C := {a + bi : a, b R},

Ú Þ Ø Þ Ñ Ø ÐÑ Ð Ø Áº Å Áº Ú Ò ÓÖÑ Ø Ù ¹ ÐÐ Ø Þ Ñ Ö Ð Ø ¾¼¼ º Þ Ð ÓÞ Þ ÐÐ ØÓØØ Ð Ò Ö Ì Ñ

Ì ÖØ ÐÓÑ ÝÞ Ú Þ Ø ¾ ½ºº ÃÓÑÔÐ Ü Þ ÑÓ ¾ºº Ä Ò Ö Ý ÒÐ ØÖ Ò Þ Ö ¾º½ºº ÃÓÓÖ Ò Ø ÓÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ºº Î ØÓÖØ Ö ºº Ä Ò Ö Ð Ô Þ ½½ º½ºº Ä Ò Ö Ð Ô Þ Ñ ØÖ Ü º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ºº È ÖÑÙØ Ø ÖÑ Ò Ò Ó ½ º½ºº È ÖÑÙØ ÒÚ ÖÞ Þ Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾ºº Ø ÖÑ Ò Ò Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ºº Å ØÖ Ü Ö Ò ½ ºº Å ØÖ Ü ÒÚ ÖÞ ½ ºº Ä Ò Ö Ý ÒÐ ØÖ Ò Þ Ö Ø Ö Ý Ð Ñ ØÖ ÜÓ Ð ½ ºº Å ØÖ ÜÓ Ø ÖØ ØÚ ØÓÖ Ø ÐØ Ö ¾¼ ½¼ººÎ Ø Ð Ò ÐÑ ÞÓ Þ ÑÓ ¾½ ½½ºº Ð Ñ Ð Þ ÑÐ Ð Ó ¾½ ½¾ºº Ö Ó ¾ ½ ºº Ð ÔØÙÐ ÓÒ ¾ ½ ºº ÝÐ Ý Ø Ø Ð ¾ ½ ºº ÃÖÙ Ð Ð ÓÖ ØÑÙ ¾ ½ ººË Ö Ó ¾ ½ ººË Ö Ó Ù Ð Ø ¾ ½ ºº Ö Ó Ñ ØÖ Ü ½ ½

Ú Þ Ø Þ ÝÞ Ø Å ¹Ò ¾¼¼»¾¼¼ ¹Ó Ø Ò Ú Ð Ð Ú Ò Þ Ò ÓÖÑ Ø Ù ¹ ÐÐ Ø Þ Ñ Ö Ð ÓØØ Ú Þ Ø Þ Ñ Ø ÐÑ Ð Ø º Ð ÓÞ Ô ÓÐ Ð ÓÖ Ò Þ ÑÐ Ø ØØ Ø Ö Ý Ð Ø ÖØ Ò Ú Þ Ö Ú Ð Ð Þ Ð ÒÝ º Æ Ñ Ô ØÓÐ ÞÓÒ Ò Ö Ò Ð Þ Ö ÐÐ ÒÝÚ ÓÖÑ ¹ ØÙÑ ÝÞ Ø Ø Ñ ÐÐÝ Ð Þ ÑÓ Ø ÒØ Ø Ò Ý Þ º Ð ÒÝ Ø Ð Ò Ñ ÒÒÝ Ó Ý ÞÓÖÓ Ò Ô ÓÐ Þ Ö Ò Ð ÓØØ ÒÝ ÓÞ Ý ÓÒ ÒØÖ ÐØ Ò Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ Ú Þ Ò Þ ÑÓÒ ÖØ ØÙ¹ غ Â Ð Ò ÝÞ Ø Ú Ð Ñ ÒÒÝ Ö Ø Ð ÑÙØ Ø ÞÓÒ Ò Þ Ð ÓÒ Ð Ò ÞÓØØ ÓÒ Ý ÓÐÝ Ò Ö Þ Ø Ø ÖØ ÐÑ Þ Ñ Ò Ñ Ò ÞÓØØ Ð Þ Ð ÓÒ ÐÐ ØÚ Ñ Ø Ò Ñ Ö Ò Þ ÑÓÒ Ú Þ Òº À Ø Ø Ú Ð Þ Ò Ú Ð ØÐ Ò Ð ÓÑÓÐÝ Ò Ö Ð Ý¹ Ý Ø Ñ Ö Ö ÒØ Ö Þ ÒØ Ò Þ ÐÚ Þ Ô¹ Ø Ù Ú ÝÓ ÞÞ Ð Ô ÓÐ Ø Òµ ÞÓ Þ Ñ Ö Ó Ý ÞØ ØØ Ñ Ò ÒÝ ÐØ Ð Ñ Ö Ò Ø ÐØ Ñ ÝÞ Øº Þ Ð ÝÞ Ø Ò ½ Ðк ÔÖ Øò Þ Ð ÓÐÚ Ø º Æ Ð Ø Ð ÞÓÒ Ò Ó Ý Þ ÙÔ Ò Ø Ò ÒÝ ÓØ Þ Ø Ñ ÝÞ ÓÞ Ó Ý Ý ÓØØ ÒÝ Ö Þ Ò Ú Ð Ø ÒÝÐ Ò ÐÑ ÐÝ Ð Ò Ñ Ð Ð Þ ÖÓ ÐÑ Ø µ Ð Þ Öò Ø ÒÙÐÑ ÒÝÓÞÒ º ÞÓÒÝ Ø Ó Ú Ø ÓÐÝ Ò Ó ÐÞ Ñ ÒØ Ñ ÐÝ Ò Ôк Ò ÓÖ Ò Ðк ÀÓ Ý Ò ØØ Ð ØÖ ÝÞ Ø Ý Ð ÓÖÓÞ Ø Ø ÖÚ Þ ÓÖ Þ Ð Ò Ð Þ Öò Ø Þ¹ Ò Ð Ø Ö Ú ÞÐ ØÓØ Þ Ø Ò Þ Ð Ò Þ ÒÝ Ö Ð Ó Ý Þ Ñ Ò Ð Ý Þ ÖÚ Ò Ð Ô Ð Ð Òº À Ð ÓÖ Þ Öò Ø ÒÓÐ Ð Ö Ô Þ Ò ÑÑ Ö ÓØØ Ø ÖØÙÒ Ó Ý Ò Ñ Ð ÒÝ Ò Ó¹ ÒÝÓÐÙÐØ Ý ÐÝ Ø ÒÝ ÓØ Ø Ð Ò Þ Ö ÞØ Ò Ðк Ø ÖÓÐÒ Ñ ÒØ ÝÓÑ ÒÝÓ Ô Ô Ö Ð ÔÓÒ ¾ º ÝÞ Ø Ð ÓÖ Ò Ø Ø Þ Ð Ø ÒÝ ÒØ Ö ÐØ Þ ÐÐ Ø Ö º ÒÒ Ý Ú Ø Þ¹ Ñ ÒÝ Ó Ý Ø ÐÙ Ñ Ð Ø Ò Ø Ñ Öº Æ Ñ ÐÐ Ñ Ð Ô Ò Ý¹ Ý ÑÓÒ Ø Ø Ð Ñ ÖØ Þ Ö Ø ÓÐ ÓØ Ø ÐÐ ÓÒ ÓÐÒ º ËÞ Ö Ò Ö Ò Ñ Ù ÒÒ Ð Ð ÔØ Ò¹ÒÝÓÑÓÒ ÐÝ Ò ÑÓÒ ØÓ º Å Ò Ò Ö Þ Ø ÐÐ Ò Ö Ú Ð Þ ÒòÐ Þ ÑÓ Ñ Ö Ø Þ Ð ÝÞ Ø Òº Ä ØÒ Ô Ö¹ Þ Ø º ËÞ Ö Ò Ö ÚÓÐØ Ø ØØ º ÝÓ Ý Þ Ò Ø Ø ÑÓÒ Ó Ë ÑÓÒÝ ÓÖÒ Ð Ö Ó Ð Ô ÓÐ ØÓ Ö Þ Þ ÓØØ Ø Ò Ó ÖØ Â ØØÒ Ö ÐÔ ÖÒ Þ Ú Þ Ö ÞØ Þ ÒÝ ¹ ØÓØØ Ø ÖØ Þ ÑÓ Ú ÐÐ ÑÓ Ñ ÖÒ ¹ ÐÐ Ø Ò ÝÞ Ø ÓÖ Ú ÖÞ Ò Ø Ð Ð Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ö ÚØ Ð Ý ÐÑ Ñº Ì ÖÑ Þ Ø Ò Ñ Ò Ò Ñ Ñ Ö Ø ÖØ Ð Ð Ý Ð Þ ÖÞ º Þ Þ Ð Ô ÓÐ ØÓ Ñ ÝÞ Ø ÓÒ ØÖÙ Ø Ú ÓÞÞ Þ Ð Ó Ø Þ Ò ØØ Ð Ó ÓÑ Ð Ò Ö º Ñ º Ù Ñ Òº Â Ð Ò ÝÞ Ø Ð ÒØ Ö Þ Þ ÐÐ Ñ Ø ÖÑ Ò Ñ Þ ÖÞ º Ã Þ Ö Ð Ó Ø Ö ÞØ Å ËÞ ¹ Ñ Ø ØÙ ÓÑ ÒÝ ÁÒ ÓÖÑ ÐÑ Ð Ø Ì Ò Þ ÓÖ ÐÓÑ ÓÞ Ø Ð Ò ÐØ ÖÓÒ Ø ÖØ Ò º Þ ÖÞ Ó Ó Ø ÒØ Ø Ò Þ ÖÞ Ð ÔÞ Ð Þ Ð º ÝÞ Ø Þ ÓÒ Ð ÞÒ Ð Ø Ñ ÓÐ Ø Ø Ö¹ ÞØ Ø Þ Ö Ð Þ ÖÞ Ðк ÓÖÖ ÔÓÒØÓ Ñ Ð Ð Ú Ð Ò Ý Ò Òº Í Ý Ò Þ Ñ Ø Ö Ð Ñ Ò Ò ÓÐÝ Ò Þ ÖÞ Ó Ø ÐÝ Ð ÓÐÓ Ö Ñ ÒØ Ø ÔÙ Ð ÞÒ Ð Ð Þ ÖÑ Þ º Þ Ñ Ø ØØ Ð ÐØ Ö Ð Ð ÞÒ Ð ÓÞ Ð Ò ÑÙÒ Þ ÖÞ Ò Ò ÐÝ Þ º Å Ò Ò ÓÐÚ Ò Ö Ð Þ Ð Ø Ö Ñ ÒÝ Ú Þ Þ Ø Ú ÒÓ º Ð Ò Ö Ì Ñ ½ Å ÒØ Ôк Þ Øغ ¾ ÐÐ ØÚ Ó Ý Ò Ñººº Î Ð Ý Ú ÞÐ ØÓ ÒÝ ÚÓÐØ ÝÞ Ø ÓÖ Þ Ñ Ø ¹ Ú µ Þ ÚÓÐØ Ö º Ã Ð Þ ØØ Ú ÐÒ ÝÖ Ò ÝÞ Ø ÓÖÑ Ð Øغ Æ Þ Ñ Ö Ý Ô Ò ÙÖ Þ ÞÑ Ø Ð Ð Öغ ¾

½º ÃÓÑÔÐ Ü Þ ÑÓ ÅÓØ Ú º Ò Þ Ø Ò Þ Ñ Ó ÐÓÑ Ý Ø Ö ÞØ Ö Ð Ð Þ Þ º ÃÓÖ Ø ÒÙÐÑ ÒÝ Ò ÓÖ Ò Ø ¹ Ð Ð ÓÞØÙÒ Ø ÖÑ Þ Ø Þ ÑÓ Ð N = {0, 1, 2,...}µ Þ Þ Ð Z = {0, 1, 1,2, 2,...}µ Ö ÓÒ Ð Þ ÑÓ Ð Q = { p : p Z,0 < q N}µ ÐÐ ØÚ Ú Ð Þ ÑÓ R ÐÑ Þ Ú Ðº Ö Ñ ÖÖ Ú Þ ÑÐ ÞÒ Ñ ÑÓØ Ú ÐØ Þ Ý q Þ Ñ ÐÑ ÞÓ Ú Þ Ø Ø Ðк Ú Ø Øº À Ú Ð Ñ Ø Ñ ÖÓ Þ ÑÓÐÒ ÓÖ Ø ÖÑ Þ Ø Þ ÑÓ Ð ÓÐ ÓÞÓѺ À ÞÒÓ ÑòÚ Ð Ø Ø Ú Þ Ø Ò Ñ ÐÝ Ñ ÒÒÝ Ø ÒÒ Þ ÑÓÐ Ø Ó Ý Ñ ÒÒÝ Ö Ñ Ð Þ Ú Ò ÑÓ Ø ½ Ú Þ Ñ Ú Ý Ð Ó µ ¹ غ Ñ ØÙ ØÓÑ ÞØ Ó Ý Ý ½¼¼Ñ ½¼¼Ñ¹ Ú Ý Ý ¼Ñ ½½¼Ñ¹ Ð Ö Ö¹ Ø Øº Ò Ø Ú Þ Ú Þ Ø Ú Ð ÝÖ ÞØ Ø ÖØÓÞ Ø ÒÝ Ø Ð Ø Ð Ð ÖÒ Ñ Ö ÞØ Ð Ö Ø Ó Ý ÚÓÒ ÑòÚ Ð Ø ÓÒ Ò Ð Ð ÐÚ Þ Ø Ð Ý Òº Ö ÓÒ Ð Þ ÑÓ Ú Þ Ø Ú Ð Þ Ó ÞØ Ð Þ Ð ÒÝ Ò ÐÚ Þ Ø Ô Ö Þ 0 Ò Ú Þ Ø Þ Ö Ù µ ÞÓÒ Ò Ý ÓÖÐ Ø Ò Þ Ú Ò Ø ÖØ Ö Ø ØÚ Ö ½¼¼ Ô ÒÞØ Ö Ð Ý ÓÖÑ Ö ÒÝ Ò Ý ØÙ Ò Þ Ó Ò Ñ Ó ÞØÓÞÒ Ò Ñ Þ Þ Ñ Ö Ð Þ Ö Øº Ú Ð Þ ÑÓ Ú Þ Ø Ø Ò Ó ÓÐ Þ Ó Ý ÐÑ Ð Ø Ð ÔÓÒØÓ Ò Ö Ù Ñ Ñ ÖÒ ÑÓÒ Ù Ò ÝÞ Ø ØÐ Ø Ö Ø Ö Ð Ø Ø Ú Ý Ñ ÓÒÐ Ñ ÒÒÝ Øº Þ Þ Ñ Ó ÐÑ Ò Þ Ø Ø Ó Ý Ñ Ò Ý Ð ÐÑ ÖÖ Ó Ý Ñ Ñ Ö Ò Ú Ð Ñ Ø Þ Þ Þ ÑÓ¹ ÓÒ Ú Ò Ý Ø ÖÑ Þ Ø Ö Ò Þ Ñ ÐÝÒ Ø Ú Ð ÖÑ ÐÝ Ø Ð Ò Þ Þ ÑÖ Ð Ý ÖØ ÐÑò Ò Ð Ð Ø ÒØ Ò Ñ ÐÝ Ò ÝÓ º Þ Ñ Ó ÐÑ Ú Þ Ø Ö Ð ÐÑ ÑÓØ Ú Ó Ý Ñ Ö Ø ÓÐ Ó Ø ØÙ Ñ Ñ ÖÒ º Þ ÑÓ¹ ÓÒ ÖØ ÐÑ Þ ØØ ÑòÚ Ð Ø Þ ÚÓÒ ÞÓÖÞ Ó ÞØ ØÚ ÒÝÓÞ Ý ÚÓÒ ÐÓ Ö ØÑÙ Þ Ú ÒÝ Ø µ Ñ Ò Ý Ö Ð ÐÑÓÒ Ø Ó Ý ÖÖ Ú Ð Ó Ý Þ Ñ Ø Ù Ý¹ Ý Ñ ÒÒÝ Ò Ý Ø ÞÓÒÝÓ Ñ Ñ ÒÒÝ Ñ Ö Ø Òº ÓÑÔÐ Ü Þ ÑÓ Ú Þ Ø ÓÖ Þ ØÙÒ Þ Ý ÓÖÐ ØØ Ðº ÌÓÚ Ö ÖÖ Ð Ú Ò Þ Ó Ý Ñ Ñ ÖØ Ð Ú Þ Ñ ÖØ ØÓÚ Ú Ø ÞÓÒ Ò Ý Þ Ö Ñ Ò Ò ÓÖÖ Ð ÐÐ Þ ÑÓÐÒÙÒ ÞÞ Ð Þ ÒØÙ Ú Ð Ó Ý Þ Ñ Ú Ð Ñ ÐÝ ÓÐÓ Ò Ý Ø Ð ÒØ ÓÑÔÐ Ü Þ ÑÓ ÓÒ Ò Ñ Ð Þ ÓÐÝ Ø Ö Ò Þ Ñ ÒØ Ñ Þ Ò Ý Ú ÞÓÒÝ ÚÓÐغ ÑÓØ Ú ØØ Ó Ð Ò Þ Ó Ý ÞÓÒÝÓ ÑòÚ Ð Ø Ò Ñ ÚÓÐØ ÐÚ Þ Ø Ú Ð Þ ÑÓ ÓÒ Ú Ð Ñ ÐÝ Ò Ö Ø ÐÝ Ó Ð Þ Ö ØÒ Ò Ôк 1¹Ò ÖØ ÐÑ Ø ØÙÐ ÓÒ Ø Ò º Ä Ù Ñ Ò ÞØ Ý ÓÖÐ Ø Òº ÓÑÔÐ Ü Þ ÑÓ ÐÑ Þ C := {a + bi : a, b R}, Ø Ø Ñ Ò Ò ÓÑÐ Ü Þ Ñ Ý ÓÖÑ Ð a + bi Ð Þ ÒØ Ö Ø Ð ÓÐ a b Ø Ø Þ Ð Ú Ð Þ ÑÓ Þ i¹ø Ñ ÐÝÒ Ò Ú ÔÞ Ø Ý µ Ô Ú Ð Ñ Ð Ñ Ö ØÐ Ò ÒØ Ø ÒØ º ÞØ z = a+bi Ð Ö Ø Ò Ú ÞÞ z ÓÑÔÐ Ü Þ Ñ ÒÓÒ Ù Ð Ò z Þ Ñ Ú Ð Ö Þ Re(z) := a ÔÞ Ø Ö Þ Im(z) := b Ò Ð Ô Ò ÑÓÒ Ø Ù Ó Ý Ø ÓÑÔÐ Ü Þ Ñ ÑÓÒ Ù z z µ ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ Ý ÒÐ ÒÓÒ Ù Ð Ù z = a + bi z = a + b i Ñ Ý Þ Þ Þ a = a b = b º Ó Ý ÑÐ Ø ØØ Ú Ð Þ ÑÓ ÐÑ Þ Ö Þ ÐÑ Þ ÓÑÔÐ Ü Ò ÓÒ Ö Ø Ò a R ÓÖ a ÒÓÒ Ù Ð a = a + 0iº Å ÐÐ Ô Ö Þ ÑÓÒ Ò Ó Ý Ò Ú Þ Ò ÑòÚ Ð Ø Ø ÓÑÔÐ Ü Þ ÑÓ Ðº Þ Ø ÑòÚ Ð Ø Ø Ö ÙÐ Ý ÐÐ Ò ÐÒÙÒ Ó Ý ÞÓ Ú Ð Þ ÑÓ ÓÒ Ú Þ ØØ ÑòÚ Ð Ø Ø Ö ÞØ Ð Ý Ò º Þ Ð ÔÑòÚ Ð Ø Ø Ò Ý ÖÙÒ Ð Ñ ÒØ Þ i Ñ Ö ØÐ Ò ÚÓÐÒ Ðк ÞÒ Ð Ù Þ i 2 = 1 ÞÓÒÓ ÓØ (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i, (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i (a + bi)(c + di) = (ac bd) + (ad + bc)i Þ Ó ÞØ ÞÓÒ Ò Ò Ñ ÐÝ Ò Ý Þ Öòº Þ Ö Ñ Ò ÐÒ z = a + bi ÓÑÔÐ Ü Þ Ñ z¹ú Ð Ð ÐØ ÓÒ Ù ÐØ Ø Ñ ÐÝÒ ÒÓÒ Ù Ð z := a bi º Ä ÑÑ Ì Ø Þ Ð z, w C ÓÑÔÐ Ü Þ ÑÓ Ö ½µ z = z Ðк ¾µ z + w = z + w z w = z w zw = z w Ø Ð ÐÒ º µ À 0 z C ÓÖ 0 < z z R Þ Þ ÖÑ ÐÝ ÒÙÐÐ Ø Ð Ð Ò Þ ÓÑÔÐ Ü Þ ÑÓØ Ñ ÞÓÖÓÞÚ ÓÒ Ù ÐØ Ú Ð ÔÓÞ Ø Ú Þ ÑÓØ ÔÙÒ º Þ ½µ ÌÖ Ú Ð º ¾µ ÒÓÒ Ù Ð Ó Ø ÐÝ ØØ ØÚ ÒÒÝ Ò ÐÐ Ò Ö Þ Ø º µ Ä Ý Ò z = a + bi ÓÖ z z = (a + bi)(a bi) = a 2 + b 2 + (ab ab)i = a 2 + b 2 > 0 Þ Ò a 2 0 b 2 a 2 = b 2 = 0 Ø Ò z = 0 Ð ÒÒ º Þ ÙØ Ò Ó ÞØ ÒÒÝ Ò ÐÚ Þ Ø ÓÒ Ù ÐØØ Ð Ú Ð Ú Ø Ø Ú Ðº Ì Ý Ð Ø Ø Ó Ý z = a + bi 0 z = a + b iº ÓÖ z z = a + bi a + b i = (a + bi)(a b i) (a + b i)(a b i) = (aa + bb ) + (a b ab )i a 2 + b 2 = aa + bb a 2 + b 2 + a b ab a 2 + b 2 i à ÒÒÝ Ò ÐÐ Ò Ö Þ Ø Ó Ý ÞÓ Ó ÑòÚ Ð Ø ÞÓÒÓ Ó ØÓÚ Ö ÖÚ ÒÝ Þ Þ z, t, u C Ø Ò z + t = t + z, zt = tz, (z + t) + u = z + (t + u), (zt)u = z(tu) Ðк z(t + u) = zt + zuº ÚÓÒ Ö Ó ÞØ Ö ÚÓÒ Ø ÓÞ ÞÓÒÓ Ó z t = z + (0 t) Ðк z t = z 1 t ÞÓÒÓ Ó Ð Ú Ø ÞÒ º Ý ÓÒØÓ ØÙÐ ÓÒ ÓØ ÞÓÒÝ ØÙÒ Ì ÖÑ Þ Ø Ò ÓÑÔÐ Ü Þ ÑÓ Ò ØÙÐ ÓÒ Ø Ø Ú Ð Ñ Ð Ð ÒØ ÞÓÒ Ò ÖÖ Ò ÝÞ Ø Ò Ò Ñ ÐÐ Ñ ÙÒ Ö ÞÐ Ø Ò Ø ÖÒ º

Ä ÑÑ z, w ÓÑÔÐ Ü Þ ÑÓ Ö ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ Ð Þ zw = 0 z = 0 Ú Ý w = 0º Þ Ã ÒÒÝ Ò ÐÐ Ò Ö Þ Ø Ó Ý 0w = 0 Ø Ø Þ Ð w ÓÑÔÐ Ü Þ ÑÖ º ÞØ ÐÐ ÞÓÐÒ Ó Ý ÞÓÖÞ Ø 0 ÓÖ Ú Ð Ñ ÐÝ Ø ÒÝ Þ 0º Ì Ý Ð Ø Ø Ò Ö Ø Ó Ý zw = 0 z 0 wº ÓÖ 0 = 1 z 0 1 w = 1 z (zw) 1 w = ( 1 z z ) ( w 1 w ) = 1 1 = 1, ÐÐ ÒØÑÓÒ º Ä ØØÙ Ó Ý ÓÑÔÐ Ü Þ ÑÓ Ý ÖØ ÐÑò Ò ÐÐ Ñ Þ Ø Ø Ú Ð ÓÓÖ Ò Ø Ú Ð Ö Ð ÓÓÖ Ò Ø Ö Ò Þ Ö ÔÓÒØ º Ì ÖÑ Þ Ø Ò Ø Ø Ý Ð Ò Ò Ý ÖØ ÐÑò Ñ Ð ÐØ ¹ Ø ÓÑÔÐ Ü Þ ÑÓ ÓÓÖ Ò Ø Ö Ò Þ ÖÖ Ð ÐÐ ØÓØص ÔÓÒØ Þ ØØ z = a + bi ÓÑÔÐ Ü Þ ÑÒ Ñ Ð Ð Þ (a, b) ÓÓÖ Ò Ø ÔÓÒØ ÓÑÐ Ü Þ Ñ ÓÒº Î Þ Ð Ù Ñ Ñ ØØ Þ Ð ÔÑòÚ ¹ Ð Ø Ð ÒØ À z, z ÓÑÔÐ Ü Þ ÑÓ Þ Ñ ÓÒ ÓÖ z + z ÓÑÔÐ Ü Þ ÑÒ Ñ Ð Ð ÔÓÒØÓØ Ý Ô Ù Ó Ý Þ ÓÖ Ø ÐØÓÐ Ù ÞÞ Ð Ú ØÓÖÖ Ð Ñ ÐÝ Ø Ý ÔÙÒ Ó Ý Þ ÓÖ Ð z¹ ÑÙØ Ø Ú ØÓÖ ÓÞ ÓÞÞ Ù Þ ÓÖ Ð z ¹ ÑÙØ Ø Ú ØÓÖغ à ÚÓÒ Ò Ð Þ ÙØ Ú ØÓÖØ ÚÓÒ Ù ºµ ÞÓÖÞ Ð ÒØ Ò Ñ ÖØ Þ Ò Ð Ù Ý ÓÑÔÐ Ü Þ Ñ Þ Øº ÞØ ÑÓÒ Ù Ó Ý z C ÓÑÔÐ Ü Þ Ñ Þ α Þ ÓÖ Ð z¹ ÑÙØ Ø Ú ØÓÖ Ú Ð Ø Ò ÐÝ Ò ÑÒ Ø Ú Ö Þ Ú Ð α Þ Ø Þ Ö º Î Ý Þ Ø α Ð Ð Ý Ôк i Þ π 2 ( i)¹ Ô π 2 Ú Ý Ý Ø Ø Þ 3π 2 º Ò Ð Ù ØÓÚ z = a + bi ÓÑÔÐ Ü Þ Ñ ÞÓÐ Ø ÖØ Ø z := zz = a 2 + b 2 ÔÐ ØØ Ðº Ì Ý Ò Ò ÒÝ Ñ Ý Ð Øº Ä ÑÑ ½µ À z C ÓÖ z Ú Ð z 0º ÌÓÚ z = 0 z = 0º ¾µ z Ò Ñ Ñ Ñ ÒØ ÓÑÔÐ Ü Þ Ñ ÓÒ z ÓÑÔÐ Ü Þ ÑÒ Ñ Ð Ð ÔÓÒØ Ø ÚÓÐ Þ ÓÖ Ø Ðº µ À z ÓÑÔÐ Ü Þ Ñ Þ α ÓÖ z = z (cosα + i sinα)º µà z, w C ÓÑÔÐ Ü Þ ÑÓ ÓÖ z + w z + w º Þ ½µ z = a+bi ÒÓÒ Ù Ð Ð zz = a 2 +b 2 0 Ý z Ý Ò ÑÒ Ø Ú Þ Ñ Ò ÝÞ Ø Ý Ñ Þ ÒØ Ò Ò ÑÒ Ø Úº ÈÓÒØÓ Ò ÓÖ Ð Þ 0 a 2 + b 2 = 0 Þ Þ a = b = 0 Ø Ø z = 0º ¾µ Þ (a, b) ÓÓÖ Ò Ø ÔÓÒØ Ø ÚÓÐ Þ ÓÖ Ø Ð ÔÔ Þ a, b Ó Ð Ö Ò Ð Þ Ö Þ ò ÖÓÑ Þ Ø Ó Ñ È Ø ÓÖ Þ Ø Ø Ð Þ Ö ÒØ ÔÔ Ò a 2 + b 2 = z º µ À z¹ò Ñ Ð Ð ÔÓÒØ Þ Ñ ÓÒ z Ø ÚÓÐ Ö Ú Ò Þ ÓÖ Ø Ð Ò ÑÒ Ø Ú Ú Ð Ø Ò ÐÝØ Ð α Þ Ö Ð Ø Þ ÓÖ z Ú Ð ÓÓÖ Ò Ø Re(z) = z cosα ÔÞ Ø ÓÓÖ Ò Ø Ô Im(z) = z sinαº µ Ä Ý Ò O Þ ÓÖ Ð Ý Ò Z Ðк T z¹ò Ðк z + w¹ò Ñ Ð Ð ÔÓÒØÓ ÓÑÔÐ Ü Þ Ñ ÓÒº Þ ÞÓÐ Ø ÖØ Ö Ð Ðк Þ Ö Ð Ø ØØ ÓÖ Ñ Ý Ð Ò Ð Ô Ò z + w = OT OZ + ZT = z + w Þ OZT ÖÓÑ Þ Ö ÚÓÒ Ø ÓÞ ÖÓÑ Þ ¹ Ý ÒÐ ØÐ Ò Ðº z ÓÑÔÐ Ü Þ ÑÒ ÒØ Ð ÑÑ µ Ö Þ Ò Ñ ÓØØ Ð Ö Ø z Þ Ñ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ù Ð Ò Ò Ú ÞÞ º Â Ý ÞÞ Ñ Ó Ý Ñ ÒÓÒ Ù Ð Ý ÖØ ÐÑò ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ù Ò Ñ Þ ÝÖ ÞØ α ÐÝ ØØ Ú Ð ÞØ ØÙÒ α + 2kπ Þ Ø Ø Ø Þ Ð k Þ Ô Ö Ñ Ø ÖÖ Ðµ Ðк z = 0 Ð Ö Ò α Ø Ø Þ Ð Ú Ð Ð Øº ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ù Ð Ý Ð ÒØ Ó Ý Ø Ú Ð ÞÓÖÞ Ò Þ Ó ÞØ Ò Þ ÑÐ Ð Ø Ð ÒØ Ø ØÙÐ ÓÒ Ø Ø º Ä ÑÑ Ä Ý Ò z Ðк w ÓÑÐ Ü Þ ÑÓ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ù Ð z = z (cosα + i sinα) Ðк w = w (cos β + i sinβ)º ÓÖ ÞÓÖÞ Ø Ðк ÒÝ Ó ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ù Ð zw = z w (cos(α + β) + i sin(α + β)) Ðк z w = z w (cos(α β) + i sin(α β)) Ð Þº Å Þ Ú Ð ÞÓÖÞ Ø Ò Þ ÞÓÐ Ø ÖØ Þ ÞÓÖÞ Ò Þ Þ Ò Ñ Ó ÞØ Ò Ð Þ ÞÓÐ Ø ÖØ Ø ÞÓÐ Ø ÖØ ÒÝ Ó Þ Ø Þ Ð Ò Ð Þº Þ zw = z (cosα + i sin α) w (cos β + i sinβ) = z w (cosα cosβ sin α sin β + i(cosαsin β + sin α cosβ)) = z w (cos(α + β) + i sin(α + β)) º ÒÝ Ó Ö ÞØ Ô Ù Ó Ý z z (cos α+i sin α) z (cos α+i sin α) w (cos β isin β) z w (cos α cos β+sin αsin β+i( cos αsin β+sin αcos β)) w = w (cos β+i sin β) = w (cos β+isin β) w (cos β isin β) = = w 2 (cos 2 α+sin 2 α) z (cos(α β)+i sin(α β)) w 1 = z w (cos(α β) + i sin(α β)) ÓÑÔÐ Ü Þ ÑÓ ÔÓÞ Ø Ú Þ Ø Ú ØÚ ÒÝ Ø ÖØ ÐÑ Þ Ø Þ Ò z n Þ Ñ Ø ÓÞ z¹ Ø n¹ Þ Ö ÐÐ ÒÑ Ú Ð Þ ÞÓÖÓÞÒ ÐÝ ØØ Ð Ò ÞØ Þ ÓÖ Ø Ð z n Ø ÚÓÐ Ö Ð ÐÝ Þ ÔÓÒØÓØ Ø ÒØ Ò Ñ ÐÝ ÑÙØ Ø Ú ØÓÖ Ú Ð Ø Ò ÐÝ ÔÓÞ Ø Ú Ö Þ Ú Ð nα Þ Ø Þ Ö ÓÐ z Þ αº Ö Ñ Ý ÐÒ Ó Ý z > 1 ÓÖ z ØÚ ÒÝ Ý Þ ÓÖ Ö Ð Ø ÙÐ Ô Ö ÐÚÓÒ ÐÓÒ Ñ z > 1 ÓÖ z ØÚ ÒÝ Ý Þ ÓÖ Ö Þò Ð Ô Ö ÐÚÓÒ ÐÓÒ ÐÝ Þ Ò Ðº z = 1 Ø Ò z Ñ Ò Ò ØÚ ÒÝ Ò ÞÓÐ Ø ÖØ 1 Þ ÖØ Ñ Ò Þ Ò ØÚ ÒÝÓ Þ ÓÖ Þ Ôò Ý Ù Ö Ö Ò Ø Ð Ð Ø º ÒØ Þ Ö ÒØ Ø Ø Þ Ð z = z (cosα + i sinα) ÓÑÔÐ Ü Þ ÑÒ Ñ ØÙ Ù Ø ÖÓÞÒ Þ n¹ Ý Ø ÐÝ Ò Ý Øµ Ø Ø Þ Ð 1 n Þ Ø Òº Þ n z Þ w ÓÑÔÐ Ü Þ Ñ Ð Þ

Ñ ÐÝÖ w n = zº À w = w (cos β + i sinβ) ÓÖ w n = w n (cos(nβ) + i sin(nβ)) Þ Þ w = n z α = nβ +2kπ Ú Ð Ñ ÐÝ k Z ÞÖ º ÁÒÒ Ò β = α+2kπ n Þ Þ Ñ Ò Ò 0¹Ø Ð Ð Ò Þ µ ÓÑÔÐ Ü Þ ÑÒ ÔÓÒØÓ Ò n n¹ Ý Ú Òº ØÓÚ Ò Þ 1 ÞÓÐ Ø ÖØ ò ÓÑÔÐ Ü Þ ÑÓ Ð Ó Ð Ð ÓÞÙÒ º Þ ε ÓÑÔÐ Ü Þ ÑÓØ n¹ Ý Ý Ò Ò Ú ÞÞ z n = 1º ÒØ Þ Ö ÒØ ÓÑÔÐ Ü Ý Ý ÞÓÐ Ø ÖØ 1 Þ Þ ÓÑÔÐ Ü Þ Ñ ÓÖ Ö Ð Ý Ù Ö Ö Ò ÐÝ Þ Ò Ðº Å Ý Ð ½µ Þ ε ÓÑÔÐ Ü Þ Ñ ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ n¹ Ý Ý ε = cos 2kπ 2kπ n + i sin n Ð Ú Ð Ñ ÐÝ k ÞÖ º ÈÓÒØÓ Ò n n¹ Ý Ý Ú Òº ¾µ ÓÑÔÐ Ü Þ Ñ ÓÒ Þ n¹ Ý Ý Ò Ñ Ð Ð ÔÓÒØÓ Þ ÓÖ Þ Ôò Ý Ö Ò Ý Þ ÐÝÓ n¹ Þ Ñ ÒØ Ò ÐÝ Þ Ò Ð Ý Ó Ý Þ ε = 1 Ý Ý º Þ ½µ Þ n¹ Ý ÚÓÒ Ö Ð ÐÑÓÒ ÓØØ Ð Ô Ò ÞÓÒÒ Ð Þ ÞØ ε = 1 α = 0¹Ö ÐÐ Ð ÐÑ ÞÒ º ¾µ Å Ò Ò Ý Ý Þ Ý Ö Ò Ú Ò ÝÑ Ø Ð 2π n Þ ÒÝ Ø ÚÓÐ Ö Þ 1 Ù Ý Ò Ý Ý º À ÞÒÓ ØÙ Ò Ú Ð Þ Ý Ý Þ Ò ÞÓÖÞ Ø Ò Ñ Ö Ø º ýðð Ø À ε 1, ε 2,... ε n Þ n¹ Ý Ý ÓÐ ε k = cos 2kπ 2kπ n + i sin n n > 1µº ÓÖ nx ε k = ε 1 + ε 2 +... + ε n = 0, k=1 ØÓÚ ny k=1 j 1 n Ô Ö ØÐ Ò ε k = ε 1 ε 2... ε n = 1 n Ô ÖÓ Þ Ä Ý Ò S = ε 1 + ε 2 +... + ε nº ÓÖ (1 ε 1)S = ε 1 + ε 2 +... + ε n ε 1(ε 1 + ε 2 +... + ε n) = ε 1 + ε 2 +... + ε n ε 2 ε 3... ε n ε 1 = 0 Ø Ø (1 ε 1)S = 0 ÓÒÒ Ò S = 0 º Ð ÞÒ ÐØÙ Ó Ý ε 1 ε k = ε k+1 ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ù Ð Ð Òºµ ÁØØ Ø Ô ÞØ ÞÓÒÝ ØÓØØÙ Ó Ý Ý Þ ÐÝÓ n¹óð Ð Ó Þ ÔÔÓÒØ Ð ÔÓÒØÓ ÑÙØ Ø Ú ØÓÖÓ Þ 0º Þ ØÖ Ú Ð n Ô ÖÓ Þ ÓÖ Ú ØÓÖÓ ÐÐ ÒØ ØØ Ô ÖÓ Ö Ò Þ Ø º Ý ÒØ Þ Þ Ý v Ú ØÓÖ ÓÖ Ó ÑÙØ Ø Ú ØÓÖÓ 2π ¹Ò Ð Ú Ð Ð ÓÖ ØÓØØ Ø Þ Ú Þ Þ ÝÖ ÞØ n v Ú ØÓÖ 2π n ¹Ò Ð Ú Ð Ð ÓÖ ØÓØØ Ð Þ Ñ Ö ÞØ Ô Ò Ñ Ú ÐØÓÞ Þ Ù Ý Ò ÞÓ Ø Ú ØÓÖÓ Ø ØÙ Þ º ÁÒÒ Ò 0 < 2π n < 2π Ñ ØØ v = 0 ºµ Þ Ý Ý ÞÓÖÞ Ø Ú Ð Ô ÓÐ Ø Ò Ú Ý ÞÖ Ó Ý ε n¹ Ý Ý ÓÖ ε Þ Þ Ò ε n = ε n = 1 = 1º Þ n¹ Ý Ý Ø Ø ÓÒ Ù ÐØ Ô ÖÓ ÐÐ Ø Ø Ú Ú Ú Ð Ý Ý Ø Ñ ÐÝ ÒÑ Ù Ð ÐÐÒ Ô Ö Òº Î Ý ÞÖ Ñ Ó Ý ε = 1 ÓÖ ε ε = 1º Þ ÖØ Ñ Ò Ò ÓÒ Ù ÐØ Ô Ö ÞÓÖÞ Ø 1 Þ ÒÑ Ú Ð Ô Ö Ò ÐÐ 1 ÓÞÞ ÖÙÐ 1 ÞÓÖÞ Ø ÓÞº Ì Ø Þ Þ n¹ Ý Ý ÞÓÖÞ Ø ØØ Ð Ó Ý Þ ε = 1 Ú ÓÒ n¹ Ý Ý ¹ Ò ÓÖ ÞÓÖÞ Ø 1 Ò Ñ ÓÖ ÞÓÖÞ Ø 1º 1 Ô ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ Ð Þ n¹ Ý Ý ( 1) n = 1 Þ Þ ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ n Ô ÖÓ º Ä ØØÙ Ó Ý ÓÑÔÐ Ü Þ ÑÓ Ð ÓØØ Ñ Ø Ñ Ø ØÖÙ Ø Ö Ò Ò Ñ Þ Þ ÑÓ ÓÐÝ Ò ØÙÐ ÓÒ Ñ Ø Ú Ð Þ ÑÓ ÓÒ Ñ ÞÓ ØÙÒ Ôк Ò Ñ Ð Ø Ù Ý ÒÓÐÝ Ò ÖØ Ð Ñ Ò Þ ÐÒ Þ ÑÓ Ò Ý Ö Ð º ÞÓÒ Ò Ò Ñ Þ ÓÑÔÐ Ü Þ Ñ Ö Ú Þ Ø Ò Þ Ð ÒØ Ò Ñ Ó Ð Ò Þ Ó Ý Ú Ð Þ ÑÓ ÓÒ Ñ ÞÓ ÓØØ Ð ÓÒØÓ ØÙÐ ÓÒ Ó Þ Þ Þ C Ý ºÒº Ø Ø Ø Ð ÓØ Ñ ÒÒÝ Ò Ó Ú Ð Þ ÑØ ØÒ Ð Ó Ý Ò Ñ Ò Ò ÔÓÐ ÒÓÑÒ Ú Ò Ý Ñ Þ Ú Ð Ó Ý Ð Ö Ð Þ Öغ ÖÖ Ð Þ Ð Þ Ð Ö Ð ÔØ Ø Ð Ì Ø Ð À p(x) Ý ÓÑÔÐ Ü Ý ØØ Ø Ð Ð Ð Ó ÔÓÐ ÒÓÑ ÓÖ Ð Ø Þ ÓÐÝ Ò α ÓÑÔÐ Ü Þ Ñ Ñ ÐÝÖ p(x) = (x α) r(x) Ð Ö Ø ÓÐ r(x) Ý p(x)¹ò Ð Ý Ð Ð ÓÒÝ Ó ÓÑÔÐ Ü Ý ØØ Ø ÔÓÐ ÒÓѺ Å ÝÞ ÒØ Ø Ø Ð Ú Ø ÞÑ ÒÝ Ó Ý p(x) Ú Ð Ý ØØ Ø ÓÖ Ø Ð ÐÙÒ Ý α Ý Ø Ñ Ú Ý Ú Ð Ñ Ð Ø Ý Ø ÒÝ Þ Øµ Ú Ý α ÔÞ Ø Ö Þ Ò ÑÒÙÐÐ º ÍØ Ø Ò Ñ ÒØ Þ ÒÒÝ Ò Ð Ø Ø µ α Ý p(x)¹ò Þ Þ p(x) = (x α)(x α)r (x) Ð Ö Ø ÓÐ r (x) Ý p(x)¹ò Ð ØØ Ú Ð Ð ÓÒÝ Ó Ú Ð Ý ØØ Ø ÔÓÐ ÒÓѺ ÍØ Ð Ó Ý q(x) = (x α)(x α) Ý Ú Ð Ý ØØ Ø Ñ Ó Ó ÔÓÐ ÒÓѺ ÖØ Ð Ñ Þ Öò Ò q(x) Þ Ö Ñ Ò Ò Ò Ø Ú Ñ Ó Ó Ý ÒÐ Ø Ñ ÓÐ ÔÐ Ø ÔÔ Ò α¹ø α¹ø ºµµ Þ Ð Ö Ð ÔØ Ø Ð Ò Ñ Ø ÐØ Ð ÐÑ Þ Ð Þ Ó Ý Ñ Ò Ò Ú Ð Ý ØØ Ø ÔÓÐ ÒÓÑ Ð Ö Ø Ð Ð Ñ Ó Ó Ú Ð Ý ØØ Ø ÔÓÐ ÒÓÑÓ ÞÓÖÞ Ø ÒØ Þ Ø Ø Ð Ö Ú Ð Þ Ñ ÖÖ ÚÓÒ Ø ÓÞ Ò Þ Ò ÞÓÒÝ Ø Ø ÓÑÔÐ Ü Þ Ñ Ö Ñ Ö Ð Ú Ðº ¾º Ä Ò Ö Ý ÒÐ ØÖ Ò Þ Ö Ý n¹ Ñ Ö ØÐ Ò m Ý ÒÐ Ø Ð ÐÐ Ð Ò Ö Ý ÒÐ ØÖ Ò Þ Ö Ð ØØ m ÓÐÝ Ò Ý ÒÐ Ø ÖØ Ò Ñ ÐÝ Ñ Ò Ý n Ö Þ Ø ØØ Ñ Ö ØÐ Ò ÓÒ Ø Ò ÞÓÖÓ Ø ÓÒ Ø Ò Ó Ø Þ Þ Ø Ðк Ð Ò ¹ ص Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ º Å Ø Ø Ó Ý Ñ Ò Ò Ý Ý ÒÐ Ø Ø Ö Ò Þ Ò Þ Þ ÐÓÐ ÐÖ Ýò Ø Þ Ñ Ö ØÐ ÒØ Ø ÖØ ÐÑ Þ Ø Ó Ø Þ Ø ÒÒ Þ Ö ÔÐ Ñ Ö ØÐ Ò Ý Ö Þ Ø ØØ ÓÖÖ Ò Ò Ö Ù Ð Ó Ö Ö Ò ÞÞ ÓÒ Ø Ò Ó Øº Þ ÐØ Ð Ð Ò Ö Ý ÒÐ ØÖ Ò Þ Ö Ý Ö Ò Þ ØØ Ð Ø Ô Ù º Ò Þ Ð Ò Þ Ö ÔÐ Ý ØØ Ø ÓÒ Ø Ò Ó Ý Ø Ð Þ Ø Ö Ò Þ Ø º Þ Ð ÓØ Þ Ö Ò ÐÞ ØØ Ú Ø ØØ Ý ØØ Ø Ñ ØÖ Ü Óغ Ú Ø ØØ Ý ØØ Ø Ñ ØÖ ÜÓØ Ð Ô Ð Ò Ò Ú Þ¹ Þ Ñ Ò Ò ÓÖ Ò Þ Ð Ò ÑÒÙÐÐ Ð Ñ 1 Ð Ô Ð Ò Þ Ø Ñ ØÖ Ü Ð Ñ Ø Ò Ú ÞÞ Ú Þ Ö Ý Ò µ Þ Ò Ú Ð ÖÑ ÐÝ Ø Ú Þ Ö Ý Ý ÐÝ Þ Ð Ó Ý Ð Ð Ú Ó ÞÐÓÔ ÐÖ Ð Ý Ò Ð Ð Ú Ó ÞÐÓÔ Ø Ðº Ý Ò Ð Ø Ð Ô Ð Ñ ØÖ ÜÓ Ñ ÒØ Ñ Ò ÞÓÒ Ñ ØÖ ÜÓ Ñ Ñ Ô Ø ÙÔ 0 Ñ ØÖ Ü Ð Þ Ð Ø Ð Ô Ø Ø Þ Ð ÓÖÖ Ò Ò Ø ÖØ Ò Ø Ø Þ Ð Ò Ó ÞÓÖ Ñ Ø ÐØ Ð ÐÑ Þ Ú Ðº ½µ Ý M Ñ ØÖ Ü ÓÞ ÐÓÐ ÐØ ÓÞÞ Ú Þ Ò Ý ÙÔ 0 Ó ÞÐÓÔÓØ Ðк ¾µ Ý M Ñ ØÖ Ü ÓÞ ÐÖ Ð ÓÞÞ Ú Þ Ò Ý ÙÔ 0 Ó ÞÐÓÔÓØ Ñ Ú Ø ØØ Ñ ØÖ Ü Ø Ø Ö Ý 1¹ Ý Ð Þ Ý ÒØ Ø Ø Þ Ð µ ÓÖØ Ý ÞØ Ò º Þ Ð Ö Ú ØÓØØ Þ ÑÐ ÐØ ØÒ ÒØ Ò Øº ÒÒ ÔÓÒØÓ Ð ÒØ Ú Ð Ñ Ó Ð Ú Ò Ó ÙÒ Ñ Ñ Ö Ò ØØ Ð Ý Ò Ð ÒÒÝ Ó Ý ÑÓ Ø Ú Ø Þ Ð Ò ¹ Ö Ð Ö Þ Ø Ò ÐØ Ø Ð ÞÞ Ù Ý Ò Ó Ý Ð ÖÓ ÓÒ Ú Ð Þ ÑÓ Ø ÖØ Ò Ñ Ò Ò ØÓÚ Ò Ð Ð Ñò Ò Þ ÐÑÓÒ ÓØØ ÓÑÔÐ Ü Ð ÖÓ Ð º

Ä Ò Ö Ý ÒÐ ØÖ Ò Þ Ö Ú Ø Øص Ý ØØ Ø Ñ ØÖ Ü Ð Ô Ð α 1,1 x 1 + α 1,2 x 2 +... + α 1,n x n = b 1 α 2,1 x 1 + α 2,2 x 2 +... + α 2,n x n = b 2 º α n,1 x 1 + α n,2 x 2 +... + α n,n x n = b n α 1,1 α 1,2... α 1,n b 1 α 2,1 α 2,2... α 2,n b 2 º º º º α n,1 α n,2... α n,n b n 0 1... 1... 1... 1... 0 0...0 0 0 º ºº 0...0 º Ö Ù ÐØ Ð Ô Ð ÓÐÝ Ò Ð Ô Ð Ñ Ò Ñ Ò Ò Ú Þ Ö Ý Ö Þ Ó Ý Þ ÓØØ Ú Þ Ö ¹ Ý Þ Ý Ð Ò ÑÒÙÐÐ Ð Ñ Ø Ó ÞÐÓÔ Ò Ñ Þ Ú Ð Ú Þ Ö Ý Ð ØØ 0¹ ÐÐ ØÒ Ñ ØÖ Ü Òº ÞØ ÑÓÒ Ù Ó Ý (s 1, s 2,..., s n ) Ñ ÓÐ ÒØ Ð Ò Ö Ý ÒÐ ØÖ Ò Þ ÖÒ Þ x 1 = s 1, x 2 = s 2,..., x n = s n ÐÝ ØØ Ø Þ Ý ÒÐ ØÖ Ò Þ Ö Ò Þ Ö ÔÐ Þ Ý ÒÐ Ø ÞÞ Ø Þ º Ð Ò Ö Ý ÒÐ ØÖ Ò Þ Ö Ý ÖØ ÐÑò Ò Ñ ÓÐ Ø ÔÓÒØÓ Ò Ý Ñ ÓÐ Ú Òº ÐÙÒ Ý ÓÐÝ Ò Ñ ¹ Þ Ö Ö Ñ Ò Ø Ú Ð Ý Ð Ò Ö Ý ÒÐ ØÖ Ò Þ ÖÖ Ð Ð ÒØ Ø Ó Ý Ð Ø Þ ¹ Ñ ÓÐ Ð Ø Þ ÓÖ Ô Ñ ÓÐ Ó µ ÒÒÝ Ò Ñ Ø Ð Ð Ø µº Þ ÖØ ÓÐÝ Ò ÓÔ Ö Ø Ú Þ ÐÙÒ Ñ Ñ ÓÐ Ó ÐÑ Þ Ø Ò Ñ Ú ÐØÓÞØ Ø Ø Ð Ð Ò Ö Ý ÒÐ ØÖ Ò Þ Ö Ý ÒÒÝ Ò Ñ ÓÐ Ø Ô Ð Ð Ð Ò Ö Ý ÒÐ ØÖ Ò Þ ÖÖ Ð Ø Ø º Ð Þ Öò Þ Ø Þ ÓÔ Ö Ø ¹ Ú Ø Øص Ý ØØ Ø Ñ ØÖ ÜÓÒ Ñ Ò º Ú Ø ØØ Ý ØØ Ø Ñ ØÖ Ü Ð Ñ ÓÖ Ú Ú Ð Ò Ø Ð Ø Ø Ø Þ Ð ½µ Ø ÓÖ Ð Ö Ð ¾µ Ú Ð Ñ ÐÝ ÓÖ Ð Ñ Ò Ý λ 0 Þ ÑÑ Ð Ø ÖØ Ò Ú ÞÓÖÞ Ðк µ Ú Ð Ñ ÐÝ ÓÖÒ Ý Ñ ÓÖ ÓÞ Ú Ð Ð Ñ Ò ÒØ µ ÓÞÞ º µ Ú Ð Ñ ÐÝ ÓÖ ÓÒ Ø Ò ÞÓÖÓ Ò ÓÞÞ Ý Ñ ÓÖ ÓÞµ µ ÙÔ 0¹ ÓÖ Ð Ý µ ýðð Ø Ð Ñ ÓÖ Ú Ú Ð Ò Ø Ð Ø ÓÖ Ò Ð Òº ÝÖ Þº Ñ ÓÐ Ò ÐÑ Þ Ò Ñ Ú ÐØÓÞ º Þ Ð ÒØ Ð Ø Ù Ó Ý Þ Ð Ñ ÓÖ Ú Ú Ð Ò Ø Ð Ø ÙØ Ò Ñ Ò Ò ÓÖ Ñ ÓÐ ØÓ¹ Ú Ö Ñ ÓÐ Ñ Ö Þ Þ ÙÔ Ò ÒÒÝ Ø ÖØ Ò Ø Ó Ý ÓÐÝ Ò Ñ ÓÐ Ó Ð Ø ÞÒ Ñ ÓÖ Ò Ò Ñ ÚÓÐØ Ñ ÓÐ Ó º Þ Þ ÐÐ Ø Ú Ð Ó Ñ ÓÒ ÓÐ Ù Ñ Ø Ð ÒØ Ò Þ Ý Ð Ô ¹ Þ Ý ÒÐ ØÖ Ò Þ Ö Þ ÑÔÓÒØ Ðº ½µ Ø Ý ÒÐ Ø Ð Ö Ð Ø ¾µ Ý Ý ÒÐ ØÒ Ý Ò ÑÒÙÐÐ Þ ÑÑ Ð Ú Ð Ú ÞÓÖÞ Ø µ Ý Ý ÒÐ ØÒ Ý Ñ Ý ÒÐ Ø Þ Ú Ð ÓÞÞ Ø Ñ µ Ý 0 = 0 Ý ÒÐ Ð Ý Ø Ð ÒØ º µ Ø Ò Ý Ý ÒÐ Ø ÓÒ Ø Ò ÞÓÖÓ Ò Ý Ñ Ý ÒÐ Ø Þ Ú Ð ÓÞÞ Ö Ð Ú Ò Þ Ñ Ö ÞÚ ØÐ Ò Ð Ð Ø Þ Ñ Ú Ð Ø Ø Ý ¾µ¹ Ý µ¹ Ñ Ý ¾µ¹ Ø Ð Ø ÝÑ ÙØ Ò ÒØ º ÞØ Ú Ø Ò ÞØ ÐÐ ÞÓÐÒ Ó Ý Ý Ø Ð Ø ÓÖ Ò Ñ Ð Ø Þ Ø ØØ Ñ ÓÐ º ÞØ Ý ÞÓÒÝ Ø Ù Ó Ý Ñ Ò Ý Ø Ø Ð Ø Ö Ð Ñ ÑÙØ Ø Ù Ó Ý ½µ ¾µ µ Ø Ð Ø Ó Ð Ú Þ Ô Ø Ù Þ Ö Ø Ý ÒÐ ØÖ Ò Þ ÖØ Ø Ø Þ ÓÒÒ Ò Ð Ø Þ ØØ Ñ ÓÐ Ó Ñ ÓÐ Þ Ö Ø Ý ÒÐ ØÖ Ò Þ ÖØ Ý Ñ ÓÐ Ø ÒÝÐ ÓÐ Ñ Ð Ô Ø ØØ º ½µ Ø Ò Þ Ú Ð Ó Ö Ð Ñ Ø Ð Ñ Ð Ð ÓÖÓ Ø Ñ Ý ½µ Ø ÔÙ Ø Ð Ø º ¾µ Ø Ò ÞÓÖÓÞÞÙ Ñ Þ ÓØØ ÓÖØ 1 λ ¹ Ú Ð Ñ Ý ¾µ¹ Ø Ð Ø Þ Ö Ø Ý ØØ Ø Ñ ØÖ ÜÓØ Ú Þ º À µ¹ Ø Ð Ø Ò Þ i¹ ÓÖ ÓÞ ØÙ ÓÞÞ j¹ ÓÖØ ÓÖ ÞÓÖÓÞÞÙ Ñ j¹ ÓÖØ ( 1)¹ Ý Ð Ù ÓÞÞ Þ i¹ ÓÖ ÓÞ Ñ Ñ Ø ÞÓÖÞÞÙ Ú j¹ ÓÖØ ( 1)¹ Ý Ð Ñ ÐØ Ð Ú Þ Ô Ù Þ Ö Ø Ñ ØÖ ÜÓØ ¾µ¹ Ðк µ¹ Ø Ð Ø Ø Ú ÞØ Ò º Ä ØØÙ Ó Ý µ¹ Ø Ð Ø ¾µ¹ µ¹ Ø Ð Ø Ó ÝÑ ÙØ Ò Ý Þ ÐÐ Ø ÖÖ Þº Þ µ¹ Ø Ð Ø Ö Þ ÐÐ Ø ÞÚ ØÐ Ò Ð Ð Ø Þ ÞØ Ò Ñ Ó Ù ÞÒ ÐÒ ØÓÚ Òº Å Ð ØØ Ñ ÑÙØ ØÒ Ò Ó Ý Ò Ö Ñ ÞÒ ÐÒ ÒØ Ø Ð Ø Ó Ø Ö Þ Ø Ò Ò ÒÝ Ñ ØÖ ÜÓ Ð Ð Øº À Ý M Ñ ØÖ ÜÒ m ÓÖ n Ó ÞÐÓÔ Ú Ò ÓÖ ÞØ ÑÓÒ Ù Ó Ý M Ý m n Ñ Ö Øò Ñ ØÖ Üº R m n Ú Ð m n¹ Ñ ØÖ ÜÓ ÐÑ Þ Ø Ð Ð º À R ÐÝ ØØ C¹Ø ÖÙÒ ÓÖ ÓÑÔÐ Ü Ñ ØÖ ÜÓ Ö Ð Þ Ð Ò º Å Ò Ò Ñ Ø Ò Þ Ø Ò ÐÑÓÒ ÙÒ ÓÑÔÐ Ü Ñ ØÖ ÜÓ Ö Ðк ÓÑÔÐ Ü Ý ØØ Ø Ð Ò Ö Ý ÒÐ ØÖ Ò Þ Ö Ö Þº Ë Ø Ö ÓÒ Ð Ö ºµ À M Ý Ñ ØÖ Ü ÓÖ M i Ð Ð Þ M Ñ ØÖ Ü i¹ ÓÖ Ø M j j¹ Ó ÞÐÓÔ Ø M j i Ô Þ (i, j) ÔÓÞ Ò ÐÐ Ð Ñ Øº Ì Ø Ð Ð Ñ ÓÖ Ú Ú Ð Ò Ø Ð Ø Ó Ð Ø Ø Þ Ð Ú Ø ØØ Ý ØØ Ø Ñ ØÖ Ü Ð Ô Ð Ö ÓÞ Ø º Þ Å Ù Ù ¹ Ð Ñ Ò Ò Úò Ð Ö Ø Ñ Þ ½µ ¾µ µ Ø Ð Ø Ó Ø Ú Ð Ú Ø ØØ Ý ØØ Ø Ñ ØÖ ÜÓØ Ð Ô Ð Ö ÓÞÞ º Þ Ð ÓÖ ØÑÙ ÒÔÙØ Ø Ø Þ M Ñ ØÖ Ü Þ

Ð ÓÖ ØÑÙ Ö ÙÖÞ Ú Þ Þ Ò ÒØ Ñ Ú ÒÑ Ø Ý Ó Ý Ñ Ò Ø Ý M¹Ò Ð Ñ Ö Øò ÓÒ Ö Ø Ò Ý M¹Ò Ð Ú Ó ÞÐÓÔÔ Ð Ö Ò Ð Þ µ Ñ ØÖ Üº Þ Ð ÓÖ ØÑÙ Ñ Ò Ø Ý Þ M¹ Ð Ð Ñ ÓÖ Ú Ú Ð Ò Ø Ð Ø Ó Ð Ð Ø Þ Ð Ô Ð º Þ M Ñ ØÖ Ü Ù ¹ Ð Ñ Ò º ½º À M 1 = 0 Þ Þ M Ð Ó ÞÐÓÔ ÙÔ 0µ ÓÖ Ú Ù Ñ Ù ¹ Ð Ñ Ò Ø Þ M Ð Ó ÞÐÓÔ Ò Ð Ý Ú Ð Ð Ø Þ M Ñ ØÖ ÜÖ ÔÓØØ Ð Ô Ð Ð Ý Þ Ò Ý ÙÔ 0 Ó ÞÐÓÔÓغ ¾º Ý ÒØ M 1 0µ Ý ØÐ ÓÖ Ö Ú Ð ½µ¹ Ø Ð Ø µ Ö Ð Ó Ý M 1 1 0 Ð Ý Òº º M 1 Ú Ý M Ð ÓÖ Ò µ Ú ÞÓÖÞ Ú Ð Þ Þ ¾µ Ð Ô Ðµ Ö Ð Ó Ý M1 1 = 1 Ð Ý Òº º µ Ð Ô Ø Ú Ð Ö Ð Ó Ý Mi 1 = 0 Ð Ý Ò Ñ Ò Ò i = 2, 3,... Ø Òº à ÒÙÐÐ ÞÞÙ Þ 1¹ Ð ØØ Ð Ñ Øº µ º À Ý Ù Ð M Ð Ó ÞÐÓÔ Ø Ð ÓÖ Ø Ú Ù Ñ Ù ¹ Ð Ñ Ò Ø Þ Ý Ð Ø Þ M Ö ÞÑ ØÖ ÜÖ º ÔÓØØ Ð Ô Ð ÓØ Þ Ø Ð Ð Ý ÙÔ 0 Ó ÞÐÓÔÔ Ð Ð Ð Ô Þ Ñ ÒØ Ð ÝÓØØ ÓÖÖ Ðº ÒÒÝ Þ Ð ÓÖ ØÑÙ º Þ Ð ÓÖ ØÑÙ Ú Þ Ñ Ð Ô ÙØ Ò Ú Ø Ö Þ Ò Ð Ð Ø Þ Öµ M Ð Ñ Þ ÑÒÝ ÑòÚ Ð Ø ÐÚ Þ ÙØ Ò Ý Ú Ó ÞÐÓÔ Ð ÐÐ Ñ ØÖ ÜÖ Ú Ù Ñ Þ Ð Ö Øº Þ ÖØ Þ Ð ÓÖ ØÑÙ Þ Ò Ý m n Ñ Ö Øò Ñ ØÖ ÜÓÒ 2mn 2 ÑòÚ Ð Ø Ø Ø Ú Ö ºµ à ÒÒÝ Ò Ð Ø Ø Ó Ý Þ Ð ÓÖ ØÑÙ Ý m 1 Ñ Ö Øò Ñ ØÖ Ü Ø Ò Ò Ñ Ú Ñ ÒÑ Ø Ò Ñ Ý ÙÔ 0 Ó ÞÐÓÔÓØ Ú Ý Ý ÓÐÝ Ò Ó ÞÐÓÔÑ ØÖ ÜÓØ Ñ Ò Ð Ð Ñ 1 Ø Ô 0º Ì Ø Þ Ð ÓÖ ØÑÙ Þ ÝÓ ÞÐÓÔ Ñ ØÖ ÜÓ Ø Ú Ð Ò Ð Ô Ð Ö ÓÞÞ º Ì Ý Ð Ó Ý Þ Þ Ð Ð n Ó ÞÐÓÔ Ð ÐÐ Ñ ØÖ ÜÓ Ö Ù ¹ Ð Ñ Ò Ð ÙÒ Ý (n + 1)¹Ó ÞÐÓÔ Ñ ØÖ ÜÓغ ÓÖ Ö ÙÖÞ Ú Ú Ú Ø Þ Ñ Þ Ò Ù Þ Ö ÒØ Ð Ô Ð ÓØ ÞÓÐ ÐØ Øº ÞØ Ý ÙÔ 0 Ó ÞÐÓÔÔ Ð ØÐ Ý 1¹ Ð Þ ÓÖÖ Ð Þ Ú ÔÓØØ Ñ ØÖ Ü ÒÝ ÐÚ Ò Ð Ô Ð º ÒÒÝ Ú Ò ØÖ Ó Ý ÞØ Ñ ÑÙØ Ù Ó Ý Ù ¹ Ð Ñ Ò ÐØ Ð ÞÓÐ ÐØ ØÓØØ Ð Ô Ð Ú Ð Ò Ð Ñ ÓÖ Ú Ú Ð Ò Ø Ð Ø Ó Ð Þ ÖÑ ÞØ Ø Ø M¹ к Þ Ô Ñ Ò Þ ÒÒÝ Ø ÐÐ ÞÖ Ú ÒÒ Ó Ý Ö Ö ÙÖÞ Ú Ú Ó ÓÖ Ò Ù Ð Ñ Ò ÓÖ Ò ÞÒ ÐØ Ð Ñ ÓÖ Ú Ú Ð Ò Ø Ð Ø Ó Ø Ñ ØÖ ÜÓ ÓÒ Ø Ù Ú Ö Þ Þ Ò Ð ÝÓØØ ÓÖÓ Ø ÙÔ 0 Ó ÞÓÔÓ Ø Ó ÓÒ ÓÐÚ ÞÓ Ò Ñ Ú ÐØÓÞÒ Ò Ð Ô ÓÖ Òº Ì Ø Ñ ÓÖ Ú Þ Ö Ù Ø ÐÝ Ò ÖÙÒ Ðº ÞØ ÔØÙ Ó Ý Ù ¹ Ð Ñ Ò ÖÑ ÐÝ Ú Ø ØØ Ý ØØ Ø Ñ ØÖ ÜÓØ Ð Ô Ð Ö ÓÞº À Ö Ù ÐØ Ð Ô Ð Ð ÓÖ ÒÒ Ò Ñ Ö ÒÒÝò ÓÐ ÙÒ Ú Ò ÔÓÒØÓ Ò Ý Ó Ý Ú Þ Ö Ý Ð ØØ ÒÙÐÐ ÞØÙ Þ Ó ÞÐÓÔÓ Ø Ú Þ Ö Ý Ð ØØ Ñ Ø Ø Ù Ý Ò Þغ à ÒÒÝ Ò Ð Ø Ø Ó Ý ÒÙÐÐ Þ ÓÖ Ò Ð Ô ØÙÐ ÓÒ Ò Ñ Ö Ð Ø Ø Ñ Ò Ò Ú Þ Ö Ý Ð ØØ Ð Ñ Ø ÒÙÐÐ ÞÙÒ ÓÖ Ñ Ô Ù Ö Ù ÐØ Ð Ô Ð Óغ Þ Þ Ð Ð ÐÑ ÖÖ Ó Ý Ð ÓÐÚ Ù Ñ Ð Ð Ð Ò Ö Ý ÒÐ ØÖ Ò Þ Ö Ñ ÓРغ Ú Ø ØØ Ý ØØ Ø Ñ ØÖ Ü Ý ÓÖ Ø Ø ÐÓ ÓÖÒ Ò Ú ÞÞ ÒÒ Þ Ý ØØ Ø Ö Þ ÙÔ ¹ 0 Ú Ø Ð Ñ Ô Ò ÑÒÙÐÐ º Î Ð Ó Ó Ý Ø ÐÓ ÓÖ Ý ÓÐÝ Ò Ý ÒÐ ØÒ Ð Ð Ñ Ó Ý 0x 1 + 0x 2 +... + 0x n = b 0 ÓÒÒ Ò ÞÓÒÒ Ð Ó Ý Ø ÐÓ ÓÖ Ð Ù Ò Ø Ò Ò Ñ Ð Ø Þ Þ Ý ÒÐ ØÖ Ò Þ ÖÒ Ñ ÓÐ º ËÞ Ô Ö Ñ Ø ÖÒ Ò Ú ÞÞ Ö Ù Ðص Ð Ô Ð Ú Þ Ö Ý Ø Ò Ñ Ø ÖØ ÐÑ Þ Ó ÞÐÓÔ ÓÞ Ø ÖØÓÞ Ñ Ö ØÐ Òغ Þ Ñ ÒØ Ñ Ý Ð Ø ÐØ Ð ÒÓ Ø Þ Ð Ø Ø Ðº Ì Ø Ð Ý Ð Ò Ö Ý ÒÐ ØÖ Ò Þ Ö ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ Ñ ÓÐ Ø Ö Ù Ðص Ð Ô Ð Ò Ñ Ø ÖØ ÐÑ Þ Ø ÐÓ ÓÖغ ÌÓÚ Ð Ò Ö Ý ÒÐ ØÖ Ò Þ Ö Ò Ñ Ø ÖØ ÐÑ Þ Ø ÐÓ ÓÖØ ÓÖ Þ Ô Ö Ñ Ø Ö ÖØ Ò Ø Ø Þ Ð Ñ Ú Ð ÞØ ÓÞ Ý ÖØ ÐÑò Ò Ð Ø Þ Ñ ÓÐ º Å ÝÞ Ø Ø Ð Ð Ö Þ Ý ÑÓÒ Ø Ó Ý Þ Ý ÒÐ ØÖ Ò Þ Ö ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ Ñ ÓÐ Ø Ð Ô Ð Ú Ø Ó ÞÐÓÔ Ò Ñ Ø ÖØ ÐÑ Þ Ú Þ Ö Ý Øº ÒÒ Ó Ó Ý ÒØ ÓÖÑ Ø ÞÒ Ð Ù Þ Ó Ý Ò ÐÝÓ Ú Ð ÓÒ Ó Ý Ý ÓÒ Ö Ø Ð Ø ÔÐ Ù ¹ Ð Ñ Ò Ú Ð Ø ÖØ Ò µ Ñ ÓÐ ÓÖ Ý Ø ÐÓ ÓÖ Ð Ù Ò ÞØ Ð ÒØ Ó Ý Ò Ò Ñ ÓÐ Ø Ø Ò Ñ Ö Ñ ØÓÚ ÓÐ ÓÞÒ º Þ Ä ØØÙ Ó Ý Ø ÐÓ ÓÖ Ø Ò Ò Ò Ñ ÓÐ º Þ Ó Ý Ø ÐÓ ÓÖ ÒÝ Ò Ú Ò Ñ ÓÐ Ø ¹ Ø Ð Ñ Ó ÑÓÒ Ø Ð Ú Ø Þ Ð Ò Ø Ø ÞØ ÞÓÐÒ º ÙÒ Þ Ô Ö Ñ Ø Ö Ò Ø Ø Þ Ð ÖØ Ø ÑÓÒ Ù p 1, p 2,..., p k ¹Øº Î Þ Ð Ù Ñ Ñ ÐÝ Ò Ý ÒÐ Ò Ð ÐÒ Ñ Ö Ù ÐØ Ð Ô Ð Ý ÓÖ º À Þ ÓØØ ÓÖ Ò Ò Ò Ú Þ Ö Ý ÓÖ ÒÒ 0 = 0 Ý ÒÐ Ð Ð Ñ Þ Ò Ñ Ø Ð Þ ÐÑ º À Þ x i Ú Þ Ö Ý Ú Ò Þ ÓØØ ÓÖ Ò ÓÖ Ñ Ð Ð Ý ÒÐ Ò Ñ Ñ Ñ ÒØ x i +a 1 p 1 +a 2 p 2 +...+a k p k = b i ÓÐ Þ a j ¹ Þ Ô Ö Ñ Ø Ö i¹ ÓÖ Ð Ý Øع Ø º Ì Ø Ú Þ Ö Ý Ò Ñ Ð Ð ÓÖÓ Ø ÒØ Ø Ñ Ð Ð x i Ñ Ö ØÐ Ò Ý Ý ÖØ ÐÑòµ ÖØ Ò º Ø Ø Ð ÒÒ Ò ÞÓÒÒ Ð º À Ö Ò ÐÐ Ù ¹ Ð Ñ Ò Ø Ú Ö Ø Ò ÓÖ Ó Ò Ñ ÔÖ Ð ÓÞÞÙÒ ÒØ Ö ÙÖÞ Ú Ð Ò Ñ Þ Ð Ý Ò ÓÖÓ Ø Ó ÞÐÓÔÓ Ø ØÓÚ Ö ÙÖ ØÙ Ò Ö Ù º Ø ÐÓ ÓÖ Ö Ù Ðص Ð Ô Ð Ò ÒÒ Ð Ð Ñ Ó Ý Ú Ó ÞÐÓÔ Ò Ñ Ð Ò Ý Ú Þ Ö Ý º

à ں ½µ Ð Ò Ö Ý ÒÐ ØÖ Ò Þ Ö ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ ÓÐ Ø Ñ Ý ÖØ ÐÑò Ò Ö Ù Ðص Ð Ô Ð Ò Ò Ñ Ð Ø Þ Ñ Ø ÐÓ ÓÖ Ñ Þ Ô Ö Ñ Ø Ö Þ Þ Ñ Ò Ò Ó ÞÐÓÔ Ò Ú Ò Ú Þ Ö Ý º ¾µ À Ý Ð Ò Ö Ý ÒÐ ØÖ Ò Þ ÖÒ Ð Ø Þ Ý ÖØ ÐÑò Ñ ÓÐ ÓÖ Ð Ð ÒÒÝ Ý ÒÐ Ø Ú Ò Ñ ÒØ ÒÝ Ñ Ö ØÐ Òº Þ ½µ À Ý ÖØ ÐÑò Ñ ÓÐ ÓÖ Ò Ò Ø ÐÓ ÓÖ Þ Ð Ø Þ Ñ ÓÐ º Æ Ò ØÓÚ Þ Ô Ö Ñ Ø Ö Ñ Þ Þ Ø Ø Þ Ð ÖØ Ø ÐÚ ØÒ º Å Ð Ð Ò Ò Ø ÐÓ ÓÖ ÓÖ Ð Ø Þ Ñ ÓÐ Þ Ò Ø ÐÑ Ò Ò Þ Ô Ö Ñ Ø Ö Ò ÓÖ ÞÓ Ò Ý Ð ÔÔ Ð Ø Ø Ø Þ Ð ÖØ Ø Ò Ý Þ Ð Þ Ø Ø Ð Þ Ö ÒØ Ñ ÓÐ Ý ÖØ ÐÑòº ¾µ À Ý ÖØ ÐÑò Ñ ÓÐ ÓÖ Ò Ò Þ Ô Ö Ñ Ø Ö Ú Ý Ñ Ò Ò Ó ÞÐÓÔ Ò Ú Ò Ú Þ Ö ¹ Ý Þ Ú Þ Ö Ý Ð Ò Þ ÓÖÓ Ò Ø Ð Ð Ø º ÓÖÓ Þ Ñ Þ Þ Þ Ý ÒÐ Ø Þ Ñ µ Ø Ø Ò Ñ Ð Ø Þ Ó ÞÐÓÔÓ Þ Ñ Ò Ð Ú Ý Þ Ñ Ö ØÐ Ò Þ Ñ Ò Ðº ÀÓÑÓ Ò Ð Ò Ö Ý ÒÐ ØÖ Ò Þ ÖÒ Ò Ú Þ Ò Ý Ý ÒÐ ØÖ Ò Þ ÖØ Ú Ø ØØ Ý ØØ Ø Ñ ØÖ Ü Ó ÓÐ Ð Ó ÞÐÓÔ ÙÔ 0 Þ Þ Ñ Ð Ð Ý ÒÐ Ø Ñ Ò Ý Ò 0 ÐÐ Ó ÓÐ Ð Òº Î Ð Ó Ó Ý Ý ÓÑÓ Ò Ð Ò Ö Ý ÒÐ ØÖ Ò Þ Ö Ú Ø ØØ Ý ØØ Ø Ñ ØÖ Ü Ò Ó Ñ Ð Ø Þ Ø Ø ÐÓ ÓÖ Þ Ð Ñ ÓÖ Ú Ú Ð Ò Ø Ð Ø Ó Ø Ö Þ Ó ÓÐ Ð Ñ Ò ¹ Ú 0 Ð Þº Ù Ý Ò Ñ Ò Ò ÓÑÓ Ò Ð Ò Ö Ý ÒÐ ØÖ Ò Þ ÖÒ Ð Ø Þ Ñ ÓÐ Ñ Ô Þ ºÒº ØÖ Ú Ð Ñ ÓÐ Ñ Ñ Ò Ò Ñ Ö ØÐ ÒÒ 0 ÖØ Ø º Ò ÑØÖ Ú Ð Ñ ÓÐ Ð Ø Þ Ò Ð ÐØ Ø Ð Ø Ú Ø Þ Ø Ø Ðº ýðð Ø À Ý ÓÑÓ Ò Ð Ò Ö Ý ÒÐ ØÖ Ò Þ Ö Ø Ñ Ö ØÐ ÒØ Ø ÖØ ÐÑ Þ Ñ ÒØ ÒÝ Ý ÒÐ Ø Ø ÓÖ Ú Ò Ò ÑØÖ Ú Ð Ñ ÓÐ º Þ Ú Ø ØØ Ý ØØ Ø Ñ ØÖ ÜÒ Ø Ó ÞÐÓÔ Ú Ò Ñ ÒØ ÓÖ Ý Ð Ð ÓÖ Þ ÑÒÝ Ú Þ Ö Ý Ò Ñ Ó Ð Ð Ø Ð Ñ Ò Ò Ó ÞÐÓÔÓØ Ø Ø Ú Ò Þ Ô Ö Ñ Ø Öº Þ ÖØ Ø Ò ÑÒÙÐÐ Ò Ú Ð ÞØÚ Ô Ò ÑØÖ Ú Ð Ñ ÓÐ Ø ÔÙÒ º ¾º½º ÃÓÓÖ Ò Ø ÓÑ ØÖ ÓÓÖ Ò Ø ÓÑ ØÖ Þ Ñ Ø Ó Ý Ð Ø Ô Ð Ð Ò Ö Ý ÒÐ ØÖ Ò Þ Ö Ð ÐÑ Þ Ö º ÌÙ Ù Ó Ý ÖÓÑ Ñ ÒÞ Ø Ö ÔÓÒØ Ý ÖØ ÐÑò Ò ÐÐ Ñ Þ Ø Ý Ú Ð Þ Ñ ÖÑ Ð Ñ Ö Ô Ö Þ Ñ ÒÒÝ Ò Ð Þ Ø Ò Ö Þ Ø ØØ Ò Ý Ö Þ ò ÓÓÖ Ò Ø Ö Ò Þ Öغ Ì ÖÑ Þ Ø Ö Ó Ý Ó Ý Ò ÐÐ Ñ Þ Ø Ð Ò Ð Ø Ö Ð Ð Þ ØÓ ÐÐ ØÚ ÞÓ Ñ Ø Þ Ø º Ì Ö Ð Ð Þ ØÓ ÓÒ ÑÓ Ø ÔÓÒØÓØ Þ Ý Ò Ø ÓØ ÖØ º n = (a, b, c) Ì Ý Ð Ø Ø Ó Ý S Ý Ø Ö Ò n = (a, b, c) Ý ÒÓÖÑ Ð¹ y p = (p 1, p 2, p 3 ) Ú ØÓÖ Þ Þ Ý ÓÐÝ Ò Ò ÑÒÙÐÐ Ú ØÓÖ Ñ Þ S Ñ Ò Ò Ý Ò Ö Ñ Ö Ð º Ä Ý Ò Ñ p = (p 1, p 2, p 3 ) Þ S Ý ÔÓÒØ Ð Ý Ò Þ S z S Þ S ( p 1, p 2, p 3 ) Ú ØÓÖÖ Ð Ú Ð ÐØÓÐØ Ñ Ø Ø Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ Þ ÓÖ Øº Î Ð Ó Ó Ý S x ÔÓÒØ ÔÓÒØÓ Ò Þ (x p 1, y p 2, z p 3 ) Ð S ÔÓÒØÓ Ð ÞÒ ÓÐ (x, y, z) Þ S Ý Ø Ø Þ Ð ÔÓÒØ º ÞØ ØÙ Ù Ó Ý Þ S ÔÓÒØÓ Ò ÞÓ Ø ÔÓÒØÓ Ø Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ Ñ ÐÝ Þ ÓÖ Ð ÑÙØ Ø ÐÝÚ ØÓÖ Ñ Ö Ð Þ S Ý Þ Sµ n ÒÓÖÑ ÐÚ ØÓÖ Ö Þ Þ Þ (x p 1, y p 2, z p 3 ) Þ (a, b, c) Ú ØÓÖÓ Ð Ö ÞÓÖÞ Ø 0 a(x p 1 )+b(y p 2 )+c(z p 3 ) = 0º Ý ÒÐ Ø ÒÒ Ð Ô Ò ax + by + cz = ap 1 + bp 2 + cp 3 Ð Þ Þ Þ ÔÓÒØÓ Ò ÞÓ Þ (x, y, z) ÓÓÖ Ò Ø Ð ÐÐ ÑÞ ØØ ÔÓÒØÓ Ð ÞÒ S¹ Ò Ñ Ñ ÓÐ Þ Ñ ÒØ Ý ÒÐ Ø Øº À Ý e Ý Ò ÔÓÒØ Ø Þ Ö ØÒ Ò ÐÐ Ñ ÞÒ ÓÖ Ò ÙÐ ØÙÒ e Ý p = (p 1, p 2, p 3 ) ÔÓÒØ Ð Þ e Ý Ò ÑÒÙÐÐ v = (v 1, v 2, v 3 ) Ö Òݹ Ú ØÓÖ Ðº Þ e Ý Ò ÔÓÒØ ÔÓÒØÓ Ò ÞÓ Þ (x, y, z) ÓÓÖ Ò Ø ÔÓÒØÓ Ð ÞÒ Ñ Ð ÐÐÒ (x, y, z) = (p 1, p 2, p 3 ) + λ(v 1, v 2, v 3 ) Ð ¹ Ò Ú Ð Ñ ÐÝ λ R Ø Ò Þ Þ ÓÓÖ Ò Ø Ð Ø Þ x v 1 λ = p 1 y v 2 λ = p 2 z v 3 λ = p 3 Ý ÒÐ ØÖ Ò Þ ÖØ Ñ 3 Ý ÒÐ Ø Ð ÐÐ 4 Ñ Ö ØÐ ÒØ x, y, z, λµ Ø ÖØ ÐÑ Þº y v = (v 1, v 2, v 3 ) p = (p 1, p 2, p 3 ) À ÒÒ Þ Ý ÒÐ ØÖ Ò Þ ÖÒ Ð Ö Ù Ú Ø ØØ Ý ØØ Ø Ñ ØÖ Ü Ø Ð Ø Ù Ó Ý Þ Ñ Ö Ý Ö Ù ÐØ Ð Ô Ð ÓÐ Þ x, y z¹ò Ñ Ð Ð Ó ÞÐÔÓ Ò Ú ÒÒ Ú Þ Ö Ý º Å Ø Ø ÞÓÒ Ò Ó Ý Ú Ø ØØ Ý ØØ Ø Ñ ØÖ Ü Ó ÞÐÓÔ Ø Ò Ñ x, y, z, λ ÓÖÖ Ò Ò Ö Ù Ð ÓÖ Ð¹ Ú Þ Ø Ð Þ Ù ¹ Ð Ñ Ò Ý Ó Ý λ Ò Þ Ô Ö Ñ Ø Ö Ð Ý Ò Ò Ñ Þ Ó ÞÐÓÔ Ò Ú Þ Ö Ý ÐÐ ÓÒº Å ÒØ Ó Ý Ñ x, y, z¹ö Ö Ù Ñ ÓÐ Ò Þ Ý ÒÐ ØÖ Ò Þ ÖØ Þ Þ Ý ÒÐ Ñ λ Ú Þ Ö Ý Ò ÓÖ ÓÞ Ø ÖØÓÞ Ý Þ Öò Ò Ð Ý Ø º Å Ö Ø Ø 2 Ý ÒÐ Ø Ñ Ò Ý Ò x, y, z Ú ÐØÓÞ Ñ ÓÐ ÔÓÒØÓ Ò Þ e Ý Ò ÔÓÒØ Ò ÓÓÖ Ò Ø Ð ÞÒ º Ä ØØÙ Ø Ø Ó Ý ÓØ Ý Ý ÒÐ Ø Þ Ý Ò ÔÓÒØ Ø Ø Ý ÒÐ Ø ÖØ Ð º Î Ð Ó Þ Ó Ý ÔÓÒØ Ý ÒÐ Ø ÚÓÐØ ÔÔ Ò Ý ÖÓÑ Ý ÒÐ Ø Ð ÐÐ Ð Ò Ö Ý ÒÐ ØÖ Ò Þ Ö p = (p 1, p 2, p 3 ) ÔÓÒØ ÓÞ Þ x = p 1, y = p 2, z = p 3 Ý ÒÐ ØÖ Ò Þ Ö Ø ÖØÓÞ º À Ô ÒØ Ð ÖØ ÐÑ ÞÓ ÔÓÒØ Ý Ò µ Þ Ð Ò ÒÝÒ Þ ÔÓÒØ Ø ÐÐ Ñ Ø ÖÓÞÒÙÒ ÓÖ Þ Ð Ö Þ Ð Ø Ó Ý Ñ Ò Ý ÔÓÒØ ÐÑ ÞÒ Ð Ö Ù Þ Ý ÒÐ Ø Ö Ò Þ Öµ Ø Þ Ø Ý Þ Ý ÒÐ ØÖ Ò Þ ÖÒ Ø ¹ ÒØÚ ÞØ Ù ¹ Ð Ñ Ò Ú Ð Ñ ÓÐ Ù º À Ò Ò Ñ ÓÐ ÓÖ Ñ Ø Þ Ø ÖØ Ð Ñ Þ Öò Ò Ö Ý ÒØ Ö Ù ÐØ Ð Ô Ð Ò Þ Ö ÔÐ Ý ÒÐ Ø Þ Ñ Ø Ð Ò Ñ ÓÐ Ý ÔÓÒØ Ý Ý Ò Ú Ý ÔÔ Ò Ý Ð Þº z x

º Î ØÓÖØ Ö V ÐÑ ÞØ R Ð ØØ Ú ØÓÖØ ÖÒ ÑÓÒ Ù ½µ (V, +) ÓÑÑÙØ Ø Ú ÓÔÓÖØ Þ Þ Þ Þ Ö Þ Ð ÞÓÒÓ Ó Þ u, v, w V Ø Ò ½µ u + (v + w) = (u + v) + w ¾µ u + v = v + u µ Ð Ø Þ 0 V u + 0 = u µ Ð Ø Þ u V Ñ Ö u + ( u) = 0 ¾µ Ð ÖÖ Ð Ú Ð ÞÓÖÞ Ö Þ Ð ÞÓÖÞ Ü ÓÑ Ø Ð Ð Ø Ú Ò Ù Ñ λ, κ R u, v V Þ½µ (λ + κ)u = λu + κu Þ¾µ λ(u + v) = λu + λv Þ µ (λκ)u = λ(κu) Þ µ 1u = u Å ÝÞ ÒØ Ò Ú Ð Ò Ú Ð Ú ØÓÖØ Ö Ò º À Þ R ÐÑ Þ ÐÝ ØØ Q Ú Ý C ÐÐÒ ÓÖ Þ Ð ØÒ Ò Ö ÓÒ Ð Ðк ÓÑÔÐ Ü Ú ØÓÖØ ÖÖ Ðº Ú ØÓÖØ Ö Ð Ö Ø Ð Þ ÐÚ Ö Ó Ý Ö ØÙ Ð Ý Ò Ý Þ Ý ÞÓÖÞ ÑòÚ Ð Ø Ñ ÐÐÝ Ð ºÒº Ø Ø Ø Ð ÓØÒ º Ø Ø Ð Ó Ð Ð ÓÞÙÒ ØØ Ð Ò Ú Ð Ú ØÓÖØ Ö Ö ÓÒ ÒØÖ ÐÒ º È Ð ½µ R Ñ Ò Ò Ø Øµ Ú ØÓÖØ Ö ÒÑ Ð Øغ ¾µ Ð Ø Ö Ð µ Ú ØÓÖÓ Ú ØÓÖØ Ö Ø Ð ÓØÒ R Ð Øغ µ Ú Ð Þ ÑÓ Ð Ð ÓØÓØØ n Ó Þ ÓÖÓÞ ØÓ Ú ØÓÖØ Ö Ø Ð ÓØÒ R Ð ØØ ÓÐ (x 1, x 2,...,x n )+ (y 1, y 2,..., y n ) = (x 1 + y 1, x 2 + y 2,..., x n + y n ) ÐÐ ØÚ λ(x 1, x 2,...,x n ) = (λx 1, λx 2,..., λx n )º Î Ð Ó Ó Ý Þ ½µ Ðк ¾µ Ô Ð µ Ô Ð Ø n = 1 Ðк n = 2, 3 Ø Òº µ Þ n k Ñ Ö Øò Ú Ð µ Ñ ØÖ ÜÓ Ú ØÓÖØ Ö Ø Ð ÓØÒ R Ð ØØ Þ Þ Ø Ð Ñ Ò ÒØ Ð ÖÖ Ð Ú Ð ÞÓÖÞ Ø Ô Þ Þ Ñ ØÖ Ü Ð Ñ Ú ÞÓÖÞ ÒØ ÖØ ÐÑ ÞÞ º Þ n = 1 Ø ÔÔ Þ Ð Þ Ô Ð Ø º µ Ú Ð ÔÓÐ ÒÓÑÓ Ú ØÓÖØ Ö Ø Ð ÓØÒ R Ð ØØ Ð Ð n¹ Ó ÔÓÐ ÒÓÑÓ Þ ÒØ Òº µ Ú Ð Þ ÑÓ Ñ Ò Ý Þ Ý Ú Ð Þ ÑÓØ Ö Ò Ð f : R R Ø ÔÙ µ Ú ÒÝ R Ð ØØ Ú ØÓÖØ Ö Ø Ð ÓØÒ ÓÐ Þ Þ Þ (f+g)(x) := f(x)+g(x) Ð ÖÖ Ð ÞÓÖÞ Ô (λ f)(x) := λ f(x) ÞÓÒÓ Ð ÖØ ÐÑ Þ Ø º Ì Ø Ð À V Ý Ú Ð Ú ØÓÖØ Ö ÓÖ Þ ½µ λ0 = 0 λ R ¾µ 0v = 0 v V µ ( 1)v = v v V µ λv = 0 (λ = 0 Ú Ý v = 0) Ø Ð ÐÒ º Þ ½µ 0 = λ0+( λ0) = λ(0+0)+( λ(0)) = (λ0+λ0)+( λ0) = λ0+(λ0+( λ0)) = λ0+0 = λ0º ¾µ 0 = 0v + ( 0v) = (0 + 0)v + ( 0v) = (0v + 0v) + ( 0v) = 0v + (0v + ( 0v)) = 0v + 0 = 0v º µ ( 1)v = ( 1)v + 0 = ( 1)v + (v + ( v)) = (( 1)v + v) + ( v) = (( 1)v + 1v) + ( v) = (1 1)v + ( v) = 0v + ( v) = 0 + ( v) = v º µ Ä ØØÙ Ó Ý λ = 0 Ðк v = 0 Ø Ò λv = 0º Ì Ý Ð ÑÓ Ø Ó Ý λv = 0 λ 0º ÞØ ÐÐ ÞÓÐÒÙÒ Ó Ý v = 0º Ì 0 = 1 λ 0 = 1 λ (λv) = ( 1 λλ)v = 1v = vº W V Ö Þ ÐÑ Þ V Ú Ð Ú ØÓÖØ Ö ÐØ Ö W Ú Ð Ú ØÓÖØ Ö V Ú ØÓÖØ Ö ÑòÚ Ð Ø Ö º  РРW V º È Ð Ì Ø Ð À V Ú ØÓÖØ Ö ÓÖ W V ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ ÐØ Ö V ¹Ò Þ ÖØ Ú ØÓÖ Þ Ö Ð ÖÖ Ð Ú Ð ÞÓÖÞ Ö º Þ Î Ð Ó Ó Ý W ÐØ Ö ÓÖ Ñ Ú ØÓÖ Þ Ñ Ð ÖÖ Ð Ú Ð ÞÓÖÞ Ò Ñ Ú Þ Ø Ø W ¹ к Þ Ð Þ Ý Ð Ñ Ó Ý ÑòÚ Ð Ø Þ ÖØ Ð ÞÓÒÒ Ð Ò Þ ½ ¾µ Ðк Þ Þ½ Þ¾ Þ Þ µ Ü ÓÑ Ý ÙÔ Ò µ¹ø ÐÐ ÐÐ Ò Ö ÞÒ º Å Ú Ð W Þ ÖØ Ð Ø Þ Ý w W ÓÒÒ Ò w = ( 1)w W Ð ÖÖ Ð ÞÓÖÞ Þ ÖØ Ñ Øغ ÁÒÒ Ò Ô 0 = w + ( w) W Ø Ø µ Ø Ð Ðº Ä Ý Ò V Ú Ð Ú ØÓÖØ Öº v 1, v 2,... v n Ú ØÓÖÓ Ð Ò Ö ÓÑ Ò n i=1 λ iv i = λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ n v n Ú ØÓÖ Þ ÓÐ λ i Rº n i=1 λ iv i Ð Òº ÓÑ º ØÖ Ú Ð λ i = 0º ÞØ ÑÓÒ Ù Ó Ý v V Ú ØÓÖØ Ò Ö Ð V Ú ØÓÖØ Ö U Ö Þ ÐÑ Þ v Ð ÐÐ U Ò ÒÝ Ú Ó µ Ú ØÓÖ Ò Ð Ò Ö ÓÑ Ò Òغ Þ Þ Ð Ø Þ Ý n N Þ Ñ Ð Ø ÞÒ u 1, u 2,...,u n U Ú ØÓÖÓ Ý Ó Ý v = n i=1 λ iu i Ø Ð Ð Ð ÐÑ λ i ¹ Ø Ú Ð ÞØÚ ºµ Þ U Ö Þ ÐÑ Þ Ò Ö ÐØ Ú ØÓÖÓ ÐÑ Þ Ø U Ð Ð º Ý g 1, g 2,... g n Ú Ú ØÓÖÖ Ò Þ Ö ÐØ Ð Ò Ö ÐØ Ú ØÓÖÓ ÐÑ Þ Ø g 1, g 2,... g n ¹Ú Ð Ð Ð º Þ U V ÐÑ Þ Ò Ö Ð W V ÐØ Ö Ø Ñ Ò Ò Ú ØÓÖ Ø Ò Ö Ð Þ Þ W U º À Þ Ò Ø Ð Ñ U W Ø Ð Ð ÓÖ U¹Ø W Ò Ö ØÓÖÖ Ò Þ Ö Ò ÑÓÒ Ù º Ð Ò Ö ÓÑ Ò Ú Ð Ò ÒÒ Ø ÒÝÒ ÔÓÒØÓ Ð Ö Ó Ý Ú ØÓÖÓ Ý ÓØØ U ÐÑ ¹ Þ Ð Ú ØÓÖØ Ö ÑòÚ Ð Ø Ò Ø Ú Ð Ó Ý Ò Ð Ø Ð ÐÐ Ø Ò Ý v Ú ØÓÖغ ÁÐÝ Ò ÓÖÑ Ò U Ò Ñ Ñ Ñ ÒØ Ñ Ò ÞÓÒ v Ú ØÓÖÓ ÐÑ Þ Ñ Ø Ñ Ô ØÙÒ Þ U Ð Ñ Ð Ú ØÓÖØ Ö R Ð Ñ Ø Ð ÖÓ Ò Ò Ú ÞÞ µ µ ÞÓÒÝ Ø ÓÞ Þ ÚÓÐØ Þ Þ µ Ü ÓÑ Ö º À Þ Þ Ü ÓÑ Ò Ñ Ð ÒÒ ÓÖ Ñ Ó Ø ØÒ Ò Ý Ø Ø Þ Ð Ú ØÓÖØ Ö Ò Ð ÖÖ Ð Ú Ð ÞÓÖÞ Ø Ý Ó Ý λv := 0 Ø Ð Ð Ò Ñ Ò Ò λ R Ñ Ò Ò v V Ø Òº Þ Ý ÔÓØØ ØÖÙ Ø Ö Þ Þ µ Ú Ø Ð Ú Ð Ñ Ò Ò Ú ØÓÖØ Ö Ü ÓÑ Ø Ø Ð Øº

ÑòÚ Ð Ø Ò Ð ÐÑ Þ Ú Ðº Þ Ò Þ ÑÐ Ð Ø Þ Ö ÒØ U ÞÓÒÝÓ Ò Þ ÖØ ÑòÚ Ð Ø Ö Ý ÓÖ Ø Ø Ð Þ Ö ÒØ ÐØ Öº ÞØ ÞÓÒÝ Ø Ù Þ Ð Òº Ì Ø Ð Ì Ø Þ Ð Ú ØÓÖÖ Ò Þ Ö ÐØ Ð Ò Ö ÐØ Ú ØÓÖÓ ÐØ Ö Ø Ð ÓØÒ Þ Þ U V ÖÑ ÐÝ U V Ø Òº Þ ÑòÚ Ð Ø Ö Ú Ð Þ ÖØ ÓØ ÐÐ ÐÐ Ò Ö ÞÒ Ò Þ Þ Ó Ý U Ò ÒÝ Ð Ñ Ò Ý Ð Ò ¹ Ö ÓÑ Ò Ø λ Ð ÖÖ Ð Ñ ÞÓÖÓÞÚ Ð Ò Ö ÓÑ Ò Ø ÔÙÒ ÐÐ ØÚ Ó Ý Ø Ð Ò ¹ Ö ÓÑ Ò Þ Ð Ò Ö ÓÑ Ò º Þ Ð Ø Ò Ð Ý Ò v := n i=1 λ iu i ÓÖ λv = λ(λ 1 u 1 + λ 2 u 2 +... λ n u n ) = λ λ 1 u 1 + λ λ 2 u 2 +... + λ λ n u n = n i=1 λλ iu i Ñ Ú Ð Ò Ð Ò Ö ÓÑ Ò º Þ Þ Ø Ò Ð Ý Ò v = n i=1 λ iu i Þ Ý Ðк w = m j=k κ ju j Ñ Ð Ò Ö ÓÑ ¹ Ò º ÐØ Ø Ó Ý k n ÓÐÝ Ò Ó Ý Þ u k, u k+1,... u n Ú ØÓÖÓ Þ Ø Ð Ö Ò Ø Ú ØÓÖ Ô Ò Ñº ÓÖ Ð Ò Ö ÓÑ Ò ØÖ Ò Þ Ú Ð Þ ½ ¾µ ÐÐ ØÚ Þ Þ½µ Ü ÓÑ Ð ÞÒ Ð Ú Ðµ v + w = k 1 i=1 λ iu i + n i=k (λ i + κ i )u i + m i=n+1 κ iu i Ð Ñ Þ ÒØ Ò Ý Ð Ò Ö ÓÑ Ò ÐÝ Ò ÓÖÑ Ò v + w U º v 1, v 2,...,v n Ú ØÓÖÖ Ò Þ Ö Ð Ò Ö Òµ ØÐ Ò ØÖ Ú Ð Ð Ò Ö ÓÑ Ò Ù ÐÐ Ø Ð 0¹Ø Þ Þ n i=1 λ iv i = 0 λ i = 0º ÒØ Ö Ò Þ Ö Ð Ò Ö Òµ Þ Ò Ñ Ð Òº ØÒ Þ Þ 0 Ð ÐÐ Ò ÑØÖ Úº Ð Òº ÓÑ º¹ ÒØ n i=1 λ iv i = 0 λ i 0 Ú Ð Ñ ÐÝ i¹ö º ýðð Ø v 1, v 2,...,v n Ú ØÓÖÖ Ò Þ Ö ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ ØÐ Ò Ý v k Ñ ÐÐ Ð Ñ Ö v j Ú ØÓÖÓ Ð Ò Ö ÓÑ Ò Òغ Þ Î Ð Ó Ó Ý v k = i k λ iv i ÓÖ 0 = i k λ iv i + ( 1) v k Ý Ò ÑØÖ Ú Ð Ð Ò Ö ÓÑ Ò Þ Ò v k Ý ØØ Ø 1º À Ø Ø v k Ð ÐÐ Ð Ò Ö ÓÑ Ò ÒØ ÓÖ Ö Ò Þ Ö Þ º Å Ð Ð {v 1, v 2,...,v n } Þ Þ Þ Ò Ñ Ð Òº ØÒ ÓÖ 0 Ð ÐÐ Ò ÑØÖ Ú Ð Ð Ò Ö ÓÑ Ò ÒØ Ôк 0 = n i=1 λ iv i Ð Ò ÓÐ ÑÓÒ Ù µ λ k 0º ÓÖ ØÖ Ò Þ Ð λ k v k = i k λ iv i ÓÒÒ Ò v k = 1 λ k i k λ iv i = i k λi λ k v i Ñ ÔÔ v k Ð ÐÐ Ø Ñ Ö Ú ØÓÖÓ Ð Ò Ö ÓÑ Ò Òغ {b 1, b 2,..., b n } Ú ØÓÖÖ Ò Þ Ö V Ú ØÓÖØ Ö Þ Ð Òº ØÒº Ò Ö Ð V ¹Øº Ì Ø Ð {b 1, b 2,...,b n } ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ Þ V ¹Ò v V Ý ÖØ ÐÑò Ò ÐÐ Ð b i ¹ Ð Òº ÓÑ º Òغ Þ Ì Ý Ð Ó Ý {b 1, b 2,..., b n } Þ º ÓÖ V Ñ Ò Ò Ú ØÓÖ Ð ÐÐ Ð Ò Ö ÓÑ Ò ¹ ÒØ Þ Ò Þ Ò Ö ØÓÖÖ Ò Þ Öº ÞØ ÐÐ Ð ØÒÙÒ Ó Ý Ð Ò Ö ÓÑ Ò ÒØ Ø ÖØ Ò Ð Ö Ý ÖØ ÐÑòº Ì Ý Ð Ó Ý v = n i=1 λ ib i = n i=1 κ ib i Ø Ð Ö º ÓÖ ØÖ Ò Þ Ð 0 = n i=1 λ ib i n i=1 κ ib i = n i=1 (λ i κ i )b i ÓÒÒ Ò b i ØÐ Ò Ñ ØØ λ i κ i = 0 Ú Ø¹ Þ Ñ Ò Ò i¹ö º Þ Ö ÒØ λ 1 = κ 1, λ 2 = κ 2,...,λ n = κ n Ø Ø Ð Ö Ù Ý Ò Ý ÖØ ÐÑòº ÅÓ Ø Ø Ý Ð Ó Ý V ÖÑ ÐÝ Ð Ñ Ý ÖØ ÐÑò Ò ÐÐ Ø Ø Ð b 1, b 2,..., b n Ú ØÓÖÓ Ð Ò ¹ Ö ÓÑ Ò Òغ Ú ØÓÖÓ Ø Ø Ò Ö ØÓÖÖ Ò Þ ÖØ Ð ÓØÒ Ð Ò Ö ØÐ Ò Ø ÐÐ ÐÐ Ò Ö ÞÒ º À Ð Ò Ö Ò Þ Ð ÒÒ Ò ÓÖ Ú Ð Ñ ÐÝ ÑÓÒ Ù b k µ Ð ÐÐÒ Ñ Ö Ú ØÓÖÓ Ð Ò Ö ÓÑ Ò ÒØ Þ ÐÐ ÒØÑÓÒ Ù Ý Ò b k Ò Ñ ÐÐÒ Ð Ý ÖØ ÐÑò Ò Þ b k = 1 b k Ý Þ ÑÐ Ø ØØ Ð Ð Ò Þ Ð ÐÐ Ø Ð ÒÒ º Þ u V Ú ØÓÖ B = {b 1, b 2,...,b n } Þ Þ Ö ÒØ ÓÓÖ Ò Ø α 1, α 2,...,α n u = ( α1 ) n i=1 α ib i º Þ u B Þ Ö ÒØ ÓÓÖ Ò Ø Ú ØÓÖ Þ [u] B := º Ó ÞÐÓÔÚ ØÓÖº α n V Ú ØÓÖØ Ö Ñ ÒÞ V Ý Ø Ø Þ Ð B Þ Ò Ð Ñ Þ Ñ º Ã Ö Ð Ø Ø Ð À F = {f 1, f 2,..., f n } ØÒ G = {g 1, g 2,...,g k } Ò Ö Ð V ¹Ø ÓÖ Ø Ø Þ Ð ¹ f i ¹ Þ i = 1, 2,...,nµ Ð Ø Þ g j j = 1, 2,..., kµ Ý Ó Ý F \ {f i } {g j } ØÐ Òº Þ ÁÒ Ö Ø ÞÓÒÝ ØÙÒ Þ Þ ÐØ Þ Ó Ý Ú Ð Ñ ÐÝ f i ¹ Þ Ò Ñ Ð Ø Þ g j º Ê Þ Ø ÞØ Þ f i ¹ Ø Ú Þ Ð Ù Ñ Ñ Ø Ð ÒØ Þ Ó Ý F \{f i } {g j } Ò Ñ Ð Ò Ö Ò ØÐ Òº Å Ú Ð F \{f i } Ð Ò Ö Ò ØÐ Ò Þ ÖØ F \ {f i } {g j } Ý Ò ÑØÖ Ú Ð Ð Ò Ö ÓÑ Ò 0¹Ø ÓÖ g j Ý ØØ Ø Ò ÑÒÙÐÐ Þ Þ g j Ð ÐÐ Ø Ø Þ f \ {f i }¹ Ð Ú ØÓÖÓ Ð Ò Ö ÓÑ Ò Òغ Þ Ñ Ò Ò g j Ú ØÓÖÖ Þ Ø Ø g 1, g 2,... g k F \ {f i } º ÓÖ ÞÓÒ Ò g j ¹ ÐØ Ð Ò Ö ÐØ Ú ØÓÖÓ Ø Ò Ö Ð Þ F \ {f i }¹ Ð Ú ØÓÖÓ Þ Ò Ò Ö ÐØ ÐØ Ö Þ ÖØ ÑòÚ Ð Ø Ö Ý Ð Ò Ö ÓÑ Ò Ö µ Ø Ø f i g 1, g 2,...g k F \{f i } ÓÐ Þ Ð Ö Ð g j ¹ Ò Ö ØÓÖØÙÐ ÓÒ Ð º ÞØ ÔØÙ Ó Ý f i ¹Ø Ò Ö Ð Ñ Ö F ¹ Ð Ú ØÓÖÓ Ñ ÐÐ ÒØÑÓÒ F ØÐ Ò Ò º à ں À f 1, f 2,...f n Ð Ò Ö Ò ØÐ Ò g 1, g 2,... g k Ú ØÓÖÓ Ò Ö Ð V ¹Ø ÓÖ n kº Þ Ö Ð Ø Ø Ð ÐØ Ð ÞØÓ ØÓØØ Ñ ÓÒ Ø Ø ØÐ Ò Ñ Ø ÖØ Ú Ðµ Ö Ð ÓÖ Ò Þ f 1, f 2,..., f n Ú ØÓÖÓ Ø Ý¹ Ý g j ¹Ö º Þ f n Ö ÙØ Ò Ý ÓÐÝ Ò n Ú ØÓÖ Ð ÐÐ Ð Ò Ö Ò Ì Ð Ò ÓÒÐ Ò Ò Ð Ø Ý U V Ö Þ ÐÑ Þ Ð Ò Ö ØÐ Ò Ñ Ñ Ð Þ Ò ÒØ Ú Ð ÒÒ Ó Ò Ó Ý ÓÐÝ Ò Ú ØÓÖØ Ö Ð Ó ÙÒ Ö ÞÐ Ø Ò Ó Ð Ð ÓÞÒ Ñ Ò Ñ Ò Ò Ð Ò Ö Ò ØÐ Ò ÐÑ Þ Ú º Å Þ Ú Ð Þ ÑÙÒ Ö Ö Ú ØÓÖØ Ö ÖÑ ÐÝ Ú Ø Ð Ò ÐÑ Þ Ð Ò Ö Ò Þ ºµ ½¼

ØÐ Ò Ö Ò Þ ÖØ ÔÙÒ Ñ Ò Ñ Ò Ò f i ÐÝ ØØ Ý¹ Ý g j Ðк À Ø Ð Ò Þ f i ÐÝ Ö Ù Ý Ò Þ g j Ö Ð ÓÖ ÔÓØØ Ö Ò Þ Ö Ò Ñ Ð Þ ØÐ Ò Þ Ý g j ¹Ò 1 Ñ Ò 1 Ý ØØ Ø Ø Ú Ø Ø Ô 0¹Ò Ú Ð ÞØÚ µ Ý 0¹Ø Ò ÑØÖ Ú Ð Ð Ò Ö ÓÑ Ò Ø ÔÒ Ò º Ì Ø Ö ÐØ g j ¹ Ñ Ò Ý Ð Ò Þ Ý g j ¹ Þ Ñ Ð Ð ÓÖ Ñ ÒØ Þ f i ¹ º à ں Î ØÓÖØ Ö ÖÑ ÐÝ Ø Þ ÞÓÒÓ Ð Ñ Þ Ñ º Ñ ÒÞ Ó ÐÑ Ð Ò Ðغ Þ Ä Ý Ò B 1 B 2 V Ø Ö Þ º Å Ú Ð B 1 ØÒ B 2 Ò Ö ØÓÖÖ Ò Þ Ö Þ ÖØ Þ Ð Þ Ú Ø ÞÑ ÒÝ Ñ ØØ B 1 B 2 º B 2 ØÐ Ò Ð B 1 Ò Ö ØÓÖØÙÐ ÓÒ Ð Ô B 2 B 1 ÓÒÒ Ò Þ ÐÐ Ø Ö Ø Ò Ú Ø Þ º Å ÝÞ Â Ý ÞÞ Ñ Ó Ý ÒØ ÑÓÒ ÓØØ ÐÐ Ø Ó ÓÐÝ Ò Ú ØÓÖØ Ö Ö ÚÓÒ Ø ÓÞÒ Ñ Ú Ò Ò Ö ÐØ Þ Þ Ð Ø Þ Ú Ò Ö ØÓÖÖ Ò Þ Ö º Æ Ñ Ñ Ò Ò Ú ØÓÖØ Ö ÐÝ Ò Ò Ñ Ú Ò Ò Ö ÐØ ÔÐ Ú Ð ÔÓÐ ÒÓÑÓ Ú ØÓÖØ Ö Ú Ý Þ ÞØ ÐØ Ö ÒØ Ø ÖØ ÐÑ Þ Ú Ð Ú ÒÝ Ú ØÓÖØ Ö Ñº Ö Ò Ñ Ú Ò Ò Ö ÐØ Ú ØÓÖØ Ö Ñ Ø Ñ Ø Ð Ð ÓÐÝ Ò Ö Ñ ÒØ Ú Ò Ò Ö ÐØ Ñ Ñ Ð Þ Ò ÞÞ Ð Ó Ý ØÓÚ Ò Þ ÙØ Ø ÔÙ Ð Ó Ð Ð ÓÞÙÒ º Ý Ôк Þ Ñ Ò Ý Ú ÐÑ ÞØ Ó Ð ÒØ Ò ºµ Ì Ø Ð À F V ØÒ G V ÐÑ Þ Ò Ö Ð V Ú Ò Ò Ö Ðص Ú ØÓÖØ Ö Ø ÓÖ Ð Ø ÞÒ F B 1 Ðк B 2 G Þ Ó º Å Þ Ú Ð V Ú ØÓÖØ Ö Ú Ò Ò Ö ÐØ ÓÖ Ø Ø Þ Ð Ð Ò Ö Ò ØÐ Ò Ö Þ ÐÑ Þ Ø Ö ÞØ Ø Ø Ð Ø Ö Ý Þ Ú Ðк Ø Ø Þ Ð Ò Ö ØÓÖÖ Ò Þ Ö Ø ÖØ ÐÑ Þ Ý Þ Øº Þ Ä Ý Ò G = {g 1, g 2,..., g k } V Ú ØÓÖØ Ö Ý Ú Ò Ö ØÓÖÖ Ò Þ Ö À ÞÐ Ð Ù Ð Þ F ÐÑ ÞØ Ý Ó Ý Ý Ú Ð Ñ ÔÖ Ð Ù G ÓÖÓÒ Ú Ø Þ Ð Ñ Ø ÓÞÞ Ú ÒÒ Ñ Ö Ð ÞÐ ÐØ ÐÑ Þ ÓÞ ÖÖ Ý ÐÚ Ó Ý ÓÖ Ú Þ Þ ØÙ Ð g j ¹Ø Ð Ø Þ ÐÑ Þ Þ ÐØ Ð Ð Ò ¹ Ö Ò ØÐ Ò Ñ Ö º Ä Ý Ò B 1 Þ Þ G ¹ Ð ÐÐ Ò ÖÞ ÙØ Ò ÔÓØØ Ð ÞÐ ÐØ ÐÑ Þº Î Ð Ó Ó Ý F B 1 ØÓÚ Ó Ý B 1 ØÐ Òº ÞØ ÐÐ ÙÔ Ò ÞÓÐÒ Ó Ý B 1 Ò Ö Ð V ¹Øº Þ Ð ¹ Ú Ø Þ Ó Ý B 1 Ò Ö Ð G Ò Ö ØÓÖÖ Ò Þ Ö Ñ Ò Ò Ð Ñ Øº À Ù Ý Ò g j B 1 ÓÖ Þ Ú Ð Ó Ð Ò Ò Ô g j ÐÐ Ò ÖÞ ÓÖ Ý ØÒ Ö Ò Þ Ö Ð Ð Ò Ö Ò Þ Ø ÔØÙÒ g j ÓÞÞ Ú Ø Ð Ú Ð Ø Ø g j Ñ Ö Ð ÐÐØ Ý Þ Ö Þ ØÙ Ð ØÐ Ò ÐÑ Þ Ð Ñ Ò Ð Ò Ö ÓÑ Ò Òغ Ý Ð ÐÐ Ú Ø ØØ B 1 ÐÑ Þ Ð Ñ Ò Ð Ò Ö ÓÑ Ò ÒØ º Å ÖÔ B 1 G Ñ Ò Ò Ð Ñ Ø Ò Ö Ð ÓÖ Ñ Ò Ò G ÐØ Ð Ò Ö ÐØ Ú ØÓÖØ Ò Ö Ð Þ Þ Ø Ð Ú ØÓÖØ Ö Ò Ö ØÓÖÖ Ò Þ Ö Ø ÔØÙ º B 2 Þ Ð ÐÐ Ø ÓÞ Ú Ð ÞÙ G Ý Ø Ø Þ Ð Ò ÑÒÙÐÐ Ð Ñ Ø ÑÓÒ Ù b 1 ¹Øº À b 1 = V ÓÖ Þ Ú ÝÙÒ Þ Ñ Ö Ø Ð ÐØÙÒ Ý Þ Øº Ì Ý Ð Ó Ý G¹ Ð Ñ Ö ÓÖ Ò Ú Ð ÞØÓع ØÙ b 1, b 2,...,b l Ð Ò Ö Ò ØÐ Ò Ð Ñ Øº À b 1, b 2,..., b l = V ÓÖ Þ Ú ÝÙÒ Þ Ý Ð Ò Ö Ò ØÐ Ò Ò Ö ØÓÖÖ Ò Þ ÖØ Ø Ð ÐØÙÒ º Ý ÒØ b 1, b 2,..., b l V = G Ø Ø Ð Ø Þ G¹Ò ÓÐÝ Ò Ð Ñ ÑÓÒ Ù b l+1 µ Ñ Ò Ñ ÐÐ Ð b 1, b 2,... b l Ð Ñ Ð Ò Ö ÓÑ Ò Òغ Ð Ò Ö ØÐ Ò Ö ÓÖ Ò ÞÓÒÝ ØÓØØ Þ Ð Ô Ò ÓÖ b 1, b 2,..., b l, b l+1 Ð Ò Ö Ò ØÐ Ò Ð Þº Å Ú Ð G V Ø Ö Ý k¹ Ð Ñò Ò Ö ØÓÖÖ Ò Þ Ö Ñ Ò Ò Ð Ò Ö Ò ØÐ Ò Ö Ò Þ Ö Ð Ð k¹ Ð Ñò Ð Ø Ø Ø ÒØ Ú Ø Ø Ð Ð k¹ ÞÓÖ ØÙ Ù Ñ Ø ÒÒ º Þ Ö ÒØ Ð k¹ Ð Ô Ò b i Ú ØÓÖÓ Ò Ö Ð Ø Ð V Ø Ö Ø Þ Þ Ñ ÔØÙÒ Ý B 2 G Þ Øº ýðð Ø ½µ U V dimu dimv º ¾µ Þ Ð ÐÐ Ø Ú Ú Ð Ò º µ dimv = n µ n¹ Ð Ñò ØÒ Ñ Ò Ò n¹ Ð Ñò ØÒ Þ µ n¹ Ð Ñò Ò Ö ÖÓÖÖ Þº Ñ Ò Ò n¹ Ð Ñò ÒºÖ Þº Þ µ n¹ Ð Ñò ØÒ ÖÑ ÐÝ (n + 1) Ú ØÓÖ µ n¹ Ð Ñò ÒºÖ Þº (n 1) Ð Ñò ÒºÖ Þº Þ ½µ Ä Ý Ò B Þ U ÐØ Ö Ý Þ º Å Ú Ð B ØÐ Ò V ¹ Ò Þ ÖØ B Þ Ø Ø V Þ Ú Ø Ø V Þ Ò Ð Ð ÒÒÝ Ð Ñ Ú Ò Ñ ÒØ U¹ Ò º ¾µ µ µ À dim V = n ÓÖ Ð Ø Þ n¹ Ð Ñò Þ Ñ Ý n¹ Ð Ñò Ð Ò Ö Ò ØÒ Ò Ö ØÓÖÖ Ò Þ Öº Ä Ø Þ Ø Ø n¹ Ð Ñò ØÒº À F Ý n¹ Ð Ñò ØÐ Ò ÓÖ Þ Ð Ø Þ F ¹Ø Ø ÖØ ÐÑ Þ Þ Þ Ó Ð Ñ Þ Ñ Ò Ý ÒÐ Ñ ØØ Þ F Рغ µ µ Ä Ø Þ n¹ Ð Ñò ØÐ Ò Ý Ñ Ò Ò Ò Ö ØÓÖÖ Ò Þ Ö Ð Ð n¹ Ð Ñòº Å Ú Ð Ð Ø Þ n¹ Ð Ñò Þ Þ ÖØ G Ý n¹ Ð Ñò Ò Ö ØÓÖÖ Ò Þ Ö ÓÖ ÖÑ ÐÝ G ÐØ Ð Ø ÖØ ÐÑ ÞÓØØ Þ n¹ Ð Ñò Ø Ø Þ G Рغ µ µ Ä Ø Þ n¹ Ð Ñò Ò Ö ØÓÖÖ Ò Þ Ö Þ ÖØ Ò Ñ Ð Ø Þ Ø Ð Ð (n+1)¹ Ð Ñò ØÐ Òº ÞØ ØÙ Ù Ó Ý Ð Ø Þ n¹ Ð Ñò Þ Ñ Ý ØØ Ð Ý n¹ Ð Ñò ØÒº µ µ Å Ú Ð Ú Ò n¹ Ð Ñò ØÐ Ò Ñ Ò Ò Ò Ö ØÓÖÖ Ò Þ Ö Ð Ð n¹ Ð Ñòº À Ô G Ý Ò Ö ØÓÖÖ Ò Þ Ö ÓÖ Þ ÐØ Ð Ø ÖØ ÐÑ ÞÓØØ Þ Ò Ñ Ð Ø Ð Ð (n + 1)¹ Ð Ñò Þ ÖÑ ÐÝ n + 1 Ð Ñ º µ µ Ú ØÓÖØ Ö Ñ ÒÞ Ò Ñ Ñ Ñ ÒØ Ý ÓÐÝ Ò Ò Ö ØÓÖÖ Ò Þ Ö Ò Ð Ñ Þ Ñ Ñ ÐÝ Ò Ö ØÓÖÖ Ò Þ Ö Ò Ñ Ø ÖØ ÐÑ Þ Ú Ð Ö Þ ÐÑ Þ ÒØ Ò Ö ØÓÖÖ Ò Þ Öغ Þ µ ÐØ Ø Ð Þ Ö ÒØ Þ n Рغ º Ä Ò Ö Ð Ô Þ Þ U, V Ú Ð Ú ØÓÖØ Ö Þ ØØ Ø A : U V Ú ÒÝ Ý Ð Ò Ö Ð Ô Þ ½µ A(u + v) = A(u) + A(v) u, v U Ðк ¾µ A(λu) = λa(u) λ T, u U Ø Ð Ðº Ä Ò Ö Ò Ø Ø ÑòÚ Ð ØØ ÖØ Ð Ô Þ Ø Ò Ú ÞÞ º à ÒÒÝ Ò Ð Ø Ø Ó Ý Þ ½ ¾µ ØÙÐ ÓÒ Ó ÐÝ ØØ Ñ Ú Ò ØÒ Ò Þ Ð ØÙÐ ÓÒ ÓØ µ A(λu + µv) = λa(u) + µa(v) u, v V, λ, µ Rº À Ù Ý Ò A Ð Ò Ö ÓÖ A(λu + µv) = A(λu) + A(µv) = λa(u) + µa(v)º Å Ö ÞØ µ Ò ÐÐ ÓÖ λ = µ = 1 Ø Ò ½µ Ñ µ = 0 ÐÝ ØØ Ø Ð ¾µ Ú Ø Þ º ½½

ÞØ Ý Þ Öò Ò n Þ Ö ÒØ Ò Ù Ú Ðµ Ó Ý µ Ú Ú Ð Ò ÓÖÑ Ð Ò Ø Ø Ú Ò ³µ A( n i=1 λ iv i ) = n i=1 λ ia(v i ) n N, v 1, v 2,...,v n V, λ 1, λ 2,...,λ n R ÐØ Ø ÐРк Þ Ö ÒØ Ð Ò Ö Ð Ô Þ Ò Ñ Ñ Ñ ÒØ ÓÐÝ Ò Ð Ô Þ Ñ Ø Ø Þ Ð Ð Ò Ö Óѹ Ò Ø Ô Ù Ý ÒÓÐÝ Ò Ý ØØ Ø Ð Ò Ö ÓÑ Ò Ô Þº Þ U V Þ ØØ Ð Ò Ö Ð Ô Þ ÐÑ Þ Ø Hom(U, V ) Ð Ð º Þ A : V V ÞÓÒÓ Ø Ö Þ ØØ Ø µ Ð Ò Ö Ð Ô Þ Ø Ð Ò Ö ØÖ Ò Þ ÓÖÑ Ò Ú Ù º È Ð ½µ Ú ØÓÖÓ ÓÒ Þ x Ø Ò ÐÝÖ Ú Ø Ø ¾µ Ú ØÓÖÓ ÓÒ Þ ÓÖ Ö Ð ÒÝ ØÚ µ ÓÖ Ø µ Ú ØÓÖÓ Ò Ý ÓÖ Ò ØÑ Ò Ý Ò Ö Ø Ö Þ ( ) ( ) µ 2 2¹ Ñ ØÖ ÜÓ ÓÞ 2 a b 3¹ Ñ ØÖ ÜÓ ÓÞÞ Ö Ò Ð c d b 0 2c a d d 3d Þ Ö ÒØ µ ÔÓÐ ÒÓÑÓ Ú ØÓÖØ Ö Ò Ö Ú Ð Þ Þ p(x) p (x)º ÑòÚ Ð ØØ ÖØ Ö Ú Ð ÞÓÒÓ Ñ ØØ Þ (p + q) (x) = p (x) + q (x) Ðк (λp) (x) = λp (x)º ýðð Ø Ð Ò Ö Ð Ô Þ Ý ÖØ ÐÑò Ò Ñ Ø ÖÓÞ Ø Þ Ð Ñ Ô Ò Ñ Ú Ð ÞØ ¹ Ú Ðº ÈÓÒØÓ Ò À U V Ú Ð Ú ØÓÖØ Ö Þ u 1, u 2,...,u n Ú ØÓÖÓ Þ U Þ Ø Ð ÓØ v 1, v 2,..., v n Ø Ø Þ Ð V ¹ Ð Ú ØÓÖÓ ÓÖ ÔÓÒØÓ Ò Ý ÓÐÝ Ò A Hom(U, V ) Ð Ò Ö Ð Ô Þ Ð Ø Þ Ñ Ö A(u i ) = v i iº Å ÝÞ ÒØ ÐÐ Ø Ý ÞÒ Ó Ý Ø Ú Ð ÒÒÝ Ò Ñ ØÙ ÙÒ Ò Ý Ð Ò ¹ Ö Ð Ô Þ Ø Øº º Ý Ø Ø Þ Ð Þ Ú ØÓÖ Ò Ô Ø Ð ÐÚ µ Þ Ö Ñ Ð Ò Ú Ð Ñ ÐÝ Ò Ô Ð ØÙÐ ÓÒ ÓØ Ð Ø Ð Ò Ö Ð Ô Þ Ø ÐÐ ÓÒ ØÖÙ ÐÒÙÒ Ô Ð ÙÐ Þ ¹ Òº Þ Ì Ý Ð Ó Ý Ð Ø Þ Ú ÒØ Ð Ò Ö Ð Ô Þ Ñ ÑÙØ Ø Ù Ó Ý Ý ÖØ ÐÑòº Ä Ý Ò Ù Ý Ò u U Ø Ø Þ Ð Ú ØÓÖº ÓÖ u Ý ÖØ ÐÑò Ò ÐÐ Ð Þ U ÓØØ Þ Ò Ð Ò Ö ÓÑ Ò ¹ ÒØ ÑÓÒ Ù u = n i=1 λ iu i Ð Òº ÓÖ A ÐØ Ø Ð Þ ØØ Ð Ò Ö Ø Ñ ØØ A(u) = A( n i=1 λ iu i ) = n i=1 λ ia(u i ) = n i=1 λ iv i Ø Ø A Ú Ð Ò Ð Ø Þ ÓÖµ A(u) Ý ÖØ ÐÑò Ò Ñ Ø ÖÓÞÓØغ ÙÔ Ò ÞØ ÐÐ Þ ÙØ Ò ÞÓÒÝ Ø Ò Ó Ý Þ Ñ ÒØ Ò ÐØ A Ð Ô Þ Ð Ò Ö Þ Þ ÑòÚ Ð Ø¹ Ø ÖØ º Ä Ý Ò ÑÓÒ Ù u = n i=1 λ iu i v = n i=1 µ iu i λ Rº Þ Þ Ö Þ Ó Ý A(u + v) = A( n i=1 λ iu i + n i=1 µ iu i ) = A( n i=1 λ iu i + µ i u i ) = A( n i=1 (λ i + µ i )u i ) = ½¼ n i=1 (λ i + µ i )v i = n i=1 λ iv i + µ i v i = n i=1 λ iv i + n i=1 µ iv i = 1 0A(u) + A(v) Ðк A(λ u) = A(λ n i=1 λ iu i ) = A( n i=1 λλ iu i ) = 10 n i=1 λλ iv i = λ n i=1 λ iv i = λa(u) º Þ A : U V Ð Ò Ö Ð Ô Þ Ñ Ø Ö KerA := {u U : A(u) = 0} ÔØ Ö Ô ImA := {A(u) : u U} º ËÞ Ú Ò Ñ Ø Ö Ñ Ò ÞÓÒ U¹ Ð Ú ØÓÖÓ Ð ÐÐ Ñ V Ø Ö ÒÙÐÐÚ ØÓÖ U V ÔÞ Ò ÔØ Ö Ô V Ø Ö Ñ Ò ÞÓÒ Ð Ñ Ò ÐÑ Þ Ñ Ð ÐÐÒ Ú ¹ A ImA Ð Ñ ÐÝ U¹ Ð Ú ØÓÖ Ô Òغ Ä º Þ Ö Øºµ È Ð Ð Ò Ö Ð Ô Þ Ö ÓØØ ÓÖ Ô Ð Ò ½µ Þ x Ø Ò ÐÝÖ Ú Ø Ø ¹ KerA Ò Ð ÔØ Ö Þ x Ñ Ø Ö Þ y Ø Ò ÐÝ ¾¹ µ Þ ÓÖ Ö Ð ÒÝ ØÚ µ ÓÖ Ø Ðк ÓÖ Ò Ø Ð Ø Ò ÐÝÖ Ø Ö Þ ÓÖ ÔØ Ö Ø Ð Ñ Ø Ö Ô Ý Ð Þ 0 ÓÖ Ø Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ º ( ) ( ) µ¹ Ð 2 x 0 y 2x 0 2¹ Ñ ØÖ ÜÓ Ð Ô Þ ÓÖ Ö Ò Ö Þ z z 3z Ðк x 0 Ð Ñ ØÖ ÜÓ Ð ÓØ ÔØ Ö Ø Ðк Ñ Ø Ö Øº Þ µ Ö Ú Ð Ø Ò ÔØ Ö Þ Þ Ú Ð ÔÓÐ ÒÓÑ ÐÑ Þ Þ Ñ Ò Ò ÔÓÐ ÒÓÑÒ Ú Ò ÔÖ Ñ Ø Ú Ú ÒÝ Ñ ÔÓÐ ÒÓѵ Ñ Ø Ö Ô ÓÒ Ø Ò ÔÓÐ ÒÓÑÓ ÐÑ Þ º ýðð Ø À A Hom(U, V ) ÓÖ KerA U ImA V Ø Ø Ñ Ø Ö Ðк ÔØ Ö Ò Ú Þ Ñ ÐØ Ò Ý Ö ÒØ ÐØ Ö º Þ Ð Ò ÞØ ÞÓÐÒ Ó Ý Ñ Ò Ø ÐÑ Þ Þ ÖØ ÑòÚ Ð Ø Ö º Ñ Ø Ö Ø Ò u, v KerA λ R ÓÖ A(u + v) = A(u)+A(v) = 0 +0 = 0 Þ Þ u + v KerA Ðк A(λu) = λa(u) = λ0 = 0 Ø Ø λu KerAº ÔØ ÖÖ Ô Ø Ø Þ Ð A(u), A(v) ImA λ R Ñ ÐÐ ØØ A(u) + A(v) = A(u + v) ImA Ðк λa(u) = A(λu) ImA º Ñ ÒÞ Ø Ø Ð À A : U V Ð Òº Ð Ôº ÓÖ dimkera + dimima = dimuº Þ Ä Ý Ò B := {b 1, b 2,..., b k } KerA Ú ØÓÖØ Ö Ý Þ º Å Ú Ð B ØÐ Ò Þ U Ú ØÓÖØ Ö Ò Þ ÖØ Ð Ø Þ U¹Ò Ý B ¹Ø Ø ÖØ ÐÑ Þ Þ ÑÓÒ Ù B = {b 1, b 2,..., b k, b k+1,..., b n } º Î Ð Ó Ó Ý dimkera = k dimu = n Ý ÞØ ÐÐ ÙÔ Ò ÞÓÐÒ Ó Ý dimima = n kº ÞØ Ý ÞÓÒÝ Ø Ù Ó Ý Ñ ÑÙØ Ø Ù Ó Ý Þ A(b k+1 ), A(b k+2 ),..., A(b n ) Ú ØÓÖÓ Þ ImA Ø Ö Ý Þ º ÞØ ÐÐ Ø Ø ÞÓÐÙÒÙÒ Ó Ý Þ ÑÐ Ø ØØ Ú ØÓÖÓ Ò Ö ÐÒ Ñ Ò Ò ImA¹ Ð Ú ØÓÖØ Ö ÙÐ ØÐ Ò º Ä ¹ Ý Ò Ø Ø A(u) ÔØ Ö Ý Ø Ø Þ Ð Ú ØÓÖ º Ä Ý Ò Þ u = n i=1 λ ib i Þ u Ð ÐÐ Ø B Þ Òº ÓÖ A(u) = A( n i=1 λ ib i ) = n i=1 λ ia(b i ) = n i=k+1 λ ia(b i ) Þ Ò A(b 1 ) = A(b 2 ) =... = A(b k ) = 0 Ø Ø Ú Ð Ò Ò Ö ØÓÖÖ Ò Þ ÖÖ Ð Ú Ò ÓÐ ÙÒ º Ð Ò Ö ØÐ Ò Þ Ø Ý Ð Ó Ý 0 Ð ÐÐ ½¼ ÁØØ ÞÒ Ð Ù Ó Ý A¹Ø Ó Ý Ò Ò ÐØÙ Þ Ð Ò Ö ÓÑ Ò Òº ½¾

Ð Ò Ö ÓÑ Ò ÒØ 0 = n i=k+1 λ ia(b i ) = A( n i=k+1 λ ib i ) Ø Ø u := n i=k+1 λ ib i KerAº ÓÖ Þ u Ú ØÓÖ Ð Ö Ø B Þ Ò Þ Þ b 1, b 2,...b k Ú ØÓÖÓ Ð Ò Ö ÓÑ Ò ÒØ u = k i=1 µ ib i = n i=k+1 λ ib i ÓÒÒ Ò 0 = k i=1 ( µ i)b i + n i=k+1 λ ib i Ñ B Þ Ð Ò Ö Ø¹ Ð Ò Ñ ØØ ØÖ Ú Ð Ð Ò Ö ÓÑ Ò Ð Øº Þ Ö ÒØ λ k+1 = λ k+2 =... = λ n = 0 Þ Þ Ò ÙÐ Ð Ò Ö ÓÑ Ò ØÖ Ú Ð ÚÓÐØ Þ Ò ÓÖ Ö Ò Þ Ö Ú Ð Ò ØÐ Ò Ý Ù Ý Ò Þ ImA Ø Ö Þ º Þ A : U V Ð Ô Þ ÞÓÑÓÖ ÞÑÙ Ð Ò Ö Þ Þ A Hom(U, V )µ Þ Þ Ð Ò Ò Ý ÖØ ÐÑòµº R Ð ØØ U V Ú ØÓÖØ Ö ÞÓÑÓÖ Ð Ø Þ ÞØ ÞÓÑÓÖ ÞÑÙ º  РРU = V º ýðð Ø ½µ Þ A : U V Ð Òº Ð Ôº ÞÓÑÓÖ ÞÑÙ µ KerA = {0} ImA = V º ¾µ À dimv = n ÓÖ V = R n º µ À U, V R Ð ØØ Ú Ò Ò Ö ÐØ Ú Ð Ú ØÓÖØ Ö ÓÖ dimu = dimv U = V º Þ ½µ À A ÞÓÑÓÖ ÞÑÙ ÓÖ Ý ImA = V Ñ ÒÞ Ø Ø Ð Ñ ØØ dimkera = 0 ÓÒÒ Ò KerA = {0}º Ð Ò Ý ÖØ ÐÑò Ø ÐÐ ÞÓÐÒ º Å Ò Ò Ð Ñ Ð ÐÐ Ô ÒØ Þ ImA = V º À A(u) = A(v) ÓÖ 0 = A(u) A(v) = A(u v) Þ Þ u v KerA Ø Ø 0 = u v Ú Ý u = vº ÞØ ÔØÙ Ó Ý A Ù Ý Ò Ð Ò Ò Ý ÖØ ÐÑòº ¾µ Ä Ý Ò B V Ú ØÓÖØ Ö Ý n¹ Ð Ñòµ Þ º à ÒÒÝ Ò Ð Ø Ø Ó Ý Ñ Ò Ò V ¹ Ð Ú ØÓÖÒ Ñ Ð ÐØ Ø ÓÓÖ Ò Ø Ú ØÓÖ Ø ÓÖÚ ØÓÖ ÒØ Ð ÖÚ µ ÓÖ Ý Ø Ú Ð Ò Ö Ð Ô Þ Ø ÔÙÒ R n ¹ Þ ÞÓÒÝ Ø Þ ÞÓÑÓÖ Øº µ ¾µ Ð Ô Ò U = R n = V Ñ ÞØ Ð ÒØ Ó Ý U = V º º½º Ä Ò Ö Ð Ô Þ Ñ ØÖ Ü Ð Ò Ö Ð Ô Þ Ø ÒÙÐÑ ÒÝÓÞ Ò ÓÒØÓ Þ Þ ÓÞÞ Ù Ö Ò ÐØ Ñ ØÖ ÜÓ Ú Þ Ð Ø º Ä Ý Ò A Hom(U, V ) Ð Ò Ö Ð Ô Þ B 1 = {u 1, u 2,...,u n } Þ U B 2 = {v 1, v 2,...,v m } Ô V Þ º Þ A Ð Ô Þ Ñ ØÖ Ü Ø B 1 B 2 Þ Ó Ò Þ Ð Ñ ÓÒ Ö Ù Ð [A] B1 B 2 := ([A(u 1 )] B2 [A(u 2 )] B2 [A(u n )] B2 ) Þ Þ Ý ÓÐÝ Ò m n¹ Ñ ØÖ ÜÖ Ð Ú Ò Þ Ñ Ò i¹ Ó ÞÐÓÔ Þ u i Þ Ú ØÓÖ A(u i ) Ô Ò ÓÓÖ Ò Ø Ú ØÓÖ º Å ÔÔ Ò ÞÚ u i Ô A(u i ) = m j=1 λi j v j Ð Ò ÐÐ Ð B 2 Þ Ò ÓÖ Þ [A] B1 B 2 Ñ ØÖ Ü j¹ ÓÖ Ò i¹ Ð Ñ λ i j Ð Þº Æ ÞÞ Ñ Ó Ý Ò Ô Ø Ù Ñ Ð Ô Þ Ñ ØÖ Ü Ò Ñ Ö Ø Ò Ý u Ú ØÓÖ ÓÓÖ Ò Ø ¹ Ú ØÓÖ Ð Þ A(u) Ú ØÓÖ ÓÓÖ Ò Ø Ú ØÓÖ Øº ÖØ Ð Ñ Þ Öò Ò B 1 Ðк B 2 Þ Ò Ð ÖØ ÓÓÖ Ò ¹ Ø Ú ØÓÖÓ Ö Ð Þ Ð Ò ºµ Å ÐÐ Ø ÖÓÞÒÙÒ Ø Ø Ó Ý Ý u = n i=1 µ iu i Ú ØÓÖ Ô Ø Ó Ý Ò Ö Ø Ù Ð v 1,... v m Þ Òº À Ø Ð Ù A(u) = A( n i=1 µ iu i ) = n i=1 µ ia(u i ) = n i=1 µ i( m j=1 λi j v j) = n m i=1 j=1 µ i(λ i j v j) = m n j=1 i=1 µ iλ i j v j = m j=1 v n j i=1 µ iλ i j = m j=1 ( n ÓÐÝ Ò m¹ Ð Ñò Ó ÞÐÓÔÚ ØÓÖ Ñ Ò j¹ ÓÓÖ Ò Ø n ØÓÖ ÞÓÖÞ Ø Ò Ò Øº i=1 µ iλ i j )v j Ø Ø Ö ØØ ÓÓÖ Ò Ø Ú ØÓÖ Ý i=1 µ iλ i j º Þ ÑÓØ Ú Ð Ñ ØÖ Ü Ó ÞÐÓÔÚ ¹ ( µ1 ) À A = (λ i j ) Ý m n Ñ Ö Øò Ñ ØÖ Ü Þ Þ A j¹ ÓÖ Ò i¹ Ð Ñ λi j µ u = º Ý m¹ñ Ö Øò Ó ÞÐÓÔÚ ØÓÖ ÓÖ Þ A Ñ ØÖ Ü Þ ÞÓÖÓÞ Ø Þ u Ú ØÓÖÖ Ð ÞÓÖÞ Ø Ý m¹ñ Ö Øò Ó ÞÐÓÔÚ ØÓÖ Ñ Ò j¹ Ð Ñ ÔÔ Ò n i=1 λi j µ iº Î Ý ÞÖ Ó Ý Þ j¹ Ð Ñ Ò Ñ Ñ Ñ ÒØ Þ A Ñ ØÖ Ü j¹ ÓÖ Ò Þ u Ó ÞÐÓÔÚ ØÓÖÒ Ð Ö ÞÓÖÞ Ø Þ Þ A j uº ÞØ ØÙÐ ÓÒ ÓØ ÞÓ ÓÖ¹Ó ÞÐÓÔ ÞÓÖÞ Þ Ð ÐÐ ØÒ Ñ Ò ÞØ ÖØ Ó Ý ÞÓÖÞ Ø Ý ÓÓÖ Ò Ø Ø Ý Ô Ù Ó Ý Ñ Ð Ð ÓÖÚ ØÓÖØ Ð Ö Ò Þ ÞÓÖÓÞÞÙ Ñ Ð Ð Ó ÞÐÓÔÚ ØÓÖÖ Ðº Å ÝÞ ËÞÓ ÒØ Ò Ø Ð Ô Ð Ð ÞÒ Ñ Ý ÐÒ Ó Ý Ñ ÐÝ Ò ÔÓÑÔ Ò Ð ÐÑ Þ Ø Ð Ò Ö Ð Ô Þ Ø Òº Ñ Ð Ô Ø Ò Ò Ñ Ò Þ ÖÑ ÞÓØØ Ð Ó Ý Ñ Ý ÐØ Ó Ý Ò Ô Ù Ñ Ô ÓÓÖ Ò Ø Ú ØÓÖ Ø Þ Ö Ø Ú ØÓÖ ÓÓÖ Ò Ø Ú ØÓÖ Ðº Þ Ð ÐÐ Ø Ø Ø Ú Ø Þ Ò Ð ØØ Ð Ò ÞÓØØ Ðº ýðð Ø A Hom(U, V ) B 1 U B 2 V Þ Ó [A(u)] B2 = [A] B1 B 2 [u] B1 u Uº Ì Ø Ð Ò Ö Ð Ô Þ Ñ ØÖ Ü Ø Ñ ÞÓÖÓÞÞÙ Ý u Ú ØÓÖ ÓÓÖ Ò Ø Ú ØÓÖ Ú Ð ÓÖ u Ô Ò ÓÓÖ Ò Ø Ú ØÓÖ Ø Ô Ù ºµ Å ÝÞ ÒØ Ø Ø Ð Ð ÒÝ Ó Ý Ö Þ Ø Þ U V Ø Ö Ý¹ Ý Þ Ø Þ ÐØ Ð Ú ØÓÖØ Ö Ú ØÓÖ Ø ÞÓÒÓ Ø Ø Ù ÓÓÖ Ò Ø Ú ØÓÖ Ðµ ÓÖ Ð Ò Ö Ð Ô Þ Ö ÓÒ Óй ØÙÒ Ý Ñ ÒØ (dim V dimu) Ñ Ö Øò Ñ ØÖ ÜÓ Ö Ñ Ö Ð Ò Ö Ð Ô Þ Ö Ô Ñ ÒØ Ñ Ð Ð Ñ ØÖ Ü Þ Ð Ú Ð ÞÓÖÞ Ö º Ð Ò Ö Ð Ô Þ Hom(U, V ) ÐÑ Þ Ò ÑòÚ Ð Ø Ø ÖØ ÐÑ Þ Ø Ò º º µ n ½

A, B Hom(U, V ) λ R¹Ö (A+B)(u) := A(u)+B(u) Ðк (λa)(u) := λ(a(u)) Ò Ð Þ A+B, λa Ð Ô Þ Øº Å Ý Ð À A, B Hom(U, V ) λ R ÓÖ A+B, λa Hom(U, V ) Þ Þ Ð Ò Ö Ð Ô Þ Þ Ð Ö ÞÓÖÓ Ð Ò Ö Ð Ô Þ º ÑòÚ Ð Ø Ð Hom(U, V ) Þ ÒØ Ò Ú Ð Ú ØÓÖØ Ö Þ Ú ØÓÖØ Ö ÞÓÑÓÖ dim V dim U Ñ Ö Øò Ú Ð Ñ ØÖ ÜÓ Ð ÓØØ Ú ØÓÖØ ÖÖ Ðº ÃÓÒ Ö Ø Ò A+B Ñ ØÖ Ü [A] B 1 B +[B] B 1 2 B 2 λa Ñ ØÖ Ü Ô λ[a] B 1 B 2 Ð Þ ÓÐ B 1 Þ U B 2 Ô V Ý Þ º Ì Ø Þ Ð Ô Þ Ñ ØÖ Ü Ñ Ð Ð Ñ ØÖ ÜÓ Þ Ð Ö ÞÓÖÓ Ð Ô Þ Ô Ñ ØÖ Ü Ð Ö ÞÓÖÓ Ð Þºµ Þ (A+B)(u+v) = A(u+v)+B(u+v) = A(u)+A(v)+B(u)+B(v) = (A(u)+B(u))+(A(v)+B(v)) = (A+B)(u)+(A+B)(v) Ðк (λa)(κu) = λ(a(κ)u) = λ(κa(u)) = κ(λ(a(u))) = κ(λa(u)) Ø Ø A + B, λa Hom(U, V )º Ê Þ Ø Þ U Ðк V Ø Ö B 1 Ðк B 2 Þ Øº Ð Ô Þ ÜÑ ØÖ Ü Ò Þ Ö ÒØ A + B Ñ ØÖ Ü Ò i¹ Ó ÞÐÓÔ B 1 Þ i¹ Ú ØÓÖ (A + B)(b i) Ô Ò ÓÓÖ Ò Ø Ú ØÓÖ Ð Þ Ñ (A + B)(b i) = A(b i) + B(b i) Ñ ØØ Þ Ò Ñ Ñ Ñ ÒØ [A] B 1 B 2 Ñ ØÖ Ü i¹ Ó ÞÐÓÔ Ò [B] B 1 B 2 Ñ ØÖ Ü i¹ Ó ÞÐÓÔ Ò Þ º Ð ÖÖ Ð Ú Ð ÞÓÖÞ Ö ÚÓÒ Ø ÓÞ ÞÓÒÝ Ø Ø Þ ÓÐÚ Ö ÞÞÙ º Þ Þ Ö ÒØ Ð Ò Ö Ð Ô Þ Ñ ØÖ ÜÓ Ð Ö Ú Ð Ò Ñ Ñ ØÖ ÜÓ Ú ØÓÖØ Ö Ú Ð Ú Ð ÞÓÑÓÖ Øº ÒØ Ò Ø Ð ÖØ ÐÑ Þ Ø Ð Ò Ö Ð Ô Þ ÞÓÖÞ Ø º A Hom(U, V ) B Hom(V, W) Ø Ò BA : U W Ð Ô Þ Ø A (BA)(u) := B(A(u)) u Uµ ÔÐ ØØ Ð ÖØ ÐÑ ÞÞ º Þ Þ Ø Ð Ò Ö Ð Ô Þ Ø B Ý ÞÓÖÞÙÒ Þ Ó Ý ÝÑ ÙØ Ò Ð ÐÑ ÞÞÙ ÞÓ Øº ËÞ Ô Ö Þ Ó Ý BA Þ Ð Ò Ð ÐÑ ÞÓØØ Ð Ô Þ ÔØ Ö ÒÒ Ð Ý Ò Ñ Ó Ò Ð ÐÑ ÞÓØØ U V W ÖØ ÐÑ Þ Ø ÖØÓÑ ÒÝ Òºµµ Å Ý Ð À A Hom(U, V ) B Hom(V, W) ÓÖ BA Hom(U, W) Þ Þ Ð Ò Ö Ð Ô ¹ Þ ÞÓÖÞ Ø Ð Ò Ö Ð Ô Þ º Þ À u, v U λ R ÓÖ (BA)(u+v) = B(A(u+v)) = B(A(u)+A(v)) = B(A(u))+B(A(v)) = (BA)(u) + (BA)(v) Ðк (BA)(λu) = B(A(λu)) = B(λA(u)) = λb(a(u)) = λ(ba)(u)º Î Þ Ð Ù Ñ Ñ Ð Þ ÒØ Ñ Ý Ð Ò Þ Ö ÔÐ BA Ð Ô Þ Ñ ØÖ Ü º Ê Þ Ø Þ ÖØ Ö Ò Ö Þ U, V Ðк W Ø Ö Ý¹ Ý Þ Ø B 1 ¹Ø B 2 ¹Ø Ðк B 3 ¹ غ Î Þ Ð Ù Ñ Ñ Ð Þ [BA] B1 B 3 Ñ ØÖ ÜÒ ÑÓÒ Ù µ j¹ Ó ÞÐÓÔ Þ Þ Ñ Ð Þ B 1 Þ Ð b j Ú ØÓÖ Ô Ò Þ Þ (BA)(b j ) = B(A(b j )) Ú ØÓÖÒ µ B 3 Þ Þ Ö ÒØ ÓÓÖ Ò Ø Ú ØÓÖ Ð Ô Þ Ñ ØÖ Ü Ö Ð ÓÖ Ò Ø ÒÙÐØ Ø B Ð Ô Þ Ö Ð ÐÑ ÞÚ Þ Ó Ý Ö Ó ÞÐÓÔÓØ Ý Ô Ù Ó Ý B Ð Ô Þ Ò B 2 B 3 Þ Ó Ò Ð ÖØ [B] B2 B 3 Ñ ØÖ Ü Ø Ñ ÞÓÖÓÞÞÙ b j Ú ØÓÖ A Ð Ô Þ Þ Ö ÒØ A(b j ) Ô Ò B 2 Þ Þ Ö ÒØ ÓÓÖ Ò Ø Ú ØÓÖ Ú Ð Þ Þ Þ [A(b j )] B2 Ó ÞÐÓÔÚ ØÓÖÖ Ðµº ýñ Ú Ý ÞÖ Ó Ý A(b j ) Ò Þ Ö ÒØ Ò Ñ Ñ Ñ ÒØ Þ [A] B1 B 2 Ñ ØÖ Ü j¹ Ó ÞÐÓÔÚ ØÓÖ º Þ Ö ÒØ Ö ØØ [BA] B1 B 3 Ñ ØÖ Ü j¹ Ó ÞÐÓÔ ÔÔ Ò [B] B2 B 3 Ñ ØÖ ÜÒ Þ [A] B1 B 2 Ñ ØÖ Ü j¹ Ó ÞÐÓÔ Ò ÞÓÖÞ Ø º À Ô ÓÒÖ Ø Ò j¹ Ó ÞÐÓÔ i¹ Ð Ñ Ö Ú ÝÙÒ Ú Ò ÓÖ ÞØ ÒØ Þ Ö ÒØ Ý Ô Ø Ù Ñ Ñ ÒØ [B] B2 B 3 Ñ ØÖ Ü i¹ ÓÖ Ò Þ [A] B1 B 2 Ñ ØÖ Ü j¹ Ó ÞÐÓÔ Ò ÞÓÖÞ Ø º Þ ÑÓØ Ú Ð Ñ ØÖ Ü ÞÓÖÞ Ò Øº Ä Ý Ò B R n k A R k l Ø Ø Þ Ð Ñ ØÖ ÜÓ º ÓÖ Ú Ý B¹Ò ÔÓÒØÓ Ò ÒÒÝ Ó ÞÐÓÔ Ú Ò Ñ ÒØ ÒÝ ÓÖ A¹Ò µ B A Ñ ØÖ ÜÓ Þ ÞÓÖÓÞ Ø B A R n l (B A) j i = B i A j Þ Þ ÞÓÖÞ ØÑ ØÖ Ü i¹ ÓÖ Ò j¹ Ð Ñ Ø Ý Ô Ù Ó Ý B Ñ ØÖ Ü i¹ ÓÖ Ø Ñ ÒØ ÓÖÚ ØÓÖص Ð Ö Ò Þ ÞÓÖÓÞÞÙ A Ñ ØÖ Ü j¹ Ó ÞÐÓÔ Ú Ð Ñ ÒØ Ó ÞÐÓÔÚ ØÓÖÖ Ðµº ÒØ Ò Ø ÔÔ Ò Þ ÑÓØ Ú ÐØ Ó Ý Ø Ð Ò Ö Ð Ô Þ ÞÓÖÞ Ø Ò Ñ ØÖ Ü Ø Ö Ð Ø Ø ÒØ ÓÒ ÓÐ ØÑ Ò Ø Ð Ô Ò Ú Ø Þ Ø ÞÓÐØÙ º ýðð Ø À A Hom(U, V ) B Hom(V, W) B 1, B 2 Ðк B 3 Ö Ò Ö Þ U, V Ðк W Ø Ö Ý¹ Ý B 3 = [B] B2 B 3 [A] B1 Þ ÓÖ [BA] B1 B 2 Þ Þ Ð Ò Ö Ð Ô Þ ÞÓÖÞ Ø Ò Ñ ØÖ Ü ÞÓÒÓ Ð Ô Þ Ñ ØÖ Ü Ò ÞÓÖÞ Ø Ú Ð Ý Þ Þ Ó Ø Òµº à ں À C R m n B R n k A R k l Ø Ø Þ Ð Ñ ØÖ ÜÓ ÓÖ (C B) A = C (B A) Þ Þ Ñ ØÖ Ü ÞÓÖÞ ÞÓ Ø Ú ÐØ Ú Ó Ý ÑòÚ Ð Ø ÐÚ Þ Ø µº Þ Ñ Ð Ð Ñ ØÖ ÜÓ Ø Ø ÒØ Ø Ý¹ Ý Ð Ò Ö Ð Ô Þ Ò Ò Ú Þ Ø Ò C Hom(R n, R m ), B Hom(R k, R n ) Ðк A Hom(R l, R k ) ÓÖ (C B) A ÒÒ Ð Ò Ö Ð Ô Þ Ò Ð Þ Ñ ØÖ Ü Ñ Ø Þ u (CB)(A(u)) ÓÖÑÙÐ Ò Ð Ø Ø Þ Ð u R n Ø Ò Ñ C (B A) Ñ ØÖ Ü ÒÒ Ð Ò Ö Ð Ô Þ Ò Ð Þ Ñ ØÖ Ü Ñ Ø Þ u C(BA)(u))) ÓÖÑÙÐ Ñ º Å Ú Ð A, B, C¹Ø ÑÓ Ø Ð Ò Ö Ð Ô Þ Ò ÓÒ ÓÐÚ µ (CB)(A(u)) = C(B(A(u))) = C((BA)(u)) Þ ÖØ Ø ÒØ Ð Ò Ö Ð Ô Þ ÞÓÒÓ Ý Þ Ù Ý Ò ÞÓÒ Þ Ó Ò Ð Öص Ñ ØÖ Ü Ñ Ð Ò Þ ØÒ º º È ÖÑÙØ Ø ÖÑ Ò Ò Ó º½º È ÖÑÙØ ÒÚ ÖÞ Þ Ñ Â Ð Ð [n] Þ {1, 2,..., n} ÐÑ Þغ σ : [n] [n] Ø Ú Þ Þ Ð Ò Ò Ý ÖØ ÐÑòµ Ð Ô Þ Ò Ú Ô ÖÑÙØ º Þ [n] Ô ÖÑÙØ Ò ÐÑ Þ Ø S n Ð Ð º Å ÝÞ Ô ÖÑÙØ Ò Þ Ö ÒØ Ý ÓÐÝ Ò Ú ÒÝ Ñ Þ 1 n Þ ØØ Þ ÑÓ Ñ Ò Ý Þ Ý 1 n Þ ØØ Þ ÑÓØ Ö Ò Ð Ý Ó Ý Ñ Ò Ò 1 n Þ ØØ Þ Ñ ÔÓÒØÓ Ò Ý Ñ Þ Ñ ÓÞ Ú Ò ÓÞÞ Ö Ò ÐÚ º ËÞÓ Ó Ô ÖÑÙØ Ø Ý 2 n Ñ Ö Øò Ø Ð Þ Ø Ø Ú Ð Ñ Ò ½

Þ Ð ÓÖ Ò Ú ÒÒ 1¹Ø Ð n¹ Þ ÑÓ Ñ Ò Ò Þ Ñ Ð ØØ Þ Þ Ñ ÐÐ Ñ Ø Ô ÖÑÙØ ÓÞÞ Ö Ò Ðº ËÞ ÑÐ ÐØ Ø Ø Ô ÖÑÙØ Ø Ý Ó Ý ÐÚ Þ Ò ÝÑ Ð ØØ Ø ÓÖ Ò n n Ô ØØÝ Ø Ñ Ò Ø ÓÖ Ò Ñ Þ ÑÓÞÞÙ Ô ØØÝ Ø 1¹Ø Ð n¹ ÐÖ Ð Ó Ö µ ÒÝ Ð Ø Ú Þ Ø Ò Ð ÓÖ Ò Ð Ú i¹ Ô ØØÝ Ð Þ Ð ÓÖ j¹ Ô ØØÝ σ(i) = jº 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 Ý ÐÝ Ò Ö ÓÖ ÓÐ Ô ÖÑÙØ Ø Ñ Ò Ò Ð ÔÓÒØ Ð ÔÓÒØÓ Ò Ý ÒÝ Ð Ò ÙÐ Ñ Ò Ò Ð ÔÓÒØ ÔÓÒØÓ Ò Ý ÒÝ Ð Ö Þ º Þ Ö Ôк σ(1) = 3, σ(2) = 2, σ(3) = 5, σ(4) = 1, σ(5) = 4 Ô ÖÑÙØ Ö Ñ ºµ À σ S n ÓÖ σ Ô ÖÑÙØ Ð k, l [n] Ð Ñ Ö Ú Ð Ð Ø Þ Ô ÖÑÙØ Ø σ k,l Ð Ð Þ Þ σ k,l (i) = σ(i) k i l σ k,l (l) = σ(k) σ k,l (k) = σ(l)º Ô ÖÑÙØ Ö Ñ Ò k¹ Ð l¹ Ð Ò ÙÐ ÒÝ Ð Ø ÐÐ Ý Ø Ö ÒÝ Ø Ò Ó Ý Ú ÔÓÒØ Ø Ð Ö Ð ºµ σ S n Ô ÖÑÙØ ÒÚ ÖÞ Þ σ 1 S n Ô ÖÑÙØ Ñ Ö σ 1 (i) = j σ(j) = iº Ö ÑÓÒ ÒÝ Ð Ö ÒÝ Ø Ñ ÐÐ ÓÖ Ø Ò Þ Þ Ö Ø Ø Ø Ö ÐÐ ÐÐ Ø Ò ºµ k, l Ð Ñ ÒÚ ÖÞ Ò ÐÐÒ σ S n Þ Ö ÒØ k, l Ðк σ(k), σ(l) Ò Ý Ú ÞÓÒÝ ÓÖ ØÓØغ σ Ô ÖÑÙØ I(σ) ÒÚ ÖÞ Þ Ñ σ S n Þ Ö ÒØ ÒÚ ÖÞ Ò ÐÐ Þ ÑÔ ÖÓ Þ Ñ º Ý σ S n Ô ÖÑÙØ Ô ÖÓ I(σ) Ô ÖÓ Ô Ö ØÐ Ò I(σ) Ô Ö ØÐ Òº Å Ý Ð Þ Ø ÒÝ Ó Ý Ø Ð Ñ ÒÚ ÖÞ Ò ÐÐ σ Ô ÖÑÙØ Þ Ö ÒØ ÒÒÝ Ò Ñ ÐÐ Ô Ø¹ Ø σ Ö Ñ Ö Ðº Æ Ú Þ Ø Ò i j ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ ÐÐ ÒÚ ÖÞ Ò Þ i¹ Ð j¹ Ð Ò ÙÐ Ð Ñ Ø Þ ÝÑ Øº À Ù Ý Ò Ò Ñ Ñ Ø Þ ÝÑ Ø ÓÖ Ò ÝÓ Þ Ñ ÓÞ Ô ÖÑÙØ Ò ÝÓ Ø Ö Ò Ð Ô Ñ Ø Þ ÓÖ Ò ÝÓ ÓÞ Ö Ò ÐØ Þ Ñ Ð Þ Ñ ÒØ Þ Ö Ò Ðغµ Þ ÖØ σ Ô ÖÑÙØ Ö Ñ Ö Ð ÒÒÝ Ò Ð ÓÐÚ Ø Þ I(σ) ÒÚ ÖÞ Þ Ñ Ñ Ò Ñ Ñ Ñ ÒØ Ö Ñ Ò Ø Ð Ð Ø ÒÝ Ð Ô ÖÓÒ ÒØ Ñ Ø Þ ÔÓÒØ Ò Þ Ñ ½½ º Ì Ø Ð Ì Ø Þ Ð σ S n Ô ÖÑÙØ Ö I(σ) = I(σ 1 ) ØÓÚ k, l [n] Ð Ò Þ ÓÖ σ σ k,l Ô ÖÑÙØ Ð Ò Þ Ô Ö Ø º Þ Ä ØØÙ Ó Ý σ 1 Ö Ñ Ø Ý Ô Ù Ó Ý σ Ö Ñ Ø Ø Ø Ö ÐÐ Ø Ù ÒÝ Ð Ö ÒÝ Ø Ñ ÓÖ Ø Ù º Î Ð Ó Ó Ý ØØ Ð Ô ÖÓÒ ÒØ Ñ Ø Þ ÔÓÒØÓ Þ Ñ Ò Ñ Ú ÐØÓÞ Þ Þ I(σ) = I(σ 1 )º À Ö ÑÓÒ k¹ Ð l¹ Ð Ò ÙÐ ÒÝ Ð Ú ÔÓÒØ Ø Ð Ö Ð ÓÖ ÒÒÝ Ò Ð Ø Ø Ó Ý Ñ Ò Ò ÓÐÝ Ò ÒÝ ÐÓÒ Ñ Ø Ò Ñ ÒØÓØØÙÒ Ñ Ø Þ ÔÓÒØÓ Þ Ñ 0¹Ú Ð Ú Ý 2¹Ú Ð Þ Þ Ñ Ò Ò ÔÔ Ò Ô ÖÓ Þ ÑÑ Ð Ú ÐØÓÞ º Ì Ø ØØ Ñ Ø Þ ÔÓÒØÓ Þ Ñ Ò Ú ÐØÓÞ Þ Ò Ô ÖÓ º ÞØ ÐÐ Ñ Ñ Ý ÐÒ Ó Ý k¹ Ð l¹ Ð Ò ÙÐ Ö Ø ÒÝ Ð Ñ Ó ØÓØØ ÒÝ Ð Þ Ð ÔÓÒØÓ Ò Ý Ô Ö Ð Þ Ñ Ø Þ º Þ Ö ÒØ Ô ÖÓÒ ÒØ Ñ Ø Þ ÔÓÒØÓ Þ Ñ Ò Ð Ò Ø Ö ÑÓÒ Ô Ö ØÐ Ò Þ Þ σ σ k,l ÐÐ ÒØ Ø Ô Ö Ø º º¾º Ø ÖÑ Ò Ò Ó Ò Ö Þ Ò Ò ÐÙÒ Ý Ñ ÒÒÝ Ø Ò ÝÞ Ø Ñ ØÖ ÜÓ Ö Ñ Ø Þ ÑÓ ÐÝ Ò ØÙ ÙÒ Ñ ÞÓÒÒ Ð Ð ÐÑ ÞÒ ØÓÚ Òº Ä Ý Ò Ø Ø A = (a i,j ) Ý n n Ñ Ö Øò Ñ ØÖ Ü Ø Ý Ð Ó Ý Ð Ñ Ò ÖØ ÐÑ Þ ØØ Þ Þ ÞÓÖÞ Ñ ÓÑÑÙØ Ø Ú ÑòÚ Ð Ø º Þ A Ñ ØÖ Ü Ø ÖÑ Ò Ò Ò Þ Ð ÞÓÖÞ Ø Þ Ø ÖØ det(a) := A := n σ S n ( 1) I(σ) i=1 a i,σ(i) Ì Ø ÒÒÝ ÞÓÖÞ ØÓØ ÙÒ Þ ÒÝ Ô ÖÑÙØ Ú Ò Þ 1, 2,...,n Þ ÑÓ Ò º Ý ÐÝ Ò ÞÓÖÞ Ø¹ Ò Þ ÓØØ Ô ÖÑÙØ ÒÚ ÖÞ Þ Ñ Ò Ô Ö Ø Ø ÖÓÞÞ Ñ Þ Ð Ð Ø ÞÓÖÞ Ø ØÓÚ Ø ÒÝ Þ Ô Ñ ØÖ Ü ÞÓÒÝÓ Ð Ñ º Î Ð Ó Ó Ý Ñ Ò Ò ÓÖ Ð Ý Ð Ñ Ø Ú Ð ÞØÙÒ ÞÓÖÞ Ø Ô ÖÑÙØ Ð Ò Ò Ý ÖØ ÐÑò Ð Ô Þ ÚÓÐØ Ñ ØØ Þ Ñ Ø ÖØ Ò Ø Ñ Ó Ý σ(i) = σ(j) Ú Ð ¹ Ñ ÐÝ i j Ø Òº Ì Ø Þ Ý ÞÓÖÞ ØÓ Ú Ð ÞØÓØØ Ð Ñ Ð Ò Þ Ó ÞÐÓÔÓ Ð Þ ÖÑ ÞÒ º ØÝ Ð ÐÝ Þ Ò Ú Ù Þ A Ñ ØÖ Ü n Ð Ñ Ò Ú Ð ÞØ Ø Þ Ð Ñ ÐÝ Ø Ð Ñ Ñ Ù Ý Ò ÓÖ Ú Ý Ó ÞÐÓÔ º Ì Ø Ø ÖÑ Ò Ò Ò Ò Þ Ö ÔÐ ÞÓÖÞ ØÓ Ñ Ò Ý Ý ØÝ Ð ÐÝ Þ Ò Ð Ð Ñ º Þ ÓÖ ØÚ Þ Ù Ý Ò ÓØØ Ý ØÝ Ð ÐÝ Þ ÓÖ ¹ Ò Ð Ù σ(i)¹ø Ý Ñ ÒØ Þ i¹ ÓÖ Ò ÐÐ ØÝ Ó ÞÐÓÔ Ò Ü Øº Þ ÐØ Ð σ Ý Ô ÖÑÙØ Ð Þ Þ Ò i j Ø Ò σ(i) σ(j)µ Ø Ø Ñ Ò Ò ØÝ Ð ÐÝ Þ Ý ØØ Ð Ñ Ø ÖÓÞ Ý Ø ÖÑ Ò Ò Ò Ò Þ Ö ÔÐ ÞÓÖÞ ØÓغ ½½ Ì Ø I(σ) ÞÓÒÓ Ñ Ø Þ ÒÝ ÐÔ ÖÓ Þ Ñ Ú Ðº À Ö Ñ ÓÐÝ Ò Ó Ý Ñ ÐÝ ÖÓÑ ÒÝ Ð Ò Ñ Ñ Ý Ø Ù Ý Ò ÞÓÒ ÔÓÒØÓÒ ÓÖ I(σ) ÞÓÒÓ Ñ Ø Þ ÔÓÒØÓ Þ Ñ Ú Ðº Ý ÒØ Ñ Ò Ò ÓÐÝ Ò Ñ Ø Þ ÔÓÒØÓØ Ñ Ò k ÒÝ Ð Ñ Ý Ø 1 k(k 1)¹ Þ Ö ÐÐ Ñ Þ ÑÓÐÒ º 2 ½

Ø ÖÑ Ò Ò Ò Ø Ø Ø Ý Ñ Ó ÐÑ Þ Ø Ù Ñ ÒØ Þ Þ ØÝ Ð ÐÝ Þ Þ Ø Ö¹ ØÓÞ Ñ ØÖ Ü Ð Ñ¹ ÞÓÖÞ ØÓ Ð Ð Þ º Þ Ò Þ ÖØ Ò Ñ ÔÓÒØÓ Ñ ÖØ Þ Ð Ð Ñ Ú Ð Þ¹ Ø Ø Ò Ñ Ö Ð ÔÓÒØÓ Òº Þ Ø ÑÓ Ø ÐÙÒ º Å Ø Ð ÒØ Ý ÓØØ ØÝ Ð ÐÝ Þ Þ ÑÔÓÒØ Ð Ó Ý Ñ Ð Ð σ Ô ÖÑÙØ Ò i j ÒÚ ÖÞ Ò ÐÐÒ ÐØ Ø Ó Ý ÑÓÒ Ù i < jº À Ø Ð Ñ Ò Ñ ÐÐ σ Þ Ö ÒØ ÒÚ ÖÞ Ò ÓÖ σ(i) < σ(j) Þ Þ Ñ Ð Ð ØÝ Ð ÐÝ Þ Ò j¹ ÓÖ Ð ØÝ Ó Ö Ú Ò Þ i¹ ÓÖ Ð Ø Ð Ñ ÔÔ Ò ÑÓÒ Ú Ø ØÝ ÝÑ Ø Ð Æ ¹ Ã Ö ÒÝ Ò ÐÝ Þ Ðº À ÞÓÒ Ò i j σ Ô ÖÑÙØ Þ Ö ÒØ ÒÚ ÖÞ Ò ÐÐ ÓÖ σ(i) > σ(j) Ø Ø j¹ ÓÖ Ò ÐÐ ØÝ ÐÖ Ú Ò Þ i¹ ÓÖ Ò Ø Ð Ð Ø Ø Ð Þ Þ Ø ØÝ Ã¹ Æ Ö ÒÝØ Ø ÖÓÞ Ñ º ÈÓÒØÓ Ø Ø Ù Ø Ø Ø ÖÑ Ò Ò ÐØ ÖÒ Ø Ú Ò Ø Þ Þ ØÝ Ð ÐÝ Þ Þ ¹ Ö ÒØ ÞÓÖÞ ØÓ Ø Ý ÐÐ Þ ÞÒ Ò Ó Ý Ý ÞÓÖÞ Ø Ð Ð Þ Ö ÒØ Ð Þ ÔÓÞ Ø Ú Ðк Ò Ø Ú Ó Ý Þ Ã¹ Æ Ö ÒÝØ Ñ Ø ÖÓÞ ØÝ Ô ÖÓ Þ Ñ Ô ÖÓ ¹ Ú Ý Ô Ö ØÐ Òº ÒÒ ÒÝ Ò Ò ÒÝ ØÓÚ Ñ Ý Ð Ø Ø Þ Ò Ø ÖÑ Ò Ò Ð Ô ÓÐ Ø Òº Þ A = (a i,j ) Ñ ØÖ Ü ØÖ Ò ÞÔÓÒ ÐØ Þ Þ A T Ñ ØÖ Ü Ñ ÐÝ i¹ ÓÖ Ò j¹ Ð Ñ a j,i º Ý ÑÓÒ Ø Ù Ó Ý (A T ) j i = Ai j ºµ Ò ÝÞ Ø A Ñ ØÖ Ü ØÐ Ð Ð Ö ÓØ Ó Ð Ö ÓØ Þ Ø ØÐ Ñ ÒØ Ò Ð ÐÝ Þ Ñ ØÖ Ü Ð Ñ ÐÑ Þ º Ò ÝÞ Ø A Ñ ØÖ Ü Þ ÓÖ µ Ð ÖÓÑ Þ Ñ ØÖ Ü ØÐ Ð ØØ 0¹ ÐÐÒ ØÐ ÙÔ ¹0µº Ì Ø Ð Ä Ý Ò A n n¹ Ñ ØÖ Üº ½µ det(a) = det(a T ) ¾µ À A Ð ÖÓÑ Þ Ñ ØÖ Ü ÓÖ det(a) Þ A ØÐ Ð Ð Ñ Ò ÞÓÖÞ Ø º µ À A Ý ÓÖ»Ó ÞÐÓÔ ÙÔ ¹0 ÓÖ det(a) = 0º µ À A Ý ÓÖ Ø»Ó ÞÐÓÔ Ø λ¹ú Ð Ú ÞÓÖÓÞÞÙ ÓÖ Ø ÖÑ Ò Ò λ¹ ÞÓÖÓ Ð Þº µ À A Ø ÓÖ Ø»Ó ÞÐÓÔ Ø Ð Ö Ð Ø ÖÑ Ò Ò ( 1)¹ Þ Ö Ð Þº µ À A Ø ÓÖ»Ó ÞÐÓÔ ÞÓÒÓ Ø ÖÑ Ò Ò 0º µ À A Ý ÓÖ Ò λ¹ ÞÓÖÓ Ø ÓÞÞ Ù Ý Ñ ÓÖ ÓÞ Ø ÖÑ Ò Ò Ò Ñ Ú ÐØÓÞ º Þ ½µ Þ A Ñ ØÖ Ü ÓÞ Ø ÖØÓÞ Ø Ø Þ Ð ØÝ Ð ÐÝ Þ Ñ Ø ÖÓÞÞ Ý ÓÐÝ Ò ØÝ Ð ¹ ÐÝ Þ Ø Þ A T Ñ ØÖ ÜÒ Ñ Ù Ý Ò ÞÓÒ Ð Ñ ÞÓÖÞ Ø ÓÞ Ø ÖØÓÞ º ØÝ Ð ÐÝ Þ Ò Þ Ö ÔÐ ØÝ Ø ØÐ Ö ÐÐ Ø Ö ÞÒ µº Ì Ø A A T Ø ÖÑ Ò Ò Ò Ò Ò Ù Ý Ò ÞÓ ÞÓÖÞ ¹ ØÓ Þ Ö Ô ÐÒ Þ ÖØ Ñ Ò Þ ÞØ ÐÐ ÞÓÐÒÙÒ Ó Ý Þ Ð Ð ÞÓÒÓ º Þ ÙØ Ô Þ ÖØ Þ Ñ ÖØ Ø Ö Þ ÓÖ Ò Ý Ã¹ Æ ¹ ØÝ Ô Ö Ã¹ Æ ¹ Ñ Ö Þ Æ ¹ ù Ñ Ñ ¹ Ö Ò Ù Ý ÒÓÐÝ ÒÓ Ò º Þ ÞÓÒÝ Ø Ý ÒØ ÐÑÓÒ Ø Ý Ó Ý ÞÖ Ú Þ Ó Ý Þ A¹ Ð σ¹ ÓÞ Ø ÖØÓÞ ØÝ ÐÝ Þ Ò Ñ Ð Ð A T ¹ Ð ØÝ Ð ÐÝ Þ σ 1 Ô ÖÑÙØ ÓÞ Ø ÖØÓ¹ Þ Þ i¹ ÓÖ Ð j¹ Ð Ñ Ø Ú Ð ÞØÓØØÙ A¹ Ò ÓÖ A T ¹ Ò j¹ ÓÖ i¹ Ð Ñ Ö Ð Þ Þ Ò µ Ô ÖÑÙØ Þ Ø Ò Ð ØØÙ Ó Ý I(σ) = I(σ 1 )ºµ ¾µ Ø ÖÑ Ò Ò Ò Ò Þ Ö ÔÐ ÞÓÖÞ ØÓ Þ Ð ÞÓ Ñ Ø ÖØ ÐÑ ÞÒ ØÐ Ð Ð Ð Ñ Ø Ò Ñ Ö Þ Ò ÖØ 0º Á Ý ÞÓ Ø ÐÐ Þ ÞÒ Ò Ñ Ð Ð Ð ÐÐ Ð Ñ Ò Ñ Ò Ò Ð Ñ ØÐ Ð Ú Ý Ð Ð Ö Ð º Þ ÙØÓÐ ÓÖ Ð Ø Ø ÒÝØ Ð Ò Ú ÝÙÒ Þ ÙØÓÐ Ð Ñ Ø Ú Ð ÞØ Ò º Þ ÙØÓÐ Ð ØØ ÓÖ Ò Ñ Ö Ò Ñ Ú Ð ÞØ ØÙÒ Þ ÙØÓÐ Ó ÞÐÓÔ Ð Þ ÓÒÒ Ò Ñ Ö Ú Ð ÞØÓØØÙÒ Ý Ñ Ö ØØ ØРРРѺ ýðø Ð Ò Þ i¹ ÓÖ Ð Ú Ð ÞØÙÒ Ò ÝÓ ÓÖ Þ Ñ ÓÖÓ Ð Ñ Ö Ú Ð ÞØÓØØÙ ØÐ Ð Ð Ñ Ø ÓÖ Þ i¹ ÓÖ Ò ÒÝØ Ð Ò Ú ÝÙÒ ØÐ Ð Ú Ð ÞØ Ò º Ì Ø Ø ÖÑ Ò Ò Ò Ò Ð Ð Ý ØÐ Ò Ò ÑÒÙÐÐ ÞÓÖÞ Ø Ú Ò Ñ Ô ØÐ Ð Ð Ñ º Å Ú Ð Ñ Ð Ð ØÝ Ð ÐÝ Þ Ò ÖÑ ÐÝ Ô Ö Æ ¹ Ã Ö ÒÝØ Ø ÖÓÞ Ñ Þ Ð Ð ÔÓÞ Ø Úº µ À ÑÓÒ Ù Þ i¹ ÓÖ ÙÔ ¹0 ÓÖ Ñ Ò Ò ØÝ Ð ÐÝ Þ Ò Ð Þ ÒÒ Ò ØÝ Ñ Þ ÓØØ ÞÓÖÞ ØÓØ 0¹Ú Ø Þ º Ì Ø 0 ÖØ ò ÞÓÖÞ ØÓ Ø ÐÐ Ð Ð Ò Þ ÞÒ Ý Ñ Ô ØÙÒ Ñ Ø Ñ ÒØ 0¹Ø Ø ÖÑ Ò Ò Ö º ÙÔ ¹0 Ó ÞÐÓÔ Ø Ò Þ ÖÚ Ð ÓÒÐ º Ú Ø ÓÞ ØÙÒ Ö ØÖ Ò ÞÔÓÒ ÐØÖ Ñ Ò Ý ÙÔ ¹0 ÓÖ Ð Þºµ µ À Ý ÓÖ Ò Ñ Ò Ò Ð Ñ Ø λ¹ú Ð Ñ ÞÓÖÞÙÒ ÓÖ Ø ÖÑ Ò Ò Ò Ò Þ Ö ÔÐ Ñ Ò Ò Ý ÞÓÖÞ Ø Ò ÔÓÒØÓ Ò Ý Ø ÒÝ Þ Ò Ð ÓÖ Ð Ø Ø Ñ Ò Ò ÞÓÖÞ Ø ÔÔ Ò λ¹ ÞÓÖÓ Ö Ú ÐØÓÞ Ú Ý Þ Ð Ð Þ Ø ÖÑ Ò Ò λ¹ ÞÓÖÓ Ð Þº µ À ÓØØ Þ A Ñ ØÖ ÜÓÒ Ý ØÝ Ð ÐÝ Þ Ø ÓÖØ Ð Ö Ð ÓÖ Ý ÓÐÝ Ò ØÝ ¹ Ð ÐÝ Þ Ø ÔÙÒ Ð Ö ÐØ ÓÖ A Ñ ØÖ Ü Ò Ñ Þ Ù Ý Ò Þ ÞÓÖÞ Ø Ø ÖØÓÞ º À Ø Ø Þ A Ø ÖÑ Ò Ò Ø Ö Ù Þ Ñ Ø Ò ÞØ ÐÐ Ñ Ø ÖÓÞÒÙÒ Ó Ý ÓÖ Ö Ó Ý Ò Ú ÐØÓÞØ Ø Ý ØÝ Ð ÐÝ Þ Ò Þ Ã¹ Æ ¹ ØÝ Ô ÖÓ Þ Ñ Øº Î Ð Ó Ó Ý Ð Ö Ð ÐØ Ð Ò Ñ Ö ÒØ ØØ ØÝ Ð ÓØØ Ô ÖÓ Ø Ò Þ Þ Ñ Ò Ñ Ú ÐØÓÞ º à ÒÒÝ Ò ÐÐ Ò Ö Þ Ø Ó Ý Ý Ò Ñ Ö ÒØ ØØ ¹ ØÝ Ò Ò ÒÒ Ø Ð Ö ÐØ ØÝ Þ Ø ØØ Ø Ð Ð Ô Ò ÓÖ Ø Ö ÒØ ØØ ØÝ Ú Ð Ù Ý Ò ÒÒÝ Æ ¹ ù Ô ÖØ Ð ÓØ Ö Ð ØØ Ñ ÒØ Ö ÙØ Òº À Ý Ò Ñ Ö ÒØ ØØ ØÝ Ñ Ð Ð Ø Ð Ð Ô Ò Ú Ò ÓÖ Ú ÞÓÒØ Ú Ý Ñ Ò Ø Ð Ö ÐØ ØÝ Ú Ð Æ ¹ ù Ô ÖØ Ð ÓØÓØØ Ö ÙØ Ò Ã¹ Æ ¹ Ø Ó Ð ÓØÒ Ú Ý ÓÖ ØÚ º Ì Ø Þ Æ ¹ ù Ô ÖÓ Þ Ñ Ò Ô Ö Ø ØØ Ð Ó Ñ Ú ÐØÓÞÒ Ó Ý Ø Ð Ö ÐØ ØÝ Ð ÓØØ Ô Ö Ó Ý Ò Ú Ð º Ø ØÝ Ö Ú ÞÓÒØ Þ Þ Ó Ý Ö Ð ØØ ½