INFORMATIKA ALAPJAI-II
Tartalomjegyzék BEVEZETŐ... RELÁCIÓ- ÉS LOGIKAI EGYENLETEK... 4. RELÁCIÓ EGYENLETEK... 4. LOGIKAI EGYENLETEK... 4.. Egyszerű logikai művelet... 5.. Elemi logikai függvények azonosságai... 8.. Összetett logikai műveletek.... LOGIKAI EGYENLET FELÉPÍTÉSE, A TERM KÉPZÉS SZABÁLYAI... 4.. Logikai egyenletek alakjai... 4.. Logikai egyenletek egyszerűsítése, átalakítása... 8.. Logikai egyenlet ábrázolása term táblázatban... 4..4 Logikai egyenlet egyszerűsítése term-táblázatban, minimálalak keresés... 5 RELÁCIÓ- ÉS LOGIKAI EGYENLETEK KAPCSOLATA... 9 4 FOLYTATÁS KÖVETKEZIK...
Bevezető Az Informatika alapjai I folytatása. Az első részben általános informatikai fogalmakról, a bináris rendszerről, a számrendszerekről és a kapcsolható elemi műveletekről, számábrázolásról volt szó. Az Informatika alapjai II- ben folytatjuk Neumann János tulajdonságú gép felépítéséhez vezető utat. Ebben a részben ismertetésre kerül a logikai műveletek és azok áramköri megvalósítása. Befejezésként megnézünk egy elemi szimbolikus programot.
Reláció- és logikai egyenletek A reláció- és logikai egyenlet a kijelentéseken alapul, mely egy vagy több kijelentés kapcsolatának eredményeként azt a következtetést vonja le, hogy az egyenletben összeállított események kapcsolata teljesíthető vagy teljesíthetetlen. A magyar nyelv ismeri a különböző mondatrészek összekapcsolását és megkülönbözteti annak jelentését, sőt új kifejezést is hozzárendel. Példa: A béka nem szép. A mondatban leírt kijelentés a szép ellentéte, tagadása szerepel, amit helyettesíthetünk egyetlen szóval is, csúnya. A kijelentés, van kinek igazat, van kinek nemet, tehát hamist jelent. Mind a két egyenletforma reláció-és logikai- a kijentések igaz, hamis kiértékelését végzik. Az egyenletek kijelentéseit műveletekkel kapcsoljuk össze. A műveletekre előírt értelmezést fogalmaztak meg, attól eltérni, vagy más értelmezést hozzárendelni nem lehet. A kijelentés kiértékelését a kijelentésben lévő műveletek határozzák meg.. Reláció egyenletek Röviden relációnak nevezzük. Def: Két vagy több kijelentés reláció műveletek szerinti összekapcsolását relációnak nevezzük. Reláció műveletek megnevezés jelölése kisebb < kisebb egyenlő =< egyenlő = nagyobb > nagyobb egyenlő >= nem egyenlő. táblázat A relációval megfogalmazhatjuk programunk futásának további irányát. Ha leírtuk előre, mit teszünk akkor, ha a reláció igaz és mit, ha hamis, a program futásának irányát határozzuk meg döntésünk igaz/hamis teljesülése esetén. A relációnak nagy szerepe van a vezérlésátadó utasításokban. Az.táblázat tartalmazza a reláció műveletek nevét és jelölését.. Logikai egyenletek George Boole (85-864) angol matematikus és filozófus fogalmazta meg az igazságértékek {,} logikai műveleteit és társította halmazelméleti fogalmakkal. A következőkben leírtakat Boole-algebrának nevezzük. Míg a relációban egy kijelentésről kellett eldönteni, hogy az igaz vagy hamis, addig a logikai egyenletekben a kijelentések vizsgálata mellett az egymással összekapcsolt művelet szerinti kiértékelés is megtörténik. Ha egy kijelentésnek csak két állapota lehet (igaz/hamis) akkor azt logikai változónak nevezzük. Def: Logikai egyenletnek nevezzük a logikai műveletekkel összekapcsolt logikai változókat. A kijelentést premisszának, a következtetést konklúziónak nevezi a matematika logika, mely a logikának matematikai leírását tűzte ki célul.
A logikai változók a logikai egyenletben a kijelentéseket helyettesíti. A helyettesítésre egy karaktert és azok indexeivel megkülönböztetett elemeit vagy az ABC betűit használjuk. F x x x (x x ) x. egyenlet Az egyenlet baloldalán lévő F a logikai függvényre utal, az egyenletben alkalmazott műveletek kiértékelése után felvesz egy igaz hamis értéket. Az x, x, x egy-egy kijelentés, valamint a felülvonások x, x ezek tagadása. Rendeljünk az x, x, x logikai változóhoz egyegy kijelentést. logikai változó x x x x x x kijelentés a számítógép előtt ülök assemblyben programozom a programom kész nem a számítógép előtt ülök nem assemblyben programozom nincs kész a programom. táblázat Az. egyenlet felírható a kijelentéseivel is, ha ismerjük az összekapcsolást végző műveleteket és azok logikai kiértékelését, akkor ismert lesz az egyenletből nyert konklúzió. Logikai műveletek A logikai műveletek a logikai változók kapcsolata, mely kapcsolatot egy vagy több logikai változó között igazságtáblázatban értékelünk ki. Az igazságtáblázatnak létezik egy általános felépítése: logikai változók logikai változók értelmezési tartománya logikai kapcsolat logikai kapcsolat állapothoz tartozó kiértékelése. táblázat Az igazságtáblázat általános felépítésében a logikai változók helyén felsorolásszerűen adottak, mely tartalmazhat x.x n logikai változót. A logikai kapcsolat a változók között értelmezett műveletet jelenti. A logikai változók értelmezési tartománya, a logikai állapotok felsorolása, melyben minden lehetséges állapot benne van. Az igazságtáblázat utolsó vizsgált része a logikai kapcsolat állapothoz tartozó kiértékelése, ami az értelmezési tartomány egyes állapotához tartozó logikai kapcsolat elvégzését jelenti. Látható, hogy az igazságtáblázat a logikai kapcsolat, vagy logikai művelet igaz/hamis értékét adja meg a változók különböző kijelentéseihez. A logikai egyenlet már nem foglalkozik a változók kijelentéseivel, hanem a logikai műveletek értékét adja meg. A logikai műveletek két nagy csoportját ismerjük, az egyszerű vagy elemi logikai művelet és az összetett logikai művelet... Egyszerű logikai művelet Def: Egyszerű vagy elemi logikai műveleteknek nevezzük azokat a logikai kapcsolatokat, melyek további logikai kapcsolatra nem bonthatók.
Fajtái: tagadás vagy negáció (not) és kapcsolat vagy konjukció (or) vagy kapcsolat (and) A tagadás művelete, negáció Def.: A tagadás olyan, egy kijelentésre vonatkozó logikai művelet, amit alkalmazva, a kijelentés ellentétes logikai értelmezést nyer. A tagadás jelölése a változó felülvonása P. A tagadás igazságtáblázata: P i= h= F P h= i= 4. táblázat Egy kijelentést jelöljünk P- vel, akkor a kijelentésünknek két logikai állapota lehet, igaz () hamis (). A későbbiekben a 4. táblázat helyettesítését alkalmazzuk. Ez lesz, P értelmezési tartománya. A P igaz () értékéhez tartozó kimeneti függvényérték, F P hamis (), a P hamis () értékhez pedig F P igaz () érték tartozik. Az F P egyenlőséget logikai P P { P, P}. ábra egyenletnek nevezzük, ahol P egy logikai változó, aminek értelmezési tartománya a felvehető állapotok halmaza, a felülvonás az elvégzendő tagadás műveletet jelenti. Az F a logikai függvény értéke, minden az értelmezési tartományban lévő állapothoz tartozó kiértékelés. A logikai egyenlet értelmezési tartományában található állapotok mindegyikéhez tartozik egy kimeneti állapota. A tagadás magyarázatát megadhatjuk egy olyan halmazelméleti magyarázattal (.ábra), ahol a P tartalmazza az összes P tulajdonságú elemet. Minden, ami nem ilyen tulajdonságú, tehát P az a P tulajdonságú körön kívül helyezkedik el. Az ÉS művelet, konjukció Def.: A konjukció olyan logikai művelet, ahol legalább két kijelentés logikai kapcsolatában a kijelentések kiértékelése egy állapothoz rendelten mind igazak, akkor az ÉS kapcsolat igaz, egyébként hamis. A ÉS kapcsolat jelölésére a két vagy több változó közé kitett pontot értjük. Igazságtáblázata:
áll. P Q F P Q 5. táblázat Az ÉS művelet (AND) több, legalább két kijelentés logikai kapcsolatát vizsgálja és csak akkor igaz a kapcsolat, ha minden kijelentés igaz. Az igazságtáblázat {P,Q} kijelentést ábrázolja, de tetszőleges n-tagú logikai műveletet és n+ változót tartalmazhat, amit az f( x, x,..., xn ) -nel jelölhetünk. Több megközelítéssel vizsgálhatjuk az ÉS kapcsolatot. Az egyik ilyen, ha a hamis<igaz kijelentésnél a helyettesített < mennyiségi összehasonlítást végezzük el. Nyílván ilyen megközelítést a logikában nincs, de most kivételt teszünk, akkor leírható, hogy, ami mennyiségi relációban igaz. Ezzel a relációval vizsgálva az igazságtáblázatot, a kimeneti érték a hozzátartozó értelmezési tartomány állapotának minimum értéke. Ebből adódóan a konjukciót (ÉS kapcsolat), minimum értékek függvényének is nevezzük, röviden minimum függvény. P Q P Q. ábra A konjukció a halmaz megfelelő magyarázata a. ábrán látható. Legyen a P halmaz egy kör, ami a P tulajdonságú elemeket tartalmazza. Legyen Q halmazunk egy háromszög, ami a Q tulajdonságú elemeket tartalmazza. Az F PQ az a közös kör-háromszög {P,Q} terület, amiben a P halmaz elemei Q tulajdonságúak és Q halmaz elemei P tulajdonságúak, tehát a közös elemek azonos tulajdonságúak. A konjukció-t, előzőekben vázolt megközelítésben metszetnek nevezzük. További értelmezést is rendelhetünk e kapcsolathoz, mert ha állapotokat vizsgálunk, ami kijelentéseket takarnak, akkor az igaz konjukció olyan logikai művelet ahol minden kijelentés igaz, vagyis a kijelentések együttes előfordulásában mind igazak. A VAGY művelet diszjunkció Def.: A diszjunkció olyan logikai művelet, ahol legalább két kijelentés logikai kapcsolatában a kijelentések kiértékelése egy állapothoz rendelten legalább az egyik kijelentés igaz, akkor a VAGY kapcsolat igaz, egyébként hamis. A VAGY művelet jelölésére + jelet használjuk. Igazságtáblázata:
áll. P Q F P Q 6. táblázat A VAGY művelet (OR) több, de legalább két kijelentés logikai kapcsolatát vizsgálja és akkor igaz a kapcsolat, ha legalább az egyik kijelentés igaz. Az igazságtáblázatot a {P,Q} kijelentésekre írtuk fel, de megadható f( x, x,..., xn ) -nel jelölt n kapcsolatra. Az ÉS kapcsolati okfejtésben már vizsgáltuk a függvényt az igazságtáblázatban beírt értékek szerint a relációban. Itt is tehetünk az értékekre vonatkozó megállapítást. Elmondhatjuk, hogy a függvény minden kimeneti értéke a hozzátartozó állapot nagyobb értékét veszi fel, így ez a függvény a maximum értékek függvénye, röviden maximum függvény. P Q. ábra Vizsgálatunk kiterjed a halmaz fogalmak magyarázatával is. Most is a kör P tulajdonságú halmaz elemeit, a háromszög a Q tulajdonságú elemeket tartalmazza. Az unió, másképp a diszjunkció olyan logikai kapcsolat ahol a P és Q elemek egyszer fordulnak elő a közös halmazban, ezért a P,Q metszetrészét ki kell venni a halmazból. Röviden a közös {P,Q} elemek csak egyszer fordulhatnak elő. A diszjunkció, unió, vagy olyan logikai kapcsolat, ami alternatívát kínál föl legalább a két kijelentés egyikének igaz kapcsolatára, a másik kijelentés kiértékelése tetszőleges igaz/hamis lehet... Elemi logikai függvények azonosságai Az elemi függvények alkalmazásakor vannak úgynevezett speciális esetek. Az elemi függvényekkel felépített logikai egyenletben a speciális esetek alkalmazásával egyszerűsíthetjük egyenletünket úgy, hogy annak kiértékelése nem változik. Def.: Azokat a logikai kapcsolatokat, minek alkalmazásával, a logikai egyenlet egyszerűbb alakra hozható úgy, hogy kiértékelésében nem változik, a logikai függvények azonosságainak nevezzük. P P 4. ábra
Szemléltetés- és bizonyításként, a jobb megértés miatt, a 4. ábránkat hívjuk segítségül. Az ábrán a { P, P } halmazt ábrázoltuk. Többször fogunk hivatkozni rá, mivel a halmazelemre vonatkozó kijelentések vagy igaz vagy nem, egy adott halmaz esetén. Műveletek -val A képlet jelenti, ha egy P tulajdonságú halmazt tulajdonságú halmazzal bővítem, akkor P tulajdonságú halmaz az eredménye. Röviden, ha a P tulajdonságú halmaznak egy üres halmazzal () vesszük az unióját, akkor P halmazt kapjuk. P P. egyenlet A következő képletben vesszük a P tulajdonságú halmaz és az üres halmaz () metszetét, ami csak üres halmaz (), lehet, mivel az üres halmaznak nincs eleme, így P halmazzal nincs közös eleme. P. egyenlet Műveletek -el Az jelenti az olyan tulajdonságú halmazt, miben minden tulajdonságú elem benne van. A minden tulajdonságú elemen értjük a P és a P, más tulajdonságú elem nincs jelen. Ha egy olyan halmazt {P, P } akarunk bővíteni, amiben P már benne van akkor új halmazelemet nem jelent P újbóli felvétele. Az eredményünk csak lehet. P 4. egyenlet A jelöléseink megegyeznek az előzőekkel, akkor a mindent tartalmazó () halmazunk és P metszete csak P lehet, mert közös elemeiket csak P határozza meg. A kettős tagadás törvénye. P P 5. egyenlet P P 6. egyenlet Az egyenlőség azt jelent, hogy a P tulajdonságú elemre kijelentjük, hogy az nem P és a kapott P -ra ismételten kijelentjük, hogy az nem P, akkor az előző képletet kapjuk. A 4. ábra szerinti magyarázatban egy halmazelemről megállapítjuk, hogy nem P tulajdonságú, vagyis az P területen van majd ismételten kijelentjük, hogy a kijelölt elem nem P területen van, akkor az csak P halmazterületen lehet. A nem P jelölése P, kétszeres felülvonás. A kizárt harmadik törvénye
P P 7. egyenlet A képletünk azt jelenti, hogy nem tudunk olyan tulajdonságú elemet választani, hogy az ne rendelkezzen {P, P } halmaz elemeinek tulajdonságaival. A kiválasztott halmazelem vagy a P területen vagy P területen található és ez a kijelentés mindig igaz. A konjukció idempotenciája P PP 8. egyenlet A képlet igen könnyen magyarázható. Ha van egy halmazunk, ami P tulajdonságú elemeket tartalmaz, majd ezt megismétlem, és ezek után vesszük a {P,P} halmazok metszetét, akkor az csak P tulajdonságú elemek halmazát adhatja. A diszjunkció idempotenciája P P P 9. egyenlet Az előző törvény magyarázatát lehet megismételni, de VAGY kapcsolatra. Jelenti, hogy csak P-t választhatom, de azt is, hogy P uniója (bővítése) csak P lehet. Az ellentmondás törvénye P P. egyenlet A törvény jelentése az, hogy nem lehet olyan elem, ami egyszerre rendelkezik a P és a P tulajdonságaival. Az ellentmondástalanság törvénye PP. egyenlet Az előző törvény tagadását jelenti, vagyis állítjuk, hogy kijelentésünkkel nem kerültünk ellentmondásba. A konjukció kommutativitása (felcserélhetőség) P Q Q P. egyenlet A logikai változók ÉS műveletén belül a változók felcserélhetősége megengedett. A diszjunkció kommutativitása (felcserélhetőség) P Q Q P. egyenlet A logikai változók VAGY műveleten belüli felcserélhetőségét jelenti. A konjukció asszociativitása (csoportosítás)
P Q R PQ R 4. egyenlet A logikai változók ÉS műveleten belüli különböző csoportosítását jelenti, ezért a zárójelezés elhagyható, a műveleti sorrend tetszőleges. Diszjunkció asszociativitása (csoportosítás) P Q R P Q R 5. egyenlet A logikai változók VAGY műveleten belüli különböző csoportosítását jelenti, ezért a zárójelezés elhagyható, a műveleti sorrend tetszőleges. Disztributivitás (széttagolhatóság) P P Q R PQ P R 6. egyenlet Q R P QP R 7. egyenlet A zárójel felbontása a cél, így szabályos alakot kapunk és a két kijelentés kiértékelése egyszerűbb. Elnyelési törvények P Q P P 8. egyenlet A képlet az unióként egyesített P Q bővítménynek veszi Q-t, P-vel való metszete, P. P Q P P 9. egyenlet A második képlet jelenti, hogy P Q metszetet bővítve P tulajdonságú elemekkel, akkor a hiányzó P elemeket csatoljuk a metszethez, tehát P-t kapunk. De Morgan törvények P Q P Q. egyenlet Jelenti, a halmazmetszet tagadása azonos a nem halmazelemek uniójával. P Q PQ. egyenlet A halmazelemek uniójának tagadása azonos a nem halmazelemek metszetével
.. Összetett logikai műveletek Az összetett logikai művelet a bonyolultabb logikai kapcsolatot írják le elemi logikai műveletekkel. Def.: Azokat a logikai műveleteket, melyek egyszerű vagy elemi műveletekkel leírhatóak összetett logikai műveletnek nevezzük. Három összetett logikai műveletet vizsgálunk, az antivalencia, ekvivalencia és az implikáció. Kizáró vagy kapcsolat, antivalencia Def.: Olyan összetett logikai művelet, melynek eredménye akkor igaz (), ha vagy kapcsolatuk egyik eredménye igaz és azok nem ismétlik önmagukat P Q PQ PQ. egyenlet A kizáró vagy kapcsolat jelölése két vagy több logikai változó közötti, jel. Elemi műveletekkel, tagadással és, vagy kapcsolattal leírható. Az antivalencia igazságtáblázata a 7. táblázat áll. P Q F P Q 7. táblázat Az igazságtáblázat értelmezési tartománya két változóra felírt, de tetszőleges változókapcsolatra is felírható, ami az értelmezési tartomány bővülését vonja maga után. Kettőnél több logikai változó vizsgálatakor részkiértékeléseket páronként végezzük. A kimeneti függvény felvett értéke ott van, ahol a változók nem azonos értékűek. Ilyen példa két kijelentésnek a következő kapcsolat. Vagy meggyógyulsz holnapra, vagy orvoshoz viszünk. Azt a kijelentésekből látjuk, hogy egyszerre csak az egyik kijelentés lehet igaz a másikkal szemben. Megengedő és kapcsolat, ekvivalencia Def.: Összetett logikai művelet akkor igaz (), ha igaz, hogy sem az egyik, sem a másik kijelentés nem teljesül vagy mind a két kijelentésünk egyszerre igaz. P Q PQ PQ. egyenlet A kapcsolat jelölése a logikai változókat összekapcsoló jelölés szolgál. Igazságtáblázata a 8. táblázat.
áll. P Q F P Q 8. táblázat A definíció szerint az ekvivalencia kimeneti függvénye az értelmezési tartomány azonos állapotú, logikai változók kiértékelésekor igaz. Kettőnél több logikai változó vizsgálatakor részkiértékeléseket páronként végezzük. Az igazságtáblázatot megvizsgálva és összehasonlítva az antivalenciával, láthatjuk, hogy egymásnak ellentétei. Képlettel felírva, P Q P Q. Kijelentésszerűen az ekvivalencia az antivalencia tagadása, de ez fordítva is igaz. A következmény szabály, implikáció. Def.: Egy logikai kifejezés (Q) akkor igaz következménye egy másiknak (P), ha a logikai kifejezésnek (Q) csak része egy másik { P,P} kiértékelése igaz Q. P Q P Q 4. egyenlet Az implikáció jelölése a logikai változókat összekötő jel. Igazságtáblázata a 9. táblázat. áll. P Q F P Q 9. táblázat A táblázatból látható, hogy a P akkor lehet következménye Q-nak, ha Q igaz kijelentés. Nézzük a következő példát. Legyen Q kijelentésünk a felvonó üzemel. Legyen P kijelentésünk a felvonó elindult. Behelyettesítve az igazságtáblázatba a kijelentéseket vizsgálva akkor vagyunk bajban, mikor P= ami jelenti a felvonó elindul és Q=, a felvonó nem üzemel. Itt az implikáció kiértékelése, mert nem üzemelő felvonó nem indítható el, ezért F értéke. Halmazelméleti megközelítésben a 5. ábra szolgál magyarázatul. Q P Q P P 5. ábra
Az ábrán két halmazt látunk, egy Q halmazt, aminek elemei a négyszögben vannak. A Q halmazon belül létezik egy P halmaz, aminek azonos tulajdonságú elemeit egy körben helyeztük el. A {P, P } {Q, Q } halmaznak. Példa: Legyen {Q, Q } a karakterek halmaza, miből Q a természetes egészszámok halmaza, P elemei legyenek a páros számok, akkor P a nem páros számok halmaza. A 9. táblázat. állapotában P=, Q=, ami jelenti, hogy Q üres halmazban létezik P páros szám, ez természetesen nem igaz, ezért a kimeneti függvény, F=.. Logikai egyenlet felépítése, a TERM képzés szabályai A logikai egyenletek meghatározása. Def.: A logikai változókat logikai műveletekkel kapcsoljuk össze, azt logikai egyenletnek nevezzük. A logikai változóra is adhatunk definíciót, íme: Def.. Azokat a változókat melynek értéke igaz vagy hamis értéket vehet fel, logikai változónak nevezzük. sorrend művelet műveleti jel tagadás A és A B vagy A B 4 összetet,,. táblázat A logikai egyenletekben a logikai változókon és műveleteken kívül elhatároló jeleket is tartalmazhatnak. Elhatároló jelnek a kerek, kapcsos, szögletes zárójeleket használjuk. Az elhatároló jelek a műveletek elvégzésének sorrendjét adják meg, felosztva az egyenletet zárójelen belüli és kívüli részre. Műveleti sorrend egyező a matematikában tanultakkal, először a zárójelen belüli műveletet, majd a zárójelek közötti műveletet végezzük el. Többszörös zárójel esetében a legbelső zárójeltől indulunk és haladunk a külső zárójelek felé. Ha nincs zárójel, akkor a művelet erőssége adja meg az elvégzendő sorrendet. Ez a precedencia táblázatban megadott sorrend, egy lehetséges kialakítása a. tábla. Ha nem bízzuk a véletlenre, akkor zárójelezéssel adjuk meg a műveleti sorrendet... Logikai egyenletek alakjai Logikai egyenletek alakjain a műveletek és zárójelek szabályszerű vagy éppen nem szabályszerű ismétlődését értjük. Ezért két nagy csoportra bontjuk, szabályos alakú logikai egyenletekre és nem szabályos alakú logikai egyenletekre. A szabályos alakú logikai egyenletek. Def.: Egy logikai egyenlet szabályos alakú, ha felépítése két elemi művelet alkotja (és/vagy), ahol a változók kapcsolatából felépített minden term (és/vagy), a termeket összekapcsoló művelet (vagy/és) kizárólagosan egyazon típusúak. A definícióból látható, hogy a változó közötti műveletek -ez adja a termeket- és a termek közötti művelet eltér. Ha a változók között és kapcsolat van, akkor a termek között vagy kapcsolat és fordítva. Erre utal a definícióban lévő (és/vagy) a változókapcsolatánál illetve (vagy/és) kapcsolat a termkapcsolatoknál.
A term fogalma. Most vizsgáljuk meg, mit jelent a term? A term az általunk létrehozott objektumra vonatkozó logikai kifejezés, ahol a logikai kifejezés logikai változók és műveletek kapcsolata. Most a term egy rendezett pár fogalmát jelenti, ahol a rendezett párt logikai változók alkotják, vagy egyedül, vagy a párosítás szabályainak megfelelően. Minden rendezett pár vagy önmagával, vagy párban, vagy párosítható formában rendezett. Ezért a párt alkotó logikai változó a rendezéskor kijelölt helye a vizsgálat folyamán nem változik. A rendezést az igazságtáblázat szerint, az értelmezési tartományban lévő értékek változóhelyettesítésével végezzük. Végezzük el a legegyszerűbb változóhelyettesítést, ami a 4. táblázat a tagadás függvényét láthatjuk. P P F= P P P. táblázat A logikai függvényt az értelmezési tartományban a helyére P értéket az helyére P-t helyettesítünk. Érték szempontjából a, P összerendelés most is hamis kiértékelést jelent, míg az,p helyettesítés az igaz érték. A logikai függvény az igaz termek vagy kapcsolata, ha a változók és kapcsolatban vannak. Ha a változók vagy kapcsolata adja a termeket, akkor a termek és kapcsolata a logikai egyenletet. Most a kimeneti függvény ott igaz F=, ha az értelmezési tartomány, P. Mivel nincs több igaz term, így a kimeneti függvényünk F P, ami a tagadás logikai egyenlete. Most nézzük meg a vagy kapcsolatot, ahol a kimeneti függvényben igaz term szerepel. A vagy kapcsolat vagy diszjunkciót igazságtáblázatát a 6. táblázatban ismertettük, most készítsünk termet az értelmezési tartomány, változó helyettesítésével. Egészítsük ki a 6. táblázatot a behelyettesítéssel. áll. Értelmezési tartomány Termképzés P Q P Q F P Q P Q P Q P Q P Q. táblázat A.táblázatban elvégzett változóhelyettesítés után feltételezzük, hogy az egyes állapotok változóinak értéke a metszetében jelenik meg, ami a változók ÉS kapcsolatát jelenti. Akkor a termek a változók és kapcsolatából épül fel. A logikai egyenlet szabályos alakú- felépítését a termek vagy kapcsolata adja. Ez pedig az igazságtáblázat,, állapota. Írjuk fel egyenlet formájában az elmondottakat. A leírtak szerint F logikai egyenletünk abból a három ÉS kapcsolatú termből épül fel, melynek kimeneti függvény logikai értéke. A. táblázat kimeneti függvény értékű és ezen termek vagy kapcsolatban vannak egymással. Így a logikai egyenletünk szabályos alakú.
F (P Q) (P Q) (P Q) 5. egyenlet A 5. egyenlet nem egyezik meg a kimeneti függvény F=P+Q összefüggéssel. Ez igaz, de azonosságok alkalmazásával ilyen alakra hozható. Bővítsük az egyenletünket P Q termmel. Megtehetjük, mert egyenletünk nem változik a 9. egyenletben leírt azonosság értelmében P P P, akkor P Q PQ PQ. A 5.egyenletünk a következő változáson megy át. F (P Q) (P Q) (P Q) (P Q) 6. egyenlet Rendezzük egyenletünket a. egyenlet szabálya szerint, ami a felcserélhetőséget engedélyezi, a 5. egyenlet a csoportosítást F [(P Q) (P Q)] [(P Q) (P Q)] 7. egyenlet A kapcsos zárójelben lévő két termre alkalmazzuk a 6. egyenlet szabályát, akkor F [(P (Q Q)] [Q (P P)] 8. egyenlet A ( Q Q) és ( P P) -re alkalmazzuk a 7. egyenlet szabályait F P Q 9. egyenlet Az utolsó lépésként egyenletünket az 5. egyenlet szerint egyszerűsítjük, ami P P és Q Q. F P Q. egyenlet A kapott logikai egyenlet két logikai változó vagy kapcsolatát adja, mit a termek felhasználásával és logikai azonosságok alkalmazásával vezettünk le. Diszjunktív normál formájú (DNF) a logikai egyenlet, ha termeiben lévő változók ÉS, termei VAGY kapcsolatban vannak egymással. Azokat a termeket, melyek változói ÉS kapcsolatban vannak, mintermnek (minimális értékű termnek), mert a változók értelmezési tartomány minden állapotában a kimeneti függvény a minimum értékét veszi fel. F (x x ) (x x x) (x x). egyenlet A. egyenletben változó van x, x és x, ezt jelzi az F kitevőjében lévő. A termeket zárójeleztük, szabályos alakú, mert minden változó között ÉS kapcsolat és minden term között VAGY kapcsolat. Ebből következik, hogy mintermekből felépülő diszjunktív normál formájú egyenletről van szó. Konjuktív normál formájú (KNF)a logikai egyenlet, ha termeiben lévő változók VAGY, termei ÉS kapcsolatban vannak egymással. Azokat a termeket, melyek változói VAGY kapcsolatban vannak maxtermnek (maximális értékű termnek), mert a változók értelmezési tartomány minden állapotában a kimeneti függvény a maximum értéket veszi fel. Nézzünk egy példát.
F (x x x) (x x) (x x ). egyenlet Nem szabályos alakú logikai egyenletek. Def.: Nem szabályos egy logikai egyenlet, ha a változók term képzésére és a term kapcsolatára nem fedezhető fel szabályosság. F (x x x) x x. egyenlet A minden nem szabályos logikai egyenletek szabályossá alakítható, ha kiértékeljük ÉS term táblázatát. áll. x x x x x x x x ( x x x) x ( x x x) x x 4 5 6 7. táblázat A. táblázatban az első 4 oszlop az állapot felsorolása..7-ig vagyis 8 állapot, illetve x,x,x értelmezés tartománya. Az egyenletet úgy oldjuk meg, hogy a zárójelben lévő műveleteket végezzük el először majd a zárójellel kapcsolatost. A táblázatban sorra vettük a műveletet és a műveletnek megfelelően az aktuális állapotra végeztük el. Az utolsó oszlopban megkaptuk a kimeneti függvény állapotokhoz tartozó kiértékelését. Készítsük el az ÉS termét a változós függvényünknek és másoljuk át az utolsó oszlopot. áll. x x x ( x x x) x x x x x x x x x x x x x x 4 x x x 5 x x x 6 x x x x x 7 x 4. táblázat A logikai egyenletünk termei azok melyek kiértékelése igazak. Felsoroljuk az állapotokat, ami a sorszámos alakot adja. F (,,4,5,6) 4. egyenlet Az egyenletben lévő jelenti, hogy DNF logikai egyenletről van szó. A zárójelben lévő számok az értelmezési tartomány igaz () állapotai. Akkor az egyenlet.
F (x x x) (x x x) (x x x) (x x x ) (x x x) Egyszerűsítve az egyenletet kapjuk: 5. egyenlet F x (x x ) 6. egyenlet Nem csak a DNF formának, hanem a KNF formának is létezik sorszámos alakja. F (,4,6) 7. egyenlet A 7. egyenletben a a KNF sorszámos alakot jelenti a kitevőben lévő a változó darabszámot. Összegzésként megállapítható, hogy minden logikai egyenlet szabályos alakra hozható. Az is megállapítható, hogy egyszerűsítéssel a minimálalak megadható. Egy logikai egyenlet tovább nem egyszerűsíthető alakját, minimálalakú egyenletnek nevezzük... Logikai egyenletek egyszerűsítése, átalakítása Logikai egyenletek egyszerűsítése Logikai egyenleteket egyszerűsítését két módszerben ismertetjük. Hallgatólagosan már végeztünk egyszerűsítéseket a logikai egyenletekre alkalmazott azonosságokkal és a sorozatos alkalmazások után megtaláltuk a logikai egyenletek minimálalakját. A másik módszer a grafikus módszer. Itt egy olyan táblázatot használunk, aminek segítségével az egyszerűsítést el tudjuk végezni. Egyszerűsítés azonosságok alkalmazásával, DNF egyenletekre. (x x ) (x x ) (x x ) F 8. egyenlet Alkalmazzuk a 6. egyenlet, de most kiemelésre, akkor a 6. egyenlet jobb oldalát akarjuk a P Q PR P Q R formációt kapjuk. baloldalira alakítani, megcserélve az oldalakat, Végezzük el az egyenletünkön, az első két mintermből kiemelhető az x F (x x) (x x) (x x) (x (x x)) (x x) 9. egyenlet Alkalmazzuk a 9. egyenletre a P P a 7. egyenletet a zárójelben lévő x -re. F (x ()) (x x) x (x x) 4. egyenlet A 4.egyenletben az ( x ()) minterm a 4. egyenlet P P törvénynek felel meg, ezért az x. A 9. egyenlet az elnyelési törvény, P P Q P ismét a 4. egyenletre alkalmazva nyerjük a 4. egyenletet F x (x x ) x 4. egyenlet Eredményül kaptuk az x. ami az eredeti egyenletünk minimálalakja. x
F 4. egyenlet Láttuk a 8. egyenletünk az egyszerűsítések folyamán egyetlen egy egyváltozós termre csökkent. A megoldást az adta, hogy az egyenletben felismertük azokat az azonosságokat, melyek alkalmazásával eljutottunk a minimálalakig. Nézzünk egy egyenletet KNF formára. F (x x) (x x) (x x) 44. egyenlet Először alkalmazzuk P Q P R P Q R, mit a 7. egyenletben írtunk le csak megcserélt oldalakkal. Alkalmazzuk az első két maxtermre F (x x) (x x) (x x) (x (x x)) (x x) 45. egyenlet A zárójelen belüli ( x x) az ellentmondás törvénye, aminek értéke. Megvizsgálva az ( x ) uniót, a kapcsolatban az x -at egészítettük ki egy üres halmazzal, ami x. Most már leírhatjuk A maxtermre vonatkozó elnyelési törvény P x F x (x x) 46. egyenlet P P Q, alkalmazva a 46.egyenletre, F x 47. egyenlet Látjuk, hogy a maxterm és mintermben megadott egyenletek minimálalakja egyező.47.egyenlet a 4. egyenlettel. A feladatban nem tudatosan, hanem véletlenül egy speciális esetet választottunk. Egyszerűsítés grafikus módszerrel. A grafikus módszer egy táblázat, melyet 95-ben Edward W. Veitch találta ki, majd Maurice Karnaugh távközlési mérnök fejlesztette tovább. A táblázat lényege, hogy a logikai változók mennyiségének ismeretében az értelmezési tartományra megadjuk az összes term kapcsolatait. A termeket úgy rendezzük el, hogy annak bináris értéke bitben különbözzön egymástól (Gray-kód). A logikai változók darabszámának függvényében adhatjuk meg a táblázatot, ami i állapot 48. egyenlet i, ahol n. Még kezelhető változó darabszám az 5,6 változó. Minterm-tábla. Vizsgáljuk meg a,,4 változós logikai egyenletek értelmezési tartományát, majd a vizsgálat után készítsük el ezek táblázatait. Kétváltozós függvény értelmezési tartománya a 48.egyenlet szerint állapot 49. egyenlet tehát 4. Legyen a logikai változók x és x, készítsük el az értelmezési tartomány minterm értékeit az x és x logikai változókkal. n 4
áll. x x A változók ÉS kapcsolata x x x x x x x x 5. táblázat A 5. táblázat első oszlopa az értelmezési tartomány állapotait sorolja fel, két változó esetén 4 állapotot (,,,). A második oszlop a rendezett párt az x és x páros alkotja, melynek tulajdonsága, hogy bináris helyértékkel ruháztuk fel, x a -on, az x a helyértékű, mellyel az állapotok (áll.) sorszáma megadható 8,,6-os számrendszerben. A harmadik oszlopban a változókat behelyettesítettük a második oszlop értelmezési tartomány kiértékelt és helyére úgy, hogy a helyére a negációs-, az helyére a nem negációs értéket helyettesítettük be és a két változót logikai ÉS kapcsolattal láttuk el. A Karnaugh-táblát úgy építjük fel, hogy az egymással érintkező négyzetek (cellák) bináris értékei bitben különbözzenek egymástól. x x x x x x x x 6. táblázat A 5. táblázat egy sora egy cellában helyezkedik el, a 6. táblázatban. Az egymással, éllel érintkező cellák, egy bitben különböznek egymástól, sor és oszlop elrendezésben. Egy cella igen zsúfolt, további bejegyzés már nem fér el, ezért a következő változást tesszük meg. x x x x x x x x 7. táblázat Az első sorból kiemeljük az -at, a másodikból az. Oszlopok esetén is látható és kiemelhetősége. Ha a bináris értéket is elhagyjuk, mert a változókon látható az igaz/hamis / kiértékelés, akkor a cellákban csak a decimális sorszámok maradnak, mit a 8. táblázat tartalmaz. Megállapodunk, hogy a nem jelölt sor/oszlop, a negációs változók helyei.
8. táblázat A 8. táblázat a kétváltozós minterm táblázat. Maxterm-tábla A maxterm táblázat a változók vagy kapcsolatából nyert termek kapcsolata. A tábla szerkesztése a minterm változók komplementerének vagy kapcsolata. áll. i A változók ÉS x x kapcsolata m i A változók komplementer értékének vagy kapcsolata M j Komplementer áll. j x x x x x x x x x x x x x x x x 9. táblázat A maxterm-tábla a minterm változók komplementer vagy kapcsolatából felépített termeinek kapcsolata, ami elrendezésében, követelményeiben azonos a minterm-táblával. A 9. táblázatból általános képletet állíthatunk össze a minterm-, maxterm-tábla közötti kapcsolatra. j (n ) i 5. egyenlet i (n ) j 5. egyenlet Ahol a változók a következők: j a maxterm-tábla állapot sorszámának decimális értéke n a logikai változók darabszáma i a minterm-tábla állapot sorszámának decimális értéke Nézzük meg a maxter-tábla cellájának sorszámát, ha ismert a minterm-tábla adatai. Legyen n=, i=, akkor j (n ) i ( ) 4. A keresett maxterm-tábla állapot sorszáma. Nézzük a minterm-, maxterm kapcsolatot, ami a változó és művelet komplementere, ha a változó komplementere a negáció, valamint a vagy/és művelet komplementere az és/vagy művelet.
M m n j n i 5. egyenlet m M n i n j 5. egyenlet Az 5. egyenlettől az 5. egyenletig a minterm-, maxter-tábla átalakítás egyenletei. Ezek után már meg tudjuk adni a kétváltozós logikai kapcsolat maxterm-tábláját. Végezzük el a 8. táblázat kiemeléseit. Minterm-tábla Maxterm-tábla. táblázat Szerkesztésből látható, hogy a két táblázat egymás komplementere, a term sorszámok és változók a komplementereik helyére kerültek. Hosszabb magyarázkodás nélkül, felrajzolható a,4,5 változós minterm-, maxterm-tábla. Logikai egyenletek egyszerűsítése grafikus módszerrel,4 változós egyenletig viszonylag egyszerű módszerekkel megadható. Számjegyek bináris helyérték 4 5 6 7 8 9 A B C D E F. táblázat
Az Informatika alapjai I könyv már tartalmazta a bináris (), oktális (8), decimális () és a hexadecimális (6) számok bináris megfelelőit. Ennek alapján készítettük el. táblázatot ahol a változók helyettesítését négy változóig megtettük. Vastag kerettel bekereteztük a lehetséges állapotokat,, és 4 változó esetén úgy, hogy az magában foglalja az előzőeket. A változók helyettesítése után összeállíthatjuk a mintermeket, ha vesszük a változók ÉS kapcsolatát. Az 5-5. egyenlettel megadhatjuk a maxterm-táblát a változók vagy kapcsolatával. Nézzük a és 4 változós minterm-, maxterm táblát. Minterm-tábla Maxterm-tábla 7 6 4 5 4 5 7 6 Háromváltozós minterm-, maxterm-tábla. táblázat Minterm-tábla Maxterm-tábla 5 4 4 5 7 6 8 9 5 4 8 9 7 6 4 5 Négyváltozós minterm-, maxterm-tábla. táblázat A táblázatból kiemelt logikai változók hatását a. táblázat minterm-táblázata mutatja. Csökkenő helyértékű változósorrendet betartva felírhatók az egyes ÉS termek. pl. az 5 sorszámú term ( x x x ), aminek jelentése, hogy az ötös (5) ÉS term benne van az x -ben és az x -ban és nincs benne az x -ben. Ezen magyarázat szerint a sor és oszlop elé kiemelt változók a kiemelt sor és oszlopban fejtik ki hatásukat, annyi különbséggel, hogy a mintermtáblában ÉS kapcsolat, a maxterm-táblában VAGY kapcsolat a változók közti logikai művelet. Pl. táblázat, maxterm-tábla sorszámú VAGY term x x x ). (
.. Logikai egyenlet ábrázolása term táblázatban Előzőekben megállapodtunk, hogy a ponált érték komplementere a negáció, a VAGY kapcsolat komplementere az ÉS kapcsolat és fordítva. Az azonos típusú term-táblázat minden terme egy logikai műveletből épül fel. A logikai egyenletek alaki vizsgálatánál láttuk, hogy két típusa van, szabályos és nem szabályos alakú logikai egyenletek. Megállapítottuk, hogy minden logikai egyenlet szabályos alakra hozható, valamint minden szabályos alakú logikai egyenletnek létezik egy tovább nem egyszerűsíthető egyenlete, mit minimál alakú egyenletnek nevezztünk. Közelebbről megvizsgálva a szabályos alakú egyenleteket azt láttuk, hogy a változók azonos művelettel alkotnak termet, akkor a műveletek komplementere, a termek közötti művelet. Így a szabályos alakú egyenletekre két új fogalom jött létre, amit a termek közötti műveletnevek adtak. Ha a termek között VAGY kapcsolat van, akkor diszjunktív normál formájú (DNF), ha ÉS kapcsolat, akkor konjuktív normál formájú (KNF) a logikai egyenlet. (a VAGY kapcsolat diszjunkció, az ÉS kapcsolat konjukció) Logikai egyenletek szabályos alakjai a DNF és KNF alakok. Előző fejezetben már volt róla szó, de nézzünk egy-egy példát mindkét alakra. Diszjunktív normál forma (DNF) (x x ) (x x ) (x x ) F 54. egyenlet Konjuktív normál forma (KNF) F (x x) (x x ) (x x) 55. egyenlet A műszaki életben mindkét egyenletformára szükségünk van, ezért lehetőséget kellett biztosítani a különböző formák közötti átalakításra. Ismert a vegyes formátumú szabályos alakú egyenletek, mely felépítése jól elhatárolt DNF/KNF illetve KNF/DNF formátumú, ahol részvizsgálata már KNF vagy DNF egyenletként lehetséges. A szabályos alakokhoz hozzárendelhetők a term-táblázatok. Ha a változók ÉS kapcsolatúak (mintermek), akkor a termek diszjunkt (vagy) kapcsolatúak. Megállapítható, hogy mintermtáblában DNF egyenletek termeit helyezhetjük el. (54. egyenlet) Más nem lévén, a VAGY kapcsolatú változók (maxtermek), termei konjuktív (ÉS) kapcsolatúak. Így maxterm-táblában KNF egyenlet termei találhatók. A logikai egyenletek term-táblázatos ábrázolása lépésekre bontható.. a változók darabszámának, helyértékének meghatározása. normál forma meghatározása. term táblázat kiválasztása 4. az igaz termek jelölés -es beírásával Végezzük el az 54. egyenlet ábrázolását. Válaszok az előző felsorolásra.. az egyenlet változós x, x, x, legyen x, x, x, így rögzítettük a logikai változók helyértékeit. az egyenlet DNF formátumú, ez jelenti a termek közötti VAGY kapcsolatot ÉS kapcsolatú változókkal. Ezért a táblázat változós minter-tábla. igaz termek jelölése a minterm-táblában beírással történik. A beírás a változók hatásköre szerint tesszük. Az egyenletünk az (x x ) (x x ) (x x ), a termeket jelöljük T n -el, és n = {,,} F halmaz. Legyen T x x, T x x, T x x jelölt termek. A kialakított jelölésekkel felírható egyenlet F T T T, ahol T =(4,5),T =(5,7) és a T =(,5) sorszámú termek.
Minterm-tábla = = 4 5 = 7 6 4. táblázat. A többször előforduló term sorszámát egyszer jelöljük a táblázatban. Figyelembe véve a 4.táblázat adatait abból megadható az egyenlet sorszámos alakban, ami: F (,4,5,7). Vizsgáljuk meg a T x x term ábrázolását. A T term ábrázolásában olyan változókat tartalmazó termeket keresünk, melyre igaz, hogy tartalmazza x -et és nem x része, tehát x. Ez pedig a T =(4,5) termek. Állításunk igazát a logikai azonosságokkal bizonyíthatjuk. T (x x x) (x x x) 56. egyenlet Egyenletünkre alkalmazzuk a P Q R PQ PR 6. egyenletben leírt logikai azonosságot. Legyen a P x x, a Q x és R x, akkor a 6. egyenletnek megfelelően zárójelezve az 56. egyenletet kapjuk, ( x x ) (x x) {[(x x ) x] [(x x ) x]} 57. egyenlet Meghagyva a baloldalt a T term egyenlő T (x x ) (x x) 58. egyenlet Folytatásban a 7. egyenlet azonosságát a P P összefüggést alkalmazzuk, de P x és x x P x helyettesítéssel, akkor T (x x ) () 59. egyenlet Utolsó lépésként felhasználjuk a P P, az 5. egyenletet, ahol P (x x ) -et helyettesítünk, T (x x ) 6. egyenlet A 6. egyenletben leírt végeredményt kapjuk. Átgondolva a levezetésünket deduktív következtetésként megállapíthatjuk, hogy az egymás mellett/alatt éllel érintkező termekből kiemelhetők a változók. A nem kiemelhető változók eltérése VAGY kapcsolat esetén, ÉS kapcsolat esetén, amit a kapcsolt művelettel megvizsgálva, eredményül a kiemelt változókat kapjuk...4 Logikai egyenlet egyszerűsítése term-táblázatban, minimálalak keresés Előző fejezetben láttuk, hogy az egymás mellett/alatt éllel érintkező termeket leíró változókból kiemeléseket tehetünk. Kiemelések után egyszerűsödő tömböket kapunk, több elemi termből. A tömböket szintén termeknek nevezzük. A tömbösítés oly mértékben végezhető, hogy a kapott tömb egyetlen változóval leírható. Az így nyert tömböt is termnek
nevezzük, mert kielégíti a term fogalmát. Megállapíthatjuk azt, hogy term lehet egy vagy több változó logikai művelettel összekapcsolt alakja. Term táblázatban a logikai egyenletet, úgy egyszerűsíthetjük, hogy ábrázoljuk az igaz termeket, majd az éllel érintkező termeket úgy kapcsoljuk össze, hogy kevesebb logikai változóval lehessen leírni. Állítás Egymás mellett/alatt páros szám mennyiségű (-,4-,6db..stb) termek vonhatók össze. Bizonyítás Egészítsük ki az 56.egyenletet a 4. táblázat 7 sorszámú termével. Eredményül T (x x x) (x x x) (x x x) 6. egyenlet Az első két termet egyszerűsítettük és a 6. egyenletet kaptuk, most helyettesítve, T (x x ) (x x x) 6. egyenlet Továbbiakban x -et tudjuk kiemelni T x [(x ) (x x)] 6. egyenlet A 64.egyenlet tovább nem egyszerűsíthető és nem felel meg a termképzés szabályának, mivel a logikai változókat ÉS valamint Vagy kapcsolat is összeköti. Kijelenthetjük, hogy páratlan számú egymásmelletti term nem vonható össze. Azt már bizonyítottuk, hogy két egymás mellett éllel érintkező termek összevonható, három pedig nem. Nézzük négy term összevonhatóságát. Minterm-tábla = = 4 5 7 6 = 5. táblázat Ellipszissel fogtuk össze a négy termet, szeretnénk egyetlen termmel helyettesíteni. A négy termet leíró egyenletünk T (x x x) (x x x) (x x x) (x x x) 64. egyenlet Legyen a négy term T,T,T, T4 és a termeket alkotó változók kapcsolatai A term leíró termek. T (x x x ) 65. egyenlet T T (x x x (x x x ) 66. egyenlet ) 67. egyenlet T4 (x x x ) 68. egyenlet
T T 69. egyenlet T T T4 A 66. egyenletünk első két termét az 56 egyenletből kapott 6. egyenletben már összevontuk, akkor, Maradt a T T4 termek, ami T T x x 7. egyenlet T 4 T (x x x ) (x x x ) 7. egyenlet Kiemelve az ( x x ) változókat T (x x ) (x x ) 7. egyenlet T 4 Az ( x x ) helyettesítés után az ( x x ) () kapjuk a metszetet, ami ( x x ) egyenlő. T T4 (x x ) 7. egyenlet Most már felírhatjuk az összevont termet. T 4 T T T T (x x ) (x x ) 74. egyenlet A 76. egyenlet jobb oldalán kiemelve x -et, ( x) (x x ), tudjuk, hogy ( x x ), elvégezve a metszetképzést -el ( x) () x T T T T T4 x 75. egyenlet A 77. egyenletet kapjuk. Látjuk, hogy a 45. táblázatban összekapcsolt termek eredő terme a kiemelt változó. Az egyszerűsítés is ennek megfelelően végezhető el, összekapcsoljuk az egymás mellett lévő igaz értékkel jelölt (), párosszám mennyiségű termeket, majd a közös jellemzésére elfogadott változókkal meghatározzuk az egyszerűsített termet. A grafikus egyszerűsítés tehát a termek grafikus összevonása a megadott szabályok szerint. Az összevonást nem kell azonosságokkal igazolni, csak a minimál alakú egyenletet felírni. Végezetül legyen egy példa a minter- és maxterm-táblázat grafikus egyszerűsítésére. Legyen adott a F x ; x ; x ; x (x x ) (x x x ) (x x ) (x x ) 76. egyenlet logikai egyenlet, ahol helyértékű. Határozzuk meg a logikai egyenlet minimál alakját. Megoldás: Az ábrázoláshoz 4 változós minterm-tábla kell, a megadott helyértékkel ellátva. Minterm-tábla 4 5 7 6 5 8 9 4 6. táblázat
Látható a 78. egyenlet 4 terme a 46. táblázatban, ha felbontjuk a termek jelölését, új nagyobb területű termek kialakítását hozhatunk létre. 5 7 4 5 8 9 4 5 7 6 4 5 8 9 6 4 7. táblázat Összehasonlítva a 46. táblázattal, a 4 termből két összevont term alakítható ki, a 47.táblázatban, amit a táblázatban jelöltünk. Az egyszerűsített egyenletünk F (x ) (x x) 77. egyenlet Előzőekben is több term, de most is látható, hogy vannak olyan sorszámú termek, melyek többször szerepelnek az összevont termekben, pl 47.táblázatban a 6,4 sorszámú term. Ez megengedett, mivel az egyenlet kiértékelésekor teljesen mindegy, hogy hány alkalommal vesszük igaz értékét egy adott sorszámú termnek. Jelölni csak egyszer fogjuk. A 79.egyenlet a 78.egyenletnek minimál alakja, mivel tovább már nem egyszerűsíthető. Feladat a maxter-táblára. Ismert a 4 F (,,,4,5,6,8,9,,,4) 78. egyenlet Ahol a logikai változók helyérték kiosztása x ; x ; x ; x. Határozzuk meg a logikai egyenlet minimálalakját. A sorszámos alak jelölése miatt a változók vagy kapcsolata, a termek és kapcsolata ismert. A logikai egyenlet alakja KNF, az ilyen alakú egyenletek grafikus vizsgálatát maxter-táblában kell elvégezni. Ábrázoljuk a sorszámos alakot 4 változós maxterm-táblában. 5 7 4 6 8 4 9 5 8. táblázat A 48.táblázat szerint három tömböt alakíthatunk ki, amit egyenletbe foglalva kapjuk F x (x x ) (x x) 79. egyenlet A maxter-minterm átalakításban a megadott formátumú egyenlet átalakítása a másik formátumra. Pl KNF átalakítása DNF-re, vagy fordítva. Legyen ismert a 48.táblázat KNF ábrázolása, alakítsuk át DNF alakra. Ábrázolni 4 változós minterm-táblában kell.
4 5 7 6 5 5 4 8 9 7 4 6 8 4 9 5 A tábla B tábla 9. táblázat A 48. táblázatot látjuk a 49.tábla B táblában. Az A tábla a B tábla komplementere. A (hamis) értékű maxtermek (,7,,,5) komplementerei lesznek a minterm tábla (igaz) értékei. Ezek 4 F (,,4,8,) 8. egyenlet a sorszámos alakot adják. Két összevont term alakítható ki a sorszámos termekből, az A táblán x x (,4,,8 sorszámú termekből) és a x x x ( a, sorszámú termekből) az egyenletet felírva F (x x) (x x x) 8. egyenlet Az átalakítás menete DNF-ből KNF-re is igaz, ott a minterm (hamis) értékű termeinek komplementerei lesznek (igaz) maxterm értékek. Reláció- és logikai egyenletek kapcsolata Két vagy több mennyiség, összehasonlítását relációnak nevezzük, ahol jelöljük az összehasonlítás jellegét. A relációt, a mennyiségek rendezésekor vagy válogatásakor alkalmazzuk. Relációban lévő változók logikai tulajdonságúak, ezért összekapcsolható a logikai egyenlettel. Ha két logikai mennyiség kiértékelésekor a (hamis) állapothoz hozzárendeljük a kisebb értéket, az (igaz) értékhez a mennyiségileg nagyobbat, akkor a következő igazságtáblázatot állíthatunk össze. áll. < > = =< >= Az.táblázatból felírható egyenletek. Kisebb (<):. táblázat
Nagyobb (>): Egyenlő (=): Kisebb egyenlő (=<): Nagyobb egyenlő (>=): Nem egyenlő ( ): Az egyenletekből látható, hogy a relációk összetett logikai műveletekkel leírhatók. 4 Folytatás következik