γ(m,r)k r,0 e Er 1 β r k r,0 e Er

Ì Ã ÓÐ ÓÞ Ø Ã Ñ Ö Ö ÒÝ Ø Ø Ò Ú Þ Ð Ø Ã Þ Ø ØØ Î Ö ÞØ Ö Å Ø Ñ Ø Ù ÅË ÐÐ Ø ÃÓÒÞÙÐ Ò Ö Ö ÜÐ Ö Ò Ð Ò Ö Å ÎÁÃ ÁÖ ÒÝ Ø Ø Ò ÁÒ ÓÖÑ Ø Ì Ò Þ Ö Ì Ø Â ÒÓ Å ÌÌÃ Ò Ð Þ Ì Ò Þ Ù Ô Ø ¾¼½

Ì ÖØ ÐÓÑ ÝÞ ½ Ú Þ Ø ½½ Ê Ö ÒÝ Ø Ø Ò Ð ÒØ ½¾ ÑÓ ÐÐ ¾ ÐÑ Ð Ø ØØ Ö ÁÖ ÒÝ Ø Ø Ñ Ö Ð Ø¹Ú ÐØÓÞØ Ø Ø Ú Ð ½½ ½ ËÓÖÓ Ö ½ ¾ È Ö ÙÞ ÑÓ Ö ¾ Ã Ö ÓÐÝ Ñ ØÓ ¾ ÝÐ Ô Ò Ñ Ð Þ Ö ¾ ÁÖ ÒÝ Ø Ø Ú Þ Ð Ø ÓÒ ÒØÖ Ú ÐØÓÞØ Ø Ú Ð ½ ËÓÖÓ Ö ¾ È Ö ÙÞ ÑÓ Ö Ã Ö ÓÐÝ Ñ ØÓ ½ ÝÐ Ô Ò Ñ Ð Þ Ö Þ Ø ØØ Ö Ú Þ Ð Ø ½ ÁÖ ÒÝ Ø Ø Ú Þ Ð Ø Ñ Ö Ð Ø Þ ÐÝÓÞ Ú Ð ¼ ¾ ÁÖ ÒÝ Ø Ø Ú Þ Ð Ø ÓÒ ÒØÖ Ú ÐØÓÞØ Ø Ú Ð Þ Ó Ð Ð ¾

½ Þ Ø Ú Þ Ø ½½ Ê Ö ÒÝ Ø Ø Ò Ð ÒØ Ñ Ö Ö ÒÝ Ø Ð Ô Ø Ô Þ Ñ Ú Ý Ô ÖÒ Ö Ñ Ò ÞÑÙ Ú Ñ Ò Ø Ð Ò Ý Ñ ÖØ Ò Ö Ò Ö Þع Ú Ú ÒÝ Ó ÓÒ ÒØÖ Ø Ð Þ Ð ÐÑ ÞÓØØ Ø Ð Þ ØÓÖØ Ð ÐÐ ØÚ Ð ÖÒÝ Þ Ø Ñ Ö Ð Ø Ø Ð ÒÝÓÑ Ø Ð Þ Ò Ô Ö Ñ Ø Ö Ò Ñ ¹ Ú ÐØÓÞØ Ø Ú Ð Ý ÒÝ Ó Ø Ò Þ Ö Ø Ø Ð ÐØ Ö Ú Ý Ð Ø ¹ Ð Ø Þ ØÒ ÐÐ ØÚ Ö Ú ÖÞ Ð Ö Ø Ò Ö Ú ÒØ Ö ÒÝ ÐØÓÐ Ø È Ð ÙÐ Þ ÑÑ Ò Þ ÒØ Þ Ñ Ð Þ Ñ Ò Ð Ö Ö Ú ÖÞ ¹ Ð Ö Ý ÒÝÓÑ Ò Ú Ð Þ ÑÑ Ò ÔÞ Ö ÒÝ ØÓÐ Ð Þ Ý Ò ÐÝØ Ö ÜÓØ ÖÑ Þ ÖØ Ð Ø Þ ÑÑ Ò Ñ ÒÒÝ Ñ Ö Ð Ø ÒØ Ú Ð Ò Ú Ð Ø Ñ Ö Ð ØØ Ð Ò Ñ Ý Ò ÐÝ Ö Þ ÐÝÓÞ Ø Ø ÒÓÐ Ø Ñ ÒÝ Ò Ú Ö ÐØ Ø ÓÖ 3 C¹ÓÒ Ø Ö 6 C¹ÓÒ Ø Ð Ò Ð Ø Þ Þ Ø ÖØ Ô Ð ÙÐ ÐØ Ø Þ Ö ÒØ ÞÒ Ð Ñ Þ Ø Ð Ò ÓÒØÓ Ú Ý Ô Ö Ð Ô ÒÝ Ø Þ ØØ ÔÓÐ Ø Ð Ò Ð ÐÐ Ø Ö ÞÒ Ð Ø Ñ ÐÐ ØØ Þ Ø Ð Ò Ò Ú ÒÝ Ö Ø Þ ÐÝÓÞ ÓÖÑÓÒ Ý Ø ÚÓÐÖ Ð Ò ÙÖ Ô Þ ÐÐ ØÓØØ Ý Ñ Ð Ø ÞÞ Ð ØÙ ÙØ Ð ÖÐ ÐÒ ÞÓÒÝÓ ÑÓÐ ÙÐ Ñ Ö Þ Ú Ý ÔÓÐ Ñ Ö Þ Ð Ø Ñ Ö ¹ Ð Ø È Ð ÙÐ Ú Ò Ð¹ ÐÓÖ ÈÎ ÑÓÒÓÑ Ö ÐÐ ØÚ Ñ Ø Ð¹Ñ Ø Ö Ð Ø ÔÐ Ü Ò ÙÐ ÒÝ Ð ÓÒÝ Ñ Ö Ð Ø Ò ØÙ ÔÓÐ Ñ Ö Þ Ð Ò Ñ Ö Ð Ø Ñ Ð Ú Ð ÑÓÒÓÑ Ö Ö ÓÑÐ Þ Ð Ø Ú Ø Þ Þ Ö ¹ ÞÒÓ Ø Ù Ø ËÞ ÖÚ ÒÝ Ó Ð Ø ÓÖ Þ ÐØ Ð Ò Ò Ñ Ø Ð Ø Ò Ñ Ý

Ú Ð Ò Þ Þ ÒØ ÖØ ÐÑ Ò Ý Þ Þ Ð Ò ÖÓÑ Ú Ý Ð Ø ¹ Ð Ø ÞÒ Ñ ÐÝ Þ Ð Þ ÑÓ Ö ÐØ Ø Ñ ÐÐ ØØ Ö Ò Þ Ò¹ÑÓÒÓÜ Ð Ø Þ Ñ ØÓÐ Ø ÓÜ Ò ÐÚ Ø Ð Ø Ý Ñ Ö Ñ ÒÒÝ Ò Ò ÝÓÒ ÖØ ÐÑ À Ñ Ö Ð Ø¹ Þ ÐÝÓÞ Ø Ú Ð Ð Ø Þ ÖÓ ÒÝ Ó Ñ ÒÒÝ Ð ÒØ Ò Ð ÒØ Ø Ñ Ð Ð Ñ Ö Ð Ø ÐÐ Ø Ú Ð Ñ Ò Ñ Ð Þ Ð Ø ËÞ ÑÓ Ó Ð Ð ÓÞ Ö Ñ Ö Ð Ø Ò Ú Þ Ð Ø Ú Ð Ð¹ Ð ØÚ Ö ÒÝ Ø Ø Ú Ð ½ ¾ Þ Ú ÒÝÓ Ñ Ö Ð Ø¹Ò Ú Ø Ö Ú Ø Þ Þ Ö Þ ØÚ ÐØÓÞ ÓÞ Ô ÓÐ Ð Ò Ò Ñ Ø ÖÓÞ ¹ Ö Ö Ò Ð Ø ÖÑ Ù Ò Ð Þ Ø Ì µ ÞÒ Ð Þ Ú ÒÝÓ ÞÓ¹ ÒÓ Ø ÓÞ Ý Ò ÖØ Ö Ö Ò ÒÝ ÓØ ÞÒ ÐÒ Ú Þ Ð Ø ÓÖ Ò Ö ¹ Ö Ò ÒÝ Ñ Ö Ð Ø Þ Ô Ø Ñ Ö Þ Ú ÒÝ ÓÑÐ ÓÖ Ú Ø Þ Ñ Ö Ð Ø¹Ú ÐØÓÞ Ø Ý Ø ÖÑÓ Ð Ñ Ø Ú Ð Ì ¹ Ö Ò Þ ÒÝ Ñ Ö Ð Ø¹Ú ÐØÓÞ Ø Ö ÞÓÐ ÐÐ ØÓØØ Ñ Ö Ð Ø Ú ÒÝ Ò ÔÓØØ Ö Ò Þ Ò ÓØ ÖÑ ÜÓØ ÖÑ Ó Ñ Ö Ð Ø ÐÝÞ Ø Ø ¹ Ó Ñ Ö Ø Ø Ð Ø Ú Þ Ð Þ Ñ Ö ØÐ Ò Ú ÒÝ Ñ Ø ÖÓÞ ÓÖ ÔÓØØ Ì ¹ Ö Ø Þ ÓÒÐ Ø Ð Ò Þ Ñ ÖØ Ú ÒÝÓ Ö Ú Ð ÀÓÑ Ö Ã Ò Ö ÞÞ Ð Ñ Þ ÖÖ Ð Ú Þ ÐØ Ð Ò Þ Þ Ø Ñ Ò ¹ Þ Ø Ð Ø ÖÙ Ø ÓÐ Ò ÐÐÓÝ Øµ ÓÑÐ Ø Ö Ò Ð Ñ Ö Ð Ø Ò Ð Þ Ð ÔÓØØ Ú ÒÝ Ö Ø Þ ÓÒÐ ØÓØØ Þ Ý Þ Ø ¹ Ø Ò ÞØ Ø Ô ÞØ ÐØ Ó Ý ÔÓØØ Ö Ð ÓÒÐ ÐÐ ÑÞ ÞÓÒ Ò Ö Ø ÖÑ Þ Ø Ø Ð ÓÐ ÓÞ Ø Ò Ö Ñ Ö Ð Ø¹ Þ ÐÝÓÞ Ð ÐÐ ØÚ ÓÒ ÒØÖ ¹ Ú ÐØÓÞØ Ø Ð Ú Ð Ö ÒÝ Ø Ø Ú Ð Ô Ð Ò Ö Ò Ð Ö Ø Ú Ð ÐÐ ØÚ Þ Ø Ð Ò Ö Þ Ð Ø Ú Ð Ó Ð Ð ÓÞÓÑ Å Ú Þ ÐÓÑ Ñ ÐÝ Ò Ð¹ Ø Ø Ð Ø ÐÐ ÞØÓ Ø Ò ÓÞ Ó Ý Ý Ñ Ö Ö Ò Ð Ö Ø Ð¹ Ð ØÚ Þ Ø Ð Ò Ö Þ Ð Ø Ð Ý Ò Ö Ú Þ Ð Ø ÓÞ ÐÐ ØÚ ÖÓ ÐÓÑ Þ Ö ÒØ ÑÓ ÐÐØ ÞÒ ÐÓÑ Ñ Ò ØÒ Ñ Ö Ð Ø ÐÐ ØÚ ÓÒ ÒØÖ Ú ÐØÓÞØ Ø Ø Ø ÒØ Ñ Þ Ö Ò Ð Ö Ø Ñ Ø ÖÓÞ ¹ ÓÞ ÑÓ ÐÐ Ò Þ Ö ÔÐ Ý ÒÐ Ø Ñ Ò Ø ÐØ Ð Ò Ö ÐØ Ä ¹ Ð Ö Ñ ÒÞ Ø Ú Þ ÐÓÑ ÓÐ ÓÞ ØÓØ Þ Ð Ö Þ Ö ÓÒØÓØØ Ñ ¾ Þ Ø Ò ØØ Ò¹ Ø Ñ Þ Ö ÒÝ Ø Ø Ú Þ Ð Ø ÓÞ Þ Ó ÐÑ Ø Ø Ø Ð Ø Ñ ÐÐ ØÚ Þ Ø Ò ÓÒ Ö Ø Ö Ø ÔÙ Ó Ö Ò Ð Ö Ø Ò ÐÐ ØÚ Þ Ø Ð Ò Ö Þ Ð Ø Ò ÐØ Ø Ð Ø ÞÓÒÝ ØÓÑ Þ Ø Ò Ñ Ö¹ Ð Ø Þ Ø Ò ÓÒ ÒØÖ Ú ÐØÓÞØ Ø Ø Ø ÒØ Ñ Ñ Ò ØÒ ½ Ð Þ Ø Ò ÓÖÓ Ö Ö Ú Þ ÐÓÑ Ñ Þ Ö Ò Ð Ö Ø Ø Ø¹ Ð Ô Ñ ÐØ Ð ÒÓ Ø Ò ÞÙØ Ò ¾ Ð Þ Ø Ò ÐØ Ð ÒÓ Ð

Ô Ö ÙÞ ÑÓ Ö Ð Þ Ø Ò ÐØ Ð ÒÓ Ð Ö ÓÐÝ Ñ ØÓ Ð Þ Ø Ò Ô ÝÐ Ô Ò Ñ Ð Þ Ö Ö Ò Ð Ö Ø ¹ Ò ÐØ Ø Ð Ø Ú Þ ÐÓÑ Ñ Ö Ð Ø¹ Þ ÐÝÓÞ Ø Ò ½ ¾ Ð Þ Ø Ò Ù Ý Ò Þ Ò Ö Ø ÔÙ Ó ÓÒ ÒØÖ Ú ÐØÓÞØ Ø Ú Ð Ú Ð Ö Ò Ð Ö Ø Ø ÐÐ ØÚ Þ Ø Ð Ò Ö Þ Ð Ø Ø Ú Þ ÐÓÑ Þ Þ Ø Ò Þ Ø ÒÓй Ò Ú Ö Ò Þ Ö Ô Ð Ò Ö ÞØ Ð ÑÙØ ØÓÑ Ó Ý Ò Ð ÐÑ Þ Ø Þ Ð Þ Ð Þ Ø Ò ÞÒ ÐØ Ñ Þ Ö Þ ¹ Ø ØØ Ö Ò Þ Ö Ú Þ Ð Ø Ø Ò Þ Ø Þ Ö Ñ ÒÝ Þ Ó Ð Ð Ø Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ ½¾ ÑÓ ÐÐ Ú Þ ÐØ Ö Ò Þ Ö Ú Ø Þ Ý ÒÐ ØØ Ð Ö Ø Ð α(m,r)x(m) kr (m,r)x(m), ½½µ ÓÐ α(m,r) Ö Ø Ò ÓÑÔÐ Ü¹Ú ØÓÖ Þ m¹ ÒÝ Ø Þ Ñ Ø Ð Ð Ò ÙÐ ÒÝ Ò Þ r¹ Ð Ô Òµ (m,r) Ô Ø ÖÑ ÓÑÔРܹ Ú ØÓÖ Þ m¹ ÒÝ Ø Þ Ñ Ø Ð ÒØ Ø ÖÑ Ò Þ r¹ Ð Ô Òµ X(m) Þ Ý ÒÝ Ø ÓÒ ÒØÖ k r Ö Ð Ô Þ Ø ÖØÓÞ ¹ Ý ØØ Ø Þ r¹ Ð Ô Ò Þ ½µ Ý ÒÐ ØØ Ð Ò ÐØ Ö Ò Þ Ö Ñ ÖÐ Ø Þ Ð Ö Ò Ð Ý ÒРع Ö Ò Þ Ö Ø Ú Ð Ø Ù Ñ ẋ m = R r= γ(m,r)k r, e Er RT x α(,r) ½¾µ ÓÐ x α(,r) = M p= x α(p,r) p T = R r= r k r, e Er RT x α(,r) +u, m =,2,,M ½ µ ÁØØ ẋ m Þ m¹ ÒÝ Ø ÓÒ ÒØÖ Ò Ð Ú ÐØÓÞ Ø T Ô ¹ Ñ Ö Ð Ø Ð Ú ÐØÓÞ Ø Ð Ö Ú ÒÝ Þ Ý ÒÐ Ø Ó ÓÐ Ð Ò Þ Þ Þ Ø R¹ ÐÐ Ú Ö Ø Ò Ñ Ú Ð Ö Ð Ô Þ Ñ R γ(,r) Ú ØÓÖ Ö Ú ØÓÖØ Ð Ð Ñ ÐÝÒ Þ Ø Ú γ(m,r) =

ÐÒ Ú Þ Â Ð Å ÖØ Ý ÖØ ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑ mol ÓÒ ÒØÖ c 6 2 dm 3 Ñ Ö Ð Ø T K 3 2 J Ø Ú Ð Ò Ö E 5 mol J Ý Ø Ñ Þ ÐÐ Ò R 8,34 K mol Ö ÒØ ÐÔ mol 2 Ô Ø ÒÝ Ó K dm 3 ÔÖ ÜÔÓÒ Ò Ð ØÓÖ k Ð Ö Ò ò Ö Ø Òµ s 6 3 Ö Ý ØØ Ø k(t) Ð Ö Ò ò Ö Ø Òµ s 6 3 ÔÖ ÜÔÓÒ Ò Ð ØÓÖ dm k 3 Ñ Ó Ö Ò ò Ö Ø Òµ mol s 6 Ö Ý ØØ Ø dm k(t) Ñ Ó Ö Ò ò Ö Ø Òµ mol s 6 ½½ Ø Ð Þ Ø È Ö Ñ Ø Ö (m,r) α(m,r) Ñ ÓÒ Þ ÑÓÐ Ø ÓÐ m =,2,,M Þ r¹ Ö ¹ ÓÞ Ø ÖØÓÞ ÔÖ ÜÔÓÒ Ò Ð Ø ÒÝ Þ k r, Ñ Ð k r (t) Ö Ý ØØ Ø k r (t) = k r, e Er RT(t) Þ Ð Ô Ò Ô Ø ÔÐ Ø Ò E r Þr¹ Ð Ô Þ Ø ÖØÓÞ Ø Ú Ð Ò Ö Þe Er RT(t) ÜÔÓÒ Ò Ð Ú ÒÝ Ò Ú Þ Ò Þ Ö ÔÐ R Ô Ö Ñ Ø Ö Þ Ý Ø Ñ Þ ÐÐ Ò Ø Ð Ð Ñ ÐÝÒ ÖØ Þ ½½ Ø Ð Þ Ø Ò Ø Ð Ð Ø Þ u Ñ Ò Ø Ö Ö ÒÝ Ø Ø Ñ Ð ÖÑ ÒÒÝ Þ Ý ÒÐ ØÖ Ò Þ Ö Ò Þ Ö ÔÐ Ô Ö Ñ Ø ¹ Ö Ð ÒØ Ø Þ ½½ Ø Ð Þ Ø Ò Ó Ð ÐØ Ñ Þ Ñ Ö Ò Þ Ö Ô Ð ØÙÐ ÓÒ ÔÓÞ Ø Ú Ø ÞÓ Ú ¹ Ý Ð Ø Ñ ÐÝ Ò Ò ÙÐ ÓÒ ÒØÖ ÔÓÞ Ø Ú Ø Ð Ö ÓÐÝ ¹ Ñ Ø ÓÖ Ò Ð Ò Ú ÒÒ Ö Ò Þ Ö Ò Ñ ÒÒÝ Ñ ÐÝ Ð Ô Ò Ò Ñ Ò Ø Ð ÒÙÐÐ Ö ÒÒ Ø Ú Ð Þ Ø Þ Ø Ø Ð Ñ Ö Ø Ò Ö Ò Þ Ö ÖÑ ÐÝ ÔÓÒØ Ð Þ Ø Ø Ð Ö Ú Ø ÞØ ØÒ ØÙ ÙÒ Ý Ö Ø Ò Ñ ØÙ Ù ÑÓÒ Ò Ó Ý ÓØØ ÓÒ ÒØÖ Ö ÒÝ Ð Ö Þ Ñ ÐÝ Ú Ý Ð Ø Ò ÐÐ Ò ÙÐ ÓÖ Ð Ò Ð ÒÒ Ö Ò Þ Ö Ò Þ Ý Ñ Ö Ø Ö Ò ò Ð ÐÐ Ñ Þ Ø Ö Ò¹ ò Ø Ö ÓÒ ÒØÖ Ô ÓÐ Ø Ñ Ð Ö Ò ò Ö Ø Ò Ö Ý Ò Ò Ö ÒÝÓ ÓÒ ÒØÖ Ú Ð Ñ ¹ Ó Ö Ò ò Ö Ø Ò Ô Ö Ö Ø Ò ÓÒ ÒØÖ ¹

Ò Ò ÝÞ Ø Ú Ð Ú Ý Ø Ö Ø Ò ÓÒ ÒØÖ Ò ÞÓÖÞ Ø Ú Ð Ö ÒÝÓ Ð Ö Ò ò Ö ÐØ Ð Ò ÓØÓ Ñ ÐÐ ØÚ Þ Ô ÞÓÑ Ö ¹ Þ Ö ÔÐ H 2 O H + + OH N 2 O 2 2NO Ú Ý Þ¹ ØÖ Ò Þ ÞÓÑ Ö µ Å Ó Ö Ò ò Ö Ö Ô Ð Ò ØÖÓ Ò¹ ÓÜ Ò ØÖÓ Ò¹ ÑÓÒÓÜ Ð ÙÐ 2NO 2 2NO + O 2 µ Ú Ý Ò ØÖÓ Ò¹ ÑÓÒÓÜ Þ ÞÓÒ Ö NO+O 3 NO 2 +O 2 µ Á ÓÖÓÐ Ø Ó Ö

¾ Þ Ø ÐÑ Ð Ø ØØ Ö Ñ Ö Ö ÒÝ Ø Ø Ò Ò Ý Ð ÒØ Ú Ò Þ Ô Ö Ò ÓÒ¹ ØÓ Ó Ý Ð Ø Þ Ø ÖÑ Ð Ý Ñ Ò Ð Ò ÝÓ Ñ ÒÒÝ Ò Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ Þ Ð ÐÐ Ø Ò Ú Ý Ð Ø Ø Ñ ÐÐ Ø ÖÑ Ñ ÒÒÝ Ø Ô Ñ Ò Ñ Ð ¹ Þ ÐÒ ØÙ Ù Ñ Ð Ð Ð ÐÐ Ø Ñ Þ Ö Ú Ð ÞØ ÓÞ Ñ ÖÒ Ò ÐÐ Ñ ÐÝ Ö Ñ ÐÝ Ò ÐØ Ø Ð Ñ ÐÐ ØØ Ö ÒÝ Ø Ø Þ Ö ÒÝ Ø Ø Ú Þ Ð Ø ÓÞ Ò Ð ÞÒ ÐØ Ó ÐÑ ¹ Ò Ú Ø Þ ¾ ½¼ ½ Ò Ì ÒØ Ú Ø Þ Ñ Ñ Ò Ø Ò Ö Ò Þ ÖØ J ẋ(t) = f(x(t))+ g j (x(t))u j (t), x() = x R N, j= ¾½µ ÓÐ g,g 2,,g J,f C (U,R N ) U R N u Ñ Ò Ø Ä Ý Ò Þ Ð Ö Ø ÐÑ ÞÓ R(x,T) = {x(t) Ü Ö Ò Þ Ö ØÖ Ø Ö Þ Þ Ñ Ò ØØ u Ö ÒÝ Ø Ñ ÐÐ ØØ T ÐØ ÐØ Ú Ð x() = x }, 2 R(x, T) = t [,T] R(x,t) 3 R(x ) = t R(x,t) ÓÖ Ö Ò Þ Ö Ð Ö Ø Þ x ÔÓÒØ Ð R(x ) ÔÓÒØÒ Ú Ò Ð ÔÓÒØ 2 Ö Ò Ð Ö Ø Þ x ÔÓÒØ Ð Þ R(x,T) ÐÑ ÞÒ T > Ø Ò Ú Ò Ð ÔÓÒØ 3 ÐÓ Ð Ò Ö ÒÝ Ø Ø Þ x ÔÓÒØ Ð Þ x ÔÓÒØ Þ R(x ) ÐÑ Þ

Ð ÔÓÒØ 4 Ò ÐÓ Ð Ò Ö ÒÝ Ø Ø Þ x ÔÓÒØ Ð T > Ó Ý t [,T] Ö x Ð ÔÓÒØ Þ R(x, t) ÐÑ ÞÒ 5 ÐÓ Ð Ò Ö ÒÝ Ø Ø Þ x ÔÓÒØ Ð R(x ) = U ¾ Ò ¾½ Ð Ö Ò Þ Ö J = Ø Ò Þ Ø Ð Ò Ö Þ Ð Ø Þ x R N ÔÓÒØ Ò Þ x ÔÓÒØ Ò ØØÖ Ò Þ ÓÖÑ Ð Ø Ý ÒØ Ö ØÓÖ ÓÖÖ Þ Þ Ð Ø ÞÒ ÓÐÝ Ò z = φ(x) v = α(x)+(x)u ØÖ Ò Þ ÓÖÑ ÓÐ φ,α, : R N R N (x ) Ó Ý ØÖ Ò Þ ÓÖÑ ÐØ Ö Ò Þ Ö Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø ż = z 2 ż 2 = z 3 ż n = z n ż n = v ÓÐ ÓÞ Ø Ò Ô Ð Ò Ñ Ö Ö Ò Ð Ö Ø Ø Þ Ø Ð ¹ Ò Ö Þ Ð Ø Ø Ú Þ ÐÓÑ Ò Ä Ý Ò f C (R N ) g C (R N ) ÓÖ Þ Ú ¹ ØÓÖÑ Þ ÐØ Ð Ñ Ø ÖÓÞÓØØ Ä ¹Þ Ö Ð Ú Ø Þ Þ Ð Ô Ò Þ ¹ ÑÓÐ Ø [f,g] = g f f g ¾¾µ Ò Ä Ý Ò Î Ú ØÓÖØ Ö Ú Ð Ñ ÐÝ Ø Ø Ð ØØ Î Ú ØÓÖØ Ö Ø Ä ¹ Ð Ö Ò Ò Ú ÞÞ ÖØ ÐÑ Þ ØØ Ö Ø [,] : V V V ØÚ ÐØÓÞ ÑòÚ Ð Ø Ñ ÐÝÖ Ø Ð ÐÒ Ú Ø Þ ØÙÐ ÓÒ Ó ½ Ð Ò Ö Ø c c 2 F Ü Ý Þ V Ø Ò [c x+c 2 y,z] = c [x,z]+c 2 [y,z] ¾ µ ¾ x V Ø Ò [x,x] = Â Ó ¹ ÞÓÒÓ x y z V [z,c x+c 2 y] = c [z,x]+c 2 [z,y] [x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]] = ¾ µ ¾ µ

Ò Þ f g C (R N ) Ú ØÓÖÑ Þ ÐØ Ð Ò Ö ÐØ Ä ¹ Ð Ö Ò Ò Ú ÞÞ Λ = Lie(f,g)¹Ú Ð Ð Ð C (R N,R N ) Ð Ò Ö Ø Ö Ð ÓÐÝ Ò ÐØ Ö Ø Ñ ÐÝ Ð Ø Ø Þ Ú Ø Þ ÐØ Ø Ð Ò ½ f g Λ ¾ À a b Λ ÓÖ [a,b] Λ Ò ÞØ Þ ÓÔ Ö ØÓÖØ Ñ ÐÝ Ñ Ò Ò x R N ÔÓÒØ ÓÞ Ý R N ¹ Ð Ð Ò Ö ÐØ Ö Ø Ö Ò Ð ÞØÖ Ò Ò Ú ÞÞ ¹Ú Ð Ð Ð Ò Þ f Ú ØÓÖÑ Þ Ð Ñ ÞØÖ Ò x R N ÔÓÒØÖ f(x) (x) Ø Ð Ð Ò c ÞØÖ Ø Ö ÒÝ Ø Ø ÞØÖ Ò Ò Ú ÞÞ Ø Ð ÐÒ Ú Ø Þ ÐØ Ø Ð ½ Ô Ò{g (x),g 2 (x),,g J (x)} c (x) ¾ c ÒÚ Ö Ò Þ f Ú ØÓÖÑ Þ Ö η c Ø Ò [η,f] c c ÒÚÓÐÙØ Ú η,η 2 c Ø Ò [η,η 2 ] c ½ Å ÝÞ g j,[f,g j ],j =,2,,J Ú ØÓÖÑ Þ ÐØ Ð Ò Ö ÐØ Ä ¹ Ð Ö Þ Ø Þ Ö ÒÝ Ø Ø ÞØÖ Ý ÐØ Ö Ø ½ Ì Ø Ð Ä Ý Ò c Ö ÒÝ Ø Ø ÞØÖ Ö Ò Þ Ö Ö Ò Ð Ö¹ Ø Ú Ð Ñ ÐÝ x R N ÔÓÒØ Ò ÓÖ ÓÖ dim c (x ) = N Ã Ñ Ö Ø Ò Ø Ø Ð Ñ Ó Ø Ö ÞÓÖÙÐ Ñ Ú Ð Ö Ø Ð Ö Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø¹Ö Ò Þ Ö Ò Ð ØÒ Þ Ý ÒÐ Ø ÁØØ Ö Ò Þ Ö ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ Ö Ò Ð Ö Ø Ú Ð Ñ ÐÝ x R N ÔÓÒØ Ò Þ Ö ÒÝ Ø Ø ÞØÖ Ñ ÒÞ Ð Ò Ö Ò ØÐ Ò Ý ÒÐ Ø Þ ¹ Ñ Ò Þ Ö ÒÝ ØÓØØ Ñ ÒÒÝ Ñ ÒÞ Ò Þ Ú Ð Ý Þ Ñ Þ x ÔÓÒØ Ò Þ ½ Ø Ø Ð Ø Ú Ð Ñ Ø Þ Ý Ø ÔÙ Ñ Ö Ö ÐÐ ÑÞ Ö ÒÝ Ø Ø ÐØ Ö Þ Ð Ô Ò Ô Ð ÒØ Ø Ñ ÐÝ Ò ÐØ Ø Ð Ø Ò Ö Ò Ð Ö Ø Ö ½¼

Þ Ø ÁÖ ÒÝ Ø Ø Ú Þ Ð Ø Ô Ð Ø ÔÙ Ñ Ö Ø Ò Ñ Ö Ð Ø¹Ú ÐØÓÞ Ø Ú Ð Ã Ñ Ö Ò Þ Ö Ø Ò Ú ÒØ Ú Ø ÖÑ Ð ÐÐ Ø ÓÞ ÐÐ ØÚ Ð Ø¹ Þ Ñ ÐÐ Ø ÖÑ Ñ ÒÒÝ Ò Ñ Ò Ñ Ð Þ Ð ÓÞ ÓÒØÓ Ó Ý Ð Ø¹ Þ ÓÐÝ Ñ ØÓ Ø Ö ÒÝ Ø Ò ØÙ Ù ÞÓÒ Ò Ñ Ö Ò Ñ Ñ Ò ¹ Ý Ö ÒÝ Ø Ø Ì ÒØ M M α(m,r)x(m) k r (m,r)x(m), r =,2,,R ½µ m= m= ÐØ Ð ÒÓ Ð Ö Ò Þ ÖØ ÓÐ α(,r) Ö Ø Ò ÓÑÔÐ Ü¹Ú ØÓÖ (,r) Ø ÖÑ ÓÑÔÐ Ü¹Ú ØÓÖ X(m) Þ m¹ ÒÝ Ø ÓÒ ÒØÖ k r Ô Þ r¹ Ö Ð Ô Þ Ø ÖØÓÞ Ý ØØ Ø γ(,r) = (,r) α(,r) Ö Ú ØÓÖÓ Ð Ô Þ Ø γ ÞØ ÓÑ ØÖ Ñ ØÖ Ü Ñ Ö Ø Ò ÓÐÝ Ñ ØÓØ Ð Ö Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø¹Ö Ò Þ Ö ẋ = f(x)+gu Ð Ò Ö Ø ÓÞ Ó Ý Ð ØÙ Ù ÒØ Ò Ö ÒÝ Ø Ø ¹ Ö Ò Þ Ö g [f,g] Ú ØÓÖ¹ Ñ Þ ÐØ Ð Ò Ö ÐØ Ä ¹ Ð Ö Ø Þ Ø Ð Ò Ö Ò ØÐ Ò Ú ØÓÖÑ Þ Þ Ñ Ø ÐÐ Ñ Ø ÖÓÞÒ Ò Ö ÐØ Ä ¹ Ð Ö Ø Þ Ø Ú ØÓÖÑ Þ Ð ¹ Ñ Ò ÒÒÝ Þ Ð Þ Ò ÐÓÑ Þ ad g f ÓÔ Ö ØÓÖØ Ò Ä Ý Ò f C (R N ),g C (R N ) Ò Ð Ù Þ ad g f : C (R N ) C (R N ) C (R N ) ÓÔ Ö ØÓÖØ Ú Ø Þ ÔÔ Ò ad g f = g, ½½ ¾µ

ad g f = [f,g] = g f f g, µ ad n g f = g (ad n g f) (ad n g f) g µ Å Ú Ð Þf Ú ØÓÖÑ Þ Þ Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ k r Ö Ý Øع Ø Ø g [f,g] Ú ØÓÖÑ Þ ÐØ Ð Ò Ö ÐØ Ä ¹ Ð Ö Ø Þ Ø Ä ¹ Þ Ö Ð Ð Ò Ö ØÐ Ò Ò Ú Þ Ð Ø ÓÞ Ñ ÐÐ Ø ÖÓÞÒ k r Ö ¹ Ý ØØ Ø Ñ Ð Ð Ö Ú ÐØ Ø Â Ð Ð k r (T(t)) = k r (t) Þ r¹ Ö Ð Ô Þ Ø ÖØÓÞ Ö Ý ØØ Ø Ñ Ö Ð Ø ¹ Ø k r (T) Ö Ý ØØ Ø Ñ Ö Ð Ø Þ Ö ÒØ Ð Ö ¹ Ú ÐØ k r (T) = E r RT 2k r,e Er RT µ Ð ÓÐ r {,2,,M} k r (T) Ö Ý ØØ Ø Ñ Ö Ò ò Ö Ú ÐØ Ø Ø ÒÝ Þ ÞÓÖÞ Ø Þ ÐÝ ÐØ Ð ÒÓ Ð Ø Ð ÞÒ ÐÚ Ø ÖÓÞ Ø Ñ ½½ ¾ Ì Ø Ð Ä Ò Þ¹ Þ ÐÝ Ä Ý Ò u(x),v(x) C (n) (I,R) Ø Ø Þ Ð ¹ Ú ÒÝ ÓÐ I R ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑ ÓÖ Þ (uv)(x) ÞÓÖÞ Ø Ú ÒÝ n¹ Ö Ú ÐØ n Nµ Þ Ð Þ Ð Ô Ò Þ Ñ Ø Ø (uv) (n) (x) = n s= ( ) n u (n s) (x)v (s) (x) s µ k r (T) Ö Ú ÐØ ÞÓÖÞ Ø Ú ÒÝ Ð Ý ÖÖ Ä Ò Þ¹ Þ ÐÝØ Ð¹ ÐÑ ÞÚ k r (T) Ö Ý ØØ Ø Ñ Ö Ð Ø Þ Ö ÒØ n¹ n Nµ Ö Ú ÐØ Ú Ø Þ Ð Ò Ö Ø k (n) r (T) = (k ) (n ) r n E r (T) = k r, R (n )! s= ( ) (n s ) T n s+ n s (e Er RT ) (s) µ s! g [f,g] Ú ØÓÖÑ Þ ÐØ Ð Ò Ö ÐØ Ä ¹ Ð Ö Ø Þ Ø Ä ¹Þ Ö Ð Ð Ò Ö ØÐ Ò Ú Þ Ð Ø Ý Ó Ý Ñ Ð Ð Ä ¹Þ Ö Ð Ð Ý Ñ ØÖ ÜÓØ ÔÞ Ò ÞØ ÞÓÖÞ ØØ Ð Ø Ù Ø ÒÝ Þ Ñ ØÖ ÜÓ Ö Ò Ø Ú Þ Ð Ù Þ Ò ÐÓÑ Ö Ò Ñ Ñ ØÖ Ü Ó ÐÑ Ø ½¼ Ò Ö Ý ØØ Ø Ö Ú ÐØ Ð Ô Þ Ø D n n n¹ Ñ ØÖ ÜÓØ Ö Ò Ñ Ñ ØÖ ÜÒ Ò Ú ÞÞ D n n Nµ Ñ ØÖ Ü ½¾

Ð Ú Ø Þ D n = k k ( ) n k (n) k 2 k 2 ( ) n k (n) 2 k 3 k 3 ( ) n k (n) 3 k n k n ( ) n k (n) n k n k n ( ) n k n (n) Ö Ò Ñ Ñ ØÖ Ü Ö Ò Ò Ñ Ö Ø Ò ØÙ ÙÒ Ú Ø ÞØ ØÒ Þ Ý Ö Ö ÒÝ Ø Ø Ö Ö Ò Ñ Ø ÖÓÞ ÓÞ ÏÖÓÒ ¹ Ø ÖÑ Ò Ò Ö ÚÓÒ Ø ÓÞ Ø Ø ÐØ ÞÒ ÐÓÑ ½¾ ½½ Ò Þ I ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓÒ ÖØ ÐÑ Þ ØØ Ð Ð (n )¹ Þ Ö Ö Ú Ð¹ Ø f f 2 f n Ú ÒÝ ÏÖÓÒ Ø ÖÑ Ò Ò f (x) f 2 (x) f n (x) f () (x) f() 2 (x) f() n (x) W = f (2) (x) f (2) 2 (x) f n (2) (x) f (n ) (x) f (n ) 2 (x) f (n ) (x) Ì Ø Ð Ä Ý Ò f f 2 f n Þ I ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓÒ ÖØ ÐÑ Þ ØØ ÓØØ Ð ¹ Ð (n )¹ Þ Ö Ö Ú Ð Ø À Ð Ø Þ Þ I ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÒ ÓÐÝ Ò ÔÓÒØ ÓÐ Ú ÒÝ ÏÖÓÒ ¹ Ø ÖÑ Ò Ò Ò Ñ ¼ ÓÖ Þ f f 2 f n Ú ÒÝ Ð Ò Ö Ò ØÐ Ò Ö Ò Þ ÖØ Ð ÓØÒ ½ ýðð Ø À Ú Ò ÓÐÝ Ò ÔÓÒØ Þ ÐÐ ÔÓØØ Ö Ò ÓÐ det(d n ) n N Ø Ò ÓÖ D n Ö Ò Ñ Ñ ØÖ Ü Ø Ð Ö Ò ÞÓÒÝ Ø Â Ð Ð Ö Ò Ñ Ñ ØÖ Ü Ö Ò Ø rang(d n ) Å ¹ Ú Ð Ñ ØÖ ÜÓ ØÖ Ò ÞÔÓÒ Ð Ö Ò ÓØ Ò Ñ Ú ÐØÓÞØ Ø Ñ rang(d n ) = rang(dn) T Ñ ØÖ Ü ÓÖ Ò ÐÐ ØÚ Ó ÞÐÓÔ Ò Þ ÑÑ Ð Ú Ð ÞÓÖÞ Ú Ð Þ ÒØ Ò Ò Ñ Ú ÐØÓÞ Ø Ö Ò Ý k k 2 k n k k 2 k n rang(d n ) = rang(dn) T = rang k k 2 k n k (n) k (n) 2 k n (n) ½ k n n n n

ÔÓØØ Ñ ØÖ Ü Ø ÖÑ Ò Ò ÏÖÓÒ ¹ Ø ÖÑ Ò Ò f = k f 2 = k 2 f n = k n Ú ÒÝ Ð k k 2 k n k k 2 k n W = k k 2 k n k (n) k (n) 2 k n (n) Å Ú Ð Þ f = k f 2 = k 2 f n = k n Ú ÒÝ ÓÐÝØÓÒÓ Ò Ö Ú Ð Ø R + ¹ÓÒ Ð ÐÑ Þ Ø Ø Ø Ð Ú Ò ÓÐÝ Ò ÔÓÒØ Þ ÐÐ ÔÓØØ Ö Ò Ñ ÐÝÖ W ÓÖ Þ f f 2 f n Ú ÒÝ Ð Ò Ö Ò ØÐ Ò Ö Ò Þ ÖØ Ð ÓØÒ Þ Þ D n Ö Ò Ñ Ñ ØÖ Ü Ø Ð Ö Ò Ð Þ Þ ½ ÐÐ Ø Ð Ú Ø Þ Ó Ý ÓÞ Ó Ý D n Ö Ò Ñ Ñ Ø¹ Ö Ü Ø Ð Ö Ò Ð Ý Ò Ð Ò Ú Ò ÓÐÝ Ò ÔÓÒØ Þ ÐÐ ÔÓØØ Ö Ò Ñ ÐÝÖ det(d n ) ÃÓÒ Ö Ø Ö Ø Ò ÓÐ Þ ÒÝ Ø Þ Ñ Ö ¹ Þ Ø ØØ D n Ö Ò Ñ Ñ ØÖ Ü Ø ÖÑ Ò Ò Ô Ð ÙÐ Å ÌÄ Ú Ý Å Ø Ñ Ø ÔÖÓ Ö Ñ Ø Ú Ð ÒÒÝ Ò Ñ Ø ÖÓÞ Ø Ø ÖÑ Ò Ò Ñ Ö Ø Ò Ô Ð ÒØ Ø Ø Ð Ö Ò ¹ D n Ñ ØÖ Ü Ý Ñ ØÙ Ù ÑÓÒ Ò Ö Ò Ð Ö Ø ¹ Ñ Ö Ð Ø Ú ÐØÓÞØ Ø Ú Ð Þ ÓØØ Ñ Ö Ò Þ Ö Þ ½ Ø Ø Ð Þ Ö ÒØ Ö Ò Þ Ö ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ Ö Ò Ð Ö Ø g [f,g] Ú ØÓÖÑ Þ ÐØ Ð Ò Ö ÐØ Ä ¹ Ð Ö Ø Þ Ø Ð Ò Ö Ò ØÐ Ò Ú ØÓÖÑ Þ Þ Ñ Ñ Ý Þ ÞÚ ØÐ Ò Ð Ö ÒÝ ØÓØØ Ñ ÒÒÝ Þ ÑÓ Ø Ñ Ö Ð Øµ Ñ ÒÞ Ò Ð Ò Ö Ò ØÐ Ò Ý ÒÐ Ø Þ Ñ Ò Þ Ú Ð Ú Ø Þ Ð Þ Ø Ò Ô Ð Ð Ö Ñ Ö Ð Ø Ú ÐØÓÞØ Ø ¹ Ú Ð Ú Ð Ö Ð Ö Ø Ò ÐØ Ø Ð Ø Ú Þ ÐÓÑ ½ ËÓÖÓ Ö k ËÓÖÓ Ö Ò Ò Ú ÞÞ Þ A k 2 k n A2 A n Ð Ö ¹ Ø ÓÐ A A 2 A n Þ Ý Ö Ð Ô Ò Ö ÞØÚ Ú Ú Ý Ð Ø k k 2 k n > Ô Ñ Ð Ð Ð Ô Þ Ø ÖØÓÞ Ö Ý ØØ Ø Ø Ð Ð Ä Ý Ò a a 2 a n Ñ Ð Ð Ú Ý Ð Ø ÓÒ ÒØÖ ½

Ð Þ Ö Ô Ð Ò Ø Ð Ô Ð ÐÐ Ñ Ö Ö Ò Ð Ö Ø Ø Ú Þ ÐÓÑ ¾ ýðð Ø ØÐ Ô ÓÖÓ Ö Ñ Ö Ð Ø Ú ÐØÓÞØ Ø Ú Ð Ñ ¹ Ò Ñ Ñ Ò Ò ØØ Ö Ò Ð Ö Ø ÞÓÒÝ Ø ØÐ Ô ÓÖÓ Ö A k B k 2 C Ð Ò Ö Ø ÓÐ Ö Ò Ö ÞØÚ Ú Ú Ý Ð Ø Ö ÓÐÝ Ñ ØÓØ Ð Ö Ö Ø Ò ¹ Ø ÖÑ ÓÑÔÐ Ü¹Ú ØÓÖÓ Ð ÔÞ ØØ Ñ ØÖ ÜÓ α =, = ÞØ ÓÑ ØÖ Ñ ØÖ Ü Þ Ð Ñ ØÖ ÜÓ Ð Ò ÒØ Ô Ø Ñ γ = α = ÓÖ Ö Ò Þ ÖØ Ú Ø Þ Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø¹Ö Ò Þ Ö Ö Ð ȧ = k a = k, e E RT a ḃ = k a k 2 b = k, e E RT a k2, e E 2 RT b ċ = k 2 b = k 2, e E 2 RT b T = k, k e E 2, RT a+ e E2 RT b+u, ÓÐ u Þ Ö ÒÝ Ø Ø Ñ Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø¹Ö Ò Þ Ö ẋ = f(x)+gu Ð Ò ÖÚ ȧ ḃ ċ T = k a k a k 2 b k 2 b k a+ k 2 b ½ + u,

ÓÐ f = ak ak bk 2 bk 2 k a+ k 2 b, g = Ö Ò Þ Ö Ö Ò Ð Ö Ø Ò Ú Þ Ð Ø ÓÞ g ad g f Ú ØÓÖÑ Þ ÐØ Ð Ò Ö ÐØ Ä ¹ Ð Ö Ø Þ Ø Ð Ò Ö Ò ØÐ Ò Ú ØÓÖÑ Þ Þ Ñ Ø ÐÐ Ñ Ú Þ ÐÒ Ö Ò Þ Ö Þ ½ Ø Ø Ð Ð Ô Ò ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ Ö Ò Ð Ö Ø Þ Ö ÒÝ Ø Ø ÞØÖ Ñ ÒÞ Ñ Ý Þ Ð Ò Ö ¹ Ò ØÐ Ò Ý ÒÐ Ø Þ Ñ Ò ÞÚ ØÐ Ò Ð Ö ÒÝ ØÓØØ Ñ ÒÒÝ Ñ Ö Ð Ø Ñ ÒÞ Ò Þ Ú Ð Å Ú Ð ÞØ ÓÑ ØÖ Ñ ØÖ Ü Ö Ò ¾ Ô ÐÐ Ò ØÒÝ ÓÒ ÒØÖ Ø Ð Ö ¹ Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø ¾ Ñ ÒÞ ÐØ Ö Ø Þ Ø Ò Ñ Ö Ð ØÖ ÚÓÒ Ø¹ ÓÞ Ý ÒÐ Ø Ø Ø ÖØ ÐÑ Þ Ø Ð Ö Ò Þ Ö Ñ ÒÞ ÐØ Ö Ø Ø ÖÓÞ Ñ Ý dim c 3 Ö Ò Þ Ö ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ Ö Ò Ð Ö Ø dim c = 3 Þ ad g f ad 2 gf Ú ØÓÖÑ Þ ÓÖ ad g f = g f f g = f g = ad 2 g f = g (ad g f) (ad g f) g = (ad g f) g = ak ak +bk 2 bk 2 k a k 2 b, ak ak bk 2 k bk 2 a+ k 2 b k,k 2 Ö Ý ØØ Ø k i = k i, e E i RT Ð Ò Ö Ø ÓÐ k i, E i R Ò Ñ ÒÙÐÐ ÓÒ Ø Ò Ó i {,2} k i Ö Ú ÐØ k i = ( E i )k RT 2 i, e E i RT ( ) Ð Ý i k i E 2 Ñ Ó Ö Ú ÐØ k i = k i i, 2E R 2 T 4 i e E i R T 3 RT Þ Ð Ô Ò Þ Ñ Ø Ø k i = ÐØ Ø Ð ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ ÐÐ ÒÒ T = E i À k 2 R = k 2 = ÐØ Ø Ð ÒÒ ÐÐ Þ ad2 g f ÒÙÐÐÚ ØÓÖ ÓÖ dim c < 3 Ý Þ ½ Ø Ø Ð Þ Ö ÒØ Ö Ò Þ Ö Ò Ñ Ö Ò Ð Ö Ø À Þ a ÓÒ ÒØÖ ÒÙÐÐ ad g f = k 2ad 2 g f Ô b = ÓÖ ad gf = k k ad 2 gf Ø Ð Ð k 2 À Þ a = b = ÐØ Ø Ð ÒÒ ÐÐ ad g f ad 2 gf ½

ÒÙÐÐÚ ØÓÖÑ Þ Ý Þ ad g f ad 2 gf Ä ¹Þ Ö Ð Þ Ò Þ Ø Ò Þ Þ ½ Ø Ø Ð Ñ ØØ Ö Ò Þ Ö Ò Ñ Ö Ò Ð Ö Ø Ú Ø Þ Ò ÞØ Þ Ø Ø Ú Þ ÐÓÑ k = k 2 = ÐØ Ø Ð Ý Þ ÖÖ Ò Ñ ÐÐÒ ÒÒ ÐÐ ØÚ Þ a ÐÐ ØÚ b ÓÒ ÒØÖ ÔÓÞ Ø Ú À a() > b() > Ø Ð Ð ÔÓÞ Ø Ú Ø Ñ ØØ a(t) > ÐÐ ØÚ b(t) > t > Ø Ò ÒÒ ÐÐ Ä Ø Ø Ó Ý ÓÖ g Þ ad g f ÐÐ ØÚ Þ ad 2 gf Ä ¹Þ Ö Ð Ø Ð Ð Ò Ö Ò ØÐ Ò Ñ Ú Ð t a(t) b(t) Þ ad g f ad 2 gf Ú ØÓÖÑ Þ Ð Ò Ö ØÐ Ò Ò ÞÓÒÝ Ø ÓÞ Ú Ø Þ ÐÐ Ø Ø ÞÒ ÐÓÑ ½ Ä ÑÑ Ä Ý Ò x,y,z R N Ô ÖÓÒ ÒØ Ð Ò Ö Ò ØÐ Ò Ú ØÓÖÓ ÓÖ Þ x+y Þ Ú ØÓÖ Ð Ò Ö Ò ØÐ Ò z Ú ØÓÖØ Ð ÞÓÒÝ Ø Þ Ü Ý Þ Ú ØÓÖÓ Ô ÖÓÒ ÒØ Ð Ò Ö Ò ØÐ Ò αx+y = α = = α, R γx+δy = γ = δ = γ,δ R εx+ζy = ε = ζ = ε,ζ R ÁÒ Ö Ø Ñ ÓÒ Ø Ý Ð Ó Ý ω R,ω Ñ ÐÝÖ Ø Ð Ð Ó Ý ω(x+y) = z ÓÖ ωx z 2 = ωy + z 2 Þ Þ ω 2 = ω 2 Þ Ý ÒÐ ÓÖ ÐÐ Ø ÒÒ ω = Þ ÞÓÒ Ò ÐÐ ÒØÑÓÒ ÐØ Ø Ð Ò Ý Þ Þ Ö Ø ÐÐ Ø Â Ð Ð ad g f a= ad g f b= Þ ad g f Ú ØÓÖÑ Þ Ø a = ÐÐ ØÚ b = Ø Ò ad g f a= = bk 2 bk 2 k 2 b ad gf b= = ak ak k a À Ý Ù Ð Þ ad g f a=, ad g f b=, ad g f, g ad 2 gf Ä ¹Þ Ö Ð ÙØÓÐ Ó¹ ÓÖ Ò Ø Ø Â Ð Ð Þ Ý ÔÓØØ Ú ØÓÖÑ Þ Ø ad g f l a= ad g f l b= ad g f l g l ÐÐ ØÚ ad 2 gf l ÓÖ Þ ad g f l Ú ØÓÖÑ Þ Ð ÐÐ ad g f l = ad g f l a= + ad g f l b= Ð Ò ½

Ä Ø Ø Ó Ý ad g f l a= ad 2 g f l ÐÐ ØÚ ad g f l b= ad 2 g f l Ð Ò Ö Ò ØÐ ¹ Ò Ý Þ ½ Ð ÑÑ Ø Ð ÞÒ ÐÚ Ó Ý ad g f l a= +ad g f l b= = ad g f l ad 2 gf l ÞÓ Å Ú Ð g l ÒÙÐÐÚ ØÓÖ ÖÑ ÐÝ Ú ØÓÖÑ Þ Ú Ð Ð Ò Ö Ò Þ ¹ ÓÓÖ Ò Ø Ø Ý Ð Ñ Ú Ú ÞÓÒ Ò ad 2 g f ad gf g Ð Ò Ö Ò ØÐ Ò Ý dim c = 3 Þ ½ Ø Ø ÐØ ÞÒ ÐÚ Ó Ý Ö Ò Þ Ö ÖÑ ÐÝ Þ ÐÐ ÔÓØ Ð Ò ØÚ Ö Ò Ð Ö Ø Ý k = k 2 = ÐÐ ØÚ Þ a() = Ú Ý b() = Ø Ø Ý Ð Ñ Ú Ú Ö Ò Þ Ö Ñ Ò Ñ Ñ Ò Ò ØØ Ö Ò Ð Ö Ø Å Ó Ð Ô ÒØ ÐØ Ð ÒÓ Ò (n ) Ð Ô Ð ÐÐ ÓÖÓ Ö ¹ Ñ Ö Ð Ø Ú ÐØÓÞØ Ø Ð Ú Ð Ö Ò Ð Ö Ø Ø Ú Þ ÐÓÑ k ýðð Ø Þ A k 2 k n A2 A n Ð ÐØ Ð ÒÓ ÓÖÓ Ö ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ Ö Ò Ð Ö Ø Ñ Ö Ð Ø Ú ÐØÓÞØ Ø Ð ÓÐÝ Ñ Ø¹ ÓÞ Ø ÖØÓÞ D n Ö Ò Ñ Ñ ØÖ Ü Ø Ð Ö Ò Þ a () a 2 () a n () Þ Ø ÓÒ ÒØÖ ÔÓÞ Ø Ú k ÞÓÒÝ Ø Þ A k 2 k n A2 A n Ö Ò Ð Ð a a 2 a n Ñ Ð Ð ÒÝ Ó ÓÒ ÒØÖ Ø ÓÖ ÓÐÝ Ñ Ø ÓÞ Ø ÖØÓÞ n (n )¹ Ñ Ö Øò ÞØ ÓÑ ØÖ Ñ ØÖ Ü γ = n (n ) Ö Ò Þ ÖØ Ð Ö Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø¹Ö Ò Þ Ö ẋ = f(x)+gu Ð Ò ÖÚ Ú Ø Þ ȧ ȧ 2 ȧ n ȧ ṅ T = ÓÐ Ù Þ Ö ÒÝ Ø Ø Ñ k a k a k 2 a 2 k n 2 a n 2 k n a n k n a n k a + k 2 a 2 ++ k n a n ½ + u,

f = k a k a k 2 a 2 k n 2 a n 2 k n a n k n a n k a + k 2 a 2 ++ k n a n, g = γ ÞØ ÓÑ Ø Ñ ØÖ Ü Ö Ò (n ) ÞÚ ØÐ Ò Ð Ö ÒÝ ØÓØØ Ñ ÒÒÝ Ñ Ö Ð Ø Ñ ÒÞ Ô ½ Ý Þ ½ Ø Ø Ð Þ Ö ÒØ Ö Ò Þ Ö ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ Ö Ò Ð Ö Ø dim c = (n )+ = n Þ Ö Ò Ð Ö Ø Ú Þ Ð Ø ÓÞ Þ ad g f g Ú ØÓÖÑ Þ ÐØ Ð Ò Ö ÐØ Ä ¹ Ð Ö Ø Þ Ø Ú ØÓÖÑ Þ Ð Ò Ö ØÐ Ò Ø ÐÐ Ñ Ú Þ ÐÒ ¾ Ä ÑÑ ËÓÖÓ Ö Ø Ò Þ ad g f g Ú ØÓÖÑ Þ ÐØ Ð Ò Ö ÐØ Ä ¹ Ð Ö Ø Þ Ø Ú ØÓÖÑ Þ k (s) a ad s g f = ( )s Ð ÓÐ s {,2,,n } k (s) a k (s) 2 a 2 k (s) n 2 a n 2 k (s) n a n k (s) n a n k (s) a + k(s) 2 a 2 ++ k(s) n a n ÞÓÒÝ Ø Ð ÑÑ Ø Ø Ð Ò Ù Ñ Þ Ö Ú Ð Ð ØÓÑ Ò Ö ÐØ Ä ¹ Ð Ö Ø Þ Ø Ú ØÓÖÑ Þ Þ Ð Þ ad g f Ú ØÓÖÑ Þ ad g f = g f f g = f g = k a k a k 2 a 2 k n 2a n 2 k n a n k n a n k a + k 2 a 2 ++ k n a n ½

Ð Ò Ö Ø Þ ad 2 gf Ä ¹Þ Ö Ð Ô ad 2 gf = g [f,g] [f,g] g = + k a k a k 2 a 2 k n 2 a n 2 k n a n k n a n a + k 2 a 2 ++ k n k a n Ð Þ ad g f ÐÐ ØÚ ad 2 gf Ä ¹Þ Ö Ð Ð Ñ Ý Þ Ð ÑÑ Ò ÐØ ØØ Ð ½ ÐÐ ØÚ ¾ Ø Ò Ì Ý Ð Ó Ý Þ ad s g f Ä ¹Þ Ö Ð Ð g f = ( ) s ad s Þ ad s gf Ä ¹Þ Ö Ð ads g f Ñ Ö Ø Ò Þ k (s ) a k (s ) a k (s ) 2 a 2 k (s ) n 2 a n 2 k (s ) n a n k (s ) n a n k (s ) a + k(s ) 2 a 2 ++ k(s ) n a n ad s g f = g (ad s g f) (ad s g f) g = (ad s g f) g Þ Ð Ô Ò Þ ÑÓÐ Ø Þ Ò Ù ÐØ Ø ÐØ Ð ÞÒ ÐÚ Þ ÐÐ Ø Þ Ò Þ Ð Þ Þ Ø ØÚ Ô Ù Ó Ý k (s) a ad s g f = ( )s k (s) a k (s) 2 a 2 k (s) n 2 a n 2 k (s) n a n k (s) n a n k (s) a + k(s) 2 a 2 ++ k(n ) n a n ¾¼

À Ý Ù Ð Þ ad s g f Ä ¹Þ Ö Ð ÙØÓÐ ÓÓÖ Ò Ø Ø Ð Ð ads g f l Þ Ý ÔÓØØ Ú ØÓÖÑ Þ Ø Þ ad s g f l Ä ¹Þ Ö Ð Ð ÓÒØ Ø Ý n (n ) Ý (n ) Ñ Ö Øò Ñ ØÖ Ü ÞÓÖÞ Ø Ú = ( ) s ad s gf l = ( ) s k (s) a k (s) a k (s) 2 a 2 k (s) 2 a 2 k (s) 3 a 3 k n 2a (s) n 2 k n a (s) n k n a (s) n a a a 2 a 2 a n 2 a n a n n (n ) n = k (s) k (s) 2 k (s) 3 k (s) n 2 k (s) n (n ) Þ Þ Ø Ð Ø Ñ Ò Ò s {,2,,n } Ø Ò Ñ Ø Ø Â Ð Ð Θ Þ ad s g f l s =,2,n Ä ¹Þ Ö Ð Ð Ô Þ Ø Ñ ØÖ ÜÓØ Θ = ( ad g f l ad 2 g f l ad n g f l )n (n ) ÓÖ Θ Ð ÓÒØ Ø Þ A n (n ) Ñ Ö Øò D n (n ) (n ) Ñ Ö Øò Ñ ØÖ ÜÓ ÞÓÖÞ Ø Ú Θ = AD n, ÓÐ A ÓÒ ÒØÖ Ø Ø ÖØ ÐÑ Þ ÞÓÖÞ Ø ÒÝ Þ ¹Ñ ØÖ ÜÓØ Ð Ð a a a 2 a 2 A =, a n 2 a n a n n (n ) ¾½

Ñ Ó ÞÓÖÞ Ø ÒÝ Þ ¹Ñ ØÖ Ü Ô D n Ö Ò Ñ Ñ ØÖ Ü k k ( ) n k (n ) D n = k 2 k 2 ( ) n k (n ) 2 k 3 k 3 ( ) n k (n ) 3 k n 2 k n 2 ( ) n k (n ) n 2 k n k n ( ) n k (n ) n (n ) (n ) Þ A Ñ ØÖ Ü Ø Ð Ö Ò Ö Ú Ø Þ Ø Ø Ð Ø Ú Ð Ó ÐØ ¹ Ø ÐØ ½ Ì Ø Ð Ä Ý Ò Ø Ø Þ Ð Ñ ØÖ ÜÓ ÓÖ rang(ab) min(rang(a), rang(b)) Ø Ø Ð Þ Ö ÒØ Θ Ñ ØÖ Ü Ø Ð Ö Ò Ò Þ ÐØ Ø Ð Ó Ý Þ A D n Ñ ØÖ ÜÓ Ö Ò n Ð Ý Ò À Þ a a 2 a n ÓÒ Òع Ö ÖÑ ÐÝ ÒÙÐÐ ÓÖ Þ A Ñ ØÖ ÜÒ Ú Ò ÓÐÝ Ò Ó ÞÐÓÔÚ ØÓÖ Ñ ÒÙÐÐÚ ØÓÖÑ Þ Ý ÓÖ rang(a) < n À Þ a a 2 a n ÓÒ Òع Ö Ñ Ò Ý ÔÓÞ Ø Ú Þ A Ñ ØÖ Ü Ó ÞÐÓÔÚ ØÓÖ Ð Ò Ö Ò ØÐ Ò Ý ÓÖ rang(a) = n Å Ú Ð Ñ Ö Ò Þ Ö Ö ÐÐ ÑÞ ÔÓÞ Ø Ú ¹ Ø a () a 2 () a n () > Ø Ò a (t) a 2 (t) a n (t) > t > Ø Ò Ø Ð Ð Þ a n ÓÒ ÒØÖ Ò Ñ ÓÐÝ ÓÐ Þ A Ñ ØÖ Ü Ö Ò Ø Θ Ñ ØÖ Ü Ö Ò Ò Ú Þ Ð Ø ÓÞ Ú Ø Þ Ø Ø ÐØ ÞÒ ÐÓÑ ½ Ì Ø Ð À B n k Ñ Ö Øò Ñ ØÖ Ü rang(b) = n ÓÖ rang(ab) = rang(a) ÓÐ n,k Z + Ø Ø ÐØ Ð ÐÑ ÞÚ Ó Ý rang(θ) = n ÓÖ Ø Ð Ð rang(d n ) = n Þ Þ Ö Ò Ñ Ñ ØÖ Ü Ø Ð Ö Ò ÓÖ Ñ Ö Ð Ø Ú ÐØÓÞ Ö ÚÓÒ Ø ÓÞ Ý ÒÐ Ø Ø Ý Ð Ñ Ú Ú Þ ad g f g Ú ØÓÖÑ Þ ÐØ Ð Ò Ö ÐØ Ä ¹ Ð Ö Ñ ÒÞ dim c = +(n ) = n Þ ½ Ø Ø ÐØ Ð ÞÒ ÐÚ Ó Ý D n Ö Ò Ñ Ñ ØÖ Ü Ø Ð Ö Ò Þ a () a 2 () a n () ÓÒ ÒØÖ Ñ Ò Ý ÔÓÞ Ø Ú ÓÖ Ö Ò Þ Ö Ö Ò Ð Ö Ø Þ ÐÐ Ø Ñ ÓÖ Ø Þ À Ñ ÖØ Ó Ý Ö Ò Ð Ö Ø Ö Ò Þ Ö Þ ½ Ø Ø Ð Ñ ØØ dim c = n Þ Þ dimθ = n ÓÖ Ø Ø Ð Þ Ö ÒØ rang(θ) n ÐÐ ØÚ rang(a) n Å Ú Ð Θ Ñ ØÖ Ü (n ¾¾

) (n ) Ñ Ö Øò rang(θ) n ÐØ Ø ÐÒ Ø Ð ÐÒ ÐÐ Ø Ý ÒÐ ØÐ Ò Ø Þ Ú ØÚ Ó Ý rang(θ) = n À ÓÒÐ Ò Ð Ø Þ Ó Ý Þ A Ñ ØÖ Ü Ö Ò n Þ Þ Þ a () a 2 () a n () ÓÒ ÒØÖ ÔÓÞ Ø Ú Ì Ø ÓÖÓ Ö ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ Ö Ò Ð Ö Ø Ñ Ö Ð Ø Ú ÐØÓÞØ Ø Ð ÓÐÝ Ñ Ø ÓÞ Ø ÖØÓÞ D n Ö Ò Ñ Ñ ØÖ Ü Ø Ð Ö Ò Þ a () a 2 () a n () Þ Ø ÓÒ ÒØÖ ÔÓÞ Ø Ú ¾ È Ö ÙÞ ÑÓ Ö È Ö ÙÞ ÑÓ Ö Ò Ò Ú ÞÞ ÞÓ Ø Ñ Ö Ø ÓÐ Ý ÓØØ Ò ÙÐ ÒÝ Ð Ø Ð Ø ÖÑ Ð Ø Þ Ø Ô Ö ÙÞ ÑÓ Ö A k B A k 2 B 2 A kn B n Ð Ö¹ Ø ÓÐ A Ò ÙÐ ÒÝ B,B 2,,B n Ð Ò Þ Ö Ò Ð Ø Þ Ø ÖÑ k k 2 k n > Ô Þ Ý Ö ÓÞ Ø ÖØÓÞ Ö Ý ØØ Ø Ä Ý Ò a b b 2 b n Ñ Ð Ð ÒÝ Ó ÓÒ ÒØÖ ýðð Ø Ô Ö ÙÞ ÑÓ Ö Ñ Ö Ð Ø Ú ÐØÓÞØ Ø Ú Ð ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ Ö Ò Ð Ö Ø ÓÐÝ Ñ Ø ÓÞ Ø ÖØÓÞ D n Ö Ò Ñ Ñ ØÖ Ü Ø Ð Ö Ò Þ a() Ò ÙÐ ÓÒ ÒØÖ ÔÓÞ Ø Ú ÞÓÒÝ Ø Ö ÓÐÝ Ñ ØÓØ Ú Ø Þ (n + ) n¹ Ñ Ö Øò ÞØ ÓÑ ØÖ Ñ ØÖ Ü Ö Ð γ = (n+) n ¾

Þ Ð Ô Ò Ð Ö Ø ÓÐÝ Ñ ØÓ Ø Ð Ö Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø¹Ö Ò Þ Ö ȧ k a k 2 a k n a ḃ k a ḃ2 k 2 a = + u, ḃ ṅ k n a k T a+ k 2 a++ kna ÓÐ u Ñ Ò Ø Ø Ð Ð Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø¹Ö Ò Þ Ö Ò Þ Ø Ò Ñ Ø ẋ = f(x)+gu Ð Ò ÓÐ k a k 2 a k n a k a k 2 a f = k n a k a+ k 2 a++ kna, g = γ ÞØ ÓÑ Ø Ñ ØÖ Ü Ö Ò n Þ Ö ÒÝ ØÓØØ Ñ ÒÒÝ Ñ ÒÞ Ô ¹ ½ Ý Þ ½ Ø Ø Ð Þ Ö ÒØ Ö Ò Þ Ö ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ Ö Ò Ð Ö Ø dim c = n+ Þ Ö Ò Ð Ö Ø Ð ÒØ Þ Þ ad g f g Ú ØÓÖÑ Þ ÐØ Ð Ò Ö ÐØ Ä ¹ Ð Ö Ø Þ Ø Ú ØÓÖÑ Þ Ð Ò Ö ØÐ Ò Ø ÐÐ Ñ Ú Þ ÐÒ Ä ÑÑ È Ö ÙÞ ÑÓ Ö Ø Ò Þ ad g f g Ú ØÓÖÑ Þ ÐØ Ð ¹ Ò Ö ÐØ Ä ¹ Ð Ö ad s g f Ú ØÓÖÑ Þ ad s g f = ( )s k (s) a k(s) 2 a k(s) n a k (s) a k (s) 2 a k n (s) a k (s) a+ k(s) 2 a++ k(s) n a, ÓÐ s {,2,,n} ¾

ÞÓÒÝ Ø Ð ÑÑ Ø Ø Ð Ò Ù Ñ Þ Ö Ú Ð ÞÓÒÝ ØÓÑ Þ ad g f Ú ØÓÖÑ Þ ad g f = g f f g = f g = k a k 2 a k n a k a k 2 a k na k a+ k 2 a++ k n a Ñ ÓÒ Ö Ø Þ ad 2 gf Ä ¹Þ Ö Ð Ô ad 2 g f = g (ad g f) (ad g f) g = + k k a k 2 a k a+ k 2 k a k 2a k n a n a a++ k n a Ð Þ ad g f ÐÐ ØÚ ad 2 gf Ú ØÓÖÑ Þ Ñ Ý Þ Ð ÑÑ Ò Þ Ö ÔÐ Ä ¹Þ Ö ÐÐ Ð ½ ¾ Ø Ò Ì Ý Ð Ó Ý Þ ad s g f Ú ØÓÖÑ Þ Ð Ú Ø Þ k (s ) a k (s ) 2 a k n (s ) a k (s ) a ad s g f = ( ) s k (s ) 2 a k n (s ) a k (s ) a+ k(s ) 2 a++ k(s ) Þ ad s gf Ä ¹Þ Ö Ð Þ n a ad s g f = g (ad s g f) (ad s g f) g = (ad s g f) g Þ Ð Ô Ò Þ ÑÓÐ Ø Þ Ò Ù ÐØ Ø ÐØ Ð ÞÒ ÐÚ Þ ad s g f Ä ¹ ¾

Þ Ö Ð ad s gf = ( ) s k (s) a k (s) 2 a k (s) n a k (s) a k (s) 2 a k n (s) a k (s) a+ k(s) 2 a++ k(s) n a Ñ ÓÒ Þ ÑÓÐ Ø Þ Þ Ø Ð Ð Þ ÐÐ Ø À Ý Ù Ð Þ ad s gf Ä ¹Þ Ö Ð ÙØÓÐ ÓÓÖ Ò Ø Ø Â Ð Ð ÔÓØØ Ú ØÓÖÑ Þ Ø ad s g f l Þ ad s g f l Ä ¹Þ Ö Ð Ð ÓÒØ Ø Ý (n+) n Ý n Ñ Ö Øò Ñ ØÖ Ü ÞÓÖÞ Ø Ú ad s gf l = ( ) s = ( ) s k (s) a k(s) 2 a k(s) n a k (s) a k (s) 2 a k (s) 3 a k (s) n a a a a a a a a a a a (n+) n (n+) k (s) k (s) 2 k (s) 3 k (s) 4 k (s) n k (s) n Ä Ý Ò Θ Þ ad s g f l, s =,2,n Ä ¹Þ Ö Ð Ð Ô Þ Ø Ñ ØÖ Ü Θ = ( ad g f l ad 2 g f l ad n g f l ) (n+) n = n ¾

Θ Ñ ØÖ Ü Ð ÓÒØ Ø Ý (n+) n Ý n Ñ Ö Øò Ñ ØÖ Ü ÞÓÖÞ Ø Ö a a a a a k a k ( ) n k (n) a k 2 k 2 ( ) n k (n) 2 Θ = a k 3 k 3 ( ) n k (n) 3 a k n k n ( ) n k (n) n a k n k n ( ) n k n (n) Â Ð Ð Þ Ð ÞÓÖÞ Ø ÒÝ Þ Ø A Ñ Ó ÞÓÖÞ Ø ÒÝ Þ Þ Ò¹ Ö ¹ Ò Ñ Ñ ØÖ Ü a a a a a a a A = a, a a D n = k k ( ) n k (n) k 2 k 2 ( ) n k (n) 2 k 3 k 3 ( ) n k (n) 3 k n k n ( ) n k (n) n k n k n ( ) n k (n) n (n+) n Þ A Ñ ØÖ Ü Ö Ò Ø Þa ÓÒ ÒØÖ ÖØ Ø ÖÓÞÞ Ñ À a = A ÒÙÐÐÑ ØÖ Ü Ý Þ Ö ÒØ Θ Ñ ØÖ Ü Ò Ñ Ð Ø Ø Ð Ö Ò À a() > ÓÖ Ñ Ö Ò Þ Ö ÔÓÞ Ø Ú Ø Ñ ØØa(t) > t > Ø Ò ÓÖ Þ A Ñ ØÖ Ü Ð Ò Ö Ò ØÐ Ò Ó ÞÐÓÔÚ ØÓÖ Ò ÐÐ ØÚ Ð Ò Ö Ò ØÐ Ò ÓÖÚ ØÓÖ Ò Þ Ñ n Þ ÖØ rang(a) = n Þ Ø Ø ÐØ Ð ÐÑ ÞÚ Ó Ý rang(d n ) = n Ø Ò rang(θ) = n À D n Ø Ð Ö Ò Ñ Ö Ð Ø Ú ÐØÓÞ Ö ÚÓÒ Ø ÓÞ Ý ÒÐ Ø Ø Ý Ð Ñ Ú Ú Þ ad g f g Ú ØÓÖÑ Þ ÐØ Ð Ò Ö ÐØ Ä ¹ Ð Ö Ñ ÒÞ dim c = n + Þ ½ Ø Ø Ð Þ Ö ÒØ ÓÖ Ö Ò Þ Ö Ö Ò Ð Ö Ø n n ¾

Þ ÐÐ Ø Ñ Ö ÒÝ Ò ÞÓÒÝ Ø ÓÞ Ø Ý Ð Ó Ý Ö Ò Þ Ö Ö Ò Ð Ö Ø ½ Ø Ø Ð Ñ ØØ dim c = n+ Þ Þ dimθ = n ÓÖ Ø Ø Ð Þ Ö ÒØdim(D n ) n ÐÐ ØÚ dim(a) n Å Ú Ð D n ÐÐ ØÚ AÑ ØÖ ÜÓ n Ö Ó ÞÐÓÔÚ ØÓÖÑ Þ Ø Ø ÖØ ÐÑ ÞÒ dim(d n ) n ÐÐ ØÚ dim(a) n Ø Ð ÐÒ Ý Þ Ý ÒÐ ØÐ Ò Ø Þ Ú ØÚ dim(d n ) = dim(a) = n dim(a) = n ÐØ Ø Ð ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ ÐÐ ÒÒ Þ a ÓÒ ÒØÖ ÔÓÞ Ø Ú ÓÖ a() > Ø Ð Ð Ì Ø Ö Ò Þ Ö ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ Ö Ò Ð Ö Ø dim(d n ) = n a() > Ã Ö ÓÐÝ Ñ ØÓ k Ã Ö ÓÐÝ Ñ ØÓ Ò Ò Ú ÞÞ Þ A k 2 k n k A2 A n n A Ð Ö Ø ÓÐ A,A 2,,A n Þ Ý Ð Ô ÓÖ Ò Ð Ø Þ Ú Ý Ð Ø Ø Ð Ð k,k 2,,k n > Ô Ñ Ð Ð Ð Ô Þ Ø ÖØÓÞ Ö ¹ Ý ØØ Ø Ä Ý Ò a,a 2,,a n Þ Ý ÒÝ Ó ÓÒ ÒØÖ ýðð Ø Ö ÓÐÝ Ñ ØÓ ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ Ö Ò Ð Ö Ø Ñ Ö Ð Ø Ú ÐØÓÞØ Ø Ú Ð ÓÐÝ Ñ Ø ÓÞ Ø ÖØÓÞ D n Ö Ò Ñ Ñ ØÖ Ü Ö Ò n Þ a (),a 2 (),,a n () ÓÒ ÒØÖ Þ Ð Ð Ð Þ Ý ÒÙÐÐ ÞÓÒÝ Ø Ñ ØÖ Ü Ö ÓÐÝ Ñ Ø ÓÞ Ø ÖØÓÞ n n¹ Ñ Ö Øò ÞØ ÓÑ ØÖ γ = Þ Ð Ô Ò ÓÐÝ Ñ ØÓ Ø Þ Ð Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø¹Ö Ò Þ Ö Ö Ð ȧ k a +k 2 a 2 ȧ 2 k 2 a 2 +k 3 a 3 ȧ 3 k 3 a 3 +k 4 a 4 ȧ ṅ T = n n + k n a n +k a k a + k 2 a 2 ++ kn a n ¾ u,

ÓÐu Ñ Ò Ø Ø Ð Ð Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø¹Ö Ò Þ Öẋ = f(x)+gu Ð ÓÐ k a +k 2 a 2 k 2 a 2 +k 3 a 3 k 3 a 3 +k 4 a 4 f =, g = k n a n +k a k a + k 2 a 2 ++ kna n γ ÞØ ÓÑ Ø Ñ ØÖ Ü Ö Ò n Þ Ö ÒÝ ØÓØØ Ñ ÒÒÝ Ñ ÒÞ Ô ½ Ý Þ ½ Ø Ø Ð Þ Ö ÒØ Ö Ò Þ Ö ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ Ö Ò Ð Ö Ø dim c = (n ) + = n Þ Ö Ð Ö Ø Ú Þ Ð Ø ÓÞ Þ ad g f g ÐØ Ð Ò Ö ÐØ Ä ¹ Ð Ö Ø Þ Ø Ð Ò Ö Ò ØÐ Ò Ú ØÓÖÑ Þ Þ Ñ Ø ÐÐ Ú Þ ÐÒ Ä ÑÑ Þ ad g f g Ú ØÓÖÑ Þ ÐØ Ð Ò Ö ÐØ Ä ¹ Ð Ö Þ ad g ÓÔ ¹ Ö ØÓÖ s¹ Ð ÐÑ Þ Ú Ð Ä ¹Þ Ö Ð k (s) a +k (s) 2 a 2 ad s gf = ( ) s k (s) 2 a 2 +k (s) 3 a 3 k (s) 3 a 3 +k (s) 4 a 4, k n (s) a n +k (s) a k (s) a + k(s) 2 a 2 ++ k(s) n a n ÓÐ s {,2,,n} ÞÓÒÝ Ø Ð ÑÑ Ø Ø Ð Ò Ù Ú Ð Ð ØÓÑ Þad g f ÓÔ Ö ØÓÖ Ý Þ Ö ÐÐ ØÚ Ø Þ Ö Ð ÐÑ Þ Ú Ð Ä ¹Þ Ö Ð ad g f = g f f g = f g = ¾ k a +k 2a 2 k 2 a 2 +k 3 a 3 k 3 a 3 +k 4 a 4, k na n +k a k a + k 2 a 2 ++ k n a n

ad 2 gf = g (ad g f) (ad g f) g = + k a +k 2 a 2 k 2a 2 +k 3a 3 k 3 a 3 +k 4 a 4 k na n +k a a + k 2 a 2 ++ k n k a n Þ ad g f ÐÐ ØÚ Þ ad 2 gf Ú ØÓÖÑ Þ Ð Ð ÑÑ Þ Ö ÒØ s = ÐÐ ØÚ s = 2 Ø Ò Ì Ý Ð Ó Ý Þ (s )¹ Ð Ô Ò ÔÓØØ Ä ¹Þ Ö Ð g f = ( ) s ad s k (s ) a +k (s ) 2 a 2 k (s ) 2 a 2 +k (s ) 3 a 3 k (s ) 3 a 3 +k (s ) 4 a 4 k (s ) n a n +k (s ) a k (s ) a + k(s ) 2 a 2 ++ k(s ) n a n Ñ ÓÒ Ö Ø Þ ad n g f Ä ¹Þ Ö Ð Ñ Ö Ø Ò Þ ad n gf Ú ØÓÖÑ Þ Þ ad s g f = g (ad s g f) (ad s g f) g = (ad s g f) g Þ Ð Ô Ò Ø ÖÓÞ Ø Ñ Þ Ò Ù ÐØ Ø ÐØ Ð ÞÒ ÐÚ Þ ad g f ÓÔ Ö ØÓÖ s¹ Ð ÐÑ Þ Ú Ð Ä ¹Þ Ö Ð k (s) a +k (s) 2 a 2 ad s g f = ( )s k (s) 2 a 2 +k (s) 3 a 3 k (s) 3 a 3 +k (s) 4 a 4 k n (s) a n +k (s) a k (s) a + k(s) 2 a 2 ++ k(s) n a n Ð Ý Ø Ð Ð Ð ÑÑ Ð Ò Ö ØÐ Ò Ò Þ Ø Ò ÓÖÓ Ö ÓÞ ÓÒÐ Ñ ÓÒ Ú Þ Ð Ø ¼

À Ý Ù Ð Þ ad s gf Ä ¹Þ Ö Ð ÙØÓÐ ÓÓÖ Ò Ø Ø Þ Ý ÔÓØØ Ú ØÓÖ¹ Ñ Þ Ø Ð Ð ad s g f l Þ ad s g f l Ä ¹Þ Ö Ð Ð ÓÒØ Ø Ý n n Ý n Ñ Ö Øò Ñ ØÖ Ü ÞÓÖÞ Ø Ú = ( ) s ad s g f l = ( ) s k (s) a +k (s) 2 a 2 k (s) 2 a 2 +k (s) 3 a 3 k (s) 3 a 3 +k (s) 4 a 4 k n (s) a n +k (s) a a a 2 a 2 a 3 a 3 a n a n a a n n n n = k (s) k (s) 2 k (s) 3 k (s) n k (s) n Þ Þ Ø Ð Ø Ñ Ò Ò s {,2,,n} Ø Ò Ñ Ø Ø Â Ð Ð Θ Þ ad s g f l s =,2,n Ä ¹Þ Ö Ð Ð Ô Þ Ø Ñ ØÖ ÜÓØ Θ = ( ad g f l ad 2 g f l ad n g f ) l n n Θ Ñ ØÖ Ü n¹ ÓÖ Ð ÐÐ Ú ØÓÖÑ Þ Ø ÓÖÚ ØÓÖÑ Þ Ú Ð Ð Ò Ö ¹ Ò Þ Ý Þ n¹ ÓÖØ Ð ÝÚ Ñ ØÖ Ü Ð Ö Ò Ò Ñ Ú ÐØÓÞ Â Ð Ð Θ 2 Θ Ñ ØÖ Ü n¹ ÓÖ Ò Ð Ý Ú Ð ÔÓØØ Ñ ØÖ ÜÓØ ÓÖ Θ 2 Ð ÓÒØ Ø Ú Ø Þ Ð Ñ ØÖ ÜÓ ÞÓÖÞ Ø Ú Θ 2 = AD n, ÓÐ A ÓÒ ÒØÖ Ø Ø ÖØ ÐÑ Þ ÞÓÖÞ Ø ÒÝ Þ Ø Ð Ð D n Ô Þ n¹ Ö Ò Ñ Ñ ØÖ Ü a a 2 a 2 a 3 a 3 A =, a n 2 a n a n ½ n n n

D n = k k ( ) n k (n ) k 2 k 2 ( ) n k (n ) 2 k 3 k 3 ( ) n k (n ) 3 k n k n ( ) n k (n ) n n n Ñ Ö ÔÓÞ Ø Ú Ø Ñ ØØ a () a 2 () a n () > Ø Ò a (t) a 2 (t) a n (t) > t > Ø Ò Ø Ð Ð À Þ a a 2 a n ÓÒ ÒØÖ Þ Ð Ð Ð Ý ÒÙÐÐ Þ A Ñ ØÖ Ü Ó ÞÐÓÔÚ ØÓÖ Ð Ô Þ Ø Ú ØÓÖÑ Þ Þ ØØ ÔÓÒØÓ Ò n Ð Ò Ö Ò ØÐ Ò Ú Ò Ý rang(a) = n Ø Ø Ð Þ Ö ÒØ D n Ö Ò Ñ Ñ ØÖ Ü Ö Ò n ÓÖ rang(θ) = n Ø Ð Ð Ò Þ Ø Ò Ñ Ö Ð Ø Ú ÐØÓÞ Ö ÚÓÒ Ø ÓÞ Ý ÒÐ Ø Ø Ý Ð Ñ Ú Ú Þ ad g f g Ú ØÓÖÑ Þ ÐØ Ð Ò Ö ÐØ Ä ¹ Ð Ö Ñ ÒÞ dim c = (n )+ = n Þ ½ Ø Ø Ð Ð Ô Ò ÓÖ Ö Ò Þ Ö Ö Ò Ð Ö Ø ÞÓÒÝ Ø Ñ Ö ÒÝ ÓÞ Ø Ý Ð Ó Ý Ö Ò Ð Ö Ø Ö Ò Þ Ö ½ Ø Ø Ð Þ Ö ÒØ ÓÖ dim c = n Þ Þ dim(θ) = n Ø Ø Ð Ð Ú Ø Þ Ó Ý dim(a) dim(d n ) n Å Ú Ð dim(a) n ÐÐ ØÚ dim(d n ) n ÒÒ ÐÐ Þ Ý ÒÐ ØÐ Ò Ø Þ Ú ØÚ dim(a) = dim(d n ) = n rang(a) = n ÐØ Ø Ð ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ Ø Ð Ð Þa a 2 a n ÓÒ ÒØÖ Þ Ð Ð Ð Ý ÒÙÐÐ Þ Þ Ò ÙÐ a () a 2 () a n () ÓÒ ÒØÖ Þ Ð Ð Ð Þ Ý Ð Ø ÒÙÐÐ Ì Ø Ö Ò Þ Ö ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ Ö Ò Ð Ö Ø ÓÐÝ Ñ Ø ÓÞ Ø Ö¹ ØÓÞ D n Ö Ò Ñ Ñ ØÖ Ü Ö Ò n Þ a (),a 2 (),,a n () ÓÒ ÒØÖ Þ Ð Ð Ð Ý ÒÙÐÐ Þ ØØ ÒØ ØØ Ö Ø ÔÙ Ó Ò Ð Ñ Ò Ò Ý Ö Ð Ô ÓÖ Ò ÔÓÒØÓ Ò Ý ÒÝ Ð ÙÐØ Ø ÔÓÒØÓ Ò Ý Ñ ÒÝ Ú Ø ¹ Þ Ò ÓÐÝ Ò Ö Ø ÔÙ Ó Ö Ò Ð Ö Ø Ø Ú Þ ÐÓÑ ÓÐ Þ Ý Ö Ð Ô ÓÖ Ò Ø Ð Ò ÙÐ ÒÝ Ð Ø ÐÐ ØÚ Ø Ð Ø ÖÑ Ð Ø Þ Ø ÝÐ Ô Ò Ñ Ð Þ Ö ÝÐ Ô Ò Ñ Ð Þ Ö Ò Ò Ú ÞÞ I i= A i J j= B j Ð Ö Ø ÓÐ A i i =,2,,I I Z + µ Ò ÙÐ ÒÝ Ó Ø B j j =,2,,J J Z + µ Ô Ö ÓÖ Ò Ð Ø Þ ÒÝ Ó Ø Ð ¹ k ¾

Ð Ä Ý Ò a i ÐÐ ØÚ b j Ñ Ð Ð ÓÒ ÒØÖ ÓÐ a i,b j i j Ò ÜÖ Â Ð Ð k > Ö Ð Ô Þ Ø ÖØÓÞ Ö Ý ØØ Ø Ø Ð Þ Ö ÞÓ Ø Ö Ø Ú Þ ÐÓÑ ÓÐ I = J = 2 ýðð Ø Þ Á  ¾ Ø Ò Þ ÝÐ Ô Ò Ñ Ð Þ Ñ Ö ÔÓÒ¹ ØÓ Ò ÓÖ Ö Ò Ð Ö Ø Ñ Ö Ð Ø Ú ÐØÓÞØ Ø Ú Ð Þ a() ÐÐ ØÚ b() Ò ÙÐ ÓÒ ÒØÖ ÔÓÞ Ø Ú ÞÓÒÝ Ø Þ Ò Ö A+B k C+D Ð Ò Ö Ø Ä Ý Ò Ò ÙÐ ÒÝ Ó ÓÒ ÒØÖ a ÐÐ ØÚ b Ð Ø Þ ÒÝ Ó Ô c d Ì Ý Ð Ó Ý Þ a() b() Ö ÓÐÝ Ñ Ø ÓÞ Ø ÖØÓÞ ÞØ ÓÑ ØÖ Ñ ØÖ Ü Ú Ø Þ γ = ÓÖ Ö Ò Þ ÖØ Ð Ö Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø¹Ö Ò Þ Ö ẋ = f(x) +gu Ð Ò ÖÚ Ú Ø Þ ȧ kab ḃ ċ d = kab kab kab + u, k T ab ÓÐ u Ñ Ò Ø f = kab kab kab kab k ab, g = Å Ú Ð γ ÞØ ÓÑ Ø Ñ ØÖ Ü Ö Ò ÐÐ ØÚ Þ Ö ÒÝ ØÓØØ Ñ ÒÒÝ ¹ Ñ ÒÞ ½ Þ ½ Ø Ø Ð Þ Ö ÒØ Ö Ò Þ Ö ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ Ö Ò Ð Ö Ø dim c = + = 2 Ö Ò Þ Ö Ö Ò Ð Ö Ø Ò Ú Þ Ð Ø ÓÞ g ad g f Ú ØÓÖÑ Þ ÐØ Ð Ò Ö ÐØ Ä ¹ Ð Ö Ø Þ Ø Ð Ò Ö Ò ØÐ Ò

Ú ØÓÖÑ Þ Þ Ñ Ø ÐÐ Ñ Ú Þ ÐÒ Þ ad g f ÓÔ Ö ØÓÖ Ý Þ Ö Ð ÐÑ ¹ Þ Ú Ð Þ Ð Ä ¹Þ Ö Ð Ø Ô Ù k ab k ab ad g f = g f f g = k ab k ab k ab k Ö Ý ØØ Ø k = k e E RT Ð ÓÐ k E R Ò Ñ ÒÙÐÐ ÓÒ Ø Ò Ó k Ö Ú ÐØ k = ( E )k RT 2 e E RT Ð Ý k ÐØ ØØ Ó Ý a() b() Þ ÖØ Ñ Ö Ò Þ Ö ÔÓÞ Ø Ú Ø Ñ ØØ t Ø Ò ÒÒ ÐÐ Ó Ý a(t) b(t) Ð Ó Ý Þ ad g f Ä ¹Þ Ö Ð Ñ Ò Ò ÓÓÖ Ò Ø ÔÓÞ Ø Ú ÓÖ g ad g f Ä ¹Þ Ö Ð Ð Ò Ö Ò ØÐ Ò Ý Þad g f gú ØÓÖÑ Þ ÐØ Ð Ò Ö ÐØ Ä ¹ Ð Ö Ñ ÒÞ dim c = 2 Ì Ø Ö Ò Þ Ö Ö Ò Ð Ö Ø Ì Ý Ð Ó Ý Ö Ò Ð Ö Ø Ö Ò Þ Ö ÓÖ Þ ½ Ø Ø Ð Þ Ö ÒØ dim( c ) = 2 Þ Þ g ad g f Ú ØÓÖÑ Þ Ð Ò Ö Ò ØÐ Ò Ý a(t) > b(t) > t Ø Ò Ø Ð Ð Ý Þ a() > b() > ÐØ Ø Ð ÒÒ ÐÐ Å Ó Ð Ô Ò Þ I + J = n ÐÐ ÔÓØÚ ÐØÓÞ Ø Ø ÖØ ÐÑ Þ Ö Ò Þ Ö Ò ÖØ ÐÑ Þ ØØ ÝÐ Ô Ò Ñ Ð Þ ÓÐÝ Ñ ØÓ Ñ Ö Ð Ø¹Ú ÐØÓÞØ Ø Ð Ú Ð Ö Ò Ð Ö Ø Ø Ú Þ ÐÓÑ ýðð Ø Þ ÐØ Ð ÒÓ ÝÐ Ô Ò Ñ Ð Þ ÓÐÝ Ñ ØÓ ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ Ö Ò Ð Ö Ø Ñ Ö Ð Ø Ú ÐØÓÞØ Ø Ú Ð Þ a () a 2 () a I () ÓÒ ÒØÖ ÔÓÞ Ø Ú ÞÓÒÝ Ø Ö ÓÐÝ Ñ ØÓØ Ð Ö ÞØ ÓÑ ØÖ Ñ ØÖ Ü Ú Ø Þ γ = 2 I 2 J n

ÞØ ÓÑ ØÖ Ñ ØÖ Ü Ð I ÓÓÖ Ò Ø Ò ÙÐ Ñ Ó J ÓÓÖ¹ Ò Ø Ð Ø Þ ÒÝ Ó Ö ÚÓÒ Ø ÓÞ Ö Ò Þ ÖØ Ð Ö Ö Ò Ð Ý ÒРع Ö Ò Þ Ö ẋ = f(x)+gu Ð Ò ÖÚ Ú Ø Þ ȧ ȧ 2 ȧ I ḃ ḃ2 ḃ J T = ka a I ka a I ka a I ka a I ka a I ka a I k a a I + u, ÓÐ u Ö Ò Þ Ö Ñ Ò Ø f = ka a I ka a I ka a I ka a I ka a I ka a I k a a I,g = Þ I = J = 2 Ø Þ ÓÒÐ Ò γ ÞØ ÓÑ Ø Ñ ØÖ Ü Ö Ò ÐÐ ØÚ Þ Ö ÒÝ ØÓØØ Ñ ÒÒÝ Ñ ÒÞ ½ Þ ½ Ø Ø Ð Þ Ö ÒØ Ö Ò Þ Ö ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ Ö Ò Ð Ö Ø dim c = + = 2 ÓÞ Ó Ý Ð ÒØ Ø Ð Ý Ò Ö Ò Ð Ö Ø ¹ Ö Ò Þ Ö g ad g f Ú ØÓÖÑ Þ ÐØ Ð Ò Ö ÐØ Ä ¹ Ð Ö Ø Þ Ø Ð Ò Ö Ò ØÐ Ò Ú ØÓÖÑ Þ Þ Ñ Ø ÐÐ Ñ Ú Þ ÐÒ

Þ ad g f Ä ¹Þ Ö Ð Ú Ø Þ Ð Ò Ö Ø k a a I k a a I k a a I ad g f = k a a I k a a I k a a I k a a I k Ö Ý ØØ Ø k = k e E RT Ð ÓÐ k E R Ò Ñ ÒÙÐÐ ÓÒ Ø Ò Ó k Ö Ú ÐØ k = ( E )k RT 2 e E RT Ð Ò Ö Ø Ý k Þ ÐÐ Ø ÐØ Ø Ð Þ Ö ÒØ i Ò Ü Ø Ò ÒÒ ÐÐ Ó Ý a i () Þ ÖØ ÔÓÞ Ø Ú Ø Ñ ØØ t > ÔÓÒØÖ a i (t) Ø Ð Ð Å Ú Ð ÓÖ Þ ad g f Ä ¹Þ Ö Ð Ý ÓÓÖ Ò Ø Ñ ÒÙÐÐ g ad g f Ä ¹Þ Ö Ð Ð Ò Ö Ò ØÐ Ò Ý Þad g f gú ØÓÖÑ Þ ÐØ Ð Ò Ö ÐØ Ä ¹ Ð Ö Ñ ÒÞ dim c = 2 Þ ½ Ø Ø Ð Þ Ö ÒØ Ö Ò Þ Ö Ö Ò Ð Ö Ø Þ ÐÐ Ø Ñ ÓÖ Ø Ò ÞÓÒÝ Ø ÓÞ Ø Ý Ð Ó Ý Ö Ò Þ Ö Ö Ò Ð Ö Ø ½ Ø Ø Ð Ñ ØØ Ò Þ Ø Ò dim( c ) = 2 Þ Þ g ad g f Ú ØÓÖÑ Þ Ð Ò Ö Ò ØÐ Ò Þ a (t) > a 2 (t) > a I (t) > t Ø Ò ÐÐ ÒÒ Ý Þ a () a 2 () a I () ÓÒ ÒØÖ ÔÓÞ Ø Ú Ì Ø Þ ÝÐ Ô Ò Ñ Ð Þ ÓÐÝ Ñ ØÓ ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ Ö Ò Ð Ö¹ Ø Ñ Ö Ð Ø Ú ÐØÓÞØ Ø Ú Ð Þ a () a 2 () a I () Ò ÙÐ ÓÒ ÒØÖ Ñ Ò Ý ÔÓÞ Ø Ú ¾ Å ÝÞ n = Ø Ò Þ ÝÐ Ô Ò Ñ Ð Þ Ö Ò Ñ Ö¹ Ø ÐÑ Þ Ø n = 2 Ø Ò Ö A B Ð Þ Þ ÓÖÓ Ö Ý Ô Ð Ø Ø Ô Ù Ú Þ

Þ Ø ÁÖ ÒÝ Ø Ø Ú Þ Ð Ø Ô Ð Ð Ö Ø Ò ÓÒ ÒØÖ Ú ÐØÓÞØ Ø Ú Ð Þ Ô Ö ÓÐÝ Ñ ØÓ ÓÖ Ò Ý Ö Ò Ú ÐÖ Ð Ú Ø ÓÞÒ Ö Ò Þ Ö Ó Ý ÓÐÝ ÓÐ Ñ Ö Ñ Ò Ø Ð Ø Ö Ð ÒØ Ö Þ Ò Ö ÒÝ Ø ÓÒ ÒØÖ Ú ÐØÓÞØ Ø Ú Ð Ø ÖØ Ò Ñ Ú Ð ÞØ Ô Ö Ñ Ø ÖØ ÒÒÝ Ò ØÙ Ù Ú ÐØÓÞØ ØÒ ÓÒØÓ Ñ ÖÒ Ý ÓØØ ÓÐÝ Ñ Ø Ø Ò Ñ ÐÝ Ú Ý Ð Ø ÓÒ ÒØÖ Ø Ú Ð ÞÙ Ñ Ò ØÒ Ñ Ð Ð Ú Ø ÖÑ ¹ Ð Ö Þ Ñ Ú Ð Ý ÓÐÝ Ñ Ø Þ Ó ÖÒÝ Þ Ø Ñ Ð Ø Ø ÓÞ Ó Ý Ð ØÙ Ù ÒØ Ò Ö ÒÝ Ø Ø ¹ Ö Ò Þ Ö g [f,g] Ú ¹ ØÓÖÑ Þ ÐØ Ð Ò Ö ÐØ Ä ¹ Ð Ö Ø Þ Ø Ð Ò Ö Ò ØÐ Ò Ú ØÓÖÑ ¹ Þ Þ Ñ Ø ÐÐ Ñ Ø ÖÓÞÒ Ò Ö ÐØ Ä ¹ Ð Ö Ð Ñ Ò Ý Þ Öò Þ Ð Þ Þ Ø Ò Ú Þ Ø ØØ ad g f ÓÔ Ö ØÓÖ ÓÞ ÓÒÐ Ñ ÓÒ ¹ Ò ÐÓÑ Þ ad f g ÓÔ Ö ØÓÖØ ½¾ Ò Ä Ý Ò f C (R N ),g C (R N ) Ò Ð Ù Þ ad f g : C (R N ) C (R N ) C (R N ) ÓÔ Ö ØÓÖØ Ú Ø¹ Þ ÔÔ Ò ad f g = f, ½µ ad f g = [f,g] = g f f g, ¾µ ad n f g = (adn f g) f f (ad n f g) µ

Þ Ø Ò Ô Ð Ò ÓÒ ÒØÖ Ú ÐØÓÞØ Ø Ð Ú Ð Ö Ò Ð Ö ¹ Ø Ø Þ Ø Ð Ò Ö Þ Ð Ø ÓØ Ú Þ ÐÓÑ Þ Þ Ø Ð Ò Ö Þ Ð Ø Ú Þ Ð Ø ÓÞ Ú Ø Þ Ø Ø ÐØ ÞÒ ÐÓÑ ½¼ Ì Ø Ð Þ ẋ(t) = f(x) + g(x)u Ö Ò Ð Ý ÒÐ ØØ Ð ÐÐ Ñ Þ Ø Ö Ò ¹ Þ Ö Þ x ÔÓÒØ Ò Þ Ø Ð Ò Ö Þ Ð Ø (g(x ) ad f g(x ) ad 2 f g(x ) ad n f g(x )) Ñ ØÖ Ü Ø Ð Ö Ò 2 = span{g, ad f g, ad 2 fg,, adn 2 f g} ÞØÖ ÒÚÓÐÙØ Ú Þ x ÔÓÒØ Ý ÖÒÝ Þ Ø Ò À Ø Ø Ð ÐØ Ø Ð Ø Ð ÐÒ Ö Ò Þ Ö Þ x ÔÓÒØ Ý ÖÒÝ Þ Ø Ò ÐÓ¹ Ð Ò Ö ÒÝ Ø Ø Ý ÒØ ÐØ Ø Ð Þ Ö ÒÝ Ø Ø Ð ÐØ Ø Ð Ý Ò Â Ð Ð k r k r Ö Ý ØØ Ø ÓÒ ÒØÖ Ø k r (t) = k r, e Er RT(t) Ö Ý ØØ Ø ÓÒ ÒØÖ Ø Ð ØÐ Ò Ý Þ Ö ¹ ÒÝ Ø Ø Ú Þ Ð Ø Ò Ð Ð Ö ÞÓÖÞ ÒØ Ú Ð À ÓÒ ÒØÖ Ú ÐØÓÞØ Ø Ú Ð Þ Ö ØÒ Ò Ö Ò Þ ÖØ Ö ÒÝ Ø Ò Ñ Ö Ð Ø¹ Þ ÐÝÓÞ Ð Ú Ð Ö ÒÝ Ø Ø Ð ÐØ Ö Ò Ø Ð Ñ Ò Ø Ð ¹ Ø Þ Ö ÒÝ Ø Ø Ø ØØ Ð Ñ ÐÝ Ú Ý Ð Ø ÓÒ ÒØÖ ¹ Ò Ú ÐØÓÞØ Ø Ú Ð Ö ÒÝ ØÙÒ À Þ i Ò Üò A i i {,2,,n} ÒÝ ¹ Ø ÓÒ ÒØÖ Ø Ú Ð ÞØ Ù Ñ Ò ØÒ ÓÐ n Ö Ò Þ Ö Ò Ø Ð Ð Ø ÒÝ Ø Þ Ñ Ø Ð Ð Ö Ò Þ ÖØ Ð Ö Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø¹Ö Ò Þ Ö Ò ÞA i ÒÝ Ø ÓÒ ÒØÖ Ö ÚÓÒ Ø ÓÞ ȧ i = f i Ý ÒÐ Øȧ i (t) = f i (t)+u¹ Ö Ñ Ó ÙÐ ÓÞ Ó Ý Ñ Ø Ð Ý Ò Ñ ÐÝ ÔÓÒØÓ Ò Ö ÒÝ Ø Ø Ö Ò Þ Ö Ö Ò Ö ÞØÚ Ú Þ Ú Ý Ð Ø Ø Ò Ñ ÐÐ Ú Þ ÐÒ Ó Ý Þ ÓØØ ÒÝ Ò ÓÒ ÒØÖ Ø Ú ÐØÓÞØ ØÚ ØÙ Ù ¹ ÓÐÝ Ñ ØÓØ Ö ÒÝ Ø Ò Ú Ø Þ Ð Þ Ø Ò Ô Ð Ð Ý Ñ Ò Øò Ö Ò Þ Ö Ø ¹ Ò Ú Þ ÐÓÑ Ñ ÐÝ Ú Ý Ð Ø ÓÒ ÒØÖ Ø Ú Ð ÞØ Ø Ù Ñ Ò ØÒ ÓÞ Ó Ý ÓÐÝ Ñ Ø Ö Ò Ð Ö Ø ÐÐ ØÚ Þ Ø Ð Ò Ö Þ Ð Ø Ð Ý Ò ½ ËÓÖÓ Ö k k2 kn Ì ÒØ Þ A A2 A n Ð (n ) Ð Ô Ð ÐÐ ÓÖÓ Ö Ø Â Ð Ð Ñ Ð Ð ÒÝ Ó ÓÒ ÒØÖ Ø a a 2 a n Ð Þ Ö Ô Ð Ò ØÐ Ô ÓÖÓ Ö Þ Ø Ð Ò Ö Þ Ð Ø Ø ÐÐ ØÚ Ö Ò Ð Ö Ø Ø Ú Þ ÐÓÑ

ýðð Ø ØÐ Ô ÓÖÓ Ö Ò ÙÐ Ú Ý Ð Ø ÓÒ ÒØÖ ¹ Ò Ú ÐØÓÞØ Ø Ú Ð Þ Ø Ð Ò Ö Þ Ð Ø Þ Ý Ð Ô Ò Ð Ø Þ Ú ¹ Ý Ð Ø ÓÒ ÒØÖ Ò Ú ÐØÓÞØ Ø Ú Ð ÞÓÒ Ò Ò Ñ ÞÓÒÝ Ø ØÐ Ô ÓÖÓ Ö A k k2 B C Ð ÓÐ Þ Ý Ú Ý Ð Ø Ø Ð Ð a,b,c Ô Ñ Ð Ð Ú Ý Ð Ø Þ Ø ÖØÓÞ ÓÒ ÒØÖ Ö ÓÞ Ø ÖØÓÞ ÞØ ÓÑ ØÖ Ñ ØÖ Ü ¹½ ¼ γ = ½ ¹½ ¼ ½ À Ö Ø Þ Ò ÙÐ ÒÝ ÓÒ ÒØÖ Ò Ú ÐØÓÞØ Ø Ú Ð Þ ¹ Ö ØÒ Ò Ö ÒÝ Ø Ò Ö Ò Þ ÖØ Ð Ö Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø¹Ö Ò Þ Ö ȧ = k a+u ḃ = k a k 2 b ċ = k 2 b Ð ÓÐ u Þ Ö ÒÝ Ø Ø Ñ Þ Ð Ô Ò Þ f g Ú ØÓÖÑ Þ Ú Ø Þ a k f = a k b k 2, b k 2 g = Å Ú Ð Ö ÓÞ Ø ÖØÓÞ ÞØ ÓÑ ØÖ ÐØ Ö Ñ ÒÞ ¾ Þ a ÓÒ Òع Ö Ñ ÒÞ Ô ½ Þ ½ Ø Ø Ð Ð Ô Ò ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ Ö Ò Ð Ö Ø Ö Ò Þ Ö dim c = 3 Ø Ð Ð ÓÞ Ó Ý Þ Ö ÒÝ Ø Ø ÞØÖ ¹ Ñ ÒÞ Ø Ñ Ø ÖÓÞÞÙ Þ f g Ú ØÓÖÑ Þ ÐØ Ð Ñ Ø ÖÓÞÓØØ Ä ¹Þ Ö Ð ØÐ Ò Ø ÐÐ Ú Þ ÐÒ Þ ad f g ad 2 fg Ä ¹Þ Ö Ð Ú Ø Þ k ad f g = k,

ad 2 f g = k 2 k ( k + k 2 ) k k2 Ä Ø Ø Ó Ý g ad f g ad 2 fg Ú ØÓÖÑ Þ Ð Ò Ö Ò ØÐ Ò Ñ Ú Ð k k 2 Ö Ý ØØ Ø ÖØ Ó Ñ Ð Ø ÒÙÐÐ Ì Ð Ð dim c = 3 ÐØ Ø Ð Ý Ö ÖÑ ÐÝ Þ ÐÐ ÔÓØ Ð Ò ØÚ Ö Ò Ð Ö Ø Þ Þ Ø Ð Ð Ø Ø Ð ÐØ Ø Ð Þ ad f g ad 2 fg Ú ØÓÖÑ Þ Ñ Ò Ò ÓÓÖ Ò Ø ÓÒ Ø Ò Å Ú Ð ÓÒ ¹ Ø Ò Ú ØÓÖÑ Þ Ä ¹Þ Ö Ð ÒÙÐÐÚ ØÓÖÑ Þ Ø Ø Ð2 ÐØ Ø Ð ÒÒ ÐÐ Ý Þ A Ú Ý Ð Ø ÓÒ ÒØÖ Ø Ø ÒØÚ Ñ Ò ØÒ Ö Ò Þ Ö Þ Ø Ð ¹ Ò Ö Þ Ð Ø À Ö Ò Þ ÖØ ÒÝ ÓÒ ÒØÖ Ò Ú ÐØÓÞØ Ø Ú Ð Þ Ö ØÒ Ò Ö ÒÝ Ø Ò Ö Ò Þ ÖØ Ð Ö Ñ Ó ØÓØØ Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø¹Ö Ò Þ Ö Ú Ø¹ Þ ȧ = k a ḃ = k a k 2 b+u ċ = k 2 b Þ f Ú ØÓÖÑ Þ Ò Ñ Ñ Ó ÙÐ Þ Ð Þ Ø Þ Ô Ø g Ú ØÓÖÑ Þ Ð Ô g = Þ f g Ú ØÓÖÑ Þ ÐØ Ð Ñ Ø ÖÓÞÓØØ Ä ¹Þ Ö Ð ÓÖ ad f g = k 2, k 2 ad 2 f g = k 2 2 k 2 2 Å Ú Ð ad 2 f g = k 2 ad f g Ø Ð Ð Þ ad f g, ad 2 fg Ä ¹Þ Ö Ð Ð Ò Ö Ò g ad f g ÐÐ ØÚ ad 2 fg Ú ØÓÖÑ Þ ¾ Ñ ÒÞ ÐØ Ö Ø Þ Ø Ò Å Ú Ð dim( c ) < 3 Þ ½ Ø Ø Ð Þ Ö ÒØ ÓÖ Ö Ò Þ Ö Ò Ñ Ö Ò Ð Ö Ø ¼

À ÒÝ ÓÒ ÒØÖ Ò Ú ÐØÓÞØ Ø Ø Ú Ð ÞØ Ù Ñ Ò ØÒ Ö Ò Þ ÖØ Þ Ð Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø¹Ö Ò Þ Ö Ö Ð ȧ = k a ḃ = k a k 2 b ċ = k 2 b+u Þ f Ú ØÓÖÑ Þ Ò Ñ Ñ Ó ÙÐ Þ Ð Þ Ø Ø Þ Ô Ø g Ú ØÓÖÑ Þ ÞÓÒ Ò Ò g = Þ ad f g Ä ¹Þ Ö Ð Ò Þ Ø Ò ad f g = g f f g = f g = Ð Ñ Ú Ð Þ f Ú ØÓÖÑ Þ Ñ Ò Ý ÓÓÖ Ò Ø ØÐ Ò Ú Ý Ð Ø ÓÒ ÒØÖ Ø Ð À ÓÒÐ Ò Þ ad 2 fg Ú ØÓÖÑ Þ ÞÓÒÓ Ò ¼ Ú ØÓÖÒ Ý g ad f g ÐÐ ØÚ ad 2 fg Ú ØÓÖÑ Þ ½ Ñ ÒÞ ÐØ Ö Ø Þ ¹ Ø Ò Þ ½ Ø Ø Ð Ð Ô Ò Ö Ò Þ Ö Ú Ý Ð Ø ÓÒ ÒØÖ Ò Ú ÐØÓÞØ Ø Ú Ð Ñ Ö Ò Ð Ö Ø Ð ØØÙ Ó Ý Ú Ý Ú Ý Ð Ø ÓÒ ÒØÖ Ø Ú Ð ÞØÚ Ñ Ò ØÒ Ö Ò Þ Ö Ò Ñ Ö Ò Ð Ö Ø Ý Þ Ò Þ Ø Ò Þ Þ Ø Ð Ò Ö ¹ Þ Ð Ø Ñ Ø Ð Ð Ì Ø ØÐ Ô ÓÖÓ Ö Ø Ö Ò Þ Ö Ò Ð Ò Ð Ú ÒÝ Ó ¹ Þ Ð Ò ÙÐ Ú Ý Ð Ø ÓÒ ÒØÖ Ò Ú ÐØÓÞØ Ø Ú Ð Ð Ø Þ Ø Ð Ò Ö Þ ÐÒ ½ Ã Ú Ø ÞÑ ÒÝ ÞÓÒÝ Ø Ð Ð Ø Þ Ó Ý ØÐ Ô ÓÖÓ Ö Ò ÙÐ Ú Ý Ð Ø ÓÒ ÒØÖ Ò Ú ÐØÓÞØ Ø Ú Ð Ö Ò Ð Ö Ø Ö Ð Ô ÓÖ Ò Ð Ø Þ Ú Ý Ð Ø ÓÒ ÒØÖ Ò Ú ÐØÓÞØ Ø Ú Ð ÞÓÒ Ò Ò Ñ Å Ó Ð Ô Ò ÐØ Ð ÒÓ (n ) Ð Ô Ð ÐÐ ÓÖÓ Ö ÓÒ Òع Ö Ú ÐØÓÞØ Ø Ð Ú Ð Þ Ø Ð Ò Ö Þ Ð Ø Ò ÐØ Ø Ð Ø Ú Þ ÐÓÑ ½

k2 k kn ýðð Ø Þ A A2 A n Ð Ö Þ A ÒÝ ÓÒ ÒØÖ Ò Ú ÐØÓÞØ Ø Ø Ú Ð ÞØÚ Ñ Ò ØÒ Þ Ø Ð Ò Ö Þ Ð Ø Ö Ò Ö ÞØÚ Ú ØÓÚ Ú Ý Ð Ø ÓÒ ÒØÖ Ò Ú ÐØÓÞØ Ø Ú Ð ÞÓÒ Ò Ò Ñ Ð Ø Ö Ò Þ ÖØ Þ Ø Ð Ò Ö Þ ÐÒ k2 k kn ÞÓÒÝ Ø Þ A A2 A n ÓÐÝ Ñ Ø ÓÞ Ø ÖØÓÞ n (n )¹ Ñ Ö Øò ÞØ ÓÑ ØÖ Ñ ØÖ Ü ½ Ø Þ ÓÒÐ Ò Ú Ø Þ Ð Ö Ø γ = n (n ) Ö Ò Þ ÖØ Ð Ö Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø¹Ö Ò Þ Ö Ð Ò Ñ Ý ÖØ ÐÑò ØØ Ð Ñ ÐÝ Ú Ý Ð Ø ÓÒ ÒØÖ Ò Ú ÐØÓÞØ Ø Ú Ð Þ Ö ØÒ Ò Ö ÒÝ ¹ Ø Ò ÓÐÝ Ñ ØÓØ Ð Þ Ö Ò ÙÐ A Ú Ý Ð Ø ÓÒ ÒØÖ Ò Ú ÐØÓÞØ Ø Ú Ð Ú Ð Þ Ø Ð Ò Ö Þ Ð Ø ÓØ Ú Þ ÐÓÑ ÓÖ Ö Ò Þ ÖØ Ð Ö Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø¹Ö Ò Þ Ö ẋ = f(x)+gu Ð ¹ Ò ÖÚ ȧ ȧ 2 ȧ n ȧ n = k a k a k 2 a 2 k n 2 a n 2 k n a n k n a n + u, ÓÐ u Þ Ö ÒÝ Ø Ø Ñ Þ f g Ú ØÓÖÑ Þ Ú Ø Þ k a k a k 2 a 2 f =, g = k n 2 a n 2 k n a n k n a n ¾

Å Ú Ð Þ Ö ÒÝ ØÓØØ Ñ ÒÒÝ Ñ ÒÞ ½ γ ÞØ ÓÑ Ø Ñ ØÖ Ü Ö Ò Ô (n ) Þ ½ Ø Ø ÐØ Ð ÞÒ ÐÚ Ó Ý Ö Ò Þ Ö ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ Ö Ò Ð Ö Ø dim c = (n )+ = n Þ Ö Ò Ð Ö Ø Ð ÒØ Þ Þ f ad f g Ú ØÓÖÑ Þ ÐØ Ð Ò Ö ÐØ Ä ¹ Ð Ö Ø Þ Ø Ú ØÓÖÑ Þ Ð Ò Ö ØÐ Ò Ø ÐÐ Ñ Ú Þ ÐÒ Ä ÑÑ Þ ad s f g Ä ¹Þ Ö Ð(s+)¹ ÓÓÖ Ò Ø ( )n s i= k i Ð ÓÐ s {,2,,n } ÐÐ ØÚ Þ (s+2)¹ (s+3)¹ n¹ Ó¹ ÓÖ Ò Ø Ñ Ò Ý ÞÓÒÝ Ø Ð ÑÑ Ø Ø Ð Ò Ù Ñ Þ Ö Ú Ð Ð ØÓÑ Ò Ö ÐØ Ä ¹ Ð Ö Ø Þ Ø Ú ØÓÖÑ Þ Þ Ð Þ ad f g Ú ØÓÖÑ Þ ad f g = g f f g = f g = Jg Ñ ÓÒ Þ ÑÓÐ Ø ÓÐ J Þ f Ú ØÓÖÑ Þ Â Ó ¹Ñ ØÖ Ü J = k k k 2 k2 k n 2 kn 2 k n kn ÞØ Ð ÞÒ ÐÚ Þ ad f g Ä ¹Þ Ö Ð ad f g = Jg = k k Ð Ò Ö Ø Þ ad 2 (f,g) Ä ¹Þ Ö Ð Ô ad 2 f g = (ad fg) f f ad f g = f ad f g = J(ad f g)

Ñ ÓÒ Þ ÑÓÐ Ø ad 2 f g = J(ad fg) = ( ) 2 k 2 k 2 k k2 k k2 Ð Ä Ø Ø Ó Ý s = ÐÐ ØÚ s = 2 Ø Ò Ø Ð Ð Ð ÑÑ Ì Ý Ð Ó Ý Þ ad s f g Ä ¹Þ Ö Ð s¹ ÓÓÖ Ò Ø ( ) n s k i= i Ò Ð Ò ÝÓ Ò Üò ÓÓÖ Ò Ø Ô ¼¹Ú Ð Ý ÒÐ Â Ð Ð Þ Ð (s ) ÓÓÖ Ò Ø Ø x x 2 x s ÞÞ Ð Ð Ð Ð Þ ad s f g Ä ¹Þ Ö Ð x x 2 ad s f g = x s ( ) s s k i= i Ð Ò Ö Ø Þ ad s fg Ú ØÓÖÑ Þ Þ ads f g Ä ¹Þ Ö Ð Ñ Ö Ø Ò ad s f g = (ads f g) f f (ad s f g) = J(ad s f g) Ñ ÓÒ Þ ÑÓÐ Ø Þad s fg Ú ØÓÖÑ Þ (s+)¹ ÓÓÖ Ò Ø J Â Ó ¹ Ñ ØÖ Ü (s+)¹ ÓÖ Ò Þ ad s f g Ä ¹Þ Ö Ð ( )¹ Þ Ö Ò ÞÓÖÞ ¹ Ø ÒØ Ô Ø Ñ Þ Ò Ù ÐØ Ø ÐØ Ð ÞÒ ÐÚ ad s f g Ú ØÓÖÑ Þ (s+)¹ ÓÓÖ Ò Ø s s (ad s fg) s+ = ( ) k s ( ) s k i = ( ) s k i Å Ú Ð Þ ad s f g Ä ¹Þ Ö Ð s¹ò Ð Ò ÝÓ Ò Üò ÓÓÖ Ò Ø Ñ Ò ¹ й Ð ØÚ J Â Ó ¹Ñ ØÖ Üs¹Ò Ð Ò ÝÓ Ò Üò ÓÖ Ò Ð s Ð Ñ Þ Ò i= i=

ÓÖÓ Ò Þ ad s f g Ä ¹Þ Ö ÐÐ Ð Ú ØØ ÞÓÖÞ Ø Ð Þ Þ Þ Þ ad s f g Ú ¹ ØÓÖÑ Þ (s + )¹Ò Ð Ò ÝÓ Ò Üò ÓÓÖ Ò Ø Ñ Ò ¹Ò Ò Ý s {,2,,n } Ø Ò Ø Ð Ð Ð ÑÑ ¾ Ã Ú Ø ÞÑ ÒÝ Þ ad s fg s {,2,,n } Ä ¹Þ Ö Ð Ñ Ò Ý ÓÓÖ Ò Ø ÓÒ Ø Ò Â Ð Ð Θ g ad f g ad 2 fg adn f g Ä ¹Þ Ö Ð Ð Ô Þ Ø Ñ ØÖ ¹ ÜÓØ Þ Ð ÑÑ Ø Ð ÞÒ ÐÚ Ó Ý Θ Ý Ð ¹ ÖÓÑ Þ Ñ ØÖ Ü Ý Θ Ñ ØÖ Ü Ø ÖÑ Ò Ò ØÐ Ò Þ Ö ÔÐ Ð Ñ ÞÓÖÞ Ø ÒØ Ô¹ Ø Ñ ØÐ Ð Ð Ñ Ø Ð Ñ Ô Þ Ð ÑÑ Þ Ö ÒØ ( ) s s i= Ð ÓÐ s {,2,,n } ÞØ Ð ÞÒ ÐÚ det(θ) = n s= (( )s s i= ), Ñ Ò Ñ Ð Ø ¹Ú Ð Ý ÒÐ Ñ Ú Ð Ý Øع Ø Ñ Ò Ý ÔÓÞ Ø Ú Å Ú Ð det(θ) Θ Ñ ØÖ Ü Ö Ò n Þ Þ n Ð Ò Ö Ò ØÐ Ò Ó ÞÐÓÔÚ ØÓÖ Ú Ò Ñ ØÖ ÜÒ g ad f g ad n f g Ú ØÓÖÑ Þ Ð Ò Ö Ò ØÐ Ò Ø Ø Ö Ò Þ Ö Ö Ò Ð Ö Ø Þ Þ Ø Ø Ð ÐØ Ø Ð Ø Ð Ð Ð ÑÑ Ú Ø ÞÑ ÒÝ ÒØ Ó Ý Þ ad s fg Ä ¹Þ Ö Ð Ñ Ò Ò ÓÓÖ Ò Ø ÓÒ Ø Ò Å Ú Ð ÓÒ Ø Ò Ú ØÓÖÑ Þ ÝÑ Ð ÔÞ ØØ Ä ¹ Þ Ö Ð ÒÙÐÐÚ ØÓÖÑ Þ Ø Ø Ð 2 ÐØ Ø Ð ÒÒ ÐÐ Ý Þ A Ò ÙÐ ÒÝ ÓÒ ÒØÖ Ò Ú ÐØÓÞØ Ø Ú Ð Ö Ò Þ Ö Þ Ø Ð Ò Ö Þ Ð Ø Å Ó Ð Ô Ò Þ A s s {2,3,,n} Ú Ý Ð Ø ÓÒ ÒØÖ Ò Ú ÐØÓÞØ Ø Ú Ð Ú Ð Þ Ø Ð Ò Ö Þ Ð Ø ÓØ Ú Þ ÐÓÑ Ò Þ Ø Ò Ö Ò Þ ÖØ Ð Ö Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø¹Ö Ò Þ Öẋ = f(x)+ gu Ð Ò ÖÚ ȧ ȧ 2 ȧ 3 ȧ n 2 ȧ n ȧ n = k a k a k 2 a 2 k 2 a 2 k 3 a 3 k n 2 a n 2 k n a n k n 2 a n 2 k n a n k n a n + s s s+ n u, ÓÐ u Þ Ö ÒÝ Ø Ø Ñ Þ f g Ú ØÓÖÑ Þ Ô Ú Ø Þ

f = k a k a k 2 a 2 k 2 a 2 k 3 a 3, g = k n 2 a n 2 k n a n k n 2 a n 2 k n a n k n a n n Þ Ö ÒÝ ØÓØØ Ñ ÒÒÝ Ñ ÒÞ Ò Þ Ø Ò ½ γ ÞØ ÓÑ Ø s s s+ Ñ ØÖ Ü Ö Ò Ô (n ) Ý Þ ½ Ø Ø Ð Þ Ö ÒØ Ö Ò Þ Ö ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ Ö Ò Ð Ö Ø dim c = (n )+ = n Þ Ö Ò Ð Ö Ø Ú Þ Ð Ø ÓÞ Þ f ad f g Ú ØÓÖÑ Þ ÐØ Ð Ò Ö ÐØ Ä ¹ Ð Ö Ø Þ Ø Ú ØÓÖÑ Þ Ð Ò Ö ØÐ Ò Ø ÐÐ Ñ Ú Þ ÐÒ Ä ÑÑ Þ ad s fg Ä ¹Þ Ö Ð Ð ÓÓÖ Ò Ø s {,2,,n } Ø Ò ¼ ÞÓÒÝ Ø Ð ÑÑ Ø Ø Ð Ò Ù Ú Ð ÞÓÒÝ ØÓÑ Þ ad f g Ä ¹Þ Ö Ð Ð ØØ Ð Ó Ý Þ A n Ú Ø ÖÑ Ú Ý Ú Ð Ñ ÐÝ ÞØ Ú Ý Ð Ø ÓÒ ÒØÖ Ò Ú ÐØÓÞ Ñ Ò Ø À ÞØ Ú Ý Ð Ø ÓÒ ÒØÖ ¹ Ò Ú ÐØÓÞ Ú Ð Þ Ö ØÒ Ò Ö Ò Þ ÖØ Ö Ò Ð Ö Ø Ú Ø ÒÒ Þ ad f g Ä ¹Þ Ö Ð ad f g = g f f g = Jg = k s k s Ð ÓÐ J Þ f Ú ØÓÖÑ Þ Â Ó ¹Ñ ØÖ Ü À Þ A n Ú Ø ÖÑ ÓÒ Òع Ö Ò Ú ÐØÓÞ Ø Ú Ð ÞØ Ù Ñ Ò ØÒ Þ ad f g Ä ¹Þ Ö Ð Ñ Ò Ò Ó¹ ÓÖ Ò Ø ¼ Ð Þ Ñ Ú Ð J Â Ó ¹Ñ ØÖ Ü ÙØÓÐ ÓÖ ÞÓÒÓ Ò ¼ Ý s = Ø Ò Ø Ð Ð ÐØ Ø Ð Ì Ý Ð Ó Ý Þ ad s f g Ä ¹Þ Ö Ð Ð ÓÓÖ Ò Ø ¼ Þ ad s f g Ú ¹ ØÓÖÑ Þ Þ ad s f g Ú ØÓÖÑ Þ Ñ Ö Ø Ò Þ ad s f g = (ads f g) f f (ad s f g) = Jad s f g

Þ Ð Ô Ò Þ ÑÓÐ Ø Â Ó ¹Ñ ØÖ Ü Ð ÓÖ Ò Þ Ð Ð Ñ Ò Ñ Þ Ò Ù ÐØ Ø Ð Þ Ö ÒØ Þ ad s f g Ð ÓÓÖ Ò Ø Ý Þ Jad s f g ÞÓÖÞ Ø Ð ÓÓÖ Ò Ø Þ ÒØ Ò Ð Þ Þ Þ Þ ad s fg Ä ¹Þ Ö Ð Ð ÓÓÖ Ò Ø ¼ Ð Ó Ý Ð ÑÑ s {,2,,n } Ø Ò Ø Ð Ð Â Ð Ð Θ g ad f g ad 2 f g adn f g Ä ¹Þ Ö Ð Ð Ô Þ Ø Ñ ØÖ ÜÓØ g Ú ØÓÖÑ Þ Ð ÓÓÖ Ò Ø ÐØ Ø Ð Þ Ö ÒØ Ð ÑÑ Ð Ó Ý Θ Ñ ØÖ Ü Ð ÓÖ Ò ØÓÚ Ð Ñ ¹ Å Ú Ð det(θ) = Θ Ñ ØÖ Ü Ö Ò Ñ ÒØ n Þ Þ g ad f g ad 2 fg ad n f g Ä ¹Þ Ö Ð Ð Ò Ö Ò Ö Ò Þ ÖØ Ð ÓØÒ Þ ½ Ø Ø Ð Þ Ö ÒØ s {2,3,,n} Ø Ò Þ A s Ú Ý Ð Ø ÓÒ ÒØÖ ¹ Ò Ú ÐØÓÞØ Ø Ú Ð Ö Ò Þ Ö Ò Ñ Ö Ò Ð Ö Ø Ý Þ Þ Ø Ð Ò Ö Þ Ð¹ Ø Ñ ÐÐ ÒÒ Ø Ð Ô Ð Ú Ø Þ Ó Ý ÓÖÓ Ö Þ A Ò ÙÐ ÒÝ ÓÒ ÒØÖ Ò Ú ÐØÓÞØ Ø Ú Ð Þ Ø Ð Ò Ö Þ Ð Ø Ö Ò Ö Þع Ú Ú ØÓÚ Ú Ý Ð Ø ÓÒ ÒØÖ Ò Ú ÐØÓÞØ Ø Ú Ð ÞÓÒ Ò Ò Ñ Ã Ú Ø ÞÑ ÒÝ ÞÓÒÝ Ø Ð Ð Ø Þ Ó Ý ÓÖÓ Ö Ò Ù¹ Ð ÒÝ ÓÒ ÒØÖ Ò Ú ÐØÓÞØ Ø Ú Ð Ö Ò Ð Ö Ø Ö Ò Ö ÞØÚ Ú ØÓÚ Ú Ý Ð Ø ÓÒ ÒØÖ Ò Ú ÐØÓÞØ Ø Ú Ð ÞÓÒ Ò Ò Ñ Ö Ò Ð Ö Ø Ö Ò Þ Ö ¾ È Ö ÙÞ ÑÓ Ö È Ö ÙÞ ÑÓ Ö Ò Ò Ú ÞÞ ÞÓ Ø Ñ Ö Ø ÓÐ Ý ÓØØ Ò ÙÐ ÒÝ Ð Ø Ð Ø ÖÑ Ð Ø Þ Ø Ì ÒØ A k B A k 2 B2 A k n Bn Ð Ô Ö ÙÞ ÑÓ Ö ¹ Ø ÓÐ A Ò ÙÐ ÒÝ B,B 2,,B n Ð Ò Þ Ö Ò Ð Ø Þ Ø ÖÑ Ä Ý Ò Ñ Ð Ð ÒÝ Ó ÓÒ ÒØÖ a b b 2 b n ½¼ ýðð Ø Ô Ö ÙÞ ÑÓ Ö ÓÒ ÒØÖ Ú ÐØÓÞØ Ø Ú Ð Ò Ñ Ö ¹ Ò Ð Ö Ø ÞÓÒÝ Ø Ö ÓÐÝ Ñ ØÓØ ¾ Ø Þ ÓÒÐ Ò Ú Ø Þ (n+) n¹ Ñ Ö Øò ÞØ ÓÑ ØÖ Ñ ØÖ Ü Þ Ð Ø Ù Ñ

γ = (n+) n ÓÐÝ Ñ ØÓ Ø Ð Ö Ö Ò Ð¹Ö Ò Þ Ö Ð ØØ Ð Ñ ÐÝ ÒÝ ÓÒ ÒØÖ Ò Ú ÐØÓÞØ Ø Ø Ú Ð ÞØ Ù Ñ Ò ØÒ Ð Ð Ô Ò Þ A Ò ÙÐ ÒÝ ÓÒ ÒØÖ Ò Ú ÐØÓÞØ Ø Ú Ð Ú Ð Ö Ò Ð Ö Ø Ø Ú Þ ÐÓÑ ÓÖ ÓÐÝ Ñ ØÓ Ø Ð Ö Ö Ò Ð Ý ÒРع Ö Ò Þ Ö ẋ = f(x)+gu Ð Ò ÖÚ ȧ ḃ ḃ2 ḃ n = k a k 2 a k n a k a k 2 a k n a + ÓÐ u Ñ Ò Ø Ø Ð Ð k a k 2 a k n a k a f = k 2 a, g = k n a u, γ ÞØ ÓÑ Ø Ñ ØÖ Ü Ö Ò n Þ Ö ÒÝ ØÓØØ Ñ ÒÒÝ Ñ ÒÞ Ô ¹ ½ Þ ½ Ø Ø Ð Þ Ö ÒØ Ö Ò Þ Ö ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ Ö Ò Ð Ö Ø dim c = n+ Þ Ö Ò Ð Ö Ø Ð ÒØ Þ Þ ad f g g Ú ØÓÖÑ ¹ Þ ÐØ Ð Ò Ö ÐØ Ä ¹ Ð Ö Ø Þ Ø Ú ØÓÖÑ Þ Ð Ò Ö ØÐ Ò Ø ÐÐ Ñ Ú Þ ÐÒ

Ä ÑÑ Þ ad s fg Ä ¹Þ Ö Ð Ñ Ò Ò s {,2,,n} Ø Ò k k 2 k n ad s f g = ( )s ( k k 2 k k n ) s k 2 k n Ð Ò Ö Ø ÞÓÒÝ Ø Ð ÑÑ Ø Ø Ð Ò Ù Ú Ð ÞÓÒÝ ØÓÑ Þ ad f g Ä ¹Þ Ö Ð Þ ad f g = g f f g = f g = Jg Þ Ð Ô Ò Þ Ñ Ø Ø ÓÐ J Þ f Ú ØÓÖÑ Þ Â Ó ¹Ñ ØÖ Ü k k 2 k n k J = k 2 k n ÞØ Ð ÞÒ ÐÚ Þ ad f g Ä ¹Þ Ö Ð ad f g = Jg = k k 2 k n k k 2 k n Ð Þ ad 2 fg Ú ØÓÖÑ Þ Ô ad 2 fg = ( ) 2 ( k k 2 k n ) k k 2 k n k k 2 k n

Ð Ò Ö Ø Ä Ø Ø Ó Ý s = s = 2 Ø Ò Ø Ð Ð Ð ÑÑ Ì Ý Ð Ó Ý Þ ad s f g Ä ¹Þ Ö Ð Ð Ú Ø Þ f g = ( ) s ( k k 2 k n ) s 2 ad s Þ ad s fg Ä ¹Þ Ö Ð Þ ad s f g Ú ØÓÖÑ Þ Ñ Ö Ø Ò Þ k k 2 k n k k 2 k n ad s f g = (ads f g) f f (ad s f g) = J(ad s f g) Þ Ð Ô Ò Þ ÑÓÐ Ø Þ Ò Ù ÐØ Ø ÐØ Ð ÞÒ ÐÚ Ú ØÓÖ¹ Ñ Þ k k 2 k n ad s fg = ( ) s ( k k 2 k k n ) s k 2 k n Ð Ý Ð ÑÑ Ø Ð Ð Ð ÑÑ Ú Ø ÞÑ ÒÝ ÒØ Ó Ý g ad f g ad 2 fg ad n fg Ú ØÓÖÑ Þ Ð Ò Ö Ò Ö Ò Þ ÖØ Ð ÓØÒ Å Ú Ð dim c < n+ Þ ½ Ø Ø Ð Þ Ö ÒØ Ö Ò Þ Ö Ò Ñ Ö Ò Ð Ö Ø Å Ó Ð Ô Ò Ú Ð Ñ ÐÝ B s s {,2,,n} Ú Ý Ð Ø ÓÒ ÒØÖ ¹ Ò Ú ÐØÓÞØ Ø Ø Ø ÒØ Ñ Ñ Ò ØÒ ÓÖ ÓÐÝ Ñ ØÓ Ø Ð Ö Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø¹Ö Ò Þ Ö ẋ = f(x) + gu Ð Ò ÖÚ ȧ ḃ ḃ2 ḃ3 ḃ n ḃ n = k a k 2 a k n a k a k 2 a k 3 a k n a k n a ¼ + s u,

ÓÐ u Ñ Ò Ø Ø Ð Ð f = k a k 2 a k n a k a k 2 a k 3 a k n a k n a, g = Þ Ð Ð Ô Þ ÓÒÐ Ò γ ÞØ ÓÑ Ø Ñ ØÖ Ü Ö Ò n Þ Ö ÒÝ ØÓØØ Ñ ÒÒÝ Ñ ÒÞ Ô ½ Þ ½ Ø Ø Ð Ð Ô Ò Ö Ò Þ Ö ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ Ö Ò Ð Ö Ø dim c = n + Þ Ö Ò Ð Ö Ø Ð ÒØ Þ ØØ Þ ad f g g Ú ØÓÖÑ Þ ÐØ Ð Ò Ö ÐØ Ä ¹ Ð Ö Ø Þ Ø Ú ØÓÖÑ Þ Ð Ò Ö ØÐ Ò Ø ÐÐ Ñ Ú Þ ÐÒ Þ ad f g Ä ¹Þ Ö Ð ad f g = g f f g = Jg = Ð Ä Ø Ø Ó Ý ad s fg Þ ÒØ Ò Þ ÞÓÒÓ Ò Ú ØÓÖÑ Þ Ò Ñ Ò Ò s {,2,,n} Ø Ò Å Ú Ð dim c < n+ Þ ½ Ø Ø Ð Þ Ö ÒØ Ö Ò Þ Ö Ò Ñ Ö Ò Ð Ö Ø Ý Ô Ö ÙÞ ÑÓ Ö ÓÒ ÒØÖ Ú ÐØÓÞØ Ø Ú Ð Ò Ñ Ö Ò Ð¹ Ö Ø s Ã Ú Ø ÞÑ ÒÝ Ô Ö ÙÞ ÑÓ Ö ÓÒ ÒØÖ Ú ÐØÓÞØ Ø Ú Ð Ò Ñ Þ Ø Ð Ò Ö Þ Ð Ø Ã Ö ÓÐÝ Ñ ØÓ k Ì ÒØ Þ A k 2 k n k A2 A n n A Ö ÓÐÝ Ñ ØÓØ Ä Ý ¹ Ò a,a 2,,a n Ñ Ð Ð ÒÝ Ó ÓÒ ÒØÖ ½½ ýðð Ø Ö ÓÐÝ Ñ ØÓ Ø Ø Þ Ð Ö Ò Þ Ö Ð Ú Ý Ð Ø ÓÒ ÒØÖ ¹ Ò Ú ÐØÓÞØ Ø Ú Ð Þ Ø Ð Ò Ö Þ Ð Ø ½

ÞÓÒÝ Ø Ö ÓÐÝ Ñ ØÓØ Ú Ø Þ n n¹ Ñ Ö Øò ÞØ ÓÑ ØÖ Ñ ØÖ Ü Ñ γ = Ö ÓÐÝ Ñ ØÓØ Ð Ö Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø¹Ö Ò Þ Ö Ð ØØ Ð Ñ ¹ ÐÝ Ú Ý Ð Ø ÓÒ ÒØÖ Ò Ú ÐØÓÞØ Ø Ø Ú Ð ÞØ Ù Ñ Ò ØÒ Ã Ö¹ ÓÐÝ Ñ ØÓ Ø Ò Ñ ÒØ Ñ Ú Ð ÞØ Þ Þ Ø Ð Ò Ö Þ Ð Ø ÓØ Ò Ñ ÓÐÝ ÓÐ Ñ Ú Ð ÓÐÝ Ñ Ø Ò Ò Ò Ò Ø ÒØ Ø ØØ Þ Ö Ôò Þ Ø ÐÐ ØÚ Ú Ø ÖÑ Ò ÙÐ A ÒÝ Ò ÖÑ ÐÝ Ú Ý Ð Ø Ú Ð Þع Ø Ö Ò Þ Ö Ð A ¹ Ø Ñ Ú Ð ÞØÚ Þ A 2 A 3 A n Ú Ý Ð Ø Ý¹ Ñ ÓÞ Ô Ø ÓÖÖ Ò Ö Þ Ø ØØ Ú Þ ÐØ Ñ Ò Ø Ø Ø Þ Ð Ò Ñ ¹ Ú Ð ÞØ Ø Ñ Ú Ð Þ Ò Ü Ð Ô ÖÑÙØ Ð Ú Ð ÓÐÝ Ñ Ø Ð ÒÝ Ò Ò Ñ Ú ÐØÓÞ Ö Ò Þ Ö ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ Þ Ø Ð Ò Ö Þ Ð Ø Þ A i Ú Ý Ð Ø ÓÒ ÒØÖ Ò Ú ÐØÓÞØ Ø Ú Ð Þ Ø Ð Ò Ö Þ Ð Ø Þ A j Ú Ý Ð Ø ÓÒ ÒØÖ Ò Ú ÐØÓÞØ Ø Ú Ð Ñ Ò Ò i, j {,2,,n} Ø Ò Ä Ý Ò Þ Ö ÒÝ ØÓØØ Ñ ÒÒÝ Þ A Ú Ý Ð Ø ÓÒ ÒØÖ Ò Ú ÐØÓ¹ Þ ÓÖ ÓÐÝ Ñ ØÓ Ø Þ Ð Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø¹Ö Ò Þ Ö Ö Ð ȧ ȧ 2 ȧ 3 ȧ n = k a + k 2 a 2 k 2 a 2 + k 3 a 3 k 3 a 3 + k 4 a 4 k n a n + k a + n n u, ÓÐu Ñ Ò Ø Ø Ð Ð Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø¹Ö Ò Þ Öẋ = f(x)+gu Ð ÓÐ f = k a + k 2 a 2 k 2 a 2 + k 3 a 3 k 3 a 3 + k 4 a 4 k n a n + k a ¾, g =

Å Ú Ð ÞØ ÓÑ ØÖ Ñ ØÖ Ü Ö Ò n Þ Ö ÒÝ ØÓØØ Ñ ÒÒÝ Ñ Ò¹ Þ Ô ½ Þ ½ Ø Ø Ð Ð Ô Ò Ö Ò Þ Ö ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ Ö Ò Ð Ö Ø dim c = (n ) + = n Þ Ö Ò Ð Ö Ø Ú Þ Ð Ø ÓÞ Þ ad f g g Ú ØÓÖÑ Þ ÐØ Ð Ò Ö ÐØ Ä ¹ Ð Ö Ø Þ Ø Ð Ò Ö Ò ØÐ Ò Ú ØÓÖÑ Þ Þ Ñ Ø ÐÐ Ñ Ø ÖÓÞÒ Ä ÑÑ Þ ad s fg Ä ¹Þ Ö Ð Ð ÓÓÖ Ò Ø Ò Ñ ÒÙÐÐ Ñ Ó Ö¹ Ñ,(n s)¹ ÓÓÖ Ò Ø Ô ÞÓÒÓ Ò s {,2,,n } Ø Ò Ä ¹Þ Ö Ð (n s + )¹ ÓÓÖ Ò Ø k > ¹Ú Ð Ý ÒÐ s = s {2,3,,n } Ø Ò Ô k s 2 k i= n i > Ð ÞÓÒÝ Ø Ð ÑÑ Ø Ø Ð Ò Ù Ú Ð Ð ØÓÑ Þ ad f g Ä ¹Þ Ö Ð Þ ad f g = g f f g = Jg Þ Ð Ô Ò Þ Ñ Ø Ø ÓÐ J Þ f Ú ØÓÖÑ Þ Â Ó ¹Ñ ØÖ Ü k k2 k 2 k3 k 3 J = kn k n kn k k n Þ ad f g ad 2 fg Ä ¹Þ Ö Ð Ð ÓÖ Ú Ø Þ k ad f g =, k k 2 ad 2 fg = k kn k 2 k kn

Ä Ø Ø Ó Ý Þ ad f g ad 2 fg Ä ¹Þ Ö Ð Ö Ø Ð ÐÒ Ð ÑÑ ÐØ Ø Ð Ì Ý Ð Ó Ý (s )¹ Ð Ô Ò ÔÓØØ Ú ØÓÖÑ Þ ad (s ) f g = ( k ) s k s 3 i= k n i x s Ð ÓÐ k s 3 k i= n i Ú ØÓÖÑ Þ (n s+)¹ ÓÓÖ Ò Ø x s,,x n Ô Þ (n s+)¹ò Ð Ò ÝÓ Ò Üò ÓÓÖ Ò Ø Ø Ð Ð Þ ad s fg Ä ¹Þ Ö Ð Þ ad (s ) f g Ú ØÓÖÑ Þ Ñ Ö Ø Ò ad s fg = (ad (s ) f x n g) f f (ad (s ) f g) = J(ad (s ) f g) Ñ ÓÒ Þ ÑÓÐ Ø Þ Ò Ù ÐØ Ø ÐØ Ð ÞÒ ÐÚ Þ ad s fg Ä ¹Þ Ö Ð Ð ( k ) s ad s f g = k s 2 k i= n i k s x s + k s 3 k s k i= n i + k, s x s k s x s + k s+ x s+ k n x n + k 2 ÓÐ k s 2 i= k n i Ú ØÓÖÑ Þ (n s)¹ ÓÓÖ Ò Ø Þ ad s f g Ú ØÓÖÑ ¹ Þ Ö Ð ÑÑ Ò Þ Ö ÔÐ Ñ Ò ÖÓÑ ÐØ Ø Ð Ø Ð Ð Ý Ð ÑÑ ÖÑ ÐÝ s {,2,,n } Ø Ò Ø Ð Ð Ã Ú Ø ÞÑ ÒÝ Þ ad s fg s {,2,,n } Ä ¹Þ Ö Ð Ñ Ò Ò Ó¹ ÓÖ Ò Ø ÓÒ Ø Ò

Ð Ò Ö ØÐ Ò Ú Þ Ð Ø ÓÞ Ø ÒØ Ú Ø Þ g ad f g ad 2 f g ad n f g Ä ¹Þ Ö Ð Ð Ô Þ Ø (n n)¹ Ñ ØÖ ÜÓØ Θ = (g ad n f g ad n 2 f g ad f g) n n Þ ½ Ø Ø Ð Þ Ö ÒØ Ö Ò Þ Ö ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ Ö Ò Ð Ö Ø g ad f g Ú ØÓÖÑ Þ ÐØ Ð Ò Ö ÐØ Ä ¹ Ð Ö Ø Þ Ø Ð Ò Ö Ò ØÐ Ò Ú ØÓÖÑ Þ Þ Ñ n Þ Þ dim(θ) = n Θ Ñ ØÖ Ü (n n)¹ Ñ Ö Øò Ý ÞÞ Ð Ú Ú Ð Ò det(θ) ÐØ Ø Ð Ø Ñ ØÖ ÜÓØ Þ Ð Ó ÞÐÓÔ Þ Ö ÒØ Å Ú Ð g Ú ØÓÖÑ Þ Ð ÓÓÖ¹ Ò Ø Þ Þ Ø ÓÓÖ Ò Ø Ô det(θ) ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ Ø Ð Ð Ñ ØÖ Ü Ð Ó ÞÐÓÔ Ò Ð Ð Ñ Þ Ø ÖØÓÞ Ð Ø ÖÑ Ò Ò Ò Ñ ÒÙÐÐ Ì ÒØ Θ Ñ ØÖ Ü Ð ÓÖ Ò Ð Ó ÞÐÓÔ Ò Ð Ý ¹ Ú Ð Ð Ø Þ Ñ ØÖ ÜÓØ Â Ð Ð Þ Ý ÔÓØØ Ñ ØÖ ÜÓØ Θ Ð ÑÑ Ð Ú Ø Þ Ó Ý Θ Ñ ØÖ Ü Ð ¹ ÖÓÑ Þ Ñ ØÖ Ü Ñ ÐÝÒ ØÐ Ò ÔÓÞ Ø Ú Ð Ñ Þ Ö Ô ÐÒ À ÖÓÑ Þ Ñ ØÖ ÜÓ Ø ÖÑ Ò Ò ØÐ Ò Ð Ú Ð Ñ ÞÓÖÞ Ø ÒØ Ô Ø Ñ Ý det(θ ) Ø ÖÑ Ò Ò ÔÓÞ Ø Ú Å Ú Ð det(θ) = det(θ ) rang(θ) = n Ø Ð Ð Ý Ö Ò Þ Ö Ö Ò Ð Ö Ø Þ Þ Ø Ð Ð Ø Ø Ð ÐØ Ø Ð Ð ÑÑ Ú Ø ÞÑ ÒÝ ÒØ Ó Ý Þad s fg s {,2,,n } Ä ¹Þ Ö Ð Ñ Ò Ò ÓÓÖ Ò Ø ÓÒ Ø Ò ÃÓÒ Ø Ò Ú ØÓÖÑ Þ ÝÑ ¹ Ð ÔÞ ØØ Ä ¹Þ Ö Ð ÒÙÐÐÚ ØÓÖÑ Þ Ý Ø Ø Ð 2 ÐØ Ø Ð ÒÒ ÐÐ Ø Ø Ö Ò Þ Ö Þ Ø Ð Ò Ö Þ Ð Ø Ã Ú Ø ÞÑ ÒÝ Ö ÓÐÝ Ñ ØÓ ÖÑ ÐÝ Ö Ò Þ Ö Ð Ú Ý Ð Ø ÓÒ Òع Ö Ò Ú ÐØÓÞØ Ø Ú Ð Ö Ò Ð Ö Ø Þ ØØ ÒØ ØØ Ö Ø ÔÙ Ó Ò Ð Ñ Ò Ò Ý Ö Ð Ô ÓÖ Ò ÔÓÒØÓ Ò Ý ÒÝ Ð ÙÐØ Ø ÔÓÒØÓ Ò Ý Ñ ÒÝ Ú Ø ¹ Þ Ò ÓÐÝ Ò Ö Þ Ø Ð Ò Ö Þ Ð Ø Ø Ú Þ ÐÓÑ ÓÐ Þ Ý Ö Ð Ô ÓÖ Ò Ø Ð Ò ÙÐ ÒÝ Ð Ø ÐÐ ØÚ Ø Ð Ø ÖÑ Ð Ø Þ Ø ÝÐ Ô Ò Ñ Ð Þ Ö k Ì ÒØ I i= A i J j= B j Ð ÝÐ Ô Ò Ñ Ð Þ Ö Ø Ä Ý Ò a i i =,2,,I I Z + ÐÐ ØÚ b j j =,2,,J J Z + Ñ Ð Ð ÓÒ ÒØÖ i j Ò ÜÖ a i b j

½¾ ýðð Ø Þ ÐØ Ð ÒÓ ÝÐ Ô Ò Ñ Ð Þ ÓÐÝ Ñ ØÓ ÔÓÒØÓ Ò ¹ ÓÖ Þ Ø Ð Ò Ö Þ Ð Ø ÓÒ ÒØÖ Ú ÐØÓÞØ Ø Ú Ð Ú Ð Ñ ÐÝ Ò Ù¹ Ð Ú Ý Ð Ø ÓÒ ÒØÖ Ò Ú ÐØÓÞØ Ø Ø Ú Ð ÞØ Ù Ñ Ò ØÒ Ø Ò ÙÐ Ú Ý Ð Ø Þ Ø ÓÒ ÒØÖ ÔÓÞ Ø Ú ÞÓÒÝ Ø Ö ÓÐÝ Ñ ØÓØ Ú Ø Þ ÞØ ÓÑ ØÖ Ñ ØÖ Ü Ö Ð γ = 2 I 2 J n Ñ ØÖ Ü Ð I ÓÓÖ Ò Ø Ò ÙÐ Ñ Ó J ÓÓÖ Ò Ø Ô Ð Ø Þ ÒÝ Ó Ö ÚÓÒ Ø ÓÞ ÁÖ ÒÝ Ø Ù Ö Ò Þ ÖØ Þ s¹ ÒÝ ÓÒ ÒØÖ Ò Ú ÐØÓÞØ Ø Ú Ð Ö Ò Þ ÖØ Ð Ö Ö Ò Ð Ý ÒРع Ö Ò Þ Ö ẋ = f(x)+gu Ð Ò ÖÚ Ú Ø Þ ȧ ka a I ȧ 2 ka a I ȧ I ka ḃ = a I + u, ka a I s ḃ2 ka a I ka a I ḃ J

ÓÐ u Ö Ò Þ Ö Ö ÒÝ Ø ka a I ka a I ka f = a I,g = ka a I ka a I ka a I s Å Ú Ð γ ÞØ ÓÑ Ø Ñ ØÖ Ü Ö Ò ÐÐ ØÚ Þ Ö ÒÝ ØÓØØ Ñ ÒÒÝ Ñ Ò¹ Þ ½ Ø Ø Ð ÐØ Ø Ð ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ ÐÐ ÒÒ dim c = + = 2 ÓÖ Ø Ø Ð 2 ÐØ Ø Ð Ø Ð Ð ÓÞ Ó Ý Ð ÒØ Ø Ð Ý Ò Ö Ò Ð Ö Ø ¹ Ö Ò Þ Ö g ad f g Ú ØÓÖÑ Þ ÐØ Ð Ò Ö ÐØ Ä ¹ Ð Ö Ø Þ Ø Ð Ò Ö Ò ØÐ Ò Ú ØÓÖÑ Þ Þ Ñ Ø ÐÐ Ñ Ú Þ ÐÒ Þ ad f g Ä ¹Þ Ö Ð ad f g = g f f g = Jg Ñ ÓÒ Þ ÑÓÐ Ø ÓÐ J Þ Ú ØÓÖÑ Þ Â Ó ¹Ñ ØÖ Ü ka 2 a 3 a I ka a 3 a I ka a 2 a I ka 2 a 3 a I ka a 3 a I ka a 2 a I J = ka 2 a 3 a I ka a 3 a I ka a 2 a I ka 2 a 3 a I ka a 3 a I ka a 2 a I ka 2 a 3 a I ka a 3 a I ka a 2 a I ka 2 a 3 a I ka a 3 a I ka a 2 a I Ñ ØÖ Ü (I +)¹ (I +2)¹ n¹ Ó ÞÐÓÔÚ ØÓÖ Þ ÞÓÒÓ Ò Ú ØÓÖÑ Þ Ñ Ú Ð Þ f Ú ØÓÖÑ Þ Ñ Ò Ý ÓÓÖ Ò Ø ØÐ Ò b b 2 b J ÓÒ ÒØÖ Ø Ð À Ñ Ò ØÒ b b 2 b J ÓÒ ÒØÖ Ú Ð Ñ ÐÝ Ø Ú Ð ÞØ Ù Þ ad f g Ä ¹Þ Ö Ð ad f g =

Ð Þ ½ Ø Ø Ð Þ Ö ÒØ ÓÖ Ö Ò Þ Ö Ò Ñ Ö Ò Ð Ö Ø Ý Þ Þ Ø Ð Ò Ö Þ Ð Ø Ñ ÐÐ ÒÒ Î Ð ÞÙ Þ a a 2 a I ÓÒ ÒØÖ Ú Ð Ñ ÐÝ Ø Ñ Ò ØÒ Ð ¹ Ý Ò Þ ÓÒ ÒØÖ a s, s {,2,,I} ÓÖ Þ ad f g Ä ¹Þ Ö Ð Ð Ú Ø Þ ka a 2 a s a s+ a I ka a 2 a s a s+ a I ad f g = ka a 2 a s a s+ a I ka a 2 a s a s+ a I ka a 2 a s a s+ a I ka a 2 a s a s+ a I À Þ a i i {,2,,s,s +,s + 2,,I} ÓÒ ÒØÖ ÖÑ ÐÝ Þ ad f g Ä ¹Þ Ö Ð ÒÙÐÐÚ ØÓÖÑ Þ Ò Ý Ö Ò Þ Ö Ò Ñ Þ Ø Ð Ò Ö Þ Ð Ø À Þ a i > ÐØ Ø Ð Ñ Ò Ò i {,2,,s,s +,s + 2,,I} Ø Ò Ø Ð Ð g Þ ad f g Ä ¹Þ Ö Ð Ð Ò Ö Ò ØÐ Ò Ñ Ú Ð Þ ad f g Ä ¹Þ Ö Ð Ñ Ò Ò ÓÓÖ Ò Ø ÔÓÞ Ø Ú ÓÖ Þ ad f g g Ú ØÓÖÑ Þ ÐØ Ð Ò Ö ÐØ Ä ¹ Ð Ö Ñ ÒÞ dim c = 2 Þ ½ Ø Ø Ð Þ Ö ÒØ Ö Ò Þ Ö Ò Þ Ø Ò Ö Ò Ð Ö Ø Þ ÖØ Ø Ø Ð ÐØ Ø Ð Ø Ð ¹ Ð ÓÖ Ñ Ú Ð dim c = 2 2 ÐØ Ø Ð ØÖ Ú Ð Ò ÒÒ ÐÐ Ø Ø Ð Þ Ö ÒØ a i > i {,2,,s,s +,s + 2,,I} Ø Ò Ö Ò Þ Ö Þ s Ò ÙÐ Ú Ý Ð Ø ÓÒ ÒØÖ Ò Ú ÐØÓÞØ Ø Ø Ú Ð ÞØÚ Ñ Ò Ø¹ Ò Þ Ø Ð Ò Ö Þ Ð Ø Å Ú Ð Ñ Ö Ò Þ Ö ÔÓÞ Ø Ú Þ a i () > i {,2,,s,s+,s+2,,I} ÐØ Ø Ð ÒÒ ÐÐ Ð Ò Þ Þ Ø Ð Ò Ö Þ Ð Ø ÓÞ Ì Ø Ö Ò Þ Ö Þ Ø Ð Ò Ö Þ Ð Ø Ú Ð Ñ ÐÝ Ò ÙÐ Ú Ý Ð Ø ÓÒ ÒØÖ Ò Ú ÐØÓÞØ Ø Ø Ú Ð ÞØ Ù Ñ Ò ØÒ Ø Ò ÙÐ Ú Ý Ð Ø Þ Ø ÓÒ ÒØÖ ÔÓÞ Ø Ú Ã Ú Ø ÞÑ ÒÝ ÞÓÒÝ Ø Ð Ð Ø Þ Ó Ý Þ ÝÐ Ô Ò Ñ Ð Þ ÓÐÝ Ñ ØÓ ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ Ö Ò Ð Ö Ø ÓÒ ÒØÖ Ú ÐØÓÞØ Ø Ú Ð Ú Ð Ñ ÐÝ Ò ÙÐ Ú Ý Ð Ø ÓÒ ÒØÖ Ò Ú ÐØÓÞØ Ø Ñ Ò Ø Ø Ò ÙÐ Ú Ý Ð Ø Þ Ø ÓÒ ÒØÖ ÔÓÞ Ø Ú

Þ Ø Þ Ø ØØ Ö Ú Þ Ð Ø Þ Ø ÒÓй Ò Ú Ö Ò Þ Ö Ô Ð Ò ÑÙØ ØÚ Þ Ø Ò Ñ Ú Þ ÐØ Ñ Ó Ý Ö Ø ÔÙ Ó Ñ ÐÝ Ò ÐØ Ø ¹ Ð Ñ ÐÐ ØØ Ö ÒÝ Ø Ø Ñ Ö Ð Ø Þ ÐÝÓÞ Ò Ø Ú Ð Þ Ø Ò Ô Ù Ý Ò Þ Ò Ö Ø ÔÙ Ó ÓÒ ÒØÖ Ú ÐØÓÞØ Ø Ð Ú Ð Ö ÒÝ Ø Ø Ø Ú Þ ÐØ Ñ Þ Ô Ö Ö Ò Ý Ö Þ ÞÓÒ Ò Ò Ñ Ý Ô Ð Ö Ø ÔÙ ÓÞ Ø ÖØÓÞ Ð Ø Þ ÓÐÝ Ñ Ø Ø Ö Ø ÔÙ Ð Ø Ú Þ Ú Þ Ø Ò ÑÙØ ØØ Ñ Ó Ý Þ Ø ÒÓÐ Ø Ñ ÒÝ Ò Ú Ø Ð Þ ØÓÖ Ð¹ ÐÑ Þ Ñ ÐÐ ØØ Þ Ð ÐÑ ÞÓØØ Ñ Ö Ð ØØ Ð Ò Ø ÒÒ Ú Ý Ø Ð¹ Ø ÖÖ Ð Ø Ø Ä ÒÝ Þ Ð ÐÑ ÞÓØØ Ñ Ö Ð Ø Ñ Ú Ð Þ Ø Þ ÒÝ ¹ Ó Ø Ð Ò Þ ÐÓ Ö ÞÒ Ð Ð ÓÞ Ó Ý Ø ÞØ ÒÝ ÓØ ØÙ Ò Ð ÐÐ Ø Ò ÓÒØÓ Ó Ý Ö Ö ÒÝ Ø Ø Ð Ý Ò Ú Ø Þ Ð Þ ¹ Ø Ò Þ Ø ÒÓй Ò Ú Ö Ò Þ Ö Ñ Ö Ð Ø¹ ÐÐ ØÚ ÓÒ ÒØÖ Ú ÐØÓÞØ ¹ Ø Ð Ú Ð Ö ÒÝ Ø Ø Ø Ú Þ ÐÓÑ

½ Þ Ø ÒÓй Ò Ú Ö Ò Þ Ö Ö ÒÝ Ø Ø ¹ Ò Ú Þ Ð Ø Ñ Ö Ð Ø Þ ÐÝÓ¹ Þ Ú Ð Ö Ò Þ Ö Þ Ø Ò Ø ÒÓÐØ Ø Ñ ÒÝ Ò Ú Ø ÙÒ Ö ÓÐÝ ¹ Ñ Ø Þ Ð Ý ÒÐ Ø Þ Ö ÒØ Ñ Ý Ú k CH 3 CH 2 OH+H 2 SO 4 CH 3 CH 2 OSO 3 H+H 2 O k CH 3 CH 2 OSO 3 H k 2 CH 2 CH 2 +H 2 SO 4 2 CH 3 CH 2 OSO 3 H+H 2 O k 3 CH 3 CH 2 OCH 2 CH 3 +2 H 2 SO 4 ÓÐÝ Ñ Ø ÒÒÝ Þ Ð Þ Ð Ð A, B, C, D, E, F Þ Ý Ú Ý ¹ Ð Ø Ø ÓÖ Ð Ø Þ Ö Ú Ø Þ Ð Ò Ö Ø A+B k C+D k C k 2 E+B 2 C+D k 3 F+2 B  РРa b c d e f Ñ Ð Ð ÒÝ Ó ÓÒ ÒØÖ Ø k k k 2 k 3 > Ô Ñ Ð Ð ÓÐÝ Ñ ØÓ ÓÞ Ø ÖØÓÞ Ö Ý ØØ Ø Ø ÓÐÝ Ñ Ø ÓÞ Ø ÖØÓÞ 6 4¹ Ñ Ö Øò ÞØ ÓÑ ØÖ Ñ ØÖ Ü γ = 2 2 Ö Ò Þ ÖØ Ð Ö Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø¹Ö Ò Þ Ö ẋ = f(x)+gu Ð Ò ÖÚ ¼