MISKOLI EGYETEM GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMTIKI KR TUDOMÁNYOS DIÁKKÖRI DOLGOZT Feszültségek hetergén anyagú síkgörbe rúdban klasszikus képletek általánsításai Kiss László I. éves MSc gépészmérnöki hallgató Knzulens: Szeidl György egyetemi tanár ME Mechanikai Tanszék Misklc, 00
Tartalmjegyzék. Bevezetés. Egyszerűsítő feltevések 3. lapvető összefüggések 3.. z alkalmaztt krdináta-rendszer. 3.. z elmzdulásvektr. 3 4. lakváltzási visznyk 4 4.. lakváltzási tenzr. 4 5. feszültségek számítása 5 5.. nrmálfeszültség számítása. 5 5.. zérusvnal helyzete. 7 5.3. nrmálfeszültség számítása másként. 8 5.4. nyírófeszültség számítása egyensúlyi egyenletből. 9 6. görbületi visznyk, alakváltzási energia 6.. görbületi visznyk megváltzása. 6.. lakváltzási energia. 3 7. Képletek hmgén iztróp anyagú rúd esetére 3 7.. lakváltzási állapt. 3 7.. Feszültségi állapt. 3 7.3. görbület megváltzása. 4 8. Téglalap keresztmetszetű hetergén rúd 5 8.. legfntsabb adatk. 5 8.. z E-vel súlyztt középpnt helye. 5 8.3. z E-vel súlyztt redukált terület. 6 8.4. Másdrendű nymaték, redukált másdrendű nymaték. 6 8.5. Számpélda. 7 9. Következtetések 0 Hivatkzásk
. Bevezetés Gyakran alkalmaznak görbe rudakat különböző szerkezetekben gépészeti, avagy repülőmérnöki feladatkban. Példaként említhetők többek között a tetőszerkezetek, rugók vagy repülőgépek egyes, a merevséget növelő szerkezeti merevítő elemei. görbe síkgörbe rudakkal kapcslats mechanikai vizsgálatk már a múlt században elkezdődtek [, 994]. Érdemes ehelyütt két összefglaló jellegű tanulmányt is említeni: [, 3, 98,993]. Ez a két dlgzat több mint ötszáz, a témakörbe vágó szakcikket idéz. szakirdalmnak jelentős része hmgén iztróp anyagú rudakkal fglalkzik. z elemi szilárdságtan keretei között elvégzett mérnöki számításk a Grashff-féle frmulán [lásd [4] 354.. 0. összefüggés, vagy, [5] 59.. 5.3], illetve egy ezzel egyenértékű képleten lásd [6], 4.., 4.70, 4.7 összefüggések alapulnak. Egyenes tengelyű, keresztmetszeti inhmgenitással rendelkező hetergén anyagú prizmatikus rudak esetén a [7] tanulmány adta meg a szilárdságtan egyes klasszikus eredményeinek egy lyan általánsítását, amely közvetlenül alkalmazható a mérnöki számításkban az idézett tanulmány eredményei magyarul is fellelhetők az [5] kézirat 5.5. szakaszában. jelen dlgzat fő célkitűzése ezen eredmények általánsítása síkgörbe rudak esetére. Skszr előfrdul a gyakrlatban, hgy a rúd több, külön-külön hmgén és iztróp anyagból épül fel ly módn, hgy az anyagjellemzők csak a keresztmetszeti krdinátáktól függenek, azaz a rúd hssza mentén nem váltznak. z. ábra a jelű részlete szendvicsszerkezetű, téglalap keresztmetszetű rúd keresztmetszetét szemlélteti E a két külső réteg, E a mag rugalmassági mdulusa; a b jelű ábrarészlet valamilyen vasalással elláttt betngerenda keresztmetszete, a vasalás a gerenda alján húzódik végig; a c jelű a b c E E betn E mátrix E E acél E szál E. ábra ábrarészlet pedig kör keresztmetszetű szálerősített műanyag rúd keresztmetszetét szemlélteti a mátrixba műanyagba ágyaztt karbn szálak kör keresztmetszetűek. tvábbiakban feltételezzük, hgy a tekintett hetergén prizmatikus rúd rugalmassági mdulusa és Pissn száma, összhangban az előzőekkel, csak az η, ζ keresztmetszeti krdináták függvénye: E = Eη, ζ, ν = νη, ζ. Ezek a függvények vagy flytnsak, vagypedig résztartmánynként flytnsak a keresztmetszet felett az. ábrán szemléltetett esetek mindegyikén résztartmánynként állandó az E és a ν. z inhmgenitás hetergenitás ilyen típusát tömören keresztmetszeti inhmgenitásnak fgjuk nevezni.
. Egyszerűsítő feltevések. z elmzdulásk és alakváltzásk kicsik;. a rúd anyaga inhmgén, azaz a rugalmassági állandók a rúdkeresztmetszet helykrdinátáinak függvényei, de függetlenek a rúd középvnala mentén mért krdinátától keresztmetszeti inhmgenitás esete frg fenn a függvénykapcslat pnts definícióját később adjuk meg megjegyezve, hgy a rúd anyaga speciális esetben hmgén is lehet; 3. a rúd középvnalának síkja tartalmazza a rúdszelvény egyik tehetetlenségi főtengelyét; 4. a rúd középvnala az alakváltzás srán saját síkjában marad; 5. a középvnal irányú nrmálfeszültség eleget tesz a σ ξ σ η, σ ζ relációnak ez a feltevés általáns rúdszerű testek mechanikai vizsgálataiban; 6. elhanyaglható a τ nyírófeszültségek munkája a σ ξ feszültség munkája mellett; 7. a rúd állandó keresztmetszetű; 8. a rúd síkjában fekvő erőrendszer vagy megszló, vagy speciális esetben kncentrált erőkből állhat. 3. lapvető összefüggések 3.. z alkalmaztt krdináta-rendszer. e e P S e s. ábra. ábra a rúd középvnaláhz kötött és célszerűen választtt krdináta-rendszert szemlélteti. z ábrán e ξ a rúd középvnalának érintő egységvektra; e η a rúd középvnalának síkjára merőleges egységvektr; az E rugalmassági mdulus feltevés szerint csak az η, ζ krdináták függvénye: Eη, ζ = E η, ζ. a rúd E vel súlyztt középvnala vagy röviden középvnala a rúd szimmetriasíkjában fekszik, helyét pedig az S eη = Eη, ζ ζ d = 0 feltétel határzza meg a képletben S eη az E-vel súlyztt statikai nymaték az η tengelyre; a rúd E-vel súlyztt középvnalának görbületi sugara; s a rúd középvnala mentén mért ívkrdináta; középvnal fgalmának pnts definícióját a jelen ldal közepe alatt álló lista ötödik eleme ismerteti.
összhangban a fentebb mndttakkal a rúd kiragadtt keresztmetszetének E-vel súlyztt középpntja, itt döfi az s ívkrdináta a rúd kiragadtt keresztmetszetét S a keresztmetszet, mint síkidm gemetriai középpntját jelöli; P a rúd kiragadtt keresztmetszetének tetszőleges, de rögzítettnek gndlt pntja. Lelvasható a. ábráról, hgy zérus az η és ζ krdináták értéke a középvnaln. Elemi átalakításkkal adódik, hgy 3 de ξ ds = e ζ ; de ζ ds = e ξ. perátr felvett vnatkztatási rendszerben érvényes, s későbbi számításkban előnyösnek biznyuló alakja: = e s ζ ξ η e η ζ e ζ. 3.. z elmzdulásvektr. rúd egy tetszőleges pntjának elmzdulásvektra az 3 u = u ψ η ζe ξ v e η w e ζ = v e η w w e ζ u ψ η ζe ξ alakban írható fel. Úgy tekintjük, hgy v = v ξ, η, ζ = v ξ, η, ζ, w = w ξ, η, ζ = w ξ, η, ζ, azaz a ζ tengely szimmetriatengelynek vehető v és w elmzdulásk tekintetében is lásd a 3. ábrát. w w v S v 3. ábra rúd bármely pntjában ψ = u
4 a merevtestszerű szögelfrdulás értéke. Behelyettesítve ide 3-t, illetve a perátr alatti értelmezését a { ψ = u = v e η ζ s e ξ ζ e ζ η e η ρ w w e ζ ζ s e ξ ζ e ζ η e η ρ } 4 u ψ η ζe ξ ζ s e ξ ζ e ζ η e η egyenletet kapjuk, ami a [ 5 ψ = v ζ s e ζ v ζ e ξ ζ w ζ w e ξ e ξ ρ }{{} ζ u ζψ η e η 0 s w w e η η w w u ζψ η ζ e ξ e η u ζψ η ] e ζ η alakban írható a vektriális szrzásk elvégzése után. rúd középvnalán a ψ η szögelfrdulás η = 0; ζ = 0 a 6 ψ η = ψ e η = w s w u ψ η }{{} s módn számítható. Még egyszerűbb alakban: 0 ζ=0;η=0 7 ψ η = u dw ds. 4. lakváltzási visznyk 4.. lakváltzási tenzr. z alakváltzási tenzr = u u értelmezéséből adódóan ε ξ = e ξ u u e ξ a ξ irányú fajlags nyúlás képlete, azaz ε ξ = u e ξ s ζ ζ ρ 8 = u ζ s e ξ = ρ ζ u e ξ = s du ds w dψ η ds ζ.
5 Mivel a középvnaln ζ = 0, ugyanitt 9 a fajlags nyúlás, és 0 dψ η ds ε ξ = du ds w = κ = d ds dw ds u a középvnal görbülete. Felhasználva ezeket az összefüggéseket, a fajlags nyúlás képlete ε ξ = [ du ζ ds w ζ d dw ρ ds ds u ] = ε ζ ξ ζκ alakban írható. 5. feszültségek számítása 5.. nrmálfeszültség számítása. Mivel σ ξ σ η, σ ζ, alkalmazható az egyszerű Hke-törvény, azaz fennáll a σ ξ = Eη, ζε ξ egyenlet. Ha az igénybevétel tiszta hajlításból áll, akkr az N rúderő zérus értékű, azaz fennáll az N = 0 = σ ξ d egyenlet. Behelyettesítve ide a összefüggést, az eredmény az N = 0 = ε ξ ζ Eη, ζd κ Eη, ζζd ζ alakban adódik. Legyen 3 er = az E-vel súlyztt redukált terület, és 4 S er = Eη, ζd ζ Eη, ζζd ζ az E-vel súlyztt redukált statikai nymaték. hajlítónymatékt az M = ζσ ξ d összefüggésből számítjuk: 5 M = ε ξ Itt legyen 6 I er = ζ Eη, ζζd κ ζ Eη, ζζ d. ζ Eη, ζζ d az E-vel súlyztt redukált másdrendű nymaték. Közelítő eredményekhez alkalmas srfejtéssel lehet eljutni 7 er = ζρ ζ... Eη, ζd = Eη, ζd e ; ρ
6 ahl e a keresztmetszet E-vel súlyztt területe, és az 8 S er = ζρ ζ... ζeη, ζd ρ = ζeη, ζd ζ Eη, ζd ρ }{{} }{{} illetve 9 I er = ζρ ζ ρ S eη... ζ Eη, ζd = I eη közelítéseiben I eη az E-vel súlyztt másdrendű nymaték. mint azt már a. ldaln említettük, úgy célszerű megválasztani a rigót, hgy tt S eη = 0 értékű legyen. 4. ábrán néhány később felhasznált jelölés is szerepel lásd a 30 képletet. I eη 4. ábra Visszaírva a 3, 4 és 6 képleteket a, 5 egyenletekbe, áttekinthető szerkezetben kapjuk a rúderőt és a hajlítónymatékt: 0a 0b N = ε ξ er κ S er ; M = ε ξ S er κ I er. z ε ξ és κ alakváltzási jellemzők számításáhz először szrzzuk meg 0a-t I er -rel, 0b-t pedig S er -rel, ezt követően pedig vnjuk ki előbbi összefüggésből az utóbbit. z NI er MS er = ε ξ er I er SeR eredményből aznnal adódik a fajlags nyúlás a középvnaln: ε ξ = S er eri er MS er NI er. Ezt követően szrzzuk 0a-t S er -rel és 0b-t I er -rel, majd vnjuk össze a két egyenletet: 3 NS er M er = κ S er er I er.
Innen 4 κ = S er eri er NS er M er a görbület értéke a középvnaln. ξ irányú nrmálfeszültségre így a gemetriai jellemzők tekintetében az elhanyaglásmentes 5 σ ξ = Eη, ζε ξ = Eη, ζ ζ S er eri er [MS er NI er ζ NS er M er ] képletet kapjuk. lakítsuk ezt tvább az SeR eri er egyenlőtlenség kihasználásával a négyzetes tag elhanyaglásával, illetve az er I er S er = er I er I eη I er er ρ er I er IeR er I er ρ er 7 egyszerűsítés felhasználásával: er I er er IeR 3 ρ }{{ er } 0 er I er I er ζs er M er MS er 6 σ ξ = Eη, ζ N Eη, ζ ζ Eη, ζ. ζ er I er ζ er I er ζ er I er Ha ezen túlmenően figyelembe vesszük az S er I er I eη I er és az M M ζ er er egyszerűsítéseket, akkr a 6 képlet alapján 7 σ ξ = Eη, ζ ζ azaz I er ζ I er 8 σ ξ = Eη, ζ I eη N M Eη, ζ Eη, ζ M er ζ ρ er I er I er N = Eη, ζ M er N er M M er I er ζ ζ er M I er ζ ζ = ζ ζ a nrmálfeszültség képlete. Ez az összefüggés a Grashff-féle képlet általánsítása keresztmetszeti hetergenitású körívalakú rúdra. 5.. zérusvnal helyzete. tvábbiakban az a célunk, hgy tiszta hajlítás feltételezése mellett ez esetben zérus a rúderő, azaz fennáll az N = 0 egyenlet megkeressük a zérusvnal helyét. Mivel a ζ krdinátájú zérusvnaln eltűnik a nrmálfeszültség, a 5 képlet alapján írható, hgy 9 σ ξ = 0 = Eη, ζ ζ S }{{} er MS er ζ M er, eri er r ;
8 ahl bevezettük az r = ζ jelölést. Innen aznnal adódik, hgy 30 S er = ζ er. zérusvnal helyét a görbületi középpnthz képest megadó ρ sugarat a ρ = ζ képlet értelmezi. Ezt a képletet kihasználva átírható a 30 egyenlet: 3 S er = ζ er = ρ er = ρ er er, ahnnan a 3 ρ = S er er érték következik. Helyettesítsük ezután az er és S er értelmezését adó 3, valamint 4 frmulákat és végezzünk azns átalakításkat: ρ = Eη, ζζ d r Eη, ζd = Eη, ζζ d r Eη,ζ r d = Eη, ζζ d r ρ Eη,ζ d r = Eη,ζ ρ r d r ρ ρ = Eη, ζζ d ρ Eη,ζ r d r Eη, ζd = Eη,ζ Eη,ζ d d. r r kaptt eredmény szerint Eη, ζd 33 ρ = a zérusvnalhz tartzó görbületi sugár. Eη,ζ d r 5.3. nrmálfeszültség számítása másként. Tvábbi célunk a nrmálfeszültséget zárt alakban megadó, a Grashff-féle 8 képlettel egyenértékű, de attól frmailag különböző frmula előállítása tiszta hajlításra. pnts 5 frmula alapján kapjuk, hgy 34 σ ξ = Eη, ζ ζ SeR S er ζ er M. eri er Felhasználva az SeR eri er egyenlőtlenséget, átírható ez a képlet a 35 σ ξ = Eη, ζ r M ρ [ ] r Eη, ζd ζeη, ζd er I er ζ ζ Eη, ζ r M ρ [ ] r er Eη, ζd er I er }{{} alakba, ahl kihasználtuk, hgy 36 r Eη, ζd ζeη, ζd = ζ ζ = r Eη, ζd ζ }{{} valamint azt, hgy a 33 képlet szerint 37 Eη, ζd = ρ er ζ Eη, ζd = ρ er. ρ er ζ Eη, ζd,
9 Tvább alakítva a nrmálfeszültség 35 alatti összefüggését kapjuk, hgy 38 σ ξ = Eη, ζ r M er I er r ρ er = Eη, ζ r M I er r ρ. z utlsó nyittt kérdés a fenti képletben álló I er tag alkalmas átalakítása. Ehhez szükség lesz az alábbi levezetésre: 39 I er = Eη, ζ ρ ζ r ζ d = Eη, ζ ζd = r r = Eη, ζ ζd = Eη, ζζd Eη, ζρ r r r d = = S }{{ eη Eη, ζρ } r r d = ρ Eη, ζd ρ 3 Eη, ζ d = r 0 = ρ e ρ 3 Eη, ζ ρ 3 d = e r ρ ρ = ζ {}}{ = e ρ ρ ρ = e ρ ρ ρ = ρ e ρ ζ. Mivel a ζ < 0 érdemes bevezetni a e = ζ jelölést. Visszahelyettesítve a kaptt eredményt a nrmálfeszültség képletébe, aznnal adódik annak végleges alakja: 40 σ ξ = Eη, ζ M r r ρ e e. Ez az összefüggés a [6] könyv 4.7 képletének 4.. általánsítása keresztmetszeti inhmgenitással rendelkező síkgörbe rúdra. 5.4. nyírófeszültség számítása egyensúlyi egyenletből. tvábbiakban az a célunk, hgy a mindennapi alkalmazáskat is megkönnyítve zárt alakú képletet vezessünk le a nyírófeszültségek számítására egyensúlyi egyenletek felhasználásával. Ennek a megközelítésnek a visznylags egyszerűség az előnye, hátránya pedig az, hgy nem teljesülnek maradéktalanul az alakváltzási egyenletek. gndlatmenet alapötlete ismert az egyenes rudak elméletéből: egy alkalmasan választtt rúdszakaszt sztunk fel két részre, és az egyik kiragadtt rész egyensúlyából indulunk ki. B Ë s Ë s B s 5. ábra
0 Tekintsük az 5. ábrát. Ez feltünteti a keresztmetszeti inhmgenitású rúd egy véges szakaszát. tekintett rúdszakasz balldali s B ívkrdinátájú keresztmetszetének helye rögzített s B = állandó, a rúdszakasz jbbldali végének helyét pedig a paraméternek tekintett s > s B ívkrdináta határzza meg. Ezt az E-vel súlyztt középvnal mentén mérjük. Feltételezzük az eddigieken túlmenően, hgy a rúd valamely keresztmetszetében a ζ = ˆζ = állandó egyenesen a τ ξ = τ ηξ e η τ ζξ e ζ nyírófeszültségek hatásvnalai egy pntn metszik egymást; a kérdéses pntt a keresztmetszet kntúrja és a ζ = ˆζ = állandó egyenesek metszéspntjaiban a kntúrhz rajzlt érintők metszése adja. Ennek az a következménye, hgy fennáll a τ ηξ η = τ ηξ η egyenlet páratlan függvénye az η-nak a τ ηξ ; állandó a τ ζξ nyírófeszültség, ha állandó a ζ; a hajlítónymaték és a nyíróerő között fennáll a dm 4 ds = T egyenlet ez csak tiszta hajlítás esetén érvényes; a σ ξ nrmálfeszültség a 8 képlettel számítható N = 0 esetén: M 4 σ ξ = Eη, ζ M er I er ζ ζ. Ez azt jelenti, hgy nincs hatással a nyírófeszültség-elszlás a nrmálfeszültségelszlásra. keresett τ ζξ számítására a vázlt rúdszakasz egy részének egyensúlyát használjuk fel. kérdéses részt a két véglap síkja, a ˆζ sugarú hengerfelület, végül pedig a rúd palástjának a hengerfelület felett fekvő része határlja. határlófelület véglapk síkjába eső és egymással egybevágó részeit B illetve jelöli. mi a vizsgált rúdszakasz kérdéses részének egyensúlyát illeti, feltételezzük, hgy a külső palást terheletlen. nyírófeszültségek számításáhz tekintsük az 43 σ ξ e ξ τ ξ d σ ξ e ξ τ ξ d B s s B ˆζ vˆζτ ξζ ˆζe ξ ξdξ = 0 egyensúlyi egyenletet. Ha figyelembe vesszük, hgy a ˆζ sugarú hengerfelületen τ ξζ ˆζe ξ s a feszültség τ ξζ ˆζ = állandó és, hgy ugyanitt ˆζ vˆζdξ = d a felületelem, akkr nem nehéz belátni, hgy a 43 képletben az utlsó integrál a hengerfelületen ébredő nyírófeszültségek eredője. Deriváljuk a 43 egyenletet s szerint. Kapjuk, hgy dσ ξ ds e ξd e ζ d d τ ηξ e η d ds } {{} σ ξ =0 dτζξ ds e ζ τ ζξ e ξ d ˆζ vˆζτ ξζ ˆζe ζ s = 0,
ha figyelembe vesszük a következőket: a beírjuk a képletekbe az e ξ és e ζ deriváltjait az s szerint, b az B -n vett integrál állandó és így zérus a deriváltja, c τ ηξ páratlan függvénye az η-nak és ezért zérus az integrálja, d az integrál felső határ szerinti deriváltja maga az integrandusz. Ezután szrzzuk meg ez utóbbi egyenletet e ξ -vel. z eredményt az alábbiak részletezik: dσ ξ 44 ds d τ ζξ d ˆζ vˆζτ ξζ ˆζ = 0. ρ Legyen e max a szélső szál távlságának maximuma a pnttól. Ez mindig kisebb, mint. z terület felírható a vˆζhˆζ szrzat alakjában, ahl hˆζ mindig kissebb, mint e max. Ennek alapján a képletben álló középső integrálnak az τ ζξ d hˆζvˆζτ ξζ ˆζ, hˆζ egy felső krlátja, mivel a nyírófeszültséget nem az tartmány belső pntjában, hanem a ˆζ egyenesen felvett értékével helyettesítettük. Ennek a becslésnek alapján elhanyaglható ez a tag a harmadik mellett. Következésképp az dσ ξ 45 ds d = ˆζ vˆζτ ξζ ˆζ ρ képlet szlgál a τ ξζ ˆζ számítására, vagyis ezt átrendezve kapjuk, hgy 46 τ ξζ ˆζ = ρ dσ ξ ˆζ vˆζ ds d. Helyettesítsük ebbe a képletbe 4 felhasználásával a nrmálfeszültséget. Kapjuk, hgy 47 τ ξζ ˆζ = ρ [ d M ˆζ Eη, ζ M ] vˆζ ds ρ er I er ζ ζ d. Tvább alakítva ezt az egyenletet a τ ξζ ˆζ = ρ dm Eη, ζ Eη, ζ ˆζ vˆζ ds ρ er I er ζ ζ d = = ρ dm I er ˆζ Eη, ζd vˆζ ds I er ρ er ζeη, ζd ζ összefüggésre jutunk. Vezessük be az 48 α e = I er ; S ρ eη = Eη, ζ er ρ ζ ζd illetve az 49 Eη, ζd = e jelöléseket és vegyük figyelembe, hgy az M hajlítónymaték ívkrdináta szerinti deriváltja a nyíróerő ellentettje. z utóbb mndttak alapján 50 τ ξζ ˆζ = ˆζ T I er vˆζ ρ α e e S η a nyírófeszültség képlete. Ez az eredmény a klasszikus frmula általánsítása lásd [4] 358-359..
6. görbületi visznyk, alakváltzási energia 6.. görbületi visznyk megváltzása. görbületi visznyk váltzásának vizsgálata a lenti ábrán alapul. Ez az ábra a rúd E-vel súlyztt középvnalát, a középvnal pntját, valamint pntbeli érintőjének a helyzetét vázlja 6. ábra az alakváltzás előtt φ illetve után ψ η. z ábra alapján a súlyztt középvnal menti fajlags nyúlást értelmező 5 ε ξ = ds ds K ds K képletből s K a kezdeti állapthz tartzó ívkrdináta ebben a szakaszban a 5 ds = ε ξ, ds K = ds ds K ε ξ összefüggések következnek. Ezt is kihasználva, a görbület megváltzását az 53 ρ = d φ ψ η dφ = dφ ψ η dφ ds ds K ds ds ε ξ = dψ η ds módn számíthatjuk, ahl dφ 54 ε ξ ds = ε dφ dφ ξ ε ξ = ε ξ = ε ξ. ds K ds K 0, 53 és 54 képletek egybevetéséből az 55 ρ = κ ε ξ ε dφ ξ ds közelítést kapjuk és a κ -t adó 4 képletet is ide helyettesítve vegyük figyelembe, hgy tiszta hajlítást tételezünk fel, azaz N = 0, valamint, hgy SeR eri er az ρ M = SeR er S er M er M er = M ; eri er ρ }{{} er I er SeR er I er I er 0 vagyis az 56 ρ = M I er végképlet következik.
6.. lakváltzási energia. z alábbiakban az alakváltzási energia számításával fglalkzunk. Nem nehéz belátni az 56 képlet alapján, hgy a hajlítónymaték kzta dψ elemi szögváltzás a 57 dψ = ds ρ ds K ds ρ ds = M ds I er képletből számítható. Ezen a szögváltzásn 58 du = Mdψ = M ds I er az elemi rúdszakaszn működő hajlítónymaték munkája ez megegyezik az elemi rúdszakaszban felhalmzódtt alakváltzási energiával. Jelölje L az E-vel súlyztt középvnal hsszát magát a középvnalat. Ezzel integrálás után az 59 U = L M I er ds módn számíthatjuk a teljes alakváltzási energiát. Vegyük észre, hgy a képlet a a ds = ds K feltevéssel került levezetésre, és b csak a hajlításból származó alakváltzási energiarészt adja meg. 7. Képletek hmgén iztróp anyagú rúd esetére 7.. lakváltzási állapt. z alakváltzási tenzr egyes elemeit adó 8, 9, 0 és gemetriai egyenletek váltzatlan alakban érvényesek, mivel függetlenek az anyagjellemzőktől. 7.. Feszültségi állapt. Mst pedig határzzuk meg hmgén anyagú rúd esetén a nrmál-, illetve nyírófeszültséget, tvábbra is tiszta hajlítás feltételezése mellett. Figyelembe véve, hgy ez esetben 60a a redukált terület értéke és 60b er = E I er = E ζ d } {{ } R ζ ζ d } {{ } I R = E R = E I R itt I R a redukált másdrendű nymaték a 8 képlet hmgén iztróp rúdra a 6 σ ξ = M M R I R ζ ζ, alakban írható. Behelyettesítve az utóbbi összefüggést a nyírófeszültséget adó 46 képletbe kapjuk, hgy 6 τ ξζ ˆζ = dm ˆζ ds Tvábbi átalakításkkal pedig 63 τ ξζ ˆζ = dm ˆζ ds vˆζ vˆζ I R R I R ζ ζ d. IR ρ ρ ρ R ζ ζ d 3
4 lesz az eredmény. 48 alatti mennyiségek analgnjait az 64 α = I R ; S ρ η = R illetve ζ ζd 65 d = módn értelmezzük. Ha emellett kihasználjuk a hajlítónymaték és a nyíróerő közötti 4 összefüggést, akkr megkapjuk a 66 τ ξζ ˆζ = ˆζ T I R vˆζ ρ α S η nyírófeszültség képletét hmgén iztróp rúd esetére lásd [4] 358-359.. nrmálfeszültség másik, 40 alatti kifejezését úgy alakíthatjuk át hmgén esetre, ha a benne szereplő E-vel súlyztt terület e helyett E-t írunk lévén a rugalmassági mdulus értéke állandó a teljes kntinuumban, így pedig a 67 σ ξ = E M r összefüggés adódik. r ρ E e = M r r ρ e 7.3. görbület megváltzása. 6. szakaszban vázlt gndlatmenet érvényes jelen esetre is, a számításbeli különbségek az 55 egyenletbe való behelyettesítésnél adódnak, ugyanis er helyett R E, S er helyett S R E, I er kiváltására pedig I R E írandó, azaz ρ = ESR RI R R S R ρ M ESR RI R R IE M ρ 3 E R I R SR RM M I R E. görbület megváltzását tehát az 68 ρ = M I R E frmulával tudjuk számítani.
8. Téglalap keresztmetszetű hetergén rúd 8.. legfntsabb adatk. vizsgálat tárgyát egy állandó görbületi sugarú és téglalap-keresztmetszetű rúd képezi. 7. ábra a rúd keresztmetszetét, illetve annak két, ugyancsak téglalap alakú szelvényét tünteti fel: az és jelű szelvénynek, b és b a magassága, S és S a súlypntja, tvábbá a az alapja. z egyes szelvényeken belül hmgén, de a két szelvényben egymástól eltérő jellemzőjű a rúd anyaga: E, ν, tvábbá z 5 b E S b k M b S z E a O y 7.ábra E, ν jelöli a vnatkzó rugalmassági mduluszkat és a Pissn számkat. z yz krdinátarendszernek O az rigója. z ηζ krdinátarendszer rigója pedig az E-vel súlyztt középpnt. rúd, feltevés szerint, tiszta hajlításnak van igénybevéve. 8.. z E-vel súlyztt középpnt helye. pnt helyét adó z krdináta abból a feltételből adódik, hgy zérus az E-vel súlyztt statikai nymaték az η tengelyre: 69 S eη = z z Ey, zd = zeη, ζd z }{{} Ey, zd = S ey z e = 0 ζ }{{} Nyilvánvaló, hgy 70 z = S ey, e ahl egyrészről S ey = másrészről pedig Eη, ζzd = E zd E S ey zd = E b ab }{{} E 7 e = E ab E ab = a E b E b. Behelyettesítve ezen eredményeket a 70 képletbe, adódik, hgy 7 z = E b E b b E E. b b ab }{{},
6 8.3. z E-vel súlyztt redukált terület. redukált és E-vel súlyztt terület a 3 képlet felhasználásával számítható. Vegyük figyelembe, hgy a d = a dζ; b külön kell integrálnunk az -es és jelű szelvények résztartmányk felett; c az integrálási határkat a 7. ábra alapján helyettesítjük: ζ = z, ζ k = b z, ζ = b b z ; d állandó a görbületi sugár, és így az kiemelhető; e érdemes kihasználni az ln ζ = ln ζ = ln ln ζρ felbntást. fentiek figyelembevételével kapjuk, hgy: ζ ζ 73 er = Eη, ζ d = ζ ζ = Eη, ζ d }{{} e ζ E a ζ = e E aζ ln ζ ζ k ζ = e E aζ ln ζρ ζ k ζ Eη, ζ }{{} d = adζ ζ ζ dζ E a ζ ζ k ζ ζ dζ = E aζ ln ζ ζ ζ k = E aζ ln ζρ ζ = e a [ ] E E ζ k E ζ E ζ [ a E E ln ζ k E ln ζ z utóbbi képlet és a 7 frmula egybevetése alapján képezhető az 74 er e = E E ζ k ln ζ k = ] E ln ζ ζ k ρ E ζ ln ζ ρ E ζ ln ζ ρ E b E b hányads. Nem nehéz megállapítani az ln x = x; x képlet értelemszerű felhasználásával, hgy összhangban a 7 képlettel fennáll a. egyenlet. er lim = e 8.4. Másdrendű nymaték, redukált másdrendű nymaték. tvábbiakban első lépésben Steiner tételét is felhasználva meghatárzzuk az E-vel súlyztt I eη másdrendű nymatékt az értelmezést illetően lásd a 8 képlet jbbldalát: 75 I eη = Eη, ζζ d = E ζ d E [ ab 3 = E z b ζ d = ] [ ab 3 ab E b z b ] ab.
Másdik lépésben a 6 egyenlet alapján kiszámítjuk az E-vel súlyztt redukált másdrendű nymatékt: 76 I er= = ζ ζ Eη, ζd = ζ ζ ζ ζ Eη, ζd = I eη ζ 3 ζ 3 Eη, ζd = ζ ζ =b z b ζ 3 ζ k =b z ζk =b z = I eη ae ζ = z ρ ζ dζ ae ζ dζ. }{{} I er Elvégezve a kijelölt integráláskat kapjuk, hgy ebben a képletben 77 I er = ae [ρ ζ ζ ρ 3 ln ζρ 3 ] ζk ζ3 ζ ae [ρ ζ ζ ρ 3 ln ζρ 3 ] ζ ζ3 [ = a E E ρ ζ k ζk ρ 3 ln ζ k ae [ρ ζ ρ ζ ρ 3 ln ζ ζ k = 3 ζ3 k 3 ae [ρ ζ ζ ρ 3 ln ] ] ζ 3 ζ ] ζ 3 3 Nem túl nehéz ellenőrizni az ln x x x 3 x3 ; x képlet értelemszerű felhasználásával, hgy fennáll a egyenlet. Következésképp fennáll a összefüggés is. I er lim I eη lim I er = 0 = lim I er = I eη 8.5. Számpélda. Tételezzük fel, hgy a vizsgált rúd keresztmetszeti jellemzőit a 8. ábra szemlélteti. keresztmetszet felső acél szelvényén, illetve az alsó alumínium szelvényen rendre E = 0 000 MPa és E = 70 000 MPa rugalmassági mdulus. keresztmetszet igénybevétele pedig M = 00 Nm hajlítónymaték. Keressük az er / e illetve I er /I eη hányadsk értékét, valamint a rúdirányú nrmálfeszültség-elszlást. 7 és 7 képletekből az anyagjellemzők és a 8. ábra gemetriai adataival kapjuk, hgy 78 e = a E b E b = = 3, 0 5 6 0, 7 0 5 6 =, 4 336 0 8 N,. 7
8 alumínium 6mm S 6mm E acél S k M E 3mm 8 mm 8. ábra és, hgy 79 z = E b E b b E E = =, 05 8 6 3 0, 7 0 5 6 8 6 3, 0 5 6 3 0, 7 0 5 6 3 = mm z ismeretében aznnal adódnak a ζ, ζ k és ζ krdináták az ábráról: 80 ζ = z = mm, ζ k = 4 mm, ζ = 0 mm. Ezekkel felírható a 74 képlet alapján az 8 er e = E E, 4 = ζ k ln ζ k ρ E ζ ln ζ ρ E ζ ln ζ ρ = E b E b 4 ln 4, ρ =, 4 4 8 ln 4 8 hányads. Következésképp ln, 6 0, 7 6, 8 ln 8, 6 0, 7 6 0, 7 0 ln 0 0, 7 0 8 ln 0 8 =, 009 857 8 = = er =, 009 857 8 e =, 009 857 8, 4 336 0 8 =, 447 73 7 0 8 N.
Tvábbá behelyettesítve a 75, illetve 77 képletekbe, az [ 3 6 3 I eη = 0 000 [ 3 6 3 70 000 6 ] 3 6 6 6 3 6] = 9, 939 66 667 0 9 Nmm, valamint a I er = 3 0.7. 0 [8 5 4 8 4 8 3 ln 4 3 ] 8 43 3, 0 [ 8 5 8 8 3 ln 3 ] 8 3 3 0, 7 0 [8 5 0 8 0 8 3 ln 0 3 ] 8 03 = = 4, 398 59 948 0 Nmm értékek adódnak jelen esetre. znnal látszik innen, hgy I er jóval kisebb értékű I eη -nál, ezért ettől a tagtól el lehet tekinteni a tvábbiakban. Következésképp 9 8 I er I eη = I eη I er I eη = I er I eη és így 83 I er = I eη I er I eη = 9, 939 66 667 0 9 Nmm. Immárn minden adat behelyettesíthető a rúdirányú nrmálfeszültséget kifejező 8 képletbe. Ábrázljuk tehát a σ ξ elszlását a ζ függvényében. z eredményt a 9. ábra szemlélteti. rúdban σ ξ, max ζ = = 7, 93 MP a a legnagybb abszlutértékű feszültség és a zérusvnal helye ζ = ζσ ξ = 0 = 0, 8 88 mm-nél van. mm alumínium acél -30-0 -0 0 0 MPa 9. ábra
0 Végezetül a görbületi sugár váltzása hatásának szemléltetésére közlünk két diagramt. z első az er / e, hányadst, a másdik pedig az I er /I eη hányadst szemléleti az adtt keresztmetszetre a sugár függvényében: er e 0.6.0.5.0.5 mm b 0. ábra I er I e mm. ábra 9. Következtetések Összhangban a Bevezetésben megfgalmaztt célkitűzéssel, keresztmetszeti inhmgenitású hetergén anyagú és állandó görbületű síkbeli rúd esetén tiszta hajlítás feltételezése mellett. levezettük a Grashff-féle képlet általánsítását;. levezettük a Grashff-féle képlettel egyenértékű és az angl nyelvű szakirdalmban általánsan használt frmula általánsítását; 3. meghatárztuk egyensúlyi egyenletek felhasználásával a nyírófeszültségek képletét; 4. tisztáztuk a görbületi visznyk megváltzását; 5. azt is megmutattuk, hgy az új összefüggések határesetben visszaadják a hmgén iztróp anyagú rúdra vnatkzó frmulákat; 6. a fentiekhez csatlakzva megadtuk egy téglalap keresztmetszetű hetergén rúdra az alapvető szilárdságtani összefüggéseket is; 7. végül ezek alkalmazhatóságát számpéldával illusztráltuk.
Hivatkzásk..E.H. Lve. Treatese n the mathematical thery f elasticity. New Yrk, Dwer, 944.. S. Márkus and T. Nánási. Vibratin f curved beams. Shck. Vib. Dig., 34:3 4, 98. 3. P. hidamparam and.w. Leissa. Vibratin f planar curved beams, rings and arches. ppl. Mech. Review., 469:467 483, 993. 4. M. sizmadia Béla és Nándri Ernő. Mechanika mérnököknek. Szilárdságtan. Nemzeti Tankönyvkiadó, 00. 5. Kzák Imre és Szeidl György. Fejezetek a Szilárdságtanból. Misklci Egyetem, 00. 6. F. P. Beer and E. R. Jhnstn. Mechanics f Materials. Mc Graw Hill, Metric editin, 987. 7. Baksa ttila és Ecsedi István. nte n the pure bending f nnhmgenus prismatic bars. Internatinal Juurnal f Mechanical Engineering Educatin, 37:8 9, 009.