Statisztika A statisztika adatok gyűjtésével, redszerezésével, illetve adatsorok elemzésével, szemléltetésével foglalkozik. Adatok redszerezése DEFINÍCIÓ: (Populáció) Populációak (statisztikai sokaságak) evezzük az objektumok, eseméyek azo összességét, amelyre a statisztikai vizsgálat voatkozik. DEFINÍCIÓ: (Statisztikai mita) Statisztikai mitáak evezzük a populáció azo (valódi) részhalmazát, amelyről adatokkal redelkezük. Az összegyűjtött adatokat adatsokaságak, mitáak is evezzük. DEFINÍCIÓ: (Osztályokba sorolás) Az adatfeldolgozás sorá agy meyiségű adat eseté általába em soroluk fel mide értéket egyekét, haem azokat, amelyek egy meghatározott itervallumba esek, egy osztályba gyűjtjük. Az osztályba sorolással a felbotás durvább lesz, de az adathalmaz áttekithetőbbé válik. Az osztályköz hosszá az osztály felső és alsó határáak külöbségét értjük. Az osztályok jellemzője az osztályközép: az osztály felső és alsó határáak számtai közepe. Egy adott osztályba tartozó valameyi adatot osztályközép értékűek tekitük. DEFINÍCIÓ: (Gyakoriság) Egy statisztikai adat gyakorisága az a szám, amely megmutatja, hogy eze adat értéke az adatsorba háyszor fordul elő. 1
DEFINÍCIÓ: (Relatív gyakoriság) Egy statisztikai adat relatív gyakorisága az a szám, amely megmutatja, hogy eze adat értéke az adatsor háyad részébe fordulhat elő, vagyis az adat gyakoriságáak és az összes adat számáak háyadosa. A relatív gyakoriság százalékba való megadását százalékos gyakoriságak evezzük. DEFINÍCIÓ: (Kumulált gyakoriság) Egy adat kumulált gyakoriságát kapjuk, ha meghatározzuk, hogy a mitába meyi olya adat va, amelyek értéke legfeljebb akkora, mit az adott adat. DEFINÍCIÓ: (Gyakorisági táblázat) A statisztikai feladatokál célszerű olya táblázatot készítei, melybe feltütetjük a redszerezett adatok gyakoriságát. Ezt a táblázatot evezzük gyakorisági táblázatak. Adatok szemléltetése Az adatokat sokféleképpe prezetálhatjuk, ezek közül a leggyakrabba haszált diagram típusok a következők: oszlopdiagram: Ezt akkor célszerű haszáli, ha az adatok egymáshoz való viszoya az érdekes számukra, illetve ha a gyakoriságokat szereték összehasolítai. Nem érdemes haszáli, ha az adatok között va kiugró érték, vagy ha az értékek közötti eltérés kicsi. Az oszlopok hézag élküli ábrázolását hisztogramak evezzük. voaldiagram, poligo (összefüggő törött voal): Ezt akkor haszáljuk, ha egy meyiség időbeli változását szereték szemlélteti derékszögű koordiáta - redszerbe. kördiagram: Ezt akkor érdemes haszáli, ha az adatok az egészek aráyába érdekesek számukra, illetve ha a sokaság szerkezetét szereték szemlélteti. A kört az ábrázoladó adatok relatív gyakoriságaival aráyos középpoti szögű körcikkek alotják. 2
Középértékek Ezek az értékek az adatsokaságot valamilye szempotból tömöre jellemzik. DEFINÍCIÓ: (Módusz) Az adatsorba a leggyakrabba előforduló adatot a mita móduszáak evezzük. Egy mitába több módusz is lehetséges. A módusz em függ sem az összes adattól, sem a szélsőséges értékektől. DEFINÍCIÓ: (Mediá) A agyság szerit redezett adatsor középső értékét mediáak evezzük. Jele: K. Páros számú adat eseté ez a két középső érték számtai közepe. A mediától kisebb értékekből ugyaayi va, mit a mediától agyobbakból. A mediá em függ sem az összes adattól, sem a szélsőséges értékektől. DEFINÍCIÓ: (Számtai -, aritmetikai közép; átlag) A számtai közép az adatok olya középértéke, amellyel az adatok midegyikét helyettesítve az adatsor összege változatla marad. Jele: A. A számtai közép értéke megegyezik az átlagoladó adatok összegéek és számáak háyadosával, vagyis A = x 1 + x 2 + + x, ahol x 1, x 2,, x az átlagoladó adatokat jelöli. A számtai közép érzékey a szélsőségese agy értékekre, főleg kisebb adathalmaz eseté. TÉTEL: Ha egy mita átlaga A, s a mita összes adatához hozzáaduk egy k számot, akkor az így előálló adathalmaz számtai közepe: A + k. 3
TÉTEL: Ha egy mita átlaga A, s a mita összes adatát egy k számmal megszorozzuk, akkor az így előálló adathalmaz számtai közepe: k A. DEFINÍCIÓ: (Súlyozott közép) A k 1 darab A 1 átlagú, a k 2 darab A 2 átlagú,, a k darab A átlagú elem egyesítésével kapott = k 1 + k 2 + + k elemű halmazra számított súlyozott számtai közép: A = k 1 A 1 + k 2 A 2 + + k A k 1 + k 2 + + k. A súlyozott átlag általába valamilye súlyokkal ellátott értékek számtai közepére utal, ahol a agyobb súlyú elem jobba számít az átlag meghatározásakor, mit a kisebb súlyú elemek. TÉTEL: Ha két, egymással megegyező elemszámú adatsor elemeit párokét összegezzük, akkor az összegek alkotta adatsor átlaga megegyezik a két adatsor számtai közepéek összegével. DEFINÍCIÓ: (Harmoikus közép) A harmoikus közép az az átlag, amellyel az átlagoladó adatok midegyikét helyettesítve az adatsor reciprokaiak összege változatla marad. Jele: H. A harmoikus közepet csak ullától külöböző értékekre értelmezzük. A harmoikus közép az átlagoladó számok reciprok értékéből számított számtai középek a reciprok értéke, vagyis H =, ahol x 1, x 2,, x az átlagoladó adatok. 1 x1 + 1 x2 + + 1 x DEFINÍCIÓ: (Mértai -, geometriai közép) A mértai közép az az átlag, amellyel az átlagoladó adatok midegyikét helyettesítve az adatsor szorzata változatla marad. Jele: G. A mértai közepet csak em egatív számokra értelmezzük. A mértai közép az darab adat szorzatáak - edik gyöke, vagyis G = x 1 x 2 x, ahol x 1, x 2,, x az átlagoladó adatokat jelöli. 4
DEFINÍCIÓ: (Négyzetes -, kvadratikus közép) A égyzetes közép az az átlag, amellyel az átlagoladó adatok midegyikét helyettesítve az adatsor égyzeteiek összege változatla marad. Jele: N. A égyzetes közép az átlagoladó értékek égyzeteiből számított számtai középek a égyzetgyöke, vagyis N = x 1 2 + x 2 2 + + x 2, ahol x 1, x 2,, x az átlagoladó adatokat jelöli. TÉTEL: darab pozitív szám eseté igaz a következő összefüggés: H G A N. Egyelőség akkor és csak akkor áll fe, ha mide szám egyelő. Adatok szóródásáak vizsgálata, szóródási mutatók: A szóródási mutatók az adatok változékoyságát, szóródását jellemzik. Ezek segítségével megmutathatjuk, hogy az egyes értékek valamilye középértékhez viszoyítva hogya helyezkedek el. DEFINÍCIÓ: (Terjedelem) Aak az itervallumak a hosszát, amelybe az adatok elhelyezkedek, a mita terjedelméek evezzük. Jele: R. A mita terjedelme az adatok között előforduló legagyobb és legkisebb érték külöbsége: R = x max x mi. A terjedelem a legszélsőségesebb adatoktól függ, így em feltétleül jellemzi jól az adatsort. DEFINÍCIÓ: (Középeltérés) Középeltérések a mediától való eltérések abszolútértékéek a számtai közepét értjük. Jele: S(K). S(K) = x 1 K + x 2 K + + x K A középeltérés értéke megmutatja, hogy átlagosa meyire térek el az adatok a mediától. 5
DEFINÍCIÓ: (Átlagos abszolúteltérés) Átlagos abszolúteltérések a számtai középtől való eltérések abszolútértékéek a számtai közepét evezzük. Jele: S(A). S(A) = x 1 A + x 2 A + + x A Az átlagos abszolúteltérés értéke megmutatja, hogy átlagosa meyire térek el az adatok a számtai középtől. DEFINÍCIÓ: (Szórás, deviacia) Szórásak evezzük a számtai középtől számított eltérések égyzetéek számtai közepéből vot égyzetgyök értékét. Jele: σ. σ = (x 1 A) 2 + (x 2 A) 2 + + (x A) 2 A szórás szité azt mutatja meg, hogy átlagosa meyire térek el az adatok a számtai középtől, de sokkal érzékeyebb a kiugró értékekre. DEFINÍCIÓ: (Szórás égyzet, variacia) Variaciáak evezzük az átlagtól való eltérések égyzetéek átlagát, vagyis a szórás égyzetét. Jele: V. V = (x 1 A) 2 + (x 2 A) 2 + + (x A) 2 A variacia az átlagtól való égyzetes eltérés. 6
Gyakorló feladatok K: középszitű feladat E: emelt szitű feladat 1. (K) A 30 fős osztály dolgozatot írt matematikából és a következő jegyek születtek: 6 darab jeles, 9 darab jó, 8 darab közepes, 5 darab elégséges és 2 darab elégtele. Készíts gyakorisági táblázatot, majd számítsd ki az egyes adatok relatív gyakoriságát! Számítsd ki továbbá a következőket is: módusz, mediá, terjedelem, számtai közép, szórás. Szemléltesd a dolgozat eredméyeit oszlop -, illetve kördiagram segítségével! 2. (E) Számítsd ki az előző feladatba szereplő adatok középeltérését, illetve átlagos abszolúteltérését! 3. (K) Egy csoportba megmérték a magasságokat (cm) és a következő értékek születtek: 165, 175, 175, 170, 180, 165, 185, 175, 170, 165, 170, 170, 175, 180, 170. Számítsd ki a leggyakoribb érték relatív gyakoriságát! Számítsd ki továbbá a következőket is: módusz, mediá, terjedelem, számtai közép, szórás. Szemléltesd a mérések eredméyeit oszlop -, illetve kördiagram segítségével! 4. (E) Számítsd ki az előző feladatba szereplő adatok középeltérését, illetve átlagos abszolúteltérését! 5. (K) Egy tálba va 2 aracs, 4 citrom, 5 alma, 3 szőlő és 1 baá. Szemléltesd kördiagramo a gyümölcsök megoszlását! 6. (E) Egy dolgozat eredméyei a következők lettek: 1 elégtele, 3 elégséges, 4 közepes, 5 jó, 2 jeles. Számítsd ki a jegyek harmoikus -, mértai (geometrikus), számtai (aritmetikai) - és égyzetes közepét! 7. (K) Hogya változik az átlag és a szórás, ha az 1, 3, 7, 2, 5 mita mide eleméhez hozzáaduk 5 - öt? 8. (K) Mit jelet, ha egy adathalmaz terjedelme 0? Mit jelet, ha a szórása 0? Következik - e egyik a másikból? 9. (K) Adj meg egy olya 8 elemű adathalmazt, amelyek mediája 4, módusza 2 és az átlaga 5! 7
10. (K) Egy kézilabdacsapat játékosaiak átlagéletkora 22 év. Szabálytalaság miatt az egyik játékost kiállították, amiek hatására a csapat átlagéletkora 21 évre csökket. Meyi éves a kiállított játékos, ha a csapat 7 emberből áll? 11. (K) Melyik számot kell elhagyi az 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 számok közül úgy, hogy a megmaradt számok átlaga 5 legye? 12. (K) Tamás jauárba 3 apo 17 órát, 8 apo 12 órát és 7 apo 9 órát dolgozott. A többi apoko pedig em dolgozott. Határozd meg, hogy Tamás jauárba meyit dolgozott átlagosa apota! 13. (E) Éváak év vége előtt matematikából a következő jegyei voltak: Felelet (4; 5; 3; 5), Röpdolgozat (4; 2; 3) és Témazáró (3; 4; 3; 4; 2). A taár úgy osztályoz, hogy a röpdolgozat jegyeit 1, 5 - szeres, a témazáró jegyeit pedig 2 - szeres súllyal véve figyelembe átlagot számol, majd kerekít a szokásos módo. Milye jegyet kap év végé Éva matematikából? 14. (K) Egy léceket gyártó cég termékei közül 10 % 110 cm, 15 % 130 cm, 20 % 160 cm, 35 % 180 cm, 20 % 200 cm hosszúságú. Határozd meg a lécek hosszáak szórását! 15. (K) Egy tatestület átlagéletkora 40 év. A taárők átlagéletkora 35 év, a taár uraké pedig 50 év. Meyi a taárők és taár urak számaráya a tatestületbe? 16. (K) Egy 176 diákból álló évfolyam matematika átlaga 3, 5. Tudjuk, hogy 50 - e kaptak jelest, 40 - e égyest és 16 - a buktak meg. Háya kaptak hármast, illetve kettest? 17. (E) Egy tehetséges osztályba távolugrást mértek fel, amelyek égy legjobb eredméyét írta fel a taár. Ezek átlagát és szórását is meghatározta: 4, 0 m, illetve 0, 122 m. Jegyzetébe két adat a kiolvashatatlaságig elmosódott. A megmaradt két eredméy 4, 1 m és 3, 8 m. Mi volt a másik két mérési eredméy? 8
18. (K) Egy 30 fős osztályba fizikából 3 jeles, 10 közepes és 5 elégséges dolgozat született. Az osztály átlaga 2, 9 és 2, 95 közé esik. Háya írtak égyes dolgozatot? 19. (K) Egy televíziós műsor hatásáak felmérésére külöböző embereket kérdeztek meg. Az eredméyeket az alábbi táblázat mutatja: agyo tetszett tetszett em tetszett agyo em tetszett férfi 1 3 5 10 ő 6 8 3 1 fiú 5 5 3 2 láy 8 5 1 1 a) Háy személyt kérdeztek meg összese? b) Háy őemű személyek em, vagy agyo em tetszett? 20. (K) A következő táblázat általáos iskolákra voatkozó adatokat tartalmaz: Taév 1999/2000 2001/2002 Iskolák száma 3 897 3 852 Összes tauló (1000 fő) 972,9 947 Nappali taulók száma (1000 fő) 969,8 944,2 Nappali első évfolyamo (1000 fő) 127,3 117,6 Osztályok száma 47 626 47 682 Pedagógusok száma 89 424 90 294 Osztálytermek száma 52 526 43 195 a) Az összes appali tagozatos taulókak háy százaléka járt az első évfolyamra? b) Háy taulóra jut egy osztályterem? c) Háy tauló jut egy pedagógusra? d) Meyi az átlagos osztálylétszám? e) Háy százalékkal csökket a taulói összlétszám? 9
21. (K) Egy helyhatósági választáso az első fordulóba 5 jelölt idult. Az egyes jelöltekre leadott szavazatokat az alábbi kördiagram segítségével ábrázoltuk, ahol feltütettük a körcikkekhez tartozó középpoti szögeket. Tudjuk, hogy összese 6 600 érvéyes szavazat érkezett. 45 120 45 90 60 a) Háy érvéyes szavazatot kaptak az egyes jelöltek? b) Hogya alakult az érvéyes szavazatok százalékos eloszlása c) Átlagosa háy érvéyes szavazatot kapott egy jelölt? 22. (K) Az alábbi voaldiagram a Tisza vízállásáak alakulását mutatja Szolokál cetiméterbe mérve egy adott hét apjá. Meyi az átlagos api vízállás, a mita terjedelme, illetve a mediá? 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 86 82 73 68 70 72 65 hétfő kedd szerda csütörtök pétek szombat vasárap 10
23. (E) Egy jól sikerült röpdolgozat jegyeiek összege 147 lett, az átlag 4, 2 és seki em írt elégtele dolgozatot. a) Háya írtak dolgozatot? b) Legalább háy ötös dolgozat születhetett? c) Legfeljebb háy ötös dolgozat születhetett? 24. (K) Egy matek dolgozat átlaga 3, 5 lett. Az egyik diák utólag égyesre írta meg a pótdolgozatát és így az átlag 3, 52 - re őtt. Háya írták meg eredetileg a dolgozatot? 25. (K) Egy 25 fős osztályba egy dolgozat sorá az osztályátlag 2, 96 lett. Tudjuk, hogy seki sem írt egyest, égyszer ayi hármas dolgozat lett, mit ötös, valamit kétszer ayi kettes, mit égyes. Melyik osztályzatból meyi született? 11
Felhaszált irodalom (1) Hajdu Sádor; 2005.; Matematika 12.; Műszaki Köyvkiadó; Budapest (2) Urbá Jáos; 2007.; Sokszíű matematika 12; Mozaik Kiadó; Szeged (3) Ábrahám Gábor; 2010.; Matematika 11 12 emelt szit; Maxim Köyvkiadó; Szeged (4) Urbá Jáos; 2012.; Sokszíű matematika feladatgyűjteméy 12; Mozaik Kiadó; Szeged (5) Vacsó Ödö; 2005.; Egységes Érettségi Feladatgyűjteméy Matematika II.; Kosept H Köyvkiadó; Piliscsaba (6) Ruff Jáos; 2012.; Érettségi feladatgyűjteméy matematikából 11 12. évfolyam; Maxim Kiadó; Szeged (7) Fröhlich Lajos; 2006.; Alapösszefüggések matematikából emelt szit; Maxim Kiadó; Szeged (8) https://users.itk.ppke.hu/itk_dekai/files/matematika/list.html (9) Saját ayagok 12