III. Szabályalapú logikai következtetés

Átírás

1 Speciális szabályalapú következtetés III. Szabályalapú logikai következtetés Ismeretek (tények, szabályok, cél) elsőrendű logikai formulák. Ezek az állítások eredeti formájukat megőrzik, ami másodlagos vezérlési stratégiaként épül be a következtetésbe. A,, A n C tételek bizonyítása, de válaszadásra is alkalmas, amennyiben a kérdést (ki, mit, hol, mikor, mennyiért) egy xp(x) alakú (van-e egyáltalán válasz a kérdésre) célállítással helyettesítjük. Bizonyítás: állítások sorozata, ahol az utolsó állítás a célállítás és amelyben minden állítás vagy egy tény, vagy pedig a sorozat megelőző állításaiból és egy szabályból vezethető le a modus ponens alapján. Iránya: előre vagy visszafelé haladó 2 Illesztés a modus ponens-nél. Reprezentáció Mikor alkalmazható a modus ponens (mikor illeszthető egymáshoz két formula) és mi a következménye? Ha p q és p q r akkor r (alaki azonosság) Ha (p q) és p q r akkor r (logikai ekvivalencia) Ha p q és p r akkor r q (formula részéhez) Elsőrendű formulák esetében az illesztésnél változóhelyettesítésre is szükség lehet. Ha yp(f(y)) és x(p(x) Q(x)) akkor Q(f(y)). Formai megkötéseket tehetünk a formulák alakjára, hogy az illeszthetőséget könnyen el lehessen dönteni: alaki azonossággal+változó helyettesítéssel Ez azonban a teljesség rovására mehet. 3 Az illesztések egyszerű vizsgálata érdekében a speciális alakú axiómákat és célállítást használunk, miközben törekszünk az állítások eredeti alakjának megőrzésére ÉS/VAGY formájú (ÉVF) kifejezések literálok; A B, A B alakú formulák, ahol az A és B maguk is ÉVF kifejezések. 4 Előre haladó szabályalapú reprezentáció Visszafelé haladó szabályalapú reprezentáció univerzálisan kvantált ÉVF kifejezés Szabályok: L W alakú univerzálisan kvantált kifejezések, ahol L egy literál, a W pedig ÉVF kifejezés L L n alakú egzisztenciálisan kvantált kifejezés, ahol L,,L n literálok. L L n alakú univerzálisan kvantált kifejezés, ahol L,,L n literálok. Szabályok: W L alakú univerzálisan kvantált kifejezések, ahol L egy literál, a W pedig ÉVF kifejezés egzisztenciálisan kvantált ÉVF kifejezés 5 6

2 A formulák átalakítása a Skolem normál formára hozáshoz hasonlóan megy Szabályokban visszaállítjuk a főimplikációt (minden más implikációt eliminálunk) Célállítást fordítva Skolemizáljuk Az univerzális kvantoroktól szabadulunk meg Nem alkalmazzuk a disztributív törvényeket Emiatt nem tudjuk a lehető legáltalánosabb változó-átnevezést alkalmazni, csak főkonjunkciós tényezőnként. Előre haladó Több tényből könnyű egyet csinálni Nem megfelelő alakú cél esetén (L L i ) (L o L z ) Nem megfelelő alakú szabály L L 2 W helyett L W és L 2 W L L 2 W? Akadályok Visszafelé haladó Több tényből könnyű egyet csinálni Nem megfelelő alakú tény esetén (L L i ) (L o L z ) Nem megfelelő alakú szabály W L L 2 helyett W L és W L 2 W L L 2? Gráfreprezentáció Illesztés ÉS/VAGY gráfba rajzolása A megcélzott logikai következtetést egy alkalmas gráfbeli út megkeresésének problémájává fogalmazzuk át. A logikai reprezentációnak egy ÉS/VAGY gráfot feleltetünk meg, amelynek hiperútja egy-egy bizonyítást szimbolizál. P(a) Q(b) Szabály: P(x) R(x) R(z) Q(y) L, L W, L =L W L, L =L L 9 0 R(a) R(x) R(z) P(a) Q(b) P(a) x a P(x) z a S(x) S(a) Q(b) y b Q(y) A vagy művelet ÉS Az és művelet VAGY Q(b) R(a) Szabály: R(x) P(x) P(x) Q(y) W, W L, L =L L L, L =L L Illesztés ÉS/VAGY gráfba rajzolása P(x) Q(y) P(x) x x P(x ) R(x ) S(x ) R(a) x a Q(y) y b Q(b) Az és művelet ÉS A vagy művelet VAGY olyan (R,s,T), ahol Előre haladó szabályalapú gráfreprezentáció R=(N,A) egy ÉS/VAGY gráf, amelyet a tény ÉS/VAGY gráfjából kiindulva építhetünk fel úgy, hogy az összes lehetséges módon illesztjük a szabályokat és a célliterálokat, s - tényállítást szimbolizáló csúcs, T - célliterálokat szimbolizáló csúcsok. 2 2

3 olyan (R,s,T), ahol Visszafelé haladó szabályalapú gráfreprezentáció R=(N,A) egy ÉS/VAGY gráf, amelyet a cél ÉS/VAGY gráfjából kiindulva építhetünk fel úgy, hogy az összes lehetséges módon illesztjük a szabályokat és a tényliterálokat, s - célállítást szimbolizáló csúcs, T - tényliterálokat szimbolizáló csúcsok. A reprezentációs gráf mindig egy fa. Megjegyzés Egy szabály illetve (cél/tény) literál többször is illeszthető. A logikai levezetés (bizonyítás) egy megoldásgráfként (s T hiperút) jelenik meg a gráfban. Nem minden megoldásgráf jelent levezetést. 3 4 Ellentmondásos levezetés Konzisztencia és az egyesítő kompozíció B(x) A(a) B(b) B(x) B(x) x a x b A(a) B(b) Az,, m helyettesítések ( i ={v i t i,,v in i t in i}) konzisztensek (ellentmondásmentesek), ha a V=< v,, v mn m > és T=< t,, t mn m > sorozatok egyesíthetők. A V és T legáltalánosabb egyesítőhelyettesítését az,, m helyettesítések egyesítő kompozíciójának (EK) nevezzük. 5 6 Megjegyzés 3. Következtetés Ha,, m helyettesítések konzisztensek, akkor nem írnak elő ugyanarra a változóra olyan {x t i} helyettesítéseket, amelyek termjei nem egyesíthetőek: ={x a} és ={y a} konzisztens ={x y} és ={x a, y b} inkonzisztens Az egyesítő helyettesítés független az,, m helyettesítések sorrendjétől. A helyes levezetés egy ellentmondásmentes illesztőhelyettesítéseket tartalmazó megoldásgráf. Az EK-t válaszadásra is felhasználhatjuk. A reprezentációs gráfban történő irányított út (megoldási gráf) keresése visszalépéses kereséssel o Globális munkaterületen a startcsúcsából induló hiperút o Szabályok: az illesztések illetve a visszalépés o Visszalépéses vezérlési stratégia Másodlagos stratégiák: formulák alakjának felhasználása Heurisztikák A talált megoldási gráf konzisztenciájának ellenőrzése 7 8 3

4 Példa Tény vagy szabály? Tomi és Misi tagjai az alpinisták klubjának. Egy klubtag síelő vagy hegymászó. Nincs olyan hegymászó, aki szeretné az esőt. A havat minden síelő szereti. Tomi szereti az esőt és a havat. Misi mindenben ellentétesen vélekedik, mint Tomi. Ki az a klubtag, aki hegymászó, de nem síelő? Egyértelmű esetek A(Misi) Sz(Tomi,eső) x ( S(x) H(x) ) x (S(x) Sz(x,hó) ) Nem egyértelmű esetek x(h(x) Sz(x,eső)) helyett x(h(x) Sz(x,eső) ) y (Sz(Tomi,y) Sz(Misi,y) ) y ( Sz(Tomi,y) Sz(Misi,y) ) 9 20 szabály szétbontása Szabályok formája x ( S(x) H(x ) ) helyett x ( H(x) ) x ( H(x) S(x) ) szabály átformálása (kontrapozitív alak) y ( Sz(Tomi,y) Sz(Misi,y) ) mellett y ( Sz(Misi,y) Sz(Tomi,y) ) Válasz Kérdés: Ki az az x személy, aki H(x) x ( H(x) ) 2 22 Következtetési irány megválasztása Tény illesztése a szabály illesztése előtt A(Misi) Sz(Tomi,eső) Szabály: H(x) H(x) S(x) S(x) Sz(x,hó) H(x) Sz(x,eső) Sz(Tomi,y) Sz(Misi,y) Sz(Tomi,y) Sz(Misi,y) H(x) tény H(x) H(x) A(Misi). szabály kontrapozitív 3. szabály

5 Példa folytatása Ismétlődő szabálykapcsolat-gráf H(x) H(x) {x x} {x 2 x} Sz(x,hó) {x Misi, y hó} Sz(Misi,y) H(x) S(x) H(x) x 2,y x 2,y V=<x, x, x x 2, y, x, x 2, y, x x 2, y, x, x 2, y, x > T=<T, x, T x, hó, M, x, hó, M x, hó, M, x, hó, M > Ellentmondás korai felismerése. Ellentmondás korai felismerése 2. {x 2 x} = Ø H(x) ={ x/t, x /x, x 2 x } H(x) {x x} Sz(x,hó) = {x/t} ={ x/t, x /x } {x Misi, y hó} Sz(Misi,y) =? H(x) H(Tomi) H(x) {x Tomi} S(Tomi) {x 2 Tomi}? ={ x/t, x /x } S(Tomi) Folyamatos konzisztencia ellenőrzés Példa folytatása: visszalépések Additív módon számolt aktuális egyesítő kompozíció Az aktuális hiperút konzisztenciáját vizsgáljuk. Ha ellentmondásos, akkor visszalépünk. Ha nem (van EK), tovább lépünk; ezután elég a soron következő illesztő helyettesítés és a korábban talált EK konzisztenciáját megvizsgálni. (additív számolás) Aktuális EK tárolása minden csúcsnál. Változó behelyettesítés a hiperút párhuzamos ágain Egy változóra vonatkozó helyettesítést, nemcsak az illesztés alatt, hanem az aktuális hiperútban mindenhol érvényesítjük. Változó helyettesítés előtti állapot hisztorizálása. H(x) H(Tomi) H(x) S(Tomi) {x Tomi} S(Tomi) {x 2 Tomi}?

6 {x Misi} A(Misi) H(x) A(Misi) A(Misi) Példa folytatása a sorozatos visszalépések után H(x) H(Misi) {x Misi} S(Misi) S(Misi) V=< x, x, x, x 2, y, x> T=<M, x, M, x, hó, M> {x 2 Misi} Sz(Misi,hó) {y hó} Sz(Misi,y) Szabályok jellemző alakja Másodlagos stratégiai elemek o Következtetési irány megválasztása o Szabályalkalmazások iránya o Tény illesztése a szabály illesztése előtt Folyamatos konzisztencia ellenőrzés Illesztő helyettesítés iránya: fentről lefelé Ismétlődő szabálykapcsolat-gráf 3 32 Sorrendi heurisztikák. Példa Kiértékelő függvény az adott pillanatban illeszthető literálok (tények illetve szabályok) rangsorolására Meta-szabály az adott pillanatban illeszthető literálok (tények illetve szabályok) rangsorolására Azt a literált válasszuk, amelyikhez a legkevesebb féle illesztést alkalmazhatjuk! képviselők, ácsok, szülő-gyerek párok Szülő(y,x) Ács(y) Képviselő(x) Szülő(y,x) Ács(y) Képviselő(x) Szülő(u,v) Ács(u) Szülő(a,v) Képviselő(u) Képviselő(a) 350 Szülő(u,a) 2 2 Ács(a). Példa Szülő(a,b) Lehetséges próbálkozások száma a Szülő, Ács, Képviselő rögzített illesztési sorrendje mellett: Szülő, Ács, Képviselő: ** Ács, Képviselő, Szülő: 0 000*350* Ács, Szülő, Képviselő: 0 000*2* Képviselő, Ács, Szülő: 350*0 000* Képviselő, Szülő, Ács: 350*2* Szülő(y,x) Szülő(y,a) Ács(y) Ács(b) Képviselő(x) Képviselő(a). Példa y/b Szülő(b,a)? Ács(b) x/a 6

7 Mindig a fontosabb szabályt illesszük! 2. Példa Ha az alábbi szabályok közül mindkettő illeszthető. ha a betegnek leállt a szíve, akkor szívmasszázst kell alkalmazni 2. ha a betegnek horzsolt seb van az alkarján, akkor be kell kötözni akkor az elsőt kell alkalmazni. 4. A SZK nem teljes módszer A reprezentáció korlátjai miatt Nem minden logikai reprezentáció írható át csak előre vagy csak visszafelé haladó szabály alakúra (Milyen irányú az L L 2 L 3 L 4 szabály?) A következtetés korlátjai miatt Nem minden tétel vezethető le szabályalapú következtetéssel. L L - Szabályok: - L L L? L