Budapesi Mőszaki és Gazdaságudomáyi Egyeem Gazdaság- és Társadalomudomáyi Kar Üzlei Tudomáyok Iéze Meedzsme és Vállalagazdasága Taszék Dr. Kövesi Jáos Erdei Jáos Dr. Tóh Zsuzsaa Eszer Gazdasági és megbízhaósági elemzések Okaási segédayag a gazdálkodási szakos kiegészíı közgazdász képzés számára Budapes 008
Taralomjegyzék BEVEZETÉS...4 I. A MEGBÍZHATÓSÁGELMÉLET ALAPFOGALMAI...5 II. I. A TERHELÉS ÉS A MEGBÍZHATÓSÁG KAPCSOLATA...8 I. MEGBÍZHATÓSÁGI JELLEMZİK... I.3 A KÁDGÖRBE,,...4 I.4 MEGBÍZHATÓSÁGI GYAKORLATBAN ALKALMAZOTT ELOSZLÁSTÍPUSOK...6 I.5 A MEGBÍZHATÓSÁGI JELLEMZİK STATISZTIKAI BECSLÉSEI...3 AZ ELEM MEGBÍZHATÓSÁGA...30 II. NEM HELYREÁLLÍTHATÓ ELEM MEGBÍZHATÓSÁGA...30 II. AZONNAL HELYREÁLLÍTHATÓ ELEM MEGBÍZHATÓSÁGA...30 II.3 SZÁMOTTEVİ HELYREÁLLÍTÁSI IDİVEL RENDELKEZİ ELEMEK MEGBÍZHATÓSÁGA...33 III. A RENDSZER MEGBÍZHATÓSÁGA...37 III. FÜGGETLEN ELEMEKBİL ÁLLÓ RENDSZER MEGBÍZHATÓSÁGA...37 III. PÁRHUZAMOS RENDSZER...40 III.3 ÖSSZETETT RENDSZEREK...4 III.4 HELYREÁLLÍTHATÓ RENDSZEREK MEGBÍZHATÓSÁGA...43 III.5 NEM FÜGGETLEN ELEMEKBİL ÁLLÓ RENDSZER MEGBÍZHATÓSÁGA...48 IV. A MEGBÍZHATÓSÁG ELEMZÉSÉRE SZOLGÁLÓ MÓDSZEREK...49 IV. MEGBÍZHATÓSÁGI BLOKKDIAGRAM...49 IV. MEGBÍZHATÓSÁGI LOGIKAI DIAGRAM...49 IV.3 MARKOV MÓDSZER...50 IV.4 ISHIKAWA-DIAGRAM...5 IV.5 PARETO-ELEMZÉS...53 IV.6 HIBAFA-ELEMZÉS (FAULT TREE ANALYSIS, FTA)...54 IV.7 HIBAMÓD- ÉS HATÁSELEMZÉS (FMEA)...55 V. KARBANTARTÁSI RENDSZEREK ÉS STRATÉGIÁK...57 VI. V. A KARBANTARTÁS SZEREPE ÉS FEJLİDÉSE...57 V. A KARBANTARTÁS FEJLİDÉSE...58 V.3 A TPM CÉLKITŐZÉSE ÉS ESZKÖZRENDSZERE...59 V.4 A 6 NAGY VESZTESÉGFORRÁS,...60 V.5 A GYÁRTÓRENDSZER HATÉKONYSÁGA...63 V.6 A TPM PROGRAMOK KULCSELEMEI...65 MEGBÍZHATÓSÁG ALAPÚ KARBANTARTÁS: AZ ALAPVETİ KARBANTARTÁSI STRATÉGIÁK66 VI. AZ ALAPMODELL ÉS AZ OPTIMALIZÁLÁS KRITÉRIUMAI...67 VI. A KARBANTARTÁSI MÓDSZEREK LEÍRÁSA...69 VI.3 KÉSLELTETÉSES STRATÉGIA...74 VII. TARTÓSSÁG...76 VIII. IX. TARTALÉKOLÁS...77 VIII. A TARTALÉKOLÁS LEHETİSÉGEI...77 VIII. FELÚJÍTÁS NÉLKÜLI TARTALÉKOLÁS...79 VIII.3 A RENDSZER TARTALÉKOLÁS ELVI KÉRDÉSEI...83 VIII.4 TARTALÉKOK EGYESÍTÉSE...85 MEGBÍZHATÓSÁG ALAPÚ KAPACITÁS- ÉS KÖLTSÉGTERVEZÉS...86 X. SPECIÁLIS GAZDASÁGOSSÁGI SZÁMÍTÁSOK...89 X. KAMATFIZETÉS, ILLETVE TÖRLESZTÉS GYAKORISÁGÁNAK HATÁSA...89 X. IDİZÍTÉSBİL EREDİ KOCKÁZAT...90 X.3 VÁRATLANUL MEGHIBÁSODÓ BERENDEZÉSEK GAZDASÁGOSSÁGI ALAPSZÁMÍTÁSAI...9 XI. ESETPÉLDA...93 XI. ELİZMÉNYEK...93
3 XI. A VIZSGÁLT RENDSZER...93 XI.3 HIBAANALÍZIS...93 XI.4 A KULCSGÉPEK MEGBÍZHATÓSÁGA...96 XI.5 TARTALÉKOLÁS...96 XI.6 GAZDASÁGI ELEMZÉS...99 XII. FELHASZNÁLT IRODALOM...00
4 Bevezeés A megbízhaóságelméle a XX. század második felébe alakul ki, az elsı vizsgálaoka az 940-es évekbe végezék repülıgépek elekroikai alkarészei, a bizoság szempojai szem elı arva. Késıbb a hadiechikába, az őrkuaásba haszál elekroikai redszerek fejleszésébe kerül a megbízhaóság öveléséek kérdése elıérbe, majd a bizoságos mőködés érdekébe kifejlesze megbízhaóságelmélei módszerek a héközapi alkalmazások eseé is ágabb ere kezdek yeri. A vizsgál erüleeke felmerül a meghibásodásokhoz vezeı hibaokok módszeres elemzéséek és elháríásáak igéye. Így a megbízhaóságelméleek miıségbizosíási gyökerei vaak, émi késleleéssel a karbaarási alkalmazások is felmerülek. A megbízhaósági vizsgálaok igazi éryerése az aomerımővek megjeleéséek köszöheı jeleıse megövelve a megbízhaósági elemzések irái igéy, ezzel párhuzamosa pedig megjeleek a megbízhaósági módszerek elsı agyipari alkalmazásai is. A megbízhaósági vizsgálaok széleskörő alkalmazása csak az 970-es évekbe kezdıdö. Eek a viszoylag kései elerjedések három jeleısebb oka va: () a külöbözı iparágakba megiduló iezív fejleszések csupá az elmúl pár évizedre vezeheık vissza; () egyre ikább ere kapak a valószíőségszámíási és maemaikai-saiszikai módszereke alapuló megközelíések, modellek; (3) a ermékek, beredezések megbízhaóságá befolyásoló éyezık felárása összee folyama. Az 980-as évek elejé a japá ipari ermékek és fogyaszási cikkek megbízhaóságáak párala fejlıdése meglepe az egész világo, és ez újabb ledülee ado a megbízhaóságelméle fejlıdéséek és módszerei ökéleesíéséek. Egy ermék (vagy szolgálaás) mőszaki megbízhaóságá az a képességé érjük, hogy a felhaszálás, üzemeleés meghaározo feléelei melle megırzi miıségé, így a megbízhaóság ulajdoképpe a miıség idıbeli alakulásáak ekiheı, vagyis a ermék megbízhaóságá a ermékmiıség alkoóelemeké kell ekieük. A mai megközelíés szeri a megbízhaóság égy alapveı fogalmi összeevıje a hibameesség, a javíhaóság, a arósság és a árolhaóság együese haározza meg a ermékek megbízhaóságá, így ez a égy ulajdoságo együese és külö-külö is figyelembe kell vei a ermékek megbízhaósági jellemzıiek meghaározásá és igazolásá elısegíı széles körő vizsgálaok sorá melyek célja keıs:. A ermék megbízhaósági jellemzıiek meghaározása, és elleırzése valószíőségszámíási és maemaikai módszerek segíségével.. A ermék meghibásodásá elıidézı legfoosabb folyamaok meghaározása, és a felár hibaokok ismereébe a ermékek kosrukciójáak és gyárásechológiájáak módosíása a megbízhaóság övelése érdekébe. Ez yilvá csak az ado ermék ulajdoságaiak ismereébe végezheı el. Ezek árgyalására speciális jellegükél fogva em érük ki, de az azér hagsúlyozák, hogy a meghibásodáshoz vezeı folyama megismerése a megbízhaósági vizsgálaok egyik legfoosabb része. A megbízhaósági vizsgálaok emcsak a készermék mőködési ulajdoságaiak aulmáyozásá jeleik, haem a ermék ervezési szakaszába, illeve a gyárási folyama sorá is helye kell kapiuk. A megbízhaósági vizsgálaokak midezek melle az üzemeleés szakaszára is ki kell erjediük, mivel a ermék megbízhaóságá az üzemeleési feléelek közö lehe a legjobba és legpoosabba meghaározi. A megbízhaósági elemzések álal szolgálao adaok felhaszálásával a ermékek megbízhaóságáak álladó javíása, illeve az elér szi megarása érheı el. Az álaláosa elfogado defiíció szeri egy ermék megbízhaósága az jelei, hogy a ermék meghaározo fukciói meghaározo idıaram ala és meghaározo körülméyek közö sikerese eljesíi. Ami a defiícióból is láhaó, a megbízhaóság fei defiíciója a ermékek csak egyele mőködési ulajdoságára, a hibameességre ual. Késégele, hogy számos ermék eseébe (jellemzıe az elekroikai ermékek, ill. a em helyreállíhaó, elsı meghibásodásig mőködı ermékek eseébe) valóba a hibameesség a legfoosabb megbízhaósági jellemzı, ám helyreállíhaó ermékek, beredezések eseé a hibameesség ömagába em elég, így a fei defiíció em eljes, mivel em veszi figyelembe a helyreállíási és karbaarási evékeysége és aak idıszükségleé. Midez a megbízhaóság fogalmáak módosíásá és a fogalom kierjeszésé eredméyeze.
5 I. A megbízhaóságelméle alapfogalmai A megbízhaóságelméle a meghibásodási folyamaok örvéyszerőségeivel, a megbízhaóság számszerő jellemzıiek, muaóiak meghaározásával, és a megbízhaóság öveléséek leheıségeivel foglalkozik. A megbízhaóságelméle komplex udomáyág, amelyek szerves része a megbízhaóság, a gazdaságosság és a haékoyság közöi összefüggések felárása, így a redszerek mőszaki-gazdasági szempoból opimális megbízhaóságáak meghaározása. Kezdebe a mőszaki megbízhaóság fogalmá a hibamees mőködés valószíőségével azoosíoák, késıbb az ipari alkalmazások és a ermelési redszerek megbízhaósági elemzéseiek elıérbe kerülésével a megbízhaóság fogalmához a hibameesség melle a javíhaóság, a karbaarhaóság és a arósság fogalma is hozzákapcsolódo. Midezek alapjá a megbízhaóság olya összee ulajdoság, amely a ermék redeleéséıl és üzemeleési feléeleiıl függıe magába foglalhaja a hibameessége, a arósságo, a javíhaóságo és a árolhaóságo külö-külö, vagy ezekek a ulajdoságokak meghaározo kombiációjá (pl. készeléi állapoo) mid a ermékre, mid aak részeire voakozóa. A korszerő, agy érékő redszerekıl ehá a felhaszáló emcsak az ado idıaram alai hibamees mőködés köveeli meg, haem az is, hogy a redszer az elıírásszerő üzemeleés, karbaarások és javíások melle arós is legye. Így egy javíhaó ermékkel szembe emcsak az az elvárás, hogy ado idıszakba hibameese mőködjö, haem az is, hogy ha javíásra va szükség, akkor ez gyorsa megöréje, és uáa az eredei redeleések megfelelıe legye haszálhaó a ermék. A hibameessége és a javíhaóságo úl a arós fogyaszási cikkek és az ipari ermékek vevıi az is elvárják, hogy az elıírásokak megfelelıe elvégze karbaarási és javíási evékeységek melle hosszú ideig mőködıképes maradjo, ehá a arósság is haással va a ermék eredı megbízhaóságára. Midezeke úl köveelméyké jeleik meg, hogy a árolás és szállíás haására se válozzo mega ermék mőködıképessége. Az alábbi ábra a megbízhaóság-elméle alapfogalmai és legfoosabb muaói szemlélei. Megbízha zhaóság Hibameesség Javíha haóság Taróss sság Tárolha rolhaóság Meyiségi muaói: meghibásodási ráa álagos mőködési idı meghibásodási valószíőség hibamees mőködés valószíősége meghibásodások közöi álagos mőködési idı Meyiségi muaói: álagos javíási idı álagos állásidı helyreállíási ieziás helyreállíási valószíőség javíás elıi álagos várakozási idı Meyiségi muaói: álagos üzemi mőködés álagos élearam q-százalékos üzemi mőködés Meyiségi muaói: álagos árolhaósági idıaram q-százalékos árolási idı Összee megbízhaósági muaók: készeléi éyezı mőszaki kihaszálási éyezı. ábra: Megbízhaósági alapfogalmak és muaók A fei ábra feloszása a korábbi, hazákba is alkalmazo szabváy érelmezésé kövee, eıl émileg elérı alapfogalmaka kapcsol a megbízhaóságelmélehez az újabb szabváy, amely szeri a megbízhaóság álaláos érelembe egy olya győjıfogalom, amelye a haszálhaóság és az az befolyásoló éyezık, azaz a hibameesség, a karbaarhaóság és a karbaarás-elláás leírására haszálak. i MSZ KGST 9-76 MSZ IEC 50(9):99
6 A hibameesség a ermékek az a képessége, hogy elıír fukciójá ado feléelek közö, ado idıszakaszba ellája. A karbaarhaóság vagy fearhaóság a ermékek az a képessége, hogy meghaározo haszálai feléelek közö olya állapoba arhaó, illeve olya állapoba állíhaó vissza, amelybe elıír fukciójá eljesíei udja, ha karbaarásá ado feléelek közö és elıír eljárások, valami erıforrások felhaszálásával végzik el. A karbaarás-elláás képessége a karbaaró szervezeek az a képessége, hogy ado feléek közö redelkezésre bocsája azoka az erıforrásoka és eszközöke, amelyek az ado karbaarási poliika melle a ermék karbaarásához szükségesek. Megbízha zhaóság Haszálha lhaóság Hibameesség A haszálhaóság a ermékek az a képessége, hogy ado idıpoba vagy idıszakaszba, ado feléelek közö ellája elıír fukciójá, feléve, hogy a szükséges külsı erıforrások redelkezésre állak. Ez a képesség együese függ a hibameességıl, a karbaarhaóságól és a karbaaráselláásól. Karbaarhaóság Karbaarás-ell elláás képess pessége. ábra: A megbízhaóság fogalma az MSZ IEC 50(9): 99 szabváy szeri A megbízhaósági muaók a megbízhaóság számszerő jellemzésére szolgálak. Az ú. egyedi muaók, a megbízhaóságo befolyásoló ulajdoságok egyiké (hibameesség, javíhaóság, arósság, árolhaóság) jellemzik, az összee muaók pedig a megbízhaóságo befolyásoló ulajdoságok számszerősíésére szolgálak. Az összee megbízhaósági muaók közül a legfoosabbak a haszálhaóság, a készeléi éyezı, illeve a mőszaki kihaszálási éyezı, amelyek az üzemkészsége, a redelkezésre állás fejezik ki. A megbízhaósági muaók ermészeese emcsak a vizsgál redszer egészére, haem aak alredszereire, elemeire is érelmezheık. A 3. ábrá a ermékek megbízhaósági szempoból öréı oszályozásá muajuk be. TERMÉK (redszer, elem) Nem helyreállíhaó Helyreállíhaó Számoevı Azoal helyreállíási idı helyreállíhaó igéylı 3. ábra: A ermékek oszályozása megbízhaósági szempoból Helyreállíásról akkor beszélheük, ha a ermék a meghibásodás uá visszayeri az elıír fukció elláásáak képességé. Megkülöbözeük em helyreállíhaó (vagyis az elsı meghibásodásig mőködı) és helyreállíhaó elemeke illeve redszereke. Uóbbiak eseé, a helyreállíás idejéıl függıe azoal helyreállíhaó (a helyreállíási idı 3 elhayagolhaó a mőködési idıhöz képes) és számoevı helyreállíási idı igéylı (a helyreállíási idı is valószíőségi válozó) elemeke, redszereke külöbözeük meg. 3 A helyreállíási idı a meghibásodás észlelésére, okáak felkuaására és kövekezméyeiek elháríására fordío idıke aralmazza.
7 Helyreállíás ala midig olya beavakozás érük, amely az elem, vagy redszer eredei ulajdoságai állíja helyre. Ebbıl a szempoból ehá külöbsége kell eük a helyreállíhaó és em helyreállíhaó redszerek, valami a javíhaó, vagy em javíhaó redszerek közö. A helyreállíás fogalma yilvá szigorúbb feléeleke rej magába és csak ado üzemeleési feléelek melle érelmezheı, mivel leheséges, hogy ugyaazo redszer mőködıképessége a felhaszálás egyik erüleé helyreállíhaó, míg egy másik erülee már em. 4. Tábláza: A meghibásodások oszályozása Az oszályozás szempoja A meghibásodás bekövekezéséek oka A meghibásodás bekövekezéséek idıarama A mőködıképesség elveszéséek méréke A meghibásodás bekövekezéséek szakasza A meghibásodás fajája Túlerhelés kövekezébe Elem függele meghibásodása Elem függı meghibásodása Kosrukciós meghibásodás Gyárási eredeő meghibásodás Üzemeleési meghibásodás Várala meghibásodás Fokozaos meghibásodás Teljes meghibásodás Részleges meghibásodás Kaaszrofális meghibásodás 5 Degradációs meghibásodás 6 Korai meghibásodások Véleleszerő meghibásodások Elhaszálódási meghibásodások 4 Egy beredezés mőködıképessége laboraóriumi felhaszálás eseé helyreállíhaó, azoba ha ugyaez a beredezés egy őrrakéába haszálják fel, akkor lehe, hogy o em helyreállíhaó. 5 A kaaszrofális meghibásodás várala és eljes meghibásodás. 6 A degradációs meghibásodás fokozaos és részleges meghibásodás.
8 I. A erhelés és a megbízhaóság kapcsolaa Az alábbiakba feléelezzük, hogy a meghibásodások bekövekezéséek álaláos oka olya helyzeekbıl fakad, ahol az elem, redszer erhelése (L, load) meghaladja a eljesíıképességé (S, sregh). A erhelés és eljesíıképesség fogalmaka a legálaláosabb érelmükbe haszáljuk 7. Így, ha a ermékeke, beredezéseke, redszereke úgy ervezzük, hogy a erhelés em haladhaja meg a eljesíıképessége, akkor elvileg em kövekezik be meghibásodás. A feieke köveve ké okból kifolyólag azoba mégis elıforulha meghibásodás: vagy a erhelés úl magas, vagy a eljesíıképesség úl alacsoy. A úlerhelés ill. az alacsoy eljesíıképesség kövekezébe bekövekezı meghibásodások okai szemlélehejük az ú. ierferecia diagramo, más éve erheléseljesíıképesség diagramo. A legöbb ermék eseébe sem a erhelés, sem pedig a eljesíıképesség em rögzíe, midkeı szochaszikusa igadozik, így valószíőségi válozó. Példaké midké jellemzı ormál eloszlású valószíőségi válozóak ekijük, a erhelés eseé µ L, a eljesíıképesség eseé pedig µ S várhaó érékkel; és σ L és σ S szórással. Ehhez az x egelye a ermék elleállóképességé (eljesíıképességé) és a erhelés, az y egelye a meghibásodási sőrőségfüggvéy ábrázoljuk. Ha olya eseméy öréik, amelyek kövekezébe a ké eloszlás egymás áfedi, meghibásodás kövekezik be. f() Terhelés (L) Teljesíoképesség (S) µ L µ S Terhelés (L) Teljesíoképesség (S) 4. ábra: Terhelés-eljesíıképesség diagram A 4. ábra szeri meghibásodás akkor kövekezik be, ha a erhelés agyobb, mi ami a eljesíıképesség elbír. Eek bekövekezési valószíősége azoos a ké görbe áfedı részével, az ú. ierferecia-erüleel. Az ábrából kövekezik, hogy eek méréke függ a ké várhaó érék ávolságáól (µ S és µ L ) és a szórások agyságáól (σ L és σ S ). A valószíőségi válozóké jellemze erhelés és eljesíıképesség egymáshoz képesi viszoyáak jellemzésére ké muaó defiiáluk: az ú. bizosági haár (safey margi, SM) és a erhelés igadozásá mérı (loadig roughess, LR) muaóka SM LR µ µ S L (.) ( σ + σ ) S σ L L (.) ( σ + σ ) S Az SM muaó ulajdoképpe a ké görbe várhaó érékéek egymáshoz viszoyío ávolságá, míg az LR muaó a erhelés szórásá méri (midké esebe a erhelés és eljesíıképesség szóráségyzeek összegéek gyökéhez viszoyíva). E ké muaó felhaszálásával megbecsülheı a meghibásodás bekövekezéséek valószíősége. L 7 Így erhelés ala érheük mechaikai igéybevéel, elekromos feszülsége, hımérséklee; a eljesíıképesség pedig a redszer olya fizikai ulajdoságaira ual, mi pl. keméység, elleállás, szilárdság, olvadási po vagy súrlódás.
9 Terhelés Terhelés Teljesíıképesség Teljesíıképesség µ µ L µ S µ L S 5. ábra: A erhelés és eljesíıképesség eloszlások egymáshoz viszoyío helyzee Ahhoz, hogy a meghibásodás valószíőségé csökkeei udjuk a ké görbe álal áfede erüle agyságáak csökkeésé kell elérük, amely a szochaszikusa válozó eljesíıképesség illeve erhelés várhaó éréke közöi ávolság övelésével, illeve a szórások csökkeésével érheı el. Az elıbb defiiál muaókkal kifejezve midez, a meghibásodások elkerülése érdekébe elsısorba a bizosági éyezı (SM) kell öveli. A fei ké, yilvávaló megoldáso kívül a paraméerek vádorlásáak megakadályozása is foos mozzaa a meghibásodás valószíőségéek (vagyis az álapol erüle agyságáak) csökkeése érdekébe, ami az jelei, hogy rögzíe, kezdebe kielégíı bizosági éyezı eseé is ügyeli kell arra, hogy az eloszlások e válozzaak, e vádoroljaak. Mivel midez huzamosabb ideig em lehe megakadályozi, elıbb-uóbb be fog kövekezi a meghibásodás. A feiek összegezve elmodhajuk, hogy a meghibásodások kialakulhaak úlerhelés kövekezébe, illeve úl kis elleálló-képességek köszöheıe (pl. belsı gyegeség, em kielégíı miıség haására), de bekövekezheek megfelelı éréke muaó bizosági éyezı elleére is, mivel az idı múlásával a válozó középérék és/vagy a szórások övekedése mia az eloszlások a megegede haároko úl vádorolak. Teljesíıképesség Terhelés Idı 6. ábra: A eljesíıképesség vádorlása idıbe Az ierferecia diagram elmélebe jól mőködik, de számos gyakorlai probléma merül fel a haszálaával kapcsolaba: a ermékek, beredezések, redszerek erhelési és eljesíıképességbeli ulajdoságai illeıe riká állak redelkezésre agy megbízhaóságú adaok, adabázisok. A gyakorlai alkalmazás másik ehézsége abból fakad, hogy figyelembe kell veük az a éy, hogy az emberek, ayagok és a köryeze, mi éyezık az alkalmazo saiszikai modellekbe álalába em gyömöszölheık be. A kövekezı 7. ábra éháy jellemzı SM és LR sziuáció mua be. ii Az ábra a) része egy agy megbízhaóságú esee vázol, ugyais mid a erhelés, mid pedig a eljesíıképesség szórása kicsi, az LR érék kicsi, az SM érék pedig agy. Ez prakikusa az jelei számukra, hogy a ké várhaó érék elég messze va egymásól, és a erhelés szórása kicsi. Ha kézbe udjuk arai a erhelés és a eljesíıképesség szórásá, és ovábbra is bizosíai udjuk a agy SM éréke, akkor a ermék, redszer léyegébe hibamees. 8 Ez a kocepció alkalmazzák a legöbb ermék ervezésekor, külööse olya kriikus foossággal bíró redszerek eseé, mi pl. épíıipari szerkezeek vagy yomásaró edéyek, 8 Olya helyzeeke vizsgáluk, ahol a eljesíıképesség várhaó éréke em vádorol, vagyis az idı múlásával a eljesíıképesség em gyegül.
0 ahol a apaszalaok álal igazol bizosági haárral dolgozak, és a miıség megfelelı bizosíásával mid a eljesíıképesség igadozásá, mid pedig a erhelés válozékoyságá ado haárok közé szoríják. Magas SM Alacsoy LR µ L µ S Alacsoy SM Alacsoy LR µ L µ S Alacsoy SM Magas LR µ L µ S 7. ábra: Néháy jellemzı ese az SM és LR érékek alakulására Az ábra b) része egy olya helyzee mua, amikor bár az LR muaó éréke kicsi, de a eljesíıképesség agy szórásáak köszöheıe az SM muaó éréke alacsoy. Nagyobb erhelési helyzeekbe a gyegébb elemek meghibásodhaak, ez azoba az elemekek csak egy kisebb háyadá érii. Ez a helyze jellemzı olya eseekbe, amikor a miıségszabályozás módszerei em képesek megfelelıe csökkeei a eljesíıképesség szórásá (ipikus példa az elekroikai eszközök gyárása, ahol a 00%-os vizuális és mechaikai elleırzés sok esebe em kivielezheı). Ezekbe az eseekbe szádékosa elıidéze úlerhelés alkalmazak, melyek kövekezébe a gyege eljesíıképességő elemek meghibásodak, ami végül egy balról csokío eljesíıképesség eloszlás eredméyez (8. ábra). E úlerheléssel a ké görbe áfedéseképpe kialakuló ierferecia erüle kiküszöbölheı, és a maradék (a úlerhelés ávészelı) elemek megbízhaósága pedig megı. 9 µ µ L S Túlerhelés éréke 8. ábra: Balról csokío eljesíıképesség eloszlás A 7. ábra c) része egy olya sziuáció mua, ahol az SM muaó éréke alacsoy, az LR muaó éréke pedig magas a erhelés agy szórásáak köszöheıe. Megbízhaósági szempoból egy megleheıse ehéz helyzeel álluk szembe, mivel a erhelés övekedése az elemek agy háyadáak meghibásodásá fogja 9 A úlerhelés csak a gyege elemek meghibásodásá eredméyezi, és em idézi elı a jó elemek gyegülésé, vagyis a eljesíıképesség csökkeésé. E helyze jellemzésére haszálják a meghibásodási ráá (failure rae), mivel a gyege elemek meghibásodak ( csecsemı haladóság ), de a sokaság eljesíıképessége ı, és így a meghibásodási ráa csökke.
elıidézi. I em járhaó az elızı esebe felvázol ú, egyedüli leheıség a eljesíıképesség várhaó érékéek a övelése (így az SM muaó érékéek övelése, ami ado esebe megleheıse magas kölségekkel járha), vagy pedig a erhelés igadozásáak a csökkeése. Az ierferecia-diagram alapjá beláhaó, hogy a megbízhaóság (külööse a hibameesség) a erhelés függvéye. A erhelés övekedésével ı a függvéyek álapolásával képzıdı ierferecia erüle, így a meghibásodás valószíősége is A meghibásodások idıbeli modellezésére haszálhaó a eljesíméyaralék fogalma is iii. Egy beredezés eljesíméye idırıl idıre válozik, amikor ez a eljesíméy már em felel meg az elvárásokak (hasolóa az ierferecia diagramhoz), meghibásodásról beszélük. A meghibásodás (a eljesíméy elvár szi alá csökkeése) megelızheı a meghibásodás idıpoja elı elvégze céliráyos beavakozással (karbaarással). Az alábbi ábrá H a eljesíıképesség elvár szije, H a meghibásodás, M a karbaarás idıpoja. Teljesíméyaralék Visszamaradó eljesíméy H Ido 9. ábra: A eljesíméyaralék idıbeli alakulása
I. Megbízhaósági jellemzık Számoluk kell azzal, hogy a hibák em kövekezek be bizosa, és a hibák bekövekezési ideje sem jelezheı elıre eljes bizoyossággal. Valószíőségszámíási módszerekkel haározhajuk meg, hogy egy beredezés az elıír ideig mőködi fog-e. Már a megbízhaóság fogalmai is rávilágíoak arra, hogy a megbízhaóság maemaikai modellezése valószíőségszámíási és maemaikai-saiszikai alapoko öréhe. Feléelezve az alapveı valószíőségszámíási ismereeke, a kövekezıkbe a bizoyíások és a részlees levezeések mellızésével éháy foosabb megbízhaóságelmélei összefüggés muauk be. iv,v,vi,vii I..a Hibameesség, javíhaóság Egy em helyreállíhaó elem meghibásodásáig elel hibamees mőködési idı, vagy egy helyreállíhaó elemél ké egymás köveı meghibásodás közöi hibamees mőködési idı ami az üzemeleési apaszalaok is aláámaszják véleleszerőe válozó érék. A ermék meghibásodása olya eseméy, amelyek bekövekezésé agyszámú éyezı befolyásolja, ezér aak elıfordulása eljes bizoyossággal em jelezheı elıre köszöheıe a meghibásodások mögö meghúzódó boyolul ok-okozai összefüggésekek. Hasolóképpe, a ermék összes öbbi megbízhaósági jellemzıje is (pl. az élearam, a javíási idı) véleleszerőe válozó meyiség. Tekisük egy em helyreállíhaó, vagyis az elsı meghibásodásig mőködı eleme. Jelölje τ valószíőségi válozó a hibamees mőködési idı. 0 Kezdje az elem a 0 idıpoba mőködi és a meghibásodás a τ idıpoba kövekezzék be. Ekkor az F ( ) P( τ < ) (3.) eloszlásfüggvéy a megbízhaóságelmélebe meghibásodási valószíőség eloszlásfüggvéyek evezzük, amely ehá a idıpoig bekövekezı meghibásodás valószíőségé fejezi ki. Az F() függvéyhez hasolóa defiiálhajuk aak a valószíőségé is, hogy az elem em hibásodik meg a idıpoig, vagyis τ, eek a függvéyek a jele: R(). Az R() függvéy a megbízhaóságelmélebe a hibamees mőködés valószíőségi függvéyéek, megbízhaósági függvéyek vagy úlélési valószíőségi függvéyek is evezik. R( ) P( τ ) F( ) (4.) A τ valószíőségi válozóak, mi folyoos valószíőségi válozóak va sőrőségfüggvéye, vagyis léezik olya f() 0 függvéy, hogy a τ valószíőségi válozó bármely (a,b) iervallumba eséséek valószíősége megadhaó az alábbi összefüggéssel : b P ( a τ < b) F( b) F( a) f ( ) d (5.) a 0 A valószíőségi válozó olya meyiség, amely véleleszerőe veszi fel érékei. Magáról a valószíőségi válozóról az udhajuk, hogy milye érékeke vehe fel, azaz mi az érékkészlee. További kérdés, hogy érékei milye valószíőséggel esek külöbözı iervallumokba, azaz az eloszlás jellege. A megbízhaóság-elmélebe a mőködési idı leíró valószíőségi válozók álalába emegaív folyoos valószíőségi válozók. A megbízhaósági vizsgálaok sorá azoba alálkozuk diszkré valószíőségi válozókkal is (pl. egy javíhaó ermék elıre megado idıaram ala bekövekezı meghibásodásaiak száma). Az F() függvéy a τ valószíőségi válozó eloszlásfüggvéye, amely mide érékre megadja aak valószíőségé, hogy a valószíőségi válozó kisebb -él. Az F() eloszlásfüggvéy álalába a (-, ) iervallumba érelmezzük, a megbízhaóság-elmélebe azoba redszeri a (0, ) iervallumba. Ez szemléleese az jelei, hogy az {a τ<b} eseméy bekövekezéséek a valószíősége az f() sőrőségfüggvéy görbéje alai erüleel egyelı az (a,b) szakaszba.
3 f() P ( a < b) 0. ábra: Ké eszıleges idıpo közöi meghibásodás valószíőségéek számíása A hibameességre jellemzı a hibamees mőködés álagos idıarama (vagy helyreállíhaó esebe a ké meghibásodás közöi álagos hibamees mőködési idı), amely a τ valószíőségi válozó várhaó éréke: M ) f ( ) 0 T ( τ d (6.) amely figyelembe véve az f() és R() függvéyek közöi alábbi összefüggés: ' ' [ R( ) ] R ( ) ' f ( ) F ( ) (7.) parciális iegrálás uá a kövekezı egyszerőbb formába is felírhaó: R ) 0 T ( d (8.) További foos megbízhaósági jellemzı a λ() meghibásodási ráa, vagy meghibásodási éyezı. 0 +. ábra: A meghibásodási ráa érelmezése Eek érelmezéséhez jelese A az az eseméy, hogy az elem hibameese mőködik a (,+ ) szakaszba, B pedig az az eseméy, hogy az elem hibameese mőködö a korábbi (0, ) szakaszba. Ekkor a feléeles valószíőség ismer defiíciója alapjá: P( AB) P ( A B) (9.) P( B) A (, + ) szakaszba öréı mőködés valószíősége, mi a P(A B) feléeles valószíőség, az alábbi módo számíhaó ki: R( + ) F( + ) P(, + ) (0.) R( ) R( ) A (, + ) szakaszba öréı meghibásodás valószíősége pedig, feléve, hogy az elem a (0, ) szakaszba mőködö: F( + ) F( ) P(, + ) (.) R( ) Ha éréke ullához ar, akkor a λ() meghibásodási ráa érelmezése a kövekezı összefüggés szeri leheséges:
4 F( + ) lim 0 R( ) f ( ) λ( ) R( ) (.) A λ() függvéy mide idıpoba léyegébe aak a valószíőségé adja meg, hogy a idıpoig hibameese mőködı elem a kövekezı idıegység ala meghibásodik. I.3 A kádgörbe viii,ix,x A λ() meghibásodási ráa azér élvez elsıbbsége a öbbi hibameességi muaóval szembe, mer szemléleese jellemzi az elem mőködésé, és az idı függvéyébe való alakulása a ermék éleciklusára is ual. A meghibásodási ráa függvéy alakja a megfelelı éleciklus azoosíása melle a hibák leheséges okairól és a beredezés megbízhaóságáról is árulkodik. A ermék élee három jellegzees szakaszra bohaó, így a λ() függvéy a. ábrá láhaó módo lehe mooo csökkeı, álladó, vagy mooo övekvı, így a ermék éleciklusá em helyreállíhaó elemek eseébe a korai meghibásodások, a haszos üzemi mőködés és az elhaszálódási, öregedési meghibásodások jellemzik.. Korai meghibásodások szakasza, a ermék mőködéséek kezdei periódusa, ahol a λ() függvéy mooo csökke;. Sabil mőködési periódus, más éve haszos élearam, ahol a λ() függvéy álladó; 3. Öregedési periódus, elhaszálódás, ahol a λ() függvéy mooo ı. A három szakasz em álaláos érvéyel lép fel mide elem eseébe. λ() I II. III. ido. ábra: A kádgörbe I. görbe A ermék mőködeéséek elsı idıszakába a λ() függvéy éréke kezdebe agy, majd gyorsa csökke. A. ábraá láhaó I. görbe olya elem megbízhaóságá jellemzi, amely még a bejáraási szakaszba üzemel, így a reje hibák gyors felszíre kerülése mia a λ() kezdei agy éréke rohamosa csökke. Ez aak a kövekezméye, hogy egy sok eleme aralmazó éelbe midig vaak reje hibás elemek, amelyek mőködésük megkezdése uá hamarosa üzemképeleé válak. Emia evezik ez a szakasz a korai meghibásodások világáak, kezdei szakaszak, idıké pedig a selejes elemek kiégeési periódusáak (lásd még erhelés-eljesíıképesség diagram 7. ábra b) része). Ez a mooo csökkeı meghibásodási ráa függvéyel jellemze elsı szakasz a ermék reje hibáiból, gyege pojaiból adódik. A korai meghibásodások leggyakoribb okai: pl. em megfelelı miıségszabályozás; em megfelelı gyárási eljárás; gyege miıségő ayagok, kiviel; összeszerelési ehézségek; em megfelelı hibakeresés; emberi hibák; em megfelelı kezelési módszerek; rossz csomagolás. Eek a szakaszak az alakulása a megbízhaóságo a késıbbiekbe alapveıe meghaározza. A korai meghibásodási szakasz lerövidíése, kiküszöbölése legikább a gyáró cégek feladaa.
5 Vaak olya elemek, amelyekél a korai meghibásodási szakasz hiáyzik, mivel a jól szerveze gyáráselleırzés haékoy szőrıvizsgálaoka vezee be, amelyek eredméyeké a kezdei meghibásodásoka megszüeik, illeve kiszőrik. Techológiai redszerek eseé a próbaüzem feladaa eek kiszőrése, ehá mőszaki ermékek eseébe az vola az ideális, ha a korai meghibásodások szakaszáak befejezése idıbe egybeese a gyáróüzemi vizsgálaok befejezésével. II. görbe A II. görbe a kizárólag véleleszerő meghibásodásokkal jellemezheı üzemeleési periódusba érvéyesül, ahol a meghibásodási ráa megközelíıleg álladó éréke mozog. Az eseek öbbségébe léezik egy olya hosszú mőködési idıszakasz (éyleges mőködési szakasz), amelybe a meghibásodási ráa gyakorlailag álladó. Tipikus em helyreállíhaó elemek eseé olya helyzeekbe, amikor a erhelés meghaladja a erveze méréke, és a bekövekezı hibák vélele úlerhelés kövekezébe jeleek meg. Helyreállíhaó elemek eseébe agyo gyakra külsı körülméyek haására fellépı meghibásodások szakasza ez. Komplex redszerek eseé is gyakra alálkozuk álladó meghibásodási ráával, amely abból ered, hogy ilye sok elembıl álló redszerek eseé az egyes elemekek mid a meghibásodási ráája, mid pedig a javíás uái álagos mőködési ideje agy szóródás mua, és eek lesz végül eredméye a véleleszerő meghibásodásokkal jellemezheı mőködés. Ezek a vélele meghibásodások megmagyarázhaala hibaokok, emberi hibák, elkerülheele, felismerheele hibák, eseleg magas erhelés, igéybevéel kövekezméyei. Ez a szakasz gyakra a ormális mőködés periódusáak is evezik. III. görbe Az elhaszálódási szakaszba irreverzibilis fizikai-kémiai folyamaok az elem miıségéek romlásához vezeek, az elem öregszik. Eek leggyakoribb okai: em megfelelı karbaarás; súrlódás miai kopás; öregedés miai fáradás, kopás; korrózió; rossz felülvizsgálai, agyjavíási gyakorla. Ebbe a szakaszba a meghibásodási ráa mooo ı. A három szakasz em álaláos érvéyel lép fel mide elem eseébe, va, ahol a kezdei szakasz hiáyzik, vaak elemek, amelyek em öregszeek 3. Az eseek öbbségébe azoba alálhaó egy olya hosszú szakasz, amelybe a λ() meghibásodási ráa gyakorlailag álladó. A kezdei szakasz álalába figyelme kívül hagyhaó és úgy ekiheı, miha az elem mőködése e periódus befejezével kezdıde. 4 Sok elem eseébe pedig a mőködési idı vége ér, mielı még az öregedés jelei ee érheık leéek, vagyis ezekél az elemekél a éyleges mőködési idı vége ér az öregedési meghibásodások bekövekezése elı, a redszer elıbb éri el a haárállapoo, mi az elem öregedési szakaszáak kezdıpoja. Így végsı kövekezeésük, hogy az elemek ág oszályára feleheı, hogy λ() λ álladó. 5 Álaláos kövekezeéské elmodhaó, hogy bármilye sraégia szeri karbaaro beredezések eseé emcsak hogy léezik a középsı szakasz, haem még belsı srukurálságo is mua a végze beavakozásokak és a meghibásodások válozásáak megfelelıe. A meghibásodási ráa ismeree azér foos, mer em csak a redszerbe öréı leheséges beavakozásoka, haem maguka a vizsgálai módszereke, illeve a kapo eredméyek érvéyességé is befolyásolja. A megbízhaóság elemzéséhez midig uduk kell, hogy a vizsgál beredezés a kádgörbe melyik szakaszába va. 6 A λ() függvéy jellegéek poos ismeree a megbízhaóság alapú karbaarás-szervezésbe alapveı jeleıségő, így öbbek közö meghaározza az alkalmazhaó karbaarási sraégia ípusá is. 3 Nagy megbízhaóságú alkarészekél gyakori, hogy mid az I. mid pedig a III. szakasz hiáyzik. 4 A valóságba mid az eleme, mid pedig a redszer, amelyhez az elem arozik, redszeri elızees üzemeleések veik alá, elleırzı kísérleeke végezek, és csak ezuá kezdıdik a éyleges üzemeleés. 5 Bizoyos források a kádgörbé csak az I. és III. szakaszból származaják, ez a felfogás em ekiheı álaláos érvéyőek. Már csak azér sem, mer ekkor a középsı szakasz em is léezik, ez pedig ellemod az álaláos apaszalaak. 6 A II. szakasz sabiliásáak vizsgálaára felhaszálhaók az elleırzıkáryák, amelyeke a miıségmeedzsmebe gyakra haszálak, mer em csak a saiszikai sabiliás vizsgálaára alkalmasak, haem segíségükkel szabályozás valósíhaó meg. A megbízhaósági vizsgálaok sorá alkalmazo elleırzıkárya egy olya diagram, amelyél a megbízhaóság jellemzésére az ado idıközbe bekövekeze meghibásodások számá ekijük.
6 I.4 Megbízhaósági gyakorlaba alkalmazo eloszlásípusok A kövekezıkbe összefoglaljuk a megbízhaósági gyakorlaba szokásosa alkalmazo valószíőségi eloszlásípusoka. Az elızıekbe már megismer megbízhaósági jellemzık kokré éréke ermészeese az F() eloszlásfüggvéy ípusáól függ. A megbízhaósági gyakorlaba leggyakrabba alkalmazo eloszlásípusok az expoeciális eloszlás, a Weibull-eloszlás, a ormális eloszlás, a logormális eloszlás és a gamma-eloszlás. A ovábbiakba részleese csak az elsı három eloszlásípus jellemzıi muajuk be. I.4.a Expoeciális eloszlás Az expoeciális eloszlásfüggvéy a kövekezı összefüggéssel írhaó le: A megbízhaósági gyakorlaba: > 0 ; λ > 0, ahol λ az eloszlás paraméere. F() F λ ( ) e (3.) F ( ) e λ 3. ábra: Az expoeciális eloszlásfüggvéy A hibamees mőködés valószíősége: R() R λ ( ) F( ) e, ahol >0 (4.) R ( ) e λ 4. ábra: A hibamees mőködés valószíőségéek függvéye expoeciális eloszlás eseé. Az f() sőrőségfüggvéy, ha > 0: f() f ( ) λe λ (5.) λ f ( ) λe λ 5. ábra: Az expoeciális sőrőségfüggvéy
7 Az expoeciális eloszlás várhaó éréke: M ( τ ) (6.) λ Szórása: D ( τ ) (7.) λ Beláhaó az is, hogy az expoeciális eloszlás szeri mőködı elem álagos mőködési ideje: T λ (8.) A meghibásodási ráa expoeciális esebe a meghibásodási ráa defiíciója alapjá: λ f ( ) λe λ( ) λ álladó (9.) λ R( ) e λ() λ 6. ábra: A meghibásodási ráa expoeciális eloszlás eseébe Expoeciális eloszlás eseébe a meghibásodási ráa álladó és éppe az eloszlás λ paraméerével egyelı. Expoeciális meghibásodási valószíőségeloszlás eseé ehá az elemek a (, + ) szakaszba öréı meghibásodási valószíősége függele a (0, ) iervallum hosszáól, ehá a idıpoig mőködı elem hibamees mőködési valószíősége ado (, + ) szakaszba függele a megelızı mőködési idııl, és csak a szakasz hosszáól függ. Ez az érelmezése a várala jellegő, ehá em öregedı meghibásodásak, ugyais ezek bekövekezése függele az elem elıéleéıl. Ez ehá az ú. várala meghibásodás. Ez az is jelei, hogy a ermék emlékeze élküli, ehá öregedése em befolyásolja mőködésé. Az expoeciális eloszlás ezér a haszos mőködési szakaszba (kádgörbe II. szakasza) haszáljuk a ermék mőködéséek jellemzésére. A kádgörbéek második szakasza az jelei, hogy a τ mőködési idı expoeciális eloszlás köve R()e -λ hibamees mőködési valószíőséggel. Álladó meghibásodási ráa eseébe a T álagos mőködési idı a meghibásodási ráa reciproka, ezér T R( ) e alakba is felírhaó.. példa A ermék mőködési ideje az elsı meghibásodásig expoeciális eloszlású λ,5 0-5 /óra meghibásodási ráával. Számísuk ki az R() hibamees mőködés valószíőségé és az f() sőrőségfüggvéy 500, 000 és 000 óra idıérékre, valami haározzuk meg a T álagos mőködési idı! λ λ R( ) e ; f ( ) λ e R(500) e R(000) e R(000) e T,5 0 5,5 0,5 0 λ,5 0 500 5 5 5 000 0,9875 98,75% 000 0,9753 97,53% 0,95 95,% 40000óra / óra f (500),5 0 5 f (000),5 0 f (000),5 0 0,9875 0,0000468,468 0 5 5 0,9753,439 0 0,95,37 0 5 5 / óra / óra 5 / óra
8. példa Egy auomaizál gépsor hibamees mőködéséek valószíősége 0 óra ala 0,9-cel egyelı. Tegyük fel, hogy a mőködési ideje expoeciális eloszlású. Számísuk ki a λ meghibásodási ráá, valami aak a valószíőségé, hogy a gépsor 50. és 00. óra közö meghibásodik! R(0) 0,9 e λ 0 0,9 le P(50 τ < 00) F(00) F(50) 0,876 0,8389 0,037 3,7% λ 0 l0,9 λ 0 l 0,9 λ 0,000878/ óra 8,78 0 4 4 8,78 0 00 8,78 0 50 [ e ] [ e ] e 8,78 0 4 50 e 8,78 0 3. példa Egy gépkocsi éyleges mőködésé a gépkocsi álal mege ú hosszával mérjük. Téelezzük fel, hogy a gépkocsi éyleges mőködése expoeciális eloszlású λ 0 4 / km meghibásodási ráával! Mi aak a valószíősége, hogy a gépkocsi a 0000 és 5000 km közö meghibásodik? P(0000 τ < 5000) F(5000) F(0000) e e,5 0,447 4,47% 4 4 0 5000 0 0000 [ e ] [ e ] e 4 4 0 0 e 4 00 4 4 4 0,5 0 / óra I.4.b Weibull-eloszlás A megbízhaóság alapú karbaarás-szervezés sorá az egyik leggyakrabba alkalmazo eloszlásípus a Weibull-eloszlás, amelyek F() eloszlásfüggvéye a kövekezı: ahol a az eloszlás skálaparaméere, b pedig az alakparaméer. F F() b a ( ) e (>0; a>0; b>0) (0.) F ( ) e b a 7. ábra: A Weibull-féle eloszlásfüggvéy Az R() hibamees mőködés valószíősége. R b a ( ) e ha 0 (.) R() R ( ) e b a 8. ábra: A hibamees mőködés valószíőségéek függvéye Weibull-eloszlás eseé Az f() sőrőségfüggvéy a kövekezı alakú: f b b a ( ) ab e ha >0 (.)
9 f () α b< b b> A meghibásodási ráa: 9. ábra: Sőrőségfüggvéy Weibull-eloszlás eseé ab b a b λ ( ) ab (3.) b a e e ehá egy haváyfüggvéy, mely b< esere mooo csökkeı, b> esere pedig mooo övekvı. A b ese pedig megfelel az expoeciális eloszlásak, így ehá a Weibull-féle eloszlásfüggvéy a kádgörbe valameyi szakaszá leírja. λ( ) ab b b b> b b< 0. ábra: Meghibásodási ráa függvéyek Weibull-eloszlás eseébe λ(). b< b> I. b II. III.. ábra: A meghibásodási ráa kádgörbéje külöbözı alakparaméerő Weibull-eloszlásokkal közelíve 4. példa A ermék mőködési ideje az elsı meghibásodásig Weibull-eloszlású valószíőségi válozó a,5 0-5 /óra skálaparaméerrel és b alakparaméerrel. Haározzuk meg az F() eloszlásfüggvéy és az R() hibamees mőködés valószíőségé 50, 00, 00 óra érékekre, valami a λ() meghibásodási ráa függvéyéréké a 00, 00 és 500 óra érékre! F( ) e a F(00) e F(00) e λ( ) a b b F(50) e 5 5,5 0 00 b λ(500),5 0,5 0 00 500 5,5 0 50 0,0606 6,06% R(50) 0,0606 0,9394 93,94% 0,,% R(00) 0, 0,7788 77,88% 0,63 63,% R(00) 0,63 0,3679 36,79% λ(00),5 0 5 5,5 0 00 / óra 5 0 3 / óra; λ(00),5 0 5 00 0 / óra
0 5. példa Egy ermék hibamees mőködéséek valószíősége 50 óra ala 0,9. A mőködési idı Weibull-eloszlású b,6 alakparaméerrel. Haározzuk meg a meghibásodási ráa függvéy, aak éréké 50 órára! R(50) 0,9 e,6 a 50 0,9 le,6 a 50 l0,9 a 50,6 l 0,9 l0,9 a,6 50,3 0 7 / óra λ( ),3 0 7 λ(50),3 0,6 7 (,6 ),6 50 6,006 0 (,6 ) 7,8 0,6 3 / óra I.4.c Normális és csokío ormális eloszlás A megbízhaósági gyakorlaba is sokszor elıforduló eloszlásípus a ormális eloszlás, amelyek sőrőségfüggvéye ( Gauss-görbe ) a kövekezı: ( µ ) σ f ( ) e (4.) σ π ahol µ az eloszlás várhaó éréke, σ pedig a szórása, érelmezési aromáya a (-, + ) iervallum. f(x) σ π -(x-µ ) e σ µ x. ábra: A ormális eloszlás sőrőségfüggvéye Az eloszlásfüggvéy pedig: ( µ ) σ ( F ) σ π x F(x) f(u) x du x - e d (5.) 0,5 µ x 3. ábra: Normális eloszlás eloszlásfüggvéye A gyakorlai számíások sorá az F() eloszlásfüggvéy a µ0 és σ paraméerő sadardizál Φ(u) ormális eloszlásfüggvéyel szokás meghaározi. Az F() és a Φ(u) közö az alábbi összefüggés áll fe: µ F ( ) Φ( ) (6.) σ
Φ() 0,5 4. ábra: Sadardizál ormális eloszlásfüggvéy Mivel a ormális eloszlásfüggvéy érelmezési aromáya (-, ) iervallum, a megbízhaóság erüleé szükséges az eloszlásfüggvéy a (0, ) szakaszra érelmezi. Az így kapo u. csokío ormális eloszlásfüggvéy az alábbi: F cs T T Φ ( ) Φ ( ) ( ) σ σ (7.) T Φ ( ) σ ahol µ helye az eddigi megbízhaósági jelölésekek megfelelıe már T szerepel. Ha T >3σ, akkor a (7) összefüggés helye kielégíı poosságo yúj a (6) összefüggés is. Bebizoyíhaó, hogy ormális eloszlás eseé a λ() meghibásodási ráa mooo ı, azaz a ormális eloszlás az öregedı jellegő meghibásodási szakaszra jellemzı. 6. példa A ermék mőködési ideje az elsı meghibásodásig 0-ba csokío ormális eloszlású µ8000 óra várhaó érékkel és σ000 óra paraméerrel. Haározzuk meg az R() hibamees mőködés valószíőségé 4000, 6000 és 8000 órára. T T T T T T Φ( ) Φ( ) Φ( ) Φ( ) + Φ( ) Φ( ) Rcs ( ) Fcs ( ) σ σ σ σ σ σ T T T Φ( ) Φ( ) Φ( ) σ σ σ T 8000 4000 Φ( ) Φ( ) 000 Φ() 0,977 σ Rcs (4000) 0,977 T 8000 Φ( ) Φ( ) Φ(4) σ 000 8000 6000 Φ( ) 000 Φ() 0,843 Rcs (6000) 0,843 8000 Φ( ) Φ(4) 000 8000 8000 Φ( ) 000 Φ(0) 0,5 Rcs (8000) 0,5 8000 Φ( ) Φ(4) 000
I.4.d Logormális eloszlás Vaak olya valószíőségi válozók, amelyekek a logarimusa mua ormális eloszlás. Ezek eloszlása a logormális eloszlás, amelyek sőrőségfüggvéye: (l σ ( ) f e (8.) πσ Ahol >0, valami a és σ az eloszlás paraméere. f() a) 5. ábra: Logormális eloszlás sőrőségfüggvéye I.4.e Gamma-eloszlás A gamma-eloszlás sőrőségfüggvéye: α α λ f ( ) e Γ( α) ahol >0, λ>0 és α>0 az eloszlás paraméerei, Г(a) éréke áblázaból haározhaó meg. Ha α, akkor speciális eseké az expoeciális eloszlás kapjuk, ha αk egész szám, akkor az Erlageloszlás kapjuk, amely alkalmas boyolul redszerek elsı és (k+)-dik meghibásodása közöi idıszakasz hosszáak leírására. Ha λ/, és αk/ (k>0, egész szám), akkor a χ -eloszlás kapjuk. λ (9.) f() 6. ábra: Gamma-eloszlás sőrőségfüggvéye A fokozaos meghibásodások jellemzésére a Weibull-, a ormális vagy a gamma-eloszlások egyike haszálhaó fel.
3 I.5 A megbízhaósági jellemzık saiszikai becslései xi Az eddigiek alapjá levohajuk az a kövekezeés, hogy em helyreállíhaó elem eseébe a hibamees mőködési idı (és majd lájuk, hogy helyreállíhaó elemek eseébe a felújíási idı is) a vélele haások kövekezébe valószíőségi válozó, amely valamilye eloszlás köve. Ami az a Kvaiaív módszerek árgy kereei belül már árgyaluk, a gyakorlaba megleheıse riká fordul elı, hogy a ermék megbízhaóságá jellemzı valószíőségi válozó elmélei jellemzıi ismerjük, gyakra elıfordul, hogy még az eloszlás ípusára voakozóa sicseek ismereeik. Ezek meghaározása megfigyelések, kísérleek, mérések újá öréik. Ideális esebe a ermékek megfigyelésé, a megbízhaósági iformációk győjésé a éyleges felhaszálási körülméyek közö végezhejük. Bizoyos eseekbe azoba (pl. hosszú élearamú, jeleıs érékő beredezések, alkarészek) a gyakorlaba eheze kezelheı problémáka jeleeek az ily módo végze megfigyelések. Bár öbb megoldás is leheséges e problémák kiküszöbölésére, a valós körülméyek közöi megfigyelés helye célszerőbb megbízhaósági kísérleekbıl adaoka győjei a megbízhaósági jellemzık becsléséhez. A ermékek megbízhaóságáak vizsgálaára iráyuló kísérleek ervezése és lefolyaása olya felada, mely em csupá megfelelı maemaikai módszerek kiválaszásából és alkalmazásából áll. A kísérleek ervezéséek elsı legfoosabb lépése azokak a paraméerekek a kiválaszása, amelyeke a kísérleek sorá becsüli kíváuk. A válaszáskor mideekelı mérlegeli kell a szóba jövı egyes jellemzık ulajdoságai, valami az is, hogy milye problémák merülek fel elızıleg a vizsgáladó ermékek mőködésével kapcsolaba. Az elıkészíések ebbe a fázisába yilvá a fizikusoké, vegyészeké, mérököké a döı szó. A kísérleek ervezéséek második legfoosabb mozzaaa a külsı feléelek megválaszása, beleérve a kísérleek lefolyaásáak meeredjé is. Magáól éreıdik, hogy a feléelek megválaszásakor figyelembe kell vei azoka a körülméyeke, amelyek közö a késıbbiek sorá a ermékekek mőködiük kell, hisze ezek a külsı paraméerek erıse befolyásolhaják a méredı paraméerek jellegé. A meghibásodás bekövekezési idıpojá em lehe elıre megmodai, ez véleleszerő. A ermék megbízhaóságá meghaározó paraméerek szochaszikus jellegőek, mivel érékeik ermékrıl ermékre válozak, és a válozás vélele okok hozzák lére. Ez eszi szükségessé az, hogy kísérleekbıl becsüljük a megbízhaóság beüke érdeklı jellemzıiek eloszlásá, és a közöük lévı kapcsolaoka. Így feladauk a kövekezı: az eloszlások ismerele paraméereiek meghaározása és saiszikai hipoézisek vizsgálaa. Tipikus kísérlei ervek A kísérleek szervezéséek öbb módja leheséges. A kísérlei erv elıírja, hogy milye szabályokak megfelelıe kell a kísérleeke elvégezi, valami számos úmuaás aralmaz a beredezés vizsgáladó elemeiek meyiségé, az elleırzés idejé illeıe, valami arra voakozóa, hogy a meghibásodo erméke ki kell-e cseréli vagy sem, mikor kell a kísérlee befejezi, ill. a kísérle folyaása céljából új erméke beállíai. Nézzük az ezzel kapcsolaos jelöléseke! B-vel jelöljük azoka a kísérlei erveke, amelyekbe a meghibásodo ermékeke em cseréljük ki újjal, és C beővel azoka, amelyekbe mide meghibásodo eleme egy új, azoos elemmel helyeesíük. Azzal a ovábbi feléelezéssel élük, hogy a meghibásodásoka folyamaosa figyelik, így kelekezésük pillaaába felfedezik ıke. Jelöljük r-rel azoka a erveke, amelyekél a megfigyelések az r-edik meghibásodás bekövekezéséig folyak, T-vel pedig azoka, amelyek T ideig aró megfigyelés írak elı. Természeese elıfordulak vegyes ervek, amikor a megfigyeléseke az r-edik meghibásodás r idıpojáig végzik, ha r <T, vagy a T idıpoig, ha r T. Az ilye ípusú ervek jelölése (r,t) szimbólummal öréik. A leírások rövidebbé és poosabbá éele érdekébe a kísérleek jelölése a kövekezı módo öréik: elsıek a vizsgáladó elemek N számá üejük fel, másodikké jelöljük az, hogy a meghibásodo eleme cseréljük-e vagy sem, s végül a kísérle befejezéséek idıpojára voakozó elıírás. Pl. az [N00, C, (r5, T500)] jelölés az a kísérlei erve muaja, amelybe 00 eleme vizsgáluk, mide egyes meghibásodo eleme új elemmel cserélük ki, és a megfigyeléseke a 5. meghibásodásig, de legfeljebb 500 órá kereszül folyajuk. Köye beláhaó, hogy a fei megfoolásoka és jelöléseke alapul véve 6 külöbözı kísérlei erve külöbözeheük meg:
4 [N,B,T] [N,B,r] [N,B,(r,T)] [N,C,T] [N,C,r] [N,C,(r,T)] A kísérlei ervekkel kapcsolaba azoba éháy egyéb momeum megfoolására is szükség va. A valószíőségi jellemzık meghaározása a meghibásodási idıpook alapjá még viszoylag kevésbé szigorú kofideciaszi eseé is megleheıse sok miaelem vizsgálaá igéyli. A kipróbáladó darabok száma jeleıse csökkeheı, ha a valószíőségi jellemzık becslésébe a paraméerek eljes idıbeli alakulásá vesszük figyelembe, és em csupá a meghibásodások bekövekezéséek egyele pillaaá. Ez uóbbi esebe ugyais sok érékes iformáció elveszük, így a kísérleeke agy miá kell végezük. Ha az elıbbi megoldás válaszjuk, vagyis a paraméerek eljes idıbeli alakulásá vesszük figyelembe, akkor em kevés ehézségbe üközük. Olya speciális beredezésre va szükség, amelyek segíségével yomo köveheık a kipróbáladó elem paraméereiek válozásai, ráadásul olya elmélei modelleke kell alkouk, amelyek alkalmasak a paraméerek idıbeli válozásáak leírására, és amelyek alapjá a kerese jellemzık becsülheık. 7 A miák számáak csökkeése melle másik agyo foos kérdés a kísérlei idı lerövidíése. Sok esebe ugyais olya adaokra va szükségük, melyek hosszú folyamaos mukavégzés alai meghibásodásokra voakozak, de ezeke az adaoka agyo rövid kísérlei idı adaaiak alapjá kell becsülük. Ilye eseekbe ú. forszírozo kísérleeke alkalmazak, amikor a vizsgáladó elemeke fokozo erhelések veik alá. Az öregedési folyamaok az ilye fokozo erhelése gyorsabba zajlaak le, hamarabb kövekezik be a meghibásodás. Olya modelleke kell ehá alkoi, amelyek leheıvé eszik, hogy a gyorsío kísérleek eredméyébıl becsüljük a ormális mukavégzés feléeleiek megfelelı valószíőségi jellemzıke. E módszer alkalmazásáak alapkérdése a voakozó szakirodalom szeri elsısorba az, hogy miké függek az öregedési folyamaok a külsı feléelek, mukakörülméyek fizikai ulajdoságaiól. A apaszalai megfigyeléseik alapjá a megbízhaósági jellemzık elmélei érékeire kövekezeük maemaikai-saiszikai eszközökre ámaszkodva. Valamely elmélei érékek apaszalai adaokból való meghaározásá saiszikai becslések evezzük. A megbízhaósági gyakorlaba leggyakrabba a várhaó éréke, a szórás, és a feléeze elmélei eloszlásfüggvéy paraméerei kell becsülük. Az elemek megbízhaósági jellemzıiek meghaározásához a korábba ismeree megbízhaóságelmélei muaóka, függvéyeke kell ismerük. Mivel a ermék megbízhaóságá meghaározó összes paraméer szochaszikus jellegő, ezér e jellemzık becslésé saiszikai eszközök alkalmazásával végezhejük el. A hibameesség jellemzésére eddigiekbe az alábbi muaóka haszáluk: mőködési idı eloszlásfüggvéye: F() megbízhaósági függvéy: R() álagos hibamees mőködési idı: T meghibásodási ráa: λ() A megbízhaóságelmélebe alkalmazo eloszlásípusok paraméereiek becslésére a szakirodalom számos módszer kíál. Az eloszlás ípusáól függele becsléseke, emparaméeres becslésekek evezzük. Azoka a becsléseke, amelyek függek az eloszlás ípusáól és az eloszlás paraméerére voakozak, paraméeres becslésekek evezzük. Ez uóbbi esebe a vizsgáladó saiszikai sokaság eloszlásáak ípusá ismerjük: pl. a ermék mőködési ideje expoeciális eloszlású. Ezekbe az eseekbe az a feladauk, hogy az eloszlásfüggvéybe szereplı ismerele álladó(ka) paraméereke - becsüljük megfigyeléseik, mérésekbıl származó apaszalai adaok segíségével. Így expoeciális eloszlás eseé a λ paraméer, azaz a meghibásodási ráa becslése a felada. Weibulleloszlás eseé már lehe, hogy midké paraméer, az a skála- és a b alakparaméer is becsülük kell, de ermészeese elıfordulha az, hogy az egyik ismer, és csak az ismerele paraméer kell becsülük. Azzal, hogy megbecsüljük az eloszlás paraméerei a fei megbízhaósági jellemzık számíhaóvá válak. 7 Talá érdemes megjegyezi, hogy agyo sok esebe a meghibásodás okozó paraméerek em is mérheık közveleül, haem csak más olya meyiségeke kereszül, amelyek iformáció aralmazak a meghibásodással kapcsolaba.
5 I.5.a Pobecslés grafikus paraméerbecslés Az adaok saiszikai feldolgozásáak álaláos meee:. adaok leíró saiszikai feldolgozása: alkalmas középérék- és igadozásmuaó(k) számíása, grafikus ábrázolás. paraméerek becslése: A legjobb ulajdoságú becslések meghaározására álaláos módszerek állak redelkezésre. Ilyeek pl. a Kvaiaív módszerek árgy sorá bemuao pobecslési módszerek: maximum-likelihood módszer, legkisebb égyzeek módszere, kvailisek módszere, momeumok módszere, grafikus paraméerbecslés. A módszer kivielezése szeri pedig számíásos és grafikus módszereke külöbözeük meg. 3. saiszikai kövekezeések, iervallumbecslés kofidecia iervallumok szerkeszése hipoézisvizsgálaok. Nem céluk (e árgy kereébe ics is rá leheıségük), hogy a becslési eljárások álaláos meeé ismeressük, ezekkel ill. ezek közül éháyal a Kvaiaív módszerek címő árgy kereei belül már megismerkedheek. Aak illuszrálására, hogy apaszalai adaokból hogya lehe a megbízhaósági jellemzıke, az eloszlások paraméerei megbecsüli, a legegyszerőbb, bár jellegéél fogva ermészeese legkevésbé poos eljárás, a grafikus becslés muajuk be. A grafikus becslési eljárások azo alapulak, hogy az eloszlásfüggvéyeke liearizálják, azaz kiegyeesíik. Tapaszalai adaokból megbecsülve az eloszlásfüggvéy ill. a megbízhaósági függvéy pojai, azoka a megfelelı raszformációval ábrázolva, a pookra illesze egyees meredekségébıl és egelymeszeébıl kövekezei lehe az eloszlás ismerele paraméerére vagy paraméereire. λ megbízhaósági függvéy logarimizáljuk. Elvégezve a mővelee, s az egyelee (-)-gyel beszorozva a kövekezı összefüggéshez juuk: l R( ) λ. Az egyele baloldalá függvéyébe ábrázolva egy 0-ból iduló egyees kapuk, melyek meredeksége az eloszlás ismerele paraméere, λ. A megbízhaósági függvéy apaszalai adaokból az ( ) R() módo köye becsülhejük, ahol () a idıpoba mőködıképes ermékek száma, (0) pedig a ( 0) (mőködı) ermékek száma a kezdei idıpoba. Az expoeciális eloszlás kiegyeesíéséhez az R( ) e ( ) l R ( ) l (0) λˆ α gα λ 7. példa 7. ábra: Az expoeciális eloszlás λ paraméeréek grafikus becslése 00 erméke vizsgáluk 0 000 óráig. Az egyes megfigyelési idıpookba meghaározzuk a meghibásodások számá. A kövekezı adaoka kapjuk: 0 00 óráig db, 00 500 óráig 4 db, 500 000 óráig 4 db, 000 500 óráig 3 db, 500 5000 óráig 8 db, 5000 7500 óráig db és 7500 0 000 óráig db alkarész hibásodo meg. Haározzuk meg expoeciális eloszlás feléelezve a meghibásodási ráa grafikus becslésé! ( ) Az R() becsléséhez az összefüggés haszáljuk fel, ahol () a. idıpoba még mőködıképes elemek (0) számá, (0) pedig a 0. idıpoba mőködı elemek számá jelei.