Az interneten találtam ezt a szövegrészt.. Schleppkurven Vontatás V. Schleppkurven: die Größen f(t) = (x(t), y(t)) Führungskurve s(t) = (u(t), v(t)) Schleppkurve Parameter D Deichsellänge Systemgleichungen du/ = (x-u) ((x-u) dx/ + (y-v) dy/)/d dv/ = (y-v) ((x-u) dx/ + (y-v) dy/)/d gesucht. Ungünstig dimensionierte Verkehrswege - in landwirtschaftlichen Betrieben beispielsweise - führen zu unnötigen Rangiervorgängen und zu erhöhten Risiken. Bereits während der Bauplanung ist der Verkehrsflächenbedarf abzuschätzen. Unter anderem benötigt man den Schleppkurvenverlauf für größere Fahrzeuge und Fahrzeugkombinationen. Der Abstand zwischen Vorder- und Hinterachse eines Fahrzeugs sei gleich D. Der Mittelpunkt der Vorderachse möge sich auf einer Führungskurve f(t) = (x(t), y(t)) bewegen. Dabei sind x und y die Komponenten in kartesischen Koordinaten. Die Schleppkurve s(t) = (u(t), v(t)), das ist die Bewegung des Mittelpunkts der Hinterachse, ist..1 Schleppkurven bei Kreisfahrt. Als Führungskurve wird ein Kreis mit vorgebbarem Radius gewählt. Die Vorderachse startet auf der positiven Halbachse. Die Anfangspositionen des hinteren Achsmittelpunkts sei beliebig vorgebbar. Das Simulationsprogramm soll die zugehörige Schleppkurven ausgeben. Lelőhelye: http://www.hs-fulda.de/~grams/simmaterial/simaufgabenweb.htm Itt közlik a vontatási görbe differenciálegyenleteit. Kíváncsi lettem, hogyan jött ki. A levezetést alább közlöm. Ehhez tekintsük az 1. ábrát is! 1. ábra
A kerékpár - rúd F végpontja az f vezető - görbén halad, míg a hátsó tengely S középpontja az s vontatási görbén. Az f vektor: f (t) x(t) i y(t) j ; ( 1 ) az s vektor: s(t) u(t) i v(t) j ; ( ) az 1. ábra szerint: s(t) D(t) f (t), innen: D(t) f (t) s (t). ( 3 ) A D vektor hossza állandó, így derékszögű háromszögből: x u y v D. ( 4 ) Most ( 4 ) - et differenciálva: dx u dy v x u y v 0; rendezve: dx dy du dv xu yv x u yv. ( 5 ) Az S pont v S sebessége SF - irányú, így dv vy,s y v. x,s x u ( 6 ) Most ( 6 ) - ból: dv y, x u du x u dv. y v ( 7 ) ( 8 ) Majd ( 5 ) és ( 7 ) - tel: dx dy du y x u y v x u yv x u du y v x uy v ; x u
3 innen: dx dy du x u x u y v x u y v ; most ( 4 ) és ( 9 ) - cel: dx dy du x u x u y v D, amiből: du 1 dx dy x u x u y v. D Ezután ( 7 ) és ( 10 ) - zel: dv y y v 1 dx dy x u x u y v x u x u D 1 dx dy y v x u y v, D tehát: dv 1 dx dy y v x u y v. D ( 9 ) ( 10 ) ( 11 ) Látjuk, hogy az S ( u, v ) vontatási görbepont koordinátáinak időfüggvényeit a ( 10 ) és ( 11 ) egyenletekből álló differenciálegyenlet - rendszer megoldása szolgáltatja, ismert kezdeti feltételek mellett. Ezzel a feladatot megoldottuk. Megjegyzések: M1. A ( 10 ) és ( 11 ) egyenletek együttes megoldása célszerűen numerikus, illetve grafikus úton történhet. M. Az itteni eredmények már a harmadik lehetőséget kínálják a vontatási görbe leírására lásd az I. és II. részt is! M3. A ( 10 ) és ( 11 ) egyenletek egyszerű, áttekinthető szerkezetűek; adja magát, hogy ezek alapján felírjuk a kétkerék - pár mozgásegyenleteit is. Ehhez tekintsük a. ábrát is!
4. ábra Az első kerékpár egyenleteiből a második kerékpáréit úgy kapjuk, hogy elvégezzük az F(x, y) S 1(u 1, v 1), S 1(u 1, v 1) S (u, v ), D1 D ( 1 ) cseréket. Most ( u, v ) helyett ( u 1, v 1 ) - et írva, ( 10 ) és ( 11 ) - gyel ~ az I. kerékpár egyenletei: du1 1 dx dy x u 1 x u1 y v 1 ; D1 dv1 1 dx dy y v1 x u1 y v 1. D 1 ( 13 ) Majd ( 1 ) és ( 13 ) - ból ~ a II. kerékpár egyenletei: du 1 du1 dv 1 u1 u u1 u v1 v ; D dv 1 du1 dv 1 v1 v u1 u v1 v. D ( 14 ) Természetesen nincs akadálya három vagy több összekapcsolt kerékpár esete vizsgálatának sem; igaz, ennek a számítási munka növekedése az ára. Ezt az árat azonban ma már egy egyetemista is meg tudja fizetni, mert például házi feladatnak kapta.
5 Tény, hogy az interneten ma már többféle, hasonló jellegű üldözési, vontatási feladat animációja szemlélhető. Ezek általában numerikus módszerekkel készültek. Vontatásra fel! Linkek: http://www.mathcurve.com/courbesd/tractrice/tractoire.shtml http://did.mat.uni-bayreuth.de/geonet/beispiele/verfolgung/verfolgungsprobleme.html http://www.educ.ethz.ch/unt/um/mathe/gb/verfolgungsprobleme.pdf Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár Sződliget, 010. augusztus 11.