Mechanika (FBL11E-1) Fizika tanári minor_l + Fizika BSc_L +1 óra Előadó: Dr. Geretovszky Zsolt gero@physx.u-szeged.hu, 54-4659 Gyakorlatvezető: Dr. Horváth Zoltán z.horvath@physx.u-szeged.hu, 54-458 http://titan.physx.u-szeged.hu/~opthome/optics/indexh.html Oktatás/Kurzusok menüpont Előadás 1. szeptember 17. P: 1-16 1. október 1. P: 1-16 1. október 15. P: 1-16 1. november 5. P: 1-16 1. november 19. P: 14-18 óra/félév Fröhlich Pál tanterem Fröhlich Pál tanterem Fröhlich Pál tanterem Fröhlich Pál tanterem Fröhlich Pál tanterem Gyakorlat 1. november 19. P: 1-14 1 óra/félév Fröhlich Pál tanterem Fröhlich Pál tanterem Fröhlich Pál tanterem Fröhlich Pál tanterem Fröhlich Pál tanterem ZH
A követelmények ismertetése. Információk A kurzus segédanyagai a http://opt.physx.u-szeged.hu/indexh.html internetcímen az Oktatás/Kurzusok link alatt találhatóak meg. Ajánlott irodalom a mechanika részhez: - Budó Ágoston: Kísérleti fizika I., Nemzeti Tankönyvkiadó (könyvtár, antikvár) - Erostyák János, Litz József: A fizika alapjai, Nemzeti Tankönyvkiadó, - Erostyák János, Litz József: Fizika I. Klasszikus mechanika, Nemzeti Tankönyvkiadó, 7 - Dialóg Campus Kiadó Általános Fizika sorozatának könyvei: Tasnádi Péter, Skrapits Lajos, Bérces György: Mechanika I. Tasnádi Péter, Bérces György, Skrapits Lajos, Litz József: Mechanika II. Hőtan A világhálón fellelhető anyagok legtöbbször NEM lektoráltak!! Követelmények A gyakorlaton való részvétel kötelező. A vizsgára bocsáthatóság feltétele a gyakorlat sikeres (legalább elégséges ()) teljesítése. A kollokvium írásbeli beugró dolgozatból és szóbeli vizsgából áll. A beugró dolgozat megírására 5 perc áll rendelkezésükre. A beugró kérdések 4 témakörből kerülnek ki. A beugró akkor sikeres, ha MINDEN (!!!) témakörből megszerezik az adható pontok legalább 5%-át. A beugró kérdéssora, valamint a tételsor a tanszéki honlapról letölthetőek: http://titan.physx.u-szeged.hu/~opthome/optics/indexh.html
A fizikai mennyiség x={x}[x] (számérték)(mértékegység) A mértékegység az azonos fajtájú mennyiségek halmazából kiválasztott vonatkoztatási mennyiségérték. Etalon: valamely mennyiség mértékegységét reprodukálható módon megtestesítő mérőeszköz. Koherens mértékegységrendszer: a mértékegységek zöme néhány definiált alapmennyiség egységeiből származtatható. Egy fizikai mennyiség definíciójával szemben támasztott a legfontosabb követelmény az, hogy egyértelműen megállapítható legyen belőle, hogy az illető mennyiséget hogyan kell mérni. Milyen a jój mértékegység? g? Elvileg a fizikai mennyiségekhez tetszőleges mértékegységet hozzárendelhetünk. Azonban a mértékegységeket célszerű úgy megválasztani, hogy segítségükkel a mindennapi élet tapasztalatai egyszerűen kifejezhetők legyenek. Továbbá az egységet időtálló módon rögzíteni a mértékegységeket lehetőleg természeti állandókra vagy jól reprodukálható jelenségekre kell alapítani, és a lehető legnagyobb körben egyezményesen elfogadtatni.
A mérés m és s hibája A mérés: a mérendő mennyiségnek az adott mennyiség egységével (etalonjával) történő összehasonlítása. Az abszolút hiba: x± x A relatív hiba: x/x A mértékegységek megválasztása (kellő mérési pontosság, időtállóság, kezdetben emberi lépték) Dimenzionális homogenitás A mértékegységredszer transzformációjával szembeni szimmetria. Az egyenletek ezen tulajdonságát a Fourier-feltétel rögzíti: Egy egyenletben szereplő minden tag dimenziójának azonosnak kell lennie. Az egyenletek felbonthatók külön a mérőszámok és külön a mértékegységek közötti kapcsolatokra. pl. az x 3 =ax 1 α1 x α egyenlet azt jelenti, hogy {x 3 }[x 3 ]={a}[a]{x 1 } α1 [x 1 ] α1 {x } α [x ] α, azaz egyszerre kell teljesüljön, hogy {x 3 }={a}{x 1 } α1 {x } α és [x 3 ]=[a][x 1 ] α1 [x ] α, azaz a mértékegységek egymástól nem függetlenek. A természettörvények objektívek, az őket leíró egyenletekben szereplő mennyiségek számértéke függ az etalon illetve a zéruspont megválasztásától, azaz szubjektív. Pl. F = ma egyenletben a fizikai mennyiségek közötti kapcsolat független a választott mértékegységtől. A mértékegységet csak akkor kell megadni, ha a képletben egy mértékegységgel rendelkező konstans is szerepel. Dimenzióanalízis Dimenzió nélküli kifejezések (sin (); e(); stb.)
Mértékrendszerek 1799. június az első tízes alapú mértékrendszer (Decimal Metric System); az első platina méter és kilogram etalonok elhelyezése a párizsi Archives de la Républiqueban. 183. Gauss megalkotja az első koherens mértékrendszert, melyben a kg-hoz és a m-hez hozzáveszi a csillagászatból vett másodpercet. Gauss meghatározza a Föld mágneses terének erősségét a milliméter, gramm and másodperc egységek segítségével. 186-as évek Maxwell és Thomson javasolja, hogy a koherens mértékrendszer álljon alap és származtatott mértékegységekből. 1874 bevezetik a CGS rendszert, mely három mechanikai egységen a centiméteren, a gramon és a másodpercen alapul és a prefixumok közül bevezetik a mikrotól a megáig terjedőket. 1875 május. Méter Konvenció, feladata az új méter és kilogram etalonok kidolgozása. 1889 életbe lép az MKS rendszer az új méter és kilogram standardokkal és a bevezetésre kerülő csillagászati másodperccel. 191 Giorgi bebizonyítja, hogy a mechanikai mértékegységekhez az ampert, vagy ohmot hozzáváve koherens 4 elemű mértékrendszer alkotható. 191 a Méter Konvenció felülvizsgálata. 1939 az MKSA rendszer bevezetése: a negyedik mértékegység az amper lesz. 1954 bevezetésre kerül a kelvin és a candela, mint a termodinamikai hőmérséklet és a fényerősség egységei. 196 A hat elemű mértékrendszer a Système International d Unités (SI) nevet kapja. 1971 az anyagmennyiség mértékegységének, a molnak a bevezetésével teljessé válik a jelenleg is érvényes 7 tagú SI mértékrendszer. http://physics.nist.gov/cuu/units/introduction.html Mars Polar Lander Spacecraft Dimensions 1.6 meters tall by 3.6 meters wide. Spacecraft Weight Total: 576 kg Propellant: 64 kg Mission Timeline 1993: Project started January 3, 1999: Launch December 3, 1999: LOST during landing Project Cost $11 million for spacecraft development, $1 million mission operations; total $1 million (not including launch vehicle or Deep Space microprobes).
Az SI alap mértm rtékegységeigei Mennyiség Név Jel Hosszúság Tömeg méter kilogram m kg Idő másodperc s Elektromos áram Termodinamikai hőmérséklet Anyagmennyiség amper kelvin mol A K mol Fényerősség kandela cd Az SI alapegységei gei A hosszúság mértékegysége a méter, jele m. A méter annak az útnak a hosszúsága, amelyet a fény vákuumban 1/99 79 458 másodperc alatt tesz meg. A tömeg mértékegysége a kilogramm, jele kg. A kilogramm a Sévres-ben őrzött tömegetalon tömege. A idő mértékegysége a másodperc, jele s. Az alapállapotú cézium 133 atom két hiperfinom szintje közti átmenethez tartozó sugárzás 9 19 631 77 periódusának időtartama. Az elektromos áramerősség mértékegysége az amper, jele A. Az amper olyan állandó elektromos áram erőssége, amely két egyenes, párhuzamos, végtelen hosszúságú, elhanyagolhatóan kicsiny körkeresztmetszetű és egymástól 1 méter távolságban, vákuumban levő vezetőben fenntartva, e két vezető között méterenként x1-7 N erőt hozna létre. A termodinamikai hőmérséklet mértékegysége a kelvin, jele K. A kelvin a víz hármaspontja termodinamikai hőmérsékletének 1/73,16-szorosa. Az anyagmennyiség mértékegysége a mól, jele mol. A mól annak a rendszernek az anyagmennyisége, amely annyi elemi egységet tartalmaz, mint ahány atom van,1kg szén-1 izotópban. A fényerősség mértékegysége a kandela, jele cd. A kandela az olyan fényforrás fényerőssége adott irányban, amely 54THz frekvenciájú monokromatikus fényt bocsát ki és sugárerőssége ebben az irányban 1/683-ad watt/szteradián.
SI prefixumok Faktor Név Jele 1 4 yotta Y 1 1 zetta Z 1 18 exa E 1 15 peta P 1 1 tera T 1 9 giga G 1 6 mega M 1 3 kilo k 1 hekto h 1 1 deka da Faktor Név Jele 1-1 deci d 1 - centi c 1-3 milli m 1-6 mikro µ 1-9 nano n 1-1 piko p 1-15 femto f 1-18 atto a 1-1 zepto z 1-4 yocto y Származtatott mértm rtékegységekgek
A hosszúság 1799: a Párizson áthaladó délkör hosszának 4 milliomod része (Cu mérőhasáb, levéltári méter ) 1889: nemzetközi méter etalon platina-irídium (9/1) ötvözetből, ősméter (hiba 1µm, relatív hiba: 1-6 ) 196: a kripton 86 izotóp egy átmenetének hullámhosszához rögzítik a métert 1 m = 1 65 763,73 λ mérési eljárást adtak meg, relatív hiba: 1-9 1983: A fény által vákuumban 1/99 79 458 másodperc alatt megtett út. (relatív hiba: 1-15 ) http://www.bipm.org/en/si/history-si/evolution_metre.html A délkd lkör r 1 o -os szakaszának lemérése, 1791-1798 1798 Paris Jean Baptiste Joseph DELAMBRE 1749-18 Pierre François André MÉCHAIN 1744 184
Az ősméter #7, USA ca. 1875-1889 NIST Museum Collection 6,6 6,6 1 Az ősmétert TRESCA francia fizikus tervezte, de a konstrukció kialakításában szerepe volt KRUSPÉR javaslatainak is. A jellegzetes, "X" keresztmetszetű szelvény 9% platina és 1% irídium ötvözetéből készült, így viszonylag kis lineáris hőtágulási együtthatóval rendelkezik. A rúd 1 mm hosszúságú. A métert két, az ún. semleges síkra (a-a) a hossztengelyre merőlegesen felvitt, 8 mm szélességű főkarcok közötti távolság reprezentálja. E karcoktól,5 mm-re mindkét oldalon egy-egy segédvonás található, ezek a célzómikroszkópos optikai komparátor könnyebb beállíthatóságát segítik elő. A semleges sík középvonalában egy kettős karc húzódik (a két vonal távolsága, mm). Ezek tűzik ki az etalon tengelyvonalát (b ábra). Az ősmétert a legkisebb lehajlást eredményező, ún. Bessel-féle alátámasztási pontokon, azaz a végektől számítva a teljes hossz /9-ed részének megfelelő távolságban kell alátámasztani, legalább 1 mm átmérőjű görgőkkel (c ábra). 3 db méterrudat készítettek, melyek közül a 6. rúd karctávolsága esett a legközelebb a levéltári méter hosszához, így ez lett a nemzetközi méter-etalon, az "ősméter. Az OMH a 14. sorszámút kapta ("nemzeti ősméter ), mely 1,3 µm-rel bizonyult rövidebbnek az alapmértéknél. http://www.sasovits.hu/anyag/meter/meter_sztori.htm Hosszúságm gmérő eszközök Méterrúd, mérőszalag Tolómérő nóniusz! Csavarmikrométer Lézeres távolságmérés http://www.technologystudent.com/equip1/microm1.htm... és még sok speciális megoldás.
Az idő 18: másodperc a közepes szoláris nap 1/864 része 1956: A másodperc a tropikus év 1/31 556 95.9747-ed része 19 január 1 óra efemeris idő szerint. 1968: Az alapállapotú cézium 133 atom két hiperfinom szintje közti átmenethez tartozó sugárzás 9 19 631 77 periódusának időbeli hossza. 1997: rögzítik, hogy a fenti definícióban az alapállapot K kinetikus hőmérsékletű nyugvó Cs atomot jelent. Érdekesség g az időmérés történetéből Decimális (!) idő mértékrendszer Kína, i.e. 1 Franciaország, 1793. október 5.
Időmérő eszközök k 1. Vízórák (i.e. 14) Homokórák... és még sok egyéb leleményes megvalósítás. Időmérő eszközök k. Mechanikus óraszerkezetek (kilincskerék, kronométer,1s/nap) Kvarc alapú időmérés (19-194) 1-4 s/nap
Időmérő eszközök 3. Atomórák történeti áttekintés http://tf.nist.gov/cesium/atomichistory.htm 1949: az első NH 3 alapú (Isidor Rabi) 195: NBS-1, az első Cs alapú 1955: az első, mely Cs nyalábot használ 1967: az SI másodperce atomórával definiált. 1989: Norman Ramsey, Hans Dehmelt és Wolfgang Paul fizikai Nobel díjat kap Atomórák folyt. 1999: NIST-F1 atomi szökőkút elvű atomóra, pontosság (5- ben) 5 x 1-16 vagy 1 másodperc 6 millió évben = lézeres hűtés ~K mikrohullámú gerjesztés ~x1s változó frekvenciával fluoreszcencia http://tf.nist.gov/timefreq/cesium/fountain.htm
http://tf.nist.gov/cesium/fountain.mpg 4: Elkészül az első miniatűr atomóra Steve Jefferts és Dawn Meekhof a feltalálók Atomórák k pontossága
GPS Global Positioning System = globális helymeghatározó rendszer 1978-1985 felépül az ameriaki NAVSTAR (Navigation System for Timing and Ranging) rendszer első fázisa (11 műhold) 198 pályára áll az orosz GLONASS rendszer első műholdja 1995 4-re bővül a NAVSTAR műholdak száma 7 Az EU saját rendszer kiépítése mellett dönt (Galileo: várható befejezés 1 (13)) Kezdetben a rendszer pontatlanságát az SA (selective availability) bekapcsolt állapotában mesterségesen megnövelték ±1 m-re. Az SA-t. május 1-én minden műholdon kikapcsolták, ezáltal a poziciók pontossága kb. 1 méter. (évenkénti megújítás!) NAVSTAR tszfm: 183km A legmodernebb műhold...... és annak egyik Rb-atomórája. http://www.kowoma.de/en/gps/ A GPS működési m elve A trilateráció, vagy a 3 pontú helyzetmeghatározás Három egymást metsző gömb felületének két pontja közös. Általában a két metszéspont közül csak az egyik reális. Ha tehát az autó GPS-e ismeri legalább három műhold pontos helyzetét és az azoktól mért pontos távolságát, akkor meg tudja állapítani saját térbeli helyét.
A GPS működése m 1/ Angol: http://www.trimble.com/gps/index.shtml Magyar: http://ismeret.virtus.hu/?id=detailed_article&aid=7361 Ha a vevőegységnek +,5s hibája van: Az ideális 1 metszéspont helyett (A pont), 3 metszéspontot (B pontok) kapunk.... kell egy negyedik műhold.
A GPS működése m / Hibaforrás Ionoszféra Ephemeris errors Műhold órája Többszörös visszaverődés Troposzféra Mérték ± 5 m ±.5 m ± m ± 1 m ±.5 m http://www.kowoma.de/en/gps/errors.htm http://www.trimble.com/gps/index.shtml A kilogramm A harmadik, a mechanika szempontjából fontos SI alapegység. A Súlyok és Mértékek Nemzetközi Irodájában őrzött platinairídium henger tömegével egyenlő. (Az egyetlen SI-alapegység, amelyiknek a definíciója még mindig etalonon, és nem valamilyen alapvető fizikai állandón alapszik.)
Klasszikus mechanika A fizika azon ága, melynek feladata az anyagi testek mozgására vonatkozó törvényszerűségek megismerése, az azt leíró törvények felállítása. (Galilei és Newton érdemei) Galileo GALILEI 1564 164 Kinematika a mozgás leírásával foglalkozik Sir Isaac NEWTON 1643 177 Dinamika a mozgás okát keresi tömegpont pontrendszer merev test deformálható test Az anyagi pont kinematikája, alapfogalmak tömegpont: a vizsgált jelenségek szempontjából kiterjedés nélkülinek tekintett/tekinthető test (idealizáció) A kinematika a mozgások leírásával foglalkozik vonatkoztatási rendszer: a tömegpont helyzetének és mozgásának leírásához használt rögzített viszonyítási pontok helyvektor: a vonatkoztatási rendszer origójából a tömegponthoz mutató vektor pálya: a vonatkoztatási rendszer azon pontjai, melyeken az anyagi pont mozgása során áthalad út: a pálya két pontja közötti ívhossz (skalár) elmozdulás vektor: a test korábbi helyzetéből egy későbbi helyzetébe mutató irányított szakasz (vektor) a pálya relatív: http://www.schulphysik.de/java/physlet/applets/relativ1.html
Egyenes vonalú egyenletes mozgás Egyenes vonalú pályán állandóan ugyanabban az irányban halad és egyenlő időközönként egyenlő utakat tesz meg. = x( t ) x= x( t) x = t ( t t ) x x = v x= v t v= x t a sebesség SI mértékegysége a m/s a sebesség mérése: (Video: MIT Physics Demo_Speed of a Bullet.mp4 http://www.youtube.com/watch?v=izzxtntny ) Egyenes Vonalú Egyenletes Mozgás EVEM ( Kísérlet : Mikola-cső) 35 3 5 5 5 4 a= s [m] 15 v [m/s] 15 1 a [m/s ] 3 1 5 s = s(t=) = 1 m 5 1,,,4,6,8 1, t [s],,,4,6,8 1, t [s],,,4,6,8 1, t [s] s= s+ vt v=áll. a = Az út-idő görbe meredeksége a sebesség nagysága. A sebesség-idő görbe alatti terület nagysága a megtett utat adja.
A sebesség tetszés szerinti egyenes vonalú mozgásnál Egydimenziós probléma: x= x(t) Elmozdulás: x= x( t+ t) x( t) Átlagsebesség: a test által megtett s út és a megtételéhez szükséges t idő hányadosa (nem ad felvilágosítást a mozgás részleteiről!) v x = s s x = = t t t geometriai jelentés: az út-idő grafikon két pontjához tartozó szelő meredeksége Az anyagi pont t időpillanathoz tartozó sebessége (pillanatnyi sebesség): v x x dx( t) = lim = t t dt geometriai jelentés: az út-idő grafikon t időpontbeli meredeksége (iránytangense) A sebesség általános definíciója s görbevonalú mozgás pálya Bontsuk fel a mozgást rövid t időintervallumokra, melyek alatt a sebesség közel állandónak tekinthető. Mivel r s írhatjuk, hogy s lim = t t ds dt = v r r dr( t) r lim = = v t t dt A sebességvektor a helyvektor idő szerinti első differenciálhányadosa.
Szabadesés a gyorsulás fogalma A kísérletek (pl. ejtőzsinór, Galilei lejtő) azt mutatják, hogy a megtett út időfüggése: s t s= k t Ez esetben az átlagsebesség: (Film: MIT_free_fall.flv http://www.youtube.com/watch?v=4ovheksiqv&nr=1 ) s k( t+ t) = t t kt = kt+ k t míg a (pillanatnyi) sebesség: v= kt A sebesség időbeli változását jellemezhetjük a t idő alatt bekövetkező v sebességváltozás segítségével: gyorsulás v k( t+ t) kt a= = = k t t Szabadon eső test gyorsulása állandó, mégpedig a nehézségi gyorsulás. m 1 a = g= 9.81 = áll. v= g t s= g t s A gyorsulás általános definíciója A tömegpont sebessége időben mind irány, mind nagyság szerint változhat. Ilyenkor a változást a sebességvektor idő szerinti változásával jellemezzük: r r v a= lim t t r dv( t) = dt r d ( t) = dt A gyorsulásvektor a sebességvektor idő szerinti első, vagy a helyvektor idő szerinti második differenciálhányadosa. Az egyenes vonalú egyenletes mozgás kivételével minden mozgás gyorsuló mozgás!
6 5 Egyenes Vonalú Egyenletesen Változó Mozgás, EVEV ( Kísérletek : 1) Galilei lejtő ) ejtőzsinór 3) marok-ejtőgép) 1 6 s = s(t=) = 5 m v = v(t=) = 5 m/s 1 5 a> 5 n 3 n 1 n 4 8 4 s [m] 3 v [m/s] 6 4 a [m/s ] 3 1 1 s [m] 4 6 8 1 1-1 - t [s] a s + t 4 6 8 1 t [s] v [m/s] 4 6 8 1 = s+ vt v v + at 5 t [s] 4 6 8 1-5 -5 t [s] a [m/s ] 4 6 8 1 4 3 1 t [s] = a=áll. a< -3-4 s = s(t=) = 5 m -75-1 v = v(t=) = 5 m/s 4 6 8 1 t [s] -1 Körmozgások ( Kísérlet : egyenletes körmozgás légpárnás asztalon Circular_motion.mpg Film: circular_motion_acceleration.flv http://www.youtube.com/watch?v=wkvhgkg_dw ) mindíg GYORSULÓ mozgások egyenletes körmozgás (kerületi sebesség, szögsebesség, periódusidő, centripetális gyorsulás) v v dϕ π v v., rω dt T r r kerületi = = áll ω= = áll., ω= =, acp = = v r
Körmozgások, folyt. egyenletesen változó körmozgás (szöggyorsulás, β) dω d ϕ β = = = áll ω ω β β dt dt., = ± t, aérintő = r, a= aérintő + acp (Film: angular_velocity_vector.flv) szögsebesség vektor v y r r r = xω, v = yω, v = ω x Harmonikus rezgőmozg mozgás pl. rugóra akasztott test ( ω + ) x( t) = Asin t ϕ körfrekvencia x = max A kezdőfázis amplitúdó (Film: simple_harmonic_motion_animation.flv http://web.ncf.ca/ch865/englishdescr/shm1.html ) dx( t) v( t) = = Aω cos( ωt+ ϕ) dt v max = Aω dv( t) a( t) = = Aω sinωt+ ϕ dt a = Aω max az egyenletes körmozgás vetülete is harmonikus rezgőmozgás ( ) A=3cm, ω=s -1, φ = rad kitérés sebesség gyorsulás (Film: harm-rezg-c.avi)
Az égitestek mozgásának leírása Numerikusan kezelhető Kepler törvények I. A bolygók ellipszis pályán keringenek, melyeknek egyik gyújtópontjában a Nap áll. II. A Naptól a bolygóhoz húzott rádiuszvektor egyenlő időközök alatt egyenlő területeket súrol. III. A bolygók keringési időinek négyzetei úgy aránylanak egymáshoz, mint az ellipszispályák nagytengelyeinek köbei. Valóban inverz négyzetes a függés? Az elmozdulások függetlenségének nek elve 1) Az elmozdulások vektoriális összegzéssel összetehetőek egyetlen (eredő) elmozdulássá, mely független a részelmozdulások sorrendjétől. ) Egyetlen elmozdulás, a vektori összegzés szabályainak betartása mellett, felbontható tetszőleges számú elemi elmozdulássá.
Hajítások Függőleges hajítás Vízszintes hajítás x= vt g y= t Ferde hajítás y= (Film: vízszintes hajítás komponensei, :5- MIT Physics Demo_Monkey and a Gun.mp4) g v x függőlegesen EVEV vízszintesen EVEM EVEM EVEV Dinamika a mozgás okát keresi MIÉRT mozog a test (épp úgy, ahogy mozog)?
Newton axiómák Az axióma olyan alapfeltevés, melyet bizonyítás nélkül igaznak fogadunk el. I. Létezik olyan viszonyítási rendszer, melyben minden test megtartja EVEM-át, vagy nyugalmi állapotát amíg más testek hatása ennek megváltoztatására nem kényszeríti. Erőhatás: Egy testnek egy másik testre gyakorolt olyan hatását, ami a test sebességének megváltozásában, azaz gyorsulásában nyilvánul meg erőhatásnak, vagy röviden erőnek nevezzük. II. Amennyiben egy testre erő hat, akkor gyorsulni fog, még pedig úgy, hogy a gyorsulás az erővel azonos irányba mutat, nagysága pedig az erő nagyságával egyenesen, a test tehetetlen tömegével pedig fordítottan arányos. r r F = ma A fizikai egyenletek iránya ok-okozati kapcsolatot fejez ki! Newton axiómák, folyt. III. Ha egy A testre B test F A,B erőt gyakorol, akkor az A test is hat B-re egy F A,B -vel azonos nagyságú, de azzal ellentétes irányú F B,A erővel. Kölcsönhatás, hatásellenhatás, akció-reakció elve. (Film: TeleKolleg_7.flv :4- MIT_Physics_Demo_Fire_Extinguisher_on_a_Tricycle.flv) IV. Két, ugyanabban a pontban támadó erő helyettesíthető egyetlen, paralelogrammam módszerrel meghatározott eredő erővel. Ha az anyagi pontra egyidejűleg több erő is hat, ezek együttes hatása egyenértékű vektori eredőjük hatásával. Az erőhatások függetlenségének elve. A szuperpozíció elve. Stevin tétel.
Mozgásegyenlet, vagy a dinamika alapegyenlete i F Newton II. és IV. axiómák egyesítése: d x i r F i r r d = ma= m dt ix = max = m, F ma m, F ma iy = y = iz = z = dt i dt i d y d z m dt Analitikus megoldása sokszor nehéz, numerikusan viszont egyszerű kezelni. A mozgásegyenlet megoldása Vizsgáljunk egy olyan tömegpont 1 dimenziós mozgását, melyre egy erő hat. d x ismert: F = max = m keressük: x( t) =? Ha egy időpillanatban (t ) ismerjük a test helyzetét (x ) és sebességét (v ), akkor elegendően kicsiny t idő múlva újabb helyzete (x 1 ) és sebessége (v 1 ) megbecsülhető: x v 1 1 = x = v dt + v t + a t= v + F m újabb t idő elteltével a folyamat ismételhető: x v = x = v 1 1 + v t 1 + a t= v + 1 F m t t A pálya pontjai tetszőleges pontossággal meghatározhatóak t csökkentésével.
a rugóerő: Pl.: lineáris erőtörv rvény F = Dx 3F = F 1 F1> F < O x 1 < x > x A mozgást 5 részre bontva ( t nagy) A mozgást 5 részre bontva ( t kicsi) Ez a konkrét probléma analitikusan is megoldható: d x( t) Dx ( t) = m dt az x(t) függvény olyan kell legyen, hogy idő szerinti második deriváltja önmagától csak egy konstansban térjen el D x( t) = A sin( ω t+ ϕ) = A sin( t+ ϕ) harmonikus rezgőmozgás m (Ism.: simple_harmonic_motion_animation.flv) Próbálkozzanak, programozzanak!!! A tömegvonzás: y r r K L F x F r m F y MmS mkl F F x = x r r mm F = γ r r r M S x F F x y = γ = γ mm ( x + y ) mm ( x + y ) 3/ 3/ x y Kíséreljék meg a bolygók mozgását a lineáris erőtörvényhez hasonló módon numerikusan modellezni!
Erőtörv rvények Gravitációs erőtörvény: r F gr mm 1 = γ r r r Nehézségi erő: r F = r mg Lineáris erőtörvény (rugók): F x = Dx... még bővül majd a paletta (közegellenállás, felhajtóerő, elektromos és mágneses terekben ébredő erők) A gravitáci ciós állandó mérése (Film: Cavendish kísérlet Cavendish_inga.mpg) Henry CAVENDISH 1731-181 Henry Cavendish, 1797 http://www.youtube.com/watch?v=ee9tmwxnx-s
Eötvös s Loránd horizontális variométer 1848-1919 Eötvös-inga 1891, Ság-hegy 191, Balaton A tehetetlen és s súlyos s tömegt Arányuk függ-e az anyagi minőségtől? Newton: (inga) 1-3 pontosság Bessel: 1-5 pontosság (inga) Eötvös Loránd: 5x1-9 pontosság (az inga két K-Ny beállítását használva) NEM függ Braginsky és Panov: (módosított Eötvös-inga) 1-1 pontosság