Rezgések Hullámok Hang rezgés és a rezgési állapot idő beli és térbeli tovaterjedése sok féle formában jelenik meg ter mészeti és technikai körne zetünkben. z új jelenség fogalmait, alaptörvéneit a legegszerűbb rezgések, a mechanikai rezgések vizs gálata során fogjuk el sajátítani. mechanikai hullámok tanulmánozása után igen sok gakorlati alkalmazást ismerünk majd meg. körnezetünkből észlelt információk többsége is rezgéssel jut el hozzánk gondoljunk a hangra (hanghullám), illetve a fénre (fénhullám)! Rezgések és hullámok
1. lecke Rezgések leírása, harmonikus rezgőmozgás Milen mozgást végez a műugró a trambulinon az ugrás előtt? Csendes-óceán délnugati részén található Pünkösd-sziget őslakóinak termékenségi ünnepén, rituálék keretében 10-15 méter magas, enhén előredőlő toronból férfiak ugranak a mélbe. Lábukra rugalmas szőlőindákból sodort kötelet erősítenek, amel biztosítja, hog az ugrónak épp csak a haja súrolja a földet. Ez a vallási szertartás az őse a ma divatos extrém sportnak, a bungee jumpingnak. nag zuhanás után a gumikötélhez kötött ember még sokáig le-föl mozog. Hogan lehet ezt a mozgást leírni? Egenletes körmozgás (Ismétlés) Ebben a fejezetben az időben szabálosan ismétlődő mozgásokról fogunk tanulni. legegszerűbb periodikus jelenséggel, az egenletes körmozgással már a 9. évfolamon, mechanikai tanulmánaink során megismerkedtünk. z ott szerzett ismereteinkre most is szükség lesz, ezért átismételjük az akkor tanult fogalmakat, törvéneket. Eg tömegpont egenletes körmozgást végez, ha a pálája kör, és azonos időtartamok alatt azonos hosszúságú íveket tesz meg rajta. mozgás jellemzői: pálasugár (R), eg kör megtételéhez szükséges idő, a periódusidő vag keringési idő (T), az egségni idő alatt megtett körök számát a frekvencia vag fordulatszám (f ) fejezi ki. frekvencia mértékegsége 1. megfigelés időtartama alatt befutott körívhez tartozó középponti szöget szögel- s fordulásnak (α) nevezzük. fizikában a szöget általában ívmértékben mérjük. z egenletes körmozgás során a szögelfordulás mértéke egenesen arános az eltelt idővel, íg hánadosuk állandó. Ez ad lehetőséget a szögsebesség (ω) fogalmának bevezetésére, ami a két menniség hánadosa. mértékegsége: rad, de miután a s radián csak eg aránszámot takar, íg a mértékegség röviden: 1. vizsgált tömegpont sebessége s
1. Rezgések leírása, harmonikus rezgőmozgás állandó nagságú, és mindig a körpála érintője iránába mutat, a neve kerületi sebesség (v k ). z egenletes körmozgást jellemző menniségek közötti összefüggések: f = 1 T, ω = 2π T = 2 π f dinamika alapegenlete miatt ezt a gorsulást a testre ható erők eredője eredménezi. F = m a cp ω v k = 2r π T = 2r π f, v k = ω r Egenletes körmozgás során a tömegpont sebessége állandó nagságú ugan, de az irána folamatosan változik. Ennek az az oka, hog a testnek a körpála középpontja felé mutató gorsulása van, melnek neve centripetális gorsulás (a cp ). a cp = v2 k r = ω2 r = v k ω Vidámparki óriáskerék 12 m sugarú kerék percenként 1 fordulatot tesz meg. Mekkora sebességgel mozognak az utasok? R O F dugattú periodikus mozgásának nég üteme a cp v k rezgésről általában m z egenletes körmozgás dinamikai alapegenletének szemléltetése Körnezetünkben igen gakran fordulnak elő az egenletes körmozgáson kívül más, szabálosan ismétlődő, periodikus jelenségek. Ilen az évszakok váltakozása, a szívverésünk, vag akár valamel áru (például a búza) tőzsdei árfolama is változhat il módon. motor hengerében a dugattú mozgása, a sípok légoszlopainak rezgése, az inga lengése, az áramkörök váltakozó árama szintén periodikus jelenség. z élet sok területén megjelennek időben periodikusan változó menniségek. Ennek legegszerűbb fajtájával, a mechanikai rezgéssel ismerkedünk most meg, s az itt szerzett ismereteinket majd alkalmazzuk a fizika más területein is (mechanikai hullámok, hangtan, elektromágneses rezgések, elektro mágneses hullámok, fén). 9
1. Rezgések leírása, harmonikus rezgőmozgás Rezgések leírása kasszunk eg pici, de nehéz testet az egik végén rögzített spirálrugó végére! Várjuk meg, míg a test nugalomba kerül az egensúli helzetében! Függőleges egenes mentén térítsük ki valamelik iránba (föl vag le), s hagjuk magára! Figeljük meg a kialakuló mozgást! Láthatjuk, hog a test egenes mentén, a két szélsőhelzet között időben ismétlődő mozgást végez. zt a mozgást, amelnek során eg tömegpont valamel helkoordinátája vag helkoordinátái időben periodikusan változnak, mechanikai rezgésnek nevezzük. Vezessünk be az új mozgásra fizikai jellemzőket! zt a helzetet, amikor a rezgőmozgást végző testre ható erők eredője nulla, egensúli helzetnek nevezzük. Ha a rugóra akasztott testet az egensúli helzetébe visszük, és itt magára hagjuk, akkor az ott is marad. Ha innen kitérítjük, és magára hagjuk, akkor a test a rezgőmozgás során azonos időközönként áthalad az egensúli helzeten. z egensúli helzettől a tömegpont pillanatni heléig húzott vektor a kitérés(vektor). Jele:, mértékegsége a méter (m). kitérés vektormenniség. z egensúli helzetben = 0. szélsőhelzetekben a test sebessége iránt vált, ezt a két végpontot fordulópontoknak is nevezzük. Itt a test sebessége eg pillanatra 0. Δl 0 m g F = 0 D Δl 0 = m g Δl 0 = m g D m g mechanikai rezgés vizsgálata F < m g m g min v = 0 F Valamelik szélsőhelzethez tartozó kitérést nevezzük amplitúdónak. Jele:, mértékegsége a méter (m). z amplitúdó vektormenniség. mozgás fordulópontjaiban a kitérés = ±. (z amplitúdó latin eredetű szó, jelentése: nagság, terjedelem, tágasság.) rezgőmozgás ismétlődő egségeinek időtartama azonos. Eg teljes rezgés megtételéhez szükséges időt periódusidőnek vag rezgésidőnek nevezzük. periódusidő skalármenniség. Jele: T, mértékegsége a másodperc (s). rezgés szaporaságának másik mérhető mennisége a frekvencia vag rezgésszám. frekvencia a rezgés során megtett rezgések k száma és az eltelt t idő hánadosa. Jele: f. f = m g rezgések száma k, f = eltelt idő t frekvencia számértéke az 1 másodperc alatt megtett teljes rezgések számát adja. frekvencia mértékegsége 1 vag Hz. frekvencia skalármenniség. s Eg periódusidő (T ) alatt a test által megtett teljes rezgések száma 1. Íg können megadhatjuk a frekvencia (f ) és a periódusidő (T ) kapcsolatát. f = rezgések száma eltelt idő max v = 0 F eg teljes rezgés = 1 T, f = 1 T Felső szélsőhelzet Egensúli helzet lsó szélsőhelzet 10
1. Rezgések leírása, harmonikus rezgőmozgás rezgőmozgás oka Vízszintes, sima asztallapon rögzítsük eg húzónomó rugó egik végét (a)! másik végéhez eg testet erősítünk. Ha az egensúli helzetéből kitérítjük, majd magára hagjuk, kialakul a rezgőmozgás. Ekkor a testre ható rugóerő ellentétes iránú a kitéréssel (b). Miután a test áthaladt az egensúli helzeten, a test kitérése és a rugóerő is iránt vált (c). a) Egensúli helzet: F = 0 b) c) testre ható eredőerő ellentétes iránú a kitéréssel Húzó-nomó rugó végén rezgőmozgást végző kiskocsi egensúli helzetben (a), a rugót összenomva (b), illetve a rugót megnújtva (c) Eg periódus alatt hánszor halad át a kiskocsi az egensúli helzeten? Elmondható, hog a vizsgált rezgőmozgás során a testre ható erők eredőjének nagsága egenesen arános a kitéréssel, és vele ellentétes iránú. z olan erőt, amelnek nagsága egenesen arános a kitéréssel, és vele ellentétes iránú, harmonikus erőnek nevezzük. harmonikus erő által létrehozott rezgőmozgást harmonikus rezgőmozgásnak nevezzük. harmonikus rezgőmozgás létrejöttének feltétele, hog a testre ható erők eredője harmonikus legen, azaz F = D. KIDOLGOZOTT FELDT függőleges helzetű rugó felső végét rögzítjük. z alsó végére eg 20 dkg tömegű testet erősítünk. test egensúli állapotában a rugó megnúlása 10 cm. a) Mekkora a rugó rugóállandója? b) z egensúli helzetéből függőlegesen kimozdítjuk a testet, majd magára hagjuk. 10 teljes rezgést 6,283 s idő alatt tesz meg a test. Menni a rezgés idő? c) Menni a rezgés frekvenciája? MEGOLDÁS datok: a test tömege: m = 0,2 kg a rugó megnúlása: Δl = 0,1 m k = 10 teljes rezgés ideje: t = 6,283 s a) D =?, b) T =?, c) f =? a) test egensúli állapotában F = 0. z m tömegű testre ható nehézségi és rugóerő azonos nagságú, ellentétes iránú: m g = D Δl. D rugóállandó már können kifejezhető: D = m g Δl 0,2 kg 10 m s = 2 = 20 N 0,1 m m rugó rugóállandója: 20 N m b) rezgésidő: T = t k = 6,283 s 10 = 0,6283 s c) rezgés frekvenciája: f = 1 T = 1 0,6283 s = 1,59 1 1,6 Hz s 11
1. Rezgések leírása, harmonikus rezgőmozgás gá 1 Eg 3 méter sugarú körhintán ülő, 40 kg tömegű germek 15 másodperc alatt 3 kört tesz meg egenletesen. a) Mekkora a körmozgást végző test periódusideje, frekvenciája? b) Mekkora a körmozgást végző test szögsebessége, kerületi sebessége? c) Mekkora a germek által 1,5 másodperc alatt befutott körív hossza és a szögelfordulás? d) Mekkora a germek gorsulása és a testre ható erők eredője? 2 centrifuga fordulatszáma 700 1 min, dobjának átmérője 30 cm. forgó dob oldalfalára tapadt eg 5 dkg tömegű zokni. a) Mekkora a zokni periódusideje? b) Mekkora a zokni sebessége, szögsebessége? c) Mekkora erő kénszeríti egenletes körmozgásra a centrifuga oldalfalára tapadt zoknit? 3 gitár E-húrja 6652-t rezeg 20 másodperc alatt. Mekkora a frekvencia? Mekkora a rezgésidő? Kérdések és feladatok 4 Eg 96 mm. 3000 1 min Otto-motor hengerében a lökethossz fordulatszám mellett mekkora utat tesz meg a dugattú a hengerben percenként? ( dugattú lökethossza megegezik a rezgés két szélsőhelzete közötti távolsággal.) 5 Rugós játék figura rugójának felső végét megfogjuk, a rugó függőleges helzetű lesz, az alsó végén a 30 dkg tömegű játék figura függ. mikor a test nugalomban van, a rugó megnú lása 6 cm. Mekkora a rugó rugó állandója? spirálrugó végén lévő állatka mozgása is rezgés 6 vízszintes helzetű rugó egik végét rögzítjük. másik végéhez eg test van erősítve, ami súrlódás nélkül képes mozogni a vízszintes asztallapon. testet egensúli helzetéből 5 cm-rel kitérítjük, majd magára hagjuk. kialakuló rezgés periódusideje 1,5 s. Mekkora a mozgás frekvenciája? Mekkora utat tesz meg a test, és mekkora a test elmozdulása 3 s, illetve 4,5 s idő alatt? 12
2. lecke Harmonikus rezgőmozgás kinematikai leírása henger melik részén mozog a motor dugattúja a leggorsabban? harmonikus rezgést végző test mozgása időben ismétlődő szakaszokból áll. Ennek megfelelően a test kitérése, sebessége, gorsulása is időben periodikus menniségek. Milen függvénkapcsolat írja le ezeket a kinematikai jellemzőket? Körmozgás és harmonikus rezgőmozgás Harmonikus rezgőmozgást legegszerűbben úg figelhetünk meg, ha eg függőleges helzetű, felső végén rögzített rugóra akasztott testet az egensúli helzetéből kitérítünk, és magára hagjuk. szabálosan ismétlődő mozgás során a kinematikai jellemzők (kitérés, sebesség, gorsulás) időben periodikusan változnak. célunk az, hog megadjuk a harmonikus rezgőmozgást leíró kitérés-, sebesség-, és gorsulás-idő függvének matematikai alakját. KÍSÉRLET következő megfigelésben az újfajta mozgást eg már jól ismert jelenség segítségével írjuk le. z alábbi kísérlet a harmonikus rezgőmozgás és az egenletes körmozgás közötti kapcsolatra világít rá. F É N Y R T k O T r Ernő z egenletes körmozgás és a harmonikus rezgőmozgás kapcsolata Milen feltételek esetén látjuk a két test árnékát az ernőn egütt mozogni? 13
2. Harmonikus rezgőmozgás kinematikai leírása Eg kisméretű test függőleges síkban egenletes körmozgást végez. Ebben a síkban a rugóra akasztott másik test függőleges egenes mentén végez harmonikus rezgőmozgást. rezgő test egensúli helzete és a körpála középpontja azonos magasságban van, valamint a körpála sugara és a rezgés amplitúdója egenlő. körmozgás síkjába helezett lámpával oldalról világítjuk meg a két mozgó testet vízszintesen. z árnékukat a túloldalon lévő ernőn láthatjuk. TPSZTLT Ha a két mozgás periódusideje azonos, valamint a kezdőpillanatban a két test a körpála középpontjának magasságából eg iránba indul (például felfelé), akkor azt tapasztaljuk, hog a megfelelően beállított kör-, illetve rezgőmozgást végző testek árnéka az ernőn egütt mozog. KÖVETKEZTETÉS z egenletes körmozgást végző testnek a kör valamel átmérőjére eső vetülete harmonikus rezgőmozgást végez. Íg minden harmonikus rezgőmozgáshoz hozzárendelhető eg egenletes körmozgás. hozzárendelési szabál: a körpála sugara legen egenlő a rezgés amplitúdójával (R = ), valamint a két mozgás periódusideje legen azonos (T k = T r ). z íg kapott körmozgást a vizsgált harmonikus rezgőmozgás referencia körmozgásának nevezzük. ( referencia latin szó, jelentése: ajánlás, adott jelnek a jelrendszeren kívüli vonatkoztatása.) Fázis, fázisszög Mivel a körmozgás leírását már jól ismerjük, segítségével meg tudjuk fogalmazni a harmonikus rezgőmozgás kinematikai leírását. rezgés pillanatni állapotát a mozgás eg fázisának nevezzük. rezgés fázisát a test pillanatni hele és sebessége adja meg. vizsgált rezgőmozgás induljon az egensúli helzetből, és t idő eltelte után a referencia körmozgást végző test szögelfordulása legen φ. Ez a φ szög egben a rezgés fázisát is jellemzi, neve fázisszög. fázisszög megmutatja, hog a rezgő test a teljes rezgés melik részénél van éppen. Két rezgés azonos fázisban van, ha a fáziskülönbségük a teljesszög egészszámszorosa: φ 2 φ 1 = k 2π, k Z. harmonikus rezgőmozgás kitérés--idő függvéne jelenség megfigelésének kezdőpillanatában mindkét test a rezgőmozgás egensúli helzetének magasságában van. rezgő test kitérése t idő múlva. referencia körmozgást végző test szögelfordulása φ, ami egben a harmonikus rezgőmozgás fázisszöge. O R φ ω referencia körmozgást végző test φ szögelfordulására fennáll: sin φ = z ábrán lévő derékszögű háromszöget vizsgálva: = R sin φ = sin φ Egenletes körmozgás során a szögelfordulás egenesen arános az eltelt idővel. φ = ω t (t) = sin (ω t) z ω-t körmozgásnál szögsebességnek, rezgőmozgásnál körfrekvenciának nevezzük. ω = 2π T = 2π f 14
2. Harmonikus rezgőmozgás kinematikai leírása harmonikus rezgőmozgást végző test kitérése az időnek szinuszos függvéne. (t) = sin (ω t) z ábra alapján: v(t) = v k cos φ Tudjuk, hog φ = ω t, íg: 0 harmonikus rezgőmozgás kitérés-idő (-t) grafikonja harmonikus rezgőmozgás sebesség--idő függvéne Foltassuk tovább a rugóra akasztott, függőleges egenes mentén rezgő test kinematikai leírását! hog a rezgőmozgást végző testet figeljük, az a benomásunk, hog a sebesség az egensúli helzet körnezetében a legnagobb. szélsőhelzetekben a mozgásnak fordulópontjai vannak, itt a sebesség iránt vált, nagsága eg-eg pillanatra nulla. pontos matematikai leíráshoz ismét segítséget ad a harmonikus rezgőmozgáshoz rendelt referencia körmozgás vizsgálata. z egenletes körmozgást végző test kerületi sebessége állandó nagságú. v k = R ω = ω sebesség tengelre eső merőleges vetülete minden pillanatban megegezik a harmonikus rezgőmozgást végző test pillanatni sebességével. v k O φ φ v ω két sebesség kapcsolata: cos φ = v v k v v max T t v(t) = ω cos (ω t) koszinuszfüggvén 1 és 1 közötti értékeket vesz fel. Ezért a sebesség legnagobb értéke (sebességamplitúdó) v max = ω, amit az egensúli helzeten való áthaladáskor ér el a test. harmonikus rezgőmozgást végző test sebessége az időnek koszinuszos függvéne. v(t) = ω cos (ω t) v ω 0 ω harmonikus rezgőmozgás sebesség-idő (v-t) grafikonja harmonikus rezgőmozgás gorsulás--idő függvéne rugóra akasztott test rezgőmozgásának gorsulása is időben periodikusan változik. z egensúli helzeten való áthaladáskor a testre ható eredőerő nulla. dinamika alapegenlete miatt itt a gorsulásnak is nullának kell lennie. szélsőhelzetekben legnagobb az eredőerő, ezért a gorsulásnak is itt van maximuma. részletek pontos megállapítását szintén a referencia körmozgás vizsgálata biztosítja. z egenletes körmozgást végző test gorsulása mindig a kör középpontja felé mutat, és nagsága a cp = R ω 2. következő ábra alapján látható, hog a referencia körmozgás a cp centripetális gorsulásának függőleges komponense minden pillanatban megegezik a harmonikus rezgőmozgás gorsulásával. a(t) = a cp sin φ = ω 2 sin (ω t) T t 15
2. Harmonikus rezgőmozgás kinematikai leírása O φ a cp z a cp és a kapcsolata: sin φ = φ a a max harmonikus rezgőmozgást végző test gorsulása az időnek mínusz szinuszos függvéne. a (t) = ω 2 sin (ω t) a ω 2 0 ω 2 ω 2 ω 2 harmonikus rezgőmozgás gorsulás-idő grafikonja test gorsulása a szélsőhelzetekben a legnagobb, értéke (gorsulásamplitúdó): a max = ω 2 gorsulást megadhatjuk a kitérés függvénében is: a = ω 2 harmonikus rezgőmozgás gorsulásának nagsága egenesen arános a kitéréssel, vele ellentétes iránú. a = ω 2 KIDOLGOZOTT FELDT varrógép le-föl járó tűje harmonikus rezgőmozgást végez. 180 öltést végzünk vele percenként. Varrás közben a tű hege 2 cm-rel emelkedik az anag fölé, illetve 2 cm-rel sülled alá. a) Mekkora sebességgel döfi át a tű a szövetet? b) Mekkora a tű gorsulásának legnagobb értéke? c) Mekkora a tű hegének kitérése, sebessége, gorsulása az egensúli helzeten való áthaladás után 0,15 másodperccel? a a a cp T t MEGOLDÁS datok: k = 180, Δt = 60 s, = 2 cm = 0,02 m, t = 0,15 s a) v =?, b) a max =? c) (t) =?, v(t) =?, a(t) =? harmonikus rezgés frekvenciája: f = k Δt = 180 60 s = 3 1 s, körfrekvenciája: ω = 2 π f = 2 π 3 1 s = 18,85 1 s a) szövet átdöfésekor a tű hege épp az egensúli helzeten halad át, itt a legnagobb a sebessége: v = v max = ω = 0,02 m 18,85 1 s = 0,377 m s b) legnagobb gorsulás: a max = ω 2 = 0,02 m ( 18,85 1 2 = 7,1 s ) m s 2 c) kitérés értéke t = 0,15 s időpontban: (t) = sin (ω t) = 0,02 m sin ( 18,85 1 s 0,15 s) = = 0,02 m sin (2,83 rad) = 0,02 0,31 = 0,0062 m (Ügeljünk arra, hog a fázisszög mértékegsége radián!) sebesség értéke t = 0,15 s időpontban: v(t) = ω cos (ω t) = = 0,02 m 18,85 1 s cos (2,83 rad) = 0,36 m s gorsulás értéke t = 0,15 s időpontban: a = ω 2 sin (ω t) = = 0,02 m ( 18,85 1 2 s ) sin (2,83 rad) = 2,2 m s 2 Vag: a = ω 2 = ( 18,85 1 2 s ) 0,0062 m = 2,2 m s 2 16
2. Harmonikus rezgőmozgás kinematikai leírása 1 z (cm) 12 0 alábbi ábra a harmonikus rezgőmozgást végző játék figura (12. oldal) kitérés-idő függvénét mutatja. 1,6 t (s) Kérdések és feladatok 3 megpendített tűs hangvilla vége a nélhez viszonítva harmonikus rezgőmozgást végez. menniben eg egenes mentén egenletesen végighúzzuk a kormozott üveglapon, a noma szinuszgörbe lesz. 440 Hz-es hangvilla által húzott hullámvonalon centiméterenként nég teljes rezgés nomát látjuk. Mekkora sebességgel mozgattuk a hangvillát? 12 a) Mekkora a mozgás amplitúdója és rezgésideje? b) djuk meg a test kitérés-idő függvénét! c) Mekkora a mozgás sebességének és gorsulásának legnagobb értéke? d) djuk meg és ábrázoljuk a harmonikus rezgőmozgás v-t és a-t függvéneit! e) Mekkora a rezgő test kitérése, sebessége, illetve gorsulása t = 1,4 s időpontban? 2 motor hengerében a dugattú harmonikus rezgőmozgást végez. periódusidő hánadrészében egiránú a dugattú kitérése és a sebessége? 4 motor dugattújának kitérés-idő függvéne: = 0 sin (2π f t), 0 = 5 cm, f = 600 1 s. a) Mekkora a dugattú lökethossza, frekvenciája és rezgésideje? b) Mekkora a dugattú legnagobb sebessége? c) Ábrázoljuk a rezgő test kitérés-idő függvénét! d) djuk meg a test v-t és a-t függvéneit! e) Ábrázoljuk a test v-t és a-t függvéneit! 5 Eg szálloda páternosztere (nitott kabinok láncából álló lift) elromlik. z üzemzavar abban nilvánul meg, hog a kabinok 10 cm amplitúdójú harmonikus rezgőmozgást végeznek függőleges egenes mentén. vendégek épségben elhagták ugan a kabinokat, de eg bőrönd benn maradt. Legfeljebb mekkora a rezgés frekvenciája, ha a mozgás során a bőrönd nem emelkedik el a padlótól? 17
3. lecke rezgésidő. Fonálinga Galilei a pisai dómban ülve gakran figelhette meg eg, a plafonról hosszú kötélen függő bronzcsillár periodikus, lengő mozgását. legenda szerint ezt figelve kapott kedvet az ingamozgás törvénszerűségeinek feltárásához. Mitől függ a csillár mozgásának periódusideje? rezgésidő harmonikus rezgőmozgás időbeli szabálosságának mértéke a periódusidő. Ezt rezgőmozgás esetén rezgésidőnek is nevezzük. Vizsgáljuk meg, mitől függ az értéke! KÍSÉRLETEK 1. rugóra akasztott test függőleges egenes mentén mozoghat. Két különböző tömegű testtel végezzük el a következő kísérletet! Először akasszuk a rugóra a könnebb testet, majd várjuk meg, míg az egensúli helzetében nugalomba kerül! Innen térítsük ki, s engedjük el! Figeljük meg a mozgás ritmusát! Most a nehezebb testtel végezzük el uganezt! Föld milen tulajdonságát sikerült igazolnia Foucault-nak a híres ingakísérlettel? Uganarra a rugóra akasztott kisebb, illetve nagobb tömegű test harmonikus rezgőmozgást végez Melik esetben nagobb a kialakuló mozgás periódusideje?
3. rezgésidő. Fonálinga TPSZTLT Ha a rugóra nagobb tömegű testet akasztunk, lomhább rezgőmozgást tapasztalunk. TPSZTLT Most azt tapasztaljuk, hog uganazon a testen a nagobb rugóállandójú rugó okoz szaporább rezgést. D m D M m < M 0 0 két rezgőmozgás kitérés-idő grafikonja 2. Most uganazt a testet akasszuk először eg lágabb (kisebb rugóállandójú), majd eg keménebb (nagobb rugóállandójú) rugóra! Hasonlítsuk össze most is a két mozgás periódusidejét! D 1 m D 2 m D 1 < D 2 0 0 Különböző rugókra akasztott azonos tömegű testek harmonikus rezgőmozgást végeznek T T Melik esetben nagobb a kialakuló mozgás periódusideje? T T t t t t KÖVETKEZTETÉS KÍSÉRLETEKBŐL z a ganúnk, hog a rezgésidőt alapvetően a rugóállandó és a rezgő test tömege határozza meg. vizsgált mozgásra alkalmazzuk a dinamika alapegenletét: F = m a Tudjuk, hog harmonikus rezgőmozgást harmonikus erő hoz létre. D = m a Használjuk fel a kitérés és a gorsulás között fennálló ismert kapcsolatot: a = ω 2 D = m ω 2 fenti vektoregenlet csak akkor lehet igaz, ha: D = m ω 2 ganúnk igaz volt! Elméleti úton eljutottunk eg olan összefüggéshez, amel tartalmazza a rugó eg jellemzőjét (D), a rezgő test adatát (m) és a rezgés szaporaságát jellemző körfrekvenciát (ω). ω = D m rezgésidő és a frekvencia meghatározásához használjuk fel, hog ω = 2 π T = 2 π f. Ebből T és f kifejezhető. T = 2 π f = 1 2 π m D D m harmonikus rezgőmozgás rezgésideje és frekvenciája a test tömegétől és a rugó direkciós állandójától (rugóállandótól) függ. 19
3. rezgésidő. Fonálinga z ingamozgás (Kiegészítés) Ingamozgást végez eg vízszintes tengellel ellátott merev test, ha egensúli helzetéből kitérítjük, és magára hagjuk. ( tengel ne a test tömegközéppontján menjen át, hiszen akkor a test bármel helzetben egensúlban van! Ekkor nem jön létre mozgás.) legegszerűbb ingamozgást a fonálinga vizsgálatával írhatjuk le. Fonálingát úg kapunk, ha eg hosszú, elhanagolható tömegű fonál egik végét rögzítjük, a másik végére pedig eg pici, nehéz (pontszerű) testet erősítünk. (Például kulcscsomót helezünk eg kulcstartó szalagra.) z l hosszú fonál végén lévő testet az egensúli helzetéből térítsük ki, majd engedjük el! (Ügeljünk arra, hog a kötél feszes legen, és kezdősebesség nélkül induljon a test!) Figeljük meg a fonálinga mozgását! Gakorlatilag elegendő a lengő pontszerű testet nomon követnünk. z ingatest eg síkban, eg körív mentén mozog. z m g nehézségi erő és a K kötélerő egütt határozza meg a test mozgását. Periodikus jelenséget látunk: a test az egik szélsőhelzetből indul. sebessége egészen addig növekszik, amíg a kötél függőleges helzetű lesz. Ekkor legnagobb a sebessége. test tehetetlensége miatt továbblendül, innentől viszont a sebessége csökken, egészen a másik oldali szélsőhelzetig. Innentől a mozgás hasonlóan zajlik le, mint eddig, csak a másik iránba. fonálinga mozgása az imént végigkövetett egségekből tevődik össze. fonálinga mozgásának vizsgálata v max m g K l m g K fonálinga eg teljes lengése Eg teljes lengésnek nevezzük az ingamozgás azon szakaszát, melnek során a test kétszer fut végig a fonálinga által bejárt köríven. Eg teljes lengés ideje a lengésidő. Jele: T. lengésidő mértékegsége: s. lengésidő skalármenniség. MÉRÉSI KÍSÉRLET Mérjük meg különböző hosszúságú fonálingák lengésidejét! Célszerű 10-10 teljes lengés idejét mérni. mért adatból számoljunk lengésidőt! kapott értékeket ábrázoljuk először a fonálingák hosszának, majd a fonálhosszak négzetgökének függvénében! 1. mérés 2. mérés 3. mérés 4. mérés 5. mérés 6. mérés l (m) 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 10 T (s) 9 13 16 18 20 22 T (s) 0,9 1,3 1,6 1,8 2,0 2,2 l (m 0,5 ) 0,45 0,63 0,77 0,89 1,0 1,1 T (s) 2,4 2,2 2,0 1,8 1,6 1,4 1,2 1,0 0,8 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 l (m) lengésidő függése a fonálinga hosszától 20
3. Fonálinga Ábrázoljuk T-t a l függvénében: T (s) 2,4 2,2 2,0 1,8 1,6 1,4 1,2 1,0 0,8 T függése T l = 2 π 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 l -től TPSZTLT zt tapasztaljuk, hog a T lengésidő egenesen arános a l -lel. fonálinga lengésidejét vizsgálva a következő megállapítások tehetők: a Föld adott helén az azonos hosszúságú fonálingák lengésideje azonos, az ingatest tömegétől, anagától és a mozgás amplitúdójától függetlenül; adott helen 4-szer, 9-szer hosszabb fonálingák lengésideje 2-szer, 3-szor nagobb; ugannak a fonálingának a lengésideje függ a földrajzi heltől, pontosabban az adott helen mérhető nehézségi gorsulástól. Például a sarkokon (ahol a g nehézségi gorsulás a legnagobb) a legkisebb, az Egenlítő közelében (ahol a g a leg kisebb) a legnagobb. lengésidő elméleti vizsgálatánál a fonalat tömeg nélkülinek és nújthatatlannak, a lengő testet pontszerűnek tekintjük. ilen fonálingát mate - matikai ingának nevezzük. Megmutatható, hog a mate matikai inga mozgása kis kitérések (α 5 ) esetén közelíthető eg harmonikus rezgőmozgással. KÖVETKEZTETÉS z alaposabb vizsgálat alapján a matematikai inga lengésidejére vonatkozó összefüggés: l g l KIDOLGOZOTT FELDT Eg függőleges helzetű rugó felső vége rögzített, az alsóra eg 10 dkg tömegű testet erősítünk. testet rezgésbe hozva, az 10 másodperc alatt 25 teljes rezgést végez. a) Mekkora a test rezgésideje, frekvenciája? b) Mekkora a rugó rugóállandója? c) Mekkora tömegű test képes uganezen a rugón 10 másodperc alatt csak 20 teljes rezgést végezni? MEGOLDÁS datok: t = 10 s, k 1 = 25, k 2 = 20, m 1 = 10 dkg = 0,1 kg a) T 1 =?, f 1 =?; b) D =?; c) m 2 =? a) T 1 = t k 1 = 0,4 s, f 1 = 1 T 1 = 2,5 Hz rezgésidő 0,4 s, a frekvencia 2,5 Hz. b) Írjuk fel a harmonikus rezgőmozgás periódusidejére vonatkozó összefüggést, és fejezzük ki a rugó rugóállandóját: T 1 = 2π = 24,7 N m m D D = m 1 ( 2π 2 T 1) = 0,1 kg ( 2π = 0,4 s)2 c) Először számítsuk ki az új rezgésidőt: T 2 = t = 0,5 s k 2 fenti módon kifejezett rugóállandót felírhatjuk kétféleképpen: D = m 1 ( 2π 2 T 1), D = m2 ( 2π 2 T 2) m 1 ( 2π 2 T 1) = m2 ( 2π 2 m T 2) 1 T = m 2 2 2 1 T 2 m 2 = ( T 2 2 T 1) m 1 = ( 0,5 s 2 0,4 s) 0,1 kg = 0,156 kg második esetben kb. 15,6 dkg tömegű test rezeg a rugón. 21
3. rezgésidő. Fonálinga Christiaan Hugens (1629 1695) Holland fizikus és matematikus, a XVII. század egik legtöbb konkrét eredmént felmutató fizikusa. pja volt első tanítója, és az ő hatá sára szerzett jogi diplomát. Ennek ellenére már igen korán elkezdett érdeklődni a matematikai problémák iránt. Kúpszeletek terület számításával, majd valószínűség-számítási problémákkal foglalkozott. fizika felé azután fordult, hog testvérével csillagászati távcsövet épített. Felfedezte a Szaturnusz gűrűjét és eg holdját, valamint az Orion-ködöt. Megfigelései pontos időmérést igéneltek, ezért kezdte el vizsgálni az ingamozgást. Pontos óraművek készítésével is foglalkozott, több szabadalmat jelentett be ebben a témában. Vizsgálta az ütközések elméletét, az egenletes körmozgás mechanikáját is. Féntani és hullámtani kutatásai is jelentősek. Értelmezte az optikai kettőstörés jelenséget. Legismertebb művében (Értekezés a fénről) a fént Newtonnal ellentétben hullámként írta le. Ennek ellenére Newton elismerte munkásságát, tisztelte Hugenst. 1665-től 16 éven keresztül a Francia kadémia elnöke. Rengeteg időt szánt a tudománra, mégis maradt ideje versírásra. Foglalkoztatta a Földön kívüli élet lehetősége is. Holdon heget, a Marson krátert, valamint űrszondát is neveztek el róla. Különböző ingatípusok v l R α z l hosszúságú kúpinga testének pálája R sugarú kör Keressünk kapcsolatot l, R és α között! Olvasmán Christiaan Hugens (Caspar Netscher festméne, 1671) menniben a fonálingát a kitérítés síkjára merőleges kezdősebességgel indítjuk, mozgása során a fonál eg kúpot súrol, s az ingatest pálája ellipszis, illetve a kezdősebesség üges választásával körpála is lehet. z ilen mozgású fonálingát kúpingának nevezzük. Sokkal elterjedtebb az olan inga, amelnek lengő teste nem pontszerű, hanem kiterjedt merev test, és eg rögzített vízszintes tengel körül képes lengeni. z ilen ingát fizikai ingának nevezzük. ( lecke elején említett Galilei-csillár a kiterjedtsége miatt valójában fizikai ingának tekinthető.) csavarási (torziós) ingával már korábban megismerkedtünk. Ha a felső végén rögzített, hosszú, igen vékon drótszál alsó végén lévő merev testet kitérítjük nugalmi helzetéből, s elengedjük, akkor a lengő test helzete periodikusan változik. Jobbra-balra csavarodik. Nagon érzéken torziós ingával vizsgálta Cavendish a gravitációs, Coulomb az elektrosztatikus teret. XIX. század végén Eötvös Loránd (1848 1919) készített nagon érzéken torziós ingát. Ennek segítségével egrészt a tehetetlen és súlos tömeg aránosságát mutatta ki hat tizedesjeg pontossággal, másrészt a nehézségi gorsulás heli változásait térképezte fel. Egészen az 1950-es évekig az általa kidolgozott módszerrel kutattak kőolaj- és földgázmezők után szerte a világon. 22