1 Egy mozgástani feladat Előző dolgozatunk melynek jele és címe: ED ~ Ismét az ellipszis egyenleteiről folytatásának tekinthető ez az írás. Leválasztottuk róla, mert bár szorosan kapcsolódnak, más a céljuk. Itt már csak hivatkozunk az ED - ben igazolt állításokra, képletekre. Feladat: A P pont a β síkon egy O középpontú, OP = a sugarú k körpályán mozog v P = konst. nagyságú sebességgel. A β síkkal φ szöget bezáró α síkon mozog a k vetületi görbén az M pont, amely a P pont α - ra vett merőleges vetülete. Határozzuk meg: ~ az M pont sebességének v M nagyságát az idő függvényében; ~ az OM = ρ rádiusz ω M szögsebességének nagyságát, az idő függvényében; ~ a területi sebességek kifejezéseit, mindkét görbe menti mozgásra! Megoldás: Ehhez tekintsük az 1. ábrát! 1. ábra forrása: [ 1 ] A P pont körpályán, az M pont ellipszis - pályán mozog. A meghatározandó mennyiségek leírásához be kell vezetnünk még néhány egyéb mennyiséget is. Ehhez tekintsük a 2. ábrát!
2 2. ábra Ez alapján felírjuk az alábbi összefüggéseket: A mozgások időbeli lefolyását vizsgáljuk, ezért bevezetjük a τ idő - paramétert. ( Nem jelölhetjük t - vel, mert az itt egy szög - paraméter jele. ) A P pont körpálya menti mozgása sebességének nagysága: ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) vagyis ( 6 ) Most meghatározzuk a P pont v P sebességének skaláris komponenseit, ( 1 ), ( 3 ), ( 4 ) és ( 6 ) - tal is: ( 7 ) ( 8) ( 9 ) Az M pont sebességének v M nagysága, ( 1 ) és ( 3 ) - mal is:
3 így: ( 10 ) innen: tehát: ( 11 ) Most ( 6 ) - ból: ( 12 ) az időmérés kezdőpontját a 2. ábra szerint választva: P( τ = 0 ) = P 0. Majd ( 5 ), ( 11 ) és ( 12 ) szerint: ( 13 ) Tehát az M pont sebességének nagysága az idő függvényében ( 13 ) szerint változik. A ( 13 ) összefüggés ábrázolásához adatok: a = 5 ( cm ); cos ( φ ) = 3 / 5 = 0,6 ; sin( φ ) = 4 / 5 = 0,8 ; ω P = π / 5 ( rad / s ). ( A ) A ( 13 ) és ( A ) - val készült grafikon a 3. ábrán látható. Ehhez felhasználtuk, hogy ( 14 ) ahol T a periódusidő, azaz egy teljes körülfordulás ideje. Ez ugyanaz k - ra és k - re is. A ρ rádiusz ω M szögsebesség - nagyságának meghatározásához először felírjuk a két fontos szögparaméter összefüggését; a 2. ábra és a ( 1 ), ( 3 ) képletekkel: azaz: ( 15 )
4 3. ábra Most differenciáljuk ( 15 ) - ot az idő szerint! Ekkor: ( 16 ) most bevezetjük a ( 17 ) jelölést is, így ( 6 ), ( 16 ) és ( 17 ) szerint: ( 18 ) felhasználjuk, hogy ( 19 ) így ( 18 ) és ( 19 ) - cel: rendezve: ( 20 )
5 most ( 15) és ( 20 ) - szal: ( 21 ) majd ( 12 ) és ( 21 ) - gyel: ( 22 ) A ( 22 ) függvényt az ( A ) adatokkal a 4. ábra mutatja. 4. ábra A kék vízszintes vonal az ω P = π / 5 ( rad / s ) értéknek felel meg. Az területi sebességek meghatározásához, minthogy T mindkét mozgásra ugyanaz: ( 23 ) ( 24 )
6 Megeshet, hogy kétségeink támadhatnak ( 23 ) és ( 24 ) helyességével kapcsolatban. Ekkor visszatérhetünk a területi sebesség definíciós összefüggéséhez: ( 25 ) a) ( 25 ) alkalmazása a k kör esetére: ekkor S S kör, ρ a, helyettesítésekkel: egyezésben ( 23 ) - mal. b) ( 25 ) alkalmazása a k ellipszis esetére: ekkor S S ellipszis, helyettesítésekkel: ( 26 ) most ED - ből az ottani ( 6 ) képlettel: ( ED / 6 ) itt e az ellipszis numerikus excentricitása: ( 27 ) ahol c az ellipszis lineáris excentricitása; ( ED / 6 ) - ot négyzetre emelve: ( 28 ) emlékeztetve ED - ből, hogy ( 29 ) ( 30 ) ahol b az ellipszis fél kistengelye, a ( 14 ), ( 18 ), ( 26 ), ( 28 ) képletekkel:
7 tehát: ( 31 ) Ha ( 24 ) helyes, akkor ( 31 ) - ben a zárójeles kifejezésre: ( 32 ) áll fenn. Hogy ez igaz - e, azt mindjárt eldöntjük: ha ( 32 ) fennáll, akkor ( 33 ) is igaz. Most ( 33 ) jobb oldalát átalakítjuk a ( 15 ), ( 19 ) és ( 30 ) képletekkel: tehát B = J, így ( 33 ) fennáll, ezért ( 24 ) is igaz. Megjegyzések: M1. A területi sebességhez magyarázatot adhat az 5. ábra. 5. ábra A ds szektorterület - differenciál kifejezése: néven felületi sebesség [ 2 ] kifejezése: innen a szektorterület - sebesség, más
8 ( 25 ) A [ 3 ] munkában megjegyzik, hogy az itteni jelölésekkel a területdifferenciál úgy jelentkezik, mintha a [ ] szögben a kezdeti rádiusz változatlan maradna, vagyis mintha körszektorról lenne szó. ( 25 ) szerint a 6. ábra szövege többszörösen is hibás. Bocsi! Tudom, a lónak is négy lába van, ám ez itt akkor is elvileg hibás képlet és értelmezés közzététele. Kár érte! 6. ábra forrása: https://hu.wikipedia.org/wiki/kepler-t%c3%b6rv%c3%a9nyek Helyesen a szektorterület, illetve a területi sebesség kifejezései, pl.: ( 25 * ) M2. Egy még korábbi dolgozatunkban melynek címe: Egy szép és jó ábra csodákra képes már foglalkoztunk egy az ittenihez hasonló, ámde ettől eltérő feladattal. M3. A mechanikában kimutatják ld. pl.:[ 2 ]!, hogy Bármilyen centrális erő hatása esetén az anyagi pont felületi sebessége állandó, azaz a pálya síkgörbe, és a rádiuszvektor egyenlő időközök alatt egyenlő területeket súrol. Most vegyük úgy, hogy a P, illetve az M pontok azok az anyagi pontok, amikről itt szó van. Minthogy a körpályán és az ellipszispályán való mozgást is centrális erők hozzák lét - re, így a területi sebességek is állandó értékűek, bár ezek ( 24 ) szerint egymással általában nem egyenlők. Az m tömegű anyagi pontra vonatkozó erőtörvény / mozgásegyenlet alakja ekkor: ( 26 )
9 ahol: ~ ~ r: a mozgó tömegpont helyvektora, vagyis az 1. ábra szerint: A ( 26 ) egyenlet az izotrop harmonikus oszcillátor mozgásegyenlete. További részletek találhatók erről pl. [ 2 ] - ben. M4. Érdemes meggondolni, hogy elliptikus mozgás nem csak ( 26 ), hanem az ( 27 ) erőtörvény hatására is létrejöhet; ez a Kepler - probléma esete. Ekkor az erő centruma nem az ellipszis centrumában, hanem az egyik fókuszában helyezkedik el. Meglepőnek tűnhet, hogy a klasszikus mechanikában ahogyan azt [ 4 ] - ben olvashatjuk Mindössze két típusú olyan centrális erőtér van, amelyben minden véges mozgás pályája zárt. Ezek az erőterek és pályák éppen az oszcillátor és a Kepler - probléma fenti centrá - lis erőterei és ellipszis - pályái. Az erről szóló Bertrand - tételről olvashatunk például itt: https://en.wikipedia.org/wiki/bertrand%27s_theorem. Források: [ 1 ] N. V. Jefimov: Kratkij kursz analityicseszkoj geometrii 10. kiadás, Moszkva, Nauka, 1967., 93. o. [ 2 ] Budó Ágoston: Mechanika 5. kiadás, Tankönyvkiadó, Budapest, 1972., 53. o., 81. o. [ 3 ] Szerk. Fazekas Ferenc: Műszaki matematikai gyakorlatok A. V.*: Határozott integrál ( Első rész ) 4. kiadás, Tankönyvkiadó, Budapest, 1973., 165. o. [ 4 ] L. D. Landau ~ E. M: Lifsic: Elméleti fizika I.: Mechanika Tankönyvkiadó, Budapest, 1974., 51. o. Sződliget, 2017. 08. 21. Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár