¾µ x j x + t v j, 0 j J,

ÇÒ Ð ØØ ÓÐØÞÑ ÒÒ Ñ Ò Ø ÚÓÐÙÑ Ò ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ Ö ÒÓ Ù Ó 2 Ò È ÖÖ Ä ÐÐ Ñ Ò 3 ÓÒ ÖÚ ØÓ Ö Æ Ø ÓÒ Ð ÖØ Ø Å Ø Ö È Ö Ö Ò º 2 ÆÙÑ Ö Ð Ò ÐÝ Ò È ÖØ Ð Ö ÒØ Ð ÕÙ Ø ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Ó Å Ø Ñ Ø È Ö ËÙ ÍÒ Ú Ö ØÝ ÇÖ Ý Ö Ò º 3 ÔÔÐ Ø ÓÒ Ë ÒØ ÕÙ Ù ÐÙÐ ÁÒØ Ò ÇÖ Ý Ö Ò º Ö ÒÓ º Ù Ó Ñ Ø ºÙ¹Ô Ù º Ö Ô ÖÖ ºÐ Ð Ö º Ö ¼¾ ÔÖ Ð ¾¼¼ ØÖ Ø Ï Ú ÐÓÔ Ø Ø Ø Ò ØÙÖ Ð Ð Ò ØÛ Ò ÓÐØÞÑ ÒÒ Ñ Ò Ò Ø ÚÓÐÙÑ Ü Ø Ò ØÙÖ ÐÐÝ Ø ÓÒ ÖÚ Ñ Ò ÑÓÑ ÒØÙÒ ÙÖ Ò Ø ÓÐÐ ÓÒ Ô Ó Ø ÓÐØÞÑ ÒÒ Ñ Ò Ù Ò Ö Ð ÜÔÖ ÓÒ ÓÖ Ñ Ò ÑÓÑ ÒØÙÑ ÙÜ º Ï ØÖ Ø ÙÒ Ñ Ò ÓÒ Ð Ò ÓÙ ÓÙÖ Ú ÐÓÔÑ ÒØ Ò ØÛÓ Ñ Ò ÓÒ ÓÒ ÔÓ Ð ÙÜ ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ º Ë Ú Ö Ð Ø Ø ÓÛ Ø Ø Ð Ú Ð Ó ÙÖ Ý Ò Ú Û Ø Ø Ñ º à ÝÛÓÖ Ð ØØ ÓÐØÞÑ ÒÒ Ñ ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ Ò Ø ÚÓÐÙÑ Ñ Ø Ó º ½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Ì Ð ØØ ÓÐØÞÑ ÒÒ Ñ ÔÓÔÙÐ Ö ÒÙÑ Ö Ð Ñ Ø Ó ÓÒ Ò Ø ÔÔÖÓ ÓÖ Ù ÝÒ Ñ ÀÈÈ Ä ÀÈ Å ÀË À ¾ ÃÊ Äļ¼ µº Ò Ü Ø ÔÖÓÔ Ø ÓÒ Ø Ô Ò Ð ØØ ÓÐÐÓÛ Ý ÐÓ Ð Ö Ð Ü Ø ÓÒ ÔÖÓ º ÁØ Ò Ú ÖÝ ÖÐÝ Ö Ó Ò Þ º º ËÎ ¾ µ Ø Ø Ø Ð ØØ ÓÐØÞÑ ÒÒ Ñ ÓÑÔ Ø Ð Û Ø Ñ Ò ÑÓÑ ÒØÙÑ ÓÒ ÖÚ Ø ÓÒº Ë Ñ Ð ÖÐÝ Ð Ð ÓÒ ÖÚ Ø ÓÒ Ð Û Ø Ø Ð ÈÖ ÒØ Ø Ø Ì Ö Á ÅÅ Ë ÓÒ Ö Ò À ÑÔØÓÒ ¾ ¹¾ ÂÙÐÝ ¾¼¼ ÈÖÓ Ö Ò Óѹ ÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÐÙ ÝÒ Ñ ÚÓÐÙÑ Ôº ½½¹¾ ¾¼¼ º ½

¾ Ö ÒÓ Ù Ó Ò È ÖÖ Ä ÐÐ Ñ Ò ØÓ Ò Ø ÚÓÐÙÑ Ñ Ø Ó º º È ¼ Ê ÓÖ ¼ µ ÒÓÖÔÓÖ Ø Ü¹ ÔÐ ØÐÝ Ø Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ó ÒÙÑ Ö Ð ÙÜ Ó Ø Û Ø ÓÒ ÖÚ Ô Ý Ð ÕÙ ÒØ Ø º ÁÒ ÓÖ Ö ØÓ ÜØ Ò Ø Ð ØØ ÓÐØÞÑ ÒÒ Ñ ØÓ ÙÒ ØÖÙØÙÖ Ñ Ú Ö Ð ÙØ ÓÖ È Í Ë¼ ÍË ¼ Ø ÖØ ÖÓÑ Ø Ò Ø ÕÙ Ø ÓÒ ÓÖ Ø Ô ÖØ Ð ØÖ ÙØ ÓÒ Ò Ù ÓÒØÖÓÐ ÚÓÐÙÑ Ð ÁÆÊÁ ÄÎ Î Ø Ø ÓÒØÖÓÐ ÚÓÐÙÑ ÖÓÙÒ Ø Ú ÖØ Ó Ø ØÖ Ò ÙÐ Ø ÓÒº ÇÒ Ø ÓØ Ö Ò Ø ØÖ ØÑ ÒØ Ó ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ Û Ø Ø ÐÔ Ó ÓÙÒ ÖÝ ÙÜ Ò ØÙÖ Ð Û Ø Ø Ó¹ ÐÐ ÐÐ ÒØ Ö Ú Ö ÓÒ Ó Ø Ò Ø ÚÓÐÙÑ Ñ Ø Ó º º Ø Ð Ð ÑÓÒÓ Ö Ô Ó ÊÓ ÊÓ ¾ Ò ÓÙÖ ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ Ä Ù¼½ Ò Ø ØÖÓÒ ÒÓÒÐ Ò Ö µº Ì ÒÓÖÔÓÖ Ø ÓÒ Ó Ñ ÓÒ ÖÚ Ø ÓÒ Ú Þ ÖÓ Ñ ÙÜ ÓÒ ÓÐ ÓÙÒ ÖÝ Ó Ø ÓÑ Ò Ò ØÙ Ý ³ÀÙÑ Ö À¼½ Ò Ð Ó Ú ÐÓÔ Ò Ú Ë¼ Ò ÀÀ ¼ º ÁÒ Û Ø ÓÐÐÓÛ Û Ø ÖØ ÖÓÑ Ú ÖÝ Ò Ö Ð Ð ØØ ÓÐØÞÑ ÒÒ Ñ Ò ÔÖÓÔÓ ØÓ ÒÓÖÔÓÖ Ø Ø ÙÒ Ñ ÒØ Ð ÓÒ ÖÚ Ø ÓÒ Ó Ñ Ò ÑÓ¹ Ñ ÒØÙÑ Ò Ø Ö Ñ ÛÓÖ Ó Ò Ø ÚÓÐÙÑ º Ì Ò Û ÔÖÓÔÓ ØÓ Ú ÐÓÔ ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ ÓÒ Ñ ÙÜ ÓÖ Ø ÓÒ ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ð ØØ ÓÐØÞ¹ Ñ ÒÒ Ñ Û Ø Ø Ö Ú ÐÓ Ø º Ï ÜØ Ò Ø ÔÖ Ú ÓÙ ÓÖ Ø Ó¹ ÐÐ ¾É ØÛÓ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÑÓ Ðº Ï ÜØ Ò Ð Ó Ø ØÓ Ø ØÖ ØÑ ÒØ Ó ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ Û Ö Ø ÓÑ ØÖÝ Ó Ø ÓÒØÖÓÐ ÚÓй ÙÑ ØÓ ÑÓ Ò ÓÖ Ö ØÓ Ø ÒØÓ ÓÙÒØ Ø Ô Ý Ð ÓÑ ØÖݺ ÆÙÑ Ö Ð ÑÙÐ Ø ÓÒ ÓÛ Ø ÒØ Ö Ø Ó ÓÙÖ ÔÔÖÓ º ¾ ÓÙØ Ø ÔÖÓÔ ÖØÝ Ó ÓÒ ÖÚ Ø ÓÒ Ï ÒÓØ Ý L Ð ØØ x ØÝÔ Ð Ð Ó Ø Û Ø Ø Ð ØØ t Ø Ñ Ø Ô ½µ λ x t ØÝÔ Ð Ô Ó Ø ÔÖÓ Ð Ñ x Ú ÖØ Ü Ó Ø Ð ØØ ¾µ x j x + t v j, 0 j J,

ÇÒ Ð ØØ ÓÐØÞÑ ÒÒ Ñ Ò Ø ÚÓÐÙÑ Ò ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ Ø Ø Ó Ò ÓÙÖ Ò ÒÓ ÖÓÙÒ Ø Ú ÖØ Ü xº ÆÓØ Ø Ø Ø ÒÓ Ò Ý Ø Ö Ð Ø ÓÒ ¾µ Ú ÖØ Ü Ó Ø Ð ØØ º Ï ÙÔÔÓ Ø Ø Ø Ñ ÐÝ v j ) 0 j J Ó Ô ÝÑÑ ØÖ Ö Ð Ø Ú ØÓ Ø ÓÖ Ò Ò Ü ÑÔÐ ÓÛÒ Ò ÙÖ ½º µ j {0,, J},! σj) {0,, J}, v j + v σj) = 0. Ï Ö Ñ Ö Ø Ð Ö ÔÖÓÔ ÖØÝ Ó ÒÚÓÐÙØ ÓÒ µ σ σj) ) = j, 0 j J. j σ j) ÙÖ ½º ÒØÖ Ð ÝÑÑ ØÖÝ ÝÔÓØ Ä Ø j x, t) ØÖ ÙØ ÓÒ Ó Ô ÖØ Ð ÓÒ Ø Ð ØØ L Ø Ø Ú ÖØ Ü x Ò Ö Ø Ø Ñ tº Ï Ö ÐÐ ÀÀÄÈÊ Ð Ó ÓÖ Äļ¼ µ Ø Ø Ø Ö Ø ÝÒ Ñ Ó Ø ØÖ ÙØ ÓÒ ÓÒ Ø Ð ØØ L Ú Ò Ý ÓÐÐ ÓÒ Ø Ô ÓÐÐÓÛ Ý Ö Ú Ø ÓÒ ÔÐ Ñ ÒØ ØÛ Ò ØÛÓ ÒÓ º Ï ÙÑ Ø Ø Ø Ò ØÝ µ ρ j j Ò Ø ÑÓÑ ÒØÙÑ µ q j v j j

Ö ÒÓ Ù Ó Ò È ÖÖ Ä ÐÐ Ñ Ò Ö ÓÒ ÖÚ ÙÖ Ò Ø ÓÐÐ ÓÒ Ø Ô Ò Û ÒÓØ Ý j x, t) Ø ØÖ ¹ ÙØ ÓÒ Ø Ö Ø Ø Ô µ ρ j j = j j ρ, µ q j v j j = j v j j q. Ì Ò Ø ÝÒ Ñ Ó Ø Ð ØØ ÓÐØÞÑ ÒÒ Ñ Ø Ø ÑÔÐ ÓÖÑ Ù¼ µ j x, t + t) = j x v j t, t), x L, 0 j J. Ï Ö ØÖ Ø Ò Û Ø ÓÐÐÓÛ ØÓ ÒÙÑ Ö Ð Ô Ý Ø Ø ÓÒ ÖÚ Ñ Ò ÑÓÑ ÒØÙѺ Ì ÒÓÖÔÓÖ Ø ÓÒ Ó ÓÒ ÖÚ Ø ÓÒ Ó Ò Ö Ý Ð Ó ÔÓ Ð Ò Û Ö Ö ØÓ Äļ Û Ù Ú Ö ÓÙ ØØ ÑÔØ ØÓ ÒÐÙ Ò Ö Ý ÓÒ ÖÚ Ø ÓÒº ÆÓØ Ø Ø Ø Ø Ø Ó Ø ÖØ ÓÒ ÖÒ Ò Ø ÓÐÐ ÓÒ Ø Ô Ù ØÓ À ¾ Û Ø Ø Ó¹ ÐÐ ÑÙÐØ ÔÐ Ö Ð Ü Ø ÓÒ Ø Ñ ÓÐØÞÑ ÒÒ Ñ º Ê Ñ Ö Ø Ø Ò ÐÐ Ø ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ Ø Ó Ó Ø Ö Ð Ü Ø ÓÒ ÑÓ Ð ÒÓ Ò Ù Ò ÓÒ ÓÙÖ Ñ Ø Ó ÓÐÓ Ýº ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½º ÓÒ ÖÚ Ø ÓÒ ÔÖÓÔ ÖØݺ Ï Ú Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ö Ð Ø ÓÒ ÓÒ ÖÒ Ò Ø Ø ÑÔÓÖ Ð ÚÓÐÙØ ÓÒ Ó ÓÒ¹ ÖÚ ÑÓÑ ÒØ ½¼µ ρx, t + t) ρx, t) + j j x, t) σj) x j, t) ) = 0 ½½µ qx, t + t) qx, t) + j v j j x, t) + σj) x j, t) ) = 0. ÈÖÓÓ Ó ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½º Ï Ú ÖÓÑ Ø ÝÒ Ñ µ Ý ÙÑÑ Ø ÓÒ ÓÚ Ö Ø Ò Ü j ρx, t + t) = j x v j t, t) = σj) x v σj) t, t) = j j = j σj) x + v j t, t) = j σj) x j, t)

ÇÒ Ð ØØ ÓÐØÞÑ ÒÒ Ñ Ò Ø ÚÓÐÙÑ Ò ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ Ò Ø Ö Ð Ø ÓÒ ½¼µ Ø Ð Ù ØÓ µº ÁÒ Ò Ò ÐÓ ÓÙ Û Ý Û Ú ÓÖ Ø ÑÓÑ ÒØÙÑ qx, t + t) = v j j x v j t, t) = v σj) σj) x v σj) t, t) = j j = j v j σj) x + v j t, t) = j v j σj) x j, t) Ò Ø Ö Ð Ø ÓÒ ½½µ ÓÐÐÓÛ ÖÓÑ µº Ï ÙÔÔÓ ÒÓÛ Ø Ø Û Ò ÒØÖÓ Ù ÐÐ Kx) ÖÓÙÒ Ø Ú ÖØ Ü x Ù Ø Ø Ø ÓÙÒ ÖÝ Kx) ÓÑÔÓ Ý J a j x) Ô Ö Ø Ò Ø ÒÓ x Ò x j ½¾µ Kx) = j>0a j x), Û Ø a j x) Ù Ø Ø ½ µ a j x) = Kx) Kx j ) = a σj) x j ). Ï ÒÓØ Ý Kx) Ò a j x) Ø Ñ ÙÖ Ó Kx) Ò a j x) Ö ¹ Ô Ø Ú Ðݺ Ì Ò Ø ÓÒ ÖÚ Ø ÓÒ Ó Ñ Ò ÑÓÑ ÒØÙÑ Ø Ø Ö Ø ÓÖÑ ½ µ ½ µ [ ] ρx, t + t) ρx, t) t t [ ] qx, t + t) qx, t) + + Kx) Kx) a j x) ψ j x) = 0, j a j x) ζ j x) = 0. ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ¾º Ò Ð Ö ÜÔÖ ÓÒ ÓÖ Ò Ö Ð ÙÜ º Ï ÙÔÔÓ Ø Ø Ø Ð ØØ ÓÐØÞÑ ÒÒ Ñ µ µ µ Ø Ø ÓÚ ÝÔÓØ ½¾µ Ò ½ µ Ò Ø Ø Ø ÓÒØÖÓÐ ÚÓÐÙÑ Kx) Ò Kx j ) Ú Ø Ñ Ñ ÙÖ ½ µ Kx) = Kx j ), j J. Ï Ò Ø Ñ ÙÜ ψ j Ò Ø ÑÓÑ ÒØÙÑ ÙÜ ζ j Û Ø Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÜÔÖ ÓÒ ½ µ ψ j x) = Kx) t a j x) j x) σj) x j) ), j

Ö ÒÓ Ù Ó Ò È ÖÖ Ä ÐÐ Ñ Ò ½ µ ζ j x) = Kx) t a j x) v j j x) + σj) x j) ). Ì Ò Ø ÕÙ ÒØ Ø Ò Ò ½ µ Ò ½ µ Ö Ó¹ ÐÐ ÓÒ ÖÚ Ø Ú ÙÜ Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ò ½ µ ψ j x) + ψ σj) x j ) = 0 ¾¼µ ζ j x) + ζ σj) x j ) = 0. Û Ø Ø Ú ÖØ Ü x j Ò Ò ¾µº ÈÖÓÓ Ó ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ¾º Ì Ö Ø Ô ÖØ Ó Ø ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ ÑÔÐÝ Ó Ø Ò Ý ÓÒ Ö Ò Ø Ø ½¼µ Ö Ô Ø Ú ÐÝ ½½µ Ò ½ µ Ö Ô Ø Ú ÐÝ ½ µ Ò ÒØ ÐÐÝ Ø Ñ ÚÓÐÙØ ÓÒ ÕÙ Ø ÓÒº Ì Ò Û Ú ÓÖ Ø ÓÒ ÖÚ Ø ÓÒ ÔÖÓÔ ÖØÝ Ó Ñ ψ j x) + ψ σj) x j ) = = Kx) t a j x) j x) σj) x j) ) + Kx j) t a σj) x j ) σj) x j ) σσj)) x)) = Kx) t a j x) j x) σj) x j) ) + Kx) t a j x) σj) x j ) j x)) Ù ØÓ ½ µ ½ µ Ò µº = 0. Ò ÐÓ ÓÙ ÐÝ ÓÖ Ø ÑÓÑ ÒØÙÑ ζ j x) + ζ σj) x j ) = Kx) t a j x) v j j x) + σj) x j) ) + + Kx j) t a σj) x j ) v σj) σj) x j ) + σσj)) x)) = Kx) t a j x) v j j x)+σj) x j) ) Kx j) t a σj) x j ) v j σj) x j )+j x)) = 0 Ò Ø ÔÖÓÔ ÖØÝ Ø Ð º Ù ØÓ µ Ò Ø ÔÖ Ú ÓÙ Ö ÙÑ ÒØ

ÇÒ Ð ØØ ÓÐØÞÑ ÒÒ Ñ Ò Ø ÚÓÐÙÑ Ò ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ Ì Ö Ñ Ö Ñ Ð Ö Ð Ò ØÛ Ò Ø Ð ØØ ÓÐØÞÑ ÒÒ Ñ Ò Ø Ò Ø ÚÓÐÙÑ Ñ Ø Ó È ¼ º ÆÓØ Ø Ø Ø ÝÔÓØ ½ µ Ò ÒÓØ Ø ÓÖ Ø ÓÙÒ ÖÝ ÐÐ Û Û ÐÐ Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò º ÁÒ Ø Ø Û ÔØ Ø Ò Ø ÓÒ Ó Ø ÙÜ Ò ÓÖ Ö ØÓ Ò ÓÖ Ø ÓÒ ÖÚ Ø ÓÒ ÓÒ Ø ÓÒ ½ µ Ò ¾¼µº ÐÙÜ ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ ÓÖ Ø ½É ÑÓ Ð ÁÒ Ø Ô ÖØ ÙÐ Ö Ó ½É ÑÓ Ð ÉÀÄ ¾ Ð Ó ÐÐ Ð Ö Ø Ð Ò Ù¼ µ Ú ÖØ Ü x Ó Ø Ð ØØ ØÛÓ Ò ÓÙÖ x x x Ò x + x+ x. Ì Ò Ø ÒÙÑ Ö Ó Ô ÖØ Ð Û Ø Ú ÐÓ ØÝ ÕÙ Ð ØÓ λ Ö Ô Ø Ú ÐÝ 0, +λ ÒÓØ Ý Ö Ô Ø Ú ÐÝ 0 Ò + º Ì Ø ÓÒ σ ÒØÖÓ Ù Ò µ Ú Ò ÑÔÐÝ ÓÖ Ò ØÓ ¾½µ σ0) = 0, σ+) =, σ ) = +. ÅÓÖ ÓÚ Ö Ø Ö ÓÑ ØÖ Ð Ò ØÓÔÓÐÓ Ð Ú Ò Ø Ø ÐÐ Kx) Ò ÓÒ ØÖÙØ ÖÓÙÒ Ø Ú ÖØ Ü x ¾¾µ Kx) = ] x x 2, x + x [. 2 ÐÐÙ ØÖ Ø Ò ÙÖ ¾º x x x x + x ÙÖ ¾º ÍÒ ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÐÐ Kx) ÖÓÙÒ Ø Ú ÖØ Ü xº Ï Ó ÖÚ Ø Ø ¾ µ Kx) = x. Ì ÓÙÒ ÖÝ Kx) ÓÑÔÓ Ý 2 ÔÓ ÒعРa x) Ò a + x) Ù Ø Ø ¾ µ a ± x) =.

Ö ÒÓ Ù Ó Ò È ÖÖ Ä ÐÐ Ñ Ò ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º ÐÙÜ ÓÖ Ø ½É ÑÓ Ðº ÁÒ ÓÒ Ô Ñ Ò ÓÒ ½É ÑÓ Ðµ Ø Ð ØØ ÓÐØÞÑ ÒÒ Ñ Ü¹ ØÐÝ Ò Ø ÚÓÐÙÑ Ñ Ø Ó º Ì Ñ ÙÜ ψ Ò ÑÓÑ ÒØÙÑ ÙÜ ζ Ö Ú Ò Ý Ø ÜÔÖ ÓÒ ½ µ Ò ½ µ Ø Ø Ø Ò Ø Ô ÖØ ÙÐ Ö Ø ÓÖÑ ¾ µ ψ j x) = λ j x) σj) x j) ), j =, 0, +. ¾ µ ζ j x) = λv j j x) + σj) x j) ), j =, 0, +. ÈÖÓÓ Ó ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º Ï Ú ÑÔÐÝ Ø Ö Ð Ø ÓÒ ½¼µ Ò ½½µ Ø Ø Ò Ö ¹ÛÖ ØØ Ò ÒØÖÓ Ù Ò ½µ Ò ¾ µ ) ρx, t + t) ρx, t) + λ j t x x, t) σj) x j, t) ) = 0 j ) qx, t+ t) qx, t) + λv j t x j x, t)+σj) x j, t) ) = 0 Ø Ú ØÓÖ Ð Ö Ø ÓÒ ÖÚ Ø ÓÒ Ð Û Ó Ø ÓÖÑ [ ] Wx, t + t) Wx, t) + Φ ndγ = 0 t Kx) K Û Ø Ú ØÓÖ W ÓÑÔÓ Ý Ò ØÝ ρ Ò ÑÓÑ ÒØÙÑ q. Ì Ò Ø Ö Ð Ø ÓÒ ¾ µ Ò ¾ µ Ö Ð Öº Ï Ö Ñ Ö Ð Ó Ø Ø Û Ò Ö Ð Þ Ò Û Ø ÓÐÐÓÛ Ø Ø ÖÑ ÒÓÐÓ Ý Ò Ø ÚÓÐÙÑ Ñ Ø Ó º ÓÖ Ò º º ØÓ Ø Ð Ð Ö Ö Ò Ê Ø ¹ Ò Ø ÓÒ Ó ÙÜ Ö ÕÙ Ö ÔÖ ÓÖ ÙÜ ØÓ ÙÒØ ÓÒ Ó Ù Ø Ø ÓÒ ÖÚ Ú Ö Ð º À Ö Ñ ÙÜ Ò ÑÓÑ ÒØÙÑ ÙÜ ÒÒÓØ ÜÔÖ Ò Ø ÖÑ Ó Ø ÓÒÐÝ ÓÒ ÖÚ Ú Ö Ð Ñ Ò ÑÓÑ ÒØÙÑ Ò Ø µ ÙØ Ö Ò ÓÒØÖ ÖÝ ÙÒØ ÓÒ Ó ÐÐ Ô ÖØ Ð ØÖ ÙØ ÓÒ º Ï ØÙ Ý ÒÓÛ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ó Ò Ò ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ ÓÖ ÓÙÖ ½É ÓÐØÞÑ ÒÒ ÑÓ Ð À¼ º Ï ÓÙ ÓÒ Ø Ô ÖØ ÙÐ Ö Ó Ø ÔÖ Ò Ó Û ÐÐ Ø ÓÒ Ó Ø ÜØÖ Ñ Ø º Ï ÙÔÔÓ Ø Ø x Ú ÖØ Ü Ó Ø Ð ØØ ÒØ ÖÒ Ð ØÓ Ø ÓÑ Ò ÙÒ Ö ØÙ Ý Ò Ø Ø Ø Ö Ø Ò ÓÙÖ x + ÜØ ÖÒ Ð ØÓ Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÓÑ Òº ÅÓÖ ÓÚ Ö Ø ÓÑ ØÖ ÔÓ Ø ÓÒ j

ÇÒ Ð ØØ ÓÐØÞÑ ÒÒ Ñ Ò Ø ÚÓÐÙÑ Ò ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ x w Ó Ø Û ÐÐ ÒÓØ ÙÔÔÓ ØÓ Ü ØÐÝ ØÛ Ò x Ò x + ÙØ Ø ÖØ Ò Ö Ø ÓÒ ξ ¾ µ x w = x + ξ x, 0 < ξ <. ÆÓØ Ø Ø Ø Ô ÖØ ÙÐ Ö ξ = 2 ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ ÔÓ Ø ÓÒ Ó Ø Û ÐÐ Ø ÕÙ Ð Ø Ò ØÛ Ò Ø Ð Ø Ú ÖØ Ü Ò Ø ÓÑ Ò Ò Ø Ö Ø Ú ÖØ Ü ÓÙØ Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÓÑ Òº +x ) +x) x + ξ x x x x x + x x)? Φ x) ÙÖ º ÆÙÑ Ö Ð ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ ÓÖ Ø ½É ÑÓ Ðº ÙÑ Ò Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÓÑ Ò ÒÓÒØÖ Ú Ð ÜØ ÒØ Û ÙÔÔÓ Ø Ø ÓØ Ú ÖØ x Ò x Ö ÐÓ Ø Ò Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÓÑ Òº Ø ÖØ Ò Ö Ø Ø Ñ t, Û Ú Ø ÓÙÖ ÔÓ Ð Ø Ô ÖØ Ð ØÖ Ò Ö 0x) Ó ÒÙÐÐ Ú ÐÓ ØÝ Ø Ø Ú ÖØ Ü x, Ø Ô ÖØ Ð ØÖ Ò Ö x) Ó Ô λ ÖÓÑ Ú ÖØ Ü x ØÓ Ø ÔÓ ÒØ x, Ø Ô ÖØ Ð ØÖ Ò Ö + x ) Ó Ô λ ÖÓÑ ÔÓ ÒØ x ØÓÛ Ö Ú ÖØ Ü x. Ï ÒÓØ Ý Φ x) Ò Ø Ó x + )µ Ø ÙÒ ÒÓÛÒ Ô ÖØ Ð ØÖ Ò Ö Ó Ô λ ÓÑ Ò ÖÓÑ Ø Ó Ø Ú ÖØ Ü x + ØÓÛ Ö Ø Ú ÖØ Ü x. Ì ÕÙ ÒØ ØÝ ØÓ Ø ÖÑ Ò Ý Ø Ó¹ ÐÐ ÒÙÑ Ö Ð ÓÙÒ ÖÝ Ñ º ÐÐ Ø ÓÚ ÒÓØ Ø ÓÒ Ö ÐÐÙ ØÖ Ø Ò ÙÖ º Ø ÓÙÒ ÖÝ Ú ÖØ Ü x Û ÑÓ Ý Ø ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ó Ø ÓÒØÖÓÐ ÚÓй ÙÑ Kx) Ò ÒØÖÓ Ù Ò ØÙÖ Ð Ò Ø ÚÓÐÙÑ Ò Ø Ø Ð Ø Ý Ø ÒØ ÖÑ Ø Ú ÖØ Ü x x 2 Ò ÓÒ Ø Ö Ø Ý Ø ÓÙÒ ÖÝ Ú ÖØ Ü x wº ËÙ ÓÒØÖÓÐ ÚÓÐÙÑ Ø ¾ µ Kx) = ξ + ) x. 2 Ï Ó ÖÚ Ø Ø Kx) ÕÙ Ð ØÓ x ÓÒÐÝ Û Ò ξ = 2 º

½¼ Ö ÒÓ Ù Ó Ò È ÖÖ Ä ÐÐ Ñ Ò Ø ÓÙÒ ÖÝ ÓÓ ÒÙÑ Ö Ð Ñ Ø Ó ÓÐÓ Ý ØÓ ÑÔÓ ÙÜ º º Ä µº Ì ÔÔÖÓ Ò ØÙÖ Ð Û Ø Ò Ø ÚÓÐÙÑ Ñ Ø Ó ÓÐÓ Ýº Ø Ø ÓÐ ÓÙÒ ÖÝ ÐÓ Ø Ø x = x w, Ø Ô Ý Ð ÑÔ ÖÑ Ð ØÝ ÓÒ Ø ÓÒ Ð ØÓ Þ ÖÓ Ñ ÙÜ ψ + x) : ¾ µ ψ + x) = 0. Á Û Ú ÐÙ Ø Ø Ñ ÙÜ ÓÖ Ò ØÓ Ø Ö Ð Ø ÓÒ ¾ µ Û Ó Ø Ò Ò Ø Ô ÖØ ÙÐ Ö ψ + x) = λ + x) Φ x) ) Ò Ù ØÓ ¾ µ Û Ó Ø Ò Ò Ø Ñ ÒÒ Ö Ø Ó¹ ÐÐ ÓÙÒ ¹ ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ ¼µ Φ x) = + x). ÇØ Ö ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ Ñ Ú Ò ÔÖÓÔÓ Ý Ú Ö Ð ÙØ ÓÖ ÓÖ Ü¹ ÑÔÐ ÅÄË Ä¼½ º Ë Ñ ½º ÐÙÜ ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ ÓÖ Ø ½É ÑÓ Ðº ÇÙÖ Ò Ø ÚÓÐÙÑ ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ ÓÒ Ø Ò ÓÒ Ö Ò ÙÖ Ò Ø ÓÒØÖÓÐ ÓÜ Kx) ÖÓÙÒ Ú ÖØ Ü x Û Ø Ô ÖØ ÙÐ Ö Ô ÑÔÓ Ý Ø ÓÑ ØÖÝ Ó Ø ÔÖÓ Ð Ñº Ì ÓÙÒ ÖÝ ÐÓ Ø Ø Ø Ò ξ x ÖÓÑ Ø Ú ÖØ Ü xº Ï ÔÖÓÔÓ ØÓ Ù Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÓÖÑÙÐ ÓÖ Ø ÙÒ ÒÓÛÒ ÒÔÙØ Ô ÖØ Ð ÒÙÑ Ö ½µ Φ x) = + x) + ξ 2 ξ + 2 ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ó Ë Ñ ½º ) x) + x ). Ï Ñ Ñ Ð Ò Ò Ñ Kx) Ó Ñ ÙÖ Ú Ò Ý ¾ µ Ø Ø Ø ÒØÓ ÓÙÒØ Ø ÓÙÒ Öݺ ÁÒ ÓÖ Ö ØÓ Ò ÓÖ Ø ÓÒ ÖÚ Ø ÓÒ ÔÖÓÔ ÖØÝ Ø Ð Ø Ñ ÙÜ ψ x) Ò Ø Ö Ø ÓÒ x x x ÔÖ ÓÖ Ø ÐÐ Ú Ò ÓÖ Ò ØÓ Ø Ö Ð Ø ÓÒ ¾ µ ¾µ ψ x) = λ x) + x x)) Ò Ø Ö Ø Ñ ÙÜ ψ + x) ÒÙÐÐ ¾ µµº Ï Ø Ò ÛÖ Ø Ø Ø Ñ ÚÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø Ñ Ò ØÛÓ Û Ý º Ö Ø Û Ú Ø Ò Ö Ð Ñ ÓÒ Ö¹ Ú Ø ÓÒ ½¼µ Ó ÓÐØÞÑ ÒÒ Ñ Ø Ø Ø Ö Ø ÓÖÑ µ ρx, t+ t) ρx, t)+ + x) Φ x) ) + x) + x x)) = 0.

ÇÒ Ð ØØ ÓÐØÞÑ ÒÒ Ñ Ò Ø ÚÓÐÙÑ Ò ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ ½½ Ë ÓÒ Û Ú Ø Ñ ÓÒ ÖÚ Ø ÓÒ ½ µ Ò Ø ÚÓÐÙÑ Kx) ) [ ] µ ρx, t + t) ρx, t) + ψ + x) + ψ x) = 0. t Kx) Ï Ù ¾ µ ¾µ Ò Ø Ô Ý Ð ÓÒ Ø ÓÒ ¾ µ Ò ÓÖ Ö ØÓ Ð Ñ Ò Ø Ø Ø ÖÑ ρx, t+ t) ρx, t) ) ØÛ Ò Ø Ö Ð Ø ÓÒ µ Ò µº Ï Ó Ø Ò + x) Φ x) ) + x) +x x) ) = x) +x x) ) ξ + 2 Ò Û ÜØÖ Ø Φ x) ÖÓÑ Ø ÓÚ ÜÔÖ ÓÒº Ì Ò Ö Ð Ø ÓÒ ½µ Ø Ð Ò Ø Ñ ÓÒ ØÖÙØ º Ì ÒÙÑ Ö Ð ÓÙÒ ÖÝ Ñ ½µ Ò Ö Ú ÓÒ ¹ ÕÙ Ò Ó Ø Ñ ÓÒ ÖÚ Ø ÓÒ Ò ÔÖ ØÖ ØÑ ÒØ Ó Ø ÒÓ¹Ô Ò ØÖ Ø ÓÒ ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ ¾ µº Ì ÓÒ ØÖ ÒØ Ó Ñ ÓÒ ÖÚ Ø ÓÒ Ø Ø ÓÙÒ ¹ ÖÝ Ò ØÙ Ý Æ º ÆÓØ Ø Ø Û Ø Ø Ö ÓÛÒ ØÖ ØÑ ÒØ À¼ Ó Ø ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ ÒÞ ÙÖ Ò ³ÀÙÑ Ö Ú ÔÖÓÔÓ ÓÙÒ ÖÝ Ñ Ú ÖÝ ÐÓ ØÓ ½µ Ø Ø ÓÒ ÖÚ Ñ Ò ÓÒ Ô ¹ Ñ Ò ÓÒ À¼½ À¼ º ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º Ä Ò Ö ØÝ Ó Ø Ñ Ùܺ Ì Ö Ð Ø ÓÒ ½µ Û Ø Ó Ø Ò Û ÙÔÔÓ Ø Ø Ø Ñ ÙÜ Ò Ò Ø x Ö Ø ÓÒ Ý Ø Ö Ð Ø ÓÒ µ ψ x ) = λ 2 + x x) x) ) µ ψ x) = λ 2 + x) Φ x) ) µ ψ ξ x ) = 0 Ø Ö Ô Ø Ú ÔÓ Ø ÓÒ x 2 x 2 Ò ξ x Ø Ø ÓÙÒ ÖÝ Ð Ò Öº ÈÖÓÓ Ó ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º Ï Ö Ñ Ö Ö Ø Ø Ø ψ x 2 ) = ψ x) Ò Ò ¾µµ Ù ØÓ Ø Ó Ó Ø Ö Ø ÓÒ ØÓ Ñ ÙÖ Ø Ñ Ùܺ Ì ÓÒ Ø ÓÒ Ó Ð Ò Ö ØÝ ÓÖ Ø ÙÒØ ÓÒ Ò Ý Ø Ö Ð Ø ÓÒ µ µ Ò µ Ò ÜÔÖ ÙÒ Ö Ø ÓÖÑ 0 λ +x x) x) ) ξ x x 2 ) = 0 λ + x) Φ x) ) ξ x x 2

½¾ Ö ÒÓ Ù Ó Ò È ÖÖ Ä ÐÐ Ñ Ò Ø Ø +x x) x) ξ + = +x) Φ x) ξ 2 2 Ò Ø Ð Ø Ö Ð Ø ÓÒ ÓÖÖ ÔÓÒ Ü ØÐÝ ØÓ ½µº ÍÒ ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÓÙ Ø Û Ú º ÙÖ º ÍÒ ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÓÙ Ø Û Ú º.0000 acoustic wave with DQ3 Boltzmann scheme BFL BFL2 DL 0.99999 relative sound velocity 0.99998 0.99997 0.99996 0.99995 0.99994 0 0.2 0.4 0.6 0.8 position in mesh scale) o the boundary condition ÙÖ º Ê Ð Ø Ú ÓÙÒ Ú ÐÓ ØÝ Û Ø ½É Ð ØØ ÓÐØÞÑ ÒÒ Ñ ÓÖ Ú Ö ÓÙ Ñ Ò Ñ Ó ½¼¼ ÔÓ ÒØ º Ï Ú Ø Ø Ø ÓÚ Ò Ø Ó Ò ÓÙ Ø Û Ú Ò ØÙ ÐÓ Ø Ø ØÛÓ ÜØÖ Ñ Ø º Ï Ö Ð ØÓ ÔÖÓ Ù Ú Ö Ø ÓÒ Ó Ø

ÇÒ Ð ØØ ÓÐØÞÑ ÒÒ Ñ Ò Ø ÚÓÐÙÑ Ò ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ ½ ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ ÐÓ Ø ÓÒ Ý Ö Ø ÓÒ ξ Ó Ø Ñ x ÙÖ µº Ï Ø ÖÑ Ò Ø ÒÚ ÐÙ Ó Ø ÓÔ Ö ØÓÖ Ø Ø ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ ÓÒ Ø Ñ Ø Ô Ó Ø Ä Ð ÓÖ Ø Ñ Ù Ò Ø ÊÈ Ã ÄË Ó ØÛ Ö Ô º ÓÖ Ø ÐÓÛ Ø ÑÓ Û Ø Ø Ú Û Ú Ú ØÓÖ π µ k = N + 2ξ) x Ø Ð ØÓ γ r + iγ i ÖÓÑ Û Û Ø ÖÑ Ò Ò Ø Ú Ô Ó ÓÙÒ µ c rel = γ i c s k Ø Ö Ö N Ð ØØ ÔÓ ÒØ ØÛ Ò Ø ÓÙÒ Ö º Ï ÒØÖÓ Ù Ñ Ð ÖÐÝ Ø Ø Ú Ö Ð Ø Ú ØØ ÒÙ Ø ÓÒ ¼µ a rel = γ r 2 ν l k 2 Û Ø ν l Ø ÐÓÒ ØÙ Ò Ð Ò Ñ Ø Ú Ó ØÝ ÄÄ º Ì Ö Ð Ø Ú Ú ÐÙ Ó ÓÙÒ Ú ÐÓ ØÝ ÔÐ Ý Ò ÙÖ Ò Ì Ð ½º Ì Ö ÙÐØ Ó ÓÙÖ Ñ Ö ÓÑÔ Ö Ð Û Ø Ø Ó Ó ÓÙÞ Ðº ļ½ Û Ò Ù Ò Ð Ò Ö ÜØÖ ÔÓÐ Ø ÓÒº Ø Ö ÑÔÐ ÜÔÐÓ Ø Ø ÓÒ Ó Ì Ð ½ Û Ø Ð Ø ÕÙ Ö Ø ÖÖÓÖ ÓÖ ÓÙÒ Ú ÐÓ ØÝ Û Ø ÓÙÒ ¹ Ñ ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ð ØÓ N Û Ö Ø ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ð ØÓ N ÓÖ ÓØ Ú Ö ÓÒ Ó Ø ÓÙÞ Ñ Ò 2 ÓÙÖ Ñ º ½¼¼ ÔÓ ÒØ ¾¼¼ ÔÓ ÒØ ¼¼ ÔÓ ÒØ ÓÙÒ ¹ 9.9723 0 3 4.99309 0 3 3.33025 0 3 Ľ 2.797 0 5 6.94 0 6 3.09 0 6 ľ 3.645 0 5 8.02 0 6 3.4 0 6 Ä 2.803 0 5 6.95 0 6 3.09 0 6 Ì Ð ½º Ä Ö Ø Ö Ô ÒÝ Ó Ø Ö Ð Ø Ú ÓÙÒ Ú ÐÓ ØÝ Û Ø ½É Ð ØØ ÓÐØÞÑ ÒÒ Ñ ÓÖ Ú Ö ÓÙ ÓÙÒ ÖÝ Ñ Ò Ñ º Ï Ú Ò ÙÖ Ò Ì Ð ¾ Ú Ö ÓÙ Ö ÙÐØ ÓÖ Ø Ø Ú ØØ Ò¹ Ù Ø ÓÒ a rel. ÇÙÖ Ñ Ø Ó Ô Ø ÙÐ ÖÐÝ ØØ Ö Ø Ò Ø Ð Ò Ö ÜØÖ ÔÓÐ ¹ Ø ÓÒ Ä½ µ Ò ÓÑÔ Ö Ð Û Ø Ø ÕÙ Ö Ø ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ Ñ

½ Ö ÒÓ Ù Ó Ò È ÖÖ Ä ÐÐ Ñ Ò Ä¾ µ Ó Ø ÔÖ Ú ÓÙ ÙØ ÓÖ Ä¼½ Û Ò Ø ÓÙÒ ÖÝ ÒÓØ ÐÓ Ø Ü ØÐÝ Ð ¹Û Ý ØÛ Ò ØÛÓ Ñ ÔÓ ÒØ Ò ÕÙ Ú Ð ÒØ ØÓ Ø ÔÖ Ú ÓÙ ÓÒ Ò Ø Ô ÖØ ÙÐ Ö ÓÑ ØÖ º Ø Ö Ò Ð Ñ ÒØ ÖÝ ÜÔÐÓ Ø Ø ÓÒ Ó Ì Ð ¾ ÓÙÒ ¹ Ò Ð Ò Ö ÜØÖ ÔÓÐ Ø ÓÒ Ú Ö ÓÒ Ó ÓÙÞ Ñ Ú Ò ÖÖÓÖ ÓÖ ØØ ÒÙ Ø ÓÒ Ó Ø Ö Ø ÒÑÓ ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ð ØÓ. Ì ÖÖÓÖ ÓÖ ØØ ÒÙ Ø ÓÒ ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ð ØÓ N 2 Ó ÓÙÞ Ñ Ò ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ð ØÓ N 3 Û Ø ÕÙ Ö Ø ÜØÖ ÔÓÐ Ø ÓÒ Ú Ö ÓÒ Û Ø Ø ÔÖ ÒØ Ñ º N acoustic wave with DQ3 Boltzmann scheme.4.2 bounce-back BFL BFL2 DL relative attenuation o sound wave..08.06.04.02 0.98 0.96 0 0.2 0.4 0.6 0.8 position in mesh scale) o the boundary condition ÙÖ º Ê Ð Ø Ú ØØ ÒÙ Ø ÓÒ Ó Ò ÓÙ Ø Û Ú ÓÖ Ú Ö ÓÙ ÒÙÑ Ö Ð ÓÙÒ ÖÝ ÓÐØÞÑ ÒÒ Ñ Ò Ñ Ó ½¼¼ ÔÓ ÒØ º ½¼¼ ÔÓ ÒØ ¾¼¼ ÔÓ ÒØ ¼¼ ÔÓ ÒØ ÓÙÒ ¹ 2.009999 0 2.002496 0 2 6.67772 0 3 Ľ ¼º ½ ¼ ¼º ¼ ¼º¾ ½¼ ľ.038 0 3.3972 0 4 4.57 0 5 Ä 9.57 0 6.7 0 6 3. 0 7 Ì Ð ¾º Ä Ö Ø Ö Ô ÒÝ Ó Ø Ö Ð Ø Ú ØØ ÒÙ Ø ÓÒ Ó Ò ÓÙ Ø Û Ú ÓÖ Ú Ö ÓÙ ÒÙÑ Ö Ð ÓÙÒ ÖÝ ÓÐØÞÑ ÒÒ Ñ Ò Ñ º

ÇÒ Ð ØØ ÓÐØÞÑ ÒÒ Ñ Ò Ø ÚÓÐÙÑ Ò ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ ½ Ò Ø ÚÓÐÙÑ ÓÖ Ø ¾É ÑÓ Ð Ï Ú ØÛÓ ÓÖÑÙÐ ÓÖ Ø Ø Ñ ÚÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø ÓÒ ÖÚ ÑÓÑ ÒØ Ø ÚÓÐÙØ ÓÒ Ó Ñ ½¼µ Ò ÑÓÑ ÒØÙÑ ½½µ Ø Ø ÓÑ ÖÓÑ Ø Ò Ö Ð ÔÖÓÔ ÖØ Ó Ð ØØ ÓÐØÞÑ ÒÒ Ñ Ò Ø Ò Ø ÚÓÐÙÑ Ö Ñ ÛÓÖ ½ µ ½ µº ÓÖ Ø Ó Ø ØÛÓ Ñ Ò ÓÒ Ð ÑÓ Ð ¾É Ò º º Ò ÉÀÄ ¾ µ Û Ø ØÛÓ Ò ØÙÖ Ð ÕÙ Ø ÓÒ µ Ï Ö ÓÑ ØÖ ÐÐÝ µ Ø Ò Ø ÚÓÐÙÑ Kx) µ Ï Ø Ö Ø ÔÓ Ð ÓÖÑÙÐ ÓÖ Ø Ñ ÙÜ ψ j Ò Ø ÑÓÑ ÒØÙÑ ÙÜ ζ j ÌÓ ÓÙÖ ÒÓÛÐ Ø Ö ÒÓ Ø Ý Ò Ò Û Ö ØÓ Ø ÓÚ ÕÙ Ø ÓÒ Ï Ù Ø Ö ØÓ Ù ØÛÓ Ö ÒØ ÓÒØÖÓÐ Ò Ø ÚÓÐÙÑ K Ò K Ò Ò ÙÖ Ò ÒØ ÐÐÝ ØÓ Ò Ð Ø Ø ÒØ ÖÒ Ð ÝÒ Ñ ØÛ Ò Ø ØÛÓ ÓÒØÖÓÐ ÚÓÐÙÑ ÙÖ Ò Ø Ö Ð Ü Ø ÓÒ Ø Ôº 2 6 5 3 0 4 7 8 ÙÖ º ÓÒØÖÓÐ Ò Ø ÚÓÐÙÑ K Ò K ÓÖ Ø ØÛÓ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ¾É Ð ØØ ÓÐØÞÑ ÒÒ Ñ º Ï ÐÓÓ Ö ÙÐÐÝ Ø ÙÖ Ò Û Ó ÖÚ Ø Ø ½µ K = x 2, K = 2 x 2. ÅÓÖ ÓÚ Ö Ø ÓÙÒ ÖÝ K Ö Ô Ø Ú ÐÝ K ÓÑÔÓ Ý Ø ÓÙÖ a j ÓÖ j = ØÓ 4 Ö Ô Ø Ú ÐÝ j = 5 ØÓ 8 Ò Û Ú ¾µ a j = x, j =, 2, 3, 4, a j = 2 x, j = 5, 6, 7, 8.

½ Ö ÒÓ Ù Ó Ò È ÖÖ Ä ÐÐ Ñ Ò Ï ÒØÖÓ Ù Ø Ô ÖØ Ð Ò Ø ρ x, t), ρ x, t) Ò Ø Ô ÖØ Ð ÑÓÑ ÒØ q x, t), q x, t) ÓÖ Ò ØÓ 4 8 µ ρ x, t) = j x, t), ρ x, t) = j x, t) µ q x, t) = j=0 4 v j j x, t), q x, t) = j=0 j=5 8 v j j x, t) Ò Ø Ò ÐÓ ÓÙ ÕÙ ÒØ Ø ρ x, t), ρ x, t) q x, t), q x, t) Ý Ö ¹ ÔÐ Ò Ý Ø Ö ÓÐÐ ÓÒ Ò Ø Ö Ð Ø ÓÒ µ Ò µº Ï ÒØÖÓ Ù Ð Ó Ø Ø Ó ÓÒ ÖÚ Ø ÓÒ Ó Ø Ô ÖØ Ð ÑÓÑ ÒØ µ ρ ρ x, t) ρ x, t), q q x, t) q x, t). ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º ÁÒØ ÖÒ Ð Ø Ó ÓÒ ÖÚ Ø ÓÒº Ï Ø Ø ÓÚ Ò Ø ÓÒ Û Ú 4 µ ρ x, t + t) ρ x, t) + j x, t) σj) x j, t) ) = ρ µ ρ x, t + t) ρ x, t) + µ q x, t + t) q x, t) + µ q x, t + t) q x, t) + ÈÖÓÓ Ó ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º j=0 j=5 8 j x, t) σj) x j, t) ) = ρ j=5 4 j=0 8 j=5 v j j x, t) + σj) x j, t) ) = q v j j x, t) + σj) x j, t) ) = q. ÁØ Ö Ø ÓÒ ÕÙ Ò Ó Ø Ò Ø ÓÒ µ µ µ Ò Ó Ø Ñ ¹ ÖÓ ÓÔ Ø Ö Ø ÓÒ Ó Ø Ñ µº ÌÓ Ü Ø Û Ø Ð Ø ÔÖÓÓ Ó µ ρ x, t + t) ρ x, t) = 4 j=0 j x v j t, t) ρ x, t) + ρ

ÇÒ Ð ØØ ÓÐØÞÑ ÒÒ Ñ Ò Ø ÚÓÐÙÑ Ò ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ ½ = 4 σj) x v j t, t) j=0 = 4 j=0 j x, t) + ρ 4 j x, t) σj) x v j t, t) ) + ρ. j=0 ÁÒ Û Ø ÓÐÐÓÛ Û Ò Ð Ø Ø Ö Ò ØÛ Ò ρ x, t+ t) ρ x, t) Ò ρ x, t + t) ρ x, t) Û Ò Û ÙÔÔÓ Ø Ø ρ ÕÙ Ð ØÓ Þ ÖÓº ÁÒ ÓØ Ö Ø ÖÑ Ø Ô ÖØ Ð Ñ ρ Ò ρ Ö ÙÔÔÓ ØÓ ÓÒ ÖÚ ÙÖ Ò Ø ÓÐÐ ÓÒ ÔÖÓ º Ç ÓÙÖ Û Ñ Ø Ñ ÝÔÓØ ÓÖ Ø ÑÓÑ ÒØÙÑ Ò Ø Ö Ò q x, t + t) q x, t) Ò q x, t + t) q x, t) Ö Ò Ð Ø Û Ò q ÙÔÔÓ ØÓ Ò Ð Ð º Ï Ú Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ø Ø Ù ÜÔÐ ØÐÝ Ø Ð Ò ØÙÖ Ð ÒÖ Ñ ÒØ ρ x, t + t) ρ x, t) Ò Ó Ø º ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º È ÖØ Ð ÒÙÑ Ö Ð ÙÜ º Ï Ú Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÜÔÖ ÓÒ ÓÖ Ø Ø Ñ ÚÓÐÙØ ÓÒ ] ¼µ [ρ x, t + t) ρ t x, t) + 4 a j ψ j x) = 0, K ½µ ¾µ µ ] [ρ x, t + t) ρ t x, t) ] [q x, t + t) q t x, t) ] [q x, t + t) q t x, t) Û Ø Ñ ÙÜ ψ j x) Ú Ò Ý + K + K + K j=0 8 a j ψ j x) = 0, j=5 4 a j ζ j x) = 0, j=0 8 a j ζ j x) = 0, µ ψ j x) = λ j x, t) σj) x j, t) ), 0 j 4 µ ψ j x) = λ 2 j x, t) σj) x j, t) ), 5 j 8 Ò ÑÓÑ ÒØÙÑ ÙÜ ζ j x) Ý µ ζ j x) = λv j j x, t) + σj) x j, t) ), 0 j 4 j=5

½ Ö ÒÓ Ù Ó Ò È ÖÖ Ä ÐÐ Ñ Ò µ ζ j = λv j 2 j x, t) + σj) x j, t) ), 5 j 8. ÈÖÓÓ Ó ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º Ï ÑÔÐÝ Ñ Ø Ô ÖØ Ð ÙÑ ÖÓÑ Ø ÙÒ Ñ ÒØ Ð ÚÓÐÙØ ÓÒ Ö Ð Ø ÓÒ µ Ò Û Ø Ý ÒØÖÓ Ù Ò Ø Ô Ð x, Ø Ø Ñ Ð t, Ò Ø Ö Ö Ø Ó λ : t ρ x, t + t) ρ x, t)) + x ρ x, t + t) ρ t x, t)) + x q x, t + t) q t x, t)) + x q x, t + t) q t x, t) ) + x 4 λ j x, t) σj) x j, t) ) = 0 j=0 8 λ j x, t) σj) x j, t) ) = 0 j=5 4 λv j j x, t) + σj) x j, t) ) = 0 j=0 8 λv j j x, t) + σj) x j, t) ) = 0. j=5 Ï Ö ÔÐ Ò Ø ÓÚ ÜÔÖ ÓÒ Ø Ô Ð x, Ý Ø ÓÖÖ Ø ÜÔÖ ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Ó ½µ Ò ¾µ 4 ρ x, t + t) ρ t x, t)) a j + K λ j x, t) σj) x j, t) ) = 0 ρ x, t+ t) ρ t x, t) ) + q x, t + t) q t x, t)) + q x, t+ t) q t x, t)) + j=0 8 j=5 4 j=0 8 j=5 a j K λ 2 j x, t) σj) x j, t) ) = 0 a j K λv j j x, t) + σj) x j, t) ) = 0 a j K λ 2v j j x, t)+ σj) x j, t) ) = 0. Ï Ú Ð ÖÐÝ Ò Ü Ø ÕÙ Ú Ð Ò ØÛ Ò Ø ÓÙÖ ÓÚ ÜÔÖ ÓÒ Û Ø Ø Ö Ð Ø ÓÒ ¼µ ½µ ¾µ Ò µ Û Ñ Ø Ó µ µ µ Ò µ ÓÖ Ø ÙÜ º

ÇÒ Ð ØØ ÓÐØÞÑ ÒÒ Ñ Ò Ø ÚÓÐÙÑ Ò ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ ½ Ï Ö Ñ Ö Ø Ø Û Ú ÔÖÓÔÓ ØÓ ÙØ Ø Ò ØÝ Ò Ø ÑÓÑ Ò¹ ØÙѵ ÒØÓ ØÛÓ Ô ÖØ ρ Ò ρ : ρ ρ +ρ Ò Û Ú Ð Ó ρ ρ +ρ ÙØ Ô Ò Ñ ÑÓÖÝ Ø Ø Û Ó ÒÓØ Ú ÓÒ ÖÚ Ø ÓÒ Ð Û ÓÖ Ø Ô ÖØ Ð Ò Ø ρ ρ Ò ρ ρ ÔÖ ÓÖ Ú Ò ρ ρ. Ï Ú Ñ Ð Ö Ö Ñ Ö ÓÖ Ø ÑÓÑ ÒØÙÑ q q Ò q q ÔÖ ÓÖ º Ì Ö ÓÖ Ø Ö Ð Ø ÓÒ ¼µ ½µ ¾µ Ò µ Ö Ð Ö ÐÐÝ Ü Ø ÙØ Ö ÒÓØ Ö ¹ ÓÖÓÙ Ö Ø Þ Ø ÓÒ Ó Ø ÓÒ ÖÚ Ø ÓÒ Ð Û Ó Ñ Ò ÑÓÑ ÒØÙѺ Ì Ý Ú ØÓ Ò Ö Ø Ø ÒØ Ø Ú ØÓ Ñ Ö ÓÐØÞÑ ÒÒ Ñ Ò Ø Ò Ø ÚÓÐÙÑ Ö Ñ ÛÓÖ ÓÖ ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ñ Ò ØÛÓ Ô Ñ Ò ÓÒ º ÆÙÑ Ö Ð ÓÐ ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ 2 6 5 3 Φ 2 Φ 5 Φ 6 4 7 8 ÙÖ º ÓÒØÖÓÐ Ò Ø ÚÓÐÙÑ K Ò K Ò Ö Ø ÓÙÒ Öݺ Ï ØÙ Ý Ò Ø Ø ÓÒ Ø Ü ÑÔÐ Ó Ò ÓÖ ÞÓÒØ Ð ÑÔ Ò ØÖ Ð ÓÐ ÓÙÒ ÖÝ ÓÖ Ö ÙÐ Ö ÓÑ ØÖÝ Ø Ø Ô Ö ÐÐ Ð ØÓ Ø Ü Ó ÓÓÖ Ò Ø º Ï ÒÓØ Ý x x, x 2 ) Ú ÖØ Ü ÐÓ Ø Ò Ö Ø ÓÙÒ ÖÝ Ø Ð ØØ Ö Ò Ø ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ ÙÔÔÓ ØÓ Ô Ö ÐÐ Ð ØÓ Ø x ÓÓÖ Ò Ø Ü µ y w = x 2 ξ x. ÒÓ¹ Ð Ô ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ ÙÔÔÓ ØÓ Ú Ò ÓÖ Ø Ù Ø Ø ÓÚ ÓÙÒ ÖÝ µ µ u, y w ) V ),

¾¼ Ö ÒÓ Ù Ó Ò È ÖÖ Ä ÐÐ Ñ Ò Û Ö V ) ÓÑ Ú ÐÓ ØÝ Ð Ø Ò ÒØ Ð ØÓ Ø ÓÙÒ Öݺ Ì Ò ÐÐÙ ØÖ Ø Ò ÙÖ Ø ÒÙÑ Ö Ó ÔÓ Ø¹ÓÐÐ ÓÒ Ô ÖØ Ð 2x v 2 t), 5 x v 5 t) Ò 6 x v 6 t) ÓÑ Ò ÖÓÑ Ø Ò ÓÙÖ x 4, x 7 Ò x 8 Ö Ô Ø Ú ÐÝ Ó Ø ÒÓ x Ö ÒÓØ Ú Ò Ý Ø Ò Ö Ð Ñ µº Ï ÒÓØ Ý K Ò K Ø Ñ ÙÖ Ó Ø Ò Ø ÚÓÐÙÑ ÖÓÙÒ Ø Ú ÖØ Ü x Ò ÓÖ Ò ØÓ ÙÖ º Ì ÓÙÒ ÖÝ K ÓÑÔÓ Ý Ø ÓÙÖ a j ÓÖ j = ØÓ 4 Ò K Ý Ø Ú a j ÓÖ j = 5 ØÓ 9. ÆÓØ Ò Ô Ò Ø Ø Ø a 9 ÓÒ Ø ÓÐ ÓÙÒ Öݺ ÁÒ Ø Ó Ø Ö Ð Ø ÓÒ ½µ Ò ¾µ Û Ú ) ¼µ K = 2 + ξ x 2, K = + 2ξ ξ 2) x 2. ½µ a = a 3 = 2 + ξ ) x, a 2 = a 4 = x, ¾µ a 5 = a 6 = x 2, a 7 = a 8 = ξ x 2, a 9 = 2 ξ) x. Ë Ñ ¾º ÐÙÜ ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ ÓÖ Ø ¾É ÑÓ Ðº Ï ÒÓØ Ý Φ 2, Φ 5 Ò Φ 6 Ø ÙÒ ÒÓÛÒ ÒÓÑ Ò Ô ÖØ Ð ÒÙÑ Ö º Ê ÐÐ Ø Ø µ Φ j = j x v j t) j x σj) ), j = 2, 5, 6. Ï Ù Ø ÒÓØ Ø ÓÒ Ù Ø Ú ÖØ x 4, x 7 Ò x 8 Ö ÒÓØ Ò ÒÓ Ó Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÓÑ Òº Ï Ò Û ÛÖ Ø Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ö¹ Ú Ø ÓÒ Ó Ñ ¼µ ½µ Ò Ø ÚÓÐÙÑ K Ò K Ò Ø ÓÒ ÖÚ Ø ÓÒ Ó Ø Ò ÒØ Ð ÑÓÑ ÒØÙÑ ¾µ µ Ò Ø ÓÒØÖÓÐ ÚÓÐÙÑ K, Ø ÔÓ Ð ØÓ Ò Ø Ø Ö ÙÒ ÒÓÛÒ Ô ÖØ Ð ØÖ ÙØ ÓÒ Φ 2, Φ 5, Φ 6 ÓÖ Ò ØÓ µ Φ 2 = 4 2 ξ + 2 ξ 2 4 x 2) ÓÖ Ø ÒÓÖÑ Ð ÒÔÙØ Ô ÖØ Ð ÒÙÑ Ö ÖÓ Ø ÓÙÒ ÖÝ Ò ØÓ µ Φ 5 = 8 + ξ ) 5 + δq w + ξ 8x 6 ) ξ + ξ) R λ µ Φ 6 = 7 + ξ + ξ ), ) 6 + 7 x 5) + ξ + ξ) δq w R λ

ÇÒ Ð ØØ ÓÐØÞÑ ÒÒ Ñ Ò Ø ÚÓÐÙÑ Ò ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ ¾½ ÓÖ Ø ØÖ Ò Ú Ö ÒÔÙØ Ô ÖØ Ð ÒÙÑ Ö Û Ø R Ò δq w Ò ÓÖ ¹ Ò ØÓ µ δq w = µ 8 vj x jx) ρv j=0 R ρλ x µ Ò λ ÒØÖÓ Ù Ò ½µº. ÆÓØ Ø Ø Ø Ò Ó ØÖÙÐÝ ØÛÓ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ØÖ ØÑ ÒØ ÙÒÙ Ù Ð Ò Ø Ö Ñ ÛÓÖ Ó Ð ØØ ÓÐØÞÑ ÒÒ Ñ Ü ÔØ ÓÖ Ø Ô ÓÒ Ö Ò ÛÓÖ Ó Å º Ï Ö Ñ Ö Ø Ø Ø ÒÓÑ Ò Ô ÖØ Ð ØÖ ÙØ ÓÒ Φ 2, Φ 5, Ò Φ 6 Ö ÜÔÖ Ð Ò Ö ÙÒØ ÓÒ Ó Ø ÓØ Ö ÒØ ÖÒ Ð Ô ÖØ Ð ØÖ Ù¹ Ø ÓÒ j x k) Ò Ó Ø ÓÙÒ ÖÝ Ø º Ì Ù ØÓ Ø Ø Ø Ø ÓÙÖ Ñ Ø Ó ÓÐÓ Ý ÒØ ÐÐÝ ÓÒ Ø ÓÒ ÖÚ Ø ÓÒ Ð Û Ó Ñ Ò ÑÓ¹ Ñ ÒØÙÑ Ø Ø Ö Ð Ò Ö Ò Ø ÖÑ Ó ÓÒ ÖÚ Ú Ö Ð Ò ÙÜ º ÐÐ Ø ÒÓÒÐ Ò Ö Ø Ö Ø Ò Ò ÓÒ Ö Ø ÓÒ Ø ÖÓÙ Ø ÓÐÐ ÓÒ Ø Ô. ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ó Ë Ñ ¾º Ï Ö Ø ÜÔÐ Ò Ø ÒÓØ Ø ÓÒ Ù Ò Ö Ð Ø ÓÒ µ Ò µº Ö Ø ¹ ÓÖ Ò ØÓ Ø Ð Ð ÓÖÑ Ó Ø Æ Ú Ö ËØÓ ÕÙ Ø ÓÒ ÄÄ Ò ØÓ Ø ÝÔÓØ Ó Ò ÒÔ Ò ØÖ Ð ÓÙÒ ÖÝ Ø Ø Ò ÒØ Ð ÙÜ τ ÖÓ Ø a 9 Ò Ò Ø ÖÑ Ó Ø Ú Ó ØÝ µ Ò Ø ÒÓÖÑ Ð Ö Ú Ø Ú ux n Ó Ø Ø Ò ÒØ Ð Ú ÐÓ ØÝ µ τ = µ ux n. ÓÖ Ø Ô ÖØ ÙÐ Ö Û ØÙ Ý Ò Ø ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ Ø ÒÓÖÑ Ð n ÔÓ ÒØ Ò Ò Ø Ò Ø Ú y Ö Ø ÓÒº Ï ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ux n Ý ØÛÓ¹ÔÓ ÒØ Ò Ø Ö Ò Ñ Ù Ò Ø Ø Ò ÒØ Ð ÑÓÑ ÒØÙÑ 8 j=0 vx j jx) Ò Ø ÙÔÔÓ ØÓ ÓÒ Ø Òص Ö Ö Ò Ò ØÝ ρ Ø Ø Ú ÖØ Ü xº Ì Ò Û Ú τ = µ ux x) V = µ 8 ) vj x ξ x ρ ξ x jx) ρv. j=0 ÁØ Ø Ò Ò ØÙÖ Ð ØÓ ÓÒ Ö Ø Ö Ò Ó Ø Ò ÒØ Ð ÑÓÑ ÒØÙÑ δq w Ò Ò µµ ØÛ Ò Ø ÓÑÔÙØ Ú ÐÙ Ø Ø Ú ÖØ Ü x Ò Ø Ú Ò

¾¾ Ö ÒÓ Ù Ó Ò È ÖÖ Ä ÐÐ Ñ Ò Ú ÐÙ ÓÒ Ø Û Ðе ÓÙÒ ÖÝ Ò Ø Ö Ê ÝÒÓÐ ÒÙÑ Ö R Ò Ò µµ Ó Ø Û Ø Ø Ñ Ô λ Ò Ø Ô ÒÖ Ñ ÒØ x. Ï Ø Ø ÒÓØ Ø ÓÒ Û Ú ¼µ τ = λ ξ R δq w. Ï ÛÖ Ø ÒÓÛ Ø ÓÒ ÖÚ Ø ÓÒ ¼µ Ó Ô ÖØ Ð Ñ ρ. Ö Ø Ù ØÓ Ø ÓÐØÞÑ ÒÒ Ñ ½µ ρ x, t+ t) ρ x, t)+ 3 j= j x) σj) x j) ) + 4 x) Φ ) 2 = 0. Ë ÓÒ Ù ØÓ Ø ÓÒ ÖÚ Ø ÓÒ ¼µ Ò Ø ÚÓÐÙÑ K : 3 ¾µ ρ x, t+ t) ρ t x, t)) a j + K λ j x) σj) x j) ) = 0, Ñ Ò Ù Ó Ø Ø Ø Ø Ø Ñ ÙÜ ÖÓ Ø ÓÙÒ ÖÝ a 4 ÒÙÐк Ï Ð Ñ Ò Ø Ø ÕÙ ÒØ ØÝ ρ x, t + t) ρ x, t)) ØÛ Ò Ø Ö Ð Ø ÓÒ ½µ Ò ¾µ Û Ø Ø ÐÔ Ó Ø ÓÑ ØÖ Ð Ð ÑÑ ¼µ Ò ½µº Ì Ò Ø Ö Ð Ø ÓÒ µ ØÖ Ø ÓÖÛ Ö ØÓ Ö Ú º Ï Ó ÖÚ Ø Ø Ò Ø Ö ÙÐ Ö Û Ò ξ = 2, Û Ö ÓÚ Ö Ø ÓÙÒ ¹ ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒº ÁÒ Ñ Ð Ö Û Ý Û ÛÖ Ø Ø ÓÒ ÖÚ Ø ÓÒ ½µ Ó Ô ÖØ Ð Ñ ρ Ö Ø Ù ØÓ Ø ÓÐØÞÑ ÒÒ Ñ 6 ρ x, t + t) ρ µ x, t) + j x, t) σj) x j, t) ) + j=5 + 7 x, t) Φ ) 5) + 8 x, t) Φ 6 = 0 Ò ÓÒ ÓÖ Ò ØÓ Ø Ñ ÓÒ ÖÚ Ø ÓÒ ½µ Ò Ø ÚÓÐÙÑ K : ρ x, t + t) ρ t x, t) ) + µ + 6 j=5 a j λ 2 K j= ) j x) σj) x j) + + λ 2 a 7 7 K x, t) Φ 5) + a8 8 x, t) Φ 6) ) = 0.

ÇÒ Ð ØØ ÓÐØÞÑ ÒÒ Ñ Ò Ø ÚÓÐÙÑ Ò ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ ¾ ÇÒ Ò Ø Ø Ø Ø Ø Ö ÒÓ Ñ ÙÜ ÖÓ Ø a 9 ÜÔÖ Ø Ô Ý Ð ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒº Ì Ò Ý Ð Ñ Ò Ø ÓÒ Ó ρ x, t + t) ρ x, t)) ØÛ Ò Ø Ö Ð Ø ÓÒ µ Ò µ Û Ó Ø Ò 6 j=5 a j λ 2 t K ) j x) σj) x j) ) + a 7 λ 2 t ) ) K 7 x) Φ 5 + a 8 λ 2 t ) ) K 8 x) Φ 6 = 0 Ù ØÓ ¼µ Ò ¾µ Û Ú µ a 5 λ 2 t K = a 6 λ 2 t K ξ)2 = + 2 ξ ξ 2 µ a 7 λ 2 t K = a 8 λ 2 t K = ξ2 ) + 2 ξ ξ 2. Ì Ò ξ) 5 + 6 7 x 5) 8 x 6) ) + + ξ) 7 Φ 5 + 8 Φ 6) = 0 Ï Ù Ò ÜÔÖ ÓÒ ÓÖ Ø ÙÑ Φ 5 + Φ 6 : µ Φ 5 + Φ 6 = 7 + 8 ξ + ξ 5 + 6 7 x 5) 8 x 6) ). Ï ÒÓÛ Ö ÙÐÐÝ ÜÔÖ Ø ÓÒ ÖÚ Ø ÓÒ Ó Ø Ò ÒØ Ð ÑÓÑ ÒØÙѺ Ò Ø ÔÖ Ú ÓÙ Û Ö Ø Ú Ø ÜÔÖ ÓÒ Ö ØÐÝ Ö Ú ÖÓÑ Ø Ñ µ µ q x x, t + t) q, x x, t) + +v x 7 Ò ÓÒ Û Ú Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø µ ÑÓÑ ÒØÙÑ Ò Ø ÚÓÐÙÑ K µ 6 j=5 q x t x, t + t) q, x x, t) ) + K v x j j x) + σj) x j) ) + 7 x, t) + Φ 5 ) + v x 8 8 x, t) + Φ 6 ) = 0 ÓÒ ÖÚ Ø ÓÒ µ Ó Ø Ò ÒØ Ð 9 a j ζj x = 0. j=5

¾ Ö ÒÓ Ù Ó Ò È ÖÖ Ä ÐÐ Ñ Ò Ù ØÓ µ Ò Ø ÜÔÖ ÓÒ Ó Ø Ò ÒØ Ð Ô ÓÖ Ø ¾É ÑÓ Ð Ø ¼µ v x 5 = λ, v x 6 = λ, v x 7 = λ, v x 8 = λ, Û Ú ½µ ζ x 5 = λvx 5 ζ x 7 = λvx 7 ) 2 5 + 7 x 5), ζ6 x = ) λvx 6 2 6 + 8 x 6), ) 2 7 + Φ 5, ζ8 x = ) λvx 8 2 8 + Φ 6. Ì Ð Ø Ø ÖÑ ζ9 x ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ Ø ØÖ Ø Ò ÓÖ ÐÓÒ Ø Ð ØØÐ µ ÙØ a 9 Û Ø Ø Ó ÓÒØÖÓÐ ÚÓÐÙÑ K ÔÖ ÒØ Ò ¾µ Ð Ó ÙÖ µº Ì Ò Û Ú ÑÔÐÝ ¾µ ζ x 9 = τ. Ï Ð Ñ Ò Ø q x x x, t + t) q, x, t)) ØÛ Ò Ø Ö Ð Ø ÓÒ µ Ò µ 6 a j λ 2 t ) vj x K j x) + σj) x j) ) + j=5 + a 7 λ 2 t K + ) ) v7 x 7 x) + Φ 5 + a 8 λ 2 t K Ù ØÓ ¼µ µ Ò µ Û Ú ) ) v8 x a 9 t 8 x) + Φ 6 = K ξ) 2 λ 5 + 7 x 5) ) λ 6 + 8 x 6) )) + + ξ 2 ) λ 7 +Φ ) ) ) 5 +λ 8 +Φ 6 = 2 ξ) x t x 2 Ï Ú Ø ÔÖ Ú ÓÙ ÜÔÖ ÓÒ Ý λ ξ) Ò Û Ù ) ) + ξ) Φ 5 Φ 6 = ξ) 5 6 + 7x 5 ) 8x 6 ) ) + ξ) 7 8 2 δq w. λξ R τ λ ξ R δq w.

ÇÒ Ð ØØ ÓÐØÞÑ ÒÒ Ñ Ò Ø ÚÓÐÙÑ Ò ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ ¾ ÁÒ ÓØ Ö Ø ÖÑ Φ 5 Φ 6 = 7 + 8 ξ µ + ξ ) 5 6 + 7x 5 ) 8x 6 ) 2 + ξ ξ δq w R λ. Ì Ö Ð Ø ÓÒ µ Ò µ Ö Ó Ø Ò ÖÓÑ µ Ò µ Ý Ø Ö ÓÐÙØ ÓÒ Ó ØÛÓ Ý ØÛÓ Ð Ò Ö Ý Ø Ñº ÓÙ ØØ Ø Ø º +V?? V ÙÖ º ÌÝÔ Ð ÓÙ ØØ ÓÛº Ì Ð Ð ÓÛ Ö Ò ÙÖ º Ì ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ Ö ÑÔÐÝ +V ÓÒ ØÓÔ Ò V Ø Ø ÓØØÓÑ Ó ÒÒ Ðº Ï Ú Ù Ú¹ Ö Ð Ñ ÔÖÓÔÓ Ý º ³ÀÙÑ Ö À¼½ ÓÙÞ Ø Ð Ä¼½ ÒÞ ÙÖ Ò ³ÀÙÑ Ö À¼ ÓÖ Ñ ÓÑÔÓ Ý ÓÒÐÝ ½½ Ñ ÔÓ ÒØ Ò Ø Ö Ø ÓÒ ØÖ Ò Ú Ö ØÓ Ø ÓÛº Ï Ú ÖÝ Ø ÐÓ Ø ÓÒ Ó Ø Ô Ý Ð ÓÙÒ ÖÝ Ò ÓÑ ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ ξ Ö Ð Ø Ú ÐÝ ØÓ Ø Ñ Ø Ô x. Ï ÓÑÔÙØ Ø Ø Ø ÓÒ ÖÝ Ö Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ó ÓÙÖ Ð ØØ ÓÐØÞÑ ÒÒ Ñ º Ì Ò Û Ø Ð Ò Ö Ö Ö ÓÒ Ø Û Ñ ÙÖ Ø ÐÓ Ø ÓÒ Ó Ø ÔÓ ÒØ ¹ Ó Ø Û Ø Ò ÜØÖ ÔÓÐ Ø Ú ÐÓ ØÝ Ü ØÐÝ ÕÙ Ð ØÓ +V ÓÖ V º ÍÔ ØÓ Ú Ò Ñ Ð ÐÐ Ø ÓÙÒ ÖÝ Ñ Ú Ø Ö Ö ÙÐØ Ó +ξ x ÓÖ ξ xº

¾ Ö ÒÓ Ù Ó Ò È ÖÖ Ä ÐÐ Ñ Ò ÈÓ Ù ÐÐ Ø Ø º ÌÓ Ø Ø Ø ÔÖÓÔÓ ÓÖÑÙÐ ÓÖ ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ Û Ú Ð Ó ÓÒ ¹ Ö Ø ÑÔÐ ÈÓ Ù ÐÐ ÓÛ Û Ø ØÛÓ ÓÙÒ Ö Ô Ö ÐÐ Ð ØÓ Ø Ox Ü ÐÓ Ø Ö Ô Ø Ú ÐÝ Ø y = ξ) x Ò y 2 = N y + ξ) x Ö Ò ÙÖ ½¼º Ì ÓÛ Ö Ú Ò Ý ÔÔÐÝ Ò ÙÒ ÓÖÑ ÒØ ÖÒ Ð ÓÖ δ Ù Ø Ø Ø Ú ÐÓ ØÝ ØÖ ÙØ ÓÒ ÓÙÐ Ó Ô Ö ÓÐ ÓÖÑ Û Ø ÒÙÐÐ Ú ÐÙ ÓÖ y Ò y 2 Ò Ñ Ü ÑÙÑ Ú ÐÙ v m = δn y + 2ξ) 2 x) 2 ρ/8µ)º?? ÙÖ ½¼º ÌÝÔ Ð ÈÓ Ù ÐÐ ÔÖÓ Ð Ò ÕÙ ÒØ Ø Ó Ò ØÓ ÓÑÔ Ö ÑÓ Ð Ò Ø ÓÖݺ ½½ ÔÓ ÒØ ¾½ ÔÓ ÒØ ½ ÔÓ ÒØ À 2.75397 0 2 8.936 0 3 3.8728 0 3 Ľ 2.5873 0 2 7.6978 0 3 3.6384 0 3 ľ 7.98 0 3 2.898 0 3.0049 0 3 Á À ¼ ¼ ¼ Ä ¼ ¼ ¼ Ì Ð º Ä Ö Ø Ö Ô ÒÝ Ó Ø Ú Ö Ø ÓÒ Ó Ø Ñ Ü Ñ Ð Ú ÐÓ ØÝ ÓÖ ÈÓ Ù ÐÐ ÔÖÓ Ð ÓÖ Ú Ö Ð ÓÙÒ ÖÝ Ñ Ò Ñ º

ÇÒ Ð ØØ ÓÐØÞÑ ÒÒ Ñ Ò Ø ÚÓÐÙÑ Ò ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ ¾.02.0 Poiseuille low in discrete channel o points DH BFL BFL2 IGDH DL value o the maximal velocity 0.99 0.98 0.97 0.96 0 0.2 0.4 0.6 0.8 position in mesh scale) o the boundary condition ÙÖ ½½ Î Ö Ø ÓÒ Ó Ø Ñ Ü Ñ Ð Ú ÐÓ ØÝ ÓÖ ÈÓ Ù ÐÐ ÔÖÓ Ð º Ï Ò Ø Ý Ø Ø Ö Ò Ø ÑÙÐ Ø ÓÒ Ø Ú ÐÓ ØÝ ÔÖÓ Ð Ø ØÓ Ô Ö ÓÐ ØÖ ÙØ ÓÒ Ý Ð Ò Ø Ñ Ü ÑÙÑ Ú ÐÓ ØÝ Ò Ø ÐÓ Ø ÓÒ Ó ¼¹Ú ÐÓ ØÝ ÖÓÑ Û Ò Ø Ú ÒÒ Ð Û Ø Ò Ù º Ì Ú ÐÙ Ö ÓÑÔ Ö ØÓ Ø Ø ÓÖ Ø Ð Ú ÐÙ Ò Ø ÓÚ º ÆÓØ Ø Ø Û Ò Ö Ú Ò ÓÖ ÔÔÐ Û ÓÐÐÓÛ À¼ Ò Ô Ö ÓÖÑ Ø Ô Ö ÓÐ ØØ Ò Û Ø Ø ÕÙ ÒØ ØÝ v j j )/ρ+/2δº Ø ÔÖ ÒØ Ö ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ Ø Ô ÖØ ÙÐ Ö N y = º ÙÖ ½½ Ò Ì Ð ÓÛ Ö ÙÐØ ÓÖ Ø ÓÑÔ Ö ÓÒ Ó Ø Ñ ÙÖ Ñ Ü ÑÙÑ Ú ÐÓ ØÝ ÒÓÖÑ Ð Þ Ý Ø Ø ÓÖ Ø Ð Ú ÐÙ ÓÖ Ú Ö ÓÙ ÓÙÒ ÖÝ Ñ º Ë Ñ Ð ÖÐÝ ÙÖ ½¾ Ò Ì Ð ÓÛ Ø Ö Ò ØÛ Ò Ø ÐÓ Ø ÓÒ Ó Ø ÐÓÛ Ö ÔÓ ÒØ Ó ¼¹Ú ÐÓ ØÝ Ò Ø ÑÔÓ Ú ÐÙ Ú ξº Ç Ú ÓÙ ÐÝ Ø ÑÔÐ ÓÙÒ ¹ Ñ Û Ú ÓÒ Ø ÒØ ÐÓ Ø ÓÒ Ð ØÓ Ò ÖÖÓÖ Ð Ò Ö Ò ξº ÓÖ ÓÑÔ Ö ÓÒ Û ÓÛ Ø Ö ÙÐØ ÓÖ ÑÔÐ ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ Ò Ò Ø Ø Ø Ò Ð ÓÖ Ø Ñ Ð Ø Ø Ó ÒÞ ÙÖ Ò ³ÀÙÑ Ö Ú Ø Ø ÓÖ Ø Ð Ú ÐÓ ØÝ ÔÖÓ Ð ØÓ Ñ Ò ÔÖ ÓÒº Ï Ú Ð Ó Ø Ø Û Ø Ö Ø ÔÖÓÔÓ Ñ Ø Ø Ð Ð Ò ÒÚ Ö Ò º Ì Ú ÖÝ Û ÐÐ Ø ÔÖÓÚ Ø ÜÔÖ ÓÒ ÓÖ Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ú ÐÙ Ó Ø Ò Ö Ý¹ ÕÙ Ö ÑÓÑ ÒØ ÒÐÙ

¾ Ö ÒÓ Ù Ó Ò È ÖÖ Ä ÐÐ Ñ Ò ÒÓÒ¹Ð Ò Ö Ø ÖÑ 6ρ jx 2 + j2 y ) Ø Ø Ö Ý ØÓÖ Ó 2 ÖÓÑ Ø Ø ÖÑ ÔÖÓÚ Ý Ø ÑÔÐ Ã ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ú ÐÙ ÉÀÄ ¾ º ½½ ÔÓ ÒØ ¾½ ÔÓ ÒØ ½ ÔÓ ÒØ À 8.3958 0 2 4.5576 0 2 3.022 0 2 Ľ 7.8277 0 2 4.2495 0 2 2.9337 0 2 ľ 2.9920 0 2.5029 0 2 7.79 0 3 Á À ¼ ¼ ¼ Ä ¼ ¼ ¼ Ì Ð º Ä Ö Ø Ö Ô ÒÝ Ó Ø Ú Ö Ø ÓÒ Ó Ø ÔÓ ÒØ Ó Þ ÖÓ Ú ÐÓ ØÝ ÓÖ ÈÓ Ù ÐÐ ÔÖÓ Ð ÓÖ Ú Ö Ð ÓÙÒ ÖÝ Ñ Ò Ñ º Poiseuille low in discrete channel o points 0.04 0.02 DH BFL BFL2 IGDH DL relative location o zero velocity 0-0.02-0.04-0.06-0.08-0. 0 0.2 0.4 0.6 0.8 position in mesh scale) o the boundary condition ÙÖ ½¾ ÄÓ Ø ÓÒ Ó Ø ÔÓ ÒØ Ó Þ ÖÓ Ú ÐÓ ØÝ ÓÖ ÈÓ Ù ÐÐ ÓÛº

ÇÒ Ð ØØ ÓÐØÞÑ ÒÒ Ñ Ò Ø ÚÓÐÙÑ Ò ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ ¾ ËØÓ ÒÑÓ Ò ÕÙ Ö ÓÑ Ò ÙÖ ½ º Ö Ø Ò ÙÒØ ÓÒ Ó Ø ËØÓ ÔÖÓ Ð Ñ Ò ÕÙ Ö º ÌÓ Ô Ö ÓÖÑ ÑÓÖ Ò ÒØ Ø Ø Ó Ø ÔÖÓÔÓ ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ Û ÓÒ Ö ÑÔÐ ÙØ Ú ÖÝ Û ÐÐ ÓÙÑ ÒØ Ø Ø Ó ËØÓ ÑÓ Ò ÕÙ Ö Ú ØÝ Û Ø ÓÑÓ Ò ÓÙ Ö Ð Ø ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ ÓÖ Ú ÐÓ ØÝ Äļ º ÁÒ Ø Ú ØÝ Ø Ù ÓÐÐÓÛ ËØÓ ÕÙ Ø ÓÒ ÓÖ Ø Û Ù ¾É Û Ø ÒÓ ÒÓÒ Ð Ò Ö Ø ÖÑ ÓÖ Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ú ÐÙ Ó Ø ÒÓÒ¹ÓÒ ÖÚ ÑÓÑ ÒØ Ò Ø Ø Ö Ð Ü Ø ÓÒ Ö Ø Ù Ø Ø Ø Ö ÒÓ ÓÙÖØ ÓÖ Ö Ø ÖÑ Ò Ø ÕÙ Ú Ð ÒØ ÕÙ Ø ÓÒ º Ï Ù Ú Ö ÓÙ ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ ØÓ Ó Ø Ò Þ ÖÓ Ú ÐÓ ØÝ ÓÖ Ø ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ò Ú ÖØ Ð ÓÙÒ Ö Ó Ø ÕÙ Ö ÓÖ x = ξ Ò x = N + ξ Ò y = ξ Ò y = N + ξ 0 < ξ < µ Ó Ø Ø Ø Þ Ó Ø ÕÙ Ö N + 2ξ Û Ø N 2 Ð ØØ ÒÓ º Ì Ú ÐÙ Ó Ø ËØÓ ÒÑÓ ÓÙÐ Ð µ Γ = γj) ν N + 2ξ) 2 Û Ö ν Ø Ö Ú Ó ØÝ Ò γj) Ô Ò ÓÒ Ø ØÖÙØÙÖ Ó Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÒÑÓ Ò Ú Ò ÓÖ Ñ ÐÐ Ú ÐÙ Ó j Ý Ä ÖÓ Ø Ð

¼ Ö ÒÓ Ù Ó Ò È ÖÖ Ä ÐÐ Ñ Ò Äļ º Ï ÔÖ ÒØ Ò ÙÖ ½ Ø Ú ØÓÖ Ð ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÓ Ø Ö Ø ÒÚ ÐÙ Ó Ø ËØÓ ÔÖÓ Ð Ñº Í Ò Ø ÖÒÓÐ ÔÖÓ ÙÖ Ö ½ Û Ø ÖÑ Ò Γ LB ÓÖ Ú Ö Ð Ú ÐÙ Ó N Ò ÔÐÓØ Ò ÙÖ ½ Ø Ö Ð Ø Ú ÖÖÓÖ Γ LB Γ Ú N 2 ÓÖ Û Û Ý ØÓ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ º Ì Ö Ö Ò ÔÔÖ Ø Ø ÕÙ Ð ØÝ Ó Ø ÔÖÓÔÓ ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ º Ì Ø Ú Ò Ò Ø ÙÖ ½ ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ Ø ÐÓÛ Ø ÒÑÓ ÙØ Ñ Ð Ö Ú ÓÙÖ Ó ÖÚ ÓÖ Ö ÓÖ Ö ÑÓ ÙÔ ØÓ j = 30µº 0.00 Stokes problem in a square, boundary located at xi = 0.2 DH BFL BFL2 DL relative error or the irst eigenvalue e-04 e-05 e-06 000 0000 total number o points in the square ÙÖ ½ º Ö Ô Ò ÓÖ Ø Ö Ø ÒÚ ÐÙ Ó Ø ËØÓ ÔÖÓ Ð Ñ Û Ø ¾É Ð ØØ ÓÐØÞÑ ÒÒ Ñ Ò Ú Ö ÓÙ ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ º ÓÒÐÙ ÓÒ Ï Ú ÔÖÓÔÓ Ð Ò ØÛ Ò Ø Ð ØØ ÓÐØÞÑ ÒÒ Ñ Ò Ø Ò Ø ÚÓÐÙÑ Ñ Ø Ó º ÁÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö Û ÔÖÓÔÓ Ò Ö Ð Ö Ð Ø ÓÒ Ø Ø Ò Ñ Ò ÑÓÑ ÒØÙÑ ÙÜ ØÛ Ò ØÛÓ Ö ÔÓ ÒØ Ó Ø Ð ØØ ÓÐØÞÑ ÒÒ Ñ º ÓÖ Ø ¾É ÑÓ Ð Û Ú ÒÓÙÒØ Ö ÓÑ ØÖ Ð ÙÐØ Ò Û Ú ÔÖÓÔÓ Ø ÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Ó ØÛÓ Ñ Ð Ó ÓÒØÖÓÐ ÚÓÐÙÑ Ò ÓÖ Ö ØÓ Ò Ò Ö Ð Ñ Ò ÑÓÑ ÒØÙÑ ÙÜ º Ì ÔÔÖÓ Ò ØÙÖ ÐÐÝ

ÇÒ Ð ØØ ÓÐØÞÑ ÒÒ Ñ Ò Ø ÚÓÐÙÑ Ò ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ ½ Ò Ù ÙÜ Ñ Ø Ó ÓÐÓ Ý ÓÖ Ø ØÖ ØÑ ÒØ Ó ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ Û Ò Ø ÓÙÒ ÖÝ ÙÜ Ò ØÙÖ ÐÐÝ Ô Ý Ð Ñ Ò Ò º Ë Ø ØÓÖÝ Ø Ø ÓÖ ÓÙ Ø ÑÓÒÓ Ñ Ò ÓÒ Ð Û Ú ÓÐ ØÛÓ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÓÙÒ ÖÝ ÓÖ ÓÙ¹ ØØ Ò ÈÓ Ù ÐÐ ÓÛ ÒÑÓ ÓÖ Ø ËØÓ ÔÖÓ Ð Ñ Ò ÕÙ Ö Ú Ò ÔÖÓÔÓ º ÇÙÖ ÓÙÒ ÖÝ Ñ ÔÔ Ö ØÓ Ú ÖÝ ÔÖ Ò Ò ÓÒÔ Ö ÚÓÖ ÐÝ Û Ø ÓØ Ö ÙÖ Ø ÓÙÒ ÖÝ Ñ º Ì Ò ÜØ Ø Ô ØÓ ÔØ Ø ÔÖ Ú ÓÙ ÓÖ ÓÑ ØÖ ÐÐÝ Ò Ö Ð Ø Ð Ð Ó¹ Ö Ø Ñ ÓÖ ØÛÓ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ º Ò ÓØ Ö ÜØ Ò ÓÒ ÓÒ ÖÒ ÑÓÖ ÔÖ ØÖ ØÑ ÒØ Ó Ø ÒØ ÖÒ Ð Ñ Ò ÑÓÑ ÒØÙÑ Ü Ò ¹ ØÛ Ò Ø Ö ÒØ ÓÒØÖÓÐ ÚÓÐÙÑ º Ð Ò Û Ø Ø Ó¹ ÐÐ Ö ÖÚÓ Ö Ñ Ø Ó Î Ä¼¾ ÓÙÐ ÜÔÐÓÖ º ÒÓÛÐ Ñ ÒØ Ï Ø Ò º ÐÓ٠м Û Ó Ù Ø ØÓ ÓÒ Ó Ù Ø Ü Ø Ò Ó ÔÓ Ð Ò ØÙÖ Ð Ð Ò ØÛ Ò Ø Ð ØØ ÓÐØÞÑ ÒÒ Ñ Ò Ø Ò Ø ÚÓÐÙÑ Ñ Ø Ó º Ï Ø Ò Ð Ó Ø Ö Ö Û Ó Ù Ø Ú Ö Ð ÑÔÖÓÚ Ñ ÒØ ÖÓÑ Ø ÓÖ Ò Ð Ú Ö ÓÒ Ó Ø ÓÒØÖ ÙØ ÓÒº Ê Ö Ò Î Ä¼¾ º ÐÓÙ º ÎÙÝ Ø º Ä ÓÕ º ÄÓÖ Òº Ì Ö ÖÚÓ Ö Ñ ÓÖ Ý Ø Ñ Ó ÓÒ ÖÚ Ø ÓÒ Ð Û Ò Ø ÎÓÐÙÑ ÓÖ ÓÑÔÐ Ü ÔÔÐ Ø ÓÒ ÈÖÓ Ð Ñ Ò È Ö Ô Ø Ú ÚÓк º Ý Êº À Ö Ò Ò º ÃÖ Ò Ö À ÖÑ ÈÖ ÒØÓÒ ÈÖ Ôº ¾ ½¹¾ ¼ ¾¼¼¾º м º ÐÓÙ º È Ö ÓÒ Ð ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ ÔÖ Ð ¾¼¼ º ÄÎ º Ò Ö Ò º ÖÚ ÙÜ Äº ÄÓØ º Î Ý ÙÒ Ö Ñº Ë ÑÙ¹ Ð Ø ÓÒ Ó ÙÐ Ö ØÖ Ò ÓÒ ÓÛ Ý Ñ Ò Ó ÜÔÐ Ø Ò Ø Ð Ñ ÒØ ØÝÔ Ñ Ê ÔÔÓÖØ Ö Ö ÁÆÊÁ ÚÓк ¾ ¼ ½ º Ö ½ Ϻ º ÖÒÓÐ º Ì ÔÖ Ò ÔÐ Ó Ñ Ò Ñ Þ Ø Ö Ø ÓÒ Ò Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø Ñ ØÖ Ü ÒÚ ÐÙ ÔÖÓ Ð Ñ ÉÙ ÖØ ÖÐÝ Ó ÔÔÐ Å Ø Ñ Ø ÚÓк Ôº ½ ¹¾ ½ ½º ËÎ ¾ ʺ ÒÞ Ëº Ë٠ź Î Ö ÓÐ º Ì Ð ØØ ÓÐØÞÑ ÒÒ ÕÙ Ø ÓÒ Ø ÓÖÝ Ò ÔÔÐ Ø ÓÒ È Ý Ê ÔÓÖØ ÚÓк ¾¾¾ Ôº ½ ¹½ ½ ¾º

¾ Ö ÒÓ Ù Ó Ò È ÖÖ Ä ÐÐ Ñ Ò Ä¼½ ź ÓÙÞ Åº Ö Ó٠Ⱥ Ä ÐÐ Ñ Ò º ÅÓÑ ÒØÙÑ ØÖ Ò Ö Ó ÓÐØÞÑ ÒҹРØØ Ù Û Ø ÓÙÒ Ö È Ý Ó ÐÙ ÚÓк ½ Ò o ½½ Ôº ¾¹ ¾¼¼½º Àº Òº ÎÓÐÙÑ ØÖ ÓÖÑÙÐ Ø ÓÒ Ó Ø Ð ØØ ÓÐØÞÑ ÒÒ Ñ Ø Ó ÓÖ Ù ÝÒ Ñ ÓÒ ÔØ È Ý Ð Ê Ú Û ÚÓк Ôº ¹ ½ º ˺ Ò º º ÓÓÐ Òº Ä ØØ ÓÐØÞÑ ÒÒ Ñ Ø Ó ÓÖ Ù ÓÛ ÒÒÙ Ð Ê Ú Û Ó ÐÙ Å Ò ÚÓк ¼ ¾ ¹ ½ º ÀÈÈ ÂºÇº À Ö Ý Çº È ÞÞ º ÈÓÑ Ù ÅÓÐ ÙÐ Ö ÝÒ Ñ Ó Ð Ð Ð ØØ ØÖ Ò ÔÓÖØ ÔÖÓÔ ÖØ Ò Ø Ñ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ È Ý Ð Ê Ú Û º ÚÓк ½ Ôº ½ ¹½ ½ ½ º À ¾ º ³ÀÙÑ Ö Ò Ö Ð Þ Ä ØØ ¹ ÓÐØÞÑ ÒÒ ÕÙ Ø ÓÒ Ò Á Ê Ö ÝÒ Ñ Ì ÓÖÝ Ò ÔÔÐ Ø ÓÒ º ÈÖÓ Ö Ò ØÖÓÒ ÙØ Ò ÓÖÓÒ ÙØ ÚÓк ½ Ôº ¼¹ ½ ¾º À¼½ º ³ÀÙÑ Ö º ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ ÙÒÔÙ Ð Ð ØØ Ö ØÓ ÁÖ Ò ÒÞ ÙÖ ¾¼¼½º À¼ º ³ÀÙÑ Ö º È Ö ÓÒ Ð ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ À ÑÔØÓÒ ÂÙÐÝ ¾¼¼ º Ä º ³ÀÙÑ Ö Èº Ä ÐÐ Ñ Ò Íº Ö º Ä ØØ ÑÓ Ð ÓÖ 3D Ý ÖÓ ÝÒ Ñ ÙÖÓÔ Ý Ä ØØ Ö ÚÓк ¾ Ò o Ôº ¾ ½¹¾ ½ º ¼ º ÔÖ º Ù Ó º ËÝ Ø Ñ ÝÔ Ö ÓÐ ÕÙ ÐÓ ÓÒ ÖÚ ¹ Ø ÓÒ ÔÔÐ Ø ÓÒ Ð ÝÒ Ñ ÕÙ Þ Ø ÓÒ Ð³ ÓÐ ÈÓÐÝØ ¹ Ò ÕÙ ÐÐ Ô È Ö ¾¼¼ º Ù¼½ º Ù Ó º È ÖØ Ð Ê Ñ ÒÒ ÔÖÓ Ð Ñ ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ Ò ÝÒ Ñ ÓÖ Ò ÓÙÒ Ö Ò Ä Ý Ö ÓÑ Ò ÓÑÔÓ¹ Ø ÓÒ Å Ø Ó º ÔÔÐ Ø ÓÒ ØÓ Ä Ö Ë Ð ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Äº À ÐÔ ÖÒ Ø Äº ÌÓÙÖÖ ØØ Ø ÙÖ ÆÓÚ Ë Ò ÈÙ Ð Ö ÁÒº Æ Û ÓÖ Ôº ½ ¹ ¾¼¼½º Ù¼ º Ù Ó º ÍÒ ÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Ù Ñ ÓÐØÞÑ ÒÒ ÙÖ Ö Ù Ë ÁÅ ÈÖÓ Ò ÚÓк ½ Ôº ½ ½¹¾½ ¾¼¼ º

ÇÒ Ð ØØ ÓÐØÞÑ ÒÒ Ñ Ò Ø ÚÓÐÙÑ Ò ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ Ù¼ º Ù Ó º ÕÙ Ú Ð ÒØ Ô ÖØ Ð Ö ÒØ Ð ÕÙ Ø ÓÒ Ó Ð ØØ ÓÐØÞ¹ Ñ ÒÒ Ñ ÓÑÔÙØ Ö Ò Å Ø Ñ Ø Û Ø ÔÔÐ Ø ÓÒ ØÓ Ô¹ Ô Ö ¾¼¼ º Ä º Ù Ó Èº Ä ÐÓ º ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ ÓÖ ÒÓÒÐ Ò Ö ÝÔ Ö ÓÐ Ý Ø Ñ Ó ÓÒ ÖÚ Ø ÓÒ Ð Û ÈÖÓ Ò Ó Ø Ë ÓÒ ÁÒØ ÖÒ Ø ÓÒ Ð ÓÒ Ö Ò ÓÒ ÀÝÔ Ö ÓÐ ÔÖÓ Ð Ñ Ò ÖÑ Òݵ Å Ö ½ ÆÓØ ÓÒ ÆÙÑ Ö Ð ÐÙ Å Ò ÂÓ ÐÐÑ ÒÒ Ò ÊÓÐ Â ÐØ ØÓÖ µ ÚÓк ¾ Ô ¹½¼ Î Û Ö ÙÒ Û ½ º ÀÈ Íº Ö º À Ð Ö º ÈÓÑ Ù Ä ØØ ÙØÓÑ Ø ÓÖ Ø Æ Ú Ö ËØÓ ÕÙ Ø ÓÒ È Ý Ð Ê Ú Û Ä ØØ Ö ÚÓк Ò o ½ Ôº ½ ¼ ¹½ ¼ ½ º ÀÀÄÈÊ Íº Ö º ³ÀÙÑ Ö º À Ð Ö Èº Ä ÐÐ Ñ Ò º ÈÓÑ Ù ÂºÈº Ê Ú Øº Ä ØØ ÀÝ ÖÓ ÝÒ Ñ Ò ¾ Ò Ñ Ò ÓÒ ÓÑÔÐ Ü ËÝ Ø Ñ ÚÓк ½ Ôº ¹ ¼ ½ º Áº ÒÞ ÓÙÖ ÈºÅº Ð Öº ÓÙÒ ÖÝ ÓÛ ÓÒ Ø ÓÒ Ò ÐÝ ÓÖ ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ð ØØ ÓÐØÞÑ ÒÒ ÑÓ Ð ÂÓÙÖÒ Ð Ó È Ý ÁÁ ÚÓк Ôº ½ ½¹¾½ ½ º À¼ Áº ÒÞ ÙÖ º ³ÀÙÑ Ö º ÅÙÐØ Ö Ø ÓÒ ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ ÓÖ Ð ØØ ÓÐØÞÑ ÒÒ ÑÓ Ð È Ý Ð Ê Ú Û ÚÓк ÈØ ¾µ ¼ ½ Ñ Ö ¾¼¼ º Ê º Ó Ð Û Èº º Ê Ú Öغ ÆÙÑ Ö Ð ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ó ÝÔ Ö ÓÐ Ý Ø Ñ Ó ÓÒ ÖÚ Ø ÓÒ Ð Û ÔÔÐ Å Ø Ñ Ø Ð Ë Ò ÚÓк ½½ ËÔÖ Ò Ö ½ º ÀË º À Ù Ö Ëº Ë٠ʺ ÒÞ Ä ØØ ÝÒ Ñ Û Ø Ò Ò ÓÐÐ ÓÒ ÙÖÓÔ Ý Ä ØØ Ö ÚÓк Ò o Ôº ¹ ½ º ÀÀ ¼ º ÀÓÐÐ Áº À ÐÐ Ý ºÅº Ö º Ò Ò Ñ ¹ÓÒ ÖÚ Ò ÐÓ¹ ÙÖ Ñ ÓÖ Ð ØØ ÓÐØÞÑ ÒÒ ÕÙ Ø ÓÒ Ý ÖÓ ÝÒ Ñ ÂÓÙÖÒ Ð Ó È Ý Å Ø Ñ Ø Ð Ò Ò Ö Ð ÚÓк Ôº ½¼ ¹½¼ ¼½ ¾¼¼ º ÃÊ Åº ÃÖ ÞÝ º Ê Ò º È Ö ÐÐ Ð Þ Ä ØØ ¹ ËÓÐÚ Ö ÓÖ ÌÖ Ò¹ ÒØ Æ Ú Ö¹ËØÓ ¹ ÐÓÛ ÁÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ò Ë ÑÙÐ Ø ÓÒ Ê ÙÐØ ÁÒ¹

Ö ÒÓ Ù Ó Ò È ÖÖ Ä ÐÐ Ñ Ò Ø ÖÒ Ø ÓÒ Ð ÂÓÙÖÒ Ð ÓÖ ÆÙÑ Ö Ð Å Ø Ó Ò Ò Ò Ö Ò ÚÓк Ôº ½¾ ¹½¾ ½ º Äļ¼ Ⱥ Ä ÐÐ Ñ Ò ÄºËº ÄÙÓº Ì ÓÖÝ Ó Ø Ð ØØ ÓÐØÞÑ ÒÒ Ñ Ø Ó Ô Ö ÓÒ Ô Ø ÓÒ ÓØÖÓÔÝ Ð Ð Ò ÒÚ Ö Ò Ò Ø Ð ØÝ È Ý Ð Ê Ú Û ÚÓк ½ Ò o Ôº ¹ ¾ ¾¼¼¼º Äļ Ⱥ Ä ÐÐ Ñ Ò ÄºËº ÄÙÓº Ì ÓÖÝ Ó Ä ØØ ÓÐØÞÑ ÒÒ Ñ Ø Ó ÓÙ Ø Ò Ø ÖÑ Ð ÔÖÓÔ ÖØ Ò ØÛÓ Ò Ø Ö Ñ Ò ÓÒ È Ý ¹ Ð Ê Ú Û ÚÓк ¼ ¼ ¹½¹¾ ¾¼¼ º ÄÄ Äº Ä Ò Ù º Ä ØÞº ÐÙ Ñ Ò ÓÙÖ Ó Ì ÓÖ Ø Ð È Ý ÚÓк È Ö ÑÓÒ ÈÖ ÄÓÒ ÓÒ ½ º Äļ º Ä Ö Ò º Ä ÖÓ º ËØÓ ÒÑÓ Ò ÕÙ Ö ÓÑ Ò Ò Ø ØÖ Ñ ÙÒØ ÓÒ ¹ ÚÓÖØ ØÝ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÂÓÙÖÒ Ð Ó ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð È Ý ÚÓк ¾¼¼ Ôº ¹ ½½ ¾¼¼ º ÄË Êº Ä ÓÙÕ º ËÓÖ Ò Ò º Ò º ÊÈ Ã Í Ö ³ Ù ËÓ¹ ÐÙØ ÓÒ Ó Ä Ö ¹Ë Ð ÒÚ ÐÙ ÈÖÓ Ð Ñ Û Ø ÁÑÔÐ ØÐÝ Ê Ø ÖØ ÖÒÓÐ Å Ø Ó ËÓ ØÝ ÓÖ ÁÒ Ù ØÖ Ð Ò ÔÔÐ Å Ø Ñ Ø È Ð ÐÔ ½ º Å º Å Æ Ñ Ö º Ò ØØ Í Ó ÓÐØÞÑ ÒÒ ÕÙ Ø ÓÒ ØÓ ÑÙÐ Ø Ð ØØ ÙØÓÑ Ø È Ý Ð Ê Ú Û Ä ØØ Ö ÚÓк ½ Ò o ¾¼ Ôº ¾ ¾¹ ¾ ½ º Šʺ˺ Å Ö ÊºËº ÖÒ Ö ºÏº ÖÙÒ Ùº ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ ÓÖ Ø Ð ØØ ÓÐØÞÑ ÒÒ Ñ Ø Ó È Ý Ó ÐÙ ÚÓк Ôº ½ ¹½ ¼½ ½ º ÅÄË Êº Šĺ˺ ÄÙÓ Ïº Ë Ýݺ Ò ÙÖ Ø ÙÖÚ ÓÙÒ ÖÝ ØÖ Ø¹ Ñ ÒØ Ó Ø Ð ØØ ÓÐØÞÑ ÒÒ Ñ Ø Ó ÂÓÙÖÒ Ð Ó ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð È Ý ÚÓк ½ Ôº ¼ ¹ ¼ ½ º Æ ºÊº ÆÓ Ð Ëº Ò Âº º ÓÖ ÊºÇº Ù Ù º ÓÒ Ø ÒØ Ý ÖÓ ÝÒ Ñ ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ ÓÖ Ø Ð ØØ ÓÐØÞÑ ÒÒ Ñ Ø Ó È Ý Ó ÐÙ ÚÓк Ôº ¾¼ ¹¾¼ ½ º

ÇÒ Ð ØØ ÓÐØÞÑ ÒÒ Ñ Ò Ø ÚÓÐÙÑ Ò ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ È ¼ ˺ κ È Ø Ò Öº ÆÙÑ Ö Ð À Ø ÌÖ Ò Ö Ò ÐÙ ÐÓÛ Å Ö Û¹ À ÐÐ Æ Û ÓÖ ½ ¼º È º È Ò Àº º ÙÒ Ò Ëº Àº ÓÙº Ò Ø ÎÓÐÙÑ Ë Ñ ÓÖ Ø Ä ØØ ÓÐØÞÑ ÒÒ Å Ø Ó ÓÒ ÍÒ ØÖÙØÙÖ Å È Ý Ð Ê Ú Û ÚÓк Ôº ¹ ¾ ½ º ÉÀÄ ¾ ºÀº É Ò º ³ÀÙÑ Ö Èº Ä ÐÐ Ñ Ò Ä ØØ Ã ÓÖ Æ Ú Ö¹ ËØÓ ÕÙ Ø ÓÒ ÙÖÓÔ Ý Ä ØØ Ö ÚÓк ½ Ò o Ôº ¹ ½ ¾º ÊÓ ¾ Ⱥº ÊÓ º ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð Ù ÝÒ Ñ À ÖÑÓ ÔÙ Ð Ö ÈÇ ÓÜ ½ ¾ Ð ÙÕÙ ÖÕÙ ½ ¾º Í Ë¼ ˺ Í ÖØ Ò º ÐР˺ ËÙ º Ä ØØ ÓÐØÞÑ ÒÒ Ñ Ø Ó ÓÒ ÙÒ¹ ØÖÙØÙÖ Ö ÙÖØ Ö Ú ÐÓÔÑ ÒØ È Ý Ð Ê Ú Û ÚÓк ¼½ ¼½ ¾¼¼ º ÍË ¼ ˺ Í ÖØ Ò Ëº ËÙ º ÐÐ º Ä ØØ ÓÐØÞÑ ÒÒ Ñ Û Ø ÓÙØ ÓÓÖ Ò Ø È ÐÓ ÓÔ Ð ÌÖ Ò Ø ÓÒ Ó Ø ÊÓÝ Ð ËÓ ØÝ ÄÓÒ ÓÒ ÚÓк ¾ Ôº ½ ¹½ ½ ¾¼¼ º Ú Ë¼ ʺ º ź Ú Ò Ö ËÑ Òº Ð Ð Ò ÒÚ Ö ÒØ Ð ØØ ÓÐØÞÑ ÒÒ Ñ ÓÖ Ò ØÙÖ Ð ÓÒÚ Ø ÓÒ ÓÒ ÕÙ Ö Ò Ö Ø Ò ÙÐ Ö Ð ØØ È Ý Ð Ê ¹ Ú Û ÚÓк ¼¾ ¼ ¾¼¼ º Î º Î Ý ÙÒ Ö Ñº ÌÖ Ò ÓÒ ÓÛ ÑÙÐ Ø ÓÒ Ù Ò Ò ÙÔ ØÖ Ñ ÒØ Ö Ñ Ó Ó ÙÒÓÚ Ò Ò Ø Ð Ñ ÒØ ÂÓÙÖÒ Ð Ó ÓÑÔÙØ ¹ Ø ÓÒ Ð È Ý ÚÓк Ôº ½ ¹ ½ º