Heller Farkas Elsős Verseny 2013. november 6. Név: Neptun-kód: Szak: HPK-szemináriumi csoport (ha van): Kedves Elsősök! Köszöntünk benneteket a versenyen! Mielőtt elkezditek, szeretnénk néhány dologra felhívni a figyelmeteket! A feladatok megoldására 90 perc áll rendelkezésetekre. Dolgozzatok a kihagyott helyekre, szükség esetén kérjetek lapot! Ez egy verseny, nem zh, így ne aggódjatok, ha nem tudtok minden feladatot megoldani! A feladatok kapcsolódnak a közgazdaságtanhoz, de az egyetemen tanított módszertan használata nélkül is megoldhatóak. Természetesen a formalizált válaszok mellett a szöveges indoklást is elfogadjuk, de ügyeljetek az átlátható, világos gondolatmenetre! Az eredmények Neptun-kóddal és a helyes megoldások november 10-ig felkerülnek a honlapra. (www.heller.uni-corvinus.hu) A díjátadóra a Szakmai Hét keretein belül, november 12-én, 17:00-kor az E.III-as díszelőadóban, kerül sor. Nem csak az első 3 helyezett kap ajándékot! A Matematikai Közgazdaságtan és Gazdaságelemzés Tanszék befogadta a versenyt, így helyezettek a pénzjutalmon és ajándékokon kívül pontokat kaphatnak a félévre vonatkozó ösztöndíjpályázataikhoz! Sok sikert kívánunk a Heller Farkas Szakkollégium nevében! Albrecht Dorisz Horváth Milán Nguyen Milán Tran Dávid
1. feladat Egy zárt szobában három villanykörte található. Mindegyik villanykörtéhez pontosan egy kapcsoló tartozik, amely azt működteti. A kapcsolók a szobán kívül helyezkednek el. A szobából nem szűrődik ki fény, és vezetékeket sem lehet látni. Az a feladatod, hogy, kitaláld, hogy melyik kapcsoló melyik villanykörtéhez tartozik. Bármennyit várhatsz, bármikor bemehetsz, azonban ha egyszer kinyitottad a szoba ajtaját, nem használhatod többet a kapcsolókat. Mit csinálsz? Egy gazdag professzor, letesz eléd egy 1 dolláros és egy 100 dolláros bankjegyet. A következő ajánlatot adja neked: ha mondasz egy igaz állítást, akkor odaadja az egyik bankjegyet, ám nem mondja meg, hogy melyiket. Azonban ha az állítás nem igaz, egyik bankjegyet sem adja oda. A professzor zsebében ott van amúgy az egyik bankkártyája, amin 1 millió dollár található Azt is tudni lehet, hogy inkább fizet többet, de mindenképpen tartja a szavát. Az a feladatod, hogy egy mondattal rákényszerítsd a professzort, hogy minél többet fizessen neked. Egy számítógépes játék a következőket tudja: a gép gondol egy egész számra 1 és N között, a játékosnak pedig az a feladata, hogy ezt minél kevesebb próbálkozásból kitalálja. A játékos inputként egy számot adhat meg, amelyre a gép outputja egy relációs jel (<, >, =) attól függően, hogy a tipp milyen viszonyban van a gondolt számmal. Ha kisebb, vagy nagyobb, akkor a játékos újra próbálkozhat. A játék akkor ér véget, ha az output az egyenlőségjel. Mekkora az a maximális N, amire optimális taktikát követve maximum 5 próbálkozással biztosan véget ér a játék? Mekkora az a maximális N, amire optimális taktikát követve maximum K próbálkozással biztosan véget ér a játék? 1
2. feladat Corvinia országának kincstárnoka az alábbi előrejelzést készítette számunkra az infláció várható megváltozásáról. Corviniában az infláció jelenleg évi 0%, ami azelőtt sosem változott meg, de a kincstárnokunk igen ügyes előrejelző, s így pontosan ki tudta számolni, mekkora valószínűséggel, milyen mértékű változás állhat be a mostani állapothoz képest. 3% 2% 1% 0% -1% -2% -3% p=30% p=30% p=20% p=10% p=10% -4% Az ország pénzügyminisztereként a mi feladatunk a következő: a lehető legnagyobb mértékben akarjunk növelni a kincstári vagyont. Ehhez a corviniai bűvös kötvények közül választhatunk, melyek értéke csak és kizárólag az inflációtól függ. Az alattvalók kezei közt kétféle kötvény kering. Az Egyetemi Kötvény igen biztos befektetés: X%-os infláció mellett a kötvény értéke (X+2)%-kal nő, míg ha az infláció 0% alá csökkenne (azaz defláció esetén), az érték nem változik. Ezzel szemben a Hallgatói Kötvény sokkal rizikósabb vállalkozás: X%-os defláció esetén a kötvény értéke (2X)%-kal csökken, de ha az infláció Y%-os (0% Y), úgy a kötvény értéke (5Y)%-kal nő. Kérésünkre a kincstárnok felesége azt is megsúgta nekünk, hogy amint döntünk, a kincstár egész tartalmával, azaz 1 millió corvinummal számolhatunk. Corvinia uralkodóját sosem zavarta a kockázat, s mindig a tökéletesen racionális döntést támogatja. a) Melyik kötvénybe érdemes fektetnünk? b) Ha minden a lehető legkedvezőbben alakul, mekkora lesz Corvinia vagyona? c) Várhatóan mekkora nyereséggel jár a kétfajta befektetés? d) Maximum mennyit lennénk hajlandóak azért fizetni, hogy biztosan tudjuk, mekkora lesz az infláció? (Gondold végig, hogy milyen inflációnál melyik befektetést választanánk!) 2
3. feladat A nagy döntések világában, ahol minden évben 15%-os a kamatláb (r), 3 vállalat létezik, melyek egy újfajta mobil piacra dobását tervezik. A három vállalat mindegyike új mobilt fog árusítani, de mindhárom cég mobilja különbözik egy kicsit. Az első vállalat fogja először forgalmazni, majd a második, s pár nappal rá a harmadik vállalat is árulni fogja az új mobilját. Így először az 1. cég mobiljának az árát kell meghatározni, majd a másodikét és végül a harmadikét. A mobilok ára befolyásolja a három vállalat részvényeinek árfolyamát. Mindegyik vállalatnak a birtokában van ez az ábra, így tudják, hogy ki milyen árakban gondolkodik. Minden vállalatnak csak a saját mobiljának az árába van beleszólása. Add meg a mobilok árait, ha mindegyik cég célja, hogy részvényeik árfolyama a lehető legnagyobb legyen. (A nyilakon az adott vállalat által megszabott lehetséges árak ( ) szerepelnek.) 1. vállalat áraz A 2. vállalat ebben az esetben 75-ös árat szab meg 50 45 100 75 65 2. vállalat áraz 70 52 60 62 58 3. vállalat áraz Az egyes vállalatok részvényeinek várható értéke 1. 20 2. 4 3. 10 1. 50 2. 25 3. 8 1. 30 2. 10 3. 20 1. 40 2. 30 3. 30 1.5 2. 10 3. 70 1. 50 2. 40 3. 50 Tipp: A vállalatok döntését az úgynevezett visszagöngyölítéses módszerrel is meg lehet oldani. A visszagöngyölítéses módszer lényege, hogy visszafele lépegetve, az utolsó döntéstől haladunk az első felé. Tehát első lépésben azt kell megfigyelni, hogy a harmadik vállalat mely árazásaival tud nagyobb részvényárfolyamot elérni, és így tovább. a) Az 1. vállalatnál úgy számolják, hogy az összesen eladott részvényeknek köszönhetően 1 millió euró került a cégükhöz. Hány darab részvényt értékesített az 1. vállalat? A második vállalat meg akarja hálálni befektetőinek hűségét, és a jövő évtől kezdődően osztalékot fog fizetni, melynek értékét minden évben 5%-kal még meg is növeli. b) Mekkora a 2. vállalat osztalék kifizetésének a jelenértéke, ha a jövő évben kifizetésre kerülő osztalék megegyezik a 3. vállalat által forgalmazott mobil árával? Jelenérték (PV)=, ahol DIV t a t. évi osztalékot jelöli. 3
4. feladat Garbarózia egy vidám falvacska a dzsungel mélyén, lakói csak két terméket fogyasztanak, kókuszt és tukánt. A kókusz leszedéséhez szükség van a dzsungel fáira (hogy létrát csináljanak belőlük), kinyitásukhoz pedig bazaltkőre, míg ugyanezt a két erőforrást használják fel a tukán elejtéséhez is. Sajnos a falvacska lakói egész nap csak henyélnek (munkáért pénzt kérni ugyanis bűnnek számít), így a már meglévő 40 kilogramm bazaltkövön és 45 kivágott fán kívül nem gyűjtenek több nyersanyagot. A termelés, melynek során kókuszt és tukánt szereznek a vadonból az erőforrások felhasználásával, egy egész éven át tart, és minden erőforrást felhasználnak. Egy tonna kókusz előállításához 1 kilogramm bazaltkőre és 3 kivágott fára, míg egy mázsa tukán levadászásához 2 kilogramm bazaltkőre és 1 kivágott fára van szükség. A falucskában a kókusz egy tonnájára a kereslet: x1 =, míg a tukánhúst a magas fehérjetartalma miatt egy kicsit jobban szeretik, egy mázsa iránt a kereslet: x2 = (p1 egy tonna kókusz, p2 egy mázsa tukán ára). A falvacskában minden megtermelt terméket el is fogyasztanak. Jelölje rendre w1, w2 egy kiló bazalt, illetve egy darab fa árát. a) Mit tartanál igazságos árnak 1 a termékek esetén és egyensúlynak a helyi piacon? b) Mennyi lesz a kókusz a tukán, a fa és a bazalt ára, valamint az egyensúlyban termelt mennyiségek? c) A falulakók nagy szerencséjére egy trópusi vihar kidönt még 15 fát, melyet még éppen be tudnak vonni a termelésbe. Hogyan fognak változni az erőforrások (bazalt és fa), illetve a termékek (kókusz és tukán) árai? Milyen okai lehetnek ennek? d) Milyen hasznossági függvényből származhatnak a keresleti függvények? Hol jelenik meg a fogyasztónak a jövedelme? 1 Ha tehát az ár meghaladja a dolog értékét vagy fordítva a dolog értéke meghaladja az árat, sérelmet szenved a kölcsönös egyetértés, melynek megőrzése az igazság feladata. Tehát magában nézve bűnös és jogtalan egy dolgot drágábban adni vagy olcsóbban venni, mint amennyit ér. 4 Aquinói Szent Tamás: Summa Theologiae
5. feladat Corvinia országában 2013-ban a Heller nyerte el az igen rangos Hyperbrands kitüntetést, s már csak egy lépés választja el a Megabrands címtől. Ehhez azonban egy utolsó szűrőn kell átjutniuk, amit mi végzünk. Mivel a Megabrands elnyeréséhez pénzügyi irányba kell mozogni és a tőkepiacok működéséről szerzett hatalmas tudást felhasználva hozamot elérni, így véletlenszerűen kiválasztottunk öt tagot, akik közül cseppet sem meglepő módon mindenki nagy befektető. Két évvel ezelőtt mind az öten ezer corvinumot fektettek be, mind különböző befektetésbe (kötvény, részvény, arany, bankbetét, deviza). Egy éve mindegyikük befektetést váltott, az addig elért nyereségüket is befektették, de megint mind az öten különböző befektetéseket választottak. Az első évben a bankbetét 10%-ot, a kamatozott, a kötvény 20%-ot, a részvény 30%-ot. Aki devizába fektette a pénzét, nyert 250 corvinumot, aki aranyba, az vesztett 200-at. A második évben a betétes szintén 10%-ot nyert, a kötvényes 30%-ot nyert, a részvényes 20%-ot bukott. A devizakereskedő sokat nyert, de nem monda meg, hogy mennyit. Az ötödik ember vesztett az aranyon. Kérdésünkre az adóhivatal elnöke a következőket juttatta tudtunkra: Ebben a bűvös táblázatban minden elem az alatta lévő két elem összege. Három elemet segítségül megadott. A, B, C, D és E az egyes hallgatók végső vagyonait jelentik. Azt is elárulta, hogy a két év alatt a hallgatók összvagyona 32,8%-kal nőtt. Melyik hallgató melyik évben milyen befektetést választott? 3570 A B C 690 D E 310 5