III. tehát feltéve, hogy P(B)>0 igazak a következők: (1) P( B)=0; (2) P(Ω B)=1; (3) ha C és D egymást kizáró események, akkor

Átírás

1 (matematika I. év, napp.szoc.) VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS: feltételes valószínűség, Bayes-tétel, események függetlensége ; 1. oldal (4-ből) október ELMÉLET: 1.) Analógia halmazok elemszáma és események valószínűsége között az A krit é riumnak megfelelő P(A) ~ I az ö sszes eset sz á ma P(A B) = P(A ÉS B) ~ P(A B) = P(A HA B) ~ az A az A Mindez kétféleképpen értelmezhető; és a B krit é riumnak egya rá nt megfelelő az ö sszes eset sz á ma II é s a B krit é riumnak egyar á nt megfelelő III a B krit é riumnak megfelelő az egyik értelmezésben az analógia precíz (de ez az értelmezés csak ritkán használható): "esetek" = valamely populáció összes esetei (bizonyos szempontok szerint kategorizálva innen adódnak az "események"), a kísérlet pedig egyetlen elem kisorsolása /véletlenszerű kiválasztása/ ebből a populációból; esemény=valamilyen fajta elemek kisorsolása; ennek a valószínűsége megfelel annak, hogy milyen részarányt képviselnek az ilyenfajta elemek az összes között (feltéve, hogy mindegyik elemnek egyforma az esélye, hogy kisorsolják). a másik fajta analógia nem precíz, de segíthet a gondolkodásban: elképzelünk egy olyan populációt, melynek minden elemével elvégeztük az éppen szóban forgó kísérletet; olyannak képzeljük ezt a populációt, mintha bármely esemény éppen olyan százalékban következett volna be, "ahogy illett volna", azaz ahogy az (adottnak feltételezett) valószínűségek diktálnák. (Ilyen populációk a valóságban igen ritkák.) Ennek a populációnak az elemeit tekintjük eseteknek. (Esemény=valamely, a kísérlet kimenetelét illető megállapítás; a neki megfeleltetett halmaz: azon esetek halmaza, melyekkel /akikkel/ a kísérlet ennek a kijelentésnek megfelelő módon ment végbe.) * * * * * * * * * * 2.) FELTÉTELES VALÓSZÍNŰSÉG; ESEMÉNYEK FÜGGETLENSÉGE : Feltételes valószínűség: tegyük fel, hogy Bergengócia fővárosában 100 nap közül általában 20-on esik, 80-on nem; 70 nap lőnek, 30 nap nem. Részletesebben: a 20 esős nap közül 10-en lőnek, 10-en nem, a 80 esőtlenből 60-on lőnek, 20-on nem. Eszerint P(Esik)=0,2 P(Lőnek)=0,7; beszélhetünk arról, hogy az olyan napoknak, amikor esik, a felében lőnek; másként: az olyan napokon, amikor esik, 50% valószínűséggel lőnek; ugyanígy mondhatjuk, hogy az esőtlen napokon pedig 6/8=0,75 annak a valószínűsége, hogy lőnek. Jelekkel, körülbelül: P(lőnek HA esik)=0,5; P(lőnek HA nem esik)=0,75; Hasonlóan arról is beszélhetünk, mi az eső valószínűsége, ha feltesszük, hogy lőnek: P(esik HA lőnek)=1/7; P(esik HA nem lőnek)=1/3; P(nem esik HA lőnek)=6/7; P(nem esik HA nem lőnek)=2/3. A jelölés úgy lesz körülbelüliből szabályos, ha a HA szó helyére egy függőleges vonalat írunk: P(esik HA lőnek) = P(esik lőnek). Amint láttuk, P(esik lőnek)= P ( esik l ő nek ) IV P ( l ő nek ) Általában : az A eseménynek a B eseményre mint feltételre vonatkozó feltételes valószínűségét, P(A P ( A B ) B)-t így definiáljuk: P ( A Ι B ):= V (olvasd: pé á föltéve bé ). P ( B ) Feltételes valószínűséget tehát (mi) csak olyankor definiálunk, amikor a feltétel pozitív valószínűségű esemény. Ilyenkor tehát feltéve, hogy P(B)>0 igazak a következők: (1) P( B)=0; (2) P(Ω B)=1; (3) ha C és D egymást kizáró események, akkor P(C D B)=P(C B)+P(D B); és (4) ha A1, A2, A3,..., An,... megszámlálhatóan végtelen sok, egymást páronként kizáró esemény (tehát Ai Aj=, ha i j), akkor P ( ( A1 A2 A3... An... ) HA B ) = P ( A1 HA B )+ P ( A2 HA B )+... P ( An HA B )+... VI. (Ezek szerint tehát a P(. B) függvény, mely valamely A eseményhez a P(A B) feltételes valószínűséget rendeli, maga is valószínűség az esemény-algebrán; csak éppen egy másik valószínűség: a B-re mint feltételre vonatkozó feltételes valószínűség.) A definíció 2 következménye: P ( A B )= P ( A ) * P ( B HA A ) VII /amikor P(A)>0/ : a szorzási szabály ; és P ( A1 A3... An )= = P ( A1 )* P ( A2 HA A1 )* P ( A3 HA ( A1 ) )*... P ( An HA ( A1 A3... An-1) ) VIII /feltéve, hogy mindegyik feltétel pozitív valószínűségű/ Bizonyításuk adódik a definícióból. (E két szabálynak főként olyankor venni hasznát, amikor A és B, illetve A 1,... A n éppen ebben a sorrendben következnek be; ilyenkor gyakori, hogy ezeket a feltételes valószínűségeket mind ismerjük, az együttes bekövetkezés valószínűségét nem.) Függetlenség: azt mondjuk, hogy az A esemény független a B eseménytől, ha B ismerete nem segít A valószínűségének a megállapításában, azaz, ha A ugyanolyan gyakori B esetén, mint egyébkor. Ebből adódik események függetlenségének az alábbi definíciója: A független B-től, ha P(A B)=P(A). (Látható, hogy ez a definíció csak pozitív valószínűségű B-re értelmes.) Ha ez a feltétel teljesül, akkor a feltételes valószínűség helyére beírva az ő definícióját, s beszorozva az egyenletet P(B)-vel azt kapjuk, hogy P(A B)=P(A)*P(B). Ha tehát A független B-től, akkor A és B együttes bekövetkezésének a valószínűsége egyenlő a két esemény valószínűségének a szorzatával. Ez azonban szimmetrikus feltétel; ezért inkább azt mondjuk, hogy A és B függetlenek egymástól, független események. Általában az A és a B események függetlenségét a P(A B)=P(A)*P(B) egyenlőséggel szokás definiálni; ekkor tehát nem követeljük meg, hogy bármelyik esemény is pozitív valószínűségű legyen; és adódik (hogyan?), hogy a 0-valószínűségű események minden eseménytől függetlenek.

2 (matematika I. év, napp.szoc.) VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS: feltételes valószínűség, Bayes-tétel, események függetlensége ; 2. oldal (4-ből) október PÉLDÁK, FELADATOK: (A. /kiegészítés, ismétlésnek/: százalékokkal kapcsolatos kérdések és feladatok: A/1.) Van 10 liter sóoldatunk, melynek 98%-a víz; mennyi vizet kell hozzáöntenünk, hogy az oldatnak 99%-a legyen víz? A/2.) A fekete-kór okozója minden éjfélkor osztódással szaporodik. Ha egy elefántba bekerül 1 ilyen kórokozó, 40 nap után lesz belőle annyi, hogy az elefánt megbetegedjen. Mikor a fertőzés után hány nappal vannak a kórokozók negyedennyien? A/3.) Az X cég részvényének árfolyama tegnapelőtt 50%-kal emelkedett; tegnap 50%-kal esett. Hogyan változott a két nap alatt összesen az árfolyam (hány százalékkal emelkedett / hány százalékkal csökkent / nem változott)? Miért? A/4.) Fehér és fekete nyulak; a fehérek a telep populációjának 90%-a, a feketék 10%. A feketék száma duplájára nő, a fehéreké nem változik. Milyen most a százalékos megoszlás? A/5.) Mi a jobb: ha félévenként 10%, vagy ha évenként 20% kamatot fizeta bank a betétünkre? A/6.) A... cég alkalmazottainak a bérét jan.1-én 10%-kal csökkentették, majd okt.1-én 12,5%-kal emelték. [Feltéve, hogy nincs infláció, továbbá hogy minden hónap egyformán 30 napos,] volt-e vesztesége az alkalmazottaknak [ebben az évben; ahhoz képest, ha nem változott volna a bérük]? A/7.) Autóbusz, melynek 10 óra hosszat 50 km/óra sebességgel kellene mennie, az első 5 órában 40 km/órával ment; a.) a második 5 órában 60 km/ó megy; mikorra ér így célba? Mekkora lesz az átlagsebessége (az egész útra)? b.) mekkora sebességgel kellene mennie a második 5 órában ahhoz, hogy éppen időben érjen célba? Mekkora lenne ekkor az átlagsebessége (az egész útra számítva)? A/7'.) Autóbusz, melynek 10 óra hosszat 50 km/óra sebességgel kellene mennie, az út fele hosszát 40 km/órás sebességgel teszi meg; a.) az út második felét 60 km/ó teszi meg; mikorra ér így célba? Mekkora lesz az átlagsebessége? b.) mekkora sebességgel kellene megtennie az út második felét ahhoz, hogy éppen időben érjen célba? Mekkora lenne ekkor az átlagsebessége? ) A/8.) Egy mázsa krumplinak 99%-a víz; egy darabig áll, ezalatt valamennyire szárad már csak 98% a víz benne. Mennyivel lett kevesebb a mázsa (a zsák krumpli összsúlya?) B.: FELTÉTELES VALÓSZÍNŰSÉG: B/1.) Urnában 3 piros, 2 kék, 4 zöld golyó; visszatevés nélkül kihúzunk egyenként hármat; a.) ha a harmadik zöld, akkor mi annak a valószínűsége, hogy az első piros volt? b.) mi annak a valószínűsége, hogy másodikra kéket húzunk, ha az elsőre húzott golyó piros? c.) mi annak a valószínűsége, hogy az elsőre húzott golyó piros volt (nem figyeltünk), ha másodikra kéket húztunk (ezt már néztük) B/2.) Szabályos kockával kettőt dobunk; állapítsa meg ezt a feltételes valószínűséget: P(összeg 7 az első dobás 4) B/2'.) Szabályos kockával kettőt dobunk; állapítsa meg ezt a valószínűséget: P(összeg 7 és az első dobás 4) B/3.) Két-gyermekes családok; jelölje fl az olyan családokat, ahol az első gyermek fiú, a második lány; tegyük fel, hogy a 4 lehetséges eset (ll, lf, fl, ff) mind egyformán valószínű. Ezek alapján mi egy kétgyermekes családban annak a valószínűsége, hogy ha az egyik gyerek fiú, akkor a másik is fiú? B/3') És annak mi a valószínűsége, hogy ha az első gyerek fiú, akkor a másik is fiú? B/4.) * Alaposan megkevert 52-lapos römi- (bridzs-) kártyapaklit 4-felé osztunk. A játékosok egyike Péter. Mi az alábbi események valószínűsége: A = (Péter legfelső lapja a kőr ász) B = (Péter legfelső lapja ász) C = (Péternél van a kőr ász) D = (van Péternél ász) E = (mindenkinél 1-1 ász van) F = (pontosan két ász van Péternél) Határozza meg az alábbi feltételes valószínűségeket: P(C A) P(A C) P(B D) P(A D) P(C E) P(F A) P(F D) P(F C) P(F D) B/5/a) Valamely kísérlettel kapcsolatosan P(A B)=0,3; P(A nem B)=0,5; P(B)=0,4; P( nem B)=0,6 ; mekkora lehet ezek szerint P(A) =? B/5/b) Fejezze ki P(A)-t P(A B), P(A nem B), P(B) és P(nem B) segítségével. B/6.)* Tegyük fel, hogy 0 P(A) 1, és 0 P(B) 1, továbbá, hogy P(A B)>P(A); igazolja, hogy ekkor

3 (matematika I. év, napp.szoc.) VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS: feltételes valószínűség, Bayes-tétel, események függetlensége ; 3. oldal (4-ből) október a.) P ( A HA B ) < P (A ) b.) P ( A HA B ) < P( A ) C/8.) Egy három-válaszlehetőséges tesztfeladatnál Aladár p=0,2 valószínűséggel tudja a választ; ha nem c) P ( B HA A ) < P (B ) d) P (A C.: TELJES VALÓSZÍNŰSÉG TÉTELE, BAYES-TÉTEL: HA B ) > P (A ) tudja, találomra választ a három lehetőség közül. a.) mi a valószínűsége, hogy helyes választ ír be? b.) ha helyes választ írt be, mi a valószínűsége, hogy tudta is a választ? C/1.) Az (A) zsákban 3 piros, 7 másszínű zseton van; a (B) zsákban 6 piros és 4 más színű; a (C)-ben 9 piros és 1 más színű. Azt, hogy melyikből húzunk majd egyetlen zsetont, kockadobással sorsoljuk ki; ha 1-es, akkor az (A) zsákból; ha 2-es vagy 3-as, akkor a (B)-ből; ha 4, 5 vagy 6 jön ki, akkor a (C) zsákból húzunk. (Szabályos a kocka) Mi annak a (feltételes) valószínűsége, hogy 1 volt a kockán, ha pirosat húztunk? C/2.) Ugyanez, azzal a módosítással, hogy most nem kockadobással, hanem találomra választunk a három zsák közül, 1/3 1/3 valószínűséggel. C/3.) Egy zsákban 5 piros, 3 kék és 2 sárga golyó; visszatevés nélkül kihúzunk egyet majd még egyet. Mi annak a valószínűsége, hogy először pirosat húztunk, ha két egyforma golyót húztunk? C/4.) Amazónia lakosságának 70%-a nő, 30%-a férfi; Bergengócia lakosságának 20%-a nő, 80%-a férfi. A két állam egyesül; a lakosság 40%-a való Amazóniából, 60%-a Bergengóciából. az új állam lakosságának hány százaléka nő? a nők hány százaléka amazoniai származású? C/5.) Egy egyébként szabályos dobókocka két oldalára az 1-es, két oldalára a 2-es és két oldalára a 3- as szám van festve. Egyszer dobunk vele; majd egy szabályos érmével egymás után annyiszor dobunk, amennyi a kockán kijött. mi annak a valószínűsége, hogy nem dobunk fejet? mi annak a valószínűsége, hogy a kockával 3-ast dobtunk, ha nem dobtunk fejet? C/6.) Három kétfiókos szekrényke közül az egyikben 2 aranygyűrű van; a másikban 1 arany- és 1 ezüstgyűrű; a harmadikban 2 ezüst gyűrű (minden fiókocskában 1 gyűrű). Találomra választunk egyet a szekrénykék közül, és találomra kihúzzuk az egyik fiókját; ebben aranygyűrű van. Mi a valószínűsége, hogy ez éppen az első szekrényke? (Bertrand-probléma) C/7.) A Bergengóciába beutazó szeszcsempészek 60%-a dadog, a nem-szeszcsempész beutazóknak 10%-a. A beutazóknak 10%-a szeszcsempész. (a) A dadogóknak hány százaléka szeszcsempész? (b) A beutazók hány százaléka dadog? C/9.) Három, szemre teljesen egyforma zsák közül az elsőben 1 piros, 9 kék; a másodikban 5 piros, 6 kék; a harmadikban 9 piros, 1 kék zseton van. Találomra választunk egyet a zsákok közül és kiveszünk belőle egy zsetont. Ez piros. Még egyet kiveszünk. (Tudva az összes előzményeket), mi annak a valószínűsége, hogy ez is piros lesz? C/9'.) Három, szemre teljesen egyforma zsák közül az elsőben 1 piros, 9 kék; a másodikban 5 piros, 6 kék; a harmadikban 9 piros, 1 kék zseton van. Találomra választunk egyet a zsákok közül és kiveszünk belőle egy zsetont. Majd még egyet kiveszünk. a) milyen valószínűséggel lesz piros az első húzás? b) milyen valószínűséggel lesz piros a második húzás? c) milyen valószínűséggel lesz piros mindkét húzás? d) független-e az első és a második húzás? C/10.) Bergengóciában két nép lakik: a bergengócok (7 millió) és a burgundok (3 millió). Balkezes a bergengócoknak 20, a burgundoknak 40%-a. Királyt húztak, demokratikusan. (Mind a tízmilliónak egyforma esélye volt arra, hogy király legyen.) Tudjuk, hogy egy balkezes lett a király. Mi a valószínűsége annak, hogy nemcsak balog, hanem burgund is? Mi volt a választás előtt annak a valószínűsége, hogy balkezes lesz a királyuk? C/11.) (A három fogoly) Egy börtönben három halálraítélt van; egyiküket holnap reggel kivégzik. Hogy melyiket, azt 1/3-1/3 valószínűséggel sorsolják. A foglár már tudja az eredményt, a rabok még nem. Azt, ami rájuk vonatkozik, nem is szabad megtudniuk. Azonban egyikük, X. úr, mindenképpen szeretne többet tudni; azt mondja a foglárnak, hogy mivel a másik kettő Y. és Z. úr közül biztosan lesz, aki életben marad, azzal, ha mond közülük, akit nem végeznek ki, még nem szegi meg a szabályt. A foglár beleegyezik; azt mondja, Y.-t nem végzik ki. X. úr elszomorodik: eddig 2/3 volt az esélye, hogy életben maradjon, most viszont gondolja már csak 1/2. Igaza van-e? C/12.) (A három fogoly/2.) Börtönben három rab; hogy másnap hajnalban melyiküknek kell szenet rakodni, azt mindig már az este 1/3-1/3 valószínűséggel kisorsolják. A foglár tudja az eredményt, a foglyok még nem. Azt, ami rájuk vonatkozik, nem is szabad megtudniuk (majd hajnalban, ébresztéskor). Egyikük, X. úr azonban mindenképpen szeretne többet tudni; azt mondja a foglárnak, hogy mivel a másik

4 (matematika I. év, napp.szoc.) VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS: feltételes valószínűség, Bayes-tétel, események függetlensége ; 4. oldal (4-ből) október kettő Y és Z közül biztosan lesz, aki tovább alhat, azzal, ha mond közülük, akit nem keltenek 5-kor, még nem szegi meg a szabályt. A foglár beleegyezik; azt mondja, Y.nem rakodik holnap. X. úr elszomorodik: eddig 2/3 volt az esélye, hogy alhasson, most már csak 1/2. Igaza van-e? D.: ESEMÉNYEK FÜGGETLENSÉGE D/1.) Két szabályos kockával dobunk. a.) A={az első kockával 1-et dobtunk}; B={a két pontszám összege=10}; független események-e A és B? b.) A={elsővel 1}; B={összeg 7}; független-e A és B? c.) A={elsővel 3}; B={összeg 9}; független-e A és B? d.) A={elsővel 3}; B={összeg 8}; független-e A és B? e.) A={elsővel 5}; B={összeg=7}; független-e A és B? f.) A={összeg=7}; B={dobtunk 5-öst}; független-e A és B? g.) A={elsővel 3}; B={összeg 6}; független-e A és B? h.) A={elsővel 5}; B={5 összeg 9}; független-e A és B? i.) A={elsővel 4}; B={5 összeg 9}; független-e A és B? D/2.) Urnában 1-től 10-ig számozott kártyák; visszatevés nélkül egymás után kihúzzuk őket. Jelölje A azt az eseményt, hogy hetedikre éppen a 7-est húzzuk; B azt, hogy ötödikre éppen az 5-öst. Független-e A és B? D/3.) Két kockával dobunk; jel. A azt az eseményt, hogy az első pontszám páros; B azt, hogy a második kockával dobott pontszám páros; C pedig azt, hogy az összeg páratlan. Igaz-e, hogy: (a) P(AB)=P(A)P(B); (b) P(BC)=P(B)P(C); (c) P(BC)=P(B)P(C); (d) P(ABC)=P(A)P(B)P(C)? és: (f) fennáll-e e három esemény között az általánosított függetlenségtípusok (teljes, többszörös, feltételes) valamelyike? Ha igen melyik és miért? (Ezekről az őszi szünet után lesz szó. ) D/4.) Két szabályos kockával dobunk; jelölje A(i) azt az eseményt, hogy az első kockával dobott pontszám osztható i-vel, B(i) pedig azt, hogy a két pontszám összege osztható vele. ( Pl. A(3)={az első kockával 3-at vagy 6-ot dobtunk}, B(2)= {a dobott pontszámok összege 2, 4, vagy 6}) a.) független események-e A(2) és B(2)? b.) független események-e A(4) és B(4)? D/5.) Géza és Henrik "kockáznak": ha ugyanannyit dobnak, akkor G. fizet H.-nak annyi forintot, amennyi a dobott pontszám négyzete (ha mindketten 3-ast dobnak, akkor 9-et pl.); míg, ha a két pontszám különbözik, akkor H. fizeti G.-nek a két pontszám különbségét (akár H. dob 1-et és G. 6-ot, akár fordítva, mindkét esetben H. fizet, éspedig 5 Ft-ot). Jelölje A azt az eseményt, hogy az adott fordulóban G. fizet; B azt az eseményt, hogy a két pontszám összege a 4, 7, 10 számok közül való; C pedig azt, hogy az összeg a 3, 7, 9 számok közül kerül ki. Független-e a.) A és B? b.) A és C? c.) Mekkora az esélye annak, hogy éppen Géza nyer, ha tudjuk, hogy a két pontszám összege=4? D/6.) Egy érmével egymás után 3-szor dobunk. Jelölje A azt az eseményt, hogy volt a dobások között fej is, írás is; B azt, hogy 1-nél több fejet dobtunk. Független-e A és B? D/7.) Két - egy kék, egy zöld - kockával dobunk; jelölje A azt az eseményt, hogy a két pontszám összege páros; B azt, hogy a kékkel 2-est dobtunk; C azt, hogy dobtunk 2-est. Független-e a.) A és B? b.) A és C? D/8.) 25 vizsgatétel közül 22 a "jó", 3 a "rossz". Két diák - X és Y - egyszerre jön be, majd egymás után kihúznak (és kidolgozásra az asztalukhoz visznek) egyet-egyet. (Hogy melyikük húz előbb, azt mondjuk pénzfeldobással döntik el.) Jelölje A azt az eseményt, hogy X húz elsőként; B azt, hogy X jót húz; C azt, hogy Y jót húz. a.) független-e A és B? b.) független-e B és C? c.) hogyan változik az a.) kérdésre adandó válasz, ha másként sorsolják ki az elsőséget (mondjuk olyan módon, mely p (0 p 1) valószínűséggel X-et hozza ki első-húzóként, 1-p valószínűséggel Y-t)? E.: TOVÁBBI FELADATOK E/1.) Egy zacskóból, amelyben 3 piros, 2 fehér golyó van, Aladár kivesz hármat; majd, ha több piros van a kezében, akkor egy pirosat, ha fehér van több nála, egy fehéret visszatesz. Ezután Béla húz egyet a most bent lévő három közül, s ennek a színéből próbálja kitalálni, hány fehéret húzott Aladár. I.) Mi annak a - feltételes - valószínűsége, hogy Béla fehéret húz, ha Aladár a.) 0 fehéret b.) 1 fehéret c.) 2 fehéret húzott? II.) Mit érdemes tippelnie Bélának, ha fehéret húz?

5 (matematika I. év, napp.szoc.) VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS: feltételes valószínűség, Bayes-tétel, események függetlensége ; 5. oldal (4-ből) október És a fentiek pontosítása: mi annak a feltételes valószínűsége, hogy Aladár a.) 0 b.) 1 c.) 2 fehéret húzott, ha Béla fehéret húz? E/2.) Egy szóbeli vizsga huszonöt vizsgatétele közül három a "jó". Cecil és Demeter egymás után érkeznek, egy-egy tételt húznak; a kérdést távozásig természetesen maguknál tartják. Mi a valószínűsége, hogy a.) Cecilnek b.) Demeternek jó tétel jut? c.) És hogy mindkettőjüknek? E/3.) Egy urnából, melyben a játék kezdetekor M piros és N-M fehér golyó volt, Elemér és Ferenc felváltva húznak, visszatevés nélkül, egyet-egyet. Az nyer, aki előbb húz fehéret. Mekkora esélye van a nyerésre a kezdő játékosnak, ha a.) N=3, M=1 ; b.) N=4, M=1 ; c.) N=4, M=3? d) Annak, hogy A és B közül legalább az egyik bekövetkezik, 1/2 + 1/3 = 5/6 a valószínűsége. e) Ha A és B függetlenek, akkor annak, hogy legalább az egyikük bekövetkezik, 1/2 + 1/3 = 5/6 a valószínűsége. f) Ha A és B egymást kizárják, akkor annak, hogy legalább az egyikük bekövetkezik, 1/2 + 1/3 = 5/6 a valószínűsége. E/8.) Az A eseménynek 1/3 a valószínűsége; a B eseménynek 1/10. Mind a két alábbi állításról döntse el, igaz vagy hamis-e; indokoljon. a.) ha A és B független, akkor kölcsönösen kizárják egymást. b.) ha A és B kölcsönösen kizárják egymást, nem lehetnek függetlenek. E/4.) Szabályos pénzérmét dobjunk fel ezerszer egymás után. a.) mi annak a valószínűsége, hogy mind az ezerszer fej jön ki? b.) mi az FIFI... sorozat esélye (tehát hogy elsőre fejet dobunk, s utána felváltva írást és fejet)? c.) mi az esélye annak, hogy minden a "lehető legszabályosabban" történik, mármint abban az értelemben, hogy az ezer dobás során soha nem lesz 1-nél nagyobb különbség az addig dobott fejek és írások száma között? (azaz minden páros sorszámú dobás éppen "kiegyenlíti" az őt megelőző páratlan sorszámút). d.) ha az első 999 dobás fej volt, akkor mi annak a valószínűsége, hogy az 1000-edik írás lesz? E/5.) Szabályos kockával háromszor dobunk. Mi a valószínűsége, hogy dobunk hatost? a) ugyanez, 6 dobásra b) ugyanez, 12 dobásra. E/6.) Igaz / hamis? indokoljon: a) ha (szabályos) kockával háromszor dobunk, 1/6+1/6+1/6=1/2 az esélye, hogy lesz közte egyes; b) ha (szabályos) érmével kétszer dobunk, 100% az esélye, hogy lesz a dobások között fej. E/7.) Az A esemény valószínűsége 1/2. A B esemény valószínűsége 1/3. Melyik igaz, melyik hamis a következő állítások közül: a) Annak, hogy mind A, mind B bekövetkezzék, 1/2 1/3=1/6 a valószínűsége. b) Ha A és B függetlenek, akkor annak, hogy mindkettő bekövetkezzék, 1/2 1/3 az esélye. c) Ha A és B egymást kizárják, akkor annak, hogy mindkettő bekövetkezzék, 1/2 1/3 az esélye.