1 Diszkrét matematika I, 12 előadás Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach 2005 november 30 Vektorok Definíció Egy tetszőleges n pozitív egész számra n-komponensű vektoroknak nevezzük a valós szám-n-eseket Az n-komponensű vektorok halmazát R n -nel jelöljük Azt a vektor, amelynek minden komponense 0, nullvektornak nevezzük és 0-val jelöljük Pl n = 3 esetén a = (18, 2, 3) egy sorvektor, b = egy oszlopvektor Ha mást nem mondunk, akkor egy vektor mindig oszlopvektor lesz Egy sorvektor transzponáltja az ugyanolyan komponensekből álló oszlopvektor, és viszont Például b T = (8, 02, 3) Az x vektor i-edik komponensét x i jelöli, pl b 2 = 02 Műveletek 8 02 3 Definíció Két (n-komponensű) vektor összegét az (a + b) i = a i + b i képlettel, míg egy vektornak valós számszorosát a (ca) i = ca i képlettel értelmezzük Két (n-komponensű) vektor skaláris szorzata az a b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + = n i=1 a ib i szám Például 1 2 + 0 1 1 2 7 = 9, 2 2 = 4, 3 1 2 3 6 1 0 2 3 7 1 = 1 0 + 2 7 + 3 ( 1) = 11 Vektorok általánosabb értelemben A valós számok R teste helyett egy más T test elemeivel is dolgozhatunk, ekkor T n jelöli az n-komponensű vektorok halmazát Sőt: testelemek helyett egy tetszőleges halmaz elemei lehetnek egy vektor komponensei De mik lesznek a műveletek a vektorokon??? Ha adott a halmaz elemein egy művelet, akkor az végezhető komponensenként a vektorokon (mint nálunk az összeadás) Mátrixok összeadása Definíció Jelölje T k n a T test feletti k n-es mátrixok halmazát (k sor és n oszlop) T lehet a valós, racionális, vagy akár a komplex számok teste Ha az A T k n mátrix i-edik sorának j-edik elemét a ij jelöli, akkor az A = [a ij ] k n jelölést használjuk
Definíció (Mátrixok összeadása) Legyen A, B T k n Ekkor az A+B T k n mátrix elemeit úgy kapjuk, ha a megfelelő helyen álló elemeket összeadjuk: [a ij ] k n +[b ij ] k n = [a ij +b ij ] k n, részletesen a 11 a 12 a 1n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n + a 21 a 22 a 2n = a k1 a k2 a kn a k1 a k2 a kn a 11 + b 11 a 12 + b 12 a 1n + b 1n a 21 + b 21 a 22 + b 22 a 2n + b 2n a k1 + b k1 a k2 + b k2 a kn + b kn 2 Mátrixok számmal való szorzása Definíció Legyen A T k n, λ T Ekkor a λa T k n mátrix elemeit úgy kapjuk, hogy az A mátrix minden elemét megszorozzuk λ-val: λ[a ij ] k n = [λa ij ] k n, részletesen a 11 a 12 a 1n λa 11 λa 12 λa 1n a 21 a 22 a 2n λ = λa 21 λa 22 λa 2n a k1 a k2 a kn λa k1 λa k2 λa kn Összeadás tulajdonságai: asszociativitás: A, B, C T k n : (A + B) + C = A + (B + C) kommutativitás: A, B T k n : A + B = B + A nullmátrix: 0 = 0 k n jelöli azt a mátrixot, amelynek minden eleme 0 Ekkor A T k n : A + 0 = 0 + A = A ellentett mátrix: Ha A T k n, akkor A := 1 A Ekkor A T k n : A + ( A) = ( A) + A = 0 Kivonás: A B := A + ( B) Számmal való szorzás A, B T k n, λ, µ T : (λ + µ)a = λa + µa λ(a + B) = λa + λb (λµ)a = λ(µa)
3 1A = A Mátrixok szorzása Legyen A T k n, B T n r Ekkor C = AB T k r és n c ij = a i1 b 1j + a i2 b 12 + + a in b nj = a is b sj s=1 Az A és B mátrix tehát akkor szorozható össze (ebben a sorrendben), ha A oszlopainak száma megegyezik B sorainak számával Az AB mátrixnak annnyi sora lesz, mint A-nak, és annnyi oszlopa, mint B-nek A szorzatmátrix i-edik sorának j-edik eleme éppen A i-edik sorának és B j-edik oszlopának skaláris szorzata Példa Legyen A = ( 1 2 0 3 1 1 ) és B = 1 2 5 0 1 05 13 1 0 Ekkor AB létezik, de BA nem A számoláshoz célszerű az alábbi elrendezést használni: 1 2 5 0 1 05 13 1 0 1 2 0 1 4 6 3 1 1 17 6 155 Tehát AB = ( 1 4 6 17 6 155 ) Mátrixszorzás tulajdonságai kommutativitás: NEM TELJESÜL!!! asszocivitás: A(BC) = (AB)C kapcsolat a mátrixszorzással disztributivitás: A(B + C) = AB + AC és (A + B)C = AC + BC kapcsolat a számmal való szorzással: λ(ab) = (λa)b = A(λB) Transzponálás Definíció Az A = [a i j] k n mátrix transzponáltja az A T = [a ji ] n k mátrix (Főátlóra vonatkozó tükrözés; sor oszlop csere) INNENTŐL AZ ELŐADÁS VÉGÉIG MINDEN MÁTRIX n n-es!!!
Az n n-es mátrixok gyűrűje 4 Egy adott T test és n pozitív egész szám Ekkor T n n tetszőleges két eleme összeadható ill összeszorozható, és a műveletek eredménye is n n-es mátrix VOLT: Összeadás: kommutatív, asszociatív, van nullmátrix, minden mátrixnak van ellentett mátrixa ( kivonás) Szorzás: asszociatív Összeadás és szorzás viszonya: két disztributív azonosság KELL MÉG: egységmátrix: E = E n jelöli azt az n n-es mátrixot, melynek főátlójában egyesek, a többi helyen nullák állnak Például E 3 = Az E egységmátrixra teljesül, hogy A : AE = EA = A 1 0 0 0 1 0 0 0 1 (T n n ; +,, 0, E) struktúra a fenti tulajdonságokkal GYŰRŰ Inverzmátrix kivonás ellentett osztás reciprok, inverz (2 1 2 = 1) Definíció Azt mondjuk, hogy a K mátrix az A mátrix inverze, ha AK = KA = E Belátható, hogy egy mátrixnak csak egyetlen inverze lehet; ezt A 1 -nel jelöljük Tétel Az A mátrixnak akkor és csak akkor létezik inverze, ha det A 0 A bizonyításban felhasználjuk: Determinánsok szorzástétele:(biz nélkül) det(ab) = det A det B Jelölés Írjuk az A mátrix minden elemének a helyére a hozzá tartozó előjeles aldeterminánst, azaz a ij helyére A ij -t, majd transzponáljuk a kapott mátrixot Az eredményt Â-val jelöljük Tehát  i-edik sorának j-edik eleme A ji: â ij = A ji Lemma A = ÂA = (det A) E = det A 0 0 0 det A 0 0 0 det A Bizonyítás A i-edik sorának j-edik eleme: (Sor szerinti kifejtés/ Ferde kifejtés) Tétel bizonyítása a i1 â 1j + + a in â nj = a i1 A j1 + + a in A jn = Tétel Az A mátrixnak akkor és csak akkor létezik inverze, ha det A 0 { det A ha i = j, 0 ha i j Bizonyítás A tételben két tény ekvivalenciáját állítjuk a bizonyításban két "irány" Más megközelítés: Az inverzmátrix létezésére adunk szükséges és elegendő feltételt a szükségességet és az elegendőséget külön-külön igazoljuk
I Elegendőség( irány, azaz ha a determináns nem nulla, akkor van inverz): Ha det A 0, akkor a lemma szerint 1 det AÂ lesz az A inverze II Szükségesség( irány, azaz ha van inverz, akkor a determináns nem nulla): Ha A 1 létezik, akkor det A det(a 1 ) = det(aa 1 ) = det E = 1, 5 s így det A 0 Többet bizonyítottunk: ha AK vagy KA valamelyike az egységmátrix, akkor det A 0, s így létezik A 1 2 félév: ebből következik, hogy A 1 = K Lineáris egyenletrendszerek mátrixos alakja Adott egy k egyenletből álló n ismeretlenes lineáris egyenletrendszer: Ennek együtthatómátrixa: α 11 x 1 + α 12 x 2 + + α 1n x n = β 1 α 21 x 1 + α 22 x 2 + + α 2n x n = β 2 α k1 x 1 + α k2 x 2 + + α kn x n = β k A = α 11 α 12 α 1n α 21 α 22 α 2n α k1 α k2 α kn Alkossunk az ismeretlenekből ill a jobb oldalakból egy-egy oszlopvektort: x 1 x 2 x = T n, b = x n Ekkor az egyenletrendszer felírható Ax = b alakban, hiszen T k n x 1 x 2 x n β 1 β 2 β n T k α 11 α 12 α 1n α 11 x 1 + α 12 x 2 + + α 1n x n α 21 α 22 α 2n α 12 x 1 + α 22 x 2 + + α 2n x n α k1 α k2 α kn α k1 x 1 + α k2 x 2 + + α kn x n Cramer-szabály Klasszikus egyenletrendszerek: k = n, azaz az egyenletek és ismeretlenek száma egyenlő négyzetes mátrixok inverzmátrix Cramer-szabály Ha A T n n és D = det A 0, akkor az Ax = b egyenletrendszernek pontosan egy megoldása van A megoldásban x j = D j /D, ahol a D j determinánst úgy kapjuk, hogy A j-edik oszlopát b-re cseréljük
6 Például x 2 = a 11 b 12 a 1n a 21 b 22 a 2n a n1 b n2 a nn : a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn Bizonyítás Ax = b /A 1 BALRÓL! A 1 (Ax) = A 1 b (A 1 A)x = A 1 b Ex = A 1 b x = A 1 b Tehát az egyenletrendszernek pontosan egy megoldása van Ezt a megoldást részletesebben megvizsgáljuk: b 1 b 2 b n A 1j D A 2j D A nj D 1 D (A 1jb 1 + A 2j b 2 + + A nj b n ) = x j Másrészt D j csak a j-edik oszlopában tér el D-től a j-edik oszlophoz tartozó előjeles aldeterminánsaik egyenlőek D j -t a j-edik oszlopa szerint kifejtve: D j = b 1 A 1j + b 2 A 2j + + b n A nj Tehát 1 D D j = x j ALKALMAZÁSA: gyakorlatban ritkán (nagy műveletigény, elimináció gyorsabb) elméleti alkalmazások ha D 0 és kitalálunk egy megoldást nincs más megoldás Cramer szabály megfordítása: ha pontosan egy megoldás van, akkor a determináns nem nulla Bizonyítás Ha pontosan egy megoldás van, akkor a redukált lépcsős alak bal oldala egy egységmátrix Az egységmátrix determinánsa nem nulla det A sem nulla, mert az elemi ekvivalens átalakítások során a determináns értéke mindig csak szorzódik valamivel (1-gyel, 1-gyel vagy a kiemelt számmal) Kontrapozíció: Tétel Ha A T n n és D = det A = 0, akkor az Ax = b egyenletrendszer vagy nem oldható meg, vagy több megoldása van Tétel Legyen A T n n Az Ax = 0 homogén lineáris egyenletrendszernek akkor és csak akkor van nemtriviális megoldása, ha det A = 0 Bizonyítás A fenti két tétel + mindig van megoldás: a triviális megoldás
Inverzmátrix Gauss-eliminációval 7 A T n n inverzének kiszámítása AX = E mátrixegyenlet megoldása X oszlopai: x 1,, x n E oszlopai: e 1,, e n Tehát x 1 x n A Ax 1 Ax n AX = E Ax 1 = e 1 & & Ax 1 = e 1 Ez n darab egyenletrendszer, az együtthatómátrixok azonosak célszerű párhuzamosan megoldani az egyenletrendszereket: Az A mátrix mellé leírjuk az egységmátrixok A-nak akkor és csak akkor létezik inverze, ha A E-ből Jordan-eliminációval E B alakú mátrixhoz jutunk, és ekkor A 1 = B Ellenőrző kérdések 1 Adjon össze két konkrét vektor ill mátrixot! 2 Szorozzon össze két konkrét vektort ill mátrixot! 3 Írjon fel két olyan vektort ill mátrixot, amelyek em szorozhatóak össze! 4 Mikor van inverze egy mátrixnak? 5 Mondja ki a Cramer-szabályt, és oldjon meg egy 3 3-as egyenletrendszert Cramer-szabállyal!! 6 Írjon fel egy olyan egyenletrendszert, amire nem alkalmazható a Cramer-szabály! 7 Határozza meg egy 3 3-as mátrix inverzét eliminációval ill aldeterminánsokkal!