EVOLÚCIÓS GAZDASÁGOK SZIMULÁCIÓJA

Budapes Közgazdaságudomány és Államgazgaás Egyeem Maemaa Közgazdaságan és Öonomera Tanszé EVOLÚCIÓS GAZDASÁGOK SZIMULÁCIÓJA Ph.D. éreezés Benede Gábor Budapes 003

Zolána

Taralomjegyzé. Fejeze: Bevezeés.. Az éreezés felépíése 4.. Sajá eredménye 6. Fejeze: Szmulácós módszeran 7.. Defnícó alapfogalma 7.. Probléma és rendszer defnálása 3.3. Formáls modell 4.4. Elsődleges ísérlee megervezése 7.5. Inpuanalízs és npu adao generálása 7.6. Modell elészíése (programozás) 9.7. Verfácó valdácó és modellalbrálás 3.8. Kísérleezés 35.9. Oupu analízs 35.0. Összefoglalás 39 3. Fejeze: Evolúcós módszeran 40 3.. Evolúcós elmélee 40 3.. Numerus opmalzálás 46 3.3. A geneus algormus 54 3.4. A neuráls háló 6 3.5. Összefoglalás 70 4. Fejeze: Az ACE módszeran 7 5. Fejeze: A Kyoa-Wrgh modell 74 5.. A modell 75 5.. Analus eredménye 79 5.3. Szmulácós eredménye 84 5.4. A Kyoa-Wrgh modell erjeszése 0 6. Fejeze: A soszereplős modelle ommunácó-sruúrá 07 6.. Elméle 08 6.. Gráf-sruúrá muaása 4 6.3. Gyaorla alalmazása 6.4. Kommunácós sruúrá és az egyensúlyelméle 3 6.5. Összefoglalás 4 7. Fejeze: Ksvlágo pénzmodellje 5 7.. A modell 5 7.. Ksvlág sruúra aloás 7 7.3. Kísérlee és öveezeése 3 8. Fejeze: Összefoglalás 34 Irodalomjegyzé 36

A udomány nem próbál végső magyarázao adn fogalmaa érelmezn s alg. A ermészeudomány modellee alo. Modell ala egy olyan maemaa sruúra érendő amely bzonyos szóbel nerpreácó hozzáfűzésével leírja a jelensége. Egy lyen maemaa sruúra léjogosulságá egyedül az adja hogy seresen előrelája a jelenségee ehá műöd. (Neumann János). Fejeze Bevezeés A modern gazdaságelméleben alalmazo módszere és gazdaság elemzése eszözára a 0. század végére rendívül módon szélesede. Legnább ermészeesen a maemaa és sasza módszere épüle be és fejlőde ovább özgazdaság modelleen ereszül. Így napjanban evés olyan elméle publácó jelen meg amely ne alalmazná a jáéelméle a varácószámíás a szochaszus folyamao vagy más bonyolul erülee módszere. Az egza módszere bonyolulságána növeedése azonban sajáos ellenmondás szül az elméle és a gyaorla alalmazáso özö. A modern maemaa és sasza módszere ugyans ponosan az a cél hvaoa szolgáln hogy a gazdaság folyamaa jobban és ponosabban magyarázzá meg és mnd a gazdaságpola (marosznű) mnd a vállala (mro sznű) dönéshozó számára olyan apparáus bzosísana amelyne segíségével megalapozoabb és bzosabb dönésee hozhana. A valóságban azonban az egyre bővülő szama háérsmereee génylő módszeree és a nehezen nerpreálhaó modellee a gazdaság gyaorla szaembere egyre nehezebben épese adapáln. Az elméle leheőség és a gyaorla oldal egymásól erősen elávolodo. Kvéelén a pénzügy erüleen érezhejü az hogy a modern maemaa módszeree nap mn nap alalmazzá (öbbe özö a Wall Sree maemaus- és fzus-özgazdász anácsadó) a valóságban azonban a legöbb nap sznű elemzés és dönés (pl. ocázaezelés) 30 éves módszerere épül. A özgazdaságan más módszeran forrása a számíásechna alalmazása. A számíógép megjelenése a legöbb udományága dönő mérében befolyásola pedg ulajdonéppen csupán é funcó valósí meg; egyrész rendívül nagy méreű adabázs épes haéonyan ároln és ezeln másrész órás sebességgel épes számoln. E ulajdonságo ma leheővé vál hogy a nagy mennységű nformácó broában más modelle épüljene lleve az elméleee és az előrejelzésee úgy

válozassá hogy azo a megfgyel és rögzíe adao ürében jobban és ponosabban írjá le a valóságo. A számíógépes modellezés folyán leheőség nyíl olyan orláozó feléelezése elhagyására amelye egy-egy orább modell rreálssá ee. (Eze özül az egy legsúlyosabb feléelezés a lnearás). Így az analus megoldáso melle megjelene a numerus megoldáso. A számíógépes modellezés megjelenésével ugyanaor az várhanán hogy a özgazdaság elméle lleve gyaorla erüleén dolgozó szaembere özö ávolság csöen hszen az elméle szaembere jóval omplexebb modellee s udna éréeln a gazdaság dönéshozó pedg jobban műödő modelle eredményere alapozva hozhajá meg dönésee. Sajnos a özgazdaságudomány erüleén ez a özeledés még csa ezde sádumban van. A számíógép örelen fejlődéséne és egyre népszerűbbé válásána öveezében azonban önnyen lehe hogy a özel jövőben a számíásechna fogja beölen a híd szerepé az elméle és a gyaorla oldal özö. Számalan eseben alalmazna analusan meg nem haározhaó vagy nehezen meghaározhaó problémá ezelésére numerus módszeree a özgazdászo. Ilyen például a numerus negrálás a numerus egyenle/egyenlőlenség megoldás a dfferencálegyenlee numerus megoldása vagy az operácóuaás. Ső soszor bzonyos problémá analus megoldására s numerus módszeree veszne génybe mn például a szmbolus programozás (negrálás algebra egyenle megoldás dfferencálegyenle megoldás sb.) eseén. A jelen éreezés azonban nem álalánosságban a numerus módszereel lleve eze özgazdaság alalmazásával hanem enne egy részerüleével a szmulácóval foglaloz. A vzsgálódás özépponjában mnden eseben valamlyen gazdaság modell van amelyne vzsgálaára nagyon so eseben az analus módszere melle numerus módszeree használun. Tensü ez a özgazdaság modell egy olyan leépzésne amely a valóságban megfgyelheő válozó halmazához rendel egy halmaz. Ilyen érelemben a szmulácó nem más mn ezen leépzése (bzonyos eseben aár függvénye) analízse. Így a szmulácó legfonosabb feladaa gyaorlalag megegyezne az analízsben meghaározo feladaoal úgy mn függvényéréelés (leszámolás) egyenlemegoldás (céléré-eresés) vagy szélsőéré-eresés. Knduló eseben a gazdaság modell elegendően egyszerű ahhoz hogy analus anulmányozása leheséges legyen. A szmulácóra abban az eseben van szüség amor az egyes feléelezése feloldása lleve a modell dmenzójána növelése annyra megnehezí a feladao hogy anna éz számolása leheelenné vál. Még Szmbolus programozás ala olyan maemaa művelee számíógépes megoldásá érjü ahol a maemaa fejezésben paraméere s szerepelne (ld.: Maple vagy Malab). 3

lyen eseeben s jellemző az hogy az analusan számolhaó eredményee összehasonlíás vége numerusan s előállíjá. Az éreezésben az a cél űzü hogy bemuassu hogyan lehe a szmulácós módszeran haéonyan alalmazn olyan eseeben amor álépü az analus módszere haára. Maga a szmulácós módszeran s rendívül faal evesebb mn öven éves. Az elméle özgazdaságanban való elerjedéséhez azonban az gaz löés a meserséges nellgenca uaáso elsősorban 990-es évene eredménye adá. A ársadalomudományo számára felhasználhaó meserséges nellgencá s alalmazó szmulácós módszeran csa 00-ben (!) a Journal of Economc Dynamcs and Conrol ülön számában apa meg az az meglleő publcás és önálló neve Agenbased compuaonal economcs (ACE) 3 amelye soszereplős szmulácós özgazdaságanna fordíun a ovábbaban. Az éreezés az álalánosan alalmazhaó szmulácós megoldásoon úlmenően erre a faal és rendívül ígéreesne lászó módszeran erülere íván fóuszáln... Az éreezés felépíése Az éreezés é jól elülöníheő részből áll. Az első rész. 3. és 4. fejeze a módszeran smereés aralmazza és az a célja hogy bevezesse azoa a fogalmaa és eljárásoa amelyee a gyaorla szmulácós modelle eseében alalmazn lehe. Eze a fejezee erősen épülne a szmulácós szarodalomra valamn a szerző álal láogao mancheser és lmerc egyeemeen oao szmulácós urzuso jegyzeere. A fejezee sruurálása szemponjából a szerző álal a Budapes Közgazdaságudomány és Államgazgaás Egyeemen oao Szmulácó c. árgy jelene nagy segísége. A módszeran fejeze során számos példa lluszrálja a fogalmaa amelyee a szarodalomban fellelheő modelle melle a szerző ársszerzős és sajá publácó valamn haza vállalaonál végze uaás muná épezne. A másod rész 5. 6. és 7. fejeze a szmulácós módszeran onré alalmazásá aralmazza. Eze a modelle bár lászólag elülönülne a másod rész végére egy új uaás rány haározna meg amely mnd az elméle mnd a gyaorla özgazdászo számára alalmazhaó. A fejezeeben szereplő modelle részben a szerző publácó lleve onferenca előadása részben pedg ovább uaás eredménye. A szarodalom ez a echná benchmarng-na nevez. 3 Tesfason [00] 4

Az éreezés első része a szmulácós módszeran bemuaásával ezdőd (. fejeze). A szarodalomban számos olyan önyv alálhaó amely a szmulácós módszere alalmazásá írja le. A probléma azonban az hogy eze elsősorban a műsza udományo erüleére oncenrálna és az szereplő özgazdaság modelle szne zárólag vállalagazdaság érdéseel foglalozna. (Például szolgálás rendszere szmulácójával észlegazdálodás problémával sb.) A. fejezeben ezere az rodalmara épíün de az elméle özgazdaságan és pénzügy alalmazásora fóuszálun. A 3. fejezeben a meserséges nellgenca módszere muaju be. Ez a fejeze erősen épí Benede [000 00] publácóra de azoa egészí a lényeges algormus részeel és éeleel. A. és 3. fejeze előészí a 4. fejezeben bemuaásra erülő soszereplős szmulácós özgazdaságan módszeré ovábbaban ACE. Ez a fejeze apcsolja össze a szmulácós és meserséges nellgenca módszere leheősége és alalmazza olyan özgazdaság modelleben ahol elülönül szereplő vseledése haároz meg valamlyen gazdaság vseledés vagy jelensége. A másod fejeze modellje erre a módszeranra épíezne. A fejeze elsősorban a Journal of Economc Dynamcs and Conrol ACE módszerannal foglalozó cere és a Legh Tesfason álal szeresze ACE hvaalos honlapjáról leölheő anyagora épí. 4 Az 5. fejezeben a Kyoa-Wrgh modellel foglalozun. (Kyoa Wrgh [989]). Az erede modell smereése uán olyan bővíéseel foglalozun amelyne analus megoldása smerelen vagy az analus megoldás csa jóval ésőbb a numerus eredménye nsprálására serül meghaározn. A 6. fejezeben egy lászólag új émaör érnün a ársadalm hálózao problémájá. A modell az nformácó eleommunácós eszözöön ereszül erjedéséne a uaása és szmulácója alapoza meg. A uaás eredményene smereése melle a fejezeben elsősorban Was [999] munája segíségével bevezeün néhány alapveő gráfelméle fogalma. A 7. fejezeben megmuaju az hogy hogyan lleszed bele a Kyoa-Wrgh-féle modell vlágába a ársadalm hálózao problémaöre. Ső ovábbmegyün és felvllanun néhány olyan elméle modell ahol az ACE módszeran és a hálóza szemléle alalmazásával új eredménye érheő el. A 8. fejezeben összefoglalju az eredményee. 4 hp://www.econ.asae.edu/esfas/ace 5

.. Sajá eredménye A magyar özgazdaság szarodalomban rendívül evés szmulácóval foglalozó anulmány alálhaó. Eze nagy része s valamlyen műsza vagy vállalagazdaság problémához apcsolódna. A fejezeen elméle uaásoban a szmulácó alalmazásá zárólag sasza/öonomera lleve pénzügy uaásoban apaszalhaju. Így a módszeran elméle uaásoba örénő bevezeése a szerző önálló munája. Különösen gaz ez az ACE módszeranra amely annyra faal erüle hogy haza publácó még nem szülee ebben a émában. Az 5. fejezeben bemuaásra erülő Kyoa-Wrgh modell bővíése lleszed a nemzeöz szarodalomhoz. Az megfogalmazo eredménye újdonsága elsősorban az új módszere bevezeéséne és alalmazhaóságána vzsgálaában rejl. A szarodalomban szereplő eredménye numerus módszereel örénő reproduálása bzosíja a omplexebb erjeszése vzsgálaána leheőségé. A 6. fejeze modellje és az o alalmazo módszere fejleszése a szerző munája. (Természeesen a vállala uaás velezésén egy egész csapa dolgozo). A 7. fejeze modellje szorosan apcsolódna az előző fejezeehez és sznén sajá eredményne enheő. 6

. Fejeze Szmulácós módszeran Ahhoz hogy a szmulácós módszere magas sznű alalmazása elerjedjen a ársadalomudományo erüleén el ell fogadan hogy az nduív és a deduív módszereel szemben a udomány műveléséne harmad úja a szmulácós ísérleezés. Az déze Axelrod [997] céből származ amelyben a ársadalomudományoban alalmazo szmulácós módszere jelené és jövőjé vzsgála. A cből három gondolao emelün. Az első hogy a szmulácós modelle publálása során nem elegendő az eredménye és a modell smereése. Természeesen helyorláo ma nncs leheőség a forrásód publálására azonban a CD- és az Inerne segíségével leheősége ell bzosían arra hogy mnden érdelődő személyesen végrehajhassa (fuahassa) a ísérleee. A másod fonos gondola hogy a erüleen evéenyedő szaembere a orábban publál szmulácóa újra végrehajsá ezdve a modell épíéséől a programozáson ámenve a fuaásog. Erre azér van nagy szüség mer a numerus módszere so eseben nem bzonyíó erejűe. Ahhoz hogy a hbáa és az gaz hívásoa megalálju soszor szüséges máso uaás eredménye a legelső lépésől ezdve felépíen. Végezeül Axelrod az hangsúlyozza hogy a szmulácós módszeran elfogadaásához arra s szüség van hogy az előzőe nyomán megalauljon a ársadalomudóso olyan ársasága amely szmulácós módszere segíségével végz uaása. Az éreezés során ezere a gondolaora ülön nem hívju fel a fgyelme. Mvel azonban a módszeran önállósodása szemponjából rendívül fonosna arju a bevezeőben hangsúlyozu... Defnícó alapfogalma A szmulácó nehéz defnáln. Az egy leheséges defnícó szern a szmulácó egy rendszer modelljéne a megfelelő bemeneeel (npuoal) örénő elláása műödeése (drvng) és a menee (oupuo) megfgyelése. (Braley e al. [987]). A szmulácós módszeran özgazdaság alalmazása ehá a öveezőéppen épzelheő el. Megfgyeljü a valós rendszer majd az megíséreljü legfonosabb ulajdonsága alapján formálsan leírn. Ez nevezzü modellező evéenységne. Ha a modell beprogramozzu úgy a valós rendszer egy vruáls reproducójá apju. Ebben azuán bzonyos paraméeree megválozava a valós rendszer vseledésére vonaozó megfgyelése érdeében ísérleee hajhaun végre. A programozás és ísérleezés evéenysége nevezzü szmulácós evéenységne. (Ld.:.. ábra). 7

Felmerül a érdés hogy mor érdemes szmulácó alalmazn és mlyen céloa lehe ezzel elérn. Valós rendszer Modellezés Szmulácó Számíógép Modell.. ábra: Szmulácó defnícója A mor érdésre vszonylag egyszerű a válasz. Aor ell szmulácó alalmazn amor mnden más leheőség ölségesebb. A más leheőségen álalában é alernaívá szoa éren. Az első az analus megoldás a más a valós rendszeren végze ísérleezés. Mndegy eseben a ölség s gen összee fogalom. Kölségén jelen meg az dőráfordíás az ember erőforrás az anyag ráfordíás és a ocáza ényező. A valós ísérleezéssel szemben a modellezés legfőbb előnyéne az szoá megemlíen hogy valós beavaozás eseén rendívül so dő el el addg amíg az ado beavaozás haása mérheővé válna. Továbbá nagy volumenű befeeésee génylő dönés eseében nem lehe próbálgan. A modellezésne ezzel szemben az a háránya hogy mvel a valóság egy leegyszerűsíe másá valósíja meg elépzelheő a számío érée és a ényleges realzácó (valós rendszer eredményene) ülönbözősége. Természeesne űn az s hogy abban az eseben amor analus megoldás áll rendelezésre felesleges a szmulácó. So eseben azonban az analus megoldáshoz vezeő ú nem egyszerű. Ilyen eseeben rendívül nagy segísége nyújha a szmulácó elsősorban azér hogy ponosabb épe alohassun a feladaról. Előfordulha az s hogy egy problémána elvleg meg lehene haározn az egza analus megoldásá enne ellenére szmulácós módszer használun mvel a probléma analus megoldása annyra bonyolul és mechanus hogy egyszerűbb a numerus vzsgála eredménye használn. (Például leszámlálás). A szmulácós módszere felhasználás erülee a öveező: előrejelzés feladamegoldás gyaorlaszerzés szóraozás oaás bzonyíás és uaás. Többe özö Axelrod [997] alapján. 8

. Előrejelzés. Ez a cél szolgálja a vállalagazdaság alalmazáso nagy része. Például egy vállala arra íváncs hogy ülönböző árazás melle várhaóan meora éréesíésre számíha a jövőben.. Feladamegoldás. A szmulácó arra s alalmas hogy ülönböző más módon nem meghaározhaó feladaoa oldjun meg a segíségével. Ez a erüle pusan a meserséges nellgenca uaáso apcsolódás ponja. Olyan feladaoa lehe megoldan mn például az auomaus orvos dagnózsészíés (adabányászaal) beszédfelsmerés (neuráls hálózaoal) vagy függvényopmalzálás (geneus algormussal). 3. Gyaorlaszerzés. Az első szmulácó elsősorban az a cél szolgáljá hogy a szmulácó felhasználó embere épességé javísá egy a valóságo ellő ponossággal leíró neraív örnyezeben. Klasszus példá enne az auó és repülő szmuláoro. 4. Szóraozás. Csa egy lépés az előző ponól és márs alál örnyezee soaságá eremhejü meg erre a célra. 5. Oaás. Az oaásban használ szmulácós modelle legfonosabb célja hogy leheővé egyé a hallgaó számára a valóságban meghúzódó örvényszerűsége és összefüggése megsmerésé. Jó példa a Közgazdaság Egyeemen s oao LUDUS vállala szmulácós anárgy. 6. Bzonyíás. Ez a legnább vao erüle anna ellenére hogy egy lasszus és népszerű maemaa problémá a négy-szín éel számíógépes (szmulácós) lépése segíségével oldoá meg. A szmulácós eszözö segíségével örénő bzonyíás olyan eseeben a leggyaorbb amor véges számú varácós leheősége ell ávzsgáln (pl.: szmbolus derválás). A meserséges nellgenca uaó olyan programoa s észíee amelye egyszerű maemaa alapelemeből (pl. halmazo) omoly felfedezésee uda enn (pl. Goldbach-sejés). (Hofsader [998]). 7. Kuaás. Uolsóna marad az a cél amelye a legnább fonosna arun. A szmulácós módszere ugyans a uaásban az új összefüggése felfedezésében s gaz segísége nyújhana. Az éreezés másod részében elsősorban enne bemuaására öreszün. A véges szó sajnos nagyon s meghaározo orláoa jelen. A Ramsey-féle R(55) szám megalálásához 0 400 esee ellene megvzsgáln am öbb számíásdő venne génybe mn az unverzum éleora még aor s ha a Föld összes számíógépe a nap 4 órájában ez a problémá számolná! (Ld.: Leader [00]) 9

A szmulácós módszeran segíségével vzsgál modellee (rövden: szmulácós modellee) öbb szemponból aegorzálhaju anna alapján hogy a háérben meghúzódó maemaa modell mlyen ulajdonságú. Az első érdés hogy az dő a modellben folyonos vagy dszré válozó-e. A legöbb özgazdaság modellben az dő folyonos válozóén szerepel. Nem mndegy azonban hogy mlyen gyaran van leheőség a szmulácó állapoválozó megfgyeln és beavaozásoa végezn. Abban az eseben ha ez csa dszré dőpllanaoban örénhe amn az álalában egy özgazdaság modellben apaszalhaó aor dszré esemény szmulácóról beszélün. Ha bármely pllanaban leheőségün van a beavaozásra és a megfgyelésre aor folyonos szmulácóról beszélün. A szmulácóban szereplő állapoválozóa álalában folyonosna enjü de vanna olyan modelle s amelyben fejezeen szmbolus (pl. meserséges nellgenca) vagy csa dszré numerus (pl. dgáls áramörö) érée vehene fel. Épíheün ermészeesen olyan modellee s amelyeben az dő nem szerepel. Eze a saus modelle. A saus modelle szmulácója leggyarabban a sasza öonomera alalmazáso eseében jász fonos szerepe (például a p-érée numerus előállíásánál vagy egy erőfüggvény alajána meghaározásánál Paa [00]). A harmad legfonosabb rérum am alapján a szmulácós modellee megülönbözejü hogy az szochaszus vagy deermnszus. Az uóbbra jó példa a deermnszus dfferencálegyenlee numerus megoldásánál használ szmulácó. M a ovábbaban olyan szochaszus dnamus szmulácós modelleel foglalozun amelyben a megfgyelés és a beavaozás dőpono dszrée azaz dszré eseménye szmulácójával. Az állapoválozó eneében nem eszün megöésee. Az lyen rendszere szmulácós modelljé formálsan s meg lehe haározn. 3 A formáls leírásna é sznje van: az aom (aomc) szn és az összee (coupled) szn. δ con (sx) δ ex (sex) δ n (s) S (s) λ(s).. ábra: Az aom szmulácós modell reprezenácója 3 Cho Cho [997] munára ámaszodun. 0

Az aom szn a öveező: M X S Y δ δ δ λ n ex con (.) ahol: X : a ülső eseménye halmaza S : a szevencáls állapoo halmaza Y : az oupuo halmaza δ n : S S : belső ámene leépzés δ ex : Q X S : ülső ámene leépzés δ con : S X S : orlódás ámene leépzés λ : S S : oupu leépzés : S R : dőzíés függvény és Q ( s e) s S0 e ( s) ahol e az uolsó állapoválozás óa elel dő. { } A.. ábrán láhaju az aom szn modelljéne felépíésé. A formáls modell szemléleésére példaéppen vegyün egy szolgálás feladao. 4 Tegyü fel hogy egy csomag beérez egy sorbanállás rendszerbe. Enne öveezében a rendszer s állapoválozója jelen példánban a váraozás sor hossza egységgel növesz. Ez a δ ex függvény valósíja meg. Ezuán a függvény álal megado dő elelével a modell megvzsgálja a sor hosszá. Néhány csomago elávolí és ennyvel csöen az állapoválozó éréé amelye formálsan a δ n függvény valósí meg. A δ con függvény eldön hogy m örénjen abban az eseben ha egyszerre jelenez a ülső és belső esemény (például meghaározza δ ex és δ n sorrendjé). A λ függvény végül előállíja a mene válozó jelen eseben például a váraozás sor álagos hosszá. Az összee modell formálsan é alapveő objeumból áll. Komponenseből (amelye lehene aom sznű vagy összee modelle) és az ezee összeapcsoló sruúrából. A sruúra formálsan a öveező: { M }{ I }{ Z } DN D j (.) ahol D jelöl a omponense egyed azonosíójá M az aom vagy magasabb sznű modellee I az egyes omponensene az összee modellre vonaozó haásá Z j pedg a omponense egymásra vonaozó haásá herarchájá. A.3. ábrán egy olyan sémá láhaun amely egy sorba öö szolgálás rendszer erőforrása opmalzálja. Az A modul dön arról hogy az erőforráso hány százaléá apja a B és hány százaléá a C szolgálás egység. Az A modul 4 Kszolgálás folyamao szmulácójával apcsolaban ld. például Benede Molnár [996].

vsszacsaolásén megapja a BC modul oupujá és a belső függvénye segíségével eldön hogy eléreze-e az opmumba vagy ovább fuaásra van szüség. Ha újabb fuaás ell aor új erőforrás alloácó haároz meg. A B C.3. ábra: Az összee modell reprezenácója A.3. ábra jól jellemz egy deermnszus rendszer szmulácójá de szochaszus modell eseén az egyes menee mndg csa egy leheséges megvalósulás (replácó vagy lefuás) jelenene. A szochaszus modelle mene válozója s nylvánvalóan szochaszus ezér öbb smélésre (replácóra) van ahhoz szüség hogy enne a válozóna az eloszlásá megsmerjü. Így a.3. ábra úgy módosul hogy a BC rész n-szer valósul meg. Az A modul feladaa lesz az hogy eldönse mlyen vsszacsaolás generál a BC meneeből például egyszerű álago (várhaó éré becslés). Egy szochaszus összee modell reprezenácója láhaó a.4. ábrán. A B C B C B n C n.4. ábra: A szochaszus összee modell reprezenácója Nézzü mlyen alapveő lépéseből áll a szmulácós modellezés:

Probléma és rendszer defnálása Modelloncepcó dolgozása (formáls modell) Elsődleges ísérlee megervezése Inpuanalízs és npu adao generálása Modell elészíése (programozás) Verfácó valdácó és modell albrálás Kísérleezés Oupu analízs és nerpreálás. A öveező alponoban részleesen muaju be ezee a lépésee. Az smereés Benede [999] modellje segíségével végezzü mvel ebben a publácóban mnden fonos lépés megalálhaó. 5.. Probléma és rendszer defnálása Mnden szmulácós modellezés első lépése hogy defnálju az a problémá és a probléma ererendszeré amely a uaás özépponjában áll. Tegyü fel például hogy az a feladao űzzü hogy egy részvényre vonaozó véel opcó (call opon) árá ívánju meghaározn. 6 Ebben az eseben a C( S T ) e r( T ) max { S E0} T (.3) érée ell meghaározn ahol C az opcó éréé S a dőponbel részvényárfolyamo E a öés árfolyamo r a pac amalába T- pedg a háralévő fuamdő jelen. A probléma analus ezeléséhez gen erős és a valóságban nem eljesülő feléelezéseel ell éln. Először s a részvényárfolyamól megöveeljü hogy álalánosío Brown-mozgás övessen onsans dőben állandó drfel (µ) és volalással (σ) azaz ds µ Sd + σsdz dz ε d ε ~ N(0) (.4) 5 Szerenén hangsúlyozn hogy a Benede [999] cben smeree opcóárazás modell csa lluszrácóén szerepel a részleere és az eredménye bemuaására nem érün. 6 Igen részleesen árgyalja ez a problémá Hull [993]. 3

Megöveeljü ovábbá a pac amaláb állandóságá a részvény öélees oszhaóságá és zéró oszaléfzeésé a pac amalábon örénő ölcsönvéel és ölcsönadás leheőségé részvényeladás jövőbel eljesíéssel (shor sellng) a folyonos eresedés leheősége az adó és a ranzacós ölsége hányá. Feléelezzü ovábbá hogy európa ípusú opcóról van szó és a pacon nncs leheőség arbrázsra. Ilyen megszoríó feléelezése melle meg lehe haározn a C éréé T r E σ és µ függvényében. (Blac Scholes [973]). 7 Az egyes feléele feloldására számos uaó ado analus lleve numerus megoldás. (Eze özül a leglényegesebbe Cox Ross [976] Hull Whe [987] Meron [973] és Cox e al. [979]). A Benede [999] cben szmlácó segíségével haározu meg az opcó éréé abban az eseben ha a részvény árával arányos ranzacós ölsége ell fzen a eresedés pllanaában. A fene segíségével defnálu a özgazdaság (jelen eseben pénzügy) problémá a megoldáshoz szüséges rendszer pedg egy szochaszus dszré esemény szmuláor. A ésőbbeben lán fogju hogy a rendszer elle egészíen egy numerus opmalzáló rendszerrel amely a geneus algormusra épül..3. Formáls modell A formáls modell elészíése során olyan leírás ell észíen amely segíségével bár épes a meghaározo szmulácós felada programjá elészíen. A programozáshoz gen hasznos segíség a folyamaábra. Az előző példá folyava a szmulácóhoz szüséges paraméere a öveező vola: E : az opcó öés árfolyama r : a ocázamenes amaláb Q : a ranzacós ölség nagysága százaléban 8 S 0 : a részvény ezde árfolyama (az opcó éréeléséne pllanaában) µ és σ : a részvény drfje és volalása és T : az opcó lejáraána dőponja. 7 Ez a Blac-Scholes formula: C( S ) SN( d ) Ee r( T ) N( d ) ln( S E) + ( r + σ )( T ) d σ T ln( S E) + ( r σ )( T ) d d σ T σ T ahol N(.) a sandard normáls eloszlás eloszlásfüggvénye. 8 Azaz Q 0.0 eseén é darab 00 F éréű részvény eladása lleve vásárlása - F exra ölsége jelen. 4

A szmulácó során a három állapoválozó használun: P : a szmulál befeeő egyenlege dőponban P 0 0 S : a részvény árfolyama dőponban : az opcó fedeze aránya dőponban. Szmulácós modellünben egy épzelebel befeeő 0 dőponban elad egy darab véel opcó és vásárol 0 darab részvény. A vásárlás ocázamenes amalábon ado hel segíségével valósíja meg. Ezuán mnden dőpllanaban megfgyel a részvény auáls árfolyamá (S ) és megválozaja a porfólójában szereplő részvénye számá mennységre. Amennyben ez sméelen vásárlás jelen aor ovább hel vesz fel ha eladás aor örlesz. Ez a echná dnamus fedezés sraégána (dynamc hedgng) nevez. Az opcó lejáraor ( T) hely ell állna az opcónál am max{s T E 0} ovább adás jelen. (Ha ugyans a részvény ára magasabb a öés árfolyamnál aor az opcó lehívjá így a eljesíéseor a részvényár és a öés árfolyam ülönbségé ell fzene az opcó eladójána. Ha azonban a részvényárfolyam nem ér el a öés árfolyamo aor az opcó nem fogjá lehívn így az eladó nem szenved veszesége.) Végül a befeeő eladja porfólójában szereplő T- részvény s. A maradé összeg dszonál érée adja meg az az opcóára (C) amely fzeése eseén a befeeő ponosan zéró nyeresége/veszesége realzál (Arbrázs-menesség). A szmulácó fuaásához százn ell a részvényárfolyamo generálásána épleé amely a öveező: 9 S + S e ( µ σ )( Y ) + σε Y ε ~ N(0). (.5) Vegyü észre hogy az dőpon beoszáso fnomíása az Y paraméer segíségével örén. Mvel a részvény paraméere éves sznen adu meg ezér Y az jelen hogy hány résznervallumra osszu fel egyenleesen az egy éve. (Ha például napona adun leheősége a porfóló fedezésére aor Y 360 ha napona ízszer aor Y 3600. Természeesen T- s ebben a méréegységben ell mérnün azaz ha az opcó fuamdeje egy hónap aor az előbb eseben T 30 míg az uóbbban T 300.) Nem nehéz belán hogy az dő végelen fnomíásával a (.5) formula ponosan a (.4) szochaszus folyamao eredményez. 0 A (.5) formulából jól láhaó hogy mnden újabb részvényár szmulálásánál egy sandard normáls eloszlású érée ell generálnun. Enne módszeré a öveező alponban muaju be. 9 Enne levezeésé ld. Benede [999]. 0 Ld. például Benede [998]. 5

Végül meg ell haároznun az az eljárás amne segíségével a dnamus fedezés megvalósíju. Ez a öveező: C N S ( ln( S E) + ( r + σ )( T ) ) σ T (.6) ahol N(.) a sandard normáls eloszlás eloszlásfüggvénye. Muán az oupu válozó (C) a szochaszus szmulácó ma valószínűség válozó ezér nem elegendő egy érée vzsgáln. A szmulácó függelen vélelenszámo segíségével öbbször le ell fuan. (Ezee nevez a szarodalom replácóna vagy mnána. A replácó számá mnamérene s hívju). Készísü el a szmulácó folyamaábrájá! Összes replácó ész? Nem Igen C eloszlásána meghaározása Hányad eresedés pllana? - növeld eggyel 0 Induló porfóló alaíása: P 0 S 0 0 (+Q) 0<<T Kamafzeés: P P - e -r/y T Kamafzeés: P T P T- e -r/y S generálása meghaározása S T generálása < - Részvény eladás: P P - + + S ( - ) ( Q) ülönben Részvény vásárlás: P P - + S ( - ) (+Q) Részvény eladás: P T P T- + + S T - ( Q) Opcó eljesíése: P T P T- max{ S T E0} öveező replácó.5. ábra: A szmulácó folyamaábrája Opcó érée: C P T e -rt/y 6

.4. Elsődleges ísérlee megervezése A szmulácó fuaásához ermészeesen meg ell haározn bzonyos paraméeree. Az elsődleges ísérleee érdemes úgy megervezn hogy a meneelé önnyű legyen valamlyen már meglévő éréhez vszonyían. Ilyen éré lehe a szarodalomban szereplő számíás eredmény lleve bzonyos eseeben az analus eredmény. Ilyenor olyan egyszerűsíésee feléelezün amelye a ésőbb ísérlee során fel lehe oldan azonban az ellenőrzéshez és a hbaereséshez jól lehe alalmazn. Az opcóár szmulácóban a öveező feléelezéseel élün az elsődleges ísérlee megervezése során: E 00 r 0.05 S 0 00 µ 0. σ 0.3 T/Y 30 nap A mnaméree 5000 replácóna válaszou és a szmulácó mene válozójána a apo opcóára álagá és szórásá válaszou. A ranzacós ölség (Q) ráájá először zérusra majd %-ra állíou. A zérus ranzacós ölség szmulácójána vssza ell adna a Blac-Scholes-formula éréé hszen ebben az eseben analus eredménye állna a rendelezésünre..5. Inpuanalízs és npu adao generálása A valóságos rendszer műödéséne ponos számíógépen belül előállíásához a valóságban lezajló folyamaoa részleeben ell megfgyeln. Fel ell árn az összefüggésee és jellemezn ell a vélelen jelenségee. Ez a felada az npuanalízs vagys azon adao elemzése amelye a rendszerbe beérezne. Az elemzéshez elsősorban sasza módszeree alalmazna ülönösen nagy fgyelme szenelve az eloszláso becsléséne. Az uóbb dőben elerjed más vzsgála módszer az adabányásza amelye aor érdemes alalmazn ha a megfgyelés adahalmaz rendívül nagy és valószínűsíheő hogy vszonylag bonyolul nemlneárs összefüggése húzódna meg bennü amelyee célszerű felhasználn a szmulácóban. Az adabányásza elemzése bemuaása sajnos meghaladja az éreezés eree érdemes azonban anny megjegyezn róla hogy a módszeran sznén a meserséges nellgenca algormusa használja; olyan algormusoa mn amelyee a 3. fejezeben muaun be. Az adabányásza alalmazásáról számos önyv áll rendelezésre. Pl.: Bgus [996] Berry Lnoff [000]. Magyar nyelven ld. Benede [999b] bevezeő jellegű cé. 7

Az opcóár szmulácóhoz szüséges npuanalízs elsősorban a részvényárfolyam eloszlásána vzsgálaá jelen. A Benede [999] publácóban lyen ípusú vzsgálao nem végezün mvel a szarodalomban alalmazo normalás feléel elfogadu az alalmazo µ és σ paraméer éréee a szarodalomból veü (Hull [993]). Mos azonban bemuaju hogy hogyan ellene eljárnun eze smeree hányában. Vegyü például a Maáv részvény a Budapes Éréőzsdéről. A.6. ábrán ábrázolju a részvényárfolyamoa (S ) 998. január 7.-ől 000. december 7.-g. A.7. ábrán pedg megvzsgálju a részvényárfolyam növeménye (ln(s / S - )) eloszlásá. 3000 500 000 500 000 500 0 998-0-07 998-05-07 998-09-07 999-0-07 999-05-07 999-09-07 000-0-07 000-05-07 000-09-07.6. ábra: A Maáv árfolyama.7. ábra: Az árfolyamnöveménye eloszlása Első felada az hogy megvzsgálju vajon ényleg normáls eloszlás övene-e az árfolyamnöveménye. Az adaora egy 0.0000475 várhaó éréű és 0.08 szórású Gauss-görbé lleszeün így a eljes négyzees hba 0.00850 vol. Sajnos azonban mnden esz (χ esz Kolgomorov-Szmrnov esz Jarque-Bera esz) eluasíja az adasor normalásá. Enne ellenére ebben a példában fogadju el a normáls eloszlás feléelezésé mvel a szmulácós problémá nem a Maáv részvényre vonaozó opcó számíása céljából vzsgálju hanem elméle szemponból a ranzacós ölség vzsgálaa érdeében. Természeesen ovább fonos eszene ellene még aláven az adaoa (pl.: függelenség homoszedaszcás) amelyeől elenün de még egyszer felhívju a fgyelme eze fonosságára hszen hbás felevése melle hbás öveezeésere juun a szmulácó során. 3 Az llesze eloszlás és a (.5) formula segíségével megállapíhaju µ és σ paraméeree amelye rendre 0.094 és 0.406. Amennyben ez a részvény ívánju felhasználn úgy ovább eloszlásoa ell megpróbáln lleszen eseleg meg lehe aran az emprus eloszlás feléelezésé s. Ebben az eseben magából a hszogramból ell mnavéelezn. A Maáv adasorra végül alacsony szabadságfoú -eloszlás lleszése bzonyul haéonyna (Benede e. al [00]). 3 Sasza vzsgálaohoz ld. pl.: Hunyad Va [99] Móry Széely [986]. 8

Az npuanalízs elvégzése uán öveező felada az hogy hogyan lehe ezee a vélelen sorozaoa újra előállían azaz hogyan örén a vélelenszám generálás. Ez a erüle a szmulácós modellezés egy legnább uao émaöre és gyaorlalag mnden szmulácóval foglalozó anönyv részleesen foglaloz vele. A ovábbaban a vélelenszámo smereésénél Káa [98] és Knuh [987] munára hvaozun. (A módszeran eredménye melle váló öréne és alalmazás áenés alálhaó Knuh [987] másod öeében a Szemnumerus algormusoban.) Vélelenszám-generálásra é módszer áll rendelezésre. Az egy módszer az analóg generáor amor valamlyen perféra vélelen vseledése haározza meg a sorban öveező számo. Ilyen lehe például egy számíógépbe épíe nga amely állandó érése vélelen sorozaoa hozhana lére. Az lyen generáoroal a legnagyobb probléma az hogy leheelen reonsruáln egy orább folyamao. So eseben ugyans szüséges lehe arra hogy ugyanazoal a vélelenszámoal megsméeljün egy-egy ísérlee. A más módszer számelméle alapoon nyugsz. Maemaa módszer segíségével egyenlees eloszlású válozóa generálun majd ezuán eze ranszformálása segíségével juhaun a legülönbözőbb eloszlásohoz. Nézzü például Neumann János álal javasol négyzeözép-módszer. A vélelen soroza úgy épül fel hogy az uolsó számo négyzere ell emeln és enne a özépső jegye alojá a öveező számo. Például négyjegyű számo generálása eseén: V 0 5784 V 0 33454656 V 4546 V 06666 V 666 V 443689 Felmerül azonban a érdés hogy egy algormus álal előre meghaározo éple szern számío számo lehene-e vélelenszerűe. Valójában nem azo vszon úgy vseledne mnha ényleg egyenlees eloszlásúa lennéne. (Ezér ezee a sorozaoa a szarodalom pszeudovélelenne vagy vázvélelenne nevez.) A pszeudovélelen sorozaoal é gond lehe. Az egy hogy clusba erül azaz egy meghaározo soroza uán újból ugyanazoa a számoa generálja ugyanabban a sorrendben. (Például a négyzeözép-módszer eseén nduljun a 379-ből!) Beláhaó hogy a négyzeözép-módszer eszőleges ndulóéré eseén hamar clusba oroll. A más probléma hogy a módszer nem ad olyan számsorozao amely valóban függelen egyenlees eloszlású. A vélelenszám-generáló eljárásoa ehá ebből a é aspeusból ell megvzsgáln. 9

Napjanban a leggyarabban használ egyenlees eloszlás adó numerus vélelenszám-generáor a lneárs ongruenca módszer amelye Lehmer [95] vezee be. Vegyü a öveező sorozao: V ( av c) mod m + + (.7) ahol mnden paraméer nem-negaív egész mégpedg: m : a modulus (maradéos oszó): m > 0 a : az együhaó: m > a 0 c : a növemény: m > c 0 V 0 : a ezdőéré (seed): m > V 0 0 Ez nevezzü lneárs ongruenca-sorozana. Az előállío szám mndg az m-mel örénő oszás maradéa. Például ha m 0 és V 0 a c 7 aor a soroza a öveezőéppen fes: 7 6 9 0 7 6 9 0 Jól láhaó hogy az lyen ípusú megválaszás eseén a soroza egy négy elemből álló clus hoz lére. A lneárs ongruenca-sorozaban alauló clus elemszámá peródushosszna nevezzü. A öveezőben mondun néhány fonos éel:.. Téel: Mnden V + f(v ) eljárással megado orláos sorozanál előbb vagy uóbb clus jelenez. Így nylvánvaló hogy a (.7) eseében s bzosan fellép az smélődés. Kérdés azonban az hogy lehe-e ellően nagyra válaszan a peródushossz anna érdeében hogy ez ne oozzon gondo a vélelen soroza generálásánál. Könnyű belán a öveező éel:.. Téel: A (.7) lneárs ongruenca-soroza maxmáls peródushossza ponosan m. Ha egy lyen soroza peródushossza m aor eljes peródusú (full perod) lneárs ongruenca-sorozana nevezzü. Eze szern számunra olyan paraméere szüségese ahol m érée nagy. So algormus eseében ezér m-e olyan nagyna szoá válaszan mn ameora a számíógép processzorána számábrázolás apacása. (3 bes processzor eseén például m 3 ). A nagy m melle olyan egyéb paraméerválaszás a célszerű hogy a soroza eljes peródusú legyen. Így használju a maxmáls peródus leheősége ovábbá bzosíju hogy mnden egyes szám ponosan egyszer fog előforduln 0 és m özö egy cluson belül. A paraméere helyes megválaszásához a öveező nehéz számelméle éel ell felhasználn. 0

.3. Téel: A (.7) lneárs ongruencasoroza peródushossza ponosan aor m ha:. c relaív prím m-hez. b a öbbszöröse p-ne m mnden p prímoszójára 3. b öbbszöröse 4-ne ha m öbbszöröse 4-ne. A éele bzonyíása megalálhaó Knuh [987] munájában (II / 4 35). Bzonyíás helye nézzün egy példá ahol m 8 ezér p ehá b legyen 4 így a 5 c 3 és nduljun az -ből. Eor a öveező sorozao apju: 0 3 5 4 7 6 0 3 5 4 7 6 A soroza ényleg eljes peródusú a függelen egyenlees eloszlás próbájá azonban algha állná. Ezér rendívül fonos az hogy sasza próbáal megvzsgálju a generál sorozao. A leggyarabban a öveező eszee szoá elvégezn: χ -próba Kolgomorov Szmrnov-próba Gyaorság-próba Soroza-próba Hézag-próba Parícó-próba (póerpróba) Sorozaorrelácó-próba Sperálpróba. A legöbb esz smereése megalálhaó álalános sasza önyveben azonban a orábban öbbször s déze Knuh [987] önyvben ezee megvalósíó erőforrásaaréos algormuso s szerepelne. A ma legnább megbízhaó algormuso megalálhaó Press e al. [99] művében ahonnan a 0 8 peródushosszú ran és a 0 6 peródushosszú ran algormusoa alalmazu a pénzügy szmulácó eseében. Bzonyos szmulácó eseén elépzelheő hogy még a ran vagy a ran algormusonál s hosszabb peródusú vagy gyorsabb eljárásra van szüség. A ma legfrssebb uaáso számos lyen algormus ajánlana amelye álalában már nem zárólag a lneárs ongruenca módszerre épülne. Eddg özgazdaság szmulácón során azonban ezere a módszerre még nem vol szüségün így bemuaásuól elenün. Serül ehá függelen egyenlees eloszlású számsorozaoa generáln számelméle módszere alalmazásával. A szmulácós alalmazásohoz azonban ülönböző eloszlású válozóra lehe szüség. Ezee az eloszlásoa egyenlees eloszlású válozóból ranszformálva észíhejü el leggyarabban a öveező módszeree

alalmazva: dre módszer zárás módszere (accepance-rejecon mehod) onvolúcós módszer és specáls módszere. Dre módszer. Teszőleges θ folyonos valószínűség válozó eseén jelölje F θ θ eloszlásfüggvényé f θ pedg θ sűrűségfüggvényé. A öveező éele vszonylag egyszerűe bzonyíásu a legöbb valószínűségszámíással foglalozó anönyvben megalálhaó. (Rény [973]).4. Téel: Legyen ξ folyonos valószínűség válozó g pedg egy folyonos valós monoon növevő függvény. Legyen ovábbá η g(ξ). Eor: Ebből öveez az alább éel: F ( ) () x F g () x η ξ. (.8).5. Téel: Legyen ξ folyonos valószínűség válozó egyenlees eloszlású a [0] nervallumon F(x) pedg egy eszőleges folyonos eloszlásfüggvény. Eor η F - (ξ) olyan valószínűség válozó amelyne eloszlásfüggvénye F. A éel alapján már láju mér vol fonos az egyenlees eloszlású valószínűség válozó generálása. Enne segíségével bármlyen más eloszlás észíheün feléve hogy smerjü az eloszlás eloszlásfüggvényéne nverzé. Nézzün egy példá az exponencáls eloszlás 4 amelyne az eloszlásfüggvénye a öveező: F () x e x b ha x 0 0 ülönben (.9) Ezér önnyű előállían F nverzé: x F () u bln( u). Sajnos a legöbb eseben nem lyen egyszerű a helyze például a számunra gen fonos normáls eloszlás eseén nem adhaó meg analus formában az eloszlásfüggvény. 5 A folyonos valószínűség válozó eseé megvzsgálu nézzü mlyen leheősége vanna a dszré vélelen válozó előállíására! 4 Az exponencáls eloszlás a sorbanállás és észlegazdálodás modelle enélyes részénél szerepel ezér gen fonos eloszlás. 5 Több program s özelíő függvény segíségével dre módszerrel generál normáls eloszlás. Eze megbízhaósága ülönös eneel az eloszlás szélere gen ülönböző.

.6. Téel: Legyen ξ dszré valószínűség válozó mégpedg: p ( x ) 0... P m m ξ m (.0) Legyen ovábbá: Ezér: S m m p I 0 p [ S S ) 0 S 0. ( S u < S ) P( u I ). m P m m m (.) (.) Eor a öveező eljárással egy u egyenlees eloszlású válozó segíségével ponosan a ξ dszré eloszlású valószínűség válozó generálju: x0 ξ x ha u I ha u I... 0 (.3) Például egy dobóoca dobása rendívül egyszerűen szmulálhaju ha az egyenlees eloszlású u < / 6 aor a ocadobás -es ha / 6 < u < / 6 aor -es sb. A dre módszer uolsó éele megmuaja hogy eszőleges eloszlás generálhaó egyenlees eloszlás segíségével:.7. Téel: Legyen ξ eloszlásfüggvénye F ξ -é pedg F. Tegyü fel ovábbá hogy: () x pf () x + qf () x p + q p q 0 F. (.4) Tegyü fel hogy ξ leheséges érée és rendre p és q valószínűséggel ovábbá ξ függelen ξ és ξ válozóól. Defnálju η-: ξ η ξ ha ξ ha ξ (.5) Eor η eloszlásfüggvénye F ovábbá mvel mnden monoon növevő függvény felbonhaó é monoon növevő függvény összegére úgy hogy az egy folyonos a más pedg dszré (sza ugró) ezér mnden eloszlásfüggvény felírhaó (.4) alaban ahol F folyonos F pedg dszré eloszlásfüggvény. 3

Kzárás módszere. A módszer nevez még Mone-Carlo módszerne s bár ez a neve álalában a hasonló elven műödő numerus negrálásra szoá használn. Az eljárás lényege a öveező. Legyen ado u v egyenlees eloszlású függelen valószínűség válozó a [0] nervallumon. Szerenén elészíen ξ vélelen válozó ahol ξ [a b] sűrűségfüggvénye g és g maxmumérée pedg c <. Transzformálju először u- u - be v- v -be ahol eze rendre egyenlees eloszlásúa az [a b] és a [0 c] nervallumon. Ezuán vzsgálju meg hogy gaz-e a v < g(u ) egyenlőlenség. (Grafusan elépzelve vajon a generál (u v ) pon a sűrűségfüggvény ala vagy fele helyezed el.) Ha gaz (alaa) aor fogadju el ξ u - ha nem aor generáljun újabb u v páros..8. Téel: Az így apo ξ valószínűség válozó ponosan olyan eloszlás öve amelyne sűrűségfüggvénye g ovábbá mnden egyes ξ válozó előállíásához (b-a) c számú függelen egyenlees eloszlású válozóra van szüség. Ezzel a módszerrel é probléma van. A megvalósíáshoz egyrész smern ell g sűrűségfüggvény másrész csa orláos valószínűség válozó udun generáln. Ha például sandard normáls eloszlású valószínűség válozó szerenén észíen aor meg ell haározn az a aromány amelynél sebb lleve nagyobb számoa 0 valószínűséggel generálun. Mvel a sűrűségfüggvény széle nagyon gyorsan onvergálna nullához ezér már a [-3 3] válaszással elég cs hbá véün. 6 (3σ szabály) A.8. ábra segíségével önnyen megérheő a.8. éel. Az ábrán háromszöggel jelölü az elfogado négyzeel az eluasío szám-pároa. Az elfogado szám-páro első oordnáá adjá a normáls eloszlású valószínűség válozóa. v' -3 - - 0 3 u'.8. ábra: Normáls eloszlás generálása a zárás módszerrel 6 Természeesen mnél öbb függelen vélelen válozóra van szüségün annál nagyobb az így elövee hba valószínűsége. A pénzügy szmulácó során a [- ] nervallummal próbálozun. 4

Konvolúcós módszer. So eloszlás udun más eloszláso összegeén generáln. Így észíheün például Erlangen-eloszlás azonos várhaóéréű exponencáls eloszlásoa összegezve. Az egy legegyszerűbb a özpon haáreloszlás segíségével a normáls eloszlás észíése. Ez muaju mos be:.9. Téel: Ado egy y ~ U(0 ) azaz egy egyenlees eloszlású mna a [0] nervallumon. Transzformálju y' ~ U(-αα)-ra azaz y' αy - α. Ezuán n-esével összeadju és sandardzálju őe azaz: ( y + y +... + y n ) n z ahol σ n α σ. 3 (.7) Természeesen z s ndexel azaz mna ponosan anny elemű ahány n-es csoporo lére lehe hozn a függelen egyenlees eloszlású mnából. Eor () y' függelen egyenlees eloszlású a [-αα] nervallumon várhaó érée 0 és szórása σ () z normáls eloszlás öve ha n ar a végelenhez ovábbá () z már egészen cs n éréere s gen jól özelí a sandard normáls eloszlás ülönös eneel az eloszlás özepére. A éel () része rváls a () pedg a özpon haáreloszlás éeléne öveezménye. A () azonban nem rváls és nem alálhaó meg a szarodalomban ezér ez a bzonyíás részleezzü: Bzonyíás: A bzonyíás során az muaju meg hogy z araerszus függvénye gyorsan onvergál a sandard normáls eloszlás araerszus függvényéhez. Először állísu elő y' araerszus függvényé: α x x x α -α ( ) e dx e ( e e ) y ( ) E e α α α α α ( cos( α) + sn( α) cos( α) sn( α) ) α α sn α ( α) (.8) Eor a araerszus függvénye ulajdonsága ma önnyen számíhaju z araerszus függvényé. ezér n z nσ n y 3 α n n y (.9) 5

6 () n n z n n n n 3 3 sn 3 3 sn α α α α Tudju az s hogy a snx Taylor-polnomjána hbaagja rendívül cs a 0 örül ezér alalmazzu ez a özelíés: 6 sn 3 x x x Eor: () 3 e 6 3 6 3 3 6 3 3 n n n n z n n n n n n +! Ez a módszer so generáor alalmazza normáls eloszlású vélelen válozó generálásához. A szarodalom az n esee már megbízhaóna arja. A probléma azonban az hogy ebben az eseben s darab egyenlees eloszlású szám ell mnden egyes normáls eloszlású számhoz ezér az algormusna nagy az dőgénye és hamarabb eljuun a peródushossz végég. Ezér alalmazna egyéb specáls módszeree. Specáls módszere. Számos specáls eljárás alálun ülönböző eloszláso generálására 7 (pl.: Béa-eloszlás Gamma-eloszlás bnomáls eloszlás Possoneloszlás sb.) Mos a normáls eloszlásra muaun egy leheséges eljárás mvel pénzügy szmulácónban ez mplemenálu és a szarodalom s ez a módszer javasolja legöbbször: 7 Az algormuso és bzonyíáso eneében smé Knuh [987] önyvé javasolju. (.0) (.)

.0. Téel: Polármódszer. Generáljun é függelen egyenlees eloszlású valószínűség válozó u -e és u -. Transzformálju őe a [- ] nervallumba majd az így apo (v v ) válozóra vzsgálju meg hogy beleesne-e az orgó örül egységny sugarú örbe. Ha nem azaz S v + v aor újra ell ezdenün az eljárás. Ellenező eseben legyen: x v ln S S x v ln S S (.) Az így apo x és x függelen sandard normáls eloszlású vélelen szám. Bzonyíás: Először s áérün (v v )-ről azo polároordnáára. (A sugár mndg - nél sebb lesz hszen csa ezee fogadu el). Eor v R cosθ és v R snθ ovábbá x ln S cosθ x ln S snθ. Nylván x és x eseében s áérheün eze polárordnáára azaz x Q cosφ és x Q snφ. Ezér gaz hogy θ φ és Q ln S. Q és φ függelen S egyenlees eloszlású [0 )-en θ pedg [0 π)-n. Ebből öveez hogy: 8 Pr Pr Pr Pr Pr q ( Q < q) Pr( ln S < q ) Pr( S > e ) ( Q < q) e q q d ( ) ( e ) q Q < q + dq dq ( φ < ϑ) ϑ π ( ϑ φ < ϑ + dϑ) π. M a valószínűsége anna hogy x < y és x < y? qe q (.3) {( q ϑ ) q cosϑ< y qsnϑ< y } π y e x q e π dx q π dqdϑ y e x π dx ( x + x e ) {( x x ) x < y x < y } dx dx (.4)! 8 A Pr(q < Q) jelölés anna a valószínűségé jelen hogy q < Q. 7

Láhaó az s hogy az eljárás az egységsugarú örön ívül elemee dobja el így a erülearányo ma egy darab normáls eloszlású szám generálása álagosan.7 számú egyenlees eloszlású válozó gényel. Ez az algormus a szarodalomban gasdev néven szerepel. (Press e al. [99]). Eddg mndg csa egydmenzós eloszlásoról beszélün de szüségün lehe valószínűség veorora s ahol az egyes eleme nem függelene. Az lyen ípusú problémára álalában válasz apun a sasza szarodalomból. Példaén nézzü a öbbdmenzós normáls eloszlás mvel pénzügy szmulácó során erre gyaran szüség lehe... Téel: Tegyü fel hogy egy m várhaó éréű C varanca-ovaranca márxszal rendelező n dmenzós normáls eloszlás szerenén generáln. Első lépésén generáljun n darab függelen sandard-normáls eloszlású válozó (x). Eor az y m + Tx ranszformálással ponosan a íván eloszlás állíou elő feléve hogy C TT. Az alfejeze uolsó émája a vélelen everés. Ilyen például a áryalapo megeverése. Közgazdaság szemponból azér nagyon fonos mer a eresés modelle (search models) nagy része az feléelez hogy az egyes szereplő vélelenszerűen alálozna egymással és mnden peródusban mnden aláloz mndenvel. Ehhez a szereplő vélelen everésé ell előállían. Hasonló a probléma aor s ha egy vélelen sorrende ívánun meghaározn. Vegyü a öveező esee: az 00 számoa ell vélelenszerűen megevern úgy hogy egy egyenlees eloszlás generáor áll rendelezésünre. Az egy leheőség az hogy a (.6) éel segíségével az egyenlees eloszlásból az 00 számoa egyforma eséllyel generáló dszré eloszlás észíün. Az első így apo számo esszü a sor elejére. Ezuán újabb számo generálun s ha ez nem egyez meg az előzővel aor a sor másod agjává esszü ellenező eseben újabba generálun. A harmad szám generálásaor már az első eő számmal ell egyezenün a negyednél az első hárommal sb. Ezzel az algormussal vélelen sorrendbe lehe ran a számoa. A gond az hogy megleheősen számíásgényes és pazarló ez az algormus hszen az uolsó eseben már álagosan száz darab vélelen számo ell generáln ahhoz hogy a megfelelő uolsó húzzu. A más algormus amelye a ésőbbe során s gyaran használun ennél jóval gazdaságosabb. A módszer úgy épzelhejü el hogy egy dobozból ápaolju a számoa egy más dobozba. Az elsőben növevő sorrendben vanna a számo -ől 00-g. Kválaszun egy vélelen számo ( és 00 özö) és az annyad eleme áesszü a másod dobozba. Az első dobozban így egy hely üresen marad de beesszü ugyanenne a dobozna a század elemé. A maradé 99-ből megn 8

válaszun egye (ermészeesen eor már csa és 99 özö vélelen számo ell generálnun) és áesszü sb. Ez az algormus nagyságrendeel gyorsabb mn az előző. 9 Ezzel befejezü az npuanalízssel és vélelenszámoal foglalozó alfejezeüne. Még egyszer szerenén felhívn a fgyelme arra hogy az npuanalízs és a vélelen adao helyes generálása rus része a helyes szmulácós modellezésne..6. Modell elészíése (programozás) A programozás émaör rengeeg problémá ve fel. Mlyen programozás nyelve vagy szmulácós örnyezee érdemes használn? Mlyen algormusoa és mlyen programönyváraa lehe alalmazn? Hogyan ell felépíen egy szmulácós programo? Eze a érdése rendívül sofelé ágazna és megválaszolásura a jelen éreezésben nncs leheőség de számos szmulácós ézönyv és szmulácós szofver leírás ad erről részlees leírás ahol a programozás eljárásoa részlees algormusoa s smere. A leggyaorbb szmulácós örnyezee a C és a Pascal nyelve (lleve eze objeumorenál verzó a C++ és a Delph) ovábbá a felhasználóbará szmulácós szofvere mn az Arena a GPSS vagy a Taylor Enerprse Dynamcs lleve a maemaa programcsomago mn a MATLAB a MATHEMATICA vagy a MAPLE. Ado eseben még az Excel s funconálha szmulácós örnyezeén bár eől már egy özepes szmulácó eseében s óva ne. (A szofverválaszás érdéséről ld. még Axelrod [997].) Mvel nncs leheőségün a részleebe bocsáozn ezér Sefon [000] négy rérumá emeljü a szmulácós programozással apcsolaban. Eze: Ponosság (Accuracy) Sebesség (Speed) Rugalmasság (Flexbly) Robuszusság (Robusness). Ponosság. E eneben é gen omoly problémával szembesülün. Egyrész a dszrezálás problémával am abból faad hogy hába beszélün folyonos válozóról ezee a numerus eljáráso nem udjá ezeln. A legöbb problémá álalában a folyonos dő ezelés jelen. Például egy folyonos dfferencálegyenle 9 Az összehasonlíás edvéér 000 számból észíeün vélelen sorrendee és ez összesen 0000 alalommal végezü el. Az eredmény egy Penum III-as processzorral rendelező PC-n a öveező vol: az első algormus álagosan 50 másodperce ve génybe a everésehez a másod összesen másodperce! 9

megoldása során dszrezáln ell az dő. Ez a öveezőéppen ehejü. 0 Induljun az alább ezde éré feladaból: dx f ( x ) d x ( ) x 0 0 (.5) Használju az Euler-módszer anna érdeében hogy dszré dőponoban udju ábrázoln az állapoválozóna: x x ( + d) x() d f ( x ) ( + d) x() + f ( x ) d (.6) Ez pedg áalaíju egy erácóval megado dfferencaegyenleé amelye már numerusan s udun ezeln: x ( + ) x() + f ( x ) (.7) Fgyeljü meg hogy ponosan erről a mennységről beszélün a (.5) egyenleben aor amor /Y- megválaszju. Mnél sebb érée adun enne a mennységne annál sebb a dszrezálás hba. Az gondolhanán hogy a fuás dő rovására ugyan de eszőlegesen ponossá ehejü az eredmény ellően cs válaszással. Ez sajnos nem gaz. A másod omoly numerus probléma ugyans az hogy a számíógép a számoa csa egy bzonyos ponossággal épes ábrázoln (ároln). Egészen ponosan szólva a numerus eljárásonál az asszocaív örvény sérül vagys a lebegőponos armeában nem gaz hogy: ( a + b) + c a + ( b + c) (.8) A eszőleges fnomíással azonban egyre nagyobb ereíés hbá véün hszen egyre öbb számo ell összeadnun ahhoz hogy egy nduló 0 -ból egy megado n -be érezzün. A é hba ehá egymás ellen dolgoz mnél ponosabb a dszrezálásun annál nagyobb hbá véün a ereíés ma és fordíva. Tovább fonos észrevéel hogy ugyan az asszocavás sérül de a ommuavás nem azaz a + b b + a. Enne apcsán számos ovább szabály eljárás és rü 0 A példá Molnár [990] munájából ölcsönözü. A legöbbször úgyneveze lebegőponos ábrázolás alalmazna. Ez az jelen hogy a helyérée száma fx de a zedes pon varábls. Ha például 5 helyéréel gazdálodhaun aor ábrázolhaju 0000-e s és.000-e s de 0000 +.000 000 és nem 000.000. 30