numerikus analízis ii 34 Ezért [ a, b] - n legfeljebb n darab gyöke lehet = r (m 1) n = r m + n 1 19 B - SPLINEOK VOLT: Ω n véges felosztás S n (Ω n ) véges dimenziós altér A bázis az úgynevezett egyoldalú splineok MOST: Ω alappontok végtelen halmaza S m (Ω ) végtelen dimenziós tér A bázis a kompakt tartójú függvények (splineok), a B - splineok Tétel B - SPLINEOK EGZISZTENCIÁJA Legyen Ω := {x i : i Z} olyan, hogy x i, ha i x i +, ha i + Ekkor i Z - hez és x i - hez! S S m (Ω spline, amelyre teljesül, hogy S(x) = 0, ha x x i és x x i + m +1, Továbbá érvényes S -reazún NORMÁLÁSI FELTÉTEL: (4) + S(x)dx = x i+ x i S(x)dx =1 Bizonyítás Tekintsük az [x i 1,x i+ ] intervallumot Mivel S(x) = 0, ha x [x i 1,x i ], azért a (2) előállítását tekintve S - nek az [x i 1,x i ] intervallumon az első szummája eltűnik, mivel S(x) =0 x [x i 1,x i ]
numerikus analízis ii 35 Így S a következő módon írható: (3) S(x) = k b j (x x j ) m + Legyen k = m + 1 Ekkor (3) = S(x) = b j (x x i+j ) m + Az S -ről még tudjuk, hogy S(x) = 0, ha x x i+ Tehát b j (x x i+j ) m + =0 x x i+ Ebből a b j - kre a következő egyenleteket kapjuk: x m együtthatója 0 kell legyen: (5) b 0 + b 1 + + b =0 x m 1 b 0 x i + b 1 x i+1 + + b x i+ =0 x 0 b 0 x m i + b 1 x m i+1 + + b x m i+ =0 (m + 1) darab egyenlet, (m + 2) darab ismeretlen b j - kre Még egy feltételt a normálási feltétel ad (4) - et interpolálva [x i,x i+ ]-en = = x i+ x i b j (x x i+j ) m + dx =1 x i+ b j m +1 (x x i+j) + =1 x i Mivel x i - ben a 0 = = m 1 b j (x i+ x i+j ) m + = m +1 Az (5) egyenletrendszert figyelembe véve a hiányzó egyenlet a következő lesz: b 0 x i + b 1 x i+1 + + b x i+ =( 1) (m + 1)
numerikus analízis ii 36 Ezt (5) -höz hozzávéve (m + 2) darab egyenletből alló rendszert kapunk, amelynek a determinánsa a Vandermonde determináns, ami nem nulla, ebből következik, hogy egyértelműen létezik megoldás b j - kre Definíció : Atételbeli splineokat MINIMÁLIS TARTÓJÚ B - SPLINEOKNAK nevezzük, ugyanis belátható, hogy nem létezik szűkebb tartójú,atételbeli feltételeket kielégítő spline Az S m (Ω ) - ben bevezethető ún LOKÁLIS BÁZIS: Legyen q m (t, x) függvény a következő (t x) m +, ha t x (6) q m (t, x) := 0, ha t<x Megjegyzés : Mostantól t i - k jelölik az alappontokat Definíció : A t i alapponthoz tartozó m - edfokú B - splinet a következő módon definiáljuk: B mi (x) :=(t i+ t i )[t i,,t i+ ]q m (,x) ahol q m (,x) függvény a (6) - tal definiált és [t i,,t i+ ]q m (,x) a q függvény osztott differenciáját jelöli SPEC ESET: m =1 B 1i (x) =(t i+2 t i )[t i,t i+1,t i+2 ]q 1 (,x) B 1i (x) =(t i+2 t i ) (t x) 1 +, ha t x q 1 (t, x) = 0, ha t<x
numerikus analízis ii 37 B 1i (x) =(t i+2 t i ) (t i+2 x) + (t i+1 x) + (t i+1 x) + (t i x) + t i+2 t i = = (t i+2 x) + (t i+1 x) + (t i+1 x) + (t i x) + 1 Ha x [t i,t i+1 ]: B 1i (x) = (t i+2 x) + (t i+1 x) + (t i+1 x) + = t i+1 x = = t i+1 + x = x t i 2 Ha x [t i+1,t i+2 ]: B 1i (x) = t i+2 x 3 Ha x<t i = q 1 (t, x) t - ben elsőfokú polinom, akkor a másodrendű osztott differenciája nulla = B 1i (x) 0 4 Ha x t i+2 = B 1i (x) 0 Állítás Az így definiált B mi (x) splineok azonosak a tételbeli B - splineokkal egy normálási állandótól eltekintve Ugyanis a definícióbeli B - splineok minimális tartójúak, azaz tartójuk az [t i,t i+ ] intervallum, amelyen kívül B mi (x) eltűnik 3 alapján általában is = B mi (x) 0, ha x t i, ugyanis t - ben az m - edfokú q m polinom (m + 1) - edrendű osztott differenciája nulla 4 = ha x>t i+, akkor B mi (x) 0 Továbbá belátható, hogy B mi (x) > 0 a [t i,t i+ ] intervallumon Állítás A B - splineok pozitívak a [t i,t i+ ] intervallumon
numerikus analízis ii 38 Tekintsük S m (Ω n ) szakaszonként m - edfokú splineok terét [x 0,x n ] intervallumon ((m + n) dimenziós vektortér) Tekintsük azon B - splineokat, amelyeknek van nem nulla értéke [x 0,x n ] - on Ezek: ( ) B m1 m,,b m1 0,B m1 1,,B m1 n 1 (m + n) darab spline Ezek lineárisan függetlenek = = ( ) B - splineok egy bázis S m (Ω n )-ben Tétel REPREZENTÁCIÓS TÉTEL S S m (Ω n ) spline egyértelműen írható fel a ( ) B - splineok lineáris kombinációjaként, azaz S(x) = n 1 i= m α i B mi (x) A B - SPLINEOK TOVÁBBI TULAJDONSÁGAI EGYSÉGOSZTÁS : B mi (x) 1 x R i Z REKURZIÓS FORMULA B - SPLINEOK ELŐÁLLÍTÁSÁRA : B mi (x) = x t i B m 1,i 1 (x)+ t i+ x B m 1,i (x) t i+m t i t i+ t i+1 B 0i (x) 1 x [t i,t i+1 ]
numerikus analízis ii 39 B - SPLINEOK DERIVÁLTJÁRA ÉRVÉNYES : ( B mi (x) =m Bm 1,i 1 (x) B ) m 1,i(x) t i+m t i t i+ t i+1 2 NUMERIKUS INTEGRÁLÁS Határozott integrálok numerikus kiszámítása a matematika egyik legrégebbi problémája Például görbék által határozott tartomány területének meghatározása Ráadásul évezredekkel azelőtt, hogy az analízisbeli integrálfogalom a XVII, XVIII században bevezetésre került Például a kör területe: Archimedes (287-212 Kre) : 3 10 71 <π<31 A numerikus kvadratúra 7 elnevezés a kör négyszögesítésének problémájából jön Numerikus kubatúra elnevezés kétdimenziós integrálok kiszámítására Newton I (1643-1727) n - dimenziós numerikus integrálás elnevezés n - dimenziós integrálok numerikus kiszámítására Leibniz G W (1646-1716) Ha már van integrálfogalom, analízis, akkor miért kell a numerikus integrálás? MOTIVÁCIÓ: Numerikus integrálási műveletekre szükség van, ha 1 Az integrálandó függvény primitív függvényét nem lehet megadni elemi függvények segítségével 2 A primitív függvény olyan bonyolult, hogy kvadratúra formula használata előnyösebb 3 Az integrálandó függvényt csak pontokban ismerjük, például mérések eredményelént 4 Differenciál-egyenletek, integrál-egyenletek numerikus megoldásakor sok esetben numerikus integrálási módszerekre is szükség van Fontos feladatok megoldásában segített, pl (1612) Keplernek a boroshordó térfogatának kiszámításában FELADAT : b Az f(x)dx = I határozott integrál kiszámítása a Ezt az I N = N c k f(x k ) összeggel közelítjük, ahol c k állandók k=0