A szinusztétel és koszinusztétel lklmzás Összetettebb feldtok 055..,7 m háom kö közötti síkidom teülete. Kössük össze köök középpontjit, így kpunk egy háomszöget. Legyen m, b m, 5 m. Számítsuk ki koszinusztétellel például e háomszög zon szögét, melynek z 5 m sugú kö középpontj sús. Kpjuk, hogy á 7,. éldául szinusztétellel számíthtjuk z szöget.. 50,. b $ $ sin Ebbôl kpjuk, hogy b á 5,5. Számítsuk ki háomszög teületét! t, ebbôl t. 7,8 m. Most számítsuk ki z egyes köikkek teületét, mjd vonjuk ki ezeket háomszög teületébôl és megkpjuk keesett síkidom teületét. t. 7,99 m ; t b.,05 m ; t.,0 m. Így t idom.,7 m. 05. egység; egység;. 8 egység háomszög oldlink hossz,. 0, ;. 0,8 háomszög ismeetlen szögei. Oldjuk meg feldtbn megdott egyenletendszet! Ekko kpjuk, hogy ; b, illetve fodítv. Íjuk fel oldl koszinusztételt! Ebbôl kpjuk, hogy: á 8. Íjunk fel egy szinusztételt z és oldl! 057. á 09 m; á m háomszög ismeetlen oldlink hossz;. 79, ;., háomszög ismeetlen szögei. Legyen 0 és,99. A háomszög tigonometikus teületképletébôl: () $ b á 9. Íjuk fel oldl koszinusztételt! () 0 + b - - $ $ b $ os,99. H felhsználjuk z elôzô egyenletet, kko zt kpjuk, hogy: () + b á á 5 0. Oldjuk meg z () és () egyenletekbôl álló egyenletendszet! H egy kisit vszbbk vgyunk, kko megkönnyíthetjük megoldást, h észevesszük, hogy: ( + b) - $ $ b á á 5 0. Ebbôl ( + b) á 8 900, s így () + b. 70. Az () és () egyenletekbôl álló egyenletendszet má egy kisit könnyebb megoldni. (Kihsználtuk, hogy háomszög oldli pozitív számok.) Kpjuk, hogy. 09; b., illetve fodítv. Alklmzzuk szinusztételt b és oldlk! Ebbôl kpjuk, hogy b.,, ebbôl pedig. 79,, illetve fodítv. 058.. m;. 7 m háomszög ismeetlen oldli,. 7,7 ;. 5,75 háomszög ismeetlen szögei. Legyen 5 és 00,98. Ekko feltétel szeint () + b 9. Íjuk fel koszinusztételt oldl! () 5 + b - $ $ b $ os 00,98. Felhsználv ()-et, ebbôl zt kpjuk, hogy () $ b á 8. Oldjuk meg z () és () egyenletbôl álló egyenletendszet! Kisit könnyebb megoldás, h észevesszük, hogy ( + b) - $ $ b á 9, zz ( + b) á, vgyis () + b. 9. Oldjuk meg inkább () és () egyenletbôl álló egyenletendszet! Kpjuk, hogy. ; b. 7, illetve fodítv. Íjunk fel egy szinusztételt z és oldl! Ebbôl kpjuk, hogy á 5,75, ebbôl pedig b á 7,7, illetve fodítv. 00. 0. 059.. 5,9 dm;.,7 dm;, dm háomszög oldlink hossz. Az $ R $ sin képlet lpján számíthtjuk étékét.. 5,9 dm. A háomszög tigonometikus teületképletébôl kpjuk, hogy () b $ á,85. Íjuk fel koszinusztételt z oldl! Kpjuk, hogy (),7 á b + - - b $ $ 0,9 8. Hsználjuk fel z () egyenletet, kpjuk, hogy () b + á 5,. Oldjuk meg z () és () egyenletbôl álló egyenletendszet! Kpjuk, hogy b.,7;.,, illetve fodítv. 00. MN x. 5, m teeppontok távolság. Számítsuk ki z szöget: 50, mjd ebbôl { szöget: {. Alklmzzuk szinusztételt z ABN háomszöge! Ebbôl kpjuk, hogy á 5,8 m. Alklmzzuk most koszinusztételt z MNA háomszöge! Kpjuk, hogy x. 5, m. 0. x. 9,7 m z épület mgsság, {. 8 l lejtô hjlásszöge. Számítsuk ki z AB háomszög A-nál levô szögét! Mjd íjuk fel szinusztételt z AB háomszöge! Ebbôl kphtjuk, hogy y. 58, m. Mjd lklmzzuk koszinuszté-
Összetettebb feldtok telt QA háomszöge! Ebbôl kpjuk, hogy x. 9,7 m. Számítsuk ki szöget, például úgy, hogy szinusztételt íunk fel QA háomszögben. Kpjuk, hogy. 5 9l. Ebbôl és 9 0les szög segítségével kphtjuk lejtô hjlásszögét: {. 8 l. 0.. 0,7 m;. 5,7 m háomszög ismeetlen oldli,. 0, ;. 8,5 háomszög ismeetlen szögei. Legyen 8 m és s 0 m,,8. Az s súlyvonl két észe vágj szöget. Legyen zon észe -nk, mely b oldl felé esik. Szinusztétellel kiszámíthtjuk sin ezt szöget.. Jelöljük {-vel zt szöget, mely z AFC háomszögben z F-nél sin, 8 s vn, hol F z AB oldl felezôpontj. Ekko {-t könnyen kiszámíthtjuk: {.,5. Íjuk fel koszinusztételt z AFC háomszögben z AC b oldl! Kpjuk, hogy b. 5,7 m. Íjuk fel most koszinusztételt BFC háomszögben BC oldl! Kpjuk, hogy. 0,7 m. Íjuk fel szinusztételt z ABC háomszögben z és oldlk! Ebbôl kpjuk, hogy. 8,5, ebbôl pedig b. 0,. 0..,09 m;. 9, m háomszög ismeetlen oldli;. 9,9 ;. 88, háomszög ismeetlen szögei. Legyen 8 m,,, s 0 m. Jelöljük {-vel BFC háomszögben F-nél levô szöget, hol F z AB oldl felezôpontj. Ekko z AFC háomszögben 80 - { szög vn z F súsnál. Íjuk fel koszinusztételt BFC háomszögben BC oldl, mjd z AFC háomszögben z AC b oldl! Hsználjuk fel, hogy os(80 - {) -os {. Mjd djuk össze két egyenletet! Kpjuk, hogy + b $ s +, h behelyettesítjük z ismet dtokt, kko kpjuk, hogy () + b. A következôkben íjuk fel koszinusztételt z ABC háomszögben oldl és helyettesítsük be ide z ismet dtokt, mjd hsználjuk fel z () egyenletet, és zt kphtjuk, hogy () $ b.. Oldjuk meg z () és () egyenletbôl álló egyenletendszet! Kisit könnyebb megoldás, h észevesszük, hogy ( + b) - $ $ b és felhsználv ()-t: () + b á,5. Így elég megoldni z () és () egyenletbôl álló egyenletendszet. Azt kpjuk, hogy.,09; b. 9,, illetve fodítv. Íjuk fel szinusztételt z ABC háomszögben b és oldl! Ebbôl kpjuk, hogy b. 9,9, ebbôl pedig. 88,, illetve fodítv. 0..,8 m;.,5 m háomszög ismeetlen oldli;. 8,0 ;.,58 háomszög ismeetlen szögei. Legyen m, 75,8, s 9,5 m. Az elôzô feldt megoldásához hsonlón kphtjuk, hogy + b $ s +. Ebbôl pedig () + b 08,5. Íjuk fel koszinusztételt z eedeti háomszögben oldl, h ide behelyettesítjük z dtokt, kko kphtjuk, hogy () $ b á 0. Oldjuk meg z () és () egyenletbôl álló egyenletendszet! Vgy z elôzô útmuttásbn szeeplô fogássl konstuálunk egyszeûbb egyenletendszet és zt oldjuk meg. Aká így, ká úgy sináljuk, zt kpjuk, hogy.,8 m; b.,5 m, illetve fodítv. Íjuk fel szinusztételt z eedeti háomszögben b és oldl! Kpjuk, hogy b..,58, ebbôl pedig. 8,0, illetve fodítv. 05. $ egység., egység háomszög hmdik oldlánk hossz, 0 ;.,9 ;., háomszög szögei. Legyen AC b, AB, AE s. Legyen CE x és x ekko BE - x. Alklmzzuk szögfelezôtételt!, ebbôl x, s így - x x. - x Alklmzzuk koszinusztételt z AEC háomszöge, mjd z ABE háomszöge! x + - -$ $ $ os, x _ i + - $ $ $ os. Oldjuk meg z egyenletendszet! x és os.,9, ebbôl á,.. Ebbôl 0, és $. Szinusztétellel számíthtjuk b szöget. b.
A szinusztétel és koszinusztétel lklmzás 0..,0 ;. 5,9 ;. 9,0 háomszög szögei,.,97 m háomszög ismeetlen oldl. Legyen, b, f 0. A szögfelezô x, illetve - x hosszúságú szkszok osztj fel oldlt. Legyen z x szksz z oldl mellett és így - x szksz b oldl mellett. Alklmzzuk szögfelezôtételt! Kpjuk, hogy. Íjunk fel két koszinusztételt két ész- - x x háomszöge! Kpjuk, hogy x f + - $ f$ $ os és ( x) f b - + - $ f $ b $ os. Osszuk el két egyenletet egymássl és lklmzzuk szögfelezôtételbôl kpott összefüggést, J N 0 + - $ 0 $ $ os ezenkívül helyettesítsük be z dtokt! Ekko K O. Ebbôl L 0 + - $ 0 $ $ os os. 0, 9, s így. 9,0. Alklmzzuk most koszinusztételt z eedeti háomszögben oldl! Ebbôl kpjuk, hogy.,97 m. Alklmzzuk most szinusztételt z eedeti háomszögben z és oldl! Ebbôl kpjuk, hogy.,0, és ebbôl pedig b. 5,9. os osb os 07. Alkítsuk át feltételi egyenletet következô lkú: + $. A továbbikbn pedig lklmzzuk z $ R $ sin összefüggést mindháom oldl! Ebbôl sin sinb sin os osb os kpjuk, hogy + $. Alklmzzuk most koszinusztételt mindegyik oldl! A háom felít koszinusztétel mindegyikébôl fejezzük ki szög koszinuszát és helyettesítsük b be z elôzô egyenletbe! Átlkítások után könnyen kphtjuk bizonyítndó egyenlôséget. 08. b + 5 $ összefüggés vn z oldlk között. Alklmzzuk kotngens definíióját, sin sin mjd feltételi egyenletet hozzuk következô lkú: $ os os b$ + os $. sinb sin Alklmzzuk itt szinusztételt mjd koszinusztételt háomszo. b + - + -b b $ $ + + - $. Ezt pedig ddig lkítsuk, míg zt nem b b b kpjuk, hogy b + 5 $. 09. Alklmzzuk szinusztételt és sin x $ sin x $ os x zonosságot! Kpjuk, hogy sin sinb $ sinb$ osb $ osb. Ebbôl () osb. Alklmzzuk most b sinb sinb sinb b koszinusztételt b oldl és hsználjuk fel még z () összefüggést! b + - $. b Ebbôl kpjuk, hogy b $ (b - ) $ (b + ) $ (b - ).. eset: h b - Y 0, kko lehet osztni vele, s így b $ (b + ), ebbôl pedig - b b.. eset: h b - 0, ekko b, ebbôl következik, hogy b. Felhsználv, hogy $ b, kpjuk, hogy b 5 és 90. Alklmzzuk itgosz tételét e deékszögû háomszöge: b +, ebbôl - b, de mivel. esetben b, ezét - b b, tehát. esetben is igz z állítás. 070. A feltételi egyenlet bl oldlán lklmzzuk kétsze szinusztételt, kpjuk, hogy: b + $ sin! Alklmzzuk most koszinusztételt z oldl és fejezzük ki szög koszinuszát! os + -. Hsználjuk fel, hogy sin + os! Helyettesítsük be ide z b b b
Nehezebb feldtok 5 J b + N J b + - N elôzôkben kpott képletekbôl szögfüggvényeket! K O + K O! Alkítsuk K b O K b O L L át ezt z egyenletet következô lkú: b ` - j + `b + - j 0! Ebbôl következik, hogy b, vgyis háomszög egyenlô száú. Ezenkívül még z következik, hogy b +, ebbôl pedig következik, hogy háomszög deékszögû is. Miét? Tehát háomszög egyenlô száú és deékszögû. Nehezebb feldtok 07. : b : 5 : 8 : háomszög oldlink z ány. A feltételekbôl kpjuk, hogy tg sin osb, ebbôl $. Alklmzzuk szinusztételt, mjd kétsze koszinusztételt, melyekbôl fejezzük ki szögek koszinuszit! A behelyettesítés után: tg b os sinb + b - $. Ezen egyenletet kissé átlkítv, kpjuk, hogy () $ - $ b + 0. b b + - b tgb sinb os A feltételbôl kpjuk, hogy, ebbôl $. Alklmzv szinusztételt és tg osb osb + b - b kétsze koszinusztételt, kphtjuk, hogy $ b, ebbôl kphtjuk, hogy () + -b + 5 $ b - 5 $ 0. Vizsgáljuk meg z () és () egyenletbôl álló egyenletendszet! éldául 5 fejezzük ki ()-bôl -et és ezt helyettesítsük be ()-be! Ebbôl zt kpjuk, hogy, s így b 8 5. Másészt -et innen kifejezve és behelyettesítve kifejezésébe és ezt átlkítv b 8 b 8 b 8 kpjuk, hogy, ebbôl. 9 07. 07. R $ egység kö sug. Q $ R $ sin és 5 N $ R $ sin, ebbôl következik, hogy Q N x, vgy hsználjuk ki keületi szögek tételét. Alklmzzuk koszinusztételt z MN háomszöge, mjd z MQ háomszöge, mindkettôben z x oldl! Az egyenletendszebôl kphtjuk, hogy os és x. Az x $ R$ sin-ból következik, hogy R $. 5
A szinusztétel és koszinusztétel lklmzás 07/I. 07/II. 07/III. 07. R $ egység kö sug. Hsonlón oldhtjuk meg, mint z elôzô feldtot. 55 sin x sin y b 07. Alklmzzuk kétsze szinusztételt: () és (). Ezekbôl sin f sin f b $ b $ sin x$ sin y $ sin$ sin. Átlkítv sin x$ sin y $ _ os$ os- os( + ) i. Alklmzv kétsze koszinusztételt, kpjuk, hogy: os + - f f d f b f és os + -. $ d $ $ b $ Ezeket behelyettesítve z elôzô egyenletbe, kpjuk, hogy: b $ J + d - f b + -f N (*) sin x$ sin y $ K $ os( ) - + O. Másészt sin f K $ d $ $ b $ O x$ sin y L os x$ os y- os( x+ y). Háomszo lklmzv koszinusztételt, kpjuk, hogy: f d os x + - f b ; os y + - d e ; os( x+ y) + -. Ezeket beív z elôzô egyenletbe, kpjuk, hogy: (**) sin x$ sin y + - $ + - - + -. $ f $ d $ f $ $ $ d f d f b d e $ f $ d $ f $ $ $ d f + d - f + -b + d - e A (*) és (**) egyenletbôl kpjuk, hogy: $ - $ f $ d $ f $ $ $ d b $ J + d - f b + -f N $ K $ os( ) - + O. A továbbikbn ddig fsjuk z egyenletet, míg ki nem jön belôle Betshneide tétele: e $ f $ + b $ d - $ $ b $ $ d $ os( + ). f K $ d $ $ b $ O L 075. Alklmzzuk Betshneide tételét: e $ f $ + b $ d - $ $ b $ $ d $ os( + ). Mivel - # os( + )#, ezét $ $ b $ $ d $ $ $ b $ $ d $ os( + ) $ $ $ b $ $ d. Ezt felhsználv kpjuk, hogy e $ f # $ + b $ d + $ $ b $ $ d, zz e $ f # ( $ + b $ d ), ebbôl pedig következik, hogy e $ f # $ + b $ d, ezzel igzoltuk z áltlánosított tolemiosz-tételt. Itt egyenlôség kko és sk kko vn, h os( + ), zz h + 80, vgyis h négyszög húnégyszög. H vn kedvünk, kko könnyen igzolhtjuk zt is, z elôzôeket figyelembe véve, hogy e $ f $u $ - b $ du. Keessünk más bizonyítást is z áltlánosított tolemiosz-tétele!
Szinusztételt, illetve koszinusztételt nem igénylô (igénylô) könnyû feldtok 7 Néhány könnyû teületszámítási feldt Szinusztételt, illetve koszinusztételt nem igénylô könnyû feldtok 07.. 8,8 m háomszög teülete. 077.. eset:., -os;. eset:., -os szöget zánk be z dott oldlk. 078.. 8, m z dott szög melletti ismeetlen oldl hossz. 079..,7 m ombusz teülete. 080.., m plelogmm teülete. 08.. 0,5 m plelogmm teülete. 08. Vegyük figyelembe, hogy z átlók négy egyenlô teületû háomszöge vágják plelogmmát! Miét? Másészt tudjuk, hogy sin(80 - {) sin {. Alklmzzuk háomszög tigonometikus teületképletét! 08. A konvex négyszög f átlój x és e - x hosszúságú szkszok osztj z e átlót, míg z e átló y és f - y hosszúságú szkszok osztj z f átlót. Legyen { z átlók hjlásszöge. A négy észháomszög teületének összege megegyezik négyszög teületével. t + x$ y$ sin( 80 - {) x$ ( f- y) $ sin{ ( f y) $ ( e x) $ sin( 80 ) y$ ( e x) $ sin + + - - - { - { +.Vegyük figyelembe, hogy e$ f $ sin{ sin(80 - {) sin {, mjd lkítsuk képletet és hmosn megkpjuk, hogy t. 08.. 9,8 m;.,8 m;. 5,97 m háomszög oldli. Az - b egyenletbôl és háomszög tigonometikus teületképletée felít egyenletbôl álló egyenletendszet oldjuk meg. Ez másodfokú egyenlete vezet, melyet könnyen megoldhtunk. Kpjuk, hogy b.,8. Ebbôl. 9,8. Íjuk fel koszinusztételt oldl! Ebbôl. 5,97. 085. t. 8,0 m háomszög teülete. t t, t $ t, t $ t, 085. így t $ t. Miét? 08..,59 m háomszög teülete. Számítsuk ki megfelelô középponti szögeket, mjd z egyes középponti szögekhez ttozó észháomszögek teületét, melyeket összedv kpjuk háomszög teületét. 087. A köülít kö középpontját kössük össze háomszög súspontjivl! Így háom észháomszöget kpunk. Alklmzzuk középponti és keületi szögek tételét, melybôl kpjuk, hogy észháomszögeknek z szöge, mely kö középpontjánál vn, megegyezik z eedeti háomszög megfelelô szögének kétszeesével. Íjuk fel észháomszögek teületeit tigonometikus teületképlettel, mjd ezeket összedv megkpjuk háomszög teületée bizonyítndó összefüggést. Háom esetet különböztessünk meg: hegyesszögû, deékszögû és tompszögû háomszög esetét. Szinusztételt, illetve koszinusztételt igénylô könnyû feldtok 088.. 0, m háomszög teülete. Hsználjuk szinusztételt és háomszög tigonometikus teületképletét! 089. m; m;.,8 m háomszög oldli, 0 ;.,8 ;. 08,9 háomszög szögei. b $ $ sin $ m Legyen x, b x, ekko t és t, hol m 8 m. Másészt $ R $ sin,
8 Néhány könnyû teületszámítási feldt hol R m. Ezekbôl meghtáozhtjuk, hogy x m. Ebbôl pedig m és b m. Az $ R $ sin -ból kpjuk, hogy 0. Ugynilyen módon kpjuk, hogy b,8. Ezekbôl következik, hogy 08,9. A étékét $ R $ sin egyenletbôl kphtjuk:.,8 m. 090.. 8,7 m;. 7,8 m;. m háomszög oldli. hektá 0 000 m. b $ $ sin b sinb $ sin$ sinb t, és szinusztétel:, ezekbôl: t. Innen megkphtjuk, sin $ sin hogy.. Az és oldl felít szinusztételbôl:. 8,7. A b és oldl felít szinusztételbôl: b. 7,8. 09. Az elôzô feldt megoldásához vló útmuttásábn lényegében levezettük e feldt képletét. b $ $ sin 09. t és $ R $ sin, b $ R $ sin b, ezekbôl kphtjuk bizonyítndó képletet. b $ $ sin 09. t és $ R $ sin, ezekbôl kphtjuk bizonyítndó képletet. 09. m; 8 m;.,9 m háomszög oldli. Egyészt + b feltétel szeint, másészt háomszög tigonometikus teületképletébôl kphtjuk, hogy $ b. Oldjuk meg z egyenletendszet, zt kpjuk, hogy és b 8, illetve fodítv. Íjuk fel koszinusztételt oldl! Ebbôl kpjuk, hogy.,9 m. 095.. 9 m négyszög teülete. Húzzuk be négyszög zon átlóját, mely 5 m-es és 8 m-es oldlk közös súspontjából indul ki. Ekko nnk háomszögnek könnyen kiszámíthtjuk teületét, melynek m-es és 5 m-es oldli vnnk és ismet ezek hjlásszöge is. Ezután számítsuk ki koszinusztétellel z elôbb meghúzott átló hosszát! Ekko másik észháomszöge felív koszinusztételt, megkphtjuk 5 m-es és 8 m-es oldlk közötti szöget. Ennek segítségével kiszámíthtjuk ezen észháomszög teületét is. Adjuk össze észháomszögek teületeit és megkpjuk négyszög teületét. 09..,05 m;. 5,08 m;., m, háomszög oldli. Legyen x, b 5x, b $ $ sin,7. A t képletbôl kiszámíthtjuk x-et. x. 7,0. Ebbôl.,05; b. 5,08 m. Íjuk fel koszinusztételt oldl! Ebbôl kpjuk, hogy., m. 097.. eset:.,5 ;. 8, ;.,0 háomszög szögei,., m hmdik oldl. A háomszög tigonometikus teületképletébôl kiszámíthtjuk, hogy.,0. Íjuk fel koszinusztételt oldl! Ebbôl kpjuk, hogy.,. Alklmzzuk szinusztételt z oldl és oldl! Ebbôl kpjuk, hogy.,5, ebbôl pedig: b. 8,.. eset:. ;. 7, m;.,8 ; b.,. 098..,8 dm; á 9,87 dm háomszög ismeetlen oldli;., ;., háomszög ismeetlen szögei. Legyen 8,7 dm, b,5, t 58 dm. A b szöge felít teületképletbôl kpjuk, hogy. 9,87 dm. Alklmzzuk koszinusztételt b oldl! Ebbôl kpjuk, hogy b.,5 dm. Alklmzzuk szinusztételt z és b oldlk! Ebbôl kpjuk, hogy., és ebbôl pedig, felhsználv másik ismet szöget is, kpjuk, hogy.,. 099.. m;. 5 m;. 5, m háomszög ismeetlen oldli,. 7, ;. 70,97 háomszög ismeetlen szögei. + b 88 feltételbôl, míg háomszög tigonometikus b $ $ sin7, 8 teületképletébôl kphtjuk, hogy 90. Oldjuk meg z egyenletendszet! Azt kpjuk, hogy. ; b. 5, illetve fodítv. Íjuk fel koszinusztételt oldl! Ebbôl kpjuk, hogy. 5, m. Alklmzzuk szinusztételt z és oldl! Ebbôl kpjuk, hogy. 7, és ezután könnyen kphtjuk, hogy b. 70,97, illetve fodítv. 00.. dm;. dm háomszög ismeetlen oldli. Egyészt () + b, másészt háomszög teületképletébôl kphtjuk, hogy () $ b $ sin, hmdészt koszinusztételt
Alpvetô feldtok 9 felív z ismet oldl: (), + b - $ $ b $ os. Ezen egyenletendszebôl kphtjuk következô egyenletendszet: (I) $ b $ sin á ; (II) $ b $ os á 0,0. H elosztjuk két egyenlet megfelelô oldlit egymássl, kko zt kpjuk, hogy tg á 50, ebbôl. 89,9. H visszhelyettesítjük ezt z (I) egyenletbe, kko kpjuk, hogy: (III) $ b á. Oldjuk meg z (I) és (III) egyenletbôl álló egyenletendszet! Kpjuk, hogy., b., illetve fodítv. Összegzési tételek lklmzás Bevezetô lpfeldtok 0. ) sin ; b) - os ; ) sin ; d) - os ; e) - sin ; f) sin ; g) - os ; h) os. 0. ) - sin ; b) - os ; ) sin ; d) - sin. 0. ) os ; b) sin ; ) - os ; d) - sin. 0. ) os ; b) - sin ; ) - os ; d) sin. 05. ) ; b) ; ) ; d). 0. ) ; b) 0; ) - ; d). 07. ) -tg; b) tg; ) tg; d) -tg; 08. ) Alklmzzuk sin( + b)- vló összegzési képletet, h b x. b) Alklmzzuk os ( + b)- vló összegzési képletet, h b x. 09. Alklmzzuk z elôzô feldtbn bizonyított képleteket x helyett x -e! Alpvetô feldtok 0. ) $ os; b) $ os; ) os; d) os. + tg - tg. ) ; b). - tg + tg. ) ; b) 0.. Alklmzzuk bizonyítndó zonosságok bl oldli tnult összegzési (ddíiós) tételeket!. Az elôzô feldt zonosságibn végezzük el z x + y x- y és b helyettesítést! Ekko + b x és - b y. Így z ottni ), b), ), d) zonosságokból ende következnek z itteni ), b), ), d) zonosságok. 5. A bizonyítndó zonosságok bl oldli lklmzzuk megfelelô összegzési tételeket, és hsználjuk fel, hogy sin x + os x minden vlós x-e teljesül. 9. tg ( + b). Alklmzzuk tngensnél tnult megfelelô összegzési tételt! 8 7. ) tg ( + b) ; b) tg ( - b) 7. Alklmzzuk megfelelô összegzési tételeket! 8. ) os x; b) ; ) ; d) os x; e) os x; f).
0 Összegzési tételek lklmzás 9. ) Helyettesítsük be os x megfelelô képletét, mjd endezzük nullá z egyenlôtlenséget, os x-et lkítsuk át sin x segítségével! Ezután lkítsunk ki teljes négyzetet és zt kpjuk, hogy 0 # (sin x - ), ez pedig minden x vlós szám teljesül. b) Hsonlón bizonyíthtjuk, mint z elôzô feldtot, sk itt sin x-et lkítjuk át os x segítségével. Azt kpjuk, hogy 0 # (os x - ). 0. ) sin sin ( + ). Alklmzzuk most megfelelô összegzési tételt, mjd hsználjuk fel sin és os ismet képleteit, másészt zt, hogy sin + os. Kpjuk, hogy sin $ sin - $ sin. b) Hsonló módon oldhtjuk meg. Kpjuk, hogy os $ os - $ os. ) sin 8 $ os $ sin - $ os $ sin. d) os 8 $ os - 8 $ os + - 8 $ sin + 8 $ sin.. ) Végeedmény. Alklmzzuk os elôbb kpott képletét és sin képletét! b) Végeedmény. Alklmzzuk sin elôzôekben kpott képletét és sin képletét!. ) Alklmzzuk tg ( + b)- tnult összegzési képletet b x-e! Másészt vegyük figyelembe második egyenlôségnél, hogy tg x megfelelô ételmezési tto- tg x mánybn. $ tg x b) tg x és vegyük figyelembe z elôzô feldt eedményét! ) -et ddig tgx + tg x lkítjuk tngens definíiójánk felhsználásávl, közös nevezôe hozássl, egyszeûsítéssel, míg sin x-et nem kpunk. Másészt tg x felhsználásávl mutssuk meg, hogy tg x $ tg x $ tg x. d) Addig lkítsuk középsô képletet tngens definíiójánk felhsználásávl, közös nevezôe vló hozássl, egyszeûsítéssel, míg os x-et nem kpunk. Más- + tg x tg x + észt tg x lklmzásávl ddig lkítsuk más módon, mint z elôbb, középsô tg x képletet, míg hmdik képletet meg nem kpjuk. - osx + osx. ) kifejezést lkítsuk, os x képletét felhsználv! b) kifejezést lkítsuk, os x képletét felhsználv! ) Az kifejezést lkítsuk, míg tg x nem - osx sinx - osx sinx lesz. Másészt mutssuk meg, hogy, szoozzunk be itt nevezôkkel! sinx + osx - osx d) tg x és vegyük figyelembe z elôzô feldt állítását! e) Az kifejezést lkítsuk ddig, míg tg x nem lesz. f) tg x és vegyük figyelembe z elôzô feldt állítását! tg x + osx tg x 7 7.. eset: sin ; os ; tg ; tg. 5 5 7 7 7. eset: sin - ; os ; tg - ; tg -. 5 5 7 0 9 0 9 5.. eset: sin ; os ; tg ; tg. 9 9 9 0 0 9 0 9. eset: sin - ; os ; tg - ; tg -. 9 9 9 0
Gykolófeldtok 0 0. sinx ; osx ; tgx ; tgx. 9 9 0 x 7. ) Alklmzzuk sin - tnult képletet -e! b) Alklmzzuk os - tnult képletet -e! ) Alklmzzuk tg - tnult képletet -e! Másészt vegyük x x x figyelembe, hogy tg. d) Vegyük figyelembe, hogy x tg, mjd lklmzzuk tg x tg - os x z elôzô eedményt! e) kifejezésbôl induljunk ki, mjd lklmzzuk z ) és b) feldtok eedményeit! Másészt, itt szoozzunk nevezôkkel! f) Vegyük sin x - os x sin x sin x + os x x - os x figyelembe, hogy tg, mjd lklmzzuk z elôzô feldt eedményét. g) + os x tg kifejezésbôl induljunk ki, mjd lklmzzuk z ) és b) feldtok eedményeit! h) Vegyük x figyelembe, hogy tg, mjd lklmzzuk z elôzô feldt eedményét! tg 8.. eset: sin ; os ; tg ;. eset: sin ; os - ; 5 5 5 5 tg - os - 5.. eset: sin - 5 ; tg. ; os 5 70 59 70 9. sin ; os ; tg. 8 8 59 ; tg - ;. eset: sin - ; 5 Gykolófeldtok 0. A bizonyítndó zonosságok bl oldlib helyettesítsük be megfelelô összegzési tételekbôl kpott képleteket, mjd vegyük figyelembe, hogy sin x + os x. Az e) és z f) feldtoknál jobb oldlon édemes még elvégezni kijelölt szozást. A g) és h) feldtoknál sin x + os x zonosságot esetleg kétsze édemes lklmzni.. Végeedmény:. A bl oldlon lklmzzuk megfelelô összegzési tételeket, végezzük el mûveleteket, mjd két sopotb osztott tgoknál mindkét sopotból végezzünk kiemelést. Mjd hsználjuk fel, hogy sin + os, ezután ugynezt hsználjuk fel mégegysze, de most b- lklmzv.. A bl oldlon lklmzzuk megfelelô összegzési tételeket, mjd végezzük el beszozást. Ezután íjuk be megfelelô nevezetes hegyesszögek pontos étékeit! Mjd lklmzzuk sin + os zonosságot és ezután bizonyítndó állítást kpjuk.. Végeedmény:. Alklmzzuk kifejezése megfelelô összegzési tételeket, mjd végezzük el kijelölt mûveleteket! A kpott kifejezésben levô sin x-et lkítsuk át os x-e, sin x + os x zonosság segítségével. Ezután emeljünk ki os x-et zon tgokból, melyek-
Összegzési tételek lklmzás ben ezenkívül még 0 szögfüggvénye is szeepel. Mjd lklmzzuk sin x + os x zonosságot 0 -, s végül íjuk be megfelelô nevezetes hegyesszög szögfüggvényének étékét és megkpjuk végeedményt.. Végeedmény: -. Alklmzzuk kifejezése megfelelô összegzési tételeket, mjd végezzük el kijelölt mûveleteket. Ezután helyettesítsük be 5 -os nevezetes hegyesszög megfelelô szögfüggvényeinek z étékeit. Az egyszeûsítések után megkpjuk végeedményt. 5. Alklmzzuk megfelelô összegzési tételeket, végezzük el kijelölt mûveleteket és egyszeûsítsünk! ) ; b) 0; ) 0; d) ; e) ; f)0; g) 0; h).. 5, ezét elég igzolni, hogy b + 5. tgb és tg. Alklmzzuk tg (b + )- megfelelô összegzési tételt. Azt kpjuk, hogy tg (b + ), ebbôl pedig következik, hogy b + 5. Keessünk elemi megoldást, mely nem hsznál szögfüggvényt! Édemes megtlálni szép elemi megoldást, met vn ilyen. 7. Végeedmény:. Vegyük észe, hogy + b 5, így tg 5 tg( + b). Alklmzzuk most megfelelô összegzési tételt, szoozzunk nevezôvel, endezzük nullá z egyenletet, mjd djunk mindkét oldlhoz -et. Ezután szozttá lkítv kphtjuk, hogy: ( + tg ) $ ( + tg b). 8. ). b). ) -. d) -. e) -. f). 9. ). b) 0. ). d) 0. 0. ) tg x. b) sin x. ) tg x. d) tg x.. Az ) és b) feldtoknál lklmzzuk kijelölt mûveleteket és z ismet összefüggéseket kétszees szögeke! A ) feldtnál hsználjuk fel z - b ( - b)( + b) zonosságot, melynek segítségével lkítsuk szozttá bl oldlt. A d) feldtnál hsználjuk fel kétsze sin - vontkozó zonosságot!. Alklmzzuk kotngens, illetve tngens definíióját, hozzunk közös nevezôe, lklmzzuk kétszees szögeke ismet képleteket! Illetve hsználjuk sin x + os x zonosságot. 0 9 0 9. sinx ; osx - ; tgx - ; tgx -. 9 9 9 0 0 tg x. sinx. Vázlt: Mutssuk meg, hogy sin x ; os x, + tg x + tg x mjd hsználjuk ezeket fel sin x képletében. Keessünk másik megoldást is! 5. Az osx. Mutssuk meg, hogy os x $ os x - ; os x és ezeket felhsználv kphtjuk z eedményt! tg x +. osx. A másodfokú egyenletet megoldv és két jelölt közül kiválsztv megfelelôt, kpjuk, hogy: tg x. Tekintsük zt deékszögû háomszöget, melynek egyik befo- 5 gój, másik befogój egység, ekko számítsuk ki z átfogó hosszát, illetve z x szög szinuszát és koszinuszát! Mjd lklmzzuk os x képletét!
Gykolófeldtok 5 7.. eset: tg x ;. eset: tg x - 5. Alklmzzuk tg x képletét! Mjd behelyettesítés után kpunk egy másodfokú egyenletet tg x-e. Ezt megoldv kpjuk z 5 eedményeket. - + 8.. eset: sin x! ;. eset: sin x!. Alklmzzuk tngens és kotngens definíióját. Hsználjuk fel, hogy sin x+ os x és sin x képletét. Kpjuk, hogy sinx. Ebbôl számítsuk ki, hogy osx vgy osx -. Hsználjuk fel, osx hogy sin x -. Ebbôl számíthtjuk végeedményeket. x 5 9. tg + - osx. Ismet, hogy tg x, lásd például. e) feldtot! + osx Alklmzzuk ezt x -e és vegyük figyelembe, hogy tg x > 0! Másészt vegyük észe, hogy os x x + os x < 0! Ismet, hogy os. 50. sinx. Egyészt sin x $ sin x $ os x $ sin x $ os x $ (os x - sin x). Osszunk 5 sinx os x -szel, mi nem null, ekko kpjuk, hogy: $ tg x$ `-tg xj. Másészt mutssuk os x meg, hogy + tg x! Ezeket felhsználv, tg x-ekbôl felépített kifejezést kpunk. Keessünk egy második megoldást, mely egy olyn deékszögû háomszögön lpszik, melynek os x z x szöggel szemközti befogój egység, míg másik befogój egység! 5. Szoozzunk -vel, mjd lklmzzuk sinx képletét! 5. Bôvítsük bl oldlt sin 0 -kl és lklmzzuk sinx képletét többszö is. 8$ sin0 $ os0 $ os0 $ os0 $ $ sin0 $ os0 $ os0 $ os0 sin0 sin0 $ sin0 $ os0 $ os0. Folytssuk! A végén hsználjuk fel, hogy sin 80 os (90-80 )! sin0 5. Szoozzuk meg z egyenletet sin -vl, mjd lklmzzuk sin képletét többszö is, mjd z elôzô feldt megoldásához hsonló módon egye övidítsük bl oldlt, egészen ddig míg meg nem kpjuk kívánt eedményt. 5. Végeedmény:. Legyen K kifejezés. Hsználjuk fel sinx képletét többszö is. $ sin $ K Induljunk ki bból, hogy K 5 $ sin 5 $ $ 8 $ $ $ $ sin $ os $ os $ os $ os $ os $ os 5 5 5 5 5 5 5 $ sin 5
Összegzési tételek lklmzás $ $ $ 8 $ $ $ sin $ os $ os $ os $ os $ os 5 5 5 5 5 5 $ sin 5 $ $ 8 $ $ $ sin $ os $ os $ os $ os 5 5 5 5 5. Folytssuk! A végén hsználjuk fel, $ sin 5 $ J N hogy sin sin - sin 5 K 5 O. 5 L sinx 55. Hsználjunk teljes indukiót! n 0-: os x ez pedig igz. Tegyük fel, hogy $ sin x k + sin` $ xj k z állítás igz n k-! Ekko fennáll, hogy os x$ osx$ f $ os` $ xj k +. Szoozzuk ezt os k + k k + $ sin x ` $ xj-szel! Így os x$ osx$ f $ os` $ xj$ os` $ xj k + k + sin` $ xj$ os` $ xj k +. Mutssuk meg, hogy kpott egyenlet jobb oldl éppen: $ sin x k + sin` $ xj k +. H ezt megmuttjuk, kko igzoltuk z állítást n k + -e, s teljes indukió elvének megfelelôen igzoltuk minden nemnegtív n egész szám. 5. Alklmzzuk bl oldl megfelelô összegzési tételt és sin képletét és sin + + os! Kpjuk, hogy : + sin$ os. A jobb oldl szintén lklmzzuk z összegzési tételt és sin + os képletet! Kpjuk, hogy + sin$ os. 57. ) Végeedmény: 0. Alklmzzuk megfelelô összegzési tételeket és sin képletét, ezenkívül sin + os zonosságot! b) Végeedmény: 0. Alklmzzuk megfelelô összegzési tételeket és os képletét! Mjd osszuk el hmdik töt számlálóját is és nevezôjét is os -vl s így lkítsuk át tngenseket ttlmzó kifejezéssé hmdik tötet. Ehhez hsználjuk fel, hogy + tg. Az elsô két tötet hozzuk közös nevezôe! Vegyük észe os hogy z elsô két töt összegébôl kivonv hmdik töt átlkított kifejezését, éppen nullát kpunk. ) Végeedmény: sin. Alklmzzuk megfelelô összegzési tételeket, mjd számlálóbn és nevezôben hozzunk közös nevezôe, mjd egyszeûsítsünk! Mjd mûveletek elvégzése után lklmzzuk tngens definíióját, sin + os zonosságot és sin képletét! 58. ) Végeedmény:. Alklmzzuk megfelelô összegzési képleteket és megfelelô nevezetes hegyesszögek szögfüggvényeinek étékeit helyettesítsük be! Hsználjuk fel sin + + os zonosságot! b) Végeedmény:. Hsonlón jájunk el, mint z elôzô feldtbn.
Gykolófeldtok 5 J x N J 90 + x N 59. ) tg 5 + K tg O K O. Alklmzzuk most következô képletet: L L - osx tg x. Lásd. e) feldtot! Hsználjuk fel, hogy os( 90 + x) - sin x! + osx J x N J 90 - x N b) tg 5 - K tg O K O. Hsonlón oldhtjuk meg, mint z elôzô feldtot. Hsználjuk L L J x N J 90 - x N fel, hogy os (90 - x) sin x. ) tg 5 - K tg O K O. Alklmzzuk következô képletet: tg x. Lásd. ) feldtot! Mjd hsználjuk fel, hogy os (90 - x) sin x. L L sinx + osx J x N J 90 + x N sinx d) tg K 5 + tg O K O. Hsználjuk fel, hogy: tg x és + osx L L os( 90 + x) - sin x. 0. Végeedmény: sin, ez tényleg nem függ x-tôl. Alklmzzuk megfelelô összegzési tételeket! Ezután végezzük el sin x - os x helyettesítést. Mjd két megfelelô tgból emeljünk ki os x -et, ezután lklmzzuk következô zonosságot: sin + os. - +. Végeedmények: sin 5 os 75 ; os 5 os 75 ; + tg 5 tg 75 - ; tg 5 tg 75 + ; sin 05 ; - os 05 - ; tg 05 - - ; tg 05 -. Induljunk ki bból, hogy sin 5 sin (5-0 ), mjd lklmzzuk megfelelô összegzési tételt és megfelelô nevezetes hegyesszögek szögfüggvényeinek étékeit! Hsználjuk fel, hogy sin os (90 - ). Ugynígy htáozhtjuk meg os 5 és sin 75 étékeit. A tg 5 étékének meghtáozásá hsználjuk tngens definíióját és z elôzôekben kiszámított étékeket. Hsználjuk fel még, hogy tg tg (90 - )! A tg 5 meghtáozásánál legegyszeûbb, h tg 5 -bôl számítjuk ki. tg 05 tg (05-80 ) tg ( 75 ) -tg 75. A tg 05 -ot hsonlón számíthtjuk ki.. sin 75 sin (5 + 0 ) ee lklmzzuk megfelelô összegzési tételt, ezután pedig helyettesítsük be megfelelô nevezetes szögfüggvények étékeit. sin 5 sin (5-0 ), ezt hhoz hsonlón lkítsuk át, mint z elôzôt.. tg 5 tg (0-5 ). Alklmzzuk ee megfelelô összegzési tételt és nevezetes hegyesszögek tngenseinek megfelelô étékeit. Mjd hsználjuk fel, hogy tg 5! tg 5. Hsználjuk fel, hogy sin 75 os 5, os 75 sin 5, tg 5 tg (5-80 ) tg (- 5 ) -tg 5 -! 5. sin 8 os 7 tg 8 tg 7 5-0 + $ 5 ; os 8 sin 7 ; 5-0 $ 5 ; tg 8 tg 7 5+ $ 5. Tekintsünk egy olyn egyenlô 5
Összegzési tételek lklmzás száú háomszöget, melynek szögei 7 ; 7 ;, száink hossz egység és z lp hossz legyen x egység! Húzzuk meg z egyik 7 -os szög szögfelezôjét! Mutssuk meg, hogy ennek hosszúság is x! Vegyük észe, hogy szögfelezô x és - x hosszúságú észe osztj fel szát. x Miét? Alklmzzuk szögfelezôtételt: - x x. Ebbôl htáozzuk meg x-et! x 5 -. 5 - Ebbôl pedig: sin8. Számítsuk ki z említett egyenlô száú háomszög mgsságát 0 + $ 5 itgosz-tétellel: m, ebbôl kiszámíthtjuk os 8 -ot. A tg 8 -ot tngens definíiójánk és z elôzô eedmények felhsználásávl kphtjuk. Némely lgebi átlkításokt zét néhol vége kell hjtni, például nevezô gyöktelenítését, h zokt z eedményeket szeetnénk kpni, melyeket elôbb megdtunk.. os os( $ 8 ) os 8 -sin 8, másészt hsználjuk fel z elôzô feldtból megfelelô képleteket. 7. Mutssuk meg, hogy sin -os, ezt pedig má z elôzô feldt megoldásábn kiszámítottuk. Hsználjuk fel sin 8 pontos étékét és megfelelô szozás elvégzése után megkpjuk bizonyítndó egyenlôség jobb oldlát. 8. Végeedmény: kifejezés pontos étéke. Hsználjuk fel, hogy os 90 os (70 + 0 )! Alklmzzuk ee megfelelô összegzési tételt és mutssuk meg, hogy os 90 os (70 + 0 ) sin 0! Másészt sin 50 sin (70-0 ), ezt kifejtve megfelelô összegzési tétellel, kphtjuk, hogy sin 50 os 0. Felhsználv z eddigieket, kphtjuk, hogy kiszámítndó kifejezés egyenlô következô kifejezéssel: -. Ebbôl sin0 os 0 $ os0 - sin0 os0 - sin0 $ sin0 $ os0 - os0 $ sin0 $ $ sin0 $ os0 $ sin0 $ os0 $ sin0 $ os0 sin ( 0-0 ) $ f $ sin 0 $ os 0 9. -( + b ), ezt felhsználv: tg$ tgb+ tg$ ( tgb+ tg) J N tg$ tgb+ tg -( + b) K $ ( tg+ tgb) O tg $ tg b + tg ( + b) $ (tg + tg b). Ezután L lklmzzuk kotngense vló összegzési tételt! H ez éppen nem jut eszünkbe, kko lkítsuk át kotngenst tngense és lklmzzuk tngense ismet összegzési tételt. 70. Hsználjuk tngense ismet összegzési tételt többszö is. Számítsuk ki elôszö, hogy 7 tg, másészt számítsuk ki, hogy tg ( + b ). Ezután mutssuk meg, hogy tg( + b) tg_ $ ( + b) i, mjd ezután következik, hogy tg( 5+ b) tg_ ( + b) + i. Ebbôl következik, hogy 5 + b 5 + k $ 80, hol k tetszôleges egész szám. Mutssuk meg, hogy 0< < 5, mjd zt, hogy 0< < 5. Hsonlón mutssuk meg, hogy b, + b és + b is 0 és 5 közé esik, ezét k 0.
Geometii feldtok 7 7. Számítsuk ki elôszö, hogy osb 5, ezután pedig tgb 8 5 következhet. Alklmzzuk tngense ismet összegzési tételt! Kphtjuk, hogy tg( + b ). Vegyük figyelembe, hogy 0 < + b < 80. Ebbôl és z elôzôbôl következik, hogy + b 0. 7. Számítsuk ki, hogy osb, másészt tgb. Mjd z utóbbiból tgb. 0 Mjd végül tg ( + b). Mutssuk meg, hogy 0< + b<, így ezekbôl következik, hogy + b. Geometii feldtok 7.. 8 l;. 9 l;. 5 7l háomszög szögei,.,7 m háomszög ismeetlen oldl. Alklmzzuk szinusztételt! Mjd lklmzzuk sinα képletét. 7.. 5 l;. 8 57l háomszög ismeetlen szögei. Alklmzzuk szinusztételt! Ezután lklmzzuk szögek különbségée megfelelô összegzési tételt. Kpunk egy egyenletet, melyben z egyik szög szinusz és koszinusz szeepel. Osszuk el z egyenletet szög koszinuszávl, ekko olyn egyenletet kpunk, melyben szög tngense lesz. Ebbôl megkphtjuk megfelelô szöget. 75..,09 m;. 9, m háomszög ismeetlen oldli,. 7l;. 88 l háomszög ismeetlen szögei. Hsonlón számíthtjuk ki szögeket, mint z elôzô feldtbn. Ezután z ismeetlen oldlkt szinusztétellel számíthtjuk ki. 7.. 0,55 egység pont távolság deékszögû sústól. Számítsuk ki, hogy C os. C sinb sin( - 0 ) Másészt b -0. Alklmzzuk szinusztételt:. Ebbôl os. sin0 sin0 + Alklmzzuk megfelelô összegzési tételt, után osszunk os -vl. Kpjuk, hogy tg. Ebbôl számítsuk ki z szöget, mjd ebbôl pedig C szksz hosszát. 77. x 0 m-e közelítettük meg felhôkolót. Az út kezdetén szögben látjuk felhôkolót, ekko 00 m + x távolság vgyunk felhôkolótól. tg, menjünk 0 00 + x 0 00 méteel közelebb felhôkolóhoz: tg( + 5 ). x Alklmzzuk ee megfelelô összegzési tételt. Mjd oldjuk meg z 7. egyenletendszet! x-e másodfokú egyenletet kpunk, melyet megoldv, kpjuk, hogy x 0. 78.. 7,7 ;.,8 ;. 8,9 háomszög ismeetlen szögei,. 0, m;. 5,8 m háomszög ismeetlen oldli. sin Alklmzzuk szinusztételt!. Az összegzési tétel segítségével íjuk fel sin kifejezést sin, illetve os segítségével, sin vgy hsználjuk fel 0. ) feldt eedményét. Ebbôl meghtá-
8 Összegzési tételek lklmzás ozhtjuk z szöget, ebbôl b szöget, ezekbôl pedig szöget. Mjd szinusztételt kétsze felív, meghtáozhtjuk két ismeetlen oldl hosszúságát. sinx 79. Nins ilyen háomszög. Alklmzzuk szinusztételt:. Mjd fejezzük ki 8 sinx megfelelô kifejezéseket sin, illetve os segítségével. éldául következô egyenletet kphtjuk: $ os x - $ os x - 0, ebbôl olyn x-eket kpunk, melyeke nem létezik megfelelô háomszög. 80.. 7 l ;. 7 l;. l háomszög ismeetlen szögei. Alklmzzzuk szinusztételt! 8 m, b 5 m, b, ekko 80 - b.. Alkítsuk át ezt 8 sin( 80 - b ) 5 sinb úgy, hogy sk sin b, illetve os b legyen z egyenletben. Ezt z összegzési tétel segítségével kphtjuk meg vgy hsználjuk fel 0. ) feldt eedményét. A endezés után kpjuk, hogy: os b 0,5. Ebbôl kpjuk b. l szöget. S ebbôl pedig számíthtjuk többi szöget. 8.. megoldás:. 8,8 ; b. 8, ;. 8,59 háomszög ismeetlen szögei,. 5,89 m; b.,9 m háomszög ismeetlen oldli.. megoldás:. 8 ; b. 0, ;.,,. 7,5 m; b. 5, m. Legyen m, R 8 m, ekko $ R $ sin képletbôl kphtjuk szöget:. 8,59,.,, $ x, b $ x. Íjuk fel oldl koszinusztételt! Ebbôl kpjuk, hogy: x á,97, x á,877. Ezekbôl kphtjuk z ismeetlen oldlkt. Az szöget például z $ R $ sin egyenletbôl htáozhtjuk meg. 8..,57 ;. 5, ;. 00, háomszög szögei;. 5 m; 8,9 m háomszög m ismeetlen oldli. Legyen m háomszög m-es oldlához ttozó mgsság. tg ; m tg. Alklmzzuk tg képletét, mjd oldjuk meg z egyenletendszet! Kpjuk, hogy 8 J N tg. tg - nem lehet. K O Ebbôl kpjuk, hogy:.,57. A háomszög megfelelô oldlit megfelelô szögfüggvénnyel kphtjuk. L 8. 5 háomszög hmdik szöge. A feltételbôl következik, hogy tg + tg b - tg $ tg b. Elôszö mutssuk meg, hogy - tg $ tg b Y 0. H ezt megmutttuk, kko tg+ tgb oszthtunk vele., ebbôl tg( + b). Ebbôl következik, hogy + b 5, s - tg$ tgb innen 5. 8.. eset: 9,5 m tpéz teülete.. eset: 85, m tpéz teülete. Legyen m tpéz mgsság. Húzzuk meg tpéz egyik átlóját! Legyen b + l hosszbbik lpon fekvô szög. Ekko tg ( b + l) és m tgb. Alklmzzuk megfelelô összegzési tételt, m 5 5 mjd oldjuk meg z egyenletendszet! Ekko tg b- kpunk egy másodfokú egyenletet, melyet megoldv, kpjuk, hogy:. eset: tg b á,, b á 55,5, m á,58, t á 9,5 m,. eset: tg b á 0,75, b á 7,78, m á, m, t á 85, m. 85. á,85, á,5, középponti szög két észe. A két szöge feltétel: () + x 0. A két megfelelô hú:. Húzzuk meg megfelelô háomszög mgsságit. Ekko y kphtjuk, hogy x $ $ sin és y $ $ sin. Ezeket behelyettesítve kpjuk, hogy: ()
Geometii feldtok 9 J N sin sin 0 - K O. Oldjuk meg z () és () egyeletbôl álló egyenletendszet! L. sin sin Alklmzzuk megfelelô összegzési tételt! Mjd oldjuk meg z egyenletet! Kpjuk, hogy á,85. 8. A kifejezés pontos étéke. Íjuk fel szinusztételt kétsze z ABC háomszöge! sin00 BC sin0 és. Hsználjuk fel, hogy sin 00 os 0 és sin 0 AC sin0 sin00 $ sin 0 $ os 0. Mjd vége felé hsználjuk fel, hogy os0 - $ sin0 $ sin( 0-0 ). 87. A keesett szögek: 0 ; 0 ; 90. Legyenek háomszög szögei - d,, + d. Mutssuk meg, hogy 0! A feltétel szeint sin( 0 - d) + sin0 + sin( 0 + d) +. Alkl- mzzuk megfelelô összegzési tételt, endezés után kpjuk, hogy os d, ebbôl d 0. 5 88. : : vgy más fomábn 7 : : 85 háomszög oldlink ány. Legyen tg x, tg b x, tg 5x. Itt tg tg_ 80 -( + b) i- tg( + b) 0 tg+ tgb -. H ide behelyettesítjük megfelelô kifejezéseket, kko x-e kpunk egy - tg$ tgb egyenletet, melynek feldtnk megfelelô megoldás: x. Ebbôl kphtjuk szögek szinuszit, 5 h felhsználjuk, hogy: sin tg. Mjd lklmzzuk szinusztételt: : b : + tg x sin : sin b : sin. 89. C á 9,7 m, pont C ponttól vló távolság. Számítsuk ki elôszö, hogy { + } 8 0l! Íjuk fel kétsze szinusztételt: és! Ezekbôl sin{ sin} sin b sinb $ sin{ b $ sin} kpjuk, hogy:. Helyettesítsük be ide sin sinb megfelelô dtokt és kpjuk, hogy, 5 9 $ sin{.. sin( 8 0l - {)! Alklmzzuk megfelelô összegési tételt, mjd osszunk os {-vel és kpjuk, hogy tg { á 0,7 77. Ebbôl htáozzuk meg {-t és helyettesítsük vissz megfelelô egyenletbe és kpjuk, hogy: á 9,7 m. 89.
0 Összegzési tételek lklmzás A háomszög tigonometiájáól 90. Hozzuk feltételt következô lk: sin $ os sin b $ os b, ebbôl sin sin b. Ebbôl vonjuk le megfelelô következtetéseket. 9. 80 - ( + b), ebbôl sin sin $ os b + os $ sin b. Így kphtjuk, hogy sin $ os f sin$ tgb+ os. Ebbôl tg tg b. Egy második megoldást kphtunk, h lklmzzuk szinusztételt b és oldl, mjd lklmzzuk koszinusztételt z sinb oldl. 9. Végeedmény: Deékszögû háomszög (és nem egyenlô száú, hiszen ezt kizátuk.) sin tg sin$ osb Alklmzzuk szinusztételt! f. Ebbôl: sin sin b. b sin b tgb os$ sinb sin+ sinb 9. sin( + b). Alklmzzuk megfelelô összegzési tételt! Mjd szoozzunk nevezôvel! Az átlkítások után os $ os b $ (os + os b) + os $ sin b + sin $ os b os+ osb sin + sin b, os $ os b $ (os + os b) sin $ ( - os b) + sin b $ ( - os b), os $ os b $ (os + os b) sin $ sin b $ (sin + sin b), (sin + sin b)(os $ os b - sin $ sin b) 0, (sin + sin b) $ os ( + b) 0. Ebbôl os ( + b) 0, met (sin + sin b) Y 0. Ebbôl következtessünk! 9. Hsználjuk fel, hogy: sin $ sin $ os. Ebbôl kphtjuk, hogy - $ sin$ sinb - $ os. Ebbôl pedig os( ) os( ) os + b - - b - $, -os-os( - b) - $ os. Ebbôl kphtjuk, hogy os( - b). Ebbôl következik, hogy - b 0. + b -b 95. sin os + os b, ebbôl () sin $ os $ os, másészt + b + b () sin $ sin $ os. A () egyenletbôl sin $ os $ os. Az () és () + b + b + b -b + b egyenletbôl: $ os $ sin $ os $ os, os $ J + b - b N + b $ sin - os K 0 O. Mutssuk meg, hogy os 0 nem állht fenn. Ebbôl L + b - b + b J -b N következik, hogy sin - os 0.Tovább folyttv: sin sin 90 - K O. L + b -b + b J -b N Ebbôl. eset: 90 -, innen pedig 90.. eset: 80-90 - K O, L ebbôl pedig b 90. + b - b + b -b + b 9.. eset: $ sin $ os $ os $ os, ebbôl sin + b + b + b os. Innen pedig tg, ebbôl. Innen következik, hogy 90.. eset: H 90, kko sin os b és sin b os, tehát sin + sin b os + os b.
A háomszög tigonometiájáól 97. sin sin ( + b), így sin + sin b + sin sin + sin b + sin ( + b) sin + sin b + sin $ os b + $ sin $ os b $ os $ sin b + os $ sin b. Ebbôl ( - sin ) + + ( - sin b) sin $ os b + $ sin $ os b $ os $ sin b + os $ sin b, os + os b sin $ os b + $ sin $ os b $ os $ sin b + os $ sin b,0 $ sin $ os $ sin b $ os b + + os b $ (sin - ) + os $ (sin b - ), 0 sin $ os $ sin b $ os b - os $ os b, os $ os b $ (sin $ sin b - os $ os b) 0. Ebbôl kphtjuk, hogy os $ os b $ os 0. 98. os -os( + b). Ezt felhsználv kpjuk, hogy: os $ os b $ os os$ osb$ _- os( + b) i #,0# 8 $ os $ os b $ os ( + b) +. 8 0 # 8$ $ _ os( + b) + os( - b) i $ os( + b) +, 0 # $ os ( + b) + $ os( - b) $ os ( + b) + os ( - b) + sin ( - b). 0 # _ $ os( + b) + os( - b) i + sin ( -b). Vizsgáljuk meg z egyenlôség esetét is! Azt kpjuk, hogy kko és sk kko vn egyenlôség, h háomszög szbályos. 99. Hsználjuk mjd fel koszinuszok összegének szozttá lkításá ismet képletet. + b - b sin + sin b + sin sin + sin b + sin( + b) $ sin $ os + + b + b + b J - b + b N + $ sin $ os $ sin $ os + os K O L + b J J + b - b NN J J + b - b NN $ sin $ $ os K $ + O$ os K $ - O K K O K K O L L L L + b b b $ sin $ os $ os $ os $ os $ os. 00. os+ osb+ os os+ osb+ os_ 80 - ( + b) i os+ osb- os( + b) $ os + b $ os - b J - os + b - sin - b N K O L + $ os + b $ os - b $ os + b $ os + b J - + - + $ os b - os b N K O L + b J J - b + b NN J J -b + b NN + $ os $ _- i $ sink $ + O$ sink $ - O K K O K K O L L L L + b b b + $ os $ sin $ sin + $ sin $ sin $ sin. 0. tg+ tgb+ tg tg+ tgb+ tg_ 80 - ( + b) i tg+ tgb+ tg80 - tg( + b) tg+ tgb + tg+ tgb- tg( + b) tg+ tgb- f + tg80 $ tg( + b) - tg$ tgb -tg$ tgb tg+ tgb ( tg+ tgb) $ - $ tg$ tgb- tg( + b) $ tg$ tgb -tg$ tgb - tg$ tgb tg $ tg b $ tg. 0. - os( + b+ ) os_ ( + b) + i os( + b) $ os- sin( + b) $ sin os $ os b $ os - sin $ sin b $ sin - sin $ osb $ sin - os $ sin b $ sin. Osszuk el z
Összegzési tételek lklmzás - egyenletet sin $ sin b $ sin -vl, kpjuk, hogy: tg$ tgb$ tg-tg- sin $ sin b$ sin -tgb-tg. Ebbôl kpjuk bizonyítndó állítást. 0. sin+ sinb+ sin sin+ sinb+ sin_ 0 -( + b) i sin+ sinb- + b -b - sin ( + b) $ sin $ os - $ sin ( + b) $ os ( + b ) $ sin( + b) $ _ os( -b) - os( + b) i J N J N $ sin( + b) $ (-) $ sin K $ _( - b) + ( + b) i $ sin $ ( -b) -( + b) O K _ i O L L - $ sin( + b) $ sin $ sin (- b) $ sin $ sin b $ sin. 0. os+ osb+ os os+ osb+ os_ 0 - $ ( + b) i os+ osb+ os_ $ ( + b) i + b -b $ os $ os + os ( + b) - sin ( + b) f - + $ os( + b) $ _ os( - b) + os( + b) i J J - b + b NN J J - b + b NN - + $ os( + b) $ os K $ + O$ os K $ - O K K O K K O L L L L - + $ os( + b) $ os $ os b - - $ os $ os b $ os. sin sinb sin sin$ osb+ os$ sinb 05. tg+ tgb+ tg + + + os osb os os$ osb sin_ 0 - $ ( + b) i sin_ $ ( + b) i sin -sin sin + + + os os$ osb os os $ os b os sin $ os os $ os $ sin - + b -sin$( os-os$ osb) os$ osb$ os os$ osb$ os - sin$ `os_ $ ( + b) i -os$ osbj sin $ ( sin $ sin ) f - - b os$ osb$ os os$ osb$ os tg$ tgb$ tg. 0. Ismet, hogy tg + tg b + tg tg $ tg b $ tg h szögek egy háomszög szögei. Vegyük észe, hogy 90 - + 90 - + K J N J b N J N 90-80 O K O K O. Ezét záójelekben levô szögek L L L J N is egy háomszög szögei, ezét lklmzhtjuk ezeke megfelelô tételt. tg 90 - K + O L J b N J N J N J b N J N + tg 90 - + tg 90 - tg 90 - K $ tg 90 - $ tg 90 - O K O K O K O K O. L L L L L b b Ebbôl tg + tg + tg tg $ tg $ tg. Keessünk másik megoldást! Alklmzzuk kotngens definíióját, mjd z elsô két tötet hozzuk közös nevezôe! Alklmzzuk mjd megfelelô helyeken megfelelô összegzési tételt! Folytssuk! Jóvl hosszbb megoldás számítsunk, mint z elôzô.
A háomszög tigonometiájáól 07. sin + sin b+ sin sin + sin b+ sin _ 80 -( + b) i sin + sin b + + sin ( + b). Alklmzzuk megfelelô összegzési tételt, mjd végezzük el négyzete emelést, lkítsuk át sin b-t és sin -t és kpjuk, hogy: sin + os $ ( - os b) + sin b + + os b $ ( - os ) + $ sin $ sin b $ sin - $ os $ os b + + $ sin $ os $ sin b $ os b - $ os $ os b $ (os $ os b - sin $ sin b) - $ os $ os b $ os ( + b) $ ( + os $ os b $ os ). 08. Ismet, hogy: sin + sin b + sin $ ( + os $ os b $ os ). Így - os + - - os b + - os + $ os $ os b $ os. Tehát os + os b + os - $ os $ os b $ os. H vn kedvünk és idônk, kko keessünk másik megoldást, mely nem hsználj fel z elôzô tételt. Ez kissé hosszbb megoldás lesz. J N J b N J N 09. Vegyük észe, hogy 90 - + 90 - + K 90-80 O K O K O. Ezét záójelben L L L levô szögek is egy háomszög szögei. Másészt tudjuk, hogy: os + os b + os - $ os $ os b $ os, tetszôleges háomszög szögeie. J N J b N J N Ide behelyettesítve os 90 - + os 90 - K + os 90 - O K O K O L L L J N J b N J N -$ os 90 - $ os 90 - K $ os 90 - O K O K O. Ebbôl kpjuk, hogy: L L L b b sin + sin + sin -$ sin $ sin $ sin. 0. Ismet, hogy sin + sin b + sin $ ( + os $ os b $ os ), tetszôleges háomszög szögeie. Vegyük észe, hogy 90 - + 90 - + K J N J b N J N 90-80 O K O K O. Tehát záójelekben levô szögek is egy háomszög szögei. Ezeke lklmzv szinuszok négyzetösszegée L L L J N J b N J N igzolt tételt, kpjuk, hogy: sin 90 - + sin 90 - K + sin 90 - O K O K O L L L J J N J b N J N N $ K+ os 90 - $ os K 90 - $ os 90 - O K O K O K. Ebbôl kpjuk, hogy O L L L L os + os b + os J $ + sin $ sin b $ sin N K O. L $ b$ sin. Ismet, hogy t, másészt lklmzzuk - is és b-e is következô tételt: $ R $ sin!. Ismet, hogy t $ R $ sin $ sin b $ sin. Másészt ismet, hogy b t $ R$ $ os $ os $ os. Mjd hsználjuk fel, hogy sin $ sin $ os, ezt lklmzzuk b- és - is! b. Ismet, hogy t $ R$ $ os $ os $ os, másészt b $ R$ sin $ sin $ sin. Osszuk el két egyenlet megfelelô oldlit egymássl!
Összegzési tételek lklmzás b. Tudjuk, hogy t $ R$ $ os $ os $ os, másészt ismet, hogy b $ R$ sin $ sin $ sin. Osszuk el második egyenletet z elsôvel, mjd szoozzuk - el, ezután t-vel kpott egyenlet oldlit. Mjd hsználjuk fel, hogy t s $. b 5. Ismet, hogy t s $, másészt t $ R$ $ os $ os $ os. b. ) A koszinusztételbôl kpjuk, hogy os + -, másészt tudjuk, hogy $ b$ - os -( b-) sin, met < 90. Így - os $ b$ ( b )( b) + - + -, ezeket felhsználv kpjuk, hogy: sin $ b$ ebbôl pedig sin ( s-b) $ ( s-). b) + os ( b+ ) - b$ $ b$ ( b )( b ) + + + -. Másészt ismet, hogy os $ b$ ( + b- )( + -b), $ b$ + os, met < 90. Ezek- ( b+ + )( b+ -) s$ ( s- ) bôl kpjuk, hogy os, innen pedig os. $ b$ b$ 7. Hsználjuk fel z elôzô két feldt végeedményét és hsználjuk tngens definíióját! 8. A szögfelezô két észháomszöge osztj z eedeti háomszöget. Íjuk fel, hogy z eedeti háomszög teülete egyenlô észháomszögek teületeinek z összegével! b$ $ sin b$ f$ sin $ f$ sin +. Másészt hsználjuk fel, hogy sin $ sin $ os. ( s-b) $ ( s-) 9. Ismet, hogy sin $ sin $ os, másészt sin és b$ s$ ( s- ) os. Ezekbôl kphtjuk bizonyítndó összefüggést. b$ 0. Mutssuk meg, hogy x s -, ehhez hsználjuk fel, hogy köhöz külsô pontból húzott éintôszkszok egyenlô hosszúk. Így tg. 0. s - b. Ismet, hogy t s $ tg $ tg $ tg, másészt tudjuk, hogy tg, hmdészt t s $. s -. Ismet, hogy t s $, másészt tudjuk, hogy ( s-)( s-b)( s- ). Egy második megoldást kphtunk, h s
A háomszög tigonometiájáól 5 b$ $ sin. bból indulunk ki, hogy t és sin $ b$ $ s$ ( s-)( s-b)( s- ). Keessünk további megoldásokt! b$ $ $. ) t ACO ; t ABO ; t BCO ; t taco + tabo - t BCO b + - t $. Ebbôl s-. b) s + x, így tg. s t. Ismet, hogy, másészt t s $, hmdészt ( )( )( ) s- t s$ s- s-b s-. Induljunk el $ $ b$ kifejezésbôl és ezt lkítsuk z elôzôeket figyelembe véve. 5. ) Tudjuk, hogy $ R $ sin. Alklmzzuk ezt b-e és -e is, mjd djuk össze háom egyenletet. b) Ismet, hogy $ sin $ sin $ sin. Másészt os+ osb+ os. b R b $ sin $ sin $ sin +. Ezekbôl megkphtjuk bizonyítndó állítást.. Íjuk fel z és b oldl szinusztételt! Mjd djunk z egyenlet mindkét oldlához -et! Hozzunk közös nevezôe és kpunk egy egyenletet. Induljunk ki új z elôbb felít szinusztételbôl, de most z egyenlet mindkét oldlából vonjunk le -et. Ezután hozzunk közös nevezôe és így kptuk második egyenletet. Osszuk el második egyenletet z elsô egyenlettel! Mjd hsználjuk fel, hogy sin- sinb $ os $ sin és sin+ sinb + b -b + b -b $ sin $ os. 7. ) Íjuk fel szinusztételt z és b oldl! Adjunk mindkét oldlhoz -et, mjd hozzunk közös nevezôe. Mjd íjuk fel szinusztételt b és oldl! Ezután szoozzuk össze + b sin+ sinb kpott két egyenlet megfelelô oldlit! Kpjuk, hogy. Hsználjuk fel, sin + b -b hogy sin sin( + b) és sin+ sinb $ sin $ os, másészt sin ( + b) + b + b $ sin $ os. b) Induljunk ki z és b oldlk felít szinusztételbôl, mjd mindkét oldlból vonjunk le -et, ezután hozzunk közös nevezôe! Hsonló módon jájunk el, + b -b mint z ) feldtbn, sk itt sin- sinb $ os $ sin zonosságot hsználjuk fel.
Tigonometikus egyenletek II. ész Tigonometikus egyenletek II. ész 8. ) Vegyük észe, hogy f(x) sin x, h sin x Y 0, h pedig sin x 0, zz x k $, hol k tetszôleges egész szám, kko ezeken helyeken függvény nins ételmezve. b) Vegyük észe, hogy f(x) os x, h os x Y 0. H pedig os x 0, kko x + k$, hol k tetszôleges egész szám, és ezeken helyeken függvény ninsen ételmezve. ) Vegyük észe, hogy függvény fx () $ sin x. osx 9. ) Gondoljuk meg, hogy fx () os x + + $ osx. osx osx b) Vegyük figyelembe, hogy fx () sin x - -. J N ) Alkítsuk át kissé következô módon: fx () sin x+ os x $ K $ sin x+ os x O K O L J N J $ os $ sin x+ sin $ os x K O $ sin x + N K O. L L Alpvetô feldtok A következôkben szokás szeint k, l, m, n, p, q tetszôleges egész számokt jelöl. 0. ) x k$ ; x + l$ $ ; x - + m$ $. Alklmzzuk sin x képletét, mjd endezzük nullá z egyenletet és lkítsuk szozttá kpott kifejezést! Koábbn tnult módszeel is megoldhtjuk z egyenletet, miszeint. eset: x x + k $ ;. eset: x - x + l $. $ $ b) x k$ ; x + l$ $ ; x- + m$ $. Hsonlón oldhtjuk meg, mint z elôzô feldt elsô megoldását. ) x k$ ; x + l$ $ ; x - + m$ $. Hsonlón oldhtjuk meg, mint z elôzô két feldtot.. ) x + k$. Végezzük el négyzete emelést, mjd hsználjuk fel, hogy sin x + 5 $ + os x! b) x + k$ ; x + m$. Hsonlón oldhtjuk meg, mint z elôzô feldtot. 5 $. ) x + k$. Szoozzuk -vel! b) x + k$ ; x + l$ $. Szoozzunk sin x-szel, mjd osszunk -vel.. x k $ ; x + l$. Szoozzuk -vel!. x + k$ ; x + l$. Szoozzuk -vel!
Alpvetô feldtok 7 $ 5. x k$ ; x + l$ $ ; x - + m$ $ ; x + n$ $ ; $ x5- + p$ $. Rendezzük nullá, lklmzzuk tngens definíióját és sin x képletét, mjd lkítsuk szozttá kifejezést! 7 $. x k$ ; x - + l$ $ ; x + m$ $. Alklmzzuk os x képletét, mjd endezzük nullá z egyenletet és lkítsuk szozttá kifejezést! 5 $ 7. x k$ ; x + l$ $ ; x + m$ $. Hsonlón oldhtjuk meg, mint z elôzô feldtot. 5 $ 8. x + k$ $ ; x + l$ $ ; x + m$ $. Alklmzzuk os x képletét, mjd lkítsuk sk szinuszokt ttlmzóvá z egyenletet. Ekko sin x-e egy másodfokú egyenletet kpunk, melyet könnyen megoldhtunk. 9. x + k$ ; x - + l$. Alklmzzuk kétszees szögek megfelelô képleteit, mjd lkítsuk szozttá kifejezést! 0. x - + k$ ; x l$ $ ; x - + m$ $. Alklmzzuk os x képletét, mjd ezt bontsuk szozttá. Ezután endezzük nullá z egyenletet, mjd z egész kpott kifejezést lkítsuk szozttá. $ $ $. ) x + k$ $ ; x- + l$ $ ; x + m$ $ ; $ x x x- + p$ $. Hsználjuk fel, hogy os x os - sin. $ $. x + k $ $ ; x + l$ $ ; x- + m$ $. Hsonlón oldhtjuk meg, mint z elôzô feldtot. 7 $. x k $ $ ; x - + l$ $ ; x + m$ $. Hsonlón oldhtjuk meg, mint z elôzô két feldtot. 5 $. x k $ $ ; x + l$ $ ; x + m$ $. Hsonlón oldhtjuk meg, mint z elôzô háom feldtot. $ $ 5. x + k $ $ ; x + l$ $ ; x- + m$ $. Hsonlón oldhtjuk meg, mint z elôzô négy feldtot.. x + k$ ; x + l$. Alklmzzuk sin x képletét, mjd endezzük nullá z egyenletet és lkítsunk szozttá! $ 7. x- + k$ ; x + l$. Alklmzzuk sin x képletét és hsználjuk fel, 8 8 hogy: sin x + os x. A kpott egyenletet osszuk el os x-szel, miko ez nem null. Így tg x- e egy másodfokú egyenletet kpunk, melyet könnyen megoldhtunk. Mutssuk meg, hogy os x nem lehet null!