HARMADIK RÉSZ / 5. FEJEZET A RUSSELL-FÉLE LÉTEZÉSI PARADOXON

HARMADIK RÉSZ / 5. FEJEZET A RUSSELL-FÉLE LÉTEZÉSI PARADOXON C: \ WORDWO80 SELENE PR_F_DIAMANT VVxxx vv05xxx.doc 97792 14327 2063 9 2011.08.11. 09:48:45 1 / 13

TARTALOMJEGYZÉK HARMADIK RÉSZ / 5. FEJEZET...1 TARTALOMJEGYZÉK...2 5. A RUSSELL-FÉLE LÉTEZÉSI PARADOXON...3 5.1. INDIVIDUÁLIS OBJEKTUMOK AZ EGZISZTENCIÁLIS KVANTOR HATÓKÖRÉBEN...3 5.2. FREGE ÁLLÁSPONTJA AZ INDIVIDUÁLIS OBJEKTUMOKRA VONATKOZÓ EGZISZTENCIA-KIJELENTÉSEKKEL KAPCSOLATBAN...5 5.3. A RUSSELL-FÉLE LÉTEZÉSI PARADOXONHOZ VEZETŐ ÉRVELÉS...5 JEGYZETEK...9 C: \ WORDWO80 SELENE PR_F_DIAMANT VVxxx vv05xxx.doc 97792 14327 2063 9 2011.08.11. 09:48:45 2 / 13

5. A RUSSELL-FÉLE LÉTEZÉSI PARADOXON 5.1. Individuális objektumok az egzisztenciális kvantor hatókörében Az egzisztenciakijelentések grammatikai sajátosságainak előzetes áttekintése után az elkövetkezőkben a (a), illetve a (a) alakú (logikai szerkezetű) kijelentéseket vizsgáljuk logikai szempontból, azaz azokat az eseteket, amikor az egzisztenciakvantor hatókörében individuális objektumot jelölő individuumnév szerepel. Ezeknek a formuláknak olyan természetes nyelvi mondatok felelnek meg, mint például a már idézett A Pegazus létezik. vagy éppenséggel ezen mondat negáltja A Pegazus nem létezik. kijelentés. A mindennapi nyelvhasználat során számtalan hasonló alakú, logikai struktúrájú mondat hangzik el különböző beszédhelyzetekben, s az ilyen mondatok sem a közlő, sem a befogadó számára nem problematikusak. Az interakció résztvevői pontosan értik e mondatok jelentését, s e mondatok grammatikai szempontból, vagy nyelvhelyességi szempontból sem problematikusak. Behatóbb logikai analízis alapján azonban hamar nyilvánvalóvá válik, hogy ezen látszólag egyszerű mondatok, kijelentések milyen problémákat vetnek fel. A kérdéses mondatokban a létezik kifejezés individuális objektumokra vonatkozik, e mondatok grammatikai szubjektuma individuumnévvel megnevezett individuális objektum. Ezekre vonatkozik az állítás. A mondatok grammatikai predikátumaként a létezik kifejezés szerepel. A kérdéses kijelentések logikai analízise első lépéseként a kijelentés egyik fő alkotóelemét vizsgáljuk, a kijelentésekben szereplő individuumnév mibenlétét tisztázzuk. Az individuumnevek azok az értelemmel bíró nyelvi kifejezések, amelyek segítségével individuális objektumok nevezhetők meg. Az individuális objektum kifejezést abban az értelemben használjuk, ahogyan Frege a tárgy kifejezést használta. Frege tulajdonképpen indirekt módon határozta meg a logikai értelemben vett tárgy mibenlétét. A Függvény és fogalom című tanulmányában ([62]) a következőket írta erről: Miután a tárgyakat korlátlanul megengedtük argumentumként és függvényértékként, az a kérdés, hogy mit is nevezünk itt tárgynak. Lehetetlennek tartok egy iskolás definíciót, mert itt valami olyannal van dolgunk, amely egyszerűségénél fogva nem enged logikai felbontást. Csak utalni lehet arra, amire gondolunk. Röviden csak ennyit lehet mondani: Tárgy minden, ami nem függvény, tehát aminek a kifejezése nem jár együtt üres hellyel. ([62] ; 120) és a zárt rész jelöletét tárgynak nevezzük, a kiegészítésre szoruló, kitöltetlen vagy predikatív rész jelöletét fogalomnak. ([64] ; 154) A tárgy a gondolkodás számára adott, az, ami elgondolt. Church meghatározása szerint a tárgy az, ami megnevezhető. Ebben a felfogásban az individuális objektumokon túlmenően a tulajdonságok, a viszonyok is tárgyak, amennyiben megnevezettek, azaz amennyiben a gondolkodás objektumává lesznek. Church felfogásában tehát a tárgy mindaz, ami a gondolkodás objektuma lehet. Ahhoz, hogy valami a gondolat tárgyává tehető legyen, azaz elgondolható legyen, ahhoz azt meg kell nevezni. Ez alól kivételt képeznek azok az esetek, amikor a gondolat tárgyának nyelvi megnevezése helyett osztenzív meghatározással (azaz rámutatással) történik a gondolkodás szóban forgó tárgyának azonosítása, meghatározása. Ebből következően bármi, ha megnevezetté válik, úgy egyben a gondolkodás tárgyává, azaz elgondolttá válik. Ekkor neve az individuumnevek szemantikai kategóriájába tartozik. A gondolkodás tárgyává, a gondolat objektumává csak az válhat, ami minőségileg többékevésbé meghatározott, azaz eléggé meghatározott ahhoz, hogy minden más egyébtől C: \ WORDWO80 SELENE PR_F_DIAMANT VVxxx vv05xxx.doc 97792 14327 2063 9 2011.08.11. 09:48:45 3 / 13

elkülöníthető legyen. A gondolkodás egyik legfontosabb alapelve a tárgyak önmagukkal való azonosságának a feltételezése. Ez az elv nincs ellentmondásban a gondolat tárgyává tett - reális téridőbeli léttel bíró - objektumok állandó és szakadatlan változásával. A tárgy szűkebb értelmezésben az individuális objektumokkal azonos, e fogalommal szinonim kifejezés. E felfogásnak megfelelően a tárgyakkal szemben a predikátumok, a kijelentésekben állított szituációk nem tárgyak. A < van szép > vagy a < van nagyobb mint > predikátumok valamint a ' szép ' szó által képviselt predikátum, illetve a ' nagyobb mint ' kifejezés által képviselt predikátum különböző szemantikai kategóriákba tartoznak. Ugyanez a helyzet valamely állítást kifejező mondat és az adott mondatot jelölő megnevezés (individuumnév) esetében. Ahogy Frege fogalmazott: Logikai vizsgálatokban gyakran van arra szükségünk, hogy egy fogalomról állítsunk valamit, és ezt az állítások szokásos formájába öltöztessük, hogy tudniillik az állítás a grammatikai predikátum tartalma legyen. Ezek után azt várnánk, hogy a grammatikai szubjektum a fogalmat jelölje, de az, predikatív természeténél fogva nem léphet fel minden további nélkül így, hanem először tárggyá kell alakítanunk, vagy pontosabban szólva egy tárggyal kell helyettesítenünk, amelyet a fogalma kifejezés beiktatásával jelölhetünk, pl. az ember fogalma nem üres. ([62] ; 143) A ' tárgy - nem tárgy ' megkülönböztetésnek azonban értelemszerűen csak bizonyos nyelv vagy nyelvi fragmentum keretein belül van értelme, mivel bármi csak azáltal kezelhető jellemezhető tárgyként, hogy megnevezést kap. A különböző szemantikai kategóriákhoz tartozó objektumokról, így a ' nem tárgy ' kategóriába tartozó predikátumokról és kijelentésekben állított szituációkról való gondolkodás során ezek értelemszerűen maguk is a gondolkodás tárgyává válnak. A különböző szemantikai kategóriákhoz tartozó kifejezések összehasonlító elemzésekor, a róluk való beszédkor egyfajta metanyelvre van szükség. A tárgy kifejezés tehát azt fejezi ki, hogy valami a gondolkodás számára adott. Más kérdés az, hogy a gondolkodás számára adott tárgyak milyen léttel bírnak. A materialista álláspont szerint csak és kizárólagosan a reális, térben és időben levő tárgyak bírnak reális léttel, a predikátumok által képviselt tulajdonságok illetve relációk és a kijelentésekben állított szituációk csak a gondolkodás számára, a gondolkodásban léteznek. Ezen álláspont szerint mindezek hiposztázisok. A tárgy vagy individuális objektum tehát a predikatív kifejezések argumentumában szereplő kifejezések (individuumnevek) jelölete. Az individuumnevek közé valódi individuumnevek, vagyis tulajdonnevek és leírások, vagyis deskripciók tartoznak. (Az egzisztenciakvantor hatókörében szereplő leírások vizsgálatára a deskripciókkal foglalkozó részben kerül sor (7.3.2.3. fejezet)). Az individuumnevek funkciója az, hogy valamely individuális objektumot (dolgot) megnevezzenek), jelöljenek. Mint ilyenek a logikai grammatika egyik alapkategóriáját alkotják. A későbbi vizsgálataink szempontjából döntő jelentőséggel bír az individuumnevekkel kapcsolatban a nyelvi kifejezések nevekként történő használatának két alapvető elve, nevezetesen az egyjelentés és a tárgyiság elve. Az egyjelentés elve a névhasználattal szemben támasztott azon követelményt fejezi ki, hogy minden névként használt kifejezés (meghatározott kontextusban) csak egy objektum neve lehet. Ez az objektum az adott név denotátuma, vagy más szóval nominátuma, magyarul jelölete. Valamely individuumnév és az általa jelölt, megnevezett objektum, vagyis az adott név denotátuma között egy-egyértelmű megfeleltetésnek kell fennállnia. A tárgyiság elve szerint a kijelentésekben, mondatokban szereplő nevek azok nominátumait képviselik, az állítások tehát ezen nominátumokra s nem magukra a nevekre vonatkoznak. C: \ WORDWO80 SELENE PR_F_DIAMANT VVxxx vv05xxx.doc 97792 14327 2063 9 2011.08.11. 09:48:45 4 / 13

5.2. Frege álláspontja az individuális objektumokra vonatkozó egzisztenciakijelentésekkel kapcsolatban Mindezek után térjünk vissza a kiinduló kérdéshez, a (a) illetve a (a) alakú formulákkal kifejezett kijelentések logikai analíziséhez. Frege álláspontja az, hogy a (a) illetve a (a) alakú formulákkal kifejezett kijelentések logikai szempontból értelmetlenek. Frege szerint az egzisztenciakvantor hatókörében nem szerepelhetnek individuumparaméterek, individuumnevek, azaz a létezik (< van létező > ) predikátum nem vonatkoztatható individuális objektumokra, vagyis ezen predikátum argumentumában nem szerepelhetnek individuális objektumokat denotáló individuumnevek. Pontosabban fogalmazva, ekkor metanyelvi kijelentésekként értendők ezek a mondatok. Ez másképpen fogalmazva azt jelenti, hogy ekkor sérül a tárgyiság elve. (Részletesebben lásd mindezt a 8.2.7. fejezetben.) Frege felfogásának megfelelően a létezik (< van létező >) predikátum másodrendű predikátum, amely fogalmak, tehát elsőrendű predikátumok tulajdonságát képviseli. Frege álláspontjának felvázolása során kifejtjük ezen állítás mibenlétét, azt az érvelést, amely e következtetésre vezet. Felvetődik tehát a kérdés, hogy minek alapján képviseli Frege azt az álláspontot, miszerint a (a) illetve a (a) alakú formuláknak megfelelő struktúrájú kijelentések logikai szempontból értelmetlen kifejezések. Frege nézetének megfelelően valamely mondat (kijelentés) igaz mivoltának előfeltétele az, hogy az adott kijelentés logikai alanyaként szereplő individuumnévnek legyen jelölete, azaz, hogy létezzen az az individuális objektum, melyet az adott individuumnév megnevez. Az egzisztenciakijelentések esetében mely kijelentéseknek a (a) illetve a (a) logikai struktúrájú kijelentések felelnek meg az adott kijelentés éppen a logikai alanyról állítja azt, hogy léteznek. Ez pedig tautológiát eredményez, hiszen az adott kijelentés igazságának előfeltétele a logikai alanynak megfelelő individuum létezése. Ennek megerősítése a kijelentésben tautológikus, semmitmondó, hasonlatosan az a = a alakú kifejezések információtartalmához. Az egzisztenciaállítások ebben az esetben akkor és csak akkor nem tautológikusak, ha feltételezettek nemlétező individuális objektumok. Ez másképpen fogalmazva azt jelenti, hogy a tárgyalási univerzumnak lehetséges olyan eleme is, amelyre nézve a létezik (< van létező > ) predikátum nem igaz, azaz van olyan (lehetséges olyan) olyan individuális objektum, amely e predikátum által képviselt tulajdonsággal ( a létezés tulajdonságával) nem bír. Ez a nézet ilyen módon szükségszerűen a nemlétező objektumok problematikájával szembesül. 5.3. A Russell-féle létezési paradoxonhoz vezető érvelés A tautológia elkerülésének ára tehát a nemlétező objektumok feltételezése, a nemlétező objektumok létének az elismerése. A nemlétező individuális objektumok olyan entitások, amelyeket nem illet meg a létezés predikátuma amennyiben természetesen e predikátumot egyargumentumú, elsőrendű predikátumnak tekintjük. A létezik (< van létező >) predikátum szimbólumaként L(x) -et bevezetve a nem létezik ( < van nemlétező >) predikátumot L(x) képviseli. Ezen gondolatmenetből következően az L(x) predikátum és a L(x) predikátum igazsághalmaza a teljes tárgyalási C: \ WORDWO80 SELENE PR_F_DIAMANT VVxxx vv05xxx.doc 97792 14327 2063 9 2011.08.11. 09:48:45 5 / 13

univerzumot lefedi. Ez egyszerűen annyit jelent, hogy az individuális objektumok vagy az L(x) predikátum igazságtartományába esnek, vagy ennek negáltja igaz rájuk nézve, azaz a L(x) predikátum igazsághalmazába esnek. Formalizálva az elmondottak következőképpen fejezhetők ki: Wx.L(x) Wx. [ L(x)] = U és x[(x Wx.L(x)) (x Wx.[ L(x)])] x. [ {(x Wx.L(x)) (x Wx.[ L(x)])}]. Az összefüggésekben: Wx.L(x) Az L(x) predikátum igazsághalmaza ; Wx. [ L(x)] A L(x) predikátum igazsághalmaza ; U tárgyalási univerzum. Az individuális objektumok e felfogás szerint kizáró értelmű vagylagossággal vagy a létezők vagy a nemlétezők halmazába esnek a tárgyalási univerzumon belül. Az alábbi ábra szemlélteti ezt. 5.1.ábra L(x) L(x) U Az L(a) formulával vagy a (a) formulával kifejezett kijelentések értelmességének feltétele a nemlétező individuális objektumok szükségszerű feltételezése, azaz a nemlétezésnek, mint tulajdonságnak az elismerése. A nemlétezésnek mint tulajdonságnak a feltételezése azonban mind logikai mind ontológiai síkon súlyos problémákat vet fel. Ontológiai síkon ekkor meg kell magyarázni, hogy mit értünk nemlétező individuális objektumok alatt. E problémát első lépésben félretéve most e feltételezés azon konzekvenciájára mutatunk rá, amely súlyos logikai ellentmondáshoz 1, paradoxonhoz vezet. A nemlétezésnek mint tulajdonságnak az elismerése, s ezzel együtt nemlétező individuális objektumok elismerése azt jelenti, hogy a L(a) C: \ WORDWO80 SELENE PR_F_DIAMANT VVxxx vv05xxx.doc 97792 14327 2063 9 2011.08.11. 09:48:45 6 / 13

formula interpretálható 2 olyan módon, hogy a formulának megfelelő természetes nyelvi mondat az IGAZ igazságértéket veszi fel, azaz hogy e mondat faktuális értéke az IGAZ igazságérték legyen. Az interpretálás e névparamétert tartalmazó mondat formula esetében a névparaméter adott tárgyalási univerzumba eső jelöletének, vagyis a faktuális értékének megadását jelenti. Az L(a) formula, illetve az e formulának megfelelő szinguláris kijelentés igaz mivoltából következően L(a) x.[ L(x)]. Ez a következtetés az ún. létezési következtetés 3, amely a klasszikus elsőrendű logikában érvényes kvantifikációs törvények egyikének felel meg. A logikai következtetés jobb oldalán nyilvánvaló logikai ellentmondást megtestesítő formula szerepel, amely természetes nyelven az alábbi módon interpretálható 4 : Van olyan valami ( létezik olyan valami), ami nem létezik. Ez a formula az ún. létezési paradoxon logikai struktúráját kifejező formula. A paradoxon felismerése Russell nevéhez fűződik, s ezért Russell-féle létezési paradoxonnak nevezik. (Russell nevéhez más paradoxonok megfogalmazása, felismerése is kapcsolódik.) A nemlétezésnek, mint tulajdonságnak az elismerése a Frege Russell típusú logikai rendszerekben a bemutatottak szerint logikai ellentmondáshoz, paradoxonhoz vezet. Értelemszerűen ugyanerre az eredményre jutunk, ha valamely individuális objektum létezését tagadó kijelentést teszünk, azaz egzisztenciatagadás esetén. Az egzisztenciatagadást kifejező formula hangsúlyozottan abban az esetben, ha a létezést elsőrendű predikátumnak tekintjük ugyanis a L(a) formula. Összefoglalva az eddigiekben kifejtetteket megállapítható, hogy a létezik (< van létező >) predikátumot elsőrendű predikátumnak tekintve (vagy ami ezzel egyenértékű kijelentés: a létezést individuális objektumok tulajdonságának tekintve) az egzisztenciaállítások vagy tautológikus állításoknak adódnak, vagy el kell ismerni a nemlétezést is, mint individuális objektumok tulajdonságát, azaz el kell ismerni, hogy vannak nemlétező objektumok is. A létezésnek (és ezzel együtt a nemlétezésnek) individuális objektumok tulajdonságaként való elismerése egzisztenciatagadás esetén logikai ellentmondáshoz, paradoxonhoz vezet. Ez azt jelenti, hogy valamely individuális objektum létének a tagadása logikai ellentmondást eredményez. Itt jóllehet még nem zártuk le annak a kérdéskörnek a logikai analízisét, amikor a létezik, illetve a nem létezik predikátumot individuális objektumokra alkalmazzuk (vonatkoztatjuk) érdemes egy pillanatra megállni, s emlékezetünkbe idézni azt, amit Parmenidész mond a második töredékben. Eszerint a nemlétezőt nem lehet elgondolni és kimondani. Parmenidész szerint nem lehet értelmesen elgondolni ( anélkül elgondolni, hogy logikai ellentmondásra ne jutnánk) az olyan kijelentéseket, mint például A Pegazus nem létezik. vagy Eldorádó nem létezik. Hiszen vélhetően Parmenidész így gondolkodott a dolog megnevezése már önmagában a létének (valamilyen formában való létének) elismerését jelenti. (Ezt a felfogást vallja magáénak az értékrésmentes logika. Nem lehetséges individuumnév faktuális érték nélkül, azaz nem lehetséges, hogy valamely individuumnévnek ne legyen C: \ WORDWO80 SELENE PR_F_DIAMANT VVxxx vv05xxx.doc 97792 14327 2063 9 2011.08.11. 09:48:45 7 / 13

jelölete, ne létezzen olyan egyedi tárgya (objektum), amelyet az adott név megnevez.). Ha elismerjük létét, akkor azt nem tagadhatjuk ellentmondás nélkül valamely kijelentésben. Individuális objektumok egzisztenciatagadása logikai ellentmondást eredményez. A létezik predikátumot mindebből következően nem lehet individuális objektumokra vonatkoztatni, ami másképpen fogalmazva azt jelenti, hogy a létezés nem elsőrendű predikátum, nem individuális objektumok tulajdonsága. C: \ WORDWO80 SELENE PR_F_DIAMANT VVxxx vv05xxx.doc 97792 14327 2063 9 2011.08.11. 09:48:45 8 / 13

JEGYZETEK C: \ WORDWO80 SELENE PR_F_DIAMANT VVxxx vv05xxx.doc 97792 14327 2063 9 2011.08.11. 09:48:45 9 / 13

JEGYZETEK AZ 5. FEJEZETHEZ 1 Logikai ellentmondás a logikai értelemben vett kielégíthetetlenség szinonimája. A formulák egy nem üres halmaza kielégíthetetlen, ha a halmaz elemeiben szereplő paramétereket nem lehet úgy értékelni, hogy a halmazba tartozó formulák együttesen igazak legyenek. Ha ilyen interpretáció lehetséges, akkor a formulahalmaz kielégíthető. Ha egy formulahalmaz kielégíthetetlen, akkor elemei nem lehetnek együttesen igazak (bármiképpen interpretáltak is), pusztán logikai szerkezetükből adódóan. Ha egy formulahalmaz kielégíthetetlen, akkor annak minden bővítése is kielégíthetetlen. Ebből következően kielégíthetetlen (azaz logikailag ellentmondásos) formulahalmazból (premisszahalmazból) bármilyen konklúzió következik, hiszen bármilyen konklúzió negációjával bővítve az eredetileg kielégíthetetlen premisszahalmazt, az így adódó formulahalmaz is kielégíthetetlen lesz. Egy premisszahalmazból akkor de csak akkor következik minden formula, ha az adott premisszahalmaz kielégíthetetlen. Példa kielégíthetetlen formulahalmazokra: {p, p} ; {(p (q v r)), p, q, r} ; { x.f(x), F(a)} ; { (a = a)}. Kielégíthetetlenséggel szemben a kielégíthetőség a következőképpen értelmezett. A formulák egy nem üres halmaza kielégíthető, ha a halmaz elemeiben szereplő paramétereket lehet úgy értékelni, hogy a halmazba tartozó formulák együttesen igazak legyenek. Ha ilyen interpretáció nem lehetséges, akkor az előbbiek szerint formulahalmaz kielégíthetetlen. Ha egy formulahalmaz kielégíthető, akkor annak minden részhalmaza is kielégíthető. Szemantikai értékrés akceptálása esetén a kielégíthetőség fogalma változatlan marad. ([128] és [129] alapján) 2 Valamely formula interpretálása az adott formulában szereplő paraméterek természetes nyelvi kifejezésekkel való helyettesítését, azaz a természetes nyelvi kifejezések visszahelyettesítését jelenti. Az extenzionális logika területén az ilyen nyelvi interpretáció helyett elegendő az adott logikai grammatikai kategóriába tartozó interpretálandó paraméter faktuális értékének a meghatározása, megadása. A formulák interpretálása tehát a) a formulákban szereplő predikátumparaméterek esetén egy nem üres ' U ' tárgyalási univerzum megadását ; b) az egyes predikátumparaméterek terjedelmének (igazsághalmazának) megadását ; c) névparaméterek esetén az adott névparaméter tárgyalási univerzumba tartozó jelöletének, faktuális értékének megadását ; d) mondatparaméter esetén az adott mondatparaméter faktuális értékének, vagyis igazságértékének megadását jelenti. Magasabbrendű logikában az előbbiekben említetteken kívül más kategóriájú paraméterek is felléphetnek, például predikátumparaméterek stb. Amennyiben valamely természetes nyelvi szöveg logikai szerkezetének feltárása során intezionális funktorok is előfordulnak, úgy ezek interpretálása során nemcsak faktuális értéküket, hanem intenziójukat is meg kell adni. Mindezek alapján formulák egy halmazának interpretálása alatt olyan < U, > pár meghatározása értett, amelyben ' U ' egy nem üres halmaz, a tárgyalási univerzum, ' ' pedig egy függvény, amely a formulákban szereplő paraméterekhez faktuális értékeket rendel az alábbiak szerint: a) ha ' p ' mondatparaméter, akkor (p) {0,1} ; b) ha ' c ' névparaméter, akkor (c) U ; c) ha ' F ' n-argumentumú predikátumparaméter, akkor (F) U (n), ahol U (n) az U tárgyalási univerzum elemeiből képezett rendezett n-esek halmaza ; C: \ WORDWO80 SELENE PR_F_DIAMANT VVxxx vv05xxx.doc 97792 14327 2063 9 2011.08.11. 09:48:45 10 / 13

d) amennyiben, az interpretálandó formulában kvantoros (kvantor) részformulák is szerepelnek, pl. ' x.a(x) ', amelyben az ' x ' változónak lehet szabad előfordulása, úgy e változónak egy ' v ' függvény segítségével adható értéke, azzal a kikötéssel, hogy v(x) U. Valamely formulahalmaz interpretálása során alkalmazandó interpretációs szabályok (kiszámítási szabályok): I. ha ' c ' névparaméter, akkor c v = (c) ; II. ha ' x ' változó, akkor x v = v(x) ; III. ha ' p ' mondatparaméter, akkor p v = (p) ; IV. t 1 = t 2 v = 1, ha t 1 v = t 2 v, 0, máskor ; V. ha F(x 1, x 2, x 3,, x n ) n-argumentumú predikátumparaméter (n 1), t 1, t 2, t 3,, t n mindegyike változó vagy névparaméter, és 1 i n esetén t i v = u i, akkor F(t 1, t 2, t 3,, t n ) = 1, ha < u 1,u 2, u 3, u n > (F), 0, máskor ; VI. A v = 1 - A v ; VII. A B v = 1, ha A v = B v = 1, 0, máskor ; VIII. A V B v = 0, ha A v = B v = 0 1, máskor ; IX. A B v = 0, ha A v = 1 és B v = 0, 1, máskor ; X. A B v = 1, ha A v = B v, 0, máskor ; XI. x.a(x) v = 1, ha van olyan u U, hogy A v (u) = 1, vagyis ha Wx.A(x) { }, 0, máskor ; X. x.a(x) v = 0, ha van olyan u U, hogy A v (u) = 0, vagyis ha Wx.( A(x)) { }, 1, máskor. Valamely formula interpretálásának rögzítése után már meghatározható az adott formula adott interpretáció melletti igazságértéke. ([128] és [129] alapján) 3 A létezési következtetések alatt az alábbi következtetések értendők: x.f(x) F(a) x.f(x) F(a). x.f(x). x.f(x). x.[f(x) G(x)], F(a)} G(a). Az érthetőség kedvéért az alábbiakban definiáljuk az egzisztenciális és az univerzális kvantorokat, magát az egzisztenciális és univerzális kvantifikációt és a kvantifikációs igazságszabályokat. EGZISZTENCIÁLIS KVANTOR Más néven létezési kvantor. Változót lekötő logikai operátor. Jele: " ". Jelentése szerint a ' létezik olyan, hogy... ', illetve a ' van olyan, hogy... ' kifejezések logikai megfelelője. A létezési kvantor azt jelenti, hogy a "tárgyalási univerzum legalább egy elemére". A létezési kvantort az őt követő változóval nyitott mondatra alkalmazva olyan mondatot eredményez, amelyben a szabad változók száma eggyel csökken az operátor hatókörében. Ez azt jelenti, hogy egyváltozós nyitott mondatra alkalmazva az egzisztenciális kvantor zárt C: \ WORDWO80 SELENE PR_F_DIAMANT VVxxx vv05xxx.doc 97792 14327 2063 9 2011.08.11. 09:48:45 11 / 13

mondatot eredményez. A " x.a(x)" egzisztenciális kvantifikáció adott tárgyalási univerzumon akkor és csak akkor igaz, ha x változót lehet legalább egy esetben az adott tárgyalási univerzumon belül értékelni (értékelés), hogy A(x) igaz legyen, azaz az x változó nem minden értékére hamis A(x). EGZISZTENCIÁLIS KVANTIFIKÁCIÓ Egzisztenciális kvantor alkalmazása valamely nyitott mondatra. Az egzisztenciális kvantifikáció lényegében az alternáció általánosításának tekinthető, amennyiben: I. x.a(x) ((A(a 1 ) V A(a 2 ) V A(a 3 ) V,..., V A(a n )). (Ebben az esetben feltételezett, hogy az adott tárgyalási univerzum n elemből áll. Az egzisztenciális kvantifikáció és az univerzális kvantifikáció egymás duálisának tekinthető, azaz ezek duális logikai operációk. UNIVERZÁLIS KVANTOR Más néven általános kvantor. Változót lekötő logikai operátor. Jele: " ". Jelentése szerint a ' minden ' általános névmás logikai megfelelője. Az univerzális kvantor azt jelenti, hogy a "tárgyalási univerzum minden elemére". Az univerzális kvantort az őt követő változóval nyitott mondatra alkalmazva olyan mondatot eredményez, amelyben a szabad változók száma eggyel csökken az operátor hatókörében. Ez azt jelenti, hogy egyváltozós nyitott mondatra alkalmazva az univerzális kvantor zárt mondatot eredményez. A " x.a(x)" univerzális kvantifikáció adott tárgyalási univerzumon akkor és csak akkor igaz, ha x változót nem lehet az adott tárgyalási univerzumon belül értékelni, hogy A(x) hamis legyen, azaz az x változó minden értékére A(x) igaz igazságértékkel bír. UNIVERZÁLIS KVANTIFIKÁCIÓ Univerzális kvantor alkalmazása valamely nyitott mondatra. Az univerzális kvantifikáció lényegében a konjunkció általánosításának tekinthető, amennyiben: I. x.a(x) ((A(a 1 ) A(a 2 ) A(a 3 ),..., A(a n )). (Ebben az esetben feltételezett, hogy az adott tárgyalási univerzum n elemből áll. Az egzisztenciális kvantifikáció és az univerzális kvantifikáció egymás duálisának tekinthető azaz ezek duális logikai operációk. KVANTIFIKÁCIÓ IGAZSÁGSZABÁLYA ÉRTÉKRÉS ESETÉN A kvantifikáció igazságszabályai abban az esetben, ha megengedett szemantikai értékrés fellépése, az alábbiak szerint alakulnak: univerzális kvantifikáció esetén: x.a(x) 0, ha x-et lehet úgy értékelni, hogy A(x) = 0, 2, ha x minden lehetséges értékelésére A(x) = 2, 1 máskor. egzisztenciális kvantifikáció esetén az igazságszabály a következőképpen alakul: x.a(x) 1, ha x-et lehet úgy értékelni, hogy A(x) = 1, 2, ha bárhogyan is értékeljük x-et A(x) = 2, 0 máskor. ([128] és [129] alapján) C: \ WORDWO80 SELENE PR_F_DIAMANT VVxxx vv05xxx.doc 97792 14327 2063 9 2011.08.11. 09:48:45 12 / 13

4 Általánosságban valamely x.a(x) kvantifikált mondat akkor és csakis akkor igaz, ha ' x ' változót lehet úgy értékelni az adott tárgyalási univerzumon belül, hogy A(x) igaz legyen az adott tárgyalási univerzum legalább egy elemére, az adott mondat interpretációjának és a többi változó értékének változatlanul hagyása mellett. Valamely x.a(x) kvantifikált mondat akkor és csakis akkor igaz, ha ' x ' változót lehet úgy értékelni az adott tárgyalási univerzumon belül, hogy A(x) igaz legyen az adott tárgyalási univerzum minden elemére, az adott mondat interpretációjának és a többi változó értékének változatlanul hagyása mellett. Valamely kvantifikált mondat interpretálása a) az U tárgyalási univerzum kijelölését ; b) a mondat logikai szerkezetében szereplő predikátumok terjedelmének meghatározását ; c) a mondatban szereplő nevek jelöletének a meghatározását ; d) a zárt részmondatok igazságértékének meghatározását jelenti. ([128] és [129] alapján) C: \ WORDWO80 SELENE PR_F_DIAMANT VVxxx vv05xxx.doc 97792 14327 2063 9 2011.08.11. 09:48:45 13 / 13