BME, SZILÁRDSÁGTANI ÉS TARTÓSZERKEZETI TANSZÉK Példatár Szilárdságtan 1. című tantárgyhoz Összeállította: O. Csicsely Ágnes
A jelenlegi példatár a Kőrössi Tibor, Laki Tamás, Dr. Rusznák György: Szilárdságtani Példatár átdolgozott és kibővített kiadása. A feladatok szerkesztésében és az ábrák rajzolásában Duliskovich Annamária, Fehér Eszter, Nagy Bajnok Tamás, Ridzi Júlia, Zsódi Dóra és Balogh Diána építészmérnök hallgatók vettek részt. Közreműködésüket ezúton is köszönjük! 1/110
Központos húzás, nyomás 1/110 1. KÖZPONTOS HÚZÁS, NYOMÁS A tárgyalt példák megoldásának alapja a Hooke-törvény. E szerint rugalmas állapotban levő anyagok esetében: Itt = = - a keresztmetszetben fellépő húzófeszültség, számértékre nézve a központos húzóerő és a húzott elem keresztmetszeti területének hányadosa: dimenziója N/mm 2. E a vizsgált elem anyagára jellemző rugalmassági tényező, ugyancsak N/mm 2 dimenziójú. = - a fajlagos megnyúlás, vagyis az 1 mm hosszú rúdszakasz alakváltozása. Mint a teljes megnyúlás és az l eredeti hossz hányadosa, ε dimenzió nélküli arányszám. A fenti képletekből a következő újabb összefüggések állíthatók elő: = = = = = A húzott rúdnak, nemcsak a hossza, hanem a keresztirányú mérete is megváltozik. Ez a méretcsökkenés (harántkontrakció) a keresztmetszet szélességi mérete (körátmérő, négyszög-oldal stb.) és a keresztirányú fajlagos alakváltozás ( ) segítségével számítható. Képlete: = A kétféle fajlagos alakváltozás között a következő összefüggés írható fel: = Itt µ az anyagra jellemző, dimenzió nélküli un. Poisson-féle szám, értéke sohasem nagyobb, mint 0,5. A negatív előjel a kétféle alakváltozás ellentétes jellegére utal. Ha fenti értékét képletbe betesszük, majd ε helyébe -ra a -hez hasonló formulát nyerünk: = - t, helyébe pedig - t helyettesítünk,
Központos húzás, nyomás 2/110 A két képlet annyiban tér el egymástól, hogy a hosszirányú alakváltozás az l hosszúsággal, a keresztirányú a d keresztmetszeti (szélességi) mérettel arányos, azonkívül az utóbbinál a µ szorzó mutatja az alakváltozás keresztirányú voltát. Nagyon ügyeljünk valamennyi képlet használatánál az azonos dimenziókra: célszerű minden tényezőt N és mm (mm 2, mm 3 ) értékkel behelyettesíteni! Központos nyomáskor mindaddig, amíg a nyomott elem zömöksége következtében kihajlási veszély nincs, a központos húzás és nyomás között számítási szempontból az előjel különbségén kívül semmiféle eltérés nincs, így ezt a terhelési esetet nem kell külön tárgyalni.
Központos húzás, nyomás 3/110 1.) Mekkora a maximális húzóerő, amit a rúd fel tud venni? Mekkora a hatására keletkező hosszés keresztirányú alakváltozás? A tárgyalt példák megoldásának alapja a Hooke-törvény. E szerint rugalmas állapotban levő anyagok esetében:,, =270 /"" # = 206 000 /"" # =0,3 = 12# ' 4 = 113 "" # Maximális húzóerő hatására a rúd keresztmetszetében létrejövő éppen,, nagyságú lesz. Tehát: ) * =,, =113 270 =30 510 =,-,./ 01 Ennek az erőnek a hatására a következő alakváltozások keletkeznek: =,, 6 =,, 6 = 270 6000 206 000 =2,34 55 = 0,3 270 12 206 000 = 0,0047 "" (89:;<háó68::,@AöC9: á:"é;ő)
Központos húzás, nyomás 4/110 2.) Mekkora F erő esetén lesz G = -,-4? (A gerendát tökéletesen merevnek tekintjük),, =300 /"" # = 206 000 "" # = 8# ' 4 =50,3 "" # Megjegyzés: Mindenekelőtt arra a kérdésre adjunk választ, hogy mekkora az α szög fokban adott értéke radiánban! 0,06 0,06 ' 180 =1,05 10KL ;<6 = 0,00105 ;<6 Ha ismerjük α szög radiánban mért értékét, akkor számíthatjuk az A pont függőleges elmozdulását. (Az egyenlet felírásánál vegyük figyelembe, hogy ha α < 5 40', akkor α (rad) sin α tg α.) = α=5000 0,00105 = 5,25 mm (nyúlás) Az A pont függőleges elmozdulását a felfüggesztő huzal megnyúlása okozta, a megnyúlás pedig a huzalban működő F erő hatására jött létre. A megnyúlás ismeretében a Hooke-törvény alapján F számítható: ) = = 5,25 206 000 50,3 4000 =13 599,9 =13,6 Ellenőrizzük, hogy nem léptük-e túl a rugalmasság határát: = ) =13 599,9 50,3 =270,4 "" # <,, =300 "" # V) Végül F -et, mint ismert reakciót ébresztő terhet a B pontra felírt nyomatéki egyensúlyi egyenletből számítjuk: 2 ) =5 ) = 5 2 =,X 01
Központos húzás, nyomás 5/110 3.) Három db 10 mm átmérőjű acélhuzalt az ábrán látható módon együtt terhelünk. A középső huzal szilárdsága kisebb, mint a két szélsőé. Y Z diagramjuk adott. Mekkora a huzalok együttes megnyúlása, ha: a, =,- 01; b, =.. 01? Mekkora az együttes teherbírásuk? = 206 000 /"" #,,[ =,,,[ / =300/206 000=1,456 10 KL =1,456%o,, =,,, / = 200/206 000 = 0,9709 10 KL =0,9709%o Rajzoljuk meg a párhuzamos rendszer ) diagramját! [ = 2 10# ' 4 = 10# ' 4 =157 "" # =78,5 "" # A középső szál képlékeny, a szélső szálak rugalmas állapotban vannak: =, = 0,9709 10 KL ) = 157 206000 0,0009709+78,5 200 =47,1 10 L =47,1 =0,0009709 5000 =4,854 "" Mindhárom szál képlékeny állapotban van: =,[ = 1,456 10 KL ) = 78,5 200+157 300=62,8 10 L = 62,8 =0,001456 5000 = 7,282 "" A rendszer maximális teherbírása (képlékeny állapotban): 62,8 kn
Központos húzás, nyomás 6/110 a, =?,h< ) =30 30 <47,1, mindhárom huzal rugalmas állapotban van. Mivel a huzalok területe, hossza egyenlő, és a rugalmassági modulusuk is azonos, ezért egy-egy huzalra 10 kn erő jut, a közös megnyúlási érték így: = 10000 5000 = =3,1 "" (9_úáA) 206000 78,5 b, =?,h< ) = 55 55 >47,1, a középső huzal képlékeny, a szélső huzalok rugalmas állapotban vannak. ) = [ + = [ +,,, = [ +200 78,5=55 10 L [ = 39,3 10 L = 39,3 A másik két huzalra tehát egyenként ) [ = 39,3 2 =19,65 erő jut Ellenőrzésképpen vizsgáljuk meg ennek az erőnek a hatására ébredő feszültségeket: [ = ) A megnyúlás: = 19 650 78,5 =250,3 /""# < 300 /"" # V) [ = = 250,3 5000 = 4,/ 55 (nyúlás) 206000 Ami majdnem kétszerese az előzőnek.
Központos húzás, nyomás 7/110 4.) Rajzoljuk meg az egyes anyagok Y Z diagramját! 4.b) Rajzoljuk meg a párhuzamos rendszer g diagramját! 4.c) =?, ha g=-,/- h5. Acél:,, =200 /"" # = 206 000 /"" # Fa: i, = 15,3 /"" # i = 12 000 /"" # a, Rajzoljuk meg az egyes anyagok diagramját!, =,, = 200 206 000 = 9,71 10Kj = -,k2/ i, = i, i = 15,3 12 000 =1,275 10KL = /,m2. b, Rajzoljuk meg a párhuzamos rendszer ) diagramját! Az acél képlékeny, a fa rugalmas állapotban van: =, = 9,71 10 Kj ) = 2 20 2 200+100 2 9,71 10 Kj 12 000 =160 000+116 520 = 276 520 =m24,.m 01 =0,000971 1000 = -,k2/ 55 Az acél képlékeny, a fa rugalmas határon van: = i, = 1,275 10 KL
Központos húzás, nyomás 8/110 ) = 160 000+100 100 15,3=313 000 =,/, 01 =0,001275 1000 = /,m2. 55 Az acél képlékeny, a fa szakad: > i, >1,275 10 KL ) = 160 000 =/4-01 c, ) =?, ha = 1 "". Az acél képlékeny, a fa rugalmas állapotban van: = i = i, mivel = i = = = i = = 1 1000 =10KL,, =200 /"" # i = 10 KL 12 000 =12 "" # < i, =15,3 /"" # ) = ) [pé +) q[ =,, [pé + q[ q[ = 160 000+12 100 2 = 280 000 =m3-01
Központos húzás, nyomás 9/110 5.a) Mennyi a felfüggesztő rudak megnyúlása (r s =?; r u =?), ha / = - és =mx 01. Adjuk meg a gerenda szögfordulását is! 5.b) Határozzuk meg az erő ( / =?) nagyságát, hogy a gerenda vízszintes maradjon, ha =/- 01. Számoljuk ki a rudakban ébredő feszültségeket is! (Y v =?;Y w =?) Acél:,, =200 /"" # = 206 000 /"" # xy# =12 # ' = 113 ""# 4 ) *xy# =113 200 =22 600 =22,6 a, Mennyi a felfüggesztett rudak megnyúlása (y z =?; y { =?), ha F y =0 és F =24 kn? Adjuk meg a gerenda szögfordulását is! ) = ) 3 <) xy# = 24 3 =8 < 22,6 ) =2 ) 3 < ) xy# = 2 24 3 = 16 <22,6 _ = = ) = 8 10L 2 000 = 0,6873 "" 206000 113 _ = = ) 4 000 =16 10L =2,749 "" 206000 113
Központos húzás, nyomás 10/110 tg = 2,749 0,6873 6000 = 3,436 10 Kj ;<6 = 0,01969 b, Határozzuk meg az erő () y =?) nagyságát, hogy a gerenda vízszintes maradjon, ha ) =10. Számoljuk ki a rudakban ébredő feszültségeket is! ( =?; =?) _ = _ éa ) = 10 2+) y 7 6 ) = 10 4 ) y 1 6 ) =) = á<96ó ) = ) (10 2+) y 7) 2,00 6 = 11 1111 113 ) = 10 2+6,6 7 6 = (10 4 ) y 1) 400 6 = 98,33 /"" # < = 200/"" # =11,1 = 5 555 113 =49,16 /""# < =200/"" # ) y =6,6 ) = 10 4 6,6 6 =5,55 Mindkét rúd rugalmas állapotban van. _ = = ) 11111 2000 = =0,9546 "" 206000 113 _ = = ) 5555 4000 = = 0,9546 "" 206000 113
Tiszta Nyírás 11/110 2. TISZTA NYÍRÁS Ha a keresztmetszetre csak nyíróerő hat, és a feszültséget egyenletesen megoszlónak tételezzük fel, akkor a nyíróerő értéke: = Itt τ a nyírófeszültség átlagértéke (dimenziója N/mm 2 ), V pedig a nyíróerő. Meg kell említenünk, hogy ez a képlet nem alkalmas a hajlítással egyidejűleg fellépő nyírófeszültségek számítására, arról részletesebben majd a Hajlítás c. fejezetben lesz szó. Ki kell térnünk röviden a nyírás okozta szögtorzulásra. A nyírófeszültség (τ), a szögtorzulás (γ) és a rugalmassági tényező, valamint a Poisson-szám függvényeként felírható nyírási rugalmassági tényező (G) között a Hooke törvényhez hasonló összefüggés áll fenn: Innen számítva a szögtorzulást: = ˆ ebben az esetben: = 2 (+) ˆ = Tiszta nyírás a valóságban tulajdonképpen nem fordul elő; gyakorlatilag azonban tisztán nyírtnak tekintjük a csavar- és fakötések egyes elemeit; így az ezekben fellépő feszültséget a = képlettel számolhatjuk. Meg kell jegyeznünk, hogy az ebben a fejezetben tárgyalásra kerülő példák a fa- és fémszerkezetek kötési módjainak csak néhány nem is feltétlenül korszerű fajtáját ismertetjük. A cél ezúttal a tiszta nyírás számításmódjának megmutatása, nem pedig a fa- és fémkötések részletes tárgyalása volt. Ezekkel részletesebben az Acél és Faszerkezetek tervezése c. tárgy megfelelő fejezetei foglalkoznak.
Tiszta Nyírás 12/110 Csavaros kapcsolatok A csavaros kötések számításakor meg kell vizsgálni nyírásra a csavarokat, palástnyomásra a csavar és a lemez közül azt, amelyiknek kisebb a szilárdsága, és húzásra húzott kapcsolat esetében a lemezt. Egynyírású Kétnyírású /A kapcsolat külpontossága miatt, tervezése nem ajánlott!/ A csavarokról elsősorban azt kell megállapítani, hogy egy- vagy kétnyírásúak-e. Az első esetben egy, a második esetben két csavarkeresztmetszet áll ellen a nyíró igénybevételnek. A csavarpaláston a nyomóerők hatására változó irányú és intenzitású feszültségrendszer ébred. E helyett azonban számolhatunk az átmérő síkjában egyenletesen megoszló feszültségrendszerrel, ha a szilárdságot is ilyen módon állapítjuk meg. =6 : Ž, = ) = ) 6 : Az fu,d a képletében d a csavarátmérő, t pedig egynyírású csavar esetében a kisebbik lemezvastagság (t1), kétnyírású csavarok esetében pedig 2 : y ill. : # közül a kisebbik méret. A fenti képletekben a csavarok átmérője névleges mérettel számolandó, ez mindig páros szám. Húzott lemezek esetében a csavarlyuk-gyengítéseket a teljes keresztmetszetből le kell vonni, ekkor a lyuk átmérőjét vagyis d+1 mm-es értéket kell figyelembe venni. A csavarok elrendezésére vonatkozólag a szabályzatok szerkesztési előírásokat tartalmaznak. Ezek figyelembevétele esetén csak a fent tárgyalt vizsgálatokat kell elvégezni, és nincs szükség például a lemez elnyíródásának, vagy a nem egy keresztmetszetben történő elszakadásának vizsgálatára, amelyeket más körülmények között nem lehetne mellőzni. Fakötések A fakötéseket szintén minden lehetséges hatásra (húzás, nyomás, nyírás) meg kell vizsgálni. Az esetek sokfélesége miatt azonban itt általános megoldási módszereket nem adunk. A számítások menetét az egyes példák során fogjuk részletesen ismertetni.
Tiszta Nyírás 13/110 1.) Adott anyagmennyiség és csavarkép mellett tervezze meg a csavarok átmérőjét! Lemezek:,, =235 /"" # Ž, = 360 /"" # Csavar, =240 /"" # Ž, = 400 /"" # Egy csavarra jut: ) = ) 9 = 360 =60 erő 6 Nyírás: = 6# ' 4 = Palástnyomás: 6 = ) 60000 = 9, 2 240 =125 ""# 6 = 12,6 "" 14@A< <; ) 60000 = = 13,9 "" 6 = 13,9 "" 14@A< <; : Ž, 12 360 Alkalmazzunk tehát 14 csavarokat. Lemez ellenőrzése: A lemezt mindhárom csavarral gyengített keresztmetszetben megvizsgáljuk: ) iy =235 (180 15) 12 10 KL = X4.,, 01 > 360 MF ) i# =235 (180 2 15) 12 10 KL = Xm,,- 01 > 300 MF ) il =235 (180 3 15) 12 10 KL =,3-,2 01 > 180 MF
Tiszta Nyírás 14/110 2.) Ellenőrizze a csukló csavarkötését! Lemezek:,, =200 /"" # Ž, = 360 /"" # Csavar, =160 /"" # Ž, = 360 /"" # A csuklóban átadódó erő a befüggesztett tartó reakciója: ) = 4 6 =12,0 2 Az egyes csavarokra ható erő: ) y = 12 50 40 = 15,0 ) # =12+15 =27 Mivel a csavarok egyformák, a legnagyobb erővel () # ) terhelt csavart kell ellenőrizni. Nyírás: ),* = " 6# ' 4, =2 12# ' 4 160 10KL =36,19 > 27 V) Palástnyomás: ) Ž,* = 6 : Ž, =12 5,7 360 10 KL = 24,62 < 27 NMF Tehát a kapcsolat nem felel meg. Ismétlésként számítsuk ki a támaszerőket.
Tiszta Nyírás 15/110 3.) Számítsuk ki a vázolt függesztőműves fedélszerkezet kijelölt csomópontjának teherbírását! Puhafa:, =1,2 /"" # p,œ, = 9,7 /"" # p, œ, = 1,2 /"" # i,œ, =6,5 /"" # Megjegyzés: A kapcsolat összes lehetséges tönkremeneteli módjára kiszámítjuk a határerőt () * ) és a legkisebb érték lesz a kapcsolat teherbírása. Húzás: Húzásra az oszlop csavarral gyengített keresztmetszetét vizsgáljuk meg. ) i,* = 70 (200 13) 6,5=85 085 = 85,0 Fognyomás: Fognyomásra az egymáshoz nyomódó felületek közül azt vizsgáljuk, amelyiknek a rostirányára merőleges az igénybevétel - vagyis a gerendát. ) p, œ,* =2 40 200 1,2=19 200 = 19,2 Nyomás: Rostirányú nyomás éri a függesztő oszlop alsó felét, ezt is megvizsgáljuk. (Általában ez a tönkremeneteli mód nem mértékadó a fognyomáshoz képest.) ) p,œ,* =2 40 200 9,7=155 200 = 155,2 Nyírás: a, A függesztő oszlop gerendák alatti részén lép fel nyírás, valamint b, a gerendákban egy térbeli felületen. Vizsgáljuk meg mindkettőt! a, ),œ,* =2 200 200 1,2=96 000 =96 b, ),ž,* =2 (200 150 113,1+2 40 150) 1,2=100 529 = 100,5
Tiszta Nyírás 16/110 A fűzőcsavar által keletkezett lyukat levonjuk a hasznos keresztmetszetből (Acsavar=12 2 *π/4=113,1 mm 2 ) Teherbírás: A legkisebb határerő () * ) a fognyomásra adódott. A kapcsolat terhelhetősége tehát: ) * =/k 01
Tiszta Nyírás 17/110 4.a) Tervezzük meg a csavarok számát! 4.b) Ellenőrizzük a kapcsolatot! 4.c) Számoljuk ki a CB rúd megnyúlását! Lemezek:,, =235 /"" # Ž, = 360 /"" # Csavar, =240 /"" # Ž, =400 /"" # A = 206 000 /"" # V =0 = 115,2 4,0+86,4 3 4 = 180 a, Tervezzük meg a csavarok számát! Tiszta nyírásra: ) ) * 180 10 L 9 2 14# ' 4 Palástnyomásra: 240 9 2,436 6 2 A8; ) ) * 180 10 L 9 14 2 6 360 10 400 9 3,571 6 2 A8; A csavarok száma: 2 sor (4db) > 3,571 db b, Ellenőrizzük a kapcsolatot: Lemez ellenőrzése húzásra: ) * =(120 2 15) 10 235 10 KL = m//,. 01 > ) y =180 V) A hevedereket nem kell ellenőrizni, mivel az összvastagságuk nagyobb, mint a lemezé. c, Számoljuk ki a CB rúd megnyúlását! = ) = 180000 7000 =.,-k2 55 206000 (120 10)
Hajlítás 18 3. HAJLÍTÁS A különböző hajlítási eseteket csoportosíthatjuk a hajlító nyomaték síkjának helyzete, illetve a tartó anyagának állapota szerint. Az előbbi alapon megkülönböztetünk egyenes és ferde hajlítást az utóbbi alapon pedig rugalmas, rugalmas-képlékeny és képlékeny hajlítást. Vizsgálataink során mindig a két csoportosítás aleseteinek valamiféle kombinációjáról lesz szó. A méretezés, illetve ellenőrzés módja is kétféle lehet, nevezetesen történhet feszültség-összehasonlítással és igénybevétel-összehasonlítással. A feszültség összehasonlítás csak rugalmas alapon történő méretezés esetében szokták használni. 3.1 Egyenes hajlítás Egyenes hajlítás rugalmas alapon Egyenes hajlításról beszélünk, ha a hajlítás síkja illeszkedik valamelyik főtengelyre. A semleges tengely ilyenkor azonos a másik főtengellyel. A keresztmetszet rugalmas viselkedése folytán a feszültség a semleges tengely mindkét oldalán lineárisan változik. A feszültség általános képlete: = V - ahol My az y tengely körül hajlító ( az y tengelyre merőleges síkban működő) nyomaték; - Iy a súlyponti y tengelyre felírt inercia; - z pedig a vizsgált pont merőleges távolsága az y tengelytől. Méretezés (ellenőrzés) feszültség-összehasonlítással: A maximális feszültség a = [ helyén - ahol = ª «keresztmetszeti tényező. = V [ = V A keresztmetszet megfelel ha: [ - ahol, az anyag hajlító szilárdága. Méretezés (ellenőrzés) igénybevétel összehasonlítással: A maximális nyomaték ellenállás: V * = A keresztmetszet megfelel, ha V V *
Tiszta hajlítás 19/110 Egyenes hajlítás képlékeny alapon Az előbbi esettel szemben itt a keresztmetszet már plasztikus állapotban van, a feszültség mindenütt -vel egyenlő; a belső erőpár fellépésének feltétele a nyomott húzott felületrészek egyenlősége, a semleges tengely tehát a rugalmas semleges tengellyel párhuzamos területfelező. Ennek ismeretében számítható a maximális nyomatéki ellenállás: V * = + = ( + ) - ahol, Sny és Sh a nyomott és húzott részek semleges tengelyre felírt statikai nyomatékának abszolút értéke. A keresztmetszet megfelel, ha V V * Még néhány szót a főtengelyekről és főinerciákról. Ha ismerjük egy keresztmetszet tetszőleges (derékszögű) súlyponti tengelykeresztjére felírt tehetetlenségi (Iy, Iz), valamint a terelő nyomatékát, a főinerciákat a következő képlettel számíthatjuk: y,# = + ª 2 ± 1 2 ³ ª µ # + ª # A főtengelykereszt és az eredeti tengelykereszt megfelelő tengelyei által bezárt szög α; ennek nagysága: tg2 = 2 ª ª (Pozitív előjelű az az elfordulás, amellyel az y-tengely pozitív ágát a z-tengely pozitív ágába forgathatjuk.) A két főtengely helyzetéről még a következőt kell tudnunk: a maximális inerciájú főtengely az eredeti tengelykereszt nagyobb inerciájú tengelyének α szögnyi elforgatásával jön létre, olyan módon, hogy az eredeti tengelykereszt előjel-viszonyai szerint a terelő nyomaték előjelével ellentétes térnegyedeken haladjon át.
Tiszta hajlítás 20/110 pl. > ª éa ª 8 ¹:í > ª éa ª 9C»<:í
Tiszta hajlítás 21/110 1. Mekkora b méret esetén felel meg tiszta hajlításra a tartó? a, rugalmas alapon, ha ¼ ½ = X-- 015; b, képlékeny alapon, ha ¼ ½ =.-- 015 a, rugalmas alapon ( [ =,, a szélső szálban),, =200 /"" # V =V * A szükséges keresztmetszeti tényező: = V = 400 10¾ = 2,0 10 ¾ "" L,, 200 A keresztmetszeti tényező a tartó adatival: = [ = 1 12 280L 200 1 12 180L (200 ) =365,87 10 ¾ 97,2 10 ¾ +486 000 =268,67 10 ¾ +486 000 [ = 180 2 +50 =140 = [ =1,92 10 ¾ +3471,43 ("" L ) = 2,0 10 ¾ = 1,92 10 ¾ +3 471,43 =23,05 "" À = m. 55 b, képlékeny alapon ( [ =,, mindenhol) V =V * V *, =,, ( + ) (A semeleges tengely területfelező, ezért =, azaz a km a hajlítás tengelyére szimmetrikus) V *, = 200 2 = 500 10¾ 2 200 A tartó adataival: =1 250 000 ""L = 200 50 (90+25)+ 90 45=1 150 000+4 050 ("" L ) =
Tiszta hajlítás 22/110 = 1250 000 115 0000 4050 = 24,69 "" À =m. 55
Tiszta hajlítás 23/110 2. Mekkorának kell lennie a sugárnak (r), hogy a keresztmetszet adott ¼ ½ nyomatékra Á Â,r,, feszültséggel éppen megfeleljen a, rugalmas alapon; b, képlékeny alapon tiszta hajlításra? Mekkora a keresztmetszet képlékeny tartaléka? a, Rugalmas alapon A szükséges keresztmetszeti tényező: = V A körgyűrű adataival: À = = À ' 4 Ã(1,1 ;)j ; j Ä = ' 1,1 ; 4,4 ;L (1,1 j 1)= ' 4,4 ;L (1,46 1)=0,328 ; L 0,328 ; L = V,,, Æ ; = Å V, 0,328,,, = /,X. Å ¼ ½,Çg Á Â,r, b, Képlékeny alapon Itt r csak a statikai nyomatékban fordul elő., = V, 2,, A körgyűrű adataival:,qéö = ;# ' 2 4 ; 3 ' = 2 3 ;L, À = 2 3 ;L (1,1 L 1,0 L ) =0,221 ; L = À 0,221 ; L = V, 2,,
Tiszta hajlítás 24/110 Æ ; = Å V, 0,442,, Képlékeny tartalék: V *, = 0,442 ; L V *, = 0,328 ; L, = /,,m Å ¼ ½,Èg Á Â,r, é.:<;:<é = V *, V *, 1=,X,2. %
Tiszta hajlítás 25/110 3. Ellenőrizze a keresztmetszetet tiszta hajlításra a, rugalmas alapon; b, képlékeny alapon! V =120 = 10 /"" # a, Rugalmas alapon Lehetőség van nyomaték összehasonlításra és feszültség összehasonlításra egyaránt. Hajtsuk végre mindkettőt gyakorlásképpen! = 1 12 300 480L 2 1 12 100 240L = 2,534 10 "" j = = 2,534 10 [ 240 = 10,56 10 ¾ "" L V *, = = 10,56 10 ¾ 10 10 ¾ =/-.,4 015 <V = 120,0 " )V Vagy: [ = V = 120 10¾ 10,56 10 ¾ =//,,4 1/55m > = 10 /"" # )V b, Képlékeny alapon Csak a nyomaték összehasonlításra van mód. V *, = + µ=10 2 (120 300 180+120 100 60) 10 K¾ =/XX 015 > V = 120 " V) Feszültségeloszlás:
Tiszta hajlítás 26/110 4.Számítsa ki a keresztmetszet nyomatéki teherbírását tiszta hajlításra a, rugalmas alapon; b, képlékeny alapon! Rajzoljon normálfeszültség ábrákat!,, =200 /"" # a, Rugalmas alapon =100 20+20 200 =6 000 "" # = 100 20 210+20 200 100 6 000 =136,67 "" Vagy: = 1 12 20L 100+20 100 (83.3 10) # + 1 12 200L 20+20 200 (136,67 100) # =29,53 10 ¾ "" j = 1 3 20L 100+ 1 3 200L 20 6 000 (83,3 20) # =29,53 10 ¾ "" j = = 29,53 10¾ = 216068 "" L [ 136,67 V *, =,, =216 068 200 10 K¾ =X,,m 015 b, Képlékeny alapon =0 egyenlőség miatt a semleges tengely területfelező 2 =6000 = 3000 "" 2 < = 000 =3 =150 "" 2 20 20
Tiszta hajlítás 27/110 Vagy: V *, =,, + µ =200 (20 100 (70 10)+50 20 25+150 20 75) 10 K¾ =2X 015 V *, =,, 2 = 200 2 20 150 61,6 µ Képlékeny tartalék: = V *, 1= 74 43,2 =2/ % V *, 43,2 Normálfeszültségi ábrák: Rugalmas feszültségeloszlás Képlékeny feszültségeloszlás
Tiszta hajlítás 28/110 5. Ellenőrizze a tartót a) rugalmas állapotban, b) képlékeny állapotban! Rajzoljon normálfeszültségi ábrákat! fs,y,d=235 N/mm 2 A = 30 (105+120) = 6 750 "" # Z s = 105 30 15+30 120 60 6 750 = 105 30L 3 + 30 230L 3 =25 "" # 6750 25 # = 14,0 10 ¾ "" j a., rugalmas állapot V [ =15 knm Y Á =+ 15 10¾ 14 10¾ 55=58,93 1 55m <,, = 235 "" # ¼ Y s = 15 10¾ 95= /-/,8 1 55m < 14 10¾,, =235 "" # ¼ vagy V *, =235 14 10¾ 95 = 34,63 10 ¾ "" < V =15 k" V) b., képlékeny állapot 2 = 6750 3375 =3375 < = = 112,5 "" 2 30 ¼,Èg =235 2 30 112,5 38,75 10 K¾ =61,47kNm> V =15 " ¼
Ferde hajlítás 29/110 3. FERDE HAJLÍTÁS Ferde hajlításról beszélünk, ha a hajlítás síkja nem esik egybe egyik fősíkkal sem. (A nyomatékvektor nem párhuzamos valamelyik főtengellyel.) Ha a fősíkok és a hozzájuk tartozó inerciák ismertek, akkor a ferde hajlítás kezelhető két egyenes hajlítás összegeként. Ekkor a nyomatékot a fősíkba eső összetevőkre bontjuk. (ha a keresztmetszet szimmetrikus: a keresztmetszet szimmetria tengelye és a rá merőleges tengely lesznek a főtengelyek (y és z) és a hozzájuk tartó inercia: Iy, Iz, ekkor Dyz=0) = ± V ± V ª ª _ (Ô89:8A<9: = V + V ª ª _) A semleges tengelyt a σ = 0 feltétel alapján határozhatjuk meg. Ekkor: Tehát: Ö V _ _ Ö= V _ 0=+ V + V ª ª _ Itt = V ª V ª _ = " _ a semleges tengely iránytangense. " = V ª V ª Szerkesztés útján többféleképpen is meghatározható a semleges tengely. Igen egyszerű módszer például a következő: A keresztmetszet valamelyik oldaléle mentén két pontban meghatározzuk a feszültséget. Az él σ ábráját megrajzolva, megszerkesztethetjük azt a pontot, amelyben a diagram vonala az élt metszi. Ez (mint zérus feszültségű hely) biztosan pontja a semleges tengelynek. Mivel a tengelynek a súlyponton is keresztül kell mennie, így e két ponttal az egyenest egyértelműen meghatároztuk. (Ez a módszer a ferde hajlítás bármely tárgyalt esetében alkalmazható.) A feszültség két tagjának az előjelét a képlet = V V ª ª _
Ferde hajlítás 30/110 alakja megadja, ha My, Mz, y és Z értékeit előjelesen behelyettesítjük. Meghatározhatjuk azonban az előjeleket szemlélet alapján is, a két egyenes hajlítást az ábra szerint külön-külön kezelve. (A negatív előjel nyomást, a pozitív húzást jelent a képletben és a rajzokon is.) Az ábrákon feltüntettük a pozitív nyomatékvektor irányát is. (Figyeljük meg, hogy előjelzésük nem azonos a koordinátatengelyekével.) Meg kell még említeni, hogy ferde hajlítás esetében maximum meghatározása csak akkor egyszerű feladat, ha a képlet mindkét tagja ugyanazon a helyen ad szélsőértéket. Ez a helyzet például négyszögszelvény vagy I tartó esetében. Ezek a vizsgálatánál a feszültségi maximum a következő képlettel számítható: "<Ø = V _ _ "<Ø + V _ "<Ø = V _ _ + V A rugalmas ferde hajlításra igénybevett keresztmetszet is akkor felel meg, ha σ f Ù. Az igénybevételösszehasonlítással történő ellenőrzés ferde hajlítás esetében bonyolultabb, ezért nem fogjuk alkalmazni.
Ferde hajlítás 31/110 1. a) Határozzuk meg a maximális nyomatékot a rugalmas alapon, ha Á =/.1/55 m b) Határozzuk meg a tartón működő maximális terhet! a) A főtengelyek ismeretében a "<Ø = 6 =± V _ _ ± V _ képlet alkalmazása célszerű. Az y tengely körüli hajlító nyomaték: (nyomaték a z síkban) V _ =M cos30 =0,866 M A z tengely körüli hajlító nyomaték: (nyomaték az y síkban) V =V A¹930 =0,5 V Keresztmetszet adatok: _ = 180 2403 12 = 1803 240 12 =207,36 10 6 "" 4 =116,64 10 6 "" 4 A maximális feszültségi helyeken a két feszültségi tag előjele azonos: b) 15=+ 0,866V * 207,36 10 ¾ 120+ 0,5V * 116,64 10 ¾ 90=V *(0,501 10 K¾ +0,386 10 K¾ ) V Ü6 = 15 0,887 106 ""=16,91 " Ý * = Þ ßà # = 8,455 /"
Ferde hajlítás 32/110 2. Határozzuk meg Y 5sá ábrát! = _ = 1204 ' 4 =/4m,34 /- 4 55 X A feladat látszólag ferde hajlítás. Ha azonban meggondoljuk, hogy a körkeresztmetszetnek valamennyi tengelye főtengely, tehát az is amelynek síkjában a nyomatékok eredője működik, a probléma egyenes hajlítássá egyszerűsödik. A maximális nyomatékot kell meghatároznunk. Ez nyilvánvalóan a tartó közepén lesz, mert ott található mindkét teher által létrehozott maximális nyomaték. V (Ý) = 2,0 62 8 =9,0 " V ()) =4,0 1,5=6,0 " Eredő nyomaték: V =â9 # +6 # =10,82 "
Ferde hajlítás 33/110 A hajlítás síkja: :<9 = 6 =0,667 =33,69 9 A feszültség maximuma: [ = 10,82 10¾ 162,86 120=7,97 /"" #
Ferde hajlítás 34/110 3. Mekkora h tartómagasság esetén lesz Y 5sá = /- 1/55 m?(ãäåsg5sâ sgsèæç) A legnagyobb hajlítófeszültség a tartó középső keresztmetszetében fog fellépni, a keresztmetszeti rajz szerinti legfelső és legalsó csúcspontjában. = = 3 4 2 =6 V "<Ø =6 2,4 4 1,2=9,60" V _ =9,60 @8A30 =8,31 " V =9,60 A¹930 =4,8 " A tartó megfelel, ha _ = 180 h3 12 = 1803 h 12 _ = 180 h2 6 = 1802 h 6 =30 h 2 =5400 h "<Ø = 6 = ± V ± V ª ª _ =± V ± V ª ª 10=+ 8,31 10¾ 30 h # + 4,8 10¾ 5400 h / 5400 h # 5400h # = 1495800000+4,8 10 ¾ h h 2 88,89 h 27700=0 h y,# = 88,89±â88,89# 4 27700 2
Ferde hajlítás 35/110 h y =216,71 h # = 127,81 Semleges tengely h=217mm esetén: = 153,27 10 ¾ "" j ª =105,46 10 ¾ "" j tanè = ª tan è = 40 A tartó megfelel, ha h = 220 mm.
Ferde hajlítás 36/110 4. Ellenőrizze a tartót rugalmas állapotban, rajzoljon normálfeszültségi ábrákat! fs,y,d=235 N/mm 2 A = 30 (105+120) = 6 750 "" # Z s = 105 30 15+30 120 60 6 750 = 105 30L + 30 120L 6750 25 # 3 3 = 14,0 10 ¾ "" j ª = 30 105L 12 MEd=15 knm + 120 30L 12 My=15 cos 35 = 12,3 knm Mx=15 sin 35 =8,6 knm Semleges tengely: =25 "" # = 3,16 10 ¾ "" j :»è = 14 10¾ 3,16 10¾ :» 35 ê=2m,/, Y m = 12,3 10¾ 8,6 10¾ 95 14 10¾ 3,16 10 ¾ 15= /mx,28 1 55 m <,, =235 "" # ¼ Y / = + 12,3 10¾ 8,6 10¾ 55+ 14 10¾ 3,16 10¾ 52,5=48,34+142,88=191,2 1 55m <,, =235 "" # ¼
Ferde hajlítás 37/110
Külpontos húzás és nyomás 38/110 4. KÜLPONTOS HÚZÁS ÉS NYOMÁS Ebben a fejezetben a következő eseteket fogjuk tárgyalni: A húzószilárdsággal rendelkező keresztmetszetek külpontos húzása és nyomása rugalmas és képlékeny alapon, A kéz eset a számítás elvi alapját tekintve nem különbözik, lényeges azonban tudni a következőket: Külpontos igénybevétel esetében a keresztmetszeten fellépő feszültségek eredője a külpontos erővel azonos nagyságú, ellenkező előjelű és vele közös hatásvonalú (ΣV = 0,ΣM=0.) A szerkezetek anyagi és állapotbeli tulajdonságait a számításban felvett alapadatok határozzák meg, de minden esetben azonos alapelv szerint kell végrehajtani a számítást Ezek után vizsgáljuk meg részletesen az egyes eseteket és a számítások menetét. 4.1 Számítás rugalmas alapon Keressük a feszültség nagyságát, a semleges tengely helyét és a σ-a bra t. Általános helyzetű döféspont esetében = ) +) C ª _; itt F a külpontos erő, A a keresztmetszet felülete, Iy és Iz a keresztmetszet inercianyomatékai a koordináta tengelyeknek választott y és z főtengelyekre, ey és ez a döféspont, Y és Z pedig a vizsgált pont koordinátái. Az egyes tagok előjelét vagy matematikai úton határozzuk meg (ekkor F, ez, ez, y és z előjele húzó- vagy nyomó- hatás, illetve koordinátarendszerben elfoglalt helyzete szerint állapítható meg) vagy szemlélettel. Ez utóbbi szerint feszültségképlet első (központos hatás) tagja a felület bármely pontjában azonos előjelű (húzó esetén pozitív, nyomó esetben negatív). A második és harmadik (hajlítási) tag előjele pedig megegyezik az első tag előjelével, ha a vizsgált pont a hajlítás semleges tengelyének (a 2. tagnál a z, a 3. tagnál az y tengely) ugyanarra az oldalára esik, mint a döféspont. Az egyes tagokból azonos előjelűre adódó keresztmetszeti pontok helye A súlypontban (mivel itt y=0 és z=0)
Külpontos húzás és nyomás 39/110 8 = ) A semleges tengelyt az y és z tengelyekkel való metszéspontjával jellemezhetjük. A két pont koordinátájának (y 0 és z 0 ) képlete: _ 8 = ¹ 2 ; C _ 8 = ¹ _ 2 C Itt ¹ Ø és ¹ _ főinerciasugarak ( i ì =³ í î ï ; i ð = ³ í ñ ï ). A negatív előjel arra utal, hogy "e y" és "y o ",illetve "e z "és "z ó "az y, illetve a z tengelynek mindig az ellentétes oldalára esik. A feszültségábrát a semleges tengelyre merőleges alapvonallal rajzoljuk; ez azért célszerű, mert a semleges tengellyel párhuzamos vonalak mentén mint más igénybevétel esetében is a feszültség értéke állandó. Ha a döféspont valamelyik főtengelyre esik, ex vagy ey zérus, tehát a háromtagú σ-képlet egyik tagja kiesik, a semleges tengely pedig merőleges arra a főtengelyre, amelyiken a döféspont van. Megjegyezzük még, hogy ha a súlyponti tengelykereszt nem főtengelykereszt a feszültségképlet hajlítási tagjai helyébe a hajlításnál ismertetett általános képleteket kell tenni. A semleges tengely meghatározásának legegyszerűbb módja ebben az esetben két különböző oldalél zérusfeszültségi pontjának megszerkesztése. Külön is felhívjuk a figyelmet arra, hogy az eddig tárgyalt képletekben minden adat (kivéve A -t és F -et) az idom súlypontján átmenő főtengelyekre vonatkozik. 4.2 Számítás képlékeny alapon Közvetlen megoldóképletek nincsenek; esetenként fel kell írni a ΣM=0 és ΣN =0 egyensúlyi feltételeket, hogy az ismeretlenként előforduló adatokból (F Rd, döféspont két adata, a semleges tengely két adata) a példában meg nem adott kettőt kiszámítsuk. Az egyenletek felírásának sorrendje azonban nem közömbös; ettől függ ugyanis, hogy kétismeretlenes egyenletrendszert vagy két egyismeretlenes egyenletet kell-e megoldanunk. Az egyenletek célszerű felírásmódjára vonatkozólag az egyes példák nyújtanak tájékoztatást.
Külpontos húzás és nyomás 40/110 1. Ellenőrizzük a vázolt keresztmetszetet, határozzuk meg a semleges tengely helyét és rajzoljuk meg a feszültségábrákat. a, rugalmas alapon b, képlékeny alapon Az adott döféspontban F Ed =800 kn nagyságú nyomóerő működik. 6 =13,0 / "" 2 a, Rugalmas alapon Első dolgunk a keresztmetszetre jellemző geometriai adatok (felület, súlypont, tehetetlenségi nyomaték) meghatározása. =200 400+2 100 400 2 _ = 80000 200+40000 133,3 120000 =120000 "" # =177,8 "" 2 _ = 1 3 200 4003 +2 1 12 100 4003 120000 177,8 2 =1540 10 6 "" 4 Az ellenőrzés feszültség-összehasonlítással történik. Minthogy a döféspont az egyik főtengelyen van, a feszültségeket a következő képlettel számíthatjuk : = ) +) C ª C =177,7 100=77,7 "" Az előjeleket szemlélet alapján dönthetjük el. (A húzás pozitív, a nyomás negatív)
Külpontos húzás és nyomás 41/110 σ 1 =f d = F A F e z I y z= 800 103 120000 800 103 77,8 1,540 10 9 177,8= 13,85 N/mm 2 1 =/,,3. 1 55 m > _6 =13,00 /""2 tehát a keresztmetszet nem felel meg! Számítsuk ki a feszültséget a másik szélső szálban is: 2 = ) +) C _ = 800 103 120000 +800 103 77,8 1,540 10 9 222,2=+m,,/ 1 55 m Határozzuk meg a semleges tengely helyét. A semleges tengely merőleges az x tengelyre és a súlyponttól a döfésponthoz képest átellenes oldalon helyezkedik el. b, Képlékeny alapon ¹ 2 _ = _ =1,540 109 =12833 "" 120000 2 8 = ¹ _ 2 = 12833 C 77,8 = 164,9 "" A feladatot igénybevétel vagy külpontosság összehasonlítással oldhatjuk meg. Igénybevétel összehasonlításkor kiszámítjuk, hogy a keresztmetszet az adott döféspontban mekkora határerőt bír el és ezt összehasonlítjuk a megadott mértékadó erővel. A keresztmetszet megfelel, ha a határerő nagyobb a mértékadó erőnél. Külpontosság összehasonlításkor azt keressük, hogy az adott mértékadó erő a súlyponttól milyen messze működhet, ha az adott külpontosság ennél kisebb, a keresztmetszet megfelel. (Ebben az esetben F Ed =F Rd ) Általában a külpontosság összehasonlítás kevesebb számítási munkát igényel, mivel a semleges tengely helye alacsonyabb fokú egyenletből határozható meg.
Külpontos húzás és nyomás 42/110 b.1 Igénybevételi összehasonlítás: Először határozzuk meg a semleges tengely helyét a ΣM ö = 0 egyenletből (a döfésponton átmenő tengelyre felírva) Számítástechnikai okokból célszerű először a nyomófeszültséget az egész felületen működnek feltételezni, és aztán kivonni a húzófeszültségek nyomatékának kétszeresét. ΣV =0 6 120000 77,8 2 6 200 < 300 < 2 ø 2 6 2 < 4 < 2 ù300 2 3 <ú=0 121,368 10 ¾ 1560000+2600< # 1950< # +4,3< L = 0 4,3< L +650< # 1560000<+121,368 10 ¾ =0 Innen a=82,15 mm Az ellenőrzés az F Ed mértékadó nyomóerő és az F Rd határerő összehasonlításával történik. F Ed számítása a ΣN=0 egyenletből: ) 6 6 +2 6 hú ó =0 ) 6 =13,0 120000 2 13,0 82,15 200+241,1 2 13,0 (120000 36200) = /-3k 01 > ) = 800 Tehát a keresztmetszet megfelel. Számításunk eredményét ellenőrizhetjük, ha egy másik tengelyre (például a súlyponton átmenő tengelyre) nyomatékot írunk fel: 1089 77,8 2 13,0 û200 82,15 181,125+2 20,54 82,15 2 =84724,2 84718 0 tehát eredményeink helyesek. (A különbség a kerekítésekből adódik.) b.2 Külpontosság összehasonlítás: A semleges tengely helye most a ΣN =0 egyenletből számíthat = 167,43ü= Számítástechnikai okokból most is célszerű a nyomófeszültséget az egész felületen működőnek feltételezni, és ezután kivonni a húzófeszültségek kétszeresét. ) 6 6 +2 6 hú 8:: =0 ) = 2 úªàii
Külpontos húzás és nyomás 43/110 Innen: 800 1000 =13,0 120000 2 13,0 200 <+2 < 4 < 2 ø 6,5 < # +5200< 760000 =0 < = 5200±â5200# +4 6,5 760000 13 (a negatív eredmény a feladat szempontjából értelmetlen). = 400±526,3=126,23 "" Számítsuk ki a határkülpontosságot a keresztmetszet súlypontjára felírt ΣM ý = 0 egyenletből. V *, = ) C * = 2 úªàii _ V *, = 800 10 L C * = 2 13 (200 126,23 159,1+2 126,23 31,56 2 V *, = 118,731 10 ¾ "" =118,731 " C * = V *, 800 10 L = 148,4 "" > C = 77,8 "" Tehát a keresztmetszet megfelel. 138,05)
Külpontos húzás és nyomás 44/110 2. Adott a semleges tengely helye. Hol és mekkora nyomóerő működik a keresztmetszeten ha a keletkező legnagyobb nyomófeszültség a. rugalmas b. képlékeny alapon? 6 =10/"" 2 Mivel a semleges tengely merőleges az y főtengelyre, a döféspontnak ezen a tengelyen kell lennie. a. Rugalmas alapon =80 240+150 120 =37200 "" # _ A = 80 240 40+150 120 75 37200 =15,6 "" = 1 3 240 803 + 1 3 120 1503 37200 15,6 2 = =166910000 = 166,91 10 ¾ "" j ¹ 2 = 166910000 37200 =4486,8 "" 2 : 8 =100 15,6=84,4 "" C = 4486,8 84,4 = 53,2 "" = 10= ) * 37200 ) * 53,2 166,91 10 ¾ 95,6 10= 0,05735 10 KL ) * ) Ü6 = 174,2 (9_8"óC;ő) b. Képlékeny alapon Ebben az esetben először a ΣF þ =0 egyenletből F Rd t tudjuk kiszámítani; ezután számítjuk ki a döféspont helyét. A ΣM et most nem a döfésponton átmenő tengelyre, hanem a súlyponti tengelyre fogjuk felírni. ) = 0 ΣM =0 h =50 120=6000 "" 2 9_ =37200 6000=31200 "" 2 ) Ü6 = 10 31200+10 6000= 252 10 3 = 252 (9_8"óC;ő)
Külpontos húzás és nyomás 45/110 Most is először úgy feltételezzük, hogy a nyomófeszültség az egész felületen oszlik el (ennek statikai nyomatéka a súlypontra zérus), és azután vonjuk le a húzott rész statikai nyomatékának kétszeresét. V *, = V = ) * C =2 10 120 50 109,4 V *, = 13,128 10 ¾ "" = 13,128 " C = V * ) * = 13,128 " 252 =0,0521 " =52,1 ""
Külpontos húzás és nyomás 46/110 3. Milyen Ç r távolságban lehet a súlyponttól a vázolt keresztmetszetre működő ½ = X-- 01 nagyságú húzóerő döféspontja, ha a határfeszültség Á Â,r, =/k- 1/55 m a. rugalmas b. képlékeny alapon? a. Rugalmas alapon = 120 200L 12 88 168L 12 =45,23 10 ¾ "" j =120 200 88 168 =9216 "" # ¹ _ 2 = 45,23 106 9216 =4907,8 "" 2 e z -t legegyszerűbben úgy kapjuk meg, hogy, ha a feszültségképletbe behelyettesítünk. A döféspont helyéből látható, hogy a felső szál húzott. 190=+ 400000 9216 +400000 C ª 45,23 10 ¾ 100 190=43,4+0,8844 C ª C = 146,6 =165,8 "" 0,8844 Számítsuk ki még a feszültséget az alsó szálban is: < =+ 400000 9216 400000 165,8 45,23 10 6 100 A semleges tengely helye = 103,22 /"" 2
Külpontos húzás és nyomás 47/110 8 = ¹ _ 2 = 4907,8 C 165,8 b. Képlékeny alapon ) Ü6 =) 6 =400 =29,6 "" ) = 0 ΣV =0 400 100 L =190 9216 2 190 (120 < 88 (< 16)) 1351040 =45600< 33440<+535040 816000 =12160< < = 67,1 "" V *, = ) C * = 2 190 (120 67,1 66,45 88 (67,1 16) 58,45 =103,44 10 ¾ "" C * = 103,44 10¾ 400 10 L =258,6 ""
Külpontos húzás és nyomás 48/110 4. A vázolt keresztmetszetre központos nyomóerő és nyomaték működik. Ezek értéke: 1 ½ =/-- 01; ¼,½ =+X- 015 Határozzuk meg b méretet, ha a keresztmetszet éppen megfelel a. rugalmas b. képlékeny alapon! Á =/, 1/55 m a. Rugalmas alapon Első lépésként ismerjük fel a hajlítás síkját! Mivel Mz működik, ezért az xy sík lesz a hajlítás síkja. Fontos, hogy helyesen vegyük fel a nyomatékvektor irányát is. Ez nem bonyolult, hiszen a pozitív nyomaték a tengely növekvő irányába mutat. Ezek a megállapítások szükségesek a számítás végrehajtásához. A feladat kiírás szerint a keresztmetszet éppen a rugalmas teherbírás határán van, ezért tudjuk, hogy a szélső szálban működő feszültség érték pontosan f d. Ha felírjuk a feszültségszámítás képletét (nyomóerő = -N, ezért a feszültség abszolútértéke akkor lesz maximális, ha a nyomatékot is negatív előjellel vesszük), akkor abban a keresztmetszet területe és inercianyomatéka jelenik meg ismeretlenként. Ezek tartalmazzák a számítandó ismeretlen b értéket, amit egyszerű egyismeretlenes egyenletből könnyen meghatározhatunk. =350 ª = 350L 12 [ = = 13= V ª ª _ [ = = 100000 350 40000000 350 1 12 350L 2 / 13 = 2244,9 = 172,68 "" =180 "" Számítsuk ki a semleges tengely helyét, hogy megrajzolhassuk a normál feszültségi (σ) ábrát!
Külpontos húzás és nyomás 49/110 C _ = V =40000000 100000 =400 "" ¹ 2 = 1 = 12 3503 180 =10208,33 "" 350 180 2 _ 0 = ¹ 2 = 10208,33 =25,52 "" C _ 400 + [ = +V ª ª _ [ = b. Képlékeny alapon 100000 180 350 + 40000000 175 = 9,3 /"" 1 # 12 350L 180 Képlékeny számítás esetén abból tudunk kiindulni, hogy a keresztmetszetnek egyensúlyban kell lennie. Tehát akár együtt, akár külön-külön vesszük figyelembe a hatásokat, azokat egyensúlyozni tudjuk. Képlékeny külpontos nyomás esetén a feszültségábrát két részre bonthatjuk. A középső részen működő normálfeszültségek a nyomóerővel, míg a szélső részeken működő normálfeszültségek a nyomatékkal tartanak egyensúlyt. Ha kiszámoljuk a feszültségi testek térfogatát, akkor a feszültségek eredő erejét kapjuk. A nyomatéki résznél az erőkar a két feszültségi test súlypontjának távolsága lesz.. = 2 <. V ª = < (350 <). 100000 = 350 13 2 < 13. 40000000 =< 13 (350 <). =. = 100000 13 (350 2 <) 40000000 13 (350 <) < 100000 13 (350 2 <) = 40000000 13 (350 <) < 13 (350 2 <) 400 =13 < (350 <) 1820000 10400 < =4550 < 13 < #
Külpontos húzás és nyomás 50/110 13 < # 14950 <+1820000 = 0 < y,# = 14950± 14950# 4 13 1820000 26 < y =138,4 "" = 140 "" < # = 1011,6 "" (h<"¹a»_ö)
Külpontos húzás és nyomás 51/110 5. Számítsuk ki Y 5sá értékét és rajzoljuk meg a feszültségábrát rugalmas alapon, ha ½ =m-,- 01 Az eddigi feladatokkal ellentétben a döféspont nincs rajta egyik főtengelyen sem, ezért az erőnek mindkét főtengelyre van nyomatéka. Ügyeljünk azonban arra, hogy ezúttal a súlyponti vízszintes és függőleges tengelyek a keresztmetszetnek nem főtengelyei! A keresztmetszet szimmetrikus, ismerjük a főtengelyeket: " = 240 2 = 240# 2 = 120 2 "" = 28800 ""# ª =2 120 2 µj 36 + 120 2µ# 2 =138,24 10 ¾ "" j 40 2µ # _ = ù 1 36 120 â2 ø3 120 â2ú=46,08 10 6 "" 4 C = 120 2 3 =40â2 "" C _ =120 â2=120â2 "" [ = y = V y V ª ª _ y = 20000 28800 20000 40 2 46,08 10 ¾ 40 2 20000 120 2 138,24 10 ¾ 120 2= 0,694 1,389 4,167 =+6,25 /"" # # = V # V ª ª _ # = 20000 28800 20000 40 2 46,08 10 ¾ 80 2+ + 20000 120 2 138,24 10 ¾ 0= 0,694+2,778+0=2,084 /"" # L = V L V ª ª _ L = 20000 28800 20000 120 2 46,08 10 ¾ 40 2+
Külpontos húzás és nyomás 52/110 + 20000 120 2 138,24 10 ¾ 120 2= 0,694 1,389+ 4,167 =2,084 /"" # ¹ 2 _ = _ =138,24 106 =4800 "" 28800 2 ¹ 2 _ = =46,08 106 =1600 "" 28800 2 0 = ¹ _ 2 _ 0 = ¹ 2 C = 4800 120 2 C _ = 1600 40 2 = 28,28 "" = 28,28 "" 45 -os derékszögű háromszögeknél ha a döféspont a háromszög egyik csúcspontjaában van a semleges tengely természetesen párhuzamos a háromszögnek az illető csúcsponttal szemben fekvő oldalával. Rajzoljuk meg a feszültségábrát!
Külpontos húzás és nyomás 53/110 6.) Ellenőrizze a tartót, ha δ=90, α=0 a) rugalmas állapotban, b) képlékeny állapotban! 7.) Ellenőrizze a tartót rugalmas állapotban, ha δ=90, α=40! 8.) Ellenőrizze a tartót, ha δ=45, α=0 a) rugalmas állapotban b) képlékeny állapotban a határ erő és a határ külpontosság összehasonlításával! 9.) Ellenőrizze a tartót rugalmas állapotban, ha δ=45, α=40! fd = 10,7 N/mm 2 A keresztmetszet adatai: =300 100+200 100 = 50000 "" # A = 100 200 200+300 100 50 50000 =110 "" _ = 300 1003 3 = 200 1003 12 + 100 2003 3 + 100 3003 12 50000 10 2 =361,67 10 6 "" 4 =241,67 10 6 "" 4
Külpontos húzás és nyomás 54/110 6.) Ellenőrizze a tartót, ha δ=90, α=0 a) rugalmas állapotban, b) képlékeny állapotban! a) rugalmas állapot = ± Þ = ± Þ <Aó = 10 106 ""2 361,67 10 6 110= 3,041 = "<Ø <10,7 "" 2 CAő =+ 10 106 361,67 10 6 190 =+5,253 "" 2 =+ "<Ø <10,7 "" 2 A keresztmetszet adatai: =50000 "" j A =110 "" _ =361,67 10 6 "" 4 A keresztmetszet rugalmasan megfelel!
Külpontos húzás és nyomás 55/110 b) képlékeny állapot V Ü6, = 6 9_8"8:: + hú 8:: µ A semleges tengely területfelező! 2 =50000 = 25000 "" 2 2 A területfelező vonal az alsó téglalapban lesz, mivel annak nagyobb a területe, mint a felső résznek. Ha ez a feltételezés rossz, akkor a-ra az alsó téglalap magasságánál nagyobb értéket kapunk. Ekkor már ezt figyelembe véve kellene megismételni a számítást. A határnyomaték számítása: < = 25000 300 = 83,33 "" < 110"",a feltételezés helyes volt Minden kis téglalapnak vesszük a statikai nyomatékát a semleges tengelyre. Mivel a semleges tengely félbevágja az alsó téglalapot, ezért a nyomott oldal statikai nyomatéka két részből fog állni. V Ü6, =10,7 (300 83,33 41,67+300 16,67 8,33+100 200 116,67) =36,56 10 6 ""=36,56 ">10,0 "! A semleges tengely területfelező, ezért úgy is számolhatunk, hogy a nyomott oldal statikai nyomatékát a súlypontra kétszer vesszük. V Ü6, =2 6 9_8"8::,A V Ü6, =2 10,7 300 83,33 68,33 10 6 =36,56 ">10,0 "
Külpontos húzás és nyomás 56/110 7.) Ellenőrizze a tartót rugalmas állapotban, ha δ=90, α=40! Á =/-,21 55 m A keresztmetszet adatai: Nyomatékvektor felbontása: V _ =10,0 cos40 =7,66 " V =10,0 sin40 =6,428 " Semleges tengely: tanè= _ tan = 361,67 106 241,67 10 6 tan40 è =51,47 =50000 "" # A =110 "" _ =361,67 10 6 "" 4 =241,67 10 6 "" 4 Feszültségek számítása: = ± V ± V ª ª _ Előjelszabály: 1 =+ 7,66 106 6 6,428 10 ""2 361,67 10 6 190+ 241,67 10 6 50=+5,354 =+ "<Ø
Külpontos húzás és nyomás 57/110 2 = 7,66 106 6 6,428 10 361,67 10 6 110 241,67 10 6 150= 6,32 ""2 = "<Ø
Külpontos húzás és nyomás 58/110 8.) Ellenőrizze a tartót, ha δ=45, α=0 a) rugalmas állapotban, b) képlékeny álllapotban a határ erő és a határ külpontosság összehasonlításával! fd=10,7 N/mm 2 A keresztmetszet adatai: =50000 "" j A =110 "" _ =361,67 10 6 "" 4 Külpontosság: C ª = V =7,071 10¾ 7071 Semleges tengely: =1000 "" 8 = _ = 361,67 106 =7,233 "" C 50000 1000 a) rugalmas állapot = + ±V <Aó =+ 7071 50000 7,071 106 361,67 10 6 110= 2,01 ""2 < 10,7 "" 2 CAő =+ 7071 50000 + 7,071 106 361,67 10 6 190=+3,856 ""2 A keresztmetszet rugalmasan megfelel!
Külpontos húzás és nyomás 59/110 b) képlékeny állapot Erő összehasonlítás: Adott ey, NRd=? 1.) ΣMD=0 a (semleges tengely a talpban) 10,7 50000 1000 2 10,7 300 a 1110 < 2 ø =0 < 2 2 1110 <+83333,3=0 2.) ΣFi,x=0 NRd < < 1 =77,8 ""<100 (ó < C:é:CC éa) < 2 =2142 "" (h<"¹a»_ö) Ü6 =10,7 50000 2 10,7 300 77,8=35524 =35,52 >7,071! Külpontosság összehasonlítás: 1.) ΣFi,x=0 a (semleges tengely a talpban) 7071 =10,7 50000 2 10,7 300 < < = 82,23 "" 2.) ΣMs=0 eyrd V *, = 7071 C * =2 10,7 300 82,23 (110 82,23 2 ) C Ü6 =5142 "" >C 6 =1000 "" MF!
Külpontos húzás és nyomás 60/110 9.) Ellenőrizze a tartót rugalmas állapotban, ha δ=45, α=40! fd=10,7 N/mm 2 A keresztmetszet adatai: =50000 "" j A nyomatékvektor felbontása: V _ =7,071 cos40 =5,417 " V = 7,071 sin40 =4,545 " C _ = V = 4,545 7,071 =0,6428 " A =110 "" _ =361,67 10 6 "" 4 =241,67 10 6 "" 4 C = V _ =5,417 7,071 =0,766 " Semleges tengely: _ 8 = = 241,67 106 =7,52 "" C _ 50000 642,8 8 = _ = 361,67 106 =9,443 "" C 50000 766 Feszültségek számítása: = ±V ± V ª ª 1 = + 7,071 103 50000 + 5,417 106 6 4,545 10 361,67 10 6 190+ 241,67 10 6 50=+3,928 ""2
Külpontos húzás és nyomás 61/110 2 = + 7,071 103 50000 5,417 106 6 4,545 10 ""2 361,67 10 6 110 241,67 10 6 150= 4,327
Külpontos húzás és nyomás 62/110 10.) Ellenőrizze a tartót a) rugalmas állapotban, b) képlékeny állapotban a határ erő és a határ külpontosság összehasonlításával! fs,y,d=235 N/mm 2 A =30 (105+120) = 6 750 "" # Z s = 105 30 15+30 120 60 6 750 =25 "" # a, rugalmas állapot MEd=7,5 knm, NEd=+8,66 kn C = 7,5 10¾ =866,05 "" 8,6 10L = 105 30L + 30 230L 6750 25 # 3 3 = 14,0 10 ¾ "" j Y Á =+ 8,66 10L 6750 + 7,5 10¾ 55=+1,28+29,46=30,74 1 55m < 14 10¾,, = 235 "" # ¼ Y [ = 8,66 10L 6750 7,5 10¾ 95=+1,28-50,89= Xk,4/ 1 55m < 14 10¾,, = 235 "" # ¼ æ = 14 10¾ 8,66 10 L 675 7,5 10 ¾ = m,,k 55
Külpontos húzás és nyomás 63/110 b, képlékeny állapot Erő összehasonlítás ΣMD=0 0=235 6750 866,05 2 235 30 < (866,05+ < 2 ) < # 2 961,05 <+97430,625=0 < =107,38 "" <120 "" ΣFix= 0 =235 6750 235 2 30 107,38=2m,mm 01 >8,66 = V ¼ Külpontosság összehasonlítás: ΣFix=0 8,66 10 L = 235 6750 2 235 30 < < =111,89 "" <120 "" ΣMs=0 8,66 10 L C * =2 235 30 111,89 39,06 Ç =2//.,3 55>866,05 "" ¼
Külpontos húzás és nyomás 64/110 11.Ellenőrizze a tartót rugalmas állapotban!fs,d,y=235 N/mm 2 Rajzoljon normálfeszültségi ábrákat! ez=709 mm ez=500 mm A = 30 (105+120) = 6 750 "" # Z s = 105 30 15+30 120 60 6 750 = 105 30L + 30 230L 6750 25 # 3 3 = 14,0 10 ¾ "" j ª = 30 150L 12 + 120 30L 12 =25 "" # = 3,16 10 ¾ "" j My=7,5 cos 35 = 6,14 knm Mz=7,5 sin 35 = 4,3 knm Semleges tengely : À = 14 10¾ 8,66 10 L 6750 6,14 10 ¾ = 2,925 "" _ À = 3,16 10¾ 8,66 10 L 6750 4,3 10 ¾ = 0,943 "" Y / = 8,66 10L 6750 Y m = 8,66 10L 6750 + 6,14 10¾ 4,3 10¾ 55+ 14 10¾ 3,16 10¾ 52,5=+k4,3X 1 55m <,, =235 "" # ¼ 6,14 10¾ 4,3 10¾ 95 14 10¾ 3,16 10¾ 15= 4-,2k 1 55m <,, =235 "" # ¼
Külpontos húzás és nyomás 65/110 12, a, Rajzolja meg a tartó N,V,M ábráját! b, Ellenőrizze a tartót rugalmas alapon a K keresztmetszetben! c, Ellenőrizze a tartót képlékeny alapon a K keresztmetszetben! Mindkét feladatrészhez rajzoljon normál feszültség ábrát! fs,d,y=235 N/mm 2 A= 20 (100+140) =4800 mm 2 = 100 160 80 80 140 70 = 103,33 "" 4800 = 100 20L + 20 140L 4800 36,66 3 3 =12,11 10 ¾ "" j NEd= 30kN MEd=22,5 kn eed=750mm C = V b, rugalmas állapot: Y Á =+ 30 10L 4800 22,5 10¾ 12,11 10¾ 56,67=+6,25-105,29= 99,04 1 55m <,, = 235 "" # ¼ Y s =+ 30 10L 4800 + 22,5 10¾ 12,11 10¾ 103,33=+6,25+191,98=198,23 1 55m <,, =235 "" # ¼ - = 12,11 10¾ 4800 750 =,,,4X 55
Külpontos húzás és nyomás 66/110 c, képlékeny állapot, külpontosság összehasonlítás ΣFix=0 30 10 L = 235 4800 2 235 (20 100+20 <) < =16,81 "" ΣMs=0 MRd,pl=NEd C * = 2 235 (20 100 46,6+20 16,81 28,26) V *, 48,27 " > 22,5 " = V erő összehasonlítás: ΣMD=0 Ç,Èg = V *, =/4//,// 55>750 "" ¼ 0= 2 235 (20 100 796,66+20 < 786,6 < ø+235 4800 750 < = 13,25 "" 2 ΣFix=0 NRd,pl= 4800 235 2 235(20 100+20 13,25)=4,,X3 01>30 = V ¼
Külpontos húzás és nyomás 67/110 13, a, Rajzolja meg a tartó N,V,M ábráját! b, Ellenőrizze a tartót rugalmas alapon a K keresztmetszetben! c, Ellenőrizze a tartót képlékeny alapon a K keresztmetszetben! Mindkét feladatrészhez rajzoljon normál feszültség ábrát! fs,y,d=200 N/mm 2 A=2 (20 160+10 120)=8800 mm 2 = 160j 12 140 120L = 34,45 10 ¾ "" j 12 = 30 2# 8 = 15 " Mmax= 90+15=105 knm b, rugalmas állapot: NEd=-30 kn, MEd= 90 knm C = Þ à à = 3000 "" Y Á = 30 10L 8800 90 10¾ 34,54 10¾ 80= 211,86 1 55m >,, =200 "" # 1¼ Y s = 30 10L 8800 + 90 10¾ 34,54 10¾ 80= 3,41+208,45=m-.,-X 1 55m >,, = 200 "" # 1¼ - = 34,54 10¾ 8800 3000 = /,,-3 55
Külpontos húzás és nyomás 68/110 c, képlékeny állapot: külpontosság összehasonlítás ΣFix=0 30 10 L = 200 8800 2 200 (20 160+2 10 <) < = 56,25 "" ΣMs=0 MRd,pl=NEd C * = 2 200 (20 160 70+2 10 56,25 31,875) V *, 103,94 " >90 " =V V) Ç,Èg = V *, =,X4.55>3000 "" ¼ erő összehasonlítás: ΣMD=0 0=200 8800 3000 2 200 20 160 3070+2 10 < (3060 < )ø < = 55,67 "" 2 ΣFix=0 NRd,pl= 8800 200 2 200(20 160+2 10 55,67)=,X,4X 01>30 = V ¼
Külpontos húzás és nyomás 69/110 14, Ellenőrizze a megadott tartót a K keresztmetszetben rugalmas alapon, rajzoljon részletesen kótázott normálfeszültségi ábrát! fd=26,7 N/mm 2 A= 300 2-150 2 =67500 mm 2 9 = 300 L 2 150# 225 =125 "" 67500 = 300j 12 150j 12 = 632,81 10¾ "" j ª =632,81 10 ¾ +300 # 25 2µ # 150 # 100 2µ # =295,31 10 ¾ NK= -20 kn MK=42,43 0,5-20 0,5 m 0,25=17,68 knm ¼ r =¼ = 17,68 2 y = 20 10L 67500 + 12,5 10¾ 12,5 10¾ 632,81 10¾ 106,07+ 295,31 10 ¾ 141,42 Y / 7,785 1 55 m <,, =26,7 "" # ¼ = /m,. 015 C =12,5 20 =0,625 " À = 632,81 10¾ 67500 625 = 15 "" _ À = 295,31 10¾ 67500 625 = 7 "" Y m = 20 10L 67500 12,5 10¾ 55m 295,31 10¾ 125 2= 2,22k1 <,, =26,7 "" # ¼
Hajlítással egyidejű nyírás 70/110 5. HAJLÍTÁSSAL EGYIDEJŰ NYÍRÁS Ha a keresztmetszeten nem csak nyomatékok működnek (tiszta hajlítás), hanem nyíróerők is (közönséges hajlítás), szükségünk van nyírófeszültségek ismeretére is. Számításunkat csak a rugalmas egyenes hajlítás esetében tárgyaljuk, nyíróerő ekkor az y síkban működik. Az x tengellyel párhuzamos sávok mentén a feszültség átlagos értéke: (Maximális ott, ahol S ì /b hányados maximumot ad.) = S ì a vizsgált hely feletti (vagy alatti) keresztmetszet-darab statikai nyomatéka a súlyponti y tengelyre; V a keresztmetszetre ható nyíróerő; b a keresztmetszet dolgozó szélessége a vizsgálat helyén; I ì pedig a teljes keresztmetszetnek az y tengelyre felírt inercianyomatéka. Néhány keresztmetszeti idom esetében a képlet egyszerűbbé válik. Téglalap és háromszög szelvény feszültségi maximuma középmagasságban van, értéke: [ = 3 2 (Ugyan ez a öªé képlete trapézszelvénynél is, de az itt nem a maximális feszültség, annál néhány százalékkel kisebb.) Kör keresztmetszetnél az maximális érték szintén a középső keresztmetszetben lép fel: [ = 4 3 Összetett szelvények feszültségi maximuma a súlypont magasságában van akkor, ha a keresztmetszet szélességi mérete itt a legkisebb. Ellenkező esetben a feszültségi diagram elemzése ad tájékoztató információt a feszültségi maximum hely megállapításáról. (Ezeket továbbiakban lásd a példáknál.)