Hoyan készítsünk jeyzőkönyvet? Az aábbiakban ey pédamérést, a hozzá tartozó kiértékeést és rafikus módszerre történő hibaszámítást, vaamint a mérésrő készüt jeyzőkönyv vázatát szeretnénk bemutatni. A jeyzőkönyvben dőt betűve jeötük a mejeyzéseket. 1. Mérési pédafeadat A matematikai ina vizsáata Matematikai ina esetén a T enésidő és az ina hossza között kis kitérések esetén a következő összefüés á fenn: T = 2π, (1) aho a nehézséi yorsuás. Feadatunk ezen összefüés kíséreti eenőrzése, vaamint a nehézséi yorsuás mehatározása. Rözítsük a mérőáványra a fonára akasztott fémoyót. (A fémoyó ey kis horoa akasztható a fonára.) Mérjük me stopperra a fonaina enésidejét küönböző fonáhosszak esetén. értékét rafikus úton kaphatjuk me, ennek érdekében cészerű az (1) eyenetet a következő aakra átrendezni: =. (2) 4π 2T2 Ekkor az y i = i értékek az x i = Ti 2 füvényében eyenest adnak, meynek meredeksée Ebbő már mehatározható. MÉRÉSI FELADATOK 1. Mérjük me a 15, 30, 60, 100 és 135 cm hosszú fonáina enésidejét. Mindeyik mérést eaább háromszor véezzük e. 2. Ábrázojuk az ( i, T 2 i ) pontpárokat. Veyük fiyembe, hoy az i = 0, T i = 0 is mérési pont. 3. Iesszünk eyenest az ( i, Ti 2 ) pontpárokra és számítsuk ki a nehézséi yorsuás értékét. 4. Határozzuk me rafikus módszerre a nehézséi yorsuás hibáját (inkább: a számítási hibát). 2. Órán mért adatok A feadat azt kéri, hoy a enésidőket eaább háromszor mérjük e. Mive ey enésidő 1-2 s, a nay (a enésidőve összemérhető) reakcióidő miatt cészerű eaább 10 enésidőt eyszerre emérni. 4π 2. 1
(cm) 10 T(s) 15 9,2 30 11,4 60 16,7 100 21,1 135 23,0 3. Kiértékeés A kiértékeéshez ki ke számítanunk a T i és Ti 2 értékeket. A rafikus hibaszámításhoz további két oszopot founk hasznáni, az üres ceákat cészerű már most ekészíteni. Kitötésükhöz szüksé van az eyenes-iesztés során nyert paraméterekre. Az órán mért adatokná mé tetszőees mértékeyséet hasznáhattunk, a kiértékeéskor készített tábázatban azonban már mindent SI mértékeysében ke meadni. A hasznát mértékeyséet fe ke tüntetni a tábázatban. Ezt kétféeképpen tehetjük me. Az eyszerűbb az, ha fejécet készítünk és ebbe írjuk be a mért mennyisé jeét és mértékeyséét. (Mi ezt a módszert követjük.) A másik ehetősé az, ha minden mennyisé után közvetenü odaírjuk a mértékeyséét is. A tábázatba ne feejtsük e beírni az i = 0, T i = 0 mérési pontot is! Iesztés (m) 10 T(s) T(s) T 2 (s 2 ) i. (m) i. (m) 0 0 0 0 0,15 9,2 0,92 0,8464 0,3 11,4 1,14 1,2996 0,6 16,7 1,67 2,7889 1,0 21,1 2,11 4,4521 1,35 23,0 2,3 5,29 A következő épés a tábázatban taáható adatokra történő iesztés. Pédánkban a http://meta.ete.hu/fiz_ab címen metaáható GNUPLOT nevű proramot ismertetjük. A jeyzőkönyv készítésekor természetesen más iesztőproram is hasznáható. A proramba írjuk be tizedespontta az eső oszopba az x, a második oszopba az y értékeket. Jeen esetben az =. 4π 2T2 eyenetet hasznájuk, íy az x értékek a tábázatban kiszámot Ti 2 értékek, mí az y-ok az ezekhez tartozó i értékek. Az adatok beírása után kattintsunk az Iesztés mekezdése ombra. A proram áta kiírt paraméterekbő nekünk csak az aábbi részetre esz szüksé: Fina set of parameters Asymptotic Standard Error ======================= ========================== a = -0.038812 +/- 0.04075 (105%) b = 0.247521 +/- 0.01311 (5.296%) 2
A GNUPLOT proram a + b x aakban ieszti az eyenest, ez azt jeenti, hoy az iesztett eyenes eyenete jeen esetben y = 0, 247521x 0, 038812. A jeyzőkönyvbe írjuk fe az iesztett eyenes eyenetét, vaamint azt is, hoy miyen proramma iesztettünk. (Küönböző proramokka a numerikus hibáknak köszönhetően küönböző iesztett eyenesekhez juthatunk, bár az etérés többnyire nem jeentős.) Eenőrizzük, hoy a kapott iesztett eyenes mefee-e várakozásainknak és számítsuk ki a nehézséi yorsuás értékét. A (2) eyenet y = b x aakú, aho y =, x = T 2 és b = 4π 2. Íy az iesztett eyenestő azt várjuk, hoy a teneymetszete, azaz a körübeü nua eyen. A kapott b értékbő számíthatjuk ki -t: = b4π 2. Íy jeen esetben = 9, 76 m s 2 adódik. Mive mindent SI-ben számotunk, íy értékét is SI-ben kapjuk me. Fontos, hoy -t nem számohatjuk ki a tábázatban soronként a = 4π 2 képet seítsééve. Ekkor uyanis mé nem iazotuk, hoy az (1) összefüés tejesü, íy természetesen T 2 kiszámítására sem hasznáhatjuk azt. Mit ronthattunk e, ha a várttó nayon küönböző értéket kaptunk? Ha 10 m -tő nayon s 2 etér a nehézséi yorsuás értéke, érdemes eenőrizni a következőket. SI-ben számotunk-e mindent? Iesztésné az x értékekhez a T 2 értékeit írtuk-e? (x és y értékeit fecseréve az eredmény nayon más esz!) Nem írtunk-e e vaamit az iesztésné? (Pédáu nem írtunk-e akár csak eyeteney értékné tizedespont heyett tizedesvesszőt?) A tábázatban mindent jó számotunk-e ki? Ha ezekné a részekné minden rendben van, akkor már csak ey doot tehetünk: eenőrizzük, hoy jó mértük-e e az adatokat, ietve menézzük, hoy a fevett adatok reáisak-e. Iyenkor fetéteezzük, hoy az eredeti (jeen esetben az (1)) összefüés jó, és kiszámojuk, hoy = 9, 81 m2 értékke számova miyen időadatot keett vona mérni. Ha az adatok jók, akkor s vaószínűe eszámotunk vaamit. Ha nem, cészerű újramérni, vay federíteni, hoy mi okozhatott ekkora etérést. Hibaszámítás A hibaszámításhoz az eméeti tudnivaók a http://meta.ete.hu/fiz_ab webcímen metaáhatók. Itt csak azt mutatjuk me, hoyan akamazhatók eyszerűen az ott eírtak. 3
A rafikus hibaszámítás során me ke határozni, hoy a mért értékek mennyire térnek e az iesztett értékektő. Ezért eőször kiszámojuk az iesztett értékeket, azaz kiszámojuk azt, hoy az eyenes az átaunk mért x i = Ti 2 pontokban miyen értékeket vesz fe. T 2 (s 2 ) i. (m) i. (m) 0 0, 247521 0 0, 038812 0, 038812 0,8464 0, 247521 0, 8464 0, 038812 0,17069 1,2996 0, 247521 1, 2996 0, 038812 0,28287 2,7889 0, 247521 2, 7889 0, 038812 0,65150 4,4521 0, 247521 4, 4521 0, 038812 1,06318 5,29 0, 247521 5, 29 0, 038812 1,27057 Következő épésként ki ke számítani a = i. értékeket. Viyázzunk, ez eőjees menynyisé. Az eredeti tábázatunk íy a következő aakot öti: (m) 10 T(s) T(s) T 2 (s 2 ) i. (m) i. = (m) 0 0 0 0-0,038812 0,038812 0,15 9,2 0,92 0,8464 0,17069-0,02069 0,3 11,4 1,14 1,2996 0,28287 0,01713 0,6 16,7 1,67 2,7889 0,65150-0,0515 1,0 21,1 2,11 4,4521 1,06318-0,06318 1,35 23,0 2,3 5,29 1,27057 0,07943 Az b meredeksé hibájának mehatározásához a T 2 rafikonon be ke rajzoni az x teneyre szimmetrikus bennfoaó téaapot. E téaap átójának a meredeksée adja me az eyenes meredekséének hibáját. A meredeksé a tα = szöe szemközti oda szö meetti oda képette számítható. Esetünkben a szöe szemközti oda hossza 0,15886, mí a szö meetti oda hossza 5,29. A bennfoaó téaap átójának meredeksée íy 0,003003. Az iesztett eyenes b meredeksée tehát az aábbi formában írható fe: b = 0, 247521±0, 003003 m s 2. Látható, hoy feesees ennyi tizedesjeyet hasznáni, eé a b = 0, 247 ± 0, 003 m s 2 feírás. Ebbő a nehézséi yorsuás és a hibája a = b 4π 2 képet aapján = 0, 247 4π 2 = 9, 76 m s 2, mí = 0, 003 4π 2 = 0, 12 m s 2. Íy = 9, 76 ± 0, 12 m s 2 aakban írható. 4. Jeyzőkönyv A MATEMATIKAI INGA VIZSGÁLATA Mérést véezte: Mérőtárs neve 1 : Mérés időpontja: Jeyzőkönyv eadásának időpontja: 1 Ez csak abban az esetben nem szüksées, ha az ietőnek nincs mérőpárja. 4
A mérés céja Azt szeretnénk iazoni, hoy matematikai ina esetében iaz a T = 2π összefüés, ha az inát csak kis szöben térítjük ki. Szeretnénk emeett mehatározni a nehézséi yorsuás értékét. (A képetben T a enésidő, az ina hossza, pedi a nehézséi yorsuás.) A jeyzőkönyvet úy ke ekészíteni, hoy azok számára is érthető eyen, akik nem ismerik a mérést. Ezért ha képetet írunk a jeyzőkönyvbe, akkor me ke nevezni, hoy mit jeönek az eyes betűk. Kérjük, hoy a jeyzőkönyvet saját szavaikka írják me, és ne veyenek át mondatokat, mondatrészeket az interneten is metaáható seédanyabó. A mérőeszközök Fonáina oyóva, stopperóra, mérőszaa. A mérés rövid eírása Mérőszaa seítsééve beáítjuk a fonaina hosszát eőször 15 cm-re, majd feakasztjuk a mérőáványra és (eyben) emérünk tíz enésidőt. Ezután vátoztatjuk az ina hosszát 30, 60, 100, véü 135 cm-re. Minden esetben tíz enésidőt mérünk. Csak a ényees eemeket ke itt meemíteni, iyen pédáu, hoy tíz enésidőt mértünk. Számítóépes mérésekné a mérés rövid eírásába nem tartozik bee, hoy a proramot hoyan ke hasznáni, csak az, hoy a proram mit mér és hoyan értékei azt ki. Mérési adatok (m) 10 T(s) 0,15 9,2 0,30 11,4 0,60 16,7 1,00 21,1 1,35 23,0 Itt a fonáina hossza, és T a fonáina enésideje. Fiyejünk arra, hoy a jeyzőkönyvben már a mérési adatok is csak SI-ben ehetnek! Mive A mérés céja fejezetben már definiáuk -et és T-t, ezért most nem ke fetétenü újra definiánunk a tábázatban hasznát jeöéseket. Hibaforrások 1. A fonáina hosszát csak 2-3 mm pontosan ehetett beáítani. 2. A enésdő mérésekor a reakcióidő is szerepet játszott, ez becsésem szerint körübeü 0,2s-ot jeenthetett. 5
Kiértékeés A T = 2π összefüés eyszerű aebrai átaakításokka az = 4π 2 T 2 aakra hozható. A tábázatban metaáható és T 2 értéke is. Ezekre az adatokra a GNUPLOT proram seítsééve eyenest iesztettem. Az eyenes eyenete: y = 0, 247521x 0, 038812, aho y = és x = T 2. i az iesztett eyenes küönböző Ti 2 heyeken fevett értéke. A hibaszámításhoz a i. = értékeket is kiszámítottam. (m) 10 T(s) T(s) T 2 (s 2 ) i. (m) i. = (m) 0 0 0 0-0,038812 0,038812 0,15 9,2 0,92 0,8464 0,17069-0,02069 0,3 11,4 1,14 1,2996 0,28287 0,01713 0,6 16,7 1,67 2,7889 0,65150-0,0515 1,0 21,1 2,11 4,4521 1,06318-0,06318 1,35 23,0 2,3 5,29 1,27057 0,07943 Az (1) rafikon mutatja -et a T 2 füvényében, mí a (2) rafikonon i. = (m)-et ábrázotuk T 2 füvényében. Ez utóbbi rafikonró eovasható, hoy az iesztett eyenes meredekséének hibája 0,15886 = 0, 003003. Íy a b meredeksé az aábbi aakot öti: b = 5,29 0, 247521 ± 0, 003003 m, azaz b = 0, 247 ± 0, 003 m. Ebbő a = 9, 76 ± 0, 12 m érték adódik. s 2 s 2 s 2 6
Az ábrakészítésre vonatkozó tudnivaók a http://meta.ete.hu/fiz_ab/1234.pdf webodaon taáhatók (9. oda). Eredmények/Eredménytábázat ± ( m s 2 ) irodami ( m s 2 ) 9, 76 ± 0, 12 9,81 Diszkusszió Az T 2 rafikon pontjaira jó ieszkedik az iesztett eyenes, íy azt mondhatjuk, hoy sikerüt iazoni a T = 2π összefüést. Az iesztett eyenes meredekséébő számot nehézséi yorsuás értéke hibán beü meeyezik a Budapesten mérhető nehézséi yorsuás értékéve (9, 81 m s 2 ). 7