Logika és informatikai alkalmazásai

Hasonló dokumentumok
Logika és informatikai alkalmazásai

Logika és informatikai alkalmazásai kiskérdések február Mikor mondjuk, hogy az F formula a G-nek részformulája?

Logika és informatikai alkalmazásai

Logika es sz am ıt aselm elet I. r esz Logika Hatodik el oad as 1/33

Logika és informatikai alkalmazásai

Logika és informatikai alkalmazásai

Logika és informatikai alkalmazásai

Logika és informatikai alkalmazásai

Logika és informatikai alkalmazásai

Logika és informatikai alkalmazásai

1. Tétel - Az ítéletkalkulus alapfogalmai

A logikai következmény

Logika és informatikai alkalmazásai

ÍTÉLETKALKULUS (NULLADRENDŰ LOGIKA)

Logika és informatikai alkalmazásai

Automatikus következtetés

Logikai következmény, tautológia, inkonzisztens, logikai ekvivalencia, normálformák

Logika és informatikai alkalmazásai

Logika és informatikai alkalmazásai

Megoldások augusztus 8.

A TANTÁRGY ADATLAPJA

Logika és informatikai alkalmazásai. Wednesday 17 th February, 2016, 09:03

Logika gyakorlat 08. Nincs olyan változó, amely szabadon és kötötten is előfordul.

Diszkrét matematika I.

1. Az elsőrendű logika szintaxisa

Diszkrét matematika I.

Példa 1. A majom és banán problémája

Elsőrendű logika szintaktikája és szemantikája. Logika (3. gyakorlat) 0-adrendű szemantika 2009/10 II. félév 1 / 1

Predikátumkalkulus. 1. Bevezet. 2. Predikátumkalkulus, formalizálás. Predikátumkalkulus alapfogalmai, formalizálás, tagadás, logikailag igaz formulák.

Diszkrét matematika 1. középszint

Az informatika logikai alapjai

Predikátumkalkulus. Predikátumkalkulus alapfogalmai, formalizálás, tagadás, logikailag igaz formulák. Vizsgáljuk meg a következ két kijelentést.

Az informatika logikai alapjai

Memo: Az alábbi, "természetes", Gentzen típusú dedukciós rendszer szerint készítjük el a levezetéseket.

Az informatika logikai alapjai

Magyarok: Bereczki Ilona, Kalmár László, Neumann, Péter Rózsa, Pásztorné Varga Katalin, Urbán János, Lovász László

Dr. Jelasity Márk. Mesterséges Intelligencia I. Előadás Jegyzet (2008. október 6) Készítette: Filkus Dominik Martin

LOGIKA. Magyarok: Bereczki Ilona, Kalmár László, Neumann, Péter Rózsa, Pásztorné Varga Katalin, Urbán János, Lovász László.

b, Van olyan makacs ember, a senki más tanácsára nem hallgat. (Univerzum az emberek halmaza)

Logika Gyakorlati Jegyzet

Logika és informatikai alkalmazásai

2. Logika gyakorlat Függvények és a teljes indukció

Logikai ágens, lehetőségek és problémák 2

Elsőrendű logika. Mesterséges intelligencia március 28.

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Mesterséges intelligencia

1. A polinom fogalma. Számolás formális kifejezésekkel. Feladat Oldjuk meg az x2 + x + 1 x + 1. = x egyenletet.

Nemzeti versenyek évfolyam

III. Szabályalapú logikai következtetés

Kalkulus 2., Matematika BSc 1. Házi feladat

Természetes számok: a legegyszerűbb halmazok elemeinek. halmazokat alkothatunk, ezek elemszámai természetes 3+2=5

Alapfogalmak-szemantika

Matematika III. harmadik előadás

Intelligens Rendszerek I. Tudásábrázolás formális logikával

Formális nyelvek I/2.

Boros Zoltán február

A 2015/2016. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny döntő forduló MATEMATIKA III. KATEGÓRIA (a speciális tanterv szerint haladó gimnazisták)

Mesterséges Intelligencia MI

Logika feladatgyűjtemény

Matematika alapjai; Feladatok

Analízisfeladat-gyűjtemény IV.

Logika és számításelmélet. 10. előadás

Logika es sz am ıt aselm elet I. r esz Logika Negyedik el oad as 1/26

Matematikai logika és halmazelmélet

Ésik Zoltán (SZTE Informatikai Tanszékcsoport) Logika a számtastudományban Logika és informatikai alkalmazásai Varterész Magdolna, Uni-Deb

2. Algebrai átalakítások

Logikai alapok a programozáshoz

3. Lineáris differenciálegyenletek

Határozatlan integrál

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.

DISZKRÉT MATEMATIKA. Elsőrendű Logika. Minden madár gerinces.

DISZKRÉT MATEMATIKA. Elsőrendű Logika. Minden madár gerinces. SZEMANTIKA

ARCHIMEDES MATEMATIKA VERSENY

Kétváltozós függvények differenciálszámítása

1. Definíciók. 2. Formulák. Informatikai logikai alapjai Mérnök informatikus 3. gyakorlat

Diszkrét matematika MATEMATIKAI LOGIKA

Automatikus tételbizonyítás

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

A Fermat-Torricelli pont

Polinomok A gyökök száma A gyökök és együtthatók összefüggése Szorzatra bontás, számelméleti kérdések A harmad- és negyedfokú egyenlet

2014. szeptember 24. és 26. Dr. Vincze Szilvia

A matematika nyelvér l bevezetés

1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0

1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy

Logikai ágensek. Mesterséges intelligencia március 21.

Differenciálegyenletek. Vajda István március 4.

6. Gyakorlat. Relációs adatbázis normalizálása

Mindenki tud úszni. Nincs olyan, aki ne tudna úszni.

Matematikai logika. 3. fejezet. Logikai m veletek, kvantorok 3-1

Valószínűségi változók. Várható érték és szórás

Mérhetőség, σ-algebrák, Lebesgue Stieltjes-integrál, véletlen változók és eloszlásfüggvényeik

MM CSOPORTELMÉLET GYAKORLAT ( )

Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

Matematika. 4. konzultáció: Kétváltozós függvények szélsőértéke. Parciális függvény, parciális derivált

Logika kiskáté. Mihálydeák Tamás és Aszalós László

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

BOOLE ALGEBRA Logika: A konjunkció és diszjunkció tulajdonságai

RE 1. Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

Logika és számításelmélet. 2011/11 11

Formális nyelvek - 9.

Átírás:

Logika és informatikai alkalmazásai 9. gyakorlat Németh L. Zoltán http://www.inf.u-szeged.hu/~zlnemeth SZTE, Informatikai Tanszékcsoport 2008 tavasz

Egy HF múlt hétről HF1. a) Egyesíthető: s = [y/f(x, g(x, a))][x/b][w/g(b, a)] vagy s = [y/f(b, w)][x/b][w/g(b, a)]. b) Nem egyesíthető. c) Nem egyesíthető. s 2 = [z/h(x)][x/f(y, y)] után a és h van az első eltérő pozíción.

És még egy... FZ2 V/11 c) C 1 = { p(x, y), p(x, x), q(x, f(x), z) } és C 2 = { q(f(x), x, z), p(x, z) } összes rezolvense: s 1 = [] és s 2 = [x/t][z/u] változóátnevezések után: C 1 s 1 = { p(x, y), p(x, x), q(x, f(x), z) }, C 2 s 2 = { q(f(t), t, u), p(t, u) } p(x, x) és p(t, u) egyesíthető s = [t/x][u/x]-szel, így R = { p(x, y), q(x, f(x), z), q(f(x), x, x) } rezolvens. Viszont q(x, f(x), z) és q(f(t), t, u) nem egyesíthető, mert s 1 = [x/f(t)] után a [t/f(f(t))] helyettesítés nem megengedett. Ezért nincs más rezolvens.

Irodalom Szükséges elmélet a mai gyakorlathoz Előadás fóliák: Elsőrendű rezolúció (#177 #182), a lineáris rezolúció (#190 #192 első két pontja) és az SLD rezolúció: (#201-#203) definíciója és alaptétele. Feladatsorok FZ1 Fülöp Zoltán: Gyakorló feladatok a "Logika a számítástudományban" tárgyhoz II. "Predikátumkalkulus" www.inf.u-szeged.hu/~fulop/logika/feladat2.ps

Miért kell rezolvens képzés előtt az egyesítendő klózok változóit átnevezni? Legyen C 1 = {p(x, b)} és C 2 = { p(a, x)}. Ekkor változó átnevezés nélkül p(x, b) és p(a, x) nem egyesíthetők (hiszen [x/a] helyettesítés után a p(a, b) és p(a, a) literálokat kapjuk). De ha végrehajtjuk a változó átnevezést. Mondjuk legyen s 1 := [] és s 2 := [x/y], akkor a p(x, b)s 1 = p(x, b) és p(a, x)s 2 = p(a, y) klózok már egyesíthetők, mégpedig s = [x/a][y/b]-vel így az üres klózt kapjuk rezolvensként. Azaz 1. {p(x, b} a C 1 klóz 2. { p(a, x)} a C 2 klóz 3. Res 1,2, az s 1 = [], s 2 = [x/y] vált. átnevezések és s = [x/a][y/b] helyettesítés után. HF. Mutassuk meg, hogy az F = x y[p(x, g(y)) p(f(y), x)] formula klózainak szintén nem képezhető rezolvense a klózok változóinak előzetes átnevezése nélkül.

FZ2 V/9 Formalizáljuk az alábbi állításokat: F 1: Minden sárkány boldog, ha az összes gyereke tud repülni. F 2: A zöld sárkányok tudnak repülni. F 3: Egy sárkány zöld, ha legalább egy zöld sárkánynak a gyereke. Biz. be, hogy a ezekből következik: F 4: Minden zöld sárkány boldog. Megoldás. B(x) x boldog, Gy(x, y) x-nek gyereke y, R(x) x tud repülni, Z(x) x zöld. F 1 = x( y [Gy(x, y) R(y)] B(x)) x( y [Gy(x, y) R(y)] B(x)) x y([gy(x, y) R(y)] B(x)) x y [(Gy(x, y) B(x)) ( R(y) B(x))] s x [(Gy(x, f(x)) B(x)) ( R(f(x)) B(x))] F 2 = x(z(x) R(x)) x( Z(x) R(x)) F 3 = x [ t(gy(t, x) Z(t)) Z(x)] x t [ Gy(t, x) Z(t) Z(x)] F 4 = x(z(x) B(x)) x (Z(x) B(x)) x(z(x) B(x)) s Z(a) B(a)

Folytatás... { F 1, F 2, F 3 } = F 4 Σ := { F 1, F 2, F 3, F 4 } kielégíthetetlen. A Σ formuláit már zárt Skolemnormálformára hoztuk ezek magjai a következő klózhalmazt adják: Σ := { 1. { Gy(x, f(x)), B(x) }, 2. { R(f(x)), B(x) }, 3. { Z(x), R(x) }, 4. { Gy(t, x), Z(t), Z(x) }, 5. { Z(a) }, 6. { B(a) }, }

Befejezés: bizonyítás elsőrendű rezolúcióval. 1. { Z(a) } 5. klóz; 2. { Gy(t, x), Z(t), Z(x) } 4. klóz; 3. { Gy(a, x), Z(x) } Res 1,2, s = [t/a] hely; 4. { Gy(x, f(x)), B(x) } 1. klóz; 5. {Z(f(a)), B(a)} Res 3,4, s 1 = [x/y], s 2 = [] vált. átnev., s = [x/a][y/f(a)] hely; 6. { Z(x), R(x)} 3. klóz; 7. {B(a), R(f(a))} Res 5,6, s = [x/f(a)] hely; 8. { R(f(x)), B(x)} 2. klóz; 9. {B(a)} Res 7,8, s = [x/a] hely; 10. { B(a)} 6. klóz; 11. Res 9,10. Ezért Σ kielégíthetetlen, a log. következmény igaz.

Lineáris és SLD rezolúció Lineáris rezolúció: Olyan rezolúció, melyben mindig az előző rezolvenst használjuk egyik klózként a következő rezolúciós lépésben. Példa a táblán: {{p, q}, { p, q}, {p, q} { p, q}}. Tétel. Ha az üres klóz levezethető egy klózhalmazból, akkor mindig van lineáris rezolúcióval történő levezetése is. SLD-rezolúció: Horn klózok körében (azaz amikben klózonként legfeljebb egy pozitív literál engedélyezett) olyan lineáris rezolúció, mely negatív klózból (azaz csupa negatív literált tartalmazó klózból) indul. Tétel. Horn-klózok egy halmaza, akkor és csak akkor kielégíthetetlen ha SLD rezolúcióval levezető belőle az üres klóz.

Megjegyzések A lineáris illetve SLD rezolúció minden olyan klózzal/negatív klózzal kezdhető, mely a klózhalmaz egy minimális kielégíthetetlen részhalmazának eleme. Lineáris és így SLD rezolúció esetén is, a levezetésbe nem írjuk be azt a klózt, amivel az előző klózt rezolváljuk. Viszont az indoklásban ezt meg kell említeni (vagy legalább vonallal oda kell húzni) a szokásos változóátnevezésekkel és az egyesítővel együtt. SLD rezolúciónál minden a levezetésben szereplő klóz negatív klóz lesz, mert az egyetlen pozitív literálok (hiszen Horn-klózokról van szó) a rezolúció során mindig kiesnek.

V/15 a) Biz. be lineáris rezolúcióval, hogy F = x(f G) ( x F x G) tautológia! Feltehetjük, hogy F -ben és G-ben csak az x változó fordul elő szabadon, és a jelölés egyszerűsítése végett így F helyett F(x)-et, F [x/y] helyett F(y)-t írunk. Továbbá F(x)-et és G(x)-et atomi formulának tekintjük. F = [ x(f(x) G(x)) ( x F(x) x G(x))] x(f(x) G(x)) ( y F(y) z G(z)) x(( F(x) G(x)) y F(y) z(g(z)) x y z(( F(x) G(x)) F(y) G(z)) s x y(( F(x) G(x)) F(y) G(f(x, y))) F = { { F(x), G(x)}, {F(y)}, { G(f(x, y))} } Lineáris rezolúcióval: 1. { F(x), G(x) } F 1. klóza 2. { G(x) } Res a 2. klózzal [y/x] hely. után 3. Res a 3. klózzal s 2 = [x/u] vált. átn. és s = [x/f(u, y)] hely. után

SLD rezolúció FZ2 V/16. Bizonyítsuk be SLD rezolúcióval, hogy a következő klózhalmaz kielégíthetetlen: { { p(a, c)}, {p(a, b)}, {p(c, b)}, {p(x, y), p(x, z), p(z, y)}, {p(x, y), p(y, x)} }

SLD rezolúció FZ2 V/16. Bizonyítsuk be SLD rezolúcióval, hogy a következő klózhalmaz kielégíthetetlen: { { p(a, c)}, {p(a, b)}, {p(c, b)}, {p(x, y), p(x, z), p(z, y)}, {p(x, y), p(y, x)} } 1. { p(a, c)} Ezzel kell kezdeni, mert ez az egyetlen negatív klóz!

SLD rezolúció FZ2 V/16. Bizonyítsuk be SLD rezolúcióval, hogy a következő klózhalmaz kielégíthetetlen: { { p(a, c)}, {p(a, b)}, {p(c, b)}, {p(x, y), p(x, z), p(z, y)}, {p(x, y), p(y, x)} } 1. { p(a, c)} Ezzel kell kezdeni, mert ez az egyetlen negatív klóz! 2. { p(a, z), p(z, c)} Res a {p(x, y), p(x, z), p(z, y)} klózzal s = [x/a][y/c] helyettesítéssel;

SLD rezolúció FZ2 V/16. Bizonyítsuk be SLD rezolúcióval, hogy a következő klózhalmaz kielégíthetetlen: { { p(a, c)}, {p(a, b)}, {p(c, b)}, {p(x, y), p(x, z), p(z, y)}, {p(x, y), p(y, x)} } 1. { p(a, c)} Ezzel kell kezdeni, mert ez az egyetlen negatív klóz! 2. { p(a, z), p(z, c)} Res a {p(x, y), p(x, z), p(z, y)} klózzal s = [x/a][y/c] helyettesítéssel; 3. { p(b, c)} Res a {p(a, b)} klózzal s = [z/b] hely.

SLD rezolúció FZ2 V/16. Bizonyítsuk be SLD rezolúcióval, hogy a következő klózhalmaz kielégíthetetlen: { { p(a, c)}, {p(a, b)}, {p(c, b)}, {p(x, y), p(x, z), p(z, y)}, {p(x, y), p(y, x)} } 1. { p(a, c)} Ezzel kell kezdeni, mert ez az egyetlen negatív klóz! 2. { p(a, z), p(z, c)} Res a {p(x, y), p(x, z), p(z, y)} klózzal s = [x/a][y/c] helyettesítéssel; 3. { p(b, c)} Res a {p(a, b)} klózzal s = [z/b] hely. 4. { p(c, b)} Res a {p(x, y), p(y, x)} klózzal, s = [x/b][y/c] hely.

SLD rezolúció FZ2 V/16. Bizonyítsuk be SLD rezolúcióval, hogy a következő klózhalmaz kielégíthetetlen: { { p(a, c)}, {p(a, b)}, {p(c, b)}, {p(x, y), p(x, z), p(z, y)}, {p(x, y), p(y, x)} } 1. { p(a, c)} Ezzel kell kezdeni, mert ez az egyetlen negatív klóz! 2. { p(a, z), p(z, c)} Res a {p(x, y), p(x, z), p(z, y)} klózzal s = [x/a][y/c] helyettesítéssel; 3. { p(b, c)} Res a {p(a, b)} klózzal s = [z/b] hely. 4. { p(c, b)} Res a {p(x, y), p(y, x)} klózzal, s = [x/b][y/c] hely. 5. Res a {p(c, b)} klózzal.

Házi feladat FZ2 V/12, 15, 8, 10 Dr. Fülöp Zoltán jegyzetéből a 2.69 és 2.70-es kidolgozott rezolúciós példát átnézni. Iván Szabolcs: kidolgozott rezolúciós feladat (2007) szintén átnézni. Csináljuk meg a sárkányos példát lineáris rezolúcóval is. Még lineáris rezolúcióra: FZ2 V/16 b, c. (A kvantorok után persze x áll.) SLD rezolúcióra: Igazoljuk SLD rezolúcióval, hogy x y[ ( R(x, y) R(y, z) R(x, z)) R(f(x), f 3 (x)) R(x, f(x)) ] kielégíthetetlen /ahol persze f 3 (x) = f(f(f(x)))/.

Követlemények a 2. ZH-ra 1 Definíciók, tételek az előadás első 203 fóliájáról (előről az SLD rezolúcióig). 2 (zárt) Skolem normálformára hozás 3 Herbrand kiterjesztés felírása és alaprezolúció 4 az egyesítési algoritmus és elsőrendű rezolvensképzés 5 elsőrendű, lineáris és SLD rezolúció A rezolúciót továbbra is tudni kell alkalmazni, az alapvető eldöntési kérdések (tautológia, log. következmény, ekvivalencia) megválaszolására. Április 30-án (szerdán) 12h és 15h (táblás) gyakorló óra (I219). A szerdaiaknak kötelező, a csütörtökieknek szabadon látogatható. Május 7-én (szerdán) 12h, 15h (I219) és 8-án 8h, 9h (I221) nem kötelező konzultáció (bárkinek). Május 8-án, ZH 17h és 18h (Riesz-terem). Mindenkinek, amikor az első ZH-t írta, akinek nem jó, kérjen engedélyt e-mailben május 5-ig.