matematikai statisztika gyakorlatok feladatok és megoldások

Valószínűségszámítás és matematikai statisztika gyakorlatok feladatok és megoldások. május 6.

ii

Tartalomjegyzék. Valószínűségszámítási feladatok.. Függetlenség, feltételes valószínűség....................... Valószínűségi változók.............................. Nevezetes eloszlású valószínűségi változók..................4. Várható érték, szórás............................. 6.5. Generátorfüggvény, karakterisztikus függvény................6. Központi határeloszlás tétel..........................7. Vektor valószínűségi változók........................ 5.8. χ, T és F eloszlások............................. 9.9. Regresszió analízis............................... Matematikai statisztika feladatok 7.. Paraméter becslések............................. 7.. Paraméteres próbák.............................. 4.. Nem paraméteres próbák........................... 44 iii

iv TARTALOMJEGYZÉK

. fejezet Valószínűségszámítási feladatok.. Függetlenség, feltételes valószínűség.. Feladat. Szinbád, a szultánnak tett szolgálataiért, választhat egyet az N háremhölgy közül úgy, hogy az egyenként előtte elvonuló hölgyek valamelyikére rámutat. Tegyük fel, hogy a háremhölgyek szépségük szerint egyértelműen sorrendbe állíthatók, és Szinbád taktikája a következő: a véletlen sorrendben elvonuló hölgyek közül, az első n szemrevétele után azt választja, aki szebb minden korábban látottnál. Mennyi annak valószínűsége, hogy Szinbád a legszebb háremhölgyet választja? Megoldás: Vezessük be a következő eseményeket A Szinbád a legszebb háremhölgyet választja B a legszebb hölgy az első helyen áll B a legszebb hölgy a második helyen áll... B N a legszebb hölgy az N-edik helyen áll ahol a B k k,,..., N események teljes eseményrendszert alkotnak, és P B k ) { ha k,,..., n N k,,..., N P A B k) n ha k n +, n +,..., N k amiből a keresett N P A) kn+ n k N n N N kn+ k k k.5849 valószínűség a teljes valószínűség tétellel számolható. Megjegyzés: Ha az N esetben megkeressük azt az n számot, amire P A) maximális, kapjuk az n kn+ k

. FEJEZET. VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁSI FELADATOK kifejezés maximumát n 7 esetén, és ekkor P A).747478. Megmutatható, hogy N esetén, N e. 78 arány adja a maximális valószínűséget, ami most n 7. 7 7... Feladat. Két testvér, A és B, p illetve q valószínűséggel mond igazat. Ha B azt állítja, hogy A hazudik, mennyi annak valószínűsége, hogy A igazat mond? Megoldás: Vezessük be az alábbi eseményeket akkor feltehetjük: amiből a keresett P A B ) A A mond egy igaz állítást A A mond egy hamis állítást B B azt állítja, hogy A igaz állítást mond B B azt állítja, hogy A hamis állítást mond P A ) p P A ) p P B A ) P B A ) q P B A ) P B A ) q P B A ) P A ) P B A ) P A ) + P B A ) P A ) valószínűség a Bayes tétellel számolható. q) p q) p + q p).. Valószínűségi változók.. Feladat. A következő szerencsejátékot játszuk Ft befizetése ellenében: kockát dobunk, és ha az eredmény, vagy, akkor még fizetünk további 5Ft-ot. Ha a dobás eredménye 4, 5 vagy 6, akkor hatszor ennyi Ft-ot kapunk. Jelölje ξ a játékban elért eredményt bevétel - kiadás), a) adjuk meg a véletlen kísérlet matematikai modelljét! b) adjuk meg ξ eloszlását! c) mennyi a nyerés ξ > ) valószínűsége? d) mi a legvalószínűbb érték? Megoldás:

.. VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓK a) A véletlen kísérlet matematikai modellje a kombinatórikus v.m. n összes eset száma, k kedvező esetek száma): Ω {,,, 4, 5, 6} n 6 ξω) 5 ha ω,, 4 ha ω 4 ha ω 5 6 ha ω 6. Mivel most Ω minden részhalmaza esemény, a ξ függvény v.v., mellyel kapcsolatos események közül elég vizsgálni a eseményeket. {ξ 5} {,, } k {ξ 4} {4} k {ξ } {5} k {ξ 6} {6} k b) ξ értékkészlete véges, ezért diszkrét eloszlása és eloszlásfüggvénye az értékek növekvő sorrendjében megadva: x P ξ x) F x) 5 6 4 6 6 6 6 6 4 6 5 6..) c) Számítsuk ki a P ξ > ) 6 + 6 + 6 d) Mivel valószínűséget. a keresett érték ξ un. módusza) 5. max {P ξ x)} P ξ 5), x.4. Feladat. Egy egység hosszúságú szakaszon találomra választunk egy pontot. Az így kapott két részből, mint oldlakkal, téglalapot készítünk. Jelölje ξ a téglalap területét, Kézirat, módosítva:. május 6.

4. FEJEZET. VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁSI FELADATOK a) adjuk meg a véletlen kísérlet matematikai modelljét! b) adjuk meg ξ eloszlását! c) mennyi annak valószínűsége, hogy a terület és közé esik? d) milyen értéknél lesz nagyobb illetve kisebb a terület azonos valószínűséggel? Megoldás: a) A véletlen kísérlet matematikai modellje a geometriai v.m.h összes eset hossza, h kedvező esetek hossza): Ω [; H ξω) ω ω) ω [;. Vizsgáljuk a ξ-vel kapcsolatos {ξ < x} nívóhalmazokat, ami az ω ω) < x ω [;.) egyenlőtlenség megoldáshalmaza. Az egyenlőtlenség ekvivalens alakításával kapjuk aminek megoldása, ha i) 4 4x < x > ii) 4 4x x iii) 4 4x > x < Ha < x < < ω ω + x ω [; {ξ < x} [; h {ξ < x} [; \ {} h {ξ < x} [ ; x [ + x; [ h x ), ha pedig x Tehát ξ valóban valószínűségi változó. {ξ < x} h.

.. VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓK 5 b) ξ eloszlása nem lehet diszkrét, ezért adjuk meg eloszlásfüggvényét: ha x F x) P ξ < x) x ha < x ha < x ami szakaszonként folytonosan differenciálható, tehát ξ folytonos eloszlású fx) x < x <.) sűrűségfüggvénnyel. c) Számítsuk ki a P < ξ < ) valószínűséget. x dx F ) F ) 6 d) Mivel ξ folytonos eloszlású, P ξ x) minden x R esetén, ezért keressük az egyenlet megoldását, amiből P ξ < x) P ξ > x) F x) x x 4, tehát a keresett érték ξ u.n. mediánja) 4..5. Feladat. Két kockát dobunk, és ξ jelölje az eredmények maximumát, η pedig a két dobás minimumát. a) Adjuk meg ξ; η), ξ és η eloszlását! b) Függetlenek-e ξ és η? c) Mennyi annak valószínűsége, hogy a maximum legalább kétszer akkora mint a minimum? Megoldás: a) Mivel ξ; η) véges értékkészletű, a kombinatorikus v.m.-ben számolhatjuk eloszlását, amit az értékek szerint táblázatba foglalva kapjuk az együttes illetve perem eloszlásokat: x y 4 5 6 P ξ x) 6 6 6 6 4 6 5 6 6 6 P η y) 6 6 6 5 6 6 6 7 6 6 6 6 9 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 9 7 5 6 6 6 6 6.4) Kézirat, módosítva:. május 6.

6. FEJEZET. VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁSI FELADATOK b) Mivel például P ξ, η ) 6 6 6 ezért ξ és η nem függetlenek. P ξ ) P η ), c) A keresett valószínűség: P ξ η) 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6..6. Feladat. Válasszunk véletlen pontot az egység sugarú körben, jelölje a pont koordinátáit ξ és η, a polárkoordinátákat pedig ρ és ϕ. a) Adjuk meg a véletlen kísérlet matematikai modelljét! b) Keressünk ξ-vel és η-val kapcsolatos esemányeket, melyek nem fügetlenek! c) Függetlenek-e, a ρ és ϕ véletlen mennyiségekkel kapcsolatos események? Megoldás: a) A véletlen kísérlet matematikai modellje a geometriai v.m.t összes eset területe, t kedvező esetek területe): Ω { x; y) x + y } ξx; y) x x; y) Ω ηx; y) y x; y) Ω b) Mivel a pozitív területű { } { ξ > x; y) ρx; y) x + y x; y) Ω ha x y π ha y > és x arctan ) y ha y és x > ϕx; y) x π ha y < és x arctan y x) + π ha x < arctan y x) + π ha y < és x > } < x és { η > } { x; y) } < y események kizárják egymást, ezért ) P ξ >, η > P ξ > ) P η > ) > tehát a két esemény, és akkor ξ és η, nem függetlenek

.. VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓK 7 c) Adjuk meg a ρ-val kapcsolatos eseményeket ha b t {ρ < b} {x; y) x + y < b } ha < b t b π Ω ha < b t π és a ϕ-vel kapcsolatos eseményeket ha c t {ϕ < c} c ívmétrékű körcikk ha < c π t c π π Ω ha π < c t π. Továbbá {ρ < b} {ϕ < c} c ívmétrékű, b sugarú körgyűrű-cikk c ívmétrékű körcikk b sugarú koncentrikus kör Ω ha b vagy c ha < c π és < b ha < c π és < b ha < b és π < c ha < b és π < c t t c π b π t c π π t b π t π tehát kapjuk P ρ < b, ϕ < c) P ρ < b) P ϕ < c) b, c R, ami ρ és ϕ függetlenségét jelenti, mivel a megfelelő eloszlásfüggvényekre kaptuk: F ρ,ϕ b; c) F ρ b) F ϕ c) b, c R. Megjegyzés: Vegyük észre, hogy a ρ és ϕ véletlen mennyiségek ugyanazon ξ; η) pár által meghatározottak, annak függvényei, valószínűségszámítási értelemben mégis függetlenek..7. Feladat. Egy diszkrét eloszlású v.v. eloszlása x P ξ x) p.. q és tudjuk, hogy a v.v. negatív értéket.5 valószínűséggel vehet fel. Kézirat, módosítva:. május 6.

8. FEJEZET. VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁSI FELADATOK a) Adjuk meg p és q értékét! b) Adjuk meg η ξ eloszlását! c) Adjuk meg a { ξ + ξ } esemény valószínűségét! Megoldás: a) Mivel P ξ < ) p +..5 p., továbbá. +. +. + q q.4. b) Mivel η értékkészlete {,, 4}, y P η y). x P ξ x).7. x P ξ x) 4. x 4 P ξ x) c) Az x + x x Ω egyenlőtlenség megoldáshalmaza {,, }, tehát P ξ + ξ < ) P ξ x). +. +.4.8. x +x<.8. Feladat. Legyen a ξ v.v. sűrűségfüggvénye fx) { c x ha < x egyébként..5) a) Adjuk meg c értékét! b) Adjuk meg ξ és η ξ eloszlásfüggvényét, η sűrűségfüggvényét! c) Adjuk meg a { ξ ξ < 4} esemény valószínűségét! Megoldás: a) Mivel R c f dx 4c c x 4.

.. VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓK 9 b) ξ eloszlásfüggvénye: F ξ x) P ξ < x) mivel < x esetén ha x x) ha < x + x ha < x ha < x, P ξ < x) x 4 t dt x), c) Az és < x esetén P ξ < x) P ξ < ) + x η eloszlásfüggvénye: F η x) P ξ < x) mivel < x esetén 4 t dt + x. ha x 4 x ha < x ha < x P ξ < x) P x < ξ < x) F ξ x) F ξ x) 4 x. Ebből η sűrűségfüggvénye: f η x) F η x) 4 4 x < x. x x < 4 x R egyenlőtlenséget alakítva, oldjuk meg: < x x + 4 és x x 4 <. A megoldáshalmaz: ; [, így ξ P ξ ) < P 4 < ξ < ) F ξ ). 85 55. ) F ξ ) Kézirat, módosítva:. május 6.

. FEJEZET. VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁSI FELADATOK.9. Feladat. Válasszunk két véletlen pontot a [; intervallumban, jelölje az elsőként választott értéket ξ, és η legyen a két érték maximuma. a) Adjuk meg ξ, η) eloszlását! Független-e ξ és η? b) Adjuk meg a peremek eloszlását! c) Folytonos-e ξ, η) eloszlása? Megoldás: a) Adjuk meg ξ, η) eloszlásfüggvényét: ha x vagy y xy ha < x y F ξ,η x, y) y ha < y és y < x x ha < x és < y ha < x és < y Mivel például a {ξ >.5} és {η <.5} pozitív valószínűségű események kizáróak, ezért nem lehetnek függetlenek, és így ξ és η sem független. b) ξ eloszlásfüggvénye: ξ sűrűségfüggvénye: η eloszlásfüggvénye: η sűrűségfüggvénye: F ξ x) lim y F ξ,η x, y) ha x x ha < x ha < x f ξ x) F ξ x) x. F η y) lim x F ξ,η x, y) ha y y ha < y ha < y f η y) F η y) y y. c) ξ, η) eloszlása nem lehet folytonos, mert P ξ η).5, de folytonos eloszlás esetén P ξ η) fx, y)dxdy xy következne, mivel nulla mértékű halmazon kell integrálni. Megjegyzés: Vegyük észre, hogy a peremek ugyan folytonos eloszlásúak, az F ξ,η eloszlásfüggvény folytonos, és nulla mértékű halmazon kívül folytonosan differenciálható, mégsem folytonos az együttes eloszlás.

.. NEVEZETES ELOSZLÁSÚ VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓK.. Nevezetes eloszlású valószínűségi változók.. Feladat. Egy fős tanulócsoportban lány és 8 fiú van. 6 találomra válsztott felelés során, milyen határok között van a lányok száma legalább.8 valószínűséggel, ha a) minden tanuló csak egyszer felelhet? b) minden tanuló tetszőleges számúszor felelhet? Megoldás: Jelölje ξ a lányok számát a 6 felelő között, akkor feltehetjük, hogy a) ξ Hyp; ; 6), és az n p 6. 6 értéket közrefogó legvalószínűbb értékekkel kezdve, számoljuk: k P ξ k) 4 4 ) 8 ). 57 59 6 ). 57 59 ) 8 ). 7 85 6 ). 675 44 5 5 ) 8 ). 6 47 6 ). 88 9 Tehát.8 < P ξ 5). 88 9. b) ξ Bin6;.6), és az n p 6. 6 értéket közrefogó legvalószínűbb értékekkel kezdve, számoljuk: k P ξ k) 4 6 ) 4.64.4. 4. 4 6 ).6.4. 76 48. 587 5 5 6 ) 5).65.4. 86 6. 774 4.6.4 4. 8 4. 9 8 Tehát 6.8 < P ξ 5). 9 8. Megjegyzés: A kérdésre más válasz is adható, például a b) esetben ) 6 P ξ 6).6 6.4 4. 665 6 6 értékkel számolva kapjuk.8 < P ξ 6). 774 4 + 4. 665 6. 8 8. Kézirat, módosítva:. május 6.

. FEJEZET. VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁSI FELADATOK.. Feladat. Egy háztartási bizosításra átlagosan 5 év alatt egyszer kell kártérítést fizetni. a) Mennyi annak valószínűsége, hogy egy biztosított egy adott évben nem jelentkezik kártérítésért? b) Mennyi annak valószínűsége, hogy egy biztosításra 5 év alatt egynél több év lesz, amikor kell kártérítést fizetni? Megoldás: a) Jelölje ξ egy biztosított kártérítéseinek számát egy év alatt, akkor feltehetjük, hogy ξ Po ). A keresett valószínűség: 5 P ξ ) e 5. 88 7. b) Jelölje η az n 5 év alatt bekövetkező p. 88 7. 8 7 valószínűségű események számát, akkor η Bin5;. 8 7). A keresett valószínűség: P η > ). 88 7 5 + 5. 8 7. 88 7 4). 4 87... Feladat. Egy bizonyos forrásból származó adatállomány mérete exponenciális eloszlású véletlen mennyiség. Tudjuk, hogy az esetek felében az állomány mérete meghaladja a kb-ot. a) Mennyi annak valószínűsége, hogy egy állomány mérete meghladja a kb-ot? b) Ha egymás után kapunk ilyen állományokat, mennyi annak valószínűsége, hogy az első kb-ot meghaladó méretű a tizedik útán, de még a tizenötödik előtt érkezik? Megoldás: a) Jelölje ξ egy állomány méretét, akkor ξ Expλ), és tudjuk, hogy amiből P ξ > ) e λ. 5. λ ln.5) 5. 776 tehát a keresett valószínűség P ξ > ) e 5. 776. 4 98

.. NEVEZETES ELOSZLÁSÚ VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓK b) Jelölje ν annak az állománynak a sorszámát, amely nagyobb mint kb, akkor ν Geom. 4 98), és a keresett valószínűség P ν 4) 4 k. 4 98) k. 4 98. 774... Feladat. Tudjuk, hogy a felnőtt emberek magassága N 75; ) eloszlású véletlen mennyiség. a) Milyen magas legyen egy ajtó, ha azt karjuk, hogy valaki 99%-os biztonsággal gond lehajlás) nélkül tudja azt használni? b) Ha egy lakásban négy felnőtt lakik, mennyi annak valószínűsége, hogy legfeljebb egy fő magasabb az előbb megadott ajtó-méretnél? c) Milyen magas legyen az ajtaja egy fős előadó teremnek, ha azt akarjuk, hogy 9%-os valószínűséggel senkinek ne okozzon gondot az ajtó? Megoldás: a) Jelölje ξ N 75; ) v.v. egy felnőtt magasságát, és q a keresett értéket, akkor ) q 75 P ξ < q) F q) Φ.99 amiből a Φ. 6 ).99 táblázati értékkel kapjuk tehát q 98. 6. q 75. 6 b) Jelölje ν azok számát, akiknek alacsony ez a méret, akkor ν Bin4;.), tehát a keresett valószínűség: P ν ).99 4 + 4..99. 999 4 c) Jelölje ν azok számát, akiknek alacsony a keresendő q méret, akkor ν Bin; p) Pop), tehát P ν ) e p.9 p ln.9) 5. 68 4 és teljesülni kell ) q 75 P ξ < q) F q) Φ 5. 68 4 amiből a Φ. 75 8) 5. 68 4 táblázati értékkel kapjuk tehát q 7. 76. q 75. 75 8 Kézirat, módosítva:. május 6.

4. FEJEZET. VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁSI FELADATOK.4. Feladat. Egy öt fiúból, és öt lányból álló társaságban a fiúk magassága N 8; 8), a lányoké N 7; ) eloszlású véletlen mennyiség. a) Ha választunk egy fiút és egy lányt, mennyi annak valószínűsége, hogy a fiú legalább 5 cm-rel magasabb a lánynál? b) Ha öt táncoló párt alkot a társaság, mennyi annak valószínűsége, hogy van köztük legalább egy pár, ahol a fiú nem magasabb 5 cm-rel a lánynál? Megoldás: a) Jelölje az egymástól független ξ N 8; 8) a fiú, η N 7; ) a lány magasságát, akkor a keresett valószínűség ) 5 8 P ξ > η + 5) P ξ η > 5) F ξ η 5) Φ 64 ) Φ. 59 6 64 mivel ξ η N 8; 64). b) ν jelölje azon párok számát, ahol a fiú nem magasabb 5 cm-rel a lánynál, akkor ν Bin5;.479), és a keresett valószínűség P ν > ). 59 6 5. 96 9..5. Feladat. Legyenek ξ, η N ; ) függetlenek, adjuk meg a) ξ eloszlását! b) ξ + η eloszlását! c) ξ η eloszlását! Megoldás: a) Adjuk meg az eloszlásfüggvényt: { F ξ x) mivel < x esetén ha x Φ x) ha < x P ξ < x) P x < ξ < x) Φ x). A sűrűségfüggvény: f ξ x) F ξ x) x ϕx) πx exp x ) < x

.. NEVEZETES ELOSZLÁSÚ VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓK 5 b) ξ + η eloszlásfüggvénye: F ξ +η x) { ha x e x ha < x mivel ξ és η függetlenek, ezért együttes sűrűségfüggvényük f ξ,η u; v) ) ) exp u exp v u; v) R.6) π π és így < x esetén P ξ + η < x) x π r [ exp u +v <x π exp π exp u + v ) r dtdr ) r x exp x x ) ) dudv r exp c) Vezessük be a ζ ξ, és ζ η η v.v.-kat, akkor ζ, ζ ) hξ, η), ahol u ) hu, v) v, v u R, v R. ) r dr a ξ, η) értékkászletének -valószínűségű részén értelmezett, invertálható h x, y) x y, y) x R, y R és differenciálható, az inverz derivált mátrixa: [ y x x R, y R és [ y x det y x R, y R. Tehát a.6)-ből kapjuk ζ, ζ ) sűrűségfüggvényét f ζ,ζ x, y) y ) π exp x y + y x R, y R, amiből a keresett sűrűségfüggvény: f ζ x) y ) π exp x y + y dy [ π x + y y π x + x R. y ) π exp x + y dy Megjegyzés: Vegyük észre, hogy ξ + η exponenciális eloszlású λ paraméterrel, ξ η eloszlása pedig az u.n. Cauchy eloszlás. Kézirat, módosítva:. május 6.

6. FEJEZET. VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁSI FELADATOK.4. Várható érték, szórás.6. Feladat. Az.. feladatban adjuk meg az eredmény várható értékét szórását! Megoldás: Használjuk ξ.) eloszlását x P ξ x) x P ξ x) x P ξ x) 5 45 675 6 6 6 4 96 4 6 6 6 6 6 6 6 6 5 6 4 6 676 6 649 Tehát Eξ) 5 Dξ) 649 ) 5 7. 84.7. Feladat. Az.4. feladatban adjuk meg a terület várható értékét szórását! Megoldás: Használjuk ξ.) sűrűségfüggvényét: Tehát fx) x < x <. Eξ) x x dx Eξ ) x x dx 8 5 így kapjuk Dξ) 8 5 ) 5. 5.8. Feladat. A következő szerencsejátékot játszuk: T -összeg befizetése ellenében dobunk egy kockát, és ha az eredmény, vagy, akkor nem nyerünk semmit, ha 4, 5 vagy 6 a dobás eredménye, akkor 8, 4 illetve a nyereményünk a) Milyen T -összegig érdemes játszani? b) Mennyi a játékban elért eredmény szórása, amikor a várható eredmény? Megoldás:

.4. VÁRHATÓ ÉRTÉK, SZÓRÁS 7 a) Jelölje ξ a játékban elért eredményt, akkor ξ eloszlása amiből x P ξ x) T 8 T 6 4 T T Eξ) T + 8 T ) 6 + 4 T ) 6 + T ) 6 T. Tehát érdemes játszani, ha b) Mivel Eξ) T, és ekkor T <. D ξ) Eξ ) ) + 6 6 + 6 + 8 6 56 Dξ) 56 9. 49.9. Feladat. Adjuk meg a.5. feladat ξ és η véletlen mennyiségeivel kapcsolatban az a) Eξ), Eη), Eξη) várható értékeket és a Dξ), Dη) szórásokat! b) η aξ + b közelítést! Megoldás: a) Használjuk az.4) eloszlást, amiből x y 4 5 6 P ξ x) 6 6 6 6 6 5 6 6 6 6 7 4 6 6 6 6 6 5 6 6 6 P η y) 6 6 6 9 6 6 6 7 6 6 6 5 6 6 6 9 6 6 6 6 6 6 6 Eξ) 6 + 6 + 5 6 + 4 7 6 + 5 9 6 + 6 6 6 6 Eη) 6 + 9 6 + 7 6 + 4 5 6 + 5 6 + 6 6 9 6 Kézirat, módosítva:. május 6.

8. FEJEZET. VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁSI FELADATOK Eξη) 6 + 6 + 6 + + ) 6 + 6 + + 4 + 4 + 4 ) 6 + 4 4 6 + 5 + 5 + 5 + 5 4) 6 + + 5 5 6 + 6 + 6 + 6 + 6 4 + 6 5) 6 + 6 6 6 49 4 továbbá tehát Eξ ) 6 + Eη ) 6 + Dξ) Dη) 6 + 5 6 + 7 4 6 + 9 5 6 + 6 6 79 6 9 6 + 7 6 + 5 4 6 + 5 6 + 6 6 6 79 ) 6 6 555. 44 6 6 ) 9 555. 44 6 6 6 b) Mivel covξ, η) 49 4 6 6 9 6 5 96 5 96 r 5 555 555 7 6 kapjuk a regressziós együtthatók értékét a és a maradék szórásnégyzetet σ R 6 6 5 96 6 ) 5. 479 45 555 7 b 9 6 5 7 6 6 8. 8 56 7 555 ) ) ) 5 665. 58. 7 48.. Feladat. Adjuk meg az.8. feladatban szereplő ξ és η valószínűségi változók várható értékét és szórását, valamint a két véletlen mennyiség korrelációs együthatóját! Megoldás: Mivel ξ sűrűségfüggvénye

.4. VÁRHATÓ ÉRTÉK, SZÓRÁS 9 fx) { ha < x 4 x egyébként. kapjuk Eξ) Eη) Eξ ) Eη ) Eξ 4 ) Eξη) Eξ ) x 4 x dx + x x 4 x x 4 x dx 4 x dx + 4 x dx + 4 x dx + x x 4 x 4 x dx 5 4 x dx 9 4 x dx kapjuk Dξ) 5 Dη) 9 ) 4 5 5 covξ, η) r. Megjegyzés: Vegyük észre, hogy ξ és η korrelálatlan, de nem független, mert például és P ξ < ) 4 P η > ) P 8 P 4 4 x dx 4 ) + P ξ < 9 ξ > 9 ) 9 ξ < 4, η > ) P ξ < ) 8 4 4 4. 4 x dx.. Feladat. Egy ujságárusnál egy adott lapot átlagosan vásárló keres egy napon. Ha naponta lapot rendel, mennyi a várható haszna, ha az 5Ft-ért beszerzett lapot 6Ft-ért adja a vásárlónak, és a megmaradt példányokat Ft-ért veszi vissza a terjesztő? Megoldás: Felthetjük, hogy a napi kereslet ν Po), és ha N jelöli a rendelt mennyiséget, akkor a haszon véletlen mennyisége: ξ ν {ν N} N ν) {ν N} + N) {ν>n} ν {ν N} N {ν N} + N N ν N) {ν N} + N k N) {νk} + N. k Kézirat, módosítva:. május 6.

. FEJEZET. VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁSI FELADATOK Adjuk meg ennek várható értékét: Eξ) k k ) k e + 596. 9. k!.. Feladat. Legyenek ξ N ; ), ξ Exp) függetlenek, és jelölje ξ ξ és η ξ ξ. Adjuk meg az η aξ + b regressziós közelítést! Megoldás: Számítsuk ki a szükséges várható értékeket: amiből kapjuk Eξ) Eη) E ξ ξ ) 5 D ξ) 4 Eξη) E ) ξ ξ + ) 5 covξ, η) 5 5 Eη ) E ξ ξ) + ) ) + D η) 5 5 7 ) ) 5 a 4 b 5 ) r σ R 7 6. 4 7 9 9.5. Generátorfüggvény, karakterisztikus függvény.. Feladat. Legyen a ξ és η független v.v.-k generátorfüggvénye: G ξ z) + 4 z + 4 z G η z) 6 z + z + z adjuk meg ξ + η generátorfüggvényét, várható értékét és szórását! Megoldás: Mivel G ξ+η z) + 4 z + ) 4 z 6 z + z + ) z 8 z5 + 5 4 z4 + 8 z + 5 4 z + z z C

.5. GENERÁTORFÜGGVÉNY, KARAKTERISZTIKUS FÜGGVÉNY kapjuk G ξ+η z) 5 8 z4 + 5 6 z + 9 8 z + 5 z + G ξ+η ) 5 8 + 5 6 + 9 8 + 5 + 7 Eξ + η) tehát G ξ+η z) 5 z + 5 z + 9 4 z + 5 G ξ+η ) 5 + 5 + 9 4 + 5 E ξ + η) ) Eξ + η) Eξ + η) 7 Dξ + η) + 7.4. Feladat. Legyen a ξ v.v. sűrűségfüggvénye ) 7 79 f ξ x) e x x R a, b R adjuk meg η aξ + b karakterisztikus függvényét! Megoldás: Adjuk meg először ξ φ ξ t) Ee itξ ) karakterisztikus függvényét, amiből e itx e x dx e itx ex dx + e itx e x dx + t ) i t + t + + t ) + i t + t t R + t φ η t) e itb ϕ ξ at) eitb + a t t R. Megjegyzés: Vegyük észre, hogy az inverziós formula következménye szerint, a folytonos eloszlás sűrűségfüggvényét megkaphatjuk e x π amiből a t u helyettesítéssel, és rendezve e x e itx + t dt e iux π + u du x R. kapjuk a Cauchy eloszlás karakterisztikus függvényét. Kézirat, módosítva:. május 6.

. FEJEZET. VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁSI FELADATOK.5. Feladat. Legyen a ξ v.v. sűrűségfüggvénye fx) { 8 x ha < x < egyébként, adjuk meg ξ karakterisztikus függvényét! Megoldás: Adjuk meg a karakterisztikus függvényt: φ ξ t) Ee itξ ) i t eit e itx 8 x dx [ e itx i t 4 x i t eit + t eit 4 + [ e itx [ e itx it 8 x e itx it i t 4 dx i t + t + i 4t e itx it 4 xdx ) e it i 4t t R \ {}. Megjegyzés: Vegyük észre, hogy a fenti eredmény csak t esetben értelmezett, de minden karakterisztikus függvény folytonos a t helyen, és értéke, amit esetünkben ellenőrizhetünk: [ lim i t t + t + i ) e it i 4t 4t.6. Feladat. Legyen a ξ v.v. exponenciális eloszlású, és Eξ), és a ν v.v. eloszlása: k P ν k) 4 4 adjuk meg ν generátorfüggvényét! Adjuk meg továbbá az η ν k ξ k v.v. karakterisztikus függvényét és várható értékét, ha ξ k k,,... függetlenek, és közös eloszásuk azonos a ξ valószínűségi változóéval! Megoldás: Adjuk meg ν Gz) z + 4 z + 4 z z C

.6. KÖZPONTI HATÁRELOSZLÁS TÉTEL generátorfüggvényét, és ξ k φt) it t R karaktrisztikus függvényét, amivel kapjuk továbbá φ η t) it + 4 it ) + 4 it ) t R, φ ηt) i it) + 4 i it) + i it) 4 4 φ η) i 5 Eη) 5.6. Központi határeloszlás tétel.7. Feladat. Milyen határok között lehet az a véletlen mennyiség, amit darab, és közötti véletlen szám összegéből 6-ot levonva kapunk, 9%-os valószínűséggel? Megoldás: Jelölje ξ k U; ) k,,, a független véletlen számokat, akkor az η ξ k 6 Eη) Dη) k v.v. közelítően η N ; ), tehát P x η x).9 Φ x).9 Φ x).95 aminek x.645 a megoldása, mivel Φ.645).95..8. Feladat. Egy üzletben egy nap átlagosan vevő vásárol. Mennyi annak valószínűsége, hogy 9-nél kevesebben vásárolnak egy napon? Megoldás: Jelölje ν a vásárlók számát, akkor ν P ), ami már közelíthető az N ; ) eloszlással, tehát ) 9 P ν < 7) Φ Φ.74). 996 9. 7.9. Feladat. Hányszor kell egy szabályos érmét feldobnunk ahhoz, hogy a fejek számának relatív gyakorisága legalább.9 valószínűséggel.-nél kevesebbel térjen el a valószínűségtől Kézirat, módosítva:. május 6.

4. FEJEZET. VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁSI FELADATOK Megoldás: Jelölje ν v.v. a fejek számát n dobásból, akkor szabályos érme esetén ν Binn, ), és keressük azt az n számot, melyre teljesül ν P n ) <..9. Mivel közelítően ν N ) n, n ), ezért νn N, 4, amivel kapjuk n Φ n. ).9 Φ n. ).95 n..645 n 64.5 mivel Φ.645).95, tehát n 6765 esetén teljesül a feltétel. Megjegyzés: Ha az érme nem szabályos, akkor ν ) P n p <..9 kell, hogy teljesüljön az ismeretlen p ; [ értékkel, és ekkor ν n p N, amiből. ) n. ) n Φ.9 Φ.95 n 64.5 p p) p p) p p) ) p p) n, ahol a kívánt egyenlőtlenség következik az n 64.5 egyenlőtlenségből, mivel p p) megoldása a feladatnak.. Tehát az előző eredmény minden p esetén.. Feladat. Egy darabos tételben hibás darab van. Ha darabot kiválasztunk, legalább hány hibás darab lesz a kivettek között 9%-os valószínűséggel? Megoldás: Jelölje ν a hibásak számát a mintában, akkor ν Hyp; ; ), amit közelíthetünk N ;. 796 6) eloszlással, mivel [ Eν) Dν).8 99. 796 6. 999 Keressük tehát k R, melyre ) k P ν k) Φ. 796 6.9 k.8 k 5. 5.. 796 6

.7. VEKTOR VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓK 5.. Feladat. Az. feladatban keressük meg azt az N rendelés számot, mellyel a várható haszon maximális! Megoldás: Jelölje ξ a hasznot, ν Poλ) N λ, λ) a vásárlók számát, ahol λ, b a haszon egy eladott újságon és c a veszteség minden megmaradt példányon, akkor ) N m N Eξ) E b + c) k N) {νk} + bn b + c) k N k Pν k) b + c)n k Vizsgáljuk az m N sorozat monotonitását: N Pν k) + bn. k N m N+ m N b + c) Pν k) + b k b N b + c k ) N λ Pν k) P ν N) Φ λ. Tehát m N maximális, ha ) b N λ b + c Φ λ, adatainkat behelyettesítve: ) N Φ N. 4 7 N 95. 69. Tehát N 96 darabot kell rendelni a maximális várható haszonhoz, és ekkor Eξ) 96 k k 96) k e + 96 89. 7. k!.7. Vektor valószínűségi változók.. Feladat. A ξ ξ, ξ ) v.v.v. kovariancia mátrixa és várható értéke: covξ, ξ) [ 7 5 Eξ) a) Adjuk meg az első a nagyobbik sajátértékhez tartozó) főkomponenssel és főfaktorral való közelítést, és a közelítés hibáját, és a közelítés egyenesének egyenletét! [ Kézirat, módosítva:. május 6.

6. FEJEZET. VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁSI FELADATOK b) Legyenek η ξ ξ + η ξ + ξ 5 ajuk meg az η η, η ) v.v.v. kovariancia mátrixát és várható érték vektorát! c) Ha ξ, ξ ) egy megfigyelt értéke ; ), adjuk meg a főkomponensek és főfaktorok megfelelő értékeit! Megoldás: a) covξ, ξ) sajátértékei és normált sajátvektorai: λ 8 v λ 4 v tehát ξ τ [ + [ [ τ [ [ 6 + [ és az első főkomponens illetve főfaktor egyenesének egyenlete x + y + σ R λ 4 b) covη, η) [ [ [ 7 5 T [ + + 7 + 4 Eη) [ [ + [ 5 [ c) ξ ξ ξ ξ τ τ τ τ 8. 9. 68 mivel [ [ [ [

.7. VEKTOR VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓK 7.. Feladat. Legyenek egy téglalap oldalai a ξ és η független valószínűségi változók, és Eξ) Dξ) Eη) 5 Dη) jelölje továbbá a terület logaritmusát τ, a kerület logaritmusát pedig κ. Adjuk meg a τ, κ) v.v.v. várható értékének és kovariancia mátrixának közelítését! Megoldás: Mivel [ τ k [ lnξ) + lnη) ln) + lnξ + η) használjuk az elsőfokú Taylor formulát a várható érték középponttal: [ [ [ τ ln5) + 5 ξ ln5) η 5 amiből k [ ) τ E k 5 [ ln5) ln5) 5 [ 9. 65 8 6. 4 6 [ τ cov k [ τ, k ) [ 5 5 5 [ 4 [ 5 5 5.4. Feladat. Legyen a ξ, η) v.v.v. sűrűségfüggvénye: fx, y) c exp x + ) xy y x + y + T [ 6 75 75 5 x, y) R. Adjuk meg c értékét, ξ, η) kovariancia mátrixát és várható érték vektorát! Megoldás: Mivel a normális eloszlás sűrűségfüggvénye az exponensben egy kvadratikus formát tartalmaz, vizsgáljuk meg a normális eloszlás lehetőségét, amikor is a sűrűségfüggvény az alábbi alakban írható: fx, y) π σ σ r exp Tehát a tiszta másodfokú tagokból { x ) xy + y [ x m y m T V [ x m [ x y V [ x y y m } kell hogy teljesüljön, amiből V [ [ ξ cov η [ ξ, η ) [ V Kézirat, módosítva:. május 6.

8. FEJEZET. VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁSI FELADATOK ami valóban egy pozitív definit szimmetrikus) mátrix. Az elsőfokú tagokra teljesül x + y) ) [ m m T V [ x y ) ) m + m x + m + m y, ezért az m + m m + m egyenlet megoldásával kapjuk: m m + [ ξ E η ) [ + +. A konstans tag az exponensben így [ + + T [ [ + + és a sűrűségfüggvény [ fx, y) c exp x + y + T V [ x + y + exp ) +, tehát teljesülni kell az c exp ) + egyenletnek, ahol σ σ r, amiből π σ σ r c exp 4 ) π e 4+ π 8. 6 8. Tehát összefoglalva, c 8. 6 8 [ ξ η [ N + +, [ ).

.8. χ, T ÉS F ELOSZLÁSOK 9.8. χ, T és F eloszlások.5. Feladat. Legyen ξ ξ, ξ ) N m, V ) -dimenziós normális eloszlású, ahol [ [ m V 4 és keressünk olyan H R tartományt, hogy teljesüljön! P ξ H).95 Megoldás: Mivel a V kovariancia mátrix invertálható, keressük a H tartományt az x m) T V x m) k x R másodfokú egyenlőtlenség megoldáshalmazaként egy alkalmas k > számmal. Ekkor { } {ξ H} W ξ m)) T W V W T W x m)) k ahol W [ λ v T λ v T a főfaktorok előállításának transzformációs mátrixa a v, v sajátvektorokkal és λ, λ sajátértékekkel, ezért {ξ H} { τ T τ k }, ahol τ T τ χ, tehát táblázatból válasszuk a k χ.5 5.99 értéket, amivel teljesül [ [ ) T [ [ [ ) ) ξ P ξ 5.99.95, ξ 4 ξ vagy kifejtve a kvadratikus formát: 4 P 5 ξ 6ξ + 4 ξ ξ 5 + 4 ξ + 8 ξ 8 + ) 5 ξ 6ξ 5.99.95 Megjegyzés: Vegyük észre, hogy az ilyen módon keresett H tartományba esés valószínűsége csak k értékétől és a dimenziótól) függ, ami a skalár esetben jól ismert k σ szabály megfelelője. A H tartománynak szemléletes jelentése is van, ugyanis a főkomponensekkel írva { τ {ξ H} + τ } k, λ λ Kézirat, módosítva:. május 6.

. FEJEZET. VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁSI FELADATOK tehát H egy olyan ellipszissel határolt tartomány, melynek középpontja a várható érték, a tengelyek irányvektorai a sajátvektorok, a fél-tengelyhosszak pedig a λ k b λ k a sajátértékek gyökével arányos értékek..6. Feladat. Egy berendezés működtetéséhez szükséges alkatrész élettartama exponenciális eloszlású véletlen mennyiség, és az átlagos élettartam óra a) Milyen határok között van egy alkatrész élettartama 9%-os valószínűséggel? b) Legalább hány óra működési időre számíthatunk 9%-os biztonsággal, ha ilyen alkatrészünk van? Megoldás: a) Jelölje ξ Exp ) egy ilyen alkatrész élettartamát, akkor ) ξ Exp χ, és táblázatból szabadsági fok: ) χ.95. χ.5 5.99, amivel tehát P. ) ξ 5.99.9, P 5 ξ ).9. b) Jelölje a három független élettartamot ξ i Exp ) ξ + ξ összegükre teljesül és táblázatból szabadsági fok: 6) η χ 6, i,,, akkor η ξ + χ.9., amivel tehát P. ) η.9, P η).9.

.9. REGRESSZIÓ ANALÍZIS.7. Feladat. Egy óra várható élettartamú alkatrész élettartamánál hányszor több négy egyenként órás várható élettartamú alkatrész össz-élettartama.95 valószínűséggel? Tegyük fel, hogy az alkatrészek élettartama független exponenciális eloszlású! Megoldás: Jelölje ξ Exp ) és ηi Exp ) keressük azt a k > számot, melyre P kξ < η + η + η + η 4 ).95 i,,, 4 a kétfle élettartamot, vagy rendezve ahol P k 8 8 < 8 η +η +η +η 4 ) 8 ξ ).95 8 η +η +η +η 4 ) 8 ξ F 8;, ezért táblázatból szabadsági fok: ;8) kapjuk f.5 4.46, és a 8; ) szabadsági fokhoz amiből k. 79 7, tehát f.95 4.46 k 8, P. 79 7 ξ < η + η + η + η 4 ).95..9. Regresszió analízis.8. Feladat. A ξ, ξ, ξ ) v.v.v. kovariancia mátrixa és várható érték vektora: covξ, ξ) 4 7 Eξ) ξ a) Ajuk meg a ξ aξ + bξ + c regressziós közelítést, a ρ ξ ξ,ξ többszörös korrelációs együtthatót és a maradék szórást! [ [ [ ξ a b b) Ajuk meg a ξ + regressziós közelítést, a maradék szórásnégyzetet, és a ρ ξ ξ ξ Megoldás: a b parciális korrelációs együtthatót Kézirat, módosítva:. május 6.

. FEJEZET. VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁSI FELADATOK a) Jelölje m Eξ ) m E [ ξ ξ ) V D ξ ) 4 V cov [ [ ) ξ ξ V cov, ξ ξ ξ, [ ξ [ 7 [ ) [ ξ amivel a regressziós együtthatók normál -egyenlete 7a + b a + b és megoldása: [ a b [ 4 c [ 4 [ 5 A maradék szórásnégyzet σ R 4 [ 4 és a meghatározottság mértéke: [ T 4 Tehát a regressziós közelítés R 4 4 7 48 b) Jelölje ξ 4 ξ + ξ + 5, a többszörös korrelációs együttható és a maradék szórás 7 4 ρ ξ ξ ξ 48. 8 88 σ R. 848 4. m E [ ξ ξ ) [ ξ V cov ξ V D ξ ) 7 [ m E ξ ) ) [ 4, [ ξ ξ V cov [ ξ ξ ) [, ξ

.9. REGRESSZIÓ ANALÍZIS amivel a regressziós együtthatókat komponensenként számolva: a 7 a 7 a maradék kovariancia mátrix [ 4 V R b 7 b 7 [ [ 7 7 5 7 T [ 4 7 7 7 7. Tehát a regressziós közelítés [ ξ ξ a maradék szórásnégyzet [ 7 7 [ ξ + 7 5 7 σ R 4 7 + 7 6 7 a parciális korrelációs együttható ρ ξ ξ ξ 4 7 7 7.589. Megjegyzés: A ξ és ξ kapcsolatának szorosságát mérő ρ ξ ξ 4. 88 68 korrelációs együttható lényegesen nagyobb az előző értéknél, aminek oka ξ, ugyanis ezen komponens hatására figyelhetünk meg azonos irányú változást ξ és ξ értékében. Ha pedig ξ értéke nem változik, a cél-változó komponensei közti korreláció mértéke elhanyagolható..9. Feladat. Keressük meg az ; ) ; ) ; ) ; 4) R pontokra legjobban illeszkedő másodfokú polinomot! Megoldás: Használjuk a legkisebb négyzetek módszerének regressziós feladatként történő megfogalmazását, amihez számoljuk n 4): x y x x x 4 xy x y 4 4 8 6 8 6 9 6 8 8 8 Kézirat, módosítva:. május 6.

4. FEJEZET. VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁSI FELADATOK Amiből m 9 4 m V [ 9 4 4 [ 8 V 4 8 4 [ 6 4 4 8 ) 8 amiből a regressziós együthatók normál egyenlete: [ 9 [ 4 4 8 4 6 ) 4 [ 9 4 5 4 9 4 a + 5 4 b 8 5 4 a + 5 4 b 7 8 megoldása a, b, és c 9 ) 4 4 4 közelítés eredménye az másodfokú függvény. y 4 x x +.4. Feladat. Legyen a ξ, η) v.v.v. diszkrét eloszlása: ξ η..5.4..8.5 7 8 5 4 5 4. Tehát a regressziós Adjuk meg az Eη ξ) feltételes várható értéket! Mennyi a maradék szórásnégyzet? Megoldás: Adjuk meg η-nak ξ-re vonatkozó P η y ξ x)..5.+.5+.4.+.5+.4..+.8+.5.8.+.8+.5.4.+.5+.4.5.+.8+.5 feltételes eloszlását, amiből kapjuk: {. Eη ξ x) +.5 +.4. x.+.5+.4.+.5+.4.+.5+.4. +.8 +.5. 54 9 x.+.8+.5.+.8+.5.+.8+.5 A maradék szórásnégyzethez számoljuk ki: amiből Eη ). +. +.54 6. E E η ξ) ).. +. 54 9.7 5. 849 4 σ R Eη ) E E η ξ) ) 6. 5. 849 4. 46 6.

.9. REGRESSZIÓ ANALÍZIS 5.4. Feladat. Legyen a ξ, η) v.v.v. sűrűségfüggvénye: fx, y) x y x ha < x < és < y <. Adjuk meg az Eη ξ) feltételes várható értéket, és a közelítés maradék szórásnégyzetét. Megoldás: Adjuk meg ξ sűrűségfüggvényét f ξ x) amivel a feltételes sűségfüggvény x y x dy ha < x < ξ U; )), f η ξ y x) fx, y) f ξ x) x yx ha < x < és < y <. Tehát vagyis Eη ξ x) y x y x dy x + x ha < x < Eη ξ) A maradék szórásnégyzethez számoljuk ki ξ + ξ. Eη ) E E η ξ) ) y x y x dxdy + ln ln x + x ) dx ln amivel kapjuk: σ R + ln ln ln ) 7. 56 4..4. Feladat. Tudjuk, hogy a férfiak magassága N 8; ), a nők magassága pedig N 7; ) eloszlású véletlen mennyiség. Ha egy 6 férfiból és 4 nőből álló társaságból találomra választott személy 75cm magas, mennyi annak valószínűsége, hogy nőt, illetve férfit választottunk? Adjunk döntési szabályt a magasság alapján egy találomra választott személy nemére! Megoldás: Jelölje ξ a választott személy magasságát, továbbá F N a választott személy férfi a válsztott személy nő Kézirat, módosítva:. május 6.

6. FEJEZET. VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁSI FELADATOK akkor feltehetjük P F ).6 P N).4, és a magasság feltételes sűrűségfüggvényei ) x 8) f F x) exp f N x) π exp π ) x 7) x R, amivel P F ξ 75).6 π exp 75 8)).6 π exp 75 8)) +.4 π exp 75 7)). 58 66 A Bayes döntéshez P N ξ 75). 58 66. 49 4 d x).6 exp ) x 8) > π Tehát és a hibás döntés valószínűsége: d x) { 7. 9 < x 7. 9 x.4 exp ) x 7) π 7. 9 < x. P H d ) P ξ > 7. 9 F ) P F ) + P ξ 7. 9 N) P N)) )) ) 7. 9 8 7. 9 7 Φ.6 Φ. 87 8.6. 457 9.4. 6 6

. fejezet Matematikai statisztika feladatok.. Paraméter becslések.. Feladat. Egy autóbusz járat egy megállóba ismeretlen, de állandó időközönként érkezik. Véletlen időpontokban érkezve ebbe a megállóba, az alábbi várakozási időtartamokat figyeltük meg...6.5. 4.. 4.8.8 perc Becsüljük a járatsűrűséget! Készítsünk maximum likelihood becslést! Megoldás: Jelölje ξ ξ,..., ξ n ) a minta statisztikát, n 8, és x..6.5. 4.. 4.8.8 ) a megfigyelt mintát. Feltételezhetjük, hogy ξ k U ; d) k,,..., n, ahol d az ismeretlen járatsűrűség paraméter. Mivel Eξ k ) d, használjuk először a várható érték szokásos becslését d x. 87 5 D ξ) d n amiből a becsült érték és standard hibája d x. 87 5 4. 575 D ξ) d n. 87 5 8. 466 9 4. 575 8. 9 87. Írjuk a likelihood függvényt a d paraméter függvényeként Lx; d) { d n ha < x k < d k,,..., n egyébként, aminek maximum helye ˆdx) max {x, x,..., x n } x n. 7

8. FEJEZET. MATEMATIKAI STATISZTIKA FELADATOK Tehát kaptuk a d ξ n maximum likelihood becslést. Vizsgáljuk a becslés torzítatlanságát, amihez szükséges ξ n eloszlásának megadása. F ξ n x) P ξ < x, ξ < x,, ξ n < x) { x n ha < x < d d n egyébként Így f ξ n x) n d n xn < x < d. d Eξ n ) x n d n xn dx n + n d vagyis a maximum likelihood becslés torzított, de korrigálva kapjuk a d n+ n ξ n torzítatlan becslést. Ennek standard hibája n + D n ξ n ) n + n D ξ n) d n + n n + n n + n) d n + n) mivel Eξ n ) d x n d n xn dx n + n d D ξ n ) d n + n n + n). Tehát az így korrigált becsléssel kapott becsült érték és standard hiba: d 9 ) n + 8 4.8 5. 4 D d n ξ n 5. 4. 6 74. n + n) 8 Megjegyzés: Vegyük észre, hogy a maximum likelihood becslésből nyert utóbbi eredmény standard hibája lényegesen kisebb n nagyságrenddel jobb)... Feladat. Egy 5 darabos termékhalmazban ismeretlen számú hibás termék van. Becsüljük a hibásak számát, ha elemű mintát véve, 5 hibásat találtunk! Adjunk 9% biztonsággal felső korlátot a hibásak számára! Megoldás: Jelölje ν a minta statisztikát, akkor ν Hyp5; M; ), ahol M az ismeretlen paraméter. A valószínűség becsült értéke, és a becslés standard hibája: M 5 5 ν ).5 D [.5.75 99. 876 9, 499 tehát M becsült értéke, és a becslés standard hibája ν ) M 5 D 5 5. 876 9 9. 85.

.. PARAMÉTER BECSLÉSEK 9 Táblázatból u..8, amivel a valószínűség 8%-os szintű kétoldali határai tehát 9%-os szint mellett M 5 5 ±.8. 876 9 M 5 +.8 9. 85 49. 85 5... Feladat. Hány embert kell egy közvélemény kutató cégnek megkérdeznie, hogy egy ismeretlen arányt.5 pontossággal tudjanak megadni 95%-os szint mellett? Megoldás: Jelölje ν a minta statisztikát, akkor a feltehetően nagy létszámú alapsokaság miatt) ν Binn; p), ahol p az ismeretlen arány valószínűség) paraméter. A 95%-os kétoldali intervallum becslés pontossága Mivel u.5.96, kapjuk u.5 ν ν ) u.5 n n n n..96 n. 964 n..4. Feladat. Egy mérési eljárás legnagyobb véletlen hibája ±., n mérés eredményéből x.. a) Becsüljük 9%-os biztonsággal a mért mennyiség értékét! b) Legfeljebb mennyi lehet ugyanezen mennyiség esetén) egy mérés eredménye 95%-os biztonsággal? c) Hány méresre van szükség, hogy a 95%-os szintű intervallum becslés pontossága.5 legyen? Megoldás: Feltehetjük, hogy a mérések eredménye N m, σ ) eloszlású, ahol m az ismeretlen várható érték paraméter, σ. az ismert szórás, tehát m x. D ξ) σ n. 5. 77 5. a) Táblázatból u..645, amivel kapjuk a 9%-os határokat: m. ±.645 5. 77 5 {. 9.. Kézirat, módosítva:. május 6.

4. FEJEZET. MATEMATIKAI STATISZTIKA FELADATOK b) Jelölje η egy további mérés eredményét, akkor u..645 táblázati értékkel kapjuk a 9%-os η. ±.645. + kétoldali határokat, amiből a keresett 95%-os felső határ. η. +.645. +. 49 c) u.5.96 amivel a kétoldali intervallum becslés pontosságára tehát n 6 mérés szükséges..96. n.5 5. 66 n,.5. Feladat. n 4 felnőtt férfi súlyát megmérve, kaptuk x 78.5 kg s x). kg. a) Adjuk meg az átlagos várható) súly 9%-os határait! b) Legalább hány kg lesz egy gépkocsi terhelése, ha 5 férfi foglal benne helyet, 9%-os szint mellett? c) Milyen határok között van a súly szórása 9%-os szint mellett? Megoldás: Feltehetjük a súly adatok N m, σ) eloszlását már a minta mérete miatt is), ahol m a várható érték, σ a szórás paraméter. a) Az átlagsúly, azaz várható érték határai a t.. 684 9 táblázati értékkel szabadsági fok: 9) m 78.5 ±. 684 9. 4 { 8. 45 75. 5. b) Jelölje η, η, η, η 4 a további gépkocsiba szálló) férfiak súlyát, akkor t.8. 6 táblázati értékkel szabadsági fok: 9) a 8%-os kétoldali határok η 78.5 ±. 6. 4 + 4 amiből kapjuk a 9%-os alsó határt az összegre: ) η + η + η + η 4 4 η 4 78.5. 6. 4 + 8. 6 kg. 4

.. PARAMÉTERES PRÓBÁK 4 c) A χ 9 eloszlás táblázatából χ.95 5. 695 χ.5 54. 57 amivel kapjuk a szórás 9%-os konfidencia határait: ) 9 9 σ. 54. 57 ;.. 5; 4. 796). 5. 695.. Paraméteres próbák.6. Feladat. Egy mérési eljárás hibája N ;.) eloszlású véletlen mennyiség. Egy termék egyik fontos jellemzőjét mérjük ezzel az eljárással, és azt jónak minősítjük, ha értéke m.. Tervezzünk próbát ennek ellenőrzésére úgy, hogy a jó terméket csak. valószínűséggel minősítsük hibásnak, és a.5 vagy annál nagyobb, illetve 9.97 vagy annál kisebb jellemzőjű terméket legfeljebb. valószínűséggel minősítsük jónak! Megoldás: u-próbával ellenőrízzük a H : m. hipotézist a H : m. kétoldali alternativ hipotézissel szemben, és keressük n értékét, amivel teljesülnek: α. β m.5. β m 9.97.. Mivel a másodfajú hiba szimmetrikus az m. értékre, és az alternatíva monoton csökkenő függvénye mindkét irányban, elég az α. β m9.97. feltételeket teljesíteni. Tehát u.. 575 8 és így a másodfajú hiba ) ) β. 9.97. 9.97 Φ.5758 + n Φ.5758 + n., m9.97.. amit alakítva kpajuk Φ. 575 8 +. 5 n ) Φ. 575 8 +. 5 n ). ahol a bal oldali első tag értéke közelítően már -nek vehető, amit rendezve:.98 Φ. 575 8 +. 5 n ) Tehát n mérésre van szükség.. 5 7. 575 8 +. 5 n ). 5 7 +. 575 8 9. 55 5 n.5.7. Feladat. Egy tantárgy maximum pontos) dolgozatainak sok éves átlageredménye 58.6 pont. Egy fős tanulócsoport tagjai a szokásos felkészítés mellett kidolgozott Kézirat, módosítva:. május 6.

4. FEJEZET. MATEMATIKAI STATISZTIKA FELADATOK feladatokat is kaptak a sikeres felkészüléshez. Az így megírt dolgozatok átlageredménye 6.5 pont, és az eredmények korrigált empírikus szórása 4.56. Egy másik, 5 fős csoport tagjai pedig képletgyüjteményt használhattak a dolgozat írásakor, és eredményeik átlaga 6., korrigált empírikus szórása 6.69 pont lett. Van-e kimutatható javulás valamelyik esetben? Ha következtetésünk nemleges, mennyi annak kockázata, hogy az adott módon segített csoport átlageredménye mégis 6 pontra nőtt? Tételezzük fel az eredmények normális eloszlását! Megoldás: t-próbával vizsgáljuk a H : m 58.6 hipotézist a H + : m > 58.6 alternatívával szemben, mivel most a másik oldali alternatíva kizárható. A próba statisztika értéke a fős csoport esetén: ami a t α..86 t 6.5 58.6. 85 4.56 szabadsági fok: 9) táblázati értékkel. 85 >.86 H -t elutasítjuk, és az így vállalt elsőfajú hiba értéke kevesebb mint α.5, pontosan F T9.85) 5. 845 4, ahol F T9 jelöli a T 9 eloszlás eloszlásfüggvényét értékének számításához használjunk MATLAB, MAPLE, SPSS, R, stb. programcsomagot). A próba statisztika értéke a 5 fős csoport esetén ami a t α..76 t 6. 58.6 5. 59 6.69 szabadsági fok: 4) táblázati értékkel. 59.76 H -t elfogadjuk, és ekkor a vállalt másodfajú hiba értéke m 6 alternatíva esetén az u-próba erőfüggvényével közelítve: ) β 58.6 6 Φ. 59 + 5. 8 7. m6 6.69 Megjegyzés: Pontosabb értéket kaphatunk a ξ 6 β P σ 5 + 6 58.6 σ 5 <. 59 F T9. 59).84 m6 s σ másodfajú hibára, ahol F T9 most az un. nem centrált T eloszlás eloszlásfüggvénye, a nem-centráltsági paraméter becsült értéke 6 58.6 σ 6 58.6 5 5. 65 6.69

.. PARAMÉTERES PRÓBÁK 4 amivel az R programcsomag pt. 59, df 4, ncp. 65 ) függvény-hívásával kapjuk az eredményt. Az így kapott érték lényegében azonos a fenti közelítéssel, és ez az eredmény sem tekinthető pontos értéknek, mivel használjuk hozzá az ismeretlen szórás becsült értékét..8. Feladat. Ugyanazt a mennyiséget kétféle eljárással mértek meg, és kaptuk: n x. s x). n ȳ. s y). Van-e kimutatható különbség a két eljárás pontossága, és várható eredménye között? Feltételezhetjük a mérési eredmények normális eloszlását. Megoldás: Jelölje m illeteve m a két várható érték paramétert, σ és σ a szórás paramétereket. Vizsgáljuk először a H : σ σ hipotézist. A próba statisztika értéke a nagyobb becsült értéket osztva a kisebbel): f s y) s x).. 7 6. ami az f.. szabadsági fok: ;) táblázati értékkel f. 7 6 f.., tehát α.. terjedelmű próbával elfogadható a szórások egyenlősége. A várható értékek H : m m azonosságát a szórások egyenlőségének feltételezése mellett, a kétmintás T -próbával ellenőrízzük. A szórás becsült értéke a két mintából Sx, y). +.. 6 75, amivel a próba statisztika értéke t... 6 75 4. 9 5, és a t..646 szabadsági fok: ) táblázati értékkel t 4. 9 5 > t..646 tehát α. elsőfajú hiba mellett elvetjük a várható értékek azonosságát. Összefoglalva, a mérések pontossága szórása) azonosnak tekinhető, a várható eredmények azonban szignifikánsan különböznek. Kézirat, módosítva:. május 6.

44. FEJEZET. MATEMATIKAI STATISZTIKA FELADATOK.. Nem paraméteres próbák.9. Feladat. Szabályosnak tekinthető-e az a dobókocka, melyet -szor dobva, az alábbi gyakoriságokat figyeltük meg: 4 5 6 4 6 5 5 Megoldás: Vizsgáljuk a H : p i 6 i,,..., 6 hipotézist χ -próbával. tehát a próba statisztika értéke f i n p i f i n p i ) n p i 4 6 6 6 5 5 4 5 6 5 5 8 χ 8 4., és a χ.5.8 szabadsági fok: 5) táblázati értékkel χ.5.8 < χ 4., tehát a H hipotézist elutasítjuk.5 elsőfajú hibával, vagyis a kocka nem tekinthető szabályosnak... Feladat. Egy bizonyos típusú file hoszz adataiból kaptuk az alábbi gyakorisági adatokat: f i kb 4 kb 6 kb 5 4 kb 5 4 kb Tekinthetjük-e exponenciális eloszlású véletlen értéknek egy ilyen típusú file méretét? Megoldás: Vizsgáljuk a H : p p λ) p p λ) p p λ) p 4 p 4 λ) p 5 p 5 λ) becsléses illeszkedési hipotézist, ahol λ jelöli a feltételezett exponenciális eloszlás ismeretlen paraméterét, aminek maximum likelihood becsléssel kapott becsült értéke λ x 75 4.5 + 6.5 + 5.5 + 5.5 + 4.5. 9 67

.. NEM PARAMÉTERES PRÓBÁK 45 amit az osztályközök megadásával kaphatunk. Egészítsük ki továbbá táblázatunkat a becsült értéből nyert várható gyakoriságokkal, és a próba statisztika számításával f i n ˆp i f i n ˆp i ) n ˆp i.56.5 4 75. 4 75 4. 56 4. 4 4. 56.447.5 6 75. 9 9 6. 447. 4 9 6. 447 5. 5).5 5 75. 48 7. 5 7. 86. 5.5 75 9. 998 7 7. 499) 7. 499. 84 7. 499 5. 59) 4.5 75. 7 9 5. 59. 6 5. 59 75 75. 4. 64 ahol ˆp e. 9 67. 4 75 ˆp e. 9 67 e. 9 67. 9 9 ˆp e. 9 67 e. 9 67. 48 7 ˆp 4 e. 9 67 e. 9 67 4 9. 998 7 ˆp 5 e. 9 67 4. 7 9 A próba statisztika értéke 4. 64, és χ. amivel 6.7 szabadsági fok: 5 ), 4. 64 > 6.7 ezért a H hipotézist elutasítjuk α. elsőfajú hiba mellett. Tehát a véletlen mennyiség nem tekinthető exponenciális eloszlásúnak... Feladat. Egy termék három különböző technológiával készülhet I., II. és III. osztályú minősgben. Egy felmérésből kaptuk az alábbi gyakorisági táblázatot: minőség technológia... I. 5 4 II. 44 4 III. 6 5 6 Van-e kimutatható kapcsolat a minőség és az alkalmazott technológia között? Megoldás: Vizsgáljuk a H : p ij p i p j függetlenségi hipotézist, amihez egészítsük Kézirat, módosítva:. május 6.

46. FEJEZET. MATEMATIKAI STATISZTIKA FELADATOK ki a táblázatot az összegekkel, és a várható gyakoriságokkal: minőség technológia... 5 4 I. 55 55 6 5 5 55 6 5 55 II III. 44 6 8 59 47 5 4 5 8 6 54 47 6 4 6 8 6 54 47 6 4 8 6 6 47 A próba statisztika értéke: 5 5) 5 4 5) 5) + + + 5 5 ) 44 59 4 54 + + 59 + 6 5 54 ) 5 ) + + 54 5 4 4 54 ) ) + + 6 4 4 ) 79. 446 továbbá α. χ α 8.47 szabadsági fok: ) ) ), amivel 8.47 < 79. 446 tehát H -t elutasítjuk α. elsőfajú hibával, vagyis van kapcsolat a minőség és a technológia között... Feladat. Egy véletlen-szám generátor hívásának n eredménye:.69787.89488.76847.9475859.57598.68.956.986.69866.8598.545876.9467.87486.85.844776.547965.94966769.655.97686.589695 Elfogadható-e, a [; intervallumon egyenletes eloszlás feltételezése? Megoldás: Vizsgáljuk a H : F x) x x hipotézist, amihez keressük meg az empirikus eloszlásfüggvény és az egyenletes eloszlás eloszlásfüggvényének legnagyobb

.. NEM PARAMÉTERES PRÓBÁK 47 eltérését: x k Fx n x k ) F x n x k + ) F x k ).69866..5.69866.69866.8598.5..8598.589695..5.589695.97686.5..97686.956..5.956.57598.5..57598.85..5.85.67478.68.5.4.68. 77.986.4.45.986. 9 6.655.45.5.655. 6 97.545876.5.55.545876.547965.55.6.547965.69787.6.65.69787.76847.65.7.76847.844776.7.75.844776.87486.75.8.87486.89488.8.85.89488.9467.85.9.9467.9475859.9.95.9475859.94966769.95..94966769 A próba statisztika értéke.6 97. 7, és a Kolmogorov-féle K függvény értéke táblázatból:.655 ) K. 7 ) <.7 tehát.655. 44 7 ) α >.7.7 terjedelmű próbával elfogadjuk az egyenletes eloszlás feltételezését. Kézirat, módosítva:. május 6.

48. FEJEZET. MATEMATIKAI STATISZTIKA FELADATOK