A híres Riemann-sejtés Szakács Nóra Bolyai Intézet, Szegedi Tudományegyetem Egyetemi Tavasz 205. 04. 8.
A Riemann-sejtés története Tartalom A Riemann-sejtés története 2 A n s alakú összegek 3 Komplex számok 4 A Riemann-függvény 5 A Riemann-függvény és a n s 6 A Riemann-sejtés és a prímszámok
A Riemann-sejtés története Bernhard Riemann német matematikus fogalmazta meg 859-ben Bernhard Riemann
A Riemann-sejtés története Bernhard Riemann német matematikus fogalmazta meg 859-ben Hilbert 8. problémájaként egyike a 20. századot meghatározó matematikai kérdéseknek Bernhard Riemann
A Riemann-sejtés története Bernhard Riemann Bernhard Riemann német matematikus fogalmazta meg 859-ben Hilbert 8. problémájaként egyike a 20. századot meghatározó matematikai kérdéseknek A Clay Mathematics Institute 2000-ben egymillió dollárt ajánlott fel az első megoldó(k)nak
A n s alakú összegek Tartalom A Riemann-sejtés története 2 A n s alakú összegek 3 Komplex számok 4 A Riemann-függvény 5 A Riemann-függvény és a n s 6 A Riemann-sejtés és a prímszámok
A n s alakú összegek Tekintsük a következő végtelen összeget: + 4 + 9 + 6 + 25 + 36 +... = n 2
A n s alakú összegek Tekintsük a következő végtelen összeget: + 4 + 9 + 6 + 25 + 36 +... = Öszegezzük az első N tagot: N = 00 esetén.63498 N = 000 esetén.64393 N = 0000 esetén.64483 N = 00000 esetén.64492... n 2
A n s alakú összegek Tekintsük a következő végtelen összeget: + 4 + 9 + 6 + 25 + 36 +... = Öszegezzük az első N tagot: N = 00 esetén.63498 N = 000 esetén.64393 N = 0000 esetén.64483 N = 00000 esetén.64492... Úgy tűnik, hogy a fenti összeg "közelít" egy (.645 körüli) értéket, ezt fogjuk a végtelen összeg eredményének nevezni. n 2
A n s alakú összegek Nem minden végtelen összeg közelít egy számhoz: + + + + +... =
A n s alakú összegek Nem minden végtelen összeg közelít egy számhoz: + + + + +... = + 2 + 3 + 4 + 5 +... = n
A n s alakú összegek Nem minden végtelen összeg közelít egy számhoz: + + + + +... = + 2 + 3 + 4 + 5 +... = n + + +... = ( ) n+ =??? Ezen összegekhez egyelőre nem tudunk értéket rendelni.
A n s alakú összegek Az + 2 s + 3 s + 4 s +... = vizsgálta először. n s típusú összegeket Euler
A n s alakú összegek Az + 2 s + 3 s + 4 s +... = n s vizsgálta először. Megmutatta, hogy: n = π2 2 6 n 4 = π4 90 típusú összegeket Euler
A n s alakú összegek Az + 2 s + 3 s + 4 s +... = n s vizsgálta először. Megmutatta, hogy: n = π2 2 6 n 4 = π4 90 típusú összegeket Euler Azt is észrevette, hogy köze van a prímszámokhoz: ( ) ( ) ( ) ( ) n = s + 2 s + 3 s + 5 s + 7 s
A n s alakú összegek Az + 2 s + 3 s + 4 s +... = n s vizsgálta először. Megmutatta, hogy: n = π2 2 6 n 4 = π4 90 típusú összegeket Euler Azt is észrevette, hogy köze van a prímszámokhoz: ( ) ( ) ( ) ( ) n = s + 2 s + 3 s + 5 s + 7 s Egyelőre azonban csak s > esetén definiált terjeszti ki ezt a definíciót.. Riemann n s
Komplex számok Tartalom A Riemann-sejtés története 2 A n s alakú összegek 3 Komplex számok 4 A Riemann-függvény 5 A Riemann-függvény és a n s 6 A Riemann-sejtés és a prímszámok
Komplex számok A valós számok hiányossága: negatív számból nem lehet gyököt vonni. A megoldás: "új" szám, jele: i.
Komplex számok A valós számok hiányossága: negatív számból nem lehet gyököt vonni. A megoldás: "új" szám, jele: i. Pl. 3 = 3 = 3i
Komplex számok A valós számok hiányossága: negatív számból nem lehet gyököt vonni. A megoldás: "új" szám, jele: i. Pl. 3 = 3 = 3i Komplex számok: a + bi alakú számok, ahol a, b tetszőleges valósak. (Pl. 3 2i, 2 + 3i, 4i, 42, stb.)
Komplex számok A valós számok hiányossága: negatív számból nem lehet gyököt vonni. A megoldás: "új" szám, jele: i. Pl. 3 = 3 = 3i Komplex számok: a + bi alakú számok, ahol a, b tetszőleges valósak. (Pl. 3 2i, 2 + 3i, 4i, 42, stb.) Számolás: i 2 = szabállyal 4i (3 2i) = 2i + 8i 2 = 8 2i
Komplex számok Ábrázolás: számegyenes helyett számsíkon
A Riemann-függvény Tartalom A Riemann-sejtés története 2 A n s alakú összegek 3 Komplex számok 4 A Riemann-függvény 5 A Riemann-függvény és a n s 6 A Riemann-sejtés és a prímszámok
A híres Riemann-sejtés A Riemann-függvény A Z (s) = P ns bármely s > valós szám esetén értelmezett,
A híres Riemann-sejtés A Riemann-függvény A Z (s) = P ns bármely s > valós szám esetén értelmezett, sőt, bármely olyan s = a + bi esetén is, melyre a >.
A Riemann-függvény A Z(s) = n s bármely s > valós szám esetén értelmezett, sőt, bármely olyan s = a + bi esetén is, melyre a >. Riemann kiterjeszti úgy, hogy a kapott grafikon minél "simább" legyen
A Riemann-függvény A Z(s) = n s bármely s > valós szám esetén értelmezett, sőt, bármely olyan s = a + bi esetén is, melyre a >. Riemann kiterjeszti úgy, hogy a kapott grafikon minél "simább" legyen: megszületik a ζ(s) Riemann-függvény, bármely s esetén értelmezett.
A Riemann-függvény
A Riemann-függvény A Riemann-sejtés fő kérdése: mely s-re lesz ζ(s) = 0?
A Riemann-függvény A Riemann-sejtés fő kérdése: mely s-re lesz ζ(s) = 0? Triviális zéróhelyek: negatív, páros egészek Riemann-sejtés: a többi zéróhely + bi alakú 2
A Riemann-függvény A Riemann-sejtés fő kérdése: mely s-re lesz ζ(s) = 0? Triviális zéróhelyek: negatív, páros egészek Riemann-sejtés: a többi zéróhely + bi alakú 2
A Riemann-függvény Az ún. kritikus egyenes környezete (0 < a <, 30 < b < 30):
A Riemann-függvény Az ún. kritikus egyenes környezete (0 < a <, 30 < b < 30): Ismert, hogy minden nemtriviális zéróhely a 0 < a < kritikus sávba esik.
A Riemann-függvény és a n s Tartalom A Riemann-sejtés története 2 A n s alakú összegek 3 Komplex számok 4 A Riemann-függvény 5 A Riemann-függvény és a n s 6 A Riemann-sejtés és a prímszámok
A Riemann-függvény és a n s Amikor Z(s) = n s értelmezett, akkor ζ(s) = Z(s).
A Riemann-függvény és a n s Amikor Z(s) = n s értelmezett, akkor ζ(s) = Z(s). És amikor nem? Pl. s = esetén ζ( ) =. Lehet, hogy 2 = + 2 + 3 + 4 + 5 +... =? n 2
A Riemann-függvény és a n s Amikor Z(s) = n s értelmezett, akkor ζ(s) = Z(s). És amikor nem? Pl. s = esetén ζ( ) =. Lehet, hogy 2 = + 2 + 3 + 4 + 5 +... =? n 2 Tegyük fel, hogy értéket adtunk az + 2 + 3 + 4 + 5 +... végtelen összegnek: S =? S = + 2 + 3 + 4 + 5 +...
A Riemann-függvény és a n s Egy segédszámítás: S = + + +...
A Riemann-függvény és a n s Egy segédszámítás: S = + + +... S = + + +...
A Riemann-függvény és a n s Egy segédszámítás: S = + + +... S = + + +... S = S
A Riemann-függvény és a n s Egy segédszámítás: S = + + +... S = + + +... S = S = 2S =
A Riemann-függvény és a n s Egy segédszámítás: S = + + +... S = + + +... S = S = 2S = = S = 2
A Riemann-függvény és a n s És egy másik: S 2 = 2 + 3 4 + 5...
A Riemann-függvény és a n s És egy másik: S 2 = 2 + 3 4 + 5... S 2 = 2 + 3 4 +...
A Riemann-függvény és a n s És egy másik: S 2 = 2 + 3 4 + 5... + S 2 = 2 + 3 4 +...
A Riemann-függvény és a n s És egy másik: S 2 = 2 + 3 4 + 5... + S 2 = 2 + 3 4 +... 2S 2 = + +...
A Riemann-függvény és a n s És egy másik: S 2 = 2 + 3 4 + 5... + S 2 = 2 + 3 4 +... 2S 2 = + +... = 2
A Riemann-függvény és a n s És egy másik: S 2 = 2 + 3 4 + 5... + S 2 = 2 + 3 4 +... 2S 2 = + +... = 2 = S 2 = 4
A Riemann-függvény és a n s Következhet S: S = + 2 + 3 + 4 + 5 + 6...
A Riemann-függvény és a n s Következhet S: S = + 2 + 3 + 4 + 5 + 6... S 2 = + 2 3 + 4 5 + 6...
A Riemann-függvény és a n s Következhet S: S = + 2 + 3 + 4 + 5 + 6... S 2 = + 2 3 + 4 5 + 6... S S 2 = 0 + 4 + 0 + 8 + 0 + 2 +...
A Riemann-függvény és a n s Következhet S: S = + 2 + 3 + 4 + 5 + 6... S 2 = + 2 3 + 4 5 + 6... S S 2 = 0 + 4 + 0 + 8 + 0 + 2 +... = 4( + 2 + 3 + 4 +...)
A Riemann-függvény és a n s Következhet S: S = + 2 + 3 + 4 + 5 + 6... S 2 = + 2 3 + 4 5 + 6... S S 2 = 0 + 4 + 0 + 8 + 0 + 2 +... = 4( + 2 + 3 + 4 +...) = 4S 4S = S S 2
A Riemann-függvény és a n s Következhet S: S = + 2 + 3 + 4 + 5 + 6... S 2 = + 2 3 + 4 5 + 6... S S 2 = 0 + 4 + 0 + 8 + 0 + 2 +... = 4( + 2 + 3 + 4 +...) = 4S 4S = S S 2 = 3S = S 2
A Riemann-függvény és a n s Következhet S: S = + 2 + 3 + 4 + 5 + 6... S 2 = + 2 3 + 4 5 + 6... S S 2 = 0 + 4 + 0 + 8 + 0 + 2 +... = 4( + 2 + 3 + 4 +...) = 4S 4S = S S 2 = 3S = S 2 = S = S 2 3 = 2
A Riemann-függvény és a n s Következhet S: S = + 2 + 3 + 4 + 5 + 6... S 2 = + 2 3 + 4 5 + 6... S S 2 = 0 + 4 + 0 + 8 + 0 + 2 +... = 4( + 2 + 3 + 4 +...) = 4S Azaz 4S = S S 2 = 3S = S 2 = S = S 2 3 = 2 n = + 2 + 3 + 4 + 5 +... = 2 "valóban"!
A Riemann-sejtés és a prímszámok Tartalom A Riemann-sejtés története 2 A n s alakú összegek 3 Komplex számok 4 A Riemann-függvény 5 A Riemann-függvény és a n s 6 A Riemann-sejtés és a prímszámok
A Riemann-sejtés és a prímszámok Kérdés a prímekről: (Gauss) Hány prímszám van 000-ig? És 0000-ig? 00000-ig? n-ig?
A Riemann-sejtés és a prímszámok Kérdés a prímekről: (Gauss) Hány prímszám van 000-ig? És 0000-ig? 00000-ig? n-ig? π(n) := n-nél nem nagyobb prímek száma. π(000) = 68, π(0000) = 229, π(00000) = 9592.
A Riemann-sejtés és a prímszámok Kérdés a prímekről: (Gauss) Hány prímszám van 000-ig? És 0000-ig? 00000-ig? n-ig? π(n) := n-nél nem nagyobb prímek száma. π(000) = 68, π(0000) = 229, π(00000) = 9592. Képlet nincsen π(n)-re, de tudjuk becsülni: π(n) n 2 ln t dt
A Riemann-sejtés és a prímszámok π(n) vs n 2 dt : ln t 50 00 50 ææ æææææ ææ ææææ ææææææææææææææ æææææææææææææææ æææ ææææææ ææ ææææææææææææææææææææææææææææææ æææ æææ æææææ æ ææææ æ 200 400 600 800
A Riemann-sejtés és a prímszámok π(n) vs n 2 dt : ln t 50 00 50 ææ æææææ ææ ææææ ææææææææææææææ æææææææææææææææ æææ ææææææ ææ ææææææææææææææææææææææææææææææ æææ æææ æææææ æ ææææ æ 200 400 600 800 "Kis" n-ekre nem túl nagy az eltérés. Ha Riemann-sejtés igaz, akkor soha nem túl nagy.
A Riemann-sejtés és a prímszámok Ha a Riemann-sejtés igaz, akkor π(n) és n 2 dt eltérése ln t legfeljebb nagyságrendileg n ln n. (Koch, 90)
A Riemann-sejtés és a prímszámok Ha a Riemann-sejtés igaz, akkor π(n) és n 2 dt eltérése ln t legfeljebb nagyságrendileg n ln n. (Koch, 90) n 2657 esetén legfeljebb n ln n 8π +. (Schoenfeld, 976)
A Riemann-sejtés és a prímszámok Ha a Riemann-sejtés igaz, akkor π(n) és n 2 dt eltérése ln t legfeljebb nagyságrendileg n ln n. (Koch, 90) n 2657 esetén legfeljebb n ln n 8π +. (Schoenfeld, 976) Hány prím van 0 20 -ig?
A Riemann-sejtés és a prímszámok Ha a Riemann-sejtés igaz, akkor π(n) és n 2 dt eltérése ln t legfeljebb nagyságrendileg n ln n. (Koch, 90) n 2657 esetén legfeljebb n ln n 8π +. (Schoenfeld, 976) Hány prím van 0 20 -ig? 0 20 2 dt = 222089602783664640 = 2.22082 08 ln t
A Riemann-sejtés és a prímszámok Ha a Riemann-sejtés igaz, akkor π(n) és n 2 dt eltérése ln t legfeljebb nagyságrendileg n ln n. (Koch, 90) n 2657 esetén legfeljebb n ln n 8π +. (Schoenfeld, 976) Hány prím van 0 20 -ig? 0 20 2 dt = 222089602783664640 = 2.22082 08 ln t Ha a Riemann-sejtés igaz, akkor a fenti közelítés hibája legfeljebb 0 20 ln 0 20 + = 80844603.39, azaz 8π
A Riemann-sejtés és a prímszámok Ha a Riemann-sejtés igaz, akkor π(n) és n 2 dt eltérése ln t legfeljebb nagyságrendileg n ln n. (Koch, 90) n 2657 esetén legfeljebb n ln n 8π +. (Schoenfeld, 976) Hány prím van 0 20 -ig? 0 20 2 dt = 222089602783664640 = 2.22082 08 ln t Ha a Riemann-sejtés igaz, akkor a fenti közelítés hibája legfeljebb 0 20 ln 0 20 + = 80844603.39, azaz 8π 22208942939054329 π(0 20 ) 22208978362827495
A Riemann-sejtés és a prímszámok Köszönöm a figyelmet!