app Feren h.d., Dr.habil Elozdulá-ódzer a érnöi gyaorlatban Tartózerezete tatiáa I. tantárgy előadáait iegézítő anyag ülönlege érdelődéű hallgató záára Győr 04
. A nyoott rúdele erevége. A ereven befogott rúdele.. Az elfordítái erevég Határozzu eg a a ábrán látható ereven befogott nyoott-halított rugala rúdele elfordítái erevégét, ha a rúdele ereztetzete (A, ) é a rúdelere ható nyoóerő állandó. A rúdele ét végét elölü é betűel. egyen a rúd végéne elfordítáa (befogáal együtt). Az elfordítához az állandó nyoóerő ellett é rúdvégi nyoaté é nyíróerő tartozi. Határozzu eg a rúdvégi elfordítához tartozó é nyoatéoat é a nyíróerőt! a) z x b) z x w x w. ábra. A nyoott-halított rúdele elfordítái erevégéne eghatározáa: a) odell; b) egyenúlyi feltétel. A feladat egoldáa érdeében helyezzü a rúdeleet az (x;z) oordináta rendzerbe. egyen ww(x) a eggörbült rúd z irányú elozduláát (görbe alaát) leíró függvény. Íru fel a rúdele egyenúlyi egyenletét az x oordináta által eghatározott pontra (b ábra): w w x 0 () A () egyenletben w a rúd görbületéből zárazó belő nyoaté. A nyíróerő iert, ert ifeezhető a ülő nyoatéi egyenúlyi feltételből: () Ozu el -vel a () egyenletet, haználu fel a () ifeezét, é vezeü be a κ paraétert: w κ w x () A () hiányo inhoogén differeniálegyenlet egoldáa iert:
AB BA AB w A in( κ x) B o( κ x) x (4) A (4) egyenletben az A é B állandó, valaint az é rúdvégi nyoatéo az ieretlene. A négy ieretlen a övetező négy független perefeltételből eghatározható: a) x0 w(0)0 Behelyetteíté é rendezé után: b) x w()0 Behelyetteíté é rendezé után: B (5a) 0 A in A ( κ ) o( κ ) o in ) x w ()0 (zéru rúdvégi lefordulá) ( κ ) ( κ ) in( κ ) Behelyetteíté é rendezé után: w ( ) Aκ o( κ) B κ in( κ) 0 Az A é B állandó a (5a) é (5b) alapán iert. egyen a rúdvégi nyoatéo aránya: ahol α in( α ) ( α ) α o( α ) (5b) (5) in E κ π α ρ E π d) x0 w (0) (iert rúdvégi lefordulá) ρ Behelyetteíté é rendezé után: w (0 ) A κ Feezzü i az rúdvégi nyoatéot a rúdvégi elfordítá függvényében: ahol α ( α ot( α )) tanα α A (5a-d) éplete alapán a övetező egállapítáoat tehetü: (5d)
A ereven befogott rúdele végéne elfordítáához állandó nyoóerő ellett az alábbi rúdvégi nyoatéra van züég (a ábra): A ifeezében az elfordítái tabilitái függvény: E ( α ot( α )) α tanα α Az α paraéter ifeezhető a ρ falago nyoóerővel: π α ρ ρ π E Továbbá: A rúd befogott végén az alábbi rúdvégi nyoaté eletezi: A ifeezében a nyoaté átviteli tabilitái függvény: in α in( α ) ( α ) α o( α ) A fenti özefüggée egértéét az alábbi ézrevétele alapo átgondoláa nagyértében egönnyítheti: Ha 0, aor 4 é 0,5, ai az elei tatia (előrendű elélet) iert özefüggéeire vezet: 4 6 Ha ρ,04, aor 0 é, azaz a rúdele ritiu állapotban van, ahol a ritiu erő: π r ρ E ρ A ρ falago nyoóerő é a υ ihalái hoz özött az alábbi apolat áll fenn: υ ρ Ha ρ,04 (lád az előző pontot), aor υ0,7, ai az egyi végén ereven befogott, a ái végén zabadon elforduló rúdele iert ihalái hoza.
Aennyiben a erő húzóerő, a fenti gondolatenethez haonlóan levezethetü az é tabilitái függvénye egfelelő épleteit, aelyeben az α paraéter hiperboliu függvényei zerepelne (HORN.R. - ERCHANT W. 965). A érnöi zelélet oldaláról eleezve az eredényeet iondhatu, hogy a rúdelere űödő nyoóerő öenti, a húzóerő pedig növeli a rúdvégi elfordítái erevéget. élda Határozzu eg az alábbi ábrán vázolt rúdzerezet r ritiu terhét! A rúdelee végei befogotta, a zerezet aropontában a rúdvége ereven apolódna egyához (erev eretaro). r? Kereztetzet: HEA 00 Anyaginőég: S5 Rúdhoz: 6,0 Haználu a ereven befogott rúdele előzőeben eghatározott elfordítái erevégét! Tételezzü fel, hogy a ruda özenyoódáa elhanyagolható, é így a eretaro a elfordulni tud. A ét rúd elfordítái erevége a eretaroban özegződi, így a eretaro elfordítáához züége ext ülő nyoaté az alábbi forában írható fel: ( ) ext,, Kritiu állapotban a eretaro elfordítáához ext 0 nyoatéra van züég, ezért ( ) 0 ivel a odell ihalott állapotában 0, ezért 0 Az elű rúdban a ihalá pillanatában ne ébred norálerő, ezért 4, é így a ritiu állapot feltétele: 4 A elű rúdban a ihalá pillanatában a nyoóerő egyenlő a ülő erővel, ezért ereü a erő azon értéét, aelynél a (-5d) zerinti tabilitáfüggvény -4 értéet vez fel: ρ r,877-4 A elű rúd Euler-féle ritiu eree: 6 ; E A ritiu erő: π E I E, 0 8 5N r ρ r E N ; 64N I, 708 0 Az ábra a zerezet ihalott alaát utata. 5 4
.. Eltolái erevég Határozzu eg a a ábrán látható ereven befogott nyoott-halított rugala rúdele eltolái (ilengéi) erevégét. Jelöle δ a rúdvég z irányú elozduláát, iözben a rúdvég ne fordul el. A feladat egoldáához ne züége felírni az egyenúlyi differeniálegyenletet, ert vizonylag i elozduláoat feltételezve (inα α; oα ) a probléa vizavezethető a ár iert elfordulái erevégre (ld. a.. zaazt). A b ábra zerint az eltolt végű rúdele úgy teinthető, int a ét végén ϕδ/ zöggel elfordított rúdele, ahol a rúdvégi erő egváltozáát elhanyagolu. δ a) z ϕ δ/ x b) ϕ ϕ. ábra. A nyoott-halított rúdele ilengéi erevégéne eghatározáa: a) odell; b) özelítő feltevé. A egoldá érdeében íru fel a globáli nyoatéi egyenúlyi egyenletet a rúdvégre: δ 0 (6) Íru fel a rúdvégi nyoatéoat a -b ábra é a... zaaz alapán: ivel δ/, ezért ( ) δ (8) A nyíróerőt feezzü i a (6) egyenúlyi egyenletből: δ (9) Haználu fel, hogy π ρ E ρ (0) é így a (9) az alábbi alaban írható: [ ( ) π ρ] δ () (7)
ezeü be az alábbi tabilitái függvényt: ( ) ( ) π ρ Feezzü i a nyíróerőt a () függvény egítégével: () ( ) δ () A (8) é () éplete alapán a övetező egállapítáoat tehetü: A ereven befogott rúdele végéne δ eltoláához állandó nyoóerő ellett az alábbi rúdvégi nyoatéo tartozna (a ábra): ( ) δ (4) A ifeezében é függvénye egfelelne a a ábra zerinti feladatna. A rúdvég δ eltoláához az alábbi nyíróerő tarozi: ( ) δ (5) A ifeezében tabilitái függvény az alábbi alaban írható: ( ) (6) π ( ) ρ A fenti özefüggée egértéét az alábbi ézrevétele alapo átgondoláa nagyértében egönnyítheti: Ha 0, aor 4, 0.5 é, ai az elei tatia (előrendű elélet) iert özefüggéeire vezet: 6 δ δ Ha ρ,0, aor,467,, é a falago eltolái erevég zéruá váli, ai a rúdele ritiu állapotát elenti. A ritiu nyoóerő: ( ) 0 é r π A ρ falago nyoóerő é a υ ihalái hoz özötti iert özefüggé alapán a ereven befogott ilengő rúdele ihalái hoza: υ,0 ρ
élda Határozzu eg az alábbi ábrán vázolt rúdzerezet r ritiu terhét! A függőlege ozlopo aló végei befogotta, a felő végeet végtelen erev gerenda öti öze. Az ozlopo ereven ötne be a gerendába. r? / Kereztetzet: HEA 00 Anyaginőég: S5 Rúdhoz: 6,0 ivel a ét befogott ozlopot a gerenda ereven öti öze, a ét ozlop vízzinte irányban együtt tolódi el. Tételezzü fel, hogy az ozlopo özenyoódáa elhanyagolható. Haználu fel a rúdele előzőeben eghatározott eltolái erevégét. A gerenda vízzinte δ eltoláához az alábbi H ext ülő erőre van züég: ( ) ( ) H δ ext Kritiu állapotban az eltolához H ext 0 erőre van züég, így ( ) ( ) 8 0 A elű ozlopban a ihalá pillanatában ne ébred nyoóerő, ezért 4, 0,5 é, é így a ritiu állapot feltétele: ( ) 0, 75 ivel a elű ozlopban a ihalá pillanatában a nyoóerő egyenlő a ülő erővel, ezért ereü a erő azon értéét, aelynél teleül a fenti egyenlet. A egoldá: ρ r, A elű ozlop Euler-féle ritiu eree: ; E A ritiu erő: π E I E, 0 8 N ; 8.540N r ρ r E 9.590N I, 708 0 Az ábra a zerezet ihalott alaát utata. 5 4
. Különlege ialaítáú rúdelee erevége A. zaazban ereven befogott rúdelee erevégét határoztu eg áodrendű elélet alapán. Az irodaloból záo olyan eredény iert, aely a tabilitáfüggvényeet ülönlege perefeltételere, terhere é rúdentén változó ereztetzetre terezti i. Ebben a zaazban ezeből a ülönlege eeteből utatun be néhányat. Hangúlyozzu, hogy a odern záítógépe é végeelee analízi prograo elteredéével ezen ierete gyaorlati elentőége nagyban öent, de didatiai zepontból fontona tartu a rövid iertetéüet. Az itt egiert gondolato, ódzertani eggondoláo elentően egítheti a érnöi gondolodá é a tatiui ézég felődéét.. A uló végű rúdele erevége Előzör határozzu eg a ábrán látható uló végű nyoott-halított rugala rúdele elfordítái erevégét, ha a rúdele ereztetzete (A, ) é a rúdelere ható nyoóerő állandó. Fordítu el a rúd végét (befogáal együtt) -vel. Az elfordítához állandó nyoóerő ellett rúdvégi nyoaté é nyíróerő tartozi. Határozzu eg a rúdvégi elfordítához tatozó nyoatéot é nyíróerőt! z x. ábra. A uló végű nyoott-halított rúdele elfordítái erevégéne eghatározáa. A feladat egoldáához ne züége a ábrán vázolt odellre felírni az egyenúlyi differeniálegyenletet, ahogy azt a a ábrán vázolt eetben tettü. Elegendő felhaználni az eddig levezetett tabilitái függvényeet. Íru fel a rúdvégi nyoatéoat az eddigi ieretein alapán: (7) 0 (8) A (8) egyenletből az alábbi özefüggét apu: A (9) ifeezét haználu fel a (7) egyenletben: (9) ( ) " (0) A (0) alapán a uló végű rúdele elfordítái erevégéne falago értéét egadó tabilitáfüggvényhez utun: " () ( ) A nyíróerő a globáli egyenúlyi feltételből adódi:
" () ot határozzu eg a uló végű rúdele eltolái erevégét (4 ábra). z ϕδ/ δ x 4. ábra. A uló végű nyoott-halított rúdele eltolái erevégéne eghatározáa. Íru fel a rúdvégi nyoatéoat az eddigi ieretein alapán: 0 ϕ δ A nyíróerő a rúdele globáli nyoatéi egyenúlyából ifeezhető: δ 0 ( δ ) (4) π ivel ρ E ρ, ezért. Egyéb ülönlege eete ( π ρ) δ () π " δ ρ δ (5) izgálu az 5 ábrán látható rugalaan befogott nyoott-halított rugala rúdele erevégét. A rúdele végein épzelün el egy-egy lineárian rugala nyoatéi ulót. A uló a rúdele rézei, a rúdele oópontai a ulóon túl helyezedne el. C 5. ábra. A rugalaan befogott nyoott-halított rúdele erevégéne eghatározáa. C
egyen é a é a rúdvége elfordítáa. A rugala ulóban létreövő relatív elfordulá iatt a uló ögötti rúdvége elforduláa é. A uló ögötti rúdvége nyoatéai felírhatóa az eddig egiert tabilitái függvényeel é erevégi ifeezéeel: (6) (7) A (6) é (7) rúdvégi nyoatéo felírhatóa a uló rugala arateriztiáával i: ( ) (8) ( ) (9) A (8) é (9) ifeezéeben C / é C /, ahol C é C a [N/rad] dienzióú rugóállandó. Az (6)-(9) egyenletrendzerből a rúdvégi nyoatéo ifeezhetőe: ) ( (0) ) ( () A (0) é () ifeezéeben a vezővel elzett ódoított tabilitáfüggvénye a levezeté ellőzéével a övetező: ( ) β () ( ) β () ( ) ( ) β (4) A fenti ifeezéeben a β paraéter a övetező: ( ) β (5) A zairodaloból további ülönlege eetere vonatozó egoldáo i ierte. Eredeti angol nyelvű zairodalona teinthető Horn é erhant zerzőpáro híre önyve (HORN.R. ERCHANT W. 965). Több agyar nyelvű zairodalo i özefoglala az iert eeteet (pl. IÁNYI. 995; HAÁSZ O. - IÁNYI. 00). A legfontoabb ülönlege eete a övetező: erev végű rúdele: a odell figyelebe vezi a rúdele g é g hozú végeine töélete erevégét, ai például oóleez vagy iéelé odellezéét tezi lehetővé. Képléeny oópontú rúdele: a odell figyelebe vezi a rúdele végein eetlegeen ialauló erev-épléeny ulót; a odellne a épléeny alapú tervezénél alalazott eláráonál lehet elentőége (például ilyen a földrengévizgálatnál alalazott puh-over elárá). g g
g g Kereztirányú egozló teherrel terhelt rúdele: a odellre levezetett tabilitáfüggvénye alalazáa eetén ne ell a rúdeleet rézere bontani, é így ne növezi az ieretlene (zabadágfoo) záa. áltozó ereztetzetű rúdele: a halító nyoaté változáát övető változó gerinagaágú rúdele alalazáával elerülhető a rézere (pl. állandó agaágú zegenere) bontá, ai elentően öenti a odell zabadágfoát. A ülönlege eetere levezetett egoldáo előorban a ézi záítá pontoágána növeléét, illetve a ézi é gépi záítá apaitá igényéne inializáláát zolgáltá. A ülönlege eete alalazáával a zerezeti odelle zabadágfoa (ieretlen elozduláo záa) elentően öenthető volt. A ai orzerű záítógépe é prograo alalazáával a zabadágfoo záána ényzerű öentée ár ne érvadó. Ugyanaor, a fenti odellene a ézi ellenőrző záítáoban továbbra i elentő zerepe lehet. élda Határozzu eg a példában látható odell r ritiu terhét, ha a rúdelee végei rugalaan befogotta! r? C Kereztetzet: HEA 00 Anyaginőég: S5 Rúdhoz: 6,0 Rugala befogá: C5000 N/rad C A ét rúd elfordítái erevége a eretaroban özegződi, így a eretaro elfordítáához züége ext ülő nyoaté az alábbi forában írható fel: ( ) ext,, Kritiu állapotban a eretaro elfordítáához ext 0 nyoatéra van züég, ezért ( ) 0
A odell ihalott állapotában 0, ezért 0 Az elű rúdban a ihalá pillanatában ne ébred norálerő, ezért 4 é 0,5. A eretaroba a rúdvég ereven öt be, ezért C. A (-9) zerint,49, így a ritiu állapot feltétele:,49 A elű rúdban a ihalá pillanatában a nyoóerő egyenlő a ülő erővel, ezért ereü a erő azon értéét, aelynél a (9) zerinti tabilitáfüggvény -,49 értéet vez fel: ρ r,059 -,49 A elű rúd Euler-féle ritiu eree: 6 ; E A ritiu erő: π E I E, 0 8 5N r ρ r E N ; 496N I, 708 0 Az ábra a zerezet ihalott alaát utata. A ihalái alaot érdee özevetni a élda eetén apott alaal, ahol a ruda ereven befogotta volta. 5 4. Az özetett zerezete tabilitávizgálata A tabilitáfüggvényeel özetett zerezete i vizgálhatóa. Ehhez élzerű az elozdulá-ódzerne nevezett ehaniai ódzer é a átrix-ódzerne nevezett ateatiai ódzer obináióából álló elárá alalazáa. Az elárára a továbbiaban az elozdulá-ódzer egnevezét alalazzu. Az elozdulá-ódzer alalazáána lényege, hogy a zerezetet rúdeleere bontu, ahol az egye rúdelee erevége iert. éldául íbeli zerezeti odelle eetében alalazhatu a. é. zaazoban eghatározott tabilitáfüggvényeet, de alalazhatun á elven alapuló íbeli vagy térbeli rúd végeeleeet i. A továbbiaban a tabilitáfüggvényeel leírt rúdelee alalazáára zorítozun... A zabadágfoo eghatározáa Aennyiben a rúdeleere oztott zerezet inden egye rúdele egfelel egy olyan rúdelene, aelyne erevége iert, aor eghatározhatu a odell zabadágfoát (azaz az ieretlen elozduláoat). Az elozduláo eghatározáánál alapvetően ét ódzert övethetün: gépi ódzer; ézi ódzer. A továbbiaban a a ézi ódzerrel foglalozun, ert vizgálatainat a egyzerű, ézzel i végrehatható záítáora ívánu orlátozni. Indulun i abból, hogy a zerezeti odell i elű pontána a globáli (X;Z) íban beövetező elozduláát a 6 ábra zerint háro független elozdulá oponen (zabadágfo; angolul: degree of freedo, a továbbiaban DOF) íra le. Eze rendre az u i é w i globáli irányú elozduláo, é a i elfordulá (DOF). Aennyiben a odell oópontaina záa n, aor a odell
zabadágfoaina záa DOFn. Ez azt elenti, hogy ég a legegyzerűbb odelle eetén i elentő záú zabadágfoal ellene dolgoznun. A zabadágfoo záa általában elentően öenthető, ha élün az alábbi lehetőégeel: a rúdelee özenyoódáána elhanyagoláából övetezően a egfelelő zabadágfoo özevonáa; zéru elozduláú zabadágfoo izáráa; zietriából övetezően a egfelelő zabadágfoo özevonáa. Z w i i i u i X 6. ábra. Coópont zabadágfoai (DOF). A -7 ábra néhány zerezeti odell ézi záítához felvehető zabadágfoait utata. A zabadágfoo eghatározáánál éltün a fent felorolt egyzerűítéi lehetőégeel. u u DOF DOF DOF DOF u u 4 u 4 u DOF DOF6 DOF4 6. ábra. éldá a ézi záítához felvehető zabadágfoo eghatározáára.
. A globáli egyenúlyi egyenletrendzer özeállítáa Az elozdulá-ódzer alalazáa általánoágban az alábbi alaú globáli egyenúlyi átrixegyenletre vezet: K U F (6) A (6) egyenletben U az ieretlen elozduláo vetora, aelyne érete egegyezi a odell zabadágfoaina záával ( DOF), F a tehervetor, aelyne érete azono az U vetor éretével, továbbá K a erevégi átrix. A erevégi átrix négyzete, é érete zintén egegyezi a zabadágfoo záával. A erevégi átrix eleeit a egfelelő rúdelee erevégeiből állítu öze. A () átrixegyenlet inden ora egy egyenúlyi egyenletet elent, ahol az adott egyenlet ehaniai tartalát az U elozdulá vetor egfelelő eleéne ehaniai tartala határozza eg. Aennyiben az elozdulá eltolódá (u), aor az egyenlet erőegyenúlyi egyenlet, aennyiben az elozdulá elfordulá, aor az egyenlet nyoatéi egyenúlyi egyenlet. A (6) egyenúlyi átrixegyenlet felíráát egy onrét példán ereztül utatu be. Teintü a 7 ábrán látható zerezeti odellt, ahol feltüntettü a. zaaz alapán felvett zabadágfooat. α H u DOF 7. ábra. A háro zabadágfoú rúdzerezeti odell. Előzör állítu öze az U elozdulá vetort. Ehhez rendezzü orba a háro zabadágfoona egfelelő ieretlen elozdulá oponent (a orrend tetzőlege): U (7) u A (7) elozdulá vetorna egfelelő tehervetor: 0 F 0 F H u A (8) tehervetorban é az é a elű oópontoban ható (elen eetben zéru értéű) ülő nyoatéo, F u az u elozdulá oponen irányában ható ülő erő, elen eetben H. ivel a odell zabadágfoai özött ne zerepelne a oóponto függőlege elozduláai (az ozlopo özenyoódá elhanyagolható), a é erő ne zerepelne a tehervetorban. (8)
A K erevégi átrix felíráa ár nagyobb rutint igényel. Az elárá egértée érdeében, elő lépében, íru fel a háro egyenúlyi egyenletet:. egyenlet: nyoatéi egyenúlyi egyenlet az elű oóponton: K K K u 0 ahol a K erevégi elee fiziai tartala rendre a övetező: K K - a é u0 elozduláo alapán apott deforált alaból zárazó rúdvégi belő nyoatéo özege a elű oóponton, az adott példa eetén (8a ábra) : K,,,, - a é u0 elozduláo alapán apott deforált alaból zárazó rúdvégi nyoaté az elű oóponton, az adott példa eetén (8b ábra): K,, K - az u é 0 elozduláo alapán apott deforált alaból zárazó rúdvégi nyoatéo özege az elű oóponton, az adott példa eetén (8 ábra): K,, ( ). egyenlet: nyoatéi egyenúlyi egyenlet a elű oóponton: K K u 0 K ahol a K erevégi elee fiziai tartala rendre a övetező: K K K K - a é u0 elozduláo alapán apott deforált alaból zárazó rúdvégi belő nyoatéo özege a elű oóponton, az adott példa eetén (-8d ábra) : K ",,,, - az u é 0 elozduláo alapán apott deforált alaból zárazó rúdvégi nyoaté a elű oóponton, az adott példa eetén (8e ábra): " K,,. egyenlet: erőegyenúlyi egyenlet az özevont - elű oópontoon: K K u H K ahol a K erevégi elee fiziai tartala rendre a övetező: K K K K K - az u é 0 elozduláo alapán apott deforált alaból zárazó rúdvégi nyíróerő özege az é elű oópontoon, az adott példa eetén (8f ábra): ( ) " K,,,, ( π ρ)
A fenti ifeezéeben é a 8 ábrán a belő é erő indexelée a övetező zabályt öveti: elő index az igénybevétel helyét, áodi index az igénybevételt iváltó elozdulát, haradi index a rúdeleet elöli. A fentie alapán felírhatu a (6) egyenúlyi egyenlet átrix alaát: ( ) ( ) ( ) ( ) H 0 0 u " " " " ρ π (9) A (9) egyenúlyi egyenletrendzer egoldáával a övetező zaazban foglalozun. 8. ábra. A belő nyoatéo é nyíróerő egyégnyi elozduláoból.. Egyenúlyi egyenletrendzer egoldáa A (9) egyenúlyi egyenletrendzer zietriu é nelineári, ugyani a K erevégi átrix eleei a rudaban ébredő norálerőtől függene. Aennyiben a obb,,,,,,,, ( ) / u,,,,,, / a) b) ) d) e) ( ),, ( ),, " ρ π
oldalon az F tehervetor ne zéru, aor a teherparaéter növeléével a odell elozduláa (deforáióa) i növezi, ai a norálerő elozláána változáával ár. Ebben az eetben a odell vieledée a 5 ábrán vázolt határponto vieledéhez haonlít. ivel az egyenúlyi egyenletrendzert a i elozduláo elve alapán írtu fel, az egyenúlyi útvonal végtelenhez tartó elozdulánál tart az F ax teheraxiuhoz (9 ábra). A odelle ilyen típuú nelineári vizgálatával a továbbiaban ne foglalozun. F F r haradrendű egoldá F ax áodrendű egoldá ineári tabilitávizgálat eredénye u 9. ábra. A rúdzerezeti odell nelineári vieledée é a ritiu terhe. Aennyiben a (9) egyenúlyi egyenletrendzer obb oldalán a tehervetor zéru, azaz a példán eetében H 0, aor a átrixegyenlet ne triviáli (U 0) egoldáa a K U 0 (40) det( K ) 0 (4) feltételre vezet. Aennyiben az egyparaétere teherrendzer teleíti a (4) feltételt, aor a teher egfelel a zietriu tabili elágazához tartózó ritiu teherne. A rugala tabilitávizgálat (4) zerint történő végrehatáa orán feltételezhetü, hogy ritiu állapotban a rudaban ébredő norálerő egegyezne a ezdeti (előrendű) norálerőel. A záítá néhány (legfelebb háro) zabadágfoig ézzel i önnyen végrehatható (4 élda).
4 élda Határozzu eg az ábrán vázolt zerezeti odell ritiu terhét! r? Kereztetzet: HEA 00 Anyaginőég: S5 Rúdhoz: 6,0 A odell vieledée (ihaláa) az alábbi ét független elozduláal (zabadágfoal) írható le, ahol a arooópont elforduláa é u a gerenda oópontaina özevont eltolódáa: u U u A odell erevégi átrixa a. zaaz alapán az alábbi ábra egítégével öze: " " " K " " ( ) π ρ ; u0 u ; 0 állatható / ( -π ρ ) / Kezdetben az elű rúdban ne ébred norálerő, ezért " A ét rúd azono ereztetzetű é hozú, ezért A erevégi átrix a -e index elhagyáával az alábbi forában írható:
" " ( ) K " " ( π ρ ) A ritiu állapot feltétele, hogy a erevégi átrix deterinána zéru értéet vegyen fel: " " " det( K ) [( ) ( π ρ ) ] r 0 Tehát ereü a ρ r értéét, ahol a apo záróelben lévő ifeezé zéru értéet vez fel. A záítá például próbálgatáal (try & error) i elvégezhető: ρ πρ det(k) 0,0,840 0,5,755,84,448 0,0,86 0,54,7,8 0,844 0,40,8 0,57,7,8 0,44 0,50,799 0,540,69,480-0,5 0,44,807 0,58,70,4 0,004 A záítá zerint a ρ r 0,44 érténél a erevégi átrix deterinána özelítőleg zéru értéet vez fel, azaz a odell ritiu állapotba erül. A ritiu erő: E r υ π E I 5N ρ 07N r ρ r E,65 A ihalá alaát az ábra utata. 4. Özefoglalá A feezetben nyoóerővel terhelt é íban elozduló rúdelee erevégét határoztu eg egyenúlyi differeniálegyenlet egítégével, a áodrendű elélet özelítő feltevéei alapán. A falago erevégeet a norálerőtől függő tabilitáfüggvényeel feeztü i. Az így eghatározott erevége a áodrendű elélet eretein belül érvényee. Aennyiben a norálerőt zéruna válaztu, aor a tabilitáfüggvénye értéei az előrendű elélet zerinti erevégi ontanoat adá eg. A áodrendű erevégeet befogott é uló végű rúdelere i eghatároztu. Beutattu, hogy a áodrendű erevége záo ülönlege eetre i eghatározhatóa, é a egfelelő ifeezée a zairodaloban egtalálhatóa. egállapítottu, hogy az egyre özetettebb egoldáoat a záítá apaitáigényéne inializáláa, azaz az ieretlene záána öentée ényzeríttette i. Kiondtu, hogy a ai záítái apaitá ellett a tabilitáfüggvénye egoldáo gyaorlati elentőége elentően öent. Ugyanaor azt i egállapítottu, hogy a érnöépzében didatiai zepontból fontona tartu az alapeete ieretét é ézi záítában történő alalazáát. Beutattu az özetett rúdzerezeti odelle vizgálatána általáno ódzertanát ézi záítá eetére. Az elárát a ateatiából iert átrix-ódzer é a ehaniából iert elozdulá-ódzer obináióára alapoztu. Beutattu, hogy az elárá ét alapfeladatra vezet. Aennyiben a tehervetor ne zéru, aor határponto
elágazái feladatra utun, aely nelineári egyenletrendzer egoldáára vezet. Aennyiben a tehervetor zéru, aor a töélete odell ritiu elágazáána feladatára utun, ai a erevégi átrix deterinána elő gyöéne eghatározáát elenti. A ódzer alalazáát zápéldával illuztráltu.