Dr. Cvetityanin Lívia Változó töegű test inaikája Bevezetés Az iőben változó paraéteres rezgésék eghatározásával sok tuós foglalkozott lás pl. Meshchersky Bessonov Cveticanin 34. A változó paraéteres rezgésék ifferenciális egyenlet egolása leginkább a változatlan paraéteres rezgésen alapszik. Ha a lineáris változatlan paraéteres rezgésnél pontos analitikai egolás felírható és ha a paraéter változás lassú akkor az iőben változó paraéteres rezgések ifferenciális egyenlet egolása szinte ne tér el a pontos rezgéstől. Ez a tézis felhasználható a nelineáris rezgéseknél is. Az iőben változó paraéteres rezgések egyenlete x x x f x x ahol Q {/n : Zn Zn } Z egész szá ωτ iőben változó paraéter τ=εt lassú iő ε kis paraéter εf nelineáris függvény. A nelineáris tag lehet egész vagy ne egész fokú. A egfelelő változatlan paraéteres egyenlet ε= x x x ahol ω₀² ω²=const. A kező értékek x=x x. 3 A bevezető rész után a cikk ásoik részében a egyenlet pontos egolása van egava. A változó paraéteres egyenlet egolásával foglalkozik a haraik rész. A egolás int Ateb függvény van bevezetve ahol a rezgés aplitúó és a perióus iőben változnak. A negyeik részben egy változó töegű test rezgése kerül ki- Dr. Cvetityanin Lívia egyetei renes tanár Újviéki Egyete Műszaki Tuoányok Kara Újviék 4
vizsgálásra. Az új analitikai egolás a nuerikai egolással került összehasonlításra. Az ötöik részben két nuerikus péla lett egolva. Analitikai pontos egolás Aint Cveticanin és Pogány 5 unkájában kiutatásra került a ifferenciális egyenlet pontos egolása / x t x ca x t t 4 vagyis / x t x sa x t 5 ahol sa és ca a sinus és cosinus Ateb függvények 6. Az Ateb függvények a Bpq Beta speciális függvény inverz értéke. A sinus an cosinus Ateb függvények a következő két ifferenciális egyenlet egolása lás Senik 7 v u u v 6 vagyis v s sa s u s ca s 7 ahol : B. 8 A következő felírható: sa s ca s sa s 9 sa s sa s ahol saαs páros Π függvény s. Azon kívül sa²αs+ca + αs= ahol a caαs cosinus Ateb Π -páros függvény: 4
Mivel ca s sa s ca s. ca s ca s ca s sa s s a 4 függvény a következő forába felírható sa s ca s s / / x x sa x t 3 ahol a axiu x ax x. 4 Megolás Ateb függvény használatával Felhasználva a 4 és az ifferenciális egyenlet próba egolása és ahol x=at caαψt 4 / x A t sa t 5 t A t / t és A At ψ ψt θ θt an ω ωτ. Meghatározva a 4 elsö kivonatát 43
x A t A t t sa t és hasonlítva a 5 látható hogy egyforák ha / sa t A t ca t A ca - A sa. 6 Behelyettesítve x és x függvényeket az egyenletbe következik / A fa A sa ca. 7 Kisebb transzforációk után a következő két ifferenciális egyenletet kapta A / A fsa A A / fca. 89 A 8 és 9 egyenletek egfelelnek a ásorenű ifferenciális egyenletnek ahol az új változók A és θ. Megolani ezeket a ifferenciális egyenleteket ne is könnyű. Mivel ca és sa T-perioikus függvények ft+t=ft és T f ' s f s s ahol fs=caαs és T=Π. Felhasználva az elöbbi egyenletet következik: A A / fsa 44
és A A ahol lás Drogoirecka 8 és sa n ca pq B p n / q fca p n q r p q : r Z l k k N. l q 4. Rezgés aplitúó és a fázis száítása Test elynek töege változik és a reaktív erő hat rezgésének egyenlete α- τ τ x kx x -ε x τ ahol τ iőben változó töeg és x a reaktív erő ely a töeg változását okozza. Az egyenlet felírható int x x x x ahol ω²τ=k/τ. Felhasználva a 8 és 9 egyenleteket a egyenlet új forája A εa τ - sa² α τ τ εa τ Aθ - sa ca. τ τ 3 Száítás után a ifferenciális egyenletek 45
46. ca sa 3 B sa² τ εa - Aθ τ εa α - τ εa α - A 45 A 5 egyenlet egolása θ=θ=const. A 4 ifferenciális egyenlet egossza a változókat P A A 6 ahol a P constans. 3 3 B B P 7 Behelyettesítve a kező értékeket x=x₀ és =₀ a 6 ifferenciális egyenlet egolása. 3 α x A 8 A rezgés aplitúó növekszik a töeg peig csökken; és forítva. A rezgés aplitúó változik a nelineáris tag változásával: a lineáris rezgő testnél az aplitúó változása x₀₀/ /4 az ereényt felutatta Bessonov is a nagyobb fokú nelinearitásnál α az aplitúó constans vagyis A x₀. A axiális rezgés sebessége 3 / ax x x A 9 illetve
3 x ax A vax 3 ahol v ax a constans töeg rezgés sebessége. A axiális rezgés sebesség növekszik ha a töeg iővel csökken illetve forítva. A rezgés sebessége függ a nelinearitás fokától is: a lineáris rezgésnél v ax ₀/ 3/4 és ha α a rezgés sebessége v ax ₀/¹. A Duffing-típusú rezgésnél felhasználva 8 és 9 egyenleteket az aplitúó és axiális rezgés sebessége / 6 5 / 6 x ax A vax. 3 Végül két nuerikus péla van egolva. Pélák. A Duffing-típúsú változó töegű test nelineáris rezgése t x x 3 3 ahol a kező értékek x=x₀= és x= és a töeg változása =+.t. Runge-Kutta ószerrel eghatározzuk a nuerikus értékeket és az x-t és x t függvényt felrajzoljuk. ábra. Az analitikai egolás Ateb függvény és az aplitúó és a sebesség függvénye 3 A. t.83333 x Aax. t. 33.6667 Az.a ábrán a nuerikailag eghatározott x-t és analitikailag kiszáított A-t illetve a nuerikus x t és analitikus x ax A t függvények vannak felrajzolva.b ábra. Az aplitúó és axiális sebesség görbék 33 egfelelnek a nuerikus egolásnak. Az eltérés iniális. 47
. ábra Duffing-típusú töeg változó test rezgése: a x-t vékony vonal és A-t vastag vonal; b x t vékony vonal és x Aax -t vastag vonal.. Felírjuk a ásofokú változó töeg rezgését =+.t² t / x x x 34 ahol a kező értékek x=x₀= és x. Runge-Kutta ószer a nuerikus x-t és x t ereényt felutassa. Analitikus ószerrel eghatározott aplitúó 8 és axiális rezgés sebesség 9: / 9 7 / 9 A. t x Aax. t. 35 5. ábra 48
Másofokú változó töeg rezgése: a x-t vékony vonal és A-t vastag vonal; b x t vékony vonal és x Aax -t vastag vonal A.a ábrán a nuerikus x-t és analitikus A-t illetve a.b ábra a nuerikus x t és x A ax t görbéket ábrázolja. Az analitikai és a nuerikai értékek összhangban vannak. Összegzés A közleény egy új ószert utat be a változó töegű test rezgésének vizsgálatára. A rezgést a töegváltozásból ereő erők és a különböző nelineáris erők okozzák. A rezgés ateatikai oellje nelineáris iőben változó paraéteres ásorenű ifferenciális egyenlet. A nelineáris tag lehet egész e ne egészfokú is. A ószer a konstans paraéterű renszer pontos vagy approxiatív egolásán alapszik. A egolás Ateb függvény alakú. A egolás a pontos rezgési perióust legnagyobb rezgés aplitúót és rezgés sebességét közelíti eg. Az eigi tanulányokban a sebesség ne volt száításba véve az approxiatív egolásnál és sokszor eltért a pontos nagyságtól. Az itt beutatott egolás egy perturbált változata az állanó változatlan paraéterű egyenlet egolásának ahol a rezgés aplitúó rezgés frekvencia és a fázis iőben változó függvények. A ószer különböző típusú rezgő test ozgásának eghatározására alkalazható. Az analitikus ószerrel eghatározott ereények a nuerikaival vannak öszszehasonlítva. A jól isert Runge-Kutta ószert használta a nuerikus ereények eghatározására. Az analitikus ószerrel kiszáított ereények ne térnek el a nuerikus ószerrel száított aatoktól. 49
Felhasznált iroalo:. Meshcherskij I.V. Rabotji po ehanike tel pereennoj assji. Gos.Iz. tehniko-teoret.lit Moscow 95.. Bessonov A.P. Osnovji inaiki ehanizov s pereennoj assoj zvenjev. Nauka Moscow 967. 3. Cveticanin L. Dynaics of achines with variable ass. Goran an Breach Science Publishers Lonon 998. 4. Cveticanin L. Oscillator with non-integer orer nonlinearity an tie variable paraeters. Acta Mechanica 3 7:47-49. 5. Cveticanin L. Pogány T. Oscillator with a su of non-integer orer non-linearities. Journal of Applie Matheatics vol. art. no. 6495 pages. 6. Rosenberg R. The Atebh-functions an their properties. Quarterly of Applie Matheatics :37-47 963. 7. Senik P.M. Inversion of the incoplete Beta function. Ukrainian Matheatical Journal :7--78 969. 8. Drogoirecka H.T. Integrating a special Ateb-function. Visnik Lvivskogo Universitetu. Serija ehaniko--ateatichna 46:8-- 997. in Ukrainian. Vibration of the ass variable boy Resue In this paper a new etho for solving of the vibrations of the ass variable boy is presente. The vibrations are cause by the reactive an nonlinear forces. The atheatical oel of the syste is a secon orer ifferential equation with tie variable paraeters. The nonlinearity of the syste ay be of integer but noninteger orer too. The suggeste etho is base on the solution of the corresponing ifferential equation with constant paraeters. The solution is assue in the for of an Ateb function. The approxiate analytic solution has the tie variable aplitue phase an frequency. The solving proceure is applie for eterination of the vibrations of a ass variable boy. Two nuerical exaples are solve: one with the nonlinearity of cubic type an linear ass variation an the secon with the nonlinearity of noninteger orer an quaratic ass variation. The obtaine approxiate solutions are copare with nuerical ones. The goo agreeent between the solutions is evient. 43