( 00 P(legalább 4 balezes = P(X 4 = 0, 01 0, 99 00 = 1 =4 ( 00 =0 0, 01 0, 99 00. 4
10. Egy osztályban tanuló van. Egy órára 8-an nem észülte, és -en felelne. Adju meg a észületlen felelő számána eloszlását! Mennyi a valószínűsége, hogy pontosan észületlen felelő lesz? Jelölje X: a észületlenül felelő számát. Eor X hipergeometriai eloszlást övet. A súlyfüggvény = 0, 1,..., esetben ( 8 ( 14 P(X = = (. ( 8 ( P(X = = 14 5. ( 11. Egy gyárban az I. gépsor az idő 60%-ában a II. gépsor az idő 0%-ában dolgozi egymástól függetlenül. Mi a valószínűsége hogy a mindét gép dolgozi, b legalább az egyi dolgozi, c csa az egyi gép dolgozi d mindét gép áll? Jelölje A esemény azt, hogy az I. gépsor dolgozi, és B azt, hogy a II. gépsor dolgozi. Használva a függetlenséget apju a valószínűségeet. P(mindét gép dolgozi = P(A B = P(A P(B = 0, 6 0, P(legalább az egyi dolgozi = 1 P(egyi sem dolgozi = 1 P(A B = 1 P(AP(B = 1 0, 40, P(pontosan egy gép dolgozi = P(A B+P(A B = P(AP(B+P(AP(B = 0, 40, +0, 60, P(mindét gép áll = P(A B = P(A P(B = 0, 4 0, 1. 400 hallgató mindegyie egymástól függetlenül 0.6 valószínűséggel jár órára. A teremben 50 db szé van. a Mi a valószínűsége, hogy mindenine jut szé? Jelölje X: az órára járó hallgató számát. Eor X binomiális eloszlást övet n = 400 és p = 0, 6 paramétereel. 50 ( 400 P(mindenine jut szé = P(X 50 = 0, 6 0, 4 400. b Hány szé ell, hogy biztosan (1 valószínűséggel mindenine jusson szé? 400 szé ell ehhez, ugyanis P(mindeni bent van = P(X = 400 = 0, 6 400 > 0. =0 c Hány szé ell, hogy legalább 0, 99 valószínűséggel jusson mindenine szé? (Elég éplettel megadni. 1. Van ét érmém, az egyi igazságos érme, a mási cinelt, de ránézésre nem tudom őet megülönböztetni egymástól. A cinelt érme /4 valószínűséggel mutat fejet. Előveszem az egyi érmét a zsebemből, 1/ eséllyel az igazságosat, 1/ eséllyel a cineltet, és odaadom a hallgatóna. 0 dobás után el ell dönteniü, melyi érme volt, amit elővettem. Hol húzná meg a döntési határt? (A 0 dobás özül hány fej az a maximális, amior még az igazságos érmére tippelnéne? A feladat megoldása a 8-as feladathoz hasonlóan történi, csa az ottani fix 5 érté itt most egy ismeretlen paramétert jelent. A fenti levezetés alapján P(C X = = + 0 1. Ezt alaítva apju, hogy 0, azaz 19. Ez azt jelenti, hogy legalább 19 fejet dobtun, aor már azt mondhatju, hogy cinelt az érmén. 5
14. Mi a valószínűsége, hogy 0, 1,,, 4, 5 találatom lesz az ötös lottón? Jelölje X a találato számát az 5-ös lottón. Eor X hipergeometriai eloszlást övet. ( 5 ( 85 P(X = = 5 ( 90 5. 15. Mi a valószínűsége, hogy 11, 1, 1, 1 + 1 találatom lesz a totón, ha felteszem hogy bármely eredményt (1, vagy X 1/ valószínűséggel találo el? Jelölje X a találato számát a totón. Eor X binomiális eloszlást övet n = 14 és p = 1/ paramétereel. ( ( 1 ( 14 1 P(X = 11 = 1. 11 ( ( 1 ( 14 1 P(X = 1 =. 1 ( ( 1 ( 1 14 1 P(X = 1 =. P(X = 14 = 1 ( 1 1 4 ( 14 14 0. ( 16. Valai minden héten egyetlen ötös lottó szelvénnyel játszi. Legalább hány hétig ell játszania ahhoz, hogy a hármas, négyes, ötös valószínűsége legalább 1/ legyen? (Ez ülönálló érdés. 1. Addig dobun ét ocával, amíg a ét ocán lévő számjegye összege 1 nem lesz. a Mennyi anna a valószínűsége, hogy pontosan nyolcszor dobun 1-nél isebb összeget, mielőtt 1-t dobnán? Jelölje X az első 1 összeget megelőző dobáso számát. Eor X pesszimista geometriai eloszlást övet p = 1/6 paraméterrel. Tehát ( 8 ( 5 1 P(X = 8 = 6 6 b Mennyi a valószínűsége, hogy összesen nyolcszor dobun? Jelölje X az első 1 összegig a dobáso számát. Eor X optimista geometriai eloszlást övet p = 1/6 paraméterrel. Tehát ( ( 5 1 P(X = 8 = 6 6 18. Egy (szabálytalan pénzérmét dobun fel annyiszor, amíg fejet nem apun. Ha a fej dobás valószínűsége p, aor mennyi a valószínűsége, hogy a pont -szor dobun a fej előtt? Jelölje X az első fej dobás előtti dobáso számát. Eor X pesszimista geometriai eloszlást övet p paraméterrel. Tehát a súlyfüggvény = 0, 1,... esetben P(X = = (1 p p 6
b pont -szor dobun az érmével? Jelölje X az első fej dobásig a dobáso számát. Eor X optimista geometriai eloszlást övet p paraméterrel. Tehát a súlyfüggvény = 1,,... esetben P(X = = (1 p 1 p 19. Dobogato a ocával és vonásal számolom, hogy hány hatost dobtam. Mi a valószínűsége, hogy a 1. dobásra húzom a harmadi vonást? Ha azt számolnám i, hogy mennyi a valószínűsége, hogy 1-szer dobo hatostól ülönbözőt, mire idobom a harmadi hatost, aor ülönbözne ez az előző eredménytől? Jelölje X: a dobáso számát a harmadi hatos dobásig. Eor X optimista negatív binomiális eloszlást övet p = 1/6 paraméterrel. P(X = 1 = ( 11 ( 1 6 ( 9 5 1 6 6. A mási érdésre adott válasz ülönbözi az előzőtől. Hiszen az így feltett érdés azt jelenti, hogy 15 dobásból sierült harmadjára 6-ost dobni. Eor is a fenti X a valószínűségi változó, de eor pesszimista negatív binomiális eloszlással. P(X = 1 = ( 14 ( 1 6 ( 1 5 1 6 6. 0. Egy dobozban N darab cédula van 1-től N-ig megszámozva. Visszatevés nélül húzun n-szer, majd a ihúzott számoat nagyság szerint sorba raju. Teintsü a nagyság szerinti a legisebbet, b legnagyobbat, c. legisebbet, d. legisebbet, e s-edi legisebbet. Határozza meg ezene a valószínűségi változóna az eloszlását: adja meg a súlyfüggvény épletét! 1. 100 ulcs özül csa 1 nyitja az előttün lévő ajtót. A sötétben nem látju, hogy melyi ulcsot próbáltu már i, így a próbálgatáso során többször is a ezünbe erülhet ugyanaz ulcs. Mi a valószínűsége, hogy legfeljebb 50 próbálozással inyitju az ajtót? És ha a ipróbált ulcsoat félretesszü?. 100 ulcs özül nyitja az előttün lévő ajtót. A ipróbált ulcsoat félretesszü. Mi a valószínűsége, hogy legfeljebb 50 próbálozásból bejutun? És mi a valószínűsége, hogy pontosan n próbálozásból jutun be?. Általánosítás: Egy dobozban A darab piros és B darab fehér golyó van. Visszatevés nélül húzo az r-i pirosig. Adju meg a súlyfüggvény épletét! Adja meg a súlyfüggvényt visszatevéses húzás esetén is! 4. Egymás után érdezgetjü az embereet a születésnapjuról: melyi hónap hányadián születte.
a Hányadi embernél adódi az első olyan születésnap, ami már orábban szerepelt? Határozza meg enne a valószínűségi változóna az eloszlását: adja meg a súlyfüggvényne a épletét! b Hányadi embernél adódi a másodi olyan születésnap, ami már orábban szerepelt? Határozza meg enne a valószínűségi változóna az eloszlását: adja meg a súlyfüggvényne a épletét! 8