KIS MATEMATIKA. Bevezeő Fizikus vagyok, és azon belül is elmélei fizikusnak arom magam, mindemelle nagyon fonosnak arom a kísérlei fiziká is, ső magam is kísérleezem a graviáció erüleén. A maemaikával csak szükséges mérékben arom a kapcsolao. A legfonosabb állíás: sikeres fizika nem léezik maemaika nélkül. Ez Newon óa megcáfolhaalan ény, de már előe Galilei is számol, hogy egyszerű mérései aláámassza (mozgás lejőn, a gyorsulás képlee, sb.). Mind a kísérlei fizika, mind a maemaika fokozo óvaosságo köveel, ez soha nem szabad elfelejeni. Szerencsésnek arom magam, hogy a debreceni egyeemen (KLTE) végezem (nagyon régen: 97-ben), az oani különleges maemaika anáraimnak köszönheem a maemaika iráni iszeleeme és igényességeme. A udomány állíásai szigorúan bizonyíani kell, a bizonyíás módszerei a maemaika öbb évszázados hagyományainak ismereén kereszül lehe csak elsajáíani. A maemaika az alap, melyre minden műszaki-fizikai udományos kuaás épül. Tapaszalaaim szerin, aki nem szerzi meg a maemaikai alapoka kellő időben (elég fiaalon), az már később sosem udja póolni (eseleges kivéelek persze léezhenek, ami csak megerősíi állíásoma). A maemaikus erények sok eseben hárányoka is jelenenek. A színisza maemaikai gondolkodás hajlamos elszakadni a valóságól, ponosabban a valóság igényeiől. Kellenek a fizikusok, a mérnökök, a vegyészek és más olyanok, akik a gyakorlaban hasznosíják a maemaiká, és jelzik az igényeike a maemaikusoknak, akik inkább szerenek a sajá maguk álal kiépíe elefáncsonornyukban maradni. A jelen dolgozaomban éppen egy olyan alkalmazo maemaikai problémára ualok, ami remélheően csak időleges probléma marad. A maemaikusok, fizikusok, mérnökök évszázadokon kereszül papíron, ceruzával számolak, egészen az elmúl ké-három évizedig. Forradalmi válozás jelene a számíógép megjelenése, ma már a számíógépek eljesíménye, gyorsasága és ponossága minden képzelee felülmúl. Ennek ellenére a maemaikus ársadalomban még mindig megmarad a öbb évszázados radíció, a numerikus számíások erjedelmének csökkenési igénye, de leginkább elkerülése. Csak olyan maemaikai problémákkal foglalkozak évszázadokon kereszül még a nagynevű maemaikusok is, amelyek analiikus alakban megoldhaók. Arra örekedek, hogy például a differenciálegyenleek megoldásá jól ismer, analiikus függvényekkel lehessen megadni (ilyen analiikus függvények például az exponenciális, rigonomerikus függvények és ezek inverzei). Emlékezeek arra, hogy középiskolában a maemaikai példaárak kizárólag előre gyáro feladaoka aralmazak, melyek analiikusan, zár alakban, az ismer függvényekkel megoldhaók volak. Ebben ermészeesen nincs semmi kivenivaló, hiszen a cél éppen a maemaikai ismereek, módszerek ( a maemaikai kézügyesség ) elsajáíása. A számíógépek megjelenése, min álalában minden új alálmány, óriási leheőségeke nyio meg a maemaikában is, és ermészeesen káros mellékhaásokkal is jár. A számíógép előnyei mindenki jól ismeri, a furcsa hárányai közö emlíendő a számíógép függőség kialakulása. De mos egészen más hárányára szerenék rámuani, i a maemaikai gondolkodás elnyomására gondolok. A legismerebb példa az EXCEL program, ami felhasználóbará, de az alkalmazóka leszokaja arról, hogy sajá maguk készísenek számíógépes programoka a sajá speciális igényük kielégíésére. Ennek még durvább példái is vannak, amikor jó pénzér lehe kapni olyan speciális fizikusi, mérnöki, kémiai, biológiai, sb. programcsomagoka, melyekbe csak be kell áplálni a kiinduló adaoka és a gép minden kiszámol. A programcsomag működése, minősége, eseleg hibái persze rejve maradnak, ellenőrzésükre semmi leheőség. Az ember alapveően lusa (jómagam is), vakon bízik a gyári programokban, megnyugava magá azzal, hogy mások is ez használják. Így vagyunk speciálisan a differenciálegyenle megoldó programokkal is. Ennek hosszú ávú kövekezménye az lehe, hogy KIS MATEMATIKA Sarkadi Dezső 9. április
a lexikális udás köveelő egyeemek, főiskolák lassan nem arják fonosnak a maemaikai alapudás, készség áadásá, hivakozva az egyszerűbb számíógép használara. Ami számomra fájdalmas, hogy a maemaika lassan szofveres árucikkre degradálódik, és persze mellékesen a szellemi ermék haszná nem a programozó zsebeli be, hanem az üzleember, aki az Inerneen árulja a poréká. Az ellenmondások, a problémák felsorolásá nem szereném i folyani, aki benne van a szofver világában, ezeke jól ismeri. A jelen munkában egy első ránézésre egyszerűnek űnő maemaikai problémá, illeve annak megoldásá muaom be. Mene közben derül ki, hogy az ördög a részleekben van, és a részleek sok fejörés okoznak a fizikusnak, aki inkább a fizikai problémával szerene foglalkozni és nem a maemaikával birkózni. A fáradságos évuaka nem akarom ismereni, csupán a nehezen kiizzado eredményeime szereném i közkinccsé enni.. A graviációs kísérle A graviációs kísérleeime, a néhai Bodonyi László nyomán, fizikai ingával végezem. A mérés megbízhaóságának növelése céljából, különböző fizikai meggondolások alapján a kvázirezonancia mérés módszeré válaszoam. A mérési elrendezés vázlaa a kövekező: posiion deecor elecronics M=4 kg 5 m R aluminium arms k s C k COMPUTER M=4 kg kg 4 kg roundable.. ábra: A kvázirezonancia mérés vázlaa A fizikai ingá semaikusan ábrázolam, alsó, illeve felső ömege 4-4 kg ömegű ólomégla. Az ábrán láhaó kör alakú forgaó aszal keményfából készül az eseleges szaikus mágneses haások elkerülése céljából (az aszal anyaga készíheő bármely, nem ferromágneses anyagból is: pl. réz, alumínium, sb.). A köraszal ámérője egy méer. Az aszal forgaásá egy 5 W-os eljesíményű egyenáramú moor bizosíja vékony gumiszíjon kereszül, a moor fordulaszáma elekronikusan szabályozhaó. A köraszalon úgy helyezem el a forrásömegeke, hogy azok leheőleg minél közelebb legyenek az inga alsó ömegéhez (közelíő felüleek ávolsága kb. 4-5 ceniméer). A forgaó aszal és a meghajómoor vibrációs zaja a gumiszíjas meghajás mia csekély, és gyakorlailag ovábbra sem hao az ingára, mivel az inga felfüggeszése a mennyezeen örén. A mérési vázla könnyebb érheősége mia nincs felüneve az inga hidraulikus csillapíója és az árnyékoló vaslemez, mely az ingá árnyékolja az eseleges mágneses haásokól, valamin a forrásömegek álal kele gyenge levegőáramól. A mérés során a villanymoor fordulaa a nulláról indul, és nagyon lassan emelkedik, auomaikus vezérléssel. A köraszal 8-9 másodperces fordulaánál az inga graviációs rezonanciába kerül a ké mozgásban lévő forrásömeggel. KIS MATEMATIKA Sarkadi Dezső 9. április
Egy ilyen mérés grafikonjá muaja a.. ábra: 8 A [mm] 6 4-5 5 5 3 35-4 -6-8 - - [s].. ábra: Egy kvázirezonancia mérés eredménye Az ábra az inga mozgásá muaja az idő függvényében. Beláhaó, hogy egy-egy sikeres mérés elvégzése rendkívüli ürelme igényel, alaposan elő kell készíeni. A mérés csak szélcsendes időben végezheő, ugyanis a légszigeel helyiség ellenére a külső, nagyömegű légáramlaok erős dinamikai graviációs zavaroka okozhanak a mérésben. A mérés műszaki részleeiről i nem kívánok beszámolni, honlapom graviációs fejezeében részleesen írok a graviációs kísérleeimről. A fizikai ingás graviációs kísérleek számos meglepő eredményre vezeek, aminek részleeivel i nem foglalkozom. Ké meglepő dolog azonban a jelen íráshoz kapcsolódik: a graviációs erő nagyságrendekkel nagyobbnak adódo, min ami Newon örvényéből kövekezne. A másik lényeges apaszala, hogy a graviációs erő egyérelműen sebességfüggő. Mindezekből kövekezik, hogy Newon örvénye csak speciális, az eddigi, héköznapi apaszal eseekben érvényes. A fizikai ingás mérés egy különleges fizikai állapoo valósí meg, ugyanis a fizikai inga lengésidejének leheő legnagyobb mérékű megnövelése a fizikai ingák ömegére haó földi graviációs ere fokozaosan kikapcsolja. Másképpen fogalmazva, ezzel az egyszerű módszerrel az ingaömegeke közel a súlyalanság állapoába visszük. Az eddig alkalmazo hagyományos graviációs kísérleekben viszon ez a körülmény nem áll fenn. Szükségszerű ehá, hogy Newon graviációs örvényé álalánosísuk a súlyalanság körülményére is. Jelenleg ugyanis az a évhi uralkodik a fizikában, hogy Newon örvénye univerzális, minden körülmények közö érvényes. A fizikai ingás kísérleeim ez egyérelműen cáfolják. Kérdés, hogyan álalánosísuk Newon örvényé, mely speciális eseben lényegesen erősebbnek muakozik (a graviációs állandó nagyságrendekkel nagyobb), illeve hogyan vegyük figyelembe a sebességfüggés. Newon második örvénye érelmében egyszerűen képezzük a mér ingamozgás időfüggvényének második deriváljá, ami megszorozzuk a fizikai inga effekív mozgó ömegével, és így elvileg megkaphajuk az álalánosío graviációs erőörvény. A gyakorlaban ez az egyszerű ú egyelőre járhaalannak űnik. A nagy lengésidejű fizikai inga, lényegi működésének kövekezében, mozgása erősen zavarokkal erhel. Ez a problémá elvi okból a leggondosabb kísérlei kivielezésnél sem lehe elkerülni. Maemaikai úon meg udjuk haározni az ingára haó graviációs erő időbeli függésé, de ebből még nem 3 KIS MATEMATIKA Sarkadi Dezső 9. április
udunk egyérelműen kövekezeni a graviációs erő ávolság, illeve sebesség függésére. Ehhez az ingamozgáson kívül ponosan kellene mérni a forrásömegek időbeli helyzeé és sebességé is, de erre nem vol leheőségem a szerény műszaki feléelek melle. Ha mégis, opimális eseben, minden mérési ada rendelkezésemre állna, akkor sem udnám auomaikusan megadni az álalánosío graviációs örvény. Ehhez ugyanis még ovábbi, kiegészíő elmélei meggondolások is szükségesek. Nem is beszélve arról, hogy a mérések a graviációs aszíás időleges jelenléé is kimuaák. A kvázirezonanciás mérés lényegé ekinve egy időben erősen válozó, dinamikus mérés. Szaikus graviáció mérésére a fizikai inga, érzékelensége mia nem alkalmas. Az ingamozgás mérési adasorából azonban számos kövekezeés viszonylag gyorsan levonhaó. Fourier ranszformációval (FFT) meg lehe haározni a méréshez arozó domináns frekvenciáka. A Fourier analízis például kimuaa, hogy az inga ömeggel egyenlő 4 kg-os forrásömeg graviációs haása egy nagyságrenddel kisebb, min a kg-os forrásömeg haása. Ez önmagában ellenmond Newon örvényének. Végül az ingamozgás kiérékelése céljából egy maemaikai modell állíoam fel, amelyben az álalánosío (dinamikus) graviációs örvény alakjá a leheő legegyszerűbbre válaszoam meg. A modell kiszámíja az inga elmélei mozgásá, ami össze udok hasonlíani a mér ingamozgással. A modellben eszőlegesen udom válozani az erőörvény alakjá, mindaddig, amíg elérem a mér és számío mérési adaok közelíő egyezésé. A módszer alapján, viszonylagos bizonsággal meg udom adni a dinamikus graviáció erőörvényé. Ez a program már a kezdeben sikeresnek bizonyul, de a ovábbi ponosíásokhoz ovábbi mérések, kísérleek elvégzése elengedheelenül szükséges. Ehhez nagyon kívánaos még a mérési echnika ovábbfejleszése, a megfelelő laboraóriumi körülmények bizosíása. 3. A maemaikai modellezés A fizikai inga csillapío harmonikus oszcilláorral modellezheő, amennyiben az inga kiérése kicsi az inga karhosszúságával összehasonlíva. A csillapío harmonikus oszcilláor differenciálegyenlee: && x+ λ x& + x=, (3.) ahol λ az inga csillapíási ényezője és = k/m az oszcilláor frekvenciája. Az inga a súrlódás mia exponenciálisan csökkenő periodikus mozgás végez, az inga a mozgási energiájá folyamaosan disszipálja. Az ingá fékező erő az inga pillananyi sebességével arányos. A graviációs gerjeszés haására az inga ampliúdója idővel beáll egy közel állandó érékre, mivel a graviációs gerjeszés folyamaosan póolja az inga energiaveszeségé. A fizikai inga gerjeszésé leíró másodrendű, inhomogén differenciálegyenlee (3.) kiegészíésével kapjuk: && x + λ x& + x= f( ), (3.) ahol f() = F() / m * a gerjesző erősűrűség, i m * az inga effekív mozgó ömege. A (3.) differenciálegyenle maemaikai elnevezése: közönséges, másodrendű, lineáris, állandó együhaós, homogén differenciálegyenle. A közönséges szó az jeleni, hogy nem parciális differenciálegyenle. (Elnézés kérek az Olvasóól, de hagyakoznom kell a korábbi, némi maemaiká anul emlékekre, ezér nem árulom el, mi jelen a parciális jelző. Akikben azonban semmiféle maemaikai emlék nem marad a rosszon kívül, azoknak sajnos nem udom ajánlani a ovábbi elmerülés a ovábbi maemaikai szépségekben.) A (3.) differenciálegyenle maemaikai elnevezése: közönséges, másodrendű, lineáris, állandó együhaós, inhomogén differenciálegyenle. A (3.), illeve (3.) egyenleek analiikus megoldásai már az elekronikus számíógépek megjelenése elő jóval régebben ismerek volak. Az meg kell emlíeni, hogy azér álalános alakú f() gerjesző függvényre valószí- KIS MATEMATIKA Sarkadi Dezső 9. április 4
nűleg nincs álalános, zár analiikus megoldás. Már sok alkalommal, öbb órá ölöem el Inernees keresgéléssel, hogy magyar, vagy angol nyelven aláljak a (3.) egyenlere álalános megoldás, sajnos még eddig nem sikerül alálnom. Kérem ezér a szakmabeli Olvasóka, ha ilyenről udnak, felélenül írják meg nekem, előre is megköszönöm. A maemaika ankönyvek szerin a (3.) inhomogén egyenle megoldása radicionálisan a kövekező módon örénik. Először meg kell keresni a (3.) homogén egyenle álalános megoldásá. Az álalános megoldás érheően a csillapíási ényezőől, illeve az oszcilláor sajáfrekvenciájáól függ. A ankönyvek részleesen árgyalják a különböző eseeke, melyek az emlíe konsans paraméerekől függnek. A fizikai inga szabad mozgásá egy csillapodó lengés jellemzi, ilyen eseben az álalános megoldás: ( ) ( ) x () = Aexp λ sin + α, (3.3) ahol A, illeve alfa a kezdőfeléelek álal meghaározo állandók, a másodrendű differenciálegyenle ké inegrációs állandója. A csillapodó lengés frekvenciája kisebb a csillapíalan lengés frekvenciájánál: = λ >. (3.4) A (3.) inhomogén (gerjesze) differenciálegyenle álalános megoldása bizonyíhaó maemaikai éel szerin oly módon adhaó meg, hogy a (3.) egyenle álalános megoldásához hozzáadjuk az inhomogén egyenle egy parikuláris megoldásá. A (3.) álalános megoldása ala azon megoldások köré érjük mos, mely (3.3)-nak megfelelő, csillapodó lengésnek felel meg. A maemaikusok (ankönyvek) gyakorlaa szerin a (3.) inhomogén egyenleben az f() gerjeszési függvény analiikusan megválaszo. Ráadásul még a kövekező feléeleke elégíi ki: IDÉZET: (GRÄFF JÓZSEF, BME Gépészei Kar, 4) Az f() függvény csak olyan agokból áll, amelyeknek csak véges számú lineárisan függelen deriváljuk van. Ez másképpen az jeleni, hogy e függvények deriváljai egy idő uán vagy arányosak lesznek az eredei függvénnyel, vagy nullává válnak. Az első feléelnek megfelelő függvények: α exp β, α sin β, α cos β, α sh β, α chβ. Hiperbolikus függvények eseén azok e-ados alakjá kell használni. A második feléelnek a polinomok felelnek meg. Természeesen nem csak a felsorol függvények megfelelőek, hanem eszőleges lineáris kombinációjuk azaz szorzaaik, és ezek összegei is. Ha az f() függvény a fen leírak szerini, akkor a parikuláris megoldás hasonló lesz hozzá, azzal a kiegészíéssel, hogy minden olyan deriváljá szerepeleni kell, amely elér őle. Exponenciális függvény eseén nincs ilyen, hiszen ez a függvény arányos a sajá deriváljával, szinusz, vagy koszinusz eseén mindkeőnek szerepelni kell, hiperbolikus függvényeknél az e-adnál leírak szerin kell eljárni, mivel az e-ados alakjuka kell használni, polinomoknál pedig az összes a legnagyobb kievőnél kisebb kievőjű ago. Abban az eseben, ha valamelyik ag szerepel a homogén álalános megoldásban (rezonancia), ugyan úgy kell eljárni, minha a homogén megoldásban öbbszörös gyök lenne, azaz legkisebb még nem szereplő haványával kell szorozni. IDÉZET BEZÁRVA KIS MATEMATIKA Sarkadi Dezső 9. április 5
A bonyolulan hangzó idéze jól ükrözi a Bevezeőben leíraka, miszerin a maemaikusok ragaszkodnak az analiikus függvények használaához. Ez rendben is volna akkor, ha az újabb maemaikai ankönyvek már aralmaznának a modern (rohanó) világo érdeklő, könnyen számíógépre viheő numerikus megoldási módszereke is. A felhasználónak ugyanis elemi érdeke a megoldási módszerekhez való gyors hozzájuás az éppen akuális mérnöki, vagy fizikai problémák számíógépes modellezéséhez. A hiábavaló keresgéléseim az Inerneen az muaják, hogy egyelőre eől még nagyon messzi vagyunk. Ilyenkor mi esz a mérnök, vagy fizikus: Magad uram, ha nincs szolgád. Pedig a jelen munkában felvee maemaikai probléma megoldása uólagosan végelenül egyszerű, ez adom közre mások segíésére is a kövekezőkben: Az állandó együhaós differenciálegyenleek megoldásának legegyszerűbb úja az ún. Laplace ranszformációs módszer. A (3.) inhomogén differenciálegyenle Laplace ranszformációval algebrai egyenleé alakíhaó á: KIS MATEMATIKA Sarkadi Dezső 9. április ( s + λ s+ ) x( s) = f( s), (3.5) ahol s valós válozó. Az (3.5) algebrai egyenle abban az eseben áll fenn, ha az inga helyzee és sebessége a = időponban zérus: x() = ; x() = &. (3.6) Az inga mozgásá az x() függvény írja le, melynek Laplace ranszformáljá az (3.5) egyenleből kapjuk egyszerű oszással: f() s x() s = f() s g() s s + λ s+, (3.7) ahol g(s) az (3.5) egyenle súlyfüggvénye, vagy más elnevezéssel ávieli függvénye: gs () = s + λ s+ s + λ +. (3.8) ( ) ahol az inga súrlódás mia csökken szögsebessége (3.4)-gyel azonos: = λ >. (3.9) Az x() ingamozgás leíró megoldás az (3.7) egyenle inverz Laplace ranszformációjával kaphaó meg. A Laplace ranszformáció elmélee szerin: x( ) = f( τ) g( τ) dτ f( τ) g( τ) dτ, (3.) ahol a g() függvény elnevezése: Green függvény. A (3.) inegrál a Laplace ranszformáció elméleében konvolúciós inegrálnak nevezik. A (3.8) súlyfüggvény inverz Laplace ranszformálja szerencsére ismer a Laplace ranszformációs áblázaokból: 6
KIS MATEMATIKA Sarkadi Dezső 9. április β exp( α) sin β, (3.) + α +β ( ) s melynek ismereében a g(s) súlyfüggvényhez arozó Green függvény (időfüggvény): g () = exp( λ) sin. (3.) Ennek az inga mozgása f() gerjesző erősűrűség függvényében (3.) szerin: x() = f(τ)exp[ λ( τ) ] sin ( τ)dτ (3.3) amely csak a (3.6) kezdei feléelek eljesülése eseén érvényes. A képleben omega az inga súrlódás mia csökken szögsebessége, lambda az inga súrlódási ényezője. Ezek a paraméerek a mérésből öbbé-kevésbé ponosan meghaározhaók. Megjegyzem, hogy a kapo eredmény dimenzionálisan is helyes, hiszen az inga x() kiérésének dimenziója hosszúság, SI-ben méer. Az inegrandusban az f() erősűrűség dimenziója SI-ben m/s, azaz gyorsulás. Az időszerini inegrálás kieji a nevezőben lévő egyik időegysége, az / omega szorzó pedig kieji a nevezőben lévő második időegysége is. 4. A numerikus megoldás módszere A (3.3) inegrál, egyszerűsége ellenére, elég ijeszőnek űnik. A gyakorlai alkalmazásokban diszkré minavéeli jelekkel foglalkozunk, ehá a (3.3) inegrál közelíő összeggel kell helyeesíeni. Szerencsére a kísérleeimben az inga mozgása, illeve a forgó köraszal mozgása szükségszerűen igen lassú, így a másodperces minavéeli idő is elegendő számíási ponosságo bizosí. Az eddigi vizsgálaaimban a gerjeszési függvény a graviációs erősűrűségnek felel meg, amelye elmélei úon kell úgy meghaározni, hogy a (3.3) képleel számío ingamozgás hasonlíson a mér ingamozgáshoz. A numerikus inegrálás céljából célszerű bevezeni a kövekező komplex inegrál: X() = f(τ)exp [ z( τ) ] dτ; ( z = i λ), (4.) amelynek a képzees része azonos a (3.3) megoldással: x () = Im X() f(τ )exp[ λ( τ) ] sin( τ)dτ (4.) A (4.) inegrál egyszerű rekurzióval számíhaó, ez igazolom a kövekezőkben. Írjuk fel a (4.) inegrál közelíésé T minavéeli idővel: NT X(N T) = f(τ)exp [ z(n T τ) ] dτ; ( z = i λ) (4.3) 7
Képezem a kövekező különbsége: N+ N+ N + X(N + ) exp( z) X(N) f(τ)exp[ z(n + τ) ] dτ exp( z) f(τ)exp[ z(n τ) ] dτ f(τ)exp[ z(n + τ) ] dτ f(τ)exp[ z(n + τ) ] dτ T f(τ)exp[ z(n + τ) ] dτ f( N + ) N N N (4.4) A T minavéeli idő jelölésé elhagyam az egyszerű jelölés mia. A közelíés feléelezi, hogy a gerjeszési erő válozása kicsi a T minavéeli időn belül. A megado közelíés alapján a rekurziós számíás (numerikus eljárás) egyszerűnek adódik: T X (N )T X(NT) zt f (N )T exp( zt ) exp( i λ) T [ + ] exp( ) + [ + ] ( ) exp( λ) cos T + isin T = cons! (4.5) I T a minavéeli idő, omega pedig az inga mérheő körfrekvenciája: ( p ) = π / T ; T = az inga lengésideje (4.6) p A kezdei feléel fonos, mely bizosíja a (4.5) rekurzió érvényességé: X( = ) Re X() = Im X() = (4.7) A gerjesze inga sacionárius állapoú lengése: ( ) x () xn ( T) = Im X( N T); N (4.8) A kvázirezonanciás graviációs mérésnél öbbek közö felmerül egy olyan kellemelen jelenség, hogy az inga lengési frekvenciája nagy lengésidők eseén erősen függ az inga ampliúdójáól. A mérések az muaják, hogy az inga lengésideje jó közelíésben arányosan nő a lengési ampliúdóval. A graviációs gerjeszés fokozaosan energiá visz bele a rendszerbe, ami egyre növeli az inga ampliúdójá, minek kövekezében az inga kiesik a szinkronból, így a gerjeszés az inga kaoikus mozgásához veze. Ennek elkerülése céljából válaszoam a gerjeszési periódus az inga lengésidejének öbbszörösére, amivel sikerül csökkeni a frekvenciamodulációból eredő problémá azzal, hogy a graviációs energia-áadás méréké csökkeneem. Ezér is nevezem el a mérés kvázirezonancia mérésnek. A gerjesze fizikai inga sikeres maemaikai modellezése során soka anulam, fonos apaszalaoka szerezem: KIS MATEMATIKA Sarkadi Dezső 9. április 8
A graviációs kísérle modellezése a (3.) differenciálegyenleel első nekifuásra egyszerűnek űn, és csak a modell alkalmazása során jöek elő a nehézségek, elsősorban az inhomogén differenciálegyenle numerikus inegrálásával kapcsolaban. Kiderül, hogy a (3.) differenciálegyenle egyszerű számíógépes inegrálásához elkerülheelenül komplex függvény (konkréan Euler képleé) kelle alkalmazni. Úgy gondolom, hogy puszán valós függvényekkel a probléma megoldása lényegesen komplikálabb le volna. Döbbenees az, hogy egy egyszerű fizikai probléma, egy rezgő rendszer külső gerjeszésének maemaikai modellezéséhez a komplex függvényan bevonására van szükség. Ez újra aláámaszja a komplex számfogalom (komplex maemaika) jelenőségé a ermésze leírásában, speciálisan a fizikában. A kísérleben megjelenő frekvencia-modulációs jelenség még ovább bonyolíja a maemaikai modell. További feladao jelen még a jövőben annak számszerű jellemzése, hogy a modellből kövekező elmélei ingamozgás mennyire felel meg (mennyire korrelál) a mér ingamozgásnak. A műszaki gyakorlaban ez egy külön udományág, a grafoanaliikus idenifikáció, amikor egy valóságos fizikai rendszer ávieli függvényé grafikus módszerekkel haározzák meg. Összefoglalva: az ördög valóban a részleekben van, ez sosem szabad elfelejenünk. 5. Rezonancia A jelen anyag eljessé éele érdekében röviden ismereem a mechanikai rezonancia jelenségé, amely szorosan kapcsolódik a feniekben ismeree gerjesze rezgések (kényszerrezgések) maemaikájához. A rezonancia jelensége azokban az eseekben lép fel, amikor a rezgő rendszer (speciálisan inga) sajáfrekvenciája közelíőleg megegyezik a külső gerjesző erő frekvenciájával. A rezonancia maemaikai modellje a (3.) speciális esee: && x + λ x& + x= f sin, (5.) amelynek bizonyíhaóan álalános megoldása analiikus: λ () x = Asin( δ ) + Ce sin( +α); λ<!. (5.) A képleben szereplő konsansok az (5.) másodrendű differenciálegyenle ké függelen inegrációs állandójával fejezheők ki. Az frekvencia a rezgő rendszer (pl.inga) sajáfrekvenciája, pedig a gerjeszés frekvenciája. Az (5.) álalános megoldás első agja az (5.) inhomogén egyenle parikuláris megoldása, míg a második ag a homogén rész álalános megoldása. Sacionárius állapoban az (5.) megoldás második agja a csillapodás mia elűnik, ehá az (5.) differenciálegyenle sacionárius megoldása: amely ké inegrációs állandó aralmaz: A f ( ) x ( ) = Asin( δ ), (5.3) λ = ; g δ= ; = λ + 4λ. (5.4) KIS MATEMATIKA Sarkadi Dezső 9. április 9
A sacionárius ampliúdó a csillapíás korláozza. Ha a gerjeszési frekvencia megegyezik az rezgőrendszer (pl. inga) sajáfrekvenciájával, akkor lép fel a rezonancia jelensége. Rezonancia eseén a rezgés ampliúdója maximális. A ermészeben számos rezonancia jelenség előfordul, ennek részleeire i mos nem érek ki. Kiemelendő a rezonancia-kaaszrófa jelensége, aminek sokszor idéze példája egy híd leszakadása az USÁ-ban, 94-ben, amelye egy erős szélvihar álal kele rezonancia okozo (Tacoma Narrows Bridge). A részleekről i olvashaunk: hp://en.wikipedia.org/wiki/tacoma_narrows_bridge A δ fázisolásnak fonos fizikai jelenése van, amely ugyancsak függ a gerjeszés frekvenciájáól. A fizikai kép alapján ermészees, hogy a gerjesze fizikai rendszer rezgési (lengési) fázisa mindig késik a gerjesző erő fázisához képes. Az elmélei számíásoka a gyakorla is igazolja: a kényszerrezgés δ fáziskésése kis -nál közel nulla, rezonancia eseén ponosan π/, majd növekedésével π felé ar. A rezonancia-kaaszrófa jelensége mögö egyszerű fizikai aralom húzódik meg, ugyanis rezonancia eseén a gerjeszés időben állandó energiá áplál be a rezgő rendszerbe. A rezgő rendszer π/ fáziskéséssel kövei a gerjesző erő: f () = f sin f sin ( ) x() = Asin π/ Acos x &() = v () = A sin (5.5) A gerjesző erő iránya minden pillanaban megegyezik a rezgő rendszer sebességének irányával, ami a rezgő rendszer folyamaos energianövelésé okozza. A rezgő rendszerbe folyamaosan bevi eljesímény: KIS MATEMATIKA Sarkadi Dezső 9. április P ~ f( ) v( ) = Af sin. (5.6) A rezgő rendszer energiájá a λ csillapíás korláozza, a bevi energia disszipálódik (hővé alakul). Ha a λ csillapíás kicsi, ekkor a rezgő rendszer energiája folyamaosan növekszik, ami rezonancia-kaaszrófához veze.