A hang- e s besze dto mo rı te s matematika ja Diplomamunka

Átírás

1 Eo tvo s Lora nd Tudoma nyegyetem Terme szettudoma nyi Kar A hang- e s besze dto mo rı te s matematika ja Diplomamunka Me sza ros Ma ria Alkalmazott matematikus MSc Sza mı ta studoma ny szakira ny Te mavezeto : Szabo Istva n egyetemi docens Valo szı nu se gelme leti e s Statisztika Tansze k Budapest, 2013

2

3 Tartalomjegyzék 1. Bevezető 4 2. A hang és a beszéd tulajdonságai A hang fizikai jellemzői Frekvencia Amplitúdó A beszédkeltés A hang matematikai leírása Hangtömörítés Mintavételezés Kvantálás Egyenletes kvantáló Nem egyenletes kvantáló Transzformációs kódolás Diszkrét Fourier Transzformáció (DFT) Gyors Fourier Transzformáció (FFT) Diszkrét Koszinusz Transzformáció (DCT) Digitális szűrők Átlagoló szűrő Tömörítés, hibafelismerés, visszaalakítás Kritikus sávok és a részsávú kódolás Huffman-kódolás Hibafelismerés

4 TARTALOMJEGYZÉK Visszaalakítás Egy alkalmazás: MP Beszédkódolás Mintavételezés Lineáris predikció Kovariancia módszer Autokorrelációs módszer Kvantálás Differenciális prediktív kvantálás (DPCM) Adaptív kvantálás (ADPCM) Transzformációs kódolás Tömörítés Egy alkalmazás: GSM Összehasonlítás Szubjektív minőségi eljárások Objektív minőségi eljárások Gyakorlati eredmények Tár- és időigény Szubjektív minőség A mérések összefoglalása Irodalomjegyzék 51 A. Jegyzőkönyv a szubjektív minőségi felmérésről 54 B. A lejátszott minták sorrendje és adatai 56 C. A kitöltetlen kérdőív 57 D. A kérdőívek eredménye 60

5 Köszönetnyilvánítás Ezúton is szeretnék köszönetet mondani elsősorban témavezetőmnek, Szabó István tanár úrnak hasznos tanácsaiért és türelméért. Nagyon köszönöm megértését, melyet a diplomamunka elkészülése közben mutatott. Külön köszönöm, hogy mindig fordulhattam hozzá a kérdéseimmel. Szeretném még névtelenül megköszönni annak a 15 diáknak, akik a dolgozat gyakorlati részéhez kitöltötték a kérdőívet. Nagyon szépen köszönöm a segítségüket.

6 1. fejezet Bevezető Diplomamunkám célja a különböző audiotömörítések, köztük a zenei és a beszédkódolók matematikai bemutatása. Azért választottam ezt a témát, mert érdekes végigvezetni, hogy egy természeti jelenségből, jelen esetünkben egy hangból hogyan lesz digitális, számítógéppel lejátszható tömörített adat különböző matematikai módszerekkel. BSc szakdolgozatomat az MP3 matematikájából [1] írtam, ezt a témakört bővítettem ki a diplomamunkámban. Audiokódoláson elsősorban egy zene vagy egy beszéd digitalizálását és tömörítését értjük oly módon, hogy minél jobban vissza tudjuk adni az eredeti hangzást. Beszédkódolásnál gyakran inkább a tömör kódolás az elsődleges szempont, és a pontos visszajátszás helyett inkább a jó érthetőség és a beszélő azonosíthatósága az alapvető cél. Dolgozatom elején a hangok fizikai tulajdonságaival foglalkozom, mivel ezeket figyelembe veszik az egyes kódolók. Majd az általános hangtömörítés lépéseivel folytatom, melyben kiemeltem az egyes lépések szép matematikáját, az MP3 tömörítést használva példának. Ezután a beszédkódolók matematikai hátterét elemeztem, a GSM tömörítést bemutatva. Az utolsó fejezetben a különböző zenei és beszédkódolásokat hasonlítottam össze tár- és időigényük, illetve a szubjektív minőségük szempontjából. 4

7 2. fejezet A hang és a beszéd tulajdonságai 2.1. A hang fizikai jellemzői Mielőtt a konkrét hang- és beszédtömörítésbe belekezdenénk, érdemes felvázolni, hogy mi a hang, és hogy hogyan jellemezhetjük fizikai és matematikai fogalmakkal. A fejezethez a fő forrásom a [3] órajegyzet volt. Bemutatjuk az emberi fül korlátait is, hiszen az egyes hangtömörítő algoritmusok nagymértékben kihasználják ezeket a tulajdonságokat. Fizikai jellegét tekintve a hang valamilyen rugalmas közeg mechanikai rezgéséből áll. Ilyenkor a rugalmas anyag azon részecskéi, amelyek külső hatásra kimozdultak nyugalmi helyzetükből, a rugalmassági erő és a tehetetlenség folytán periodikus rezgésbe jönnek. [2] A hang különböző anyagokban terjedhet, például levegőben, különböző folyadékokban (a vízben nagyon gyorsan), sőt némely szilárd anyagban is (például kopogáskor). Egyedül légüres térben nincs hangterjedés, mivel ott hiányoznak a részecskék, amelyek a rezgést továbbíthatnák. A következőkben a hang főbb tulajdonságait elemezzük. 5

8 FEJEZET 2. A HANG ÉS A BESZÉD TULAJDONSÁGAI ábra. Különböző frekvenciájú tiszta hangok és ezek összege Frekvencia Először vizsgáljuk meg, hogy egy hang milyen gyakran rezeg. Ehhez tartozik a frekvencia fogalma, amely az egy másodperc alatti rezgések száma. Mértékegysége az 1/s, vagy más néven a Hertz (Hz). A 2.1.ábrán különböző frekvenciájú tiszta hangokat, és ezek összegét láthatjuk. A hangok frekvenciaterületi felosztása: infrahangok: 0 Hz-től 20 Hz-ig; hallható hangok: 20 Hz-től 20 khz-ig; zenei hangok: 30 Hz-től 3 khz-ig; beszédhangok: 80 Hz-től 1,3 khz-ig; ultrahangok: 20 khz-től 1GHz-ig; hyperhangok: 1GHz-től 10 THz-ig. A hallható hangok frekvencia-értéke természetesen egyénenként és az életkortól függően változhat. Az infrahangokat az emberi fül érzékeli, de nem keltenek hangérzetet. Úgy érzékeljük őket, mintha ismétlődő, ám különálló rezgések lennének. Ilyen például a szívdobogás, aminek ha a pulzusa 60, akkor 1Hz-nek felel meg.

9 FEJEZET 2. A HANG ÉS A BESZÉD TULAJDONSÁGAI ábra. Az emberi fül hallástartománya A frekvencia határozza meg a hangmagasságot, a lassabban rezgő hullámokat mélyebb, a gyorsabban rezgő hullámokat pedig magasabb hangoknak érzékeljük. Ám érdemes megjegyezni, hogy a frekvencia és a hangmagasság között logaritmikus az összefüggés, mert például egy 50 Hz-es és egy 100 Hz-es hang között ugyanannyi magasságkülönbséget érzékelünk, mint egy 1000 Hz-es és egy 2000 Hz-es hang között. Fülünk érzékenysége a frekvenciával együtt változik. A 4 khz-es tartományban a legnagyobb, ám kisebb és nagyobb frekvenciákon leromlik. A 2.2. ábráról (forrás: [8]) fülünk hallástartománya olvasható le különböző hangtípusok szerint. Frekvenciában közeli hangoknál fellép a hangelfedés jelensége, vagyis amikor egy hangot nem érzékelünk egy másik hang által. Tehát ha két hang ugyanazon a frekvencián szólal meg, akkor az erősebb intenzitású erősebben hat, de ha ugyanekkor van egy harmadik hang, amely észrevehetően magasabban vagy mélyebben szól, akkor az már hallható marad. Időben is jelentkezhet, mivel ahogy már mindannyian tapasztaltuk valamikor, hogy egy hangos jel megszűnését követően egy kis ideig eltart, míg az általa elfedett hangok ismét hallhatóvá válnak. A hangelfedés mértéke a magasabb frekvenciákon erősebben jelentkezik a logaritmikusság miatt. Ezen tulajdonságokat a hang- és

10 FEJEZET 2. A HANG ÉS A BESZÉD TULAJDONSÁGAI 8 beszédtömörítésnél egyaránt ki tudjuk használni. Ezáltal a dekódolás során az eredeti fizikai jelenség nem, csak annak a fülünk által érzékelhető része állítható vissza Amplitúdó A hanglejtés és egyéb kifejező szándék miatt a hangunk erősségét folyamatosan változtatjuk. Így a hang egy másik fontos tulajdonsága lesz az amplitúdó, amely a hangrezgést leíró görbe csúcsainak egymástól való távolságát jelöli. Ez határozza meg a hangerőt A beszédkeltés Most pedig röviden tekintsük bele az emberi beszédképzésbe, hogy a beszédkódolásban szereplő módszerek könnyebben érthetőek legyenek. A beszédkeltésben először a tüdő kapja a legnagyobb hangsúlyt, ahonnan a légáramlat megrezegteti a hangszalagokat. Végül a száj- és orrüreg, a nyelv és a fogak végzik a hangok végső formálását. A hangfrekvencia értéke férfiaknál Hz, míg a nőknél Hz közötti. (Innen is látható, hogy a férfiak általában mélyebb hangon beszélnek.) A zenei hangoktól eltérően, itt fontos szerepe van a szünetnek is, hiszen ez segíti a hallgatót az elhangzottak megértésében. A magánhangzók képzésekor a hangszalagok rezegnek, tehát mindegyik zöngehang, frekvenciájuk 300 és 3000 Hz közötti. A mássalhangzók képzésekor akadály képződik a gégefőben vagy a szájüregben. Vagy tiszta zörejhangok, ez esetben a hangszalagoknak nincs szerepük, a hang a levegő súrlódása során keletkezik; vagy pedig a zörejhez zönge is társul A hang matematikai leírása Olyan egyenletet szeretnénk felírni, amely minden időpillanathoz megadja, hogy mennyi a jelben résztvevő részecskék kitérése. A hangforrástól x távolságra levő részecske mozgását az y(t) = A sin[2πf(t x )] egyenlettel lehet kiszámolni, ahol A c

11 FEJEZET 2. A HANG ÉS A BESZÉD TULAJDONSÁGAI 9 az amplitúdónak, az f a frekvenciának, a c pedig a részecske terjedési sebességének felel meg. Ezeket nevezzük tiszta hangoknak. Különböző matematikai összefüggések révén az analóg jelek leírhatók mind az idő- és a frekvenciatartományokban. Először 1822-ben Jean Baptiste Josepf de Fourier francia matematikus mutatta ki, hogy minden folytonos, periodikus jel előállítható különböző frekvenciájú és fázisú szinusz- és koszinuszjelek összegeként. Később az elméletet nemperiodikus folyamatokra, valamint a diszkrét idejű és értékű jelfüggvényekre is kiterjesztették Tétel (Fourier). Ha egy x(t) függvény periodikus a T periódusidővel, akkor felírható az alábbi alakban: x(t) = a [ ( a k cos k 2π ) ( T t + b k sin k 2π )] T t, k=1 ahol és b k = 2 T a k := 2 T T 0 T 0 ( x(t) cos k 2π ) T t dt, ( x(t) sin k 2π ) T t dt k {0, 1, 2,...}. Az előbbi tételben leírt összefüggést az x(t) függvény Fourier-sorának nevezzük. A sorfejtés komplex alakban is megadható a következőképpen: ahol c k = 1 T T 0 x(t) = k= 2π ik c k e T t, 2π ik x(t)e T t dt = 1 2 (a k ib k ) = c k k {0, 1, 2,...}, ahol a fölülvonás a komplex konjugálást jelöli Definíció. Az x(t) függvény Fourier-transzformációjának nevezzük az alábbi függvényt: X(f) =: F{x(t)} := ahol az f paraméter a frekvenciát jelöli. x(t)e i2πft dt,

12 FEJEZET 2. A HANG ÉS A BESZÉD TULAJDONSÁGAI 10 Fontos megjegyezni, hogy az x(t) és X(f) ugyanannak a jelnek két reprezentációja, csak ez előbbi az idő-, míg az utóbbi a frekvencia-tartományban. Ráadásul a következő összefüggéssel visszaállítható az eredeti x(t) függvény, ezt inverz Fourier-transzformációnak nevezzük: x(t) = F 1 {x(t)} := X(f)e i2πft df. Itt érdemes megjegyezni, hogy a Fourier-transzformáltat többféle alakban szokták használni, de mi most csak ezt az egy alakot használjuk.

13 3. fejezet Hangtömörítés Az adattömörítés fő célja a nagyon nagy méretű adathalmazok méretének a csökkentése, hogy minél kevesebb helyet foglaljanak, és minél gyorsabban lehessen őket továbbítani. A tömörítési eljárásokat két fő csoportba oszthatjuk, a veszteségmentes és a veszteséges tömörítési algoritmusokra. Az előbbiek lényege, hogy úgy csökken az adatok mérete, hogy közben adatvesztés nem történik, visszakapható az eredeti adathalmaz. Az utóbbi csoportban azonban a tömörítés közben adatvesztés történik. Az adattömörítésen belül mi most hangtömörítéssel foglalkozunk. A veszteségmentes hangtömörítésben kihasználják az adatok jellegéből adódó ismétlődő mintázatokat, hogy meg tudják becsülni a következő értékeket, és csak a különbséget tárolják el. De a hangtömörítési eljárások nagyobb része veszteséges tömörítés, ami azt jelenti, hogy a tömörítés közben adatvesztés történik, ám ez elméletileg nem okoz hallható minőségromlást. Ezen eljárásokban fontos szerepe van a pszichoakusztikának, vagyis a fülünk olyan tulajdonságainak, amikor nem, vagy csak gyengén érzékelünk egy-egy hangot. Ezért volt fontos áttekinteni az előző fejezetben fülünk hallásbeli korlátait. Ilyen eljárások például az Ogg Vorbis, AAC, vagy amit közelebbről is meg fogunk majd ismerni, az MP3. 11

14 FEJEZET 3. HANGTÖMÖRÍTÉS Mintavételezés A hangot, mint jelet az amplitúdó- és időkoordináták rendszerében ábrázoljuk. Az időben és amplitúdóban folytonos értékkészletű jeleket analóg jeleknek nevezzük. A természeti jelenségek, a fény- vagy hanghullámok analóg jeleket hoznak létre. Hogy egy analóg jelzést egy számítógépen használjunk, először digitalizálnunk kell, vagyis időben és amplitúdóban diszkretizálni kell. Tehát a hanghoz olyan kódot kell hozzárendelni, amely véges idő alatt véges információt hordoz. Az időben való diszkretizálást nevezzük mintavételezésnek, míg az amplitúdóban való diszkretizálást kvantálásnak, melyet majd a következő fejezetben tárgyalunk. Ezen fejezetekhez a [4], [5] és [6] forrásokat használtam. Ahhoz, hogy az analóg világot, jelen esetünkben egy zenei hangot pontosan jellemezzünk, mindenféle hangszínt le kellene tudnunk írni különböző számokkal, ami egy komoly feladat. Ráadásul a hangnak van időbeli kiterjedése is, vagyis minden pillanatot jellemeznünk kellene, ha tökéletesen vissza szeretnénk adni a hangot. Az analóg-digitális kódolás alkalmazásakor minden minta egy számértékként kerül eltárolásra, amely számérték az adott pillanatban megszólaló hang amplitúdóját írja le. A digitalizált hangállományból az eredeti hangállományt nem tudjuk viszszakapni, csak bizonyos hibával. Ennek függvényében mérjük a digitalizálás minőségét. Az első lépés a digitalizáláshoz, hogy a folytonos jelnek csak egy-egy pillanatban vizsgáljuk az értékét, és csak ezeket az értékeket tároljuk el Definíció. Legyen a T > 0 a mintavételi idő, ekkor az X(t) folyamat mintavételezésének nevezzük az {X(kT ) : k = 0, ±1, ±2,...} diszkrét idejű folyamatot. Egy mintavételezés látható a 3.1. ábrán. Az első felmerülő kérdés, hogy milyen gyakran vegyük ezeket a mintákat, ha ugyanis annyira sűrűn követik egymást, hogy közben a jelnek nincs ideje nagyon megváltozni, akkor a minták elég pontosan le fogják írni a folytonos jelet, viszont nagyon sok adatot kell tárolnunk, míg ha ritkábban veszünk mintákat, könnyen előfordulhat, hogy azok nem tudják

15 FEJEZET 3. HANGTÖMÖRÍTÉS ábra. A szinuszhullám egy mintavételezése követni a jel változásait. A kérdésre Shannon és Nyquist adta meg a választ. A mintavételezési frekvencia az a frekvencia, amely megadja, hogy hány mintát veszünk a jelből másodpercenként Tétel. Ha egy x(t) időfüggő jel Fourier-transzformáltja az f m mintavételi frekvencia felénél nagyobb vagy egyenlő frekvenciákon 0, akkor az x(t) jel egyértelműen és információveszteség nélkül rekonstruálható az egyenlő T = (1/f m ) időközönként mintavételezett értékeiből. A kapcsolatot a folytonos x(t) jel és a mintavételezett x(kt ) értékei között az alábbi formula adja meg: Bizonyítás: [5] x(t) = k= x(kt ) sin(πf m [t kt ]). πf m (t kt ) A bizonyításhoz először ismerkedjünk meg a Dirac-delta függvénnyel. Szemléletesen úgy lehetne definiálni, hogy a valós tengelyen mindenhol nulla, az origóban pedig végtelen. Hagyományos értelemben nem függvény, pontosabban a mértékelméleten belül lehet definiálni. Ezen disztribúció különböző tulajdonságait fogjuk felhasználni, melyeket most bizonyítás nélkül csak felsorolunk:

16 FEJEZET 3. HANGTÖMÖRÍTÉS 14 (1) folytonos g(x) függvény esetén: ebből következően pedig g(x)δ(x x 1 )dx = g(x 1 ), (2) inverz Fourier-transzformáltban: δ(x)dx = 1; δ(f f 1 )e j2πft dt = e j2πf 1t ; (3) a komplex exponenciális függvény Fourier-transzformáltja egy Dirac-impulzus kell, hogy legyen: F{e j2πf1t } = δ(f f 1 ). Ehhez kapcsolódóan definiálhatjuk a Dirac-fésűt, mint Dirac-delták egy végtelen sorozatát, amely megadható a következő módon: δ(x n). n= Ennek egyik legfontosabb tulajdonsága, hogy egyenlő a Fourier-transzformáltjával. Ezen előzmények után térjünk vissza a tétel bizonyításához. Jelöljük X(f)-el az x(t) jel Fourier-transzformáltját. Ekkor a tétel feltételét felírhatjuk a következőképpen: X(f) = 0 f : f f m /2. Ez alapján vezessük be a következő x(t) általánosított függvényt, mely az eredeti jel és az időköz szorzata a Dirac-fésűvel: x(t) := x(t) δ(t kt )T. k= Ezen disztribúció Fourier-transzformáltja pedig a következő a (2) tulajdonságot felhasználva: X(f) := x(t)e i2πft dt = x(t) δ(t kt )T e i2πft dt = k=

17 FEJEZET 3. HANGTÖMÖRÍTÉS 15 = k= x(kt )e i2πfkt T. A konvolúciós tételt alkalmazva állítsuk elő X(f)-et másképpen is: { } X(f) = F{ x(t)} = F x(t) δ(t kt )T = = F{x(t)} F { k= k= δ(t kt )T } ( ) =: X(f) D(f), ahol F{ } a Fourier-transzformációt, a konvolúciót jelöli, D(f) pedig { } ( D(f) := F δ(t kt )T = δ f k ). T k= k= Végezzük el a konvolúciót az (1)-es tulajdonságot felhasználva: = k= X(f) = X(f) D(f) = ( X(f φ)δ φ k ) dφ = T k= X(f φ)d(φ)dφ = X ( f k ) = T k= X(f kf m ). Tekintetbe véve a feltételt, az összegzésben szereplő X(f kf m ) tag egy adott f frekvenciára csak akkor különbözhet 0-tól, ha f m /2 < f kf m < f m /2, azaz f f m 1 2 < k < f f m Ez egy adott frekvencián egyetlen egész számra teljesül, tehát a kapott összefüggésben az összegzés egyetlen tagra egyszerűsödik. A f m /2 < f < f m /2 tartományon 1 < k < 1, azaz k = 0, így X(f) = X(f) f : f < f m 2. Állítsuk most elő az x(t) jelet Fourier-transzformáltjából inverz Fouriertranszformációval, és használjuk ki a feltételt: x(t) = X(f)e i2πft df = fm/2 f m/2 X(f)e i2πft df.

18 FEJEZET 3. HANGTÖMÖRÍTÉS 16 Ezen a frekvenciatartományon X(f) = X(f), ezt kihasználva és ( )-ot belehelyettesítve kapjuk, hogy x(t) = fm/2 f m/2 X(f)e i2πft df = fm/2 f m/2 k= x(kt )e i2πfkt T e i2πft df = k= x(kt )T = k= fm/2 f m/2 x(kt )T fm/2 f m/2 Az integrálást elvégezve és a T = 1/f m e i2πf(t kt ) df = {cos (2πf [t kt ]) + i sin (2πf [t kt ])} df. összefüggést felhasználva a tétel állításához jutunk, amely egyben a mintavételezett adatokból történő rekonstrukció képlete is: x(t) = k= x(kt ) sin(πf m [t kt ]). πf m (t kt ) A tételt első megfogalmazóiról elnevezve Shannon-tételnek ill. Nyquisttételnek is hívják, az f m /2 frekvenciát pedig Nyquist-frekvenciának is nevezik. Tehát ha egy jelsorozat szinuszos összetevői közül a legnagyobb rezgésszámúnak a frekvenciája f, akkor a folytonos jelet 2f mintavételi frekvenciával mintavételezve a kapott diszkrét jelsorozat egyértelműen leírja az eredeti jelet. Mivel az emberi hallástartomány felső határát 20 khz-ben állapították meg, ezt az értéket tekinthetjük a határfrekvenciának, vagyis elegendő ennek kétszeresével, 40 khz-el mintavételeznünk Kvantálás Minden esetben, amikor az adatok feldolgozása digitálisan történik, a folytonos értékkészletű jelet (mint egy mintavételezett jel is) véges értékkészletű jellé kell alakítani. A kvantálás a végtelen sok lehetséges érték olyan átalakítása, melynek során az értékeket egy-egy kiválasztott értékre kerekítjük, így az értékkészlet

19 FEJEZET 3. HANGTÖMÖRÍTÉS ábra. A szinuszhullám különböző bitmélységű kvantálása elemszámát lecsökkentjük. Ez hangtömörítés esetén a jel amplitúdóbeli diszkretizálását jelenti. A mintavételezéssel ellentétben, a kvantálásnak nincs inverz művelete. A fejezet a [7] forrás gondolatmenetét követi. A kvantálás utáni érték így adott esetben csökken, más esetben növekszik, azaz a kvantálással az eredeti jelhez zajt adunk. Értelemszerűen minél több kiválasztott érték van, melyre kerekítünk, annál pontosabban lehet majd visszajátszáskor a digitális jelsorozatból visszaállítani az analóg jelet. A kvantált jel nem hordoz információt arról, hogy ez a hozzáadott zaj mekkora volt, így a hibátlan visszaállítást nem lehet biztosítani. A szinuszjel különböző kvantálásait láthatjuk a 3.2. ábrán. A kvantálás egyik fontos mérőszáma a bitmélység, amely a kvantálásnál használt bitek száma. Például a 8 bit arra utal, hogy 2 8 = 256 értékkel írjuk le a hangot. A 3.2. ábrán a különböző bitmélységű kvantálásokat láthatunk. Az előző fejezetben tárgyalt mintavételezési frekvencia, a későbbiekben definiált bitráta és ez a bitmélység fogja meghatározni a hang minőségét. Értelemszerűen a nagyobb értékek jobb minőséget jelentenek. A kvantálás egy másik fontos tulajdonsága a kvantálási hiba, mely a kvantált jel és az eredeti jel különbsége. Például a 3.3. ábrán (forrás: [4]) is látható, hogy

20 FEJEZET 3. HANGTÖMÖRÍTÉS ábra. A szinuszhullám kvantálása és a kvantálási hiba a szinuszjel kvantálásakor a hiba közelítőleg fűrészfog alakú azokon a helyeken, ahol a függvény görbülete kicsi. Az ábra jelölésével tehát annál jobb a közelítés, minél kisebb q értéke a jel amplitúdójához képest Definíció. Legyen X = X 1, X 2,... valószínűségi változók sorozata. Az X egy dimenziós kvantáltján egy véges értékkészletű Q : R R leképezéssel kapott Q(X 1 ), Q(X 2 ),... diszkrét valószínűségi változó sorozatot értünk. A Q( ) függvényt pedig kvantálónak nevezzük. A célunk az, hogy X-et minél pontosabban reprezentáljuk. A kódolás hűségét az eredeti sorozathoz a négyzetes torzítással mérjük: D(Q) = 1 n E ( n i=1 (X i Q(X i )) 2 ) = E((X Q(X)) 2 ), ahol n a blokkok hossza, és a második egyenlőség az X i -k azonos eloszlásából következik, mely megegyezik X eloszlásával. Kvantálási szinteknek nevezzük a Q kvantáló értékkészletét: {x 1, x 2,...}, ahol x i R. Ezek alapján pedig a kvantálási tartományok a következők: B i := {x R : Q(x) = x i }, i = 1,..., N, melyek diszjunktak és uniójuk R. Így ezen jelölésekkel: Q(x) = x i, ha x B i. Tehát az eredeti pillanatnyi amplitúdóhoz

21 FEJEZET 3. HANGTÖMÖRÍTÉS 19 azt a kvantálási szintet rendeli, amelyik a pillanatnyi amplitúdóval egy kvantálási tartományon belül van. Ha adottak a kvantálási szintek, akkor meg kell határoznunk hozzá a kvantálási tartományokat úgy, hogy a négyzetes torzítás minél kisebb legyen. Ez alapján értelemszerűen az {x 1, x 2,...} szintekhez a B i = {x : x x i x x j, j = 1, 2,..., N} tartományok tartoznak. Ezt nevezzük a legközelebbi szomszéd feltételnek. De itt még meg kell vizsgálni azt az esetet, amikor egy x ugyanolyan távol van két szinttől. Ekkor közmegegyezés alapján például mindig a legkisebb indexű tartományt választva a tartományok diszjunktak lesznek Lemma. Az adott kvantálási szintekkel ez a kvantáló a legkisebb négyzetes torzítású. Bizonyítás: Jelöljük ezt a kvantálót Q-val, és legyen Q ugyanezzel a szintekkel. pedig egy másik kvantáló Ekkor létezik egy olyan x, melyre Q(x) = x i, de Q (x) = x j, ahol i j. Ekkor a Q kvantáló definíciója szerint x x i x x j, vagyis (x Q(x)) 2 (x Q (x)) 2, amiből egyenesen következik, hogy a Q kvantáló négyzetes torzítása nem lehet kisebb, mint a Q négyzetes torzítása. Ezek alapján a kvantálási tartományokat fogalmazzuk át egyszerűbb alakra: B 1 = (, y 1 ), B i = (y i 1, y i ], i = 2,..., N 1, B N = (y N 1, ), ahol y i = x i+x i+1 2. Most pedig nézzük meg, hogy adott tartományokhoz milyen kvantálási szintek tartozzanak a négyzetes torzítás alapján Lemma. Az optimális kvantálási szint az adott tartományokhoz annak súlypontja. Bizonyítás: A teljes valószínűség tétele szerint E((X Q(X)) 2 ) = N E((X Q(X)) 2 X B i )P{X B i }, i=1

22 FEJEZET 3. HANGTÖMÖRÍTÉS 20 ahol Q(X) = x i az összeg i-edik tagjában. A Steiner-tétel miatt bármely c R számra E((X c) 2 X B i ) = E((X E(X X B i )) 2 X B i ) + (E(X X B i ) c) 2. Tehát ezen két tételből következik, hogy B i (x x i ) 2 f(x)dx = E((X x i ) 2 X B i ) B i f(x)dx akkor minimális, ha x i = ahol az f(x) az X sűrűségfüggvénye. B i xf(x)dx B i f(x)dx, Ezen sűrűségfüggvény segítségével pedig a kvantáló négyzetes torzítása: D(Q) = N (x x i ) 2 f(x)dx. i=1 B i Egyenletes kvantáló Tegyük fel, hogy az X lehetséges értékeinek a halmaza a [ A, A] intervallum. Ekkor N-szintű egyenletes kvantálónak nevezzük azt a kvantálót, melyhez a kvantálási tartományokat úgy kapjuk, hogy az intervallumot N részre osztjuk, és ezen tartományok közepén helyezzük el a kvantálási szinteket. Egy egyenletes kvantálás látható a 3.4. ábrán (forrás: [4]). Bebizonyítható, hogy az N szintű egyenletes kvantáló négyzetes torzítása nagy N esetén közelítőleg 1 12 ( 2A N ) Nem egyenletes kvantáló A gyakorlatban legtöbbször inkább nem egyenletes kvantálóval találkozunk. Ennek az a lényege, hogy a nagyobb valószínűségű tartományokon a közelítést pontosabban végezzük el, mint a kisebb valószínűségű tartományokban, ahol megengedett

23 FEJEZET 3. HANGTÖMÖRÍTÉS ábra. Egyenletes kvantálás rosszabb közelítés is. Így csökkenteni tudjuk a kvantálási hibát, így a négyzetes torzítást is. Adott az X valószínűségi változó. A célunk az, hogy minimális négyzetes torzítású, N szintű kvantálót találjunk hozzá Definíció. A következő két feltételt együttesen Lloyd-Max feltételnek nevezzük, az ezeket kielégítő kvantálókat pedig Lloyd-Max kvantálónak. 1. Legközelebbi szomszéd feltétel: minden valós x értékének és a kvantált Q(x) értékének a távolsága legalább annyi, mint az x távolsága bármely másik kvantálási szinttől. 2. Súlypont feltétel: minden x i kvantálási szint megegyezik azon minták átlagával, melyeknek kvantáltja ez a szint. Bebizonyítható, hogy minden négyzetes torzulásra optimális kvantáló kielégíti az előbbi két feltételt, bár ezek még nem elegendőek az optimalitáshoz Tétel (Fleischer). Adott az f(x) pozitív és logaritmikusan konkáv sűrűségfüggvény. Ekkor csak egy darab N-szintű Lloyd-Max kvantáló van, és ez optimális az f(x) függvényre.

24 FEJEZET 3. HANGTÖMÖRÍTÉS ábra. Analóg-digitális átalakítás Lloyd-Max algoritmus. 1. Először vegyünk fel egy közelítést a kvantálási szintekre. 2. A legközelebbi szomszéd feltétel segítségével optimalizáljuk a kvantálót a kvantálási szintek szerint. 3. A négyzetes torzítást kiszámítva, ha az érték egy adott küszöbnél kisebb, akkor megállunk. 4. A súlypont feltétel segítségével optimalizáljuk a kvantálót a kapott intervallumok szerint, majd ugorjunk a 2. pontra. A kvantálási hiba miatt a kvantálás után a jel a mintavételezéssel ellentétben nem állítható vissza tökéletesen, hiszen a kerekítéskor az információ egy része elvész. Ezáltal már digitális jelet kapunk eredményül, amelyet már ki tudunk fejezni a számítógép által használt kettes számrendszerben. Ezt nevezik impulzuskódmodulációnak (PCM - Pulse Code Modulation). A PCM jel előállításának folyamatábráját a 3.5. ábra (forrás: [26]) mutatja. A hangtömörítésnél fontos megemlíteni, hogy itt használjuk ki az emberi hallásnak azt a tulajdonságát, melyben a halk hangok között sokkal kisebb különbséget vagyunk képesek meghallani, mint a nagyobb hangerőnél. Ezért használunk az egyenletes kvantáló helyett nem egyenletes kvantálót a tömörítésben. A gyakorlatban a kvantálás legalább 8 biten történik, 16 biten már jó minőséget lehet produkálni, de használatos még a 24 bites is, bár csak főleg a stúdiókban.

25 FEJEZET 3. HANGTÖMÖRÍTÉS Transzformációs kódolás A 2.3. alfejezetben már megemlítettük, hogy a Fourier-transzformáció segítségével a jelet az időtartományból a frekvenciatartományba alakíthatjuk át. Ezekre a feldolgozás megkönnyítése miatt van szükség, például amikor a zenében időbeni átfedések vannak és ezáltal szükségünk van az összetevők szétválasztására. A Fourier-analízisben négy esetet különböztetünk meg aszerint, hogy a jel periodikus vagy aperiodikus, illetve folytonos vagy diszkrét. periodikus aperiodikus folytonos Fourier-sor Fourier-transzformáció diszkrét DFT Diszkrét idejű Fourier-transzformáció Diszkrét Fourier Transzformáció (DFT) Az előző négy kategóriából most vizsgáljuk meg azt az esetet, melyet a természettudományos gyakorlatokban a legtöbbször használunk: egy periodikus diszkrét jel transzformációját. Forrásaim a [8] és [9] voltak. áll. A mintavételezés után a jel már nem folytonos, hanem diszkrét mintákból Ez továbbra is T szerint periodikus, de értékét csak x darab helyen ismerjük, jelöljük ezeket f(k)-val. Tegyük fel, hogy a T hosszúságú periódusra N darab minta esik. Ekkor a minták távolsága T/N. Induljunk ki a véges Fouriertranszformáltból és közelítsük az összeget téglalapok összegével: 1 T N 1 k=0 T 1 N f(k)e j2πn T k T 1 N = N N 1 k=0 f(k)e j 2π N kn Definíció. A diszkrét Fourier transzformáció (DFT) az N elemű f(k) számsorozathoz a szintén N elemű D(n) sorozatot rendeli az összefüggéssel. D(n) := 1 N N 1 k=0 f(k)e j 2π N kn

26 FEJEZET 3. HANGTÖMÖRÍTÉS 24 A DFT fontos tulajdonságai közé tartozik, hogy független a mintavételi időköztől, és a transzformáltnak csak N darab különböző értéke lehet: D(n + N) = 1 N N 1 k=0 f(k)e j 2π N k(n+n) = 1 N mivel e j2πm = cos(2πm) + i sin(2πm) = 1. N 1 k=0 f(k)e j 2π N kn e j2πk = D(n), A visszaállítást ezen N darab értékből meg lehet oldani, ezt nevezzük inverz diszkrét Fourier transzformációnak: f(k) := N 1 n=0 D(n)e j 2π N kn. Ezen állítás behelyettesítéssel, majd a szumma felcserélésével és rendezgetésekkel igazolható: f(k) = N 1 n=0 ( 1 N N 1 m=0 f(m)e j 2π N mn ) e j 2π N kn = N 1 m=0 N 1 f(m) n=0 1 2π N ej N (k m)n =: δ km, ahol δ km -val jelöltük a Kronecker-deltát, mely k = m esetén 1, különben 0. Így a visszaállítás helyes. Ez a jel is N-nel periodikus: f(k + N) = f(k). Ha az f(k) minták valósak, mint például a hangtömörítéseknél, akkor a D(n) transzformált elemei a következő tulajdonságokkal bírnak: D(0) valós, D( n) = D(n), amiből D(N/2) valós volta következik, ha N páros. A számítógépes algoritmusok legtöbbször az általános esetre vannak megírva, de sok gyakorlati esetben a mintáink valósak. De az említett tulajdonságok által felesleges lépéseket takaríthatunk meg, mivel egy N darab valós értékű sorozat diszkrét Fourier-transzformáltja megadható a következőkből: D(0), D(1),..., D(N/2). Ez N darab számérték, mivel csak az első és az utolsó valós, a többi komplex szám Gyors Fourier Transzformáció (FFT) Az előző fejezetben tárgyalt transzformációnak túl nagy a számításigénye, mivel D(n) összes elemének kiszámításához N 2 komplex szorzást és N(N 1) komplex

27 FEJEZET 3. HANGTÖMÖRÍTÉS 25 összeadást kell elvégezni, ebből adódóan egy hosszabb zenei felvétel feldolgozása az időigény miatt gyakorlatilag megvalósíthatatlan. Ezen alfejezethez még a [10] forrást használtam segítségül. Ezért Cooley és Tukey kidolgozták a gyors Fourier transzformáció (Fast Fourier Transform, FFT) algoritmusát, melynek számításigénye O(N log 2 N), ami logaritmikus volta miatt jelentős számításcsökkenést eredményez, ráadásul a transzformáció eredménye megegyezik a fenti DFT eredményével. meg. Az algoritmus egy rekurzív algoritmus, melyet N = 2 k alappontra adunk Az alapgondolata, hogy két darab N/2 alappontú résztranszfromáltból előállítható az N alappontú transzformált. A könnyebb olvashatóságért vezessük be a 2 k -adik egységgyök jelölésére a következőt: ε = ε 2m = e 2π 2 m i. D(n) = 1 N N 1 k=0 f(k)ε nk = 2 k 1 1 k=0 2m 1 1 f(2i)(ε 2 ) nk +ε n k=0 f(2k+1)(ε 2 ) nk =: y0(n)+y1(n). Tehát a DFT transzformációt egy páros és egy páratlan elemű értéksorok transzformációjából állítottuk össze. Vegyük észre, hogy ha n < 2 m 1, akkor a transzformált y0(n)+ε n y1(n)-nel egyenlő, ha pedig n > 2 m 1, akkor n := n 2 m 1 miatt y0(n ) ε n y1(n )-gal egyenlő, mivel ε 2m 1 = e 2π 2 m i2 m 1 = e πi = 1. FFT(A,k) 1 IF k = 0 THEN RETURN (A(0)) 2 ε 2 k := e 2π 2 k i 3 ε := 1 4 A0 := (A(0), A(2),..., A(2 k -2)) 5 A1 := (A(1), A(3),..., A(2 k -1)) 6 Y0 := FFT(A0,k-1) 7 Y1 := FFT(A1,k-1) 8 FOR j = k t := Y1(j) ε 10 Y(j) := Y0(j) + t 11 Y(j + 2 k 1 ) := Y0(j) - t 12 ε := ε ε 2 k 13 RETURN (Y)

28 FEJEZET 3. HANGTÖMÖRÍTÉS ábra. A gyors Fourier transzformáció algoritmusának működése Az algoritmus működését a 3.6. ábrán (forrás: [8]) láthatjuk. Lépésszámára T (k) = 2T (k 1) + 2 k = (k + 1)2 k adódik indukcióval. Egy Fourier-transzformált kiszámításához szükséges összeadások és szorzások száma N 2 -tel arányos. De ezzel a módszerrel a lassú szorzásokat gyors összeadásokkal helyettesítve a műveletek száma már N log 2 N-nel arányos. Az algoritmus hátrányának tűnhet, hogy az alappontok száma csak 2-hatvány lehet, de ez megoldható azzal, hogy az alappontokat kiegészítjük a megfelelő számú nullákkal Diszkrét Koszinusz Transzformáció (DCT) A hangtömörítésekben is használt diszkrét koszinusz transzformáció (DCT) a DFT testvére, amely nem komplex, hanem valós számokon dolgozik. Mivel a koszinusz egy páros függvény, ezért ezzel a módszerrel páros függvényeket közelítünk. De ez nem nagy megkötés, hiszen ha van egy N darab mintából álló sorozatunk, akkor feltételezve, hogy ez a sorozat csökkenő index szerint ismétlődik, akkor páros függvényt kapunk. Így Fourier-transzformáltjának mind az N értéke csak a koszinuszos tagból áll elő, azaz valós szám. Egy N darab mintából álló sorozat diszkrét koszinusz transzformáltjának felírására több alakot használnak. A hangtömörítéseknél azonban a következő

29 FEJEZET 3. HANGTÖMÖRÍTÉS 27 típusú definíciót részesítjük előnyben: D(n) = N 1 k=0 [ ( π f(k) cos k + 1 ) ( n + 1 )]. N 2 2 Itt is megadható az inverz transzformáció a 2 szorzó által. N Előnye a nagy tömörítési hatásfok, mivel a jelek alacsony frekvenciás összetevőire koncentrál. Módosított Diszkrét Koszinusz Transzformáció (MDCT) Az MDCT pedig egy egy dimenziós DCT. Különlegessége, hogy 2N darab valós számot N darab valós számmá transzformál a következő formula szerint: D(n) = 2N 1 k=0 [ ( π f(k) cos k + 1 N 2 + N ) ( n + 1 )]. 2 2 Ezzel szemben az inverz transzformáció N darab valós számból 2N valós számot transzformál: f(k) = 1 N N 1 n=0 [ ( π D(n) cos k + 1 N 2 ) ( N n + 1 )]. 2 2 Hasonlóan a DFT-hez ezen transzformációk direkt számítási igénye O(N 2 ), de létezik egy gyors koszinusz transzformáció (FCT), ami O(N log 2 N) időben elvégzi a transzformációt. Ezen alfejezethez a forrásaim a [11] és a [12] voltak Digitális szűrők A digitális szűrőket alapvetően két feladatra használjuk: a jelek szétválasztására és a jelek zajmentesítésére. A szűrőket frekvenciatartománybeli viselkedésük szerint csoportosíthatjuk. A legfontosabb az aluláteresztő szűrő. Ez a jelet úgy módosítja, hogy a kis frekvenciájú komponenseket átereszti, a többit pedig nem. A felüláteresztő szűrő értelemszerűen az előbbivel ellentétes hatású. A sáváteresztő és a sávzáró szűrő egy frekvenciasávot ereszt vagy éppen nem ereszt át a nevükből eredően.

30 FEJEZET 3. HANGTÖMÖRÍTÉS ábra. Az aluláteresztő (bal fent), a felül áteresztő (jobb fent), a sáváteresztő (bal alul), és a sávzáró (jobb alul) szűrő. Észrevehető, hogy az aluláteresztő szűrő ismeretében előállítható a felüláteresztő szűrő úgy, hogy az aluláteresztő súlyfüggvényét kivonjuk a mindent áteresztő szűrő súlyfüggvényéből. Konvolúcióval megkapható a sáváteresztő és a sávzáró szűrők súlyfüggvénye is az előző kettő szűrő súlyfüggvényéből. Ezért a továbbiakban csak az aluláteresztő szűrővel foglalkozunk. Ilyen típusú szűrőket láthatunk a 3.7. ábrán (forrás: [28]). Akkor alkalmazunk aluláteresztő szűrőt, ha a jelünk maximális frekvenciája nagyobb, mint a mintavételi frekvencia fele, mert ez eltávolítja az f m /2-nél nagyobb frekvenciájú összetevőket. Ha ezt nem tennénk meg, akkor ezek átalakulnak alacsonyabb frekvenciákká, melyeket aliasing zajoknak nevezünk. (Bár ha ismerjük a maximális frekvenciát, akkor a dolgunk könnyebb, mert a mintavételi tételben leírtak alapján a mintavételezés könnyen megoldható.) Átlagoló szűrő Ha a jelünket egy átviteli közegen keresztül továbbítjuk, akkor véletlenszerű zaj adódik hozzá. Most ettől a zajtól szeretnénk megszabadulni. Tudjuk, hogy elég nagy távolságot véve ezen zajok átlaga nullával egyenlő, ezért a jelünket N darab

31 FEJEZET 3. HANGTÖMÖRÍTÉS 29 mintánként átlagolva próbálunk megszabadulni a zajtól: y(n) = 1 N N 1 i=0 x(n i). Ez a szűrő a konvolúciós szűrők családjába tartozik, mert a kimenő jel a bemenő jel konvolúciója az 1 -nel. De az előnye éppen az, hogy konvolúció nélkül N is számolható. Vegyük észre, hogy a szomszédos kimeneti értékek közötti különbség csak az átlagolt tagok első és utolsó tagjában van, tehát adódik a következő összefüggés: y(n + 1) = y(n) + x(n + 1) x(n + 1 N). N Ezáltal az N darab összeadás helyett elég csak 2 darab összeadást elvégezni. Ez a szűrő az időtartományban hat, de képes kiszűrni a gyors változásokat a jelből, tehát aluláteresztő szűrőként viselkedik. Vannak ennél sokkal bonyolultabb, konvolúciót használó szűrők is, ám ezeket most nem tárgyaljuk. A forrásom a [28] internetes jegyzet volt Tömörítés, hibafelismerés, visszaalakítás Kritikus sávok és a részsávú kódolás A hangtömörítésben használják még a kritikus sávok fogalmát, mely kihasználja fülünk nem egyenletes frekvencia-érzékenységét. Ezáltal az észlelhető frekvenciatartományt fel lehet osztani sávokra. A 24 darab kritikus sávval fedhető le a tartomány, melyeket Barkhausen tiszteletére Bark-ban számozunk. A segítségemre a [13] forrásanyag volt. A sávok fontos tulajdonsága, hogy szélességük a frekvencia növekedésével nő, ráadásul a kritikus sávok háromnegyede az 5 khz alatti tartománnyal azonosítható be. Vagyis az alacsonyabb frekvenciákból több információt kap a fül, mint a magasakból, ezáltal az alacsonyabb frekvenciákon pontosabb reprodukálás, míg a magasabb frekvenciákon elég egy durvább reprodukálás is.

32 FEJEZET 3. HANGTÖMÖRÍTÉS ábra. A kritikus sávok és a részsávos kódolás kapcsolata Ezen sávok szolgálnak a hangtömörítésekben a részsávos kódolás alapjául. A 3.8. ábrán (forrás: [8]) láthatjuk a sávok kapcsolatát. Több egyidejű komponens összegződése azonos módon történik, ha egy sávon belül; és különbözően, ha eltérő sávban vannak. Az elfedési jelenségeket is itt tudjuk vizsgálni Huffman-kódolás A mintavételezés, szűrés és kvantálás után kapunk egy véges jelsorozatot, mely egy véges szimbólumhalmazból veszi fel értékeit. Ezt tömörítjük tovább egy veszteségmentes kódolással, mely az MP3 esetében például a Huffman-kódolás. A Huffman-kód optimális olyan szempontból, hogy ha adott az elemek gyakorisága, akkor a legkisebb átlagos kódszóhosszúságú kód. Az alfejezethez a [14] és a [15] forrásokat használtam fel. A célunk egy olyan fa (Huffman-fa) megtalálása, amelyre a N i=1 g id(x i ) összeg minimális, ahol adott a g i, ami az x i elem gyakorisága, d(x i )-vel pedig a gyökértől az x i levélig bejárt élek számát jelöljük. A kódfa egy teljes bináris fa lesz, vagyis egy olyan fa, amelyben minden belső csúcsnak pontosan két gyereke van. Az éleihez egyesével rendeljünk 0-t, ha bal oldali, és 1-et, ha jobb oldali gyerekre mutat. Az elem kódját a gyökértől a levélig bejárt úton levő élekre írt számok sorozata adja. kódnál rövidebb kódot tudunk rendelni. Így az egyes elemekhez változó hosszúságú, a fix hosszúságú A Huffman-algoritmus első lépéseként meghatározzuk az elemek gyako-

33 FEJEZET 3. HANGTÖMÖRÍTÉS ábra. Egy Huffman-fa valószínűségi értékekkel riságát, és ezekből elkészítjük a leveleket. Majd minden lépésben a két legkisebb gyakoriságú fát összevonjuk úgy, hogy föléjük egy új gyökeret teszünk az összevonandó két fa gyökerének gyakoriságának összegével. Így N 1 összehasonlítás után már megkapjuk a keresett kódfát, ezáltal az algoritmus időigénye O(N log 2 N). Egy Huffman-fa látható a 3.9. ábrán (forrás: [23]). Ez egy prefix-kód, mely azt jelenti, hogy a kódszavak közül egyik sem folytatása a másiknak. Ebből következik, hogy egyértelműen dekódolható, hiszen mivel nincs olyan kódszó, amely kezdőszelete lenne a másiknak, így egyértelmű, hogy a kódolt állományban melyik kódszó a következő, amit dekódolni kell. A hangtömörítésekben a kódolás során nem az algoritmus állítja elő a gyakoriságokat, hanem egy előre rögzített fix táblázattal dolgozik. Ezt az algoritmust a képtömörítő eljárások is gyakran használják Hibafelismerés Mivel a hangállományunkat egy átviteli közegen keresztül szoktuk továbbítani, ezért a hibák detektálásának nagy szerepe van a hangtömörítő algoritmusok részeként. Például egy ilyen hibajelző kódolás is a CRC (Ciklikus Redundancia Ellenőrzés) kód Definíció. Legyen t 1 egy egész szám. A C Q kódot t-hibajelzőnek

34 FEJEZET 3. HANGTÖMÖRÍTÉS 32 nevezünk, ha bármely kódszót legfeljebb t helyen megváltoztatva az eredmény nem lehet kódszó. A CRC kódolás az adatblokkot egy polinom együtthatóinak tekinti, melyet eloszt egy előre meghatározott, állandó polinommal. Az u = u 1, u 2,... u k elemeket azonosítsuk az u 1 x k 1 +u 2 x k u k 1 x+u k polinommal. Tehát a kódokat alkotó biteket egy polinom együtthatóiként kezeljük. Legyen g Q n k [x], ekkor a C = {g(x)u(x) : deg(u) k} kódot a g generátorú polinomkódnak nevezzük. Ez lineáris kód, a kódolás pedig a generátorpolinommal való szorzás. Ez alapján írjuk fel a bináris kódot egy M(x) polinommal. Legyen az előre megadott irreducibilis, n fokú polinom P (x). Adó oldali algoritmus A küldendő információt egészítsük ki a generátorpolinom fokszámának megfelelő zérussal: M(x)x n. Az így kapott polinomot osszuk el a generátorpolinommal: M(x)x n P (x) = Q(x) + R(x) P (x). Az így kapott R(x) maradékpolinomot az eltolt M(x)x n végén lévő zérusok helyére beillesztjük: T (x) = M(x)x n +R(x). Ez a T (x) lesz az üzenet, melyet továbbítunk. Vevő oldali algoritmus A beérkezett T (x) polinomot osszuk el a generátorpolinommal: T (x) P (x) = M(x)xn + R(x) P (x) = M(x)xn P (x) + R(x) P (x) = = Q(x) + R(x) P (x) + R (x) P (x) = Q(x) + R(x) + R (x). P (x) Ahol R(x) az adó oldalon, R (x) a vevő oldalon számított maradékpolinom. Ha R = R, vagyis az adó és vevő oldalon képzett maradékok egyenlőek, akkor R(x)+R (x) = 0. Tehát ha az átvitel során nem sérült meg az üzenet, azaz T = T, P (x) = Q(x). Ha az üzenet bármely része megsérül, a vevő oldali akkor T (x) P (x) = T (x) P (x)

35 FEJEZET 3. HANGTÖMÖRÍTÉS 33 maradék nem fog egyezni az adó oldali maradékkal, vagyis így modulo 2 összegük sem lesz zérus. Ezzel jelzi, hogy az átvitel során hiba keletkezett. A CRC kódolás különböző fajtái különböző generátorpolinomokat részesítenek előnyben. Például a teljesség igénye nélkül kiemelve néhány típust: CRC-12 x 12 + x 11 + x 2 + x + 1 CRC-16 x 16 + x 15 + x CRC-CCITT x 16 + x 12 + x Előnyük, hogy nagyon jó hibajelző kódolások. Például a 16 bites CRC kódok képesek felismerni minden 1 bites, 2 bites, minden páratlan bitet tartalmazó hibát, minden 16 vagy kevesebb bitnyi csoportos hibát, a 17 bites csoportos bitek 99,97%-át, a 18 vagy magasabb bitszámú hibák 99,998%-át. Hátrányuk, hogy csak hibajelzésre alkalmasak. Az alfejezethez a [16] forrást használtam fel Visszaalakítás A dekódolás folyamata egyszerűbb, mint maga a tömörítés, mert nem kell sem pszichoakusztikus modell, sem bitszám-kijelölés, így kevesebb időt vesz igénybe. Először a CRC hibaellenőrzés történik meg, amit a Huffman-dekódolás követ. A következőkben a részsávok átkvantálása után az inverz MDCT következik. Majd a részsávokból a szűrő kikeveri az eredeti digitális jelet Egy alkalmazás: MP3 A legismertebb hangtömörítő eljárás az MP3 tömörítés, melynek pontosabb neve MPEG-1 Layer III, mely az MPEG (Moving Picture Experts Group) szabvány audio alcsoportját jelöli. A tömörítést a Fraunhofer intézet dolgozta ki. Az audio tömörítési eljárásnak három különböző rétegét definiálták, melyek főként a kódoló algoritmus bonyolultságában térnek el egymástól. Az egyes eljárásokat a [17], a [18] és a [19] források segítségével néztem végig. Az egyszerűbb Layer I és Layer II eljárás szűrőbankja a bementi jelet 32

36 FEJEZET 3. HANGTÖMÖRÍTÉS ábra. Az MPEG-1 Layer III eljárás vázlata állandó szélességű frekvencia sávra osztja. A mintavételezés 32, 44.1 vagy 48 khz-zel történhet. Ezután részsávonként egy transzformációs kódolás következik, melyek a következők: Layer I esetén egy 512 pontos, Layer II esetén egy 1024 pontos FFT. Majd kiválasztja a 15 kvantáló egyikét minden egyes részsáv számára úgy, hogy optimális legyen. A napjainkban inkább népszerű Layer III eljárás az elődeihez képest lényeges, a hangminőséget javító eltéréseket tartalmaz. A 32 részsáv mindegyikét további 18 összetevőre bontja MDCT felhasználásával. A frekvenciakomponensekre ezután egy nem egyenletes kvantálót alkalmaz, majd a kimenetet Huffman-kódolással tömöríti. Érdekesség, hogy fix Huffman-táblákat használ audio adatokra optimalizálva. A hangtömörítő eljárás vázlata a ábrán (forrás: [7]) látható. Ezáltal a hangok digitalizálásakor három fontos tényezőt kell figyelembe venni, amelyek befolyásolják a hangállomány méretét és minőségét: a mintavételi frekvencia, a kvantálási hossz és a bitráta. A bitráta egy mennyiség/idő jellegű adat, mely megadja, hogy hány bit halad át az adott átviteli közegen keresztül. Az MPEG audio bizottság a szabvány fejlesztése során széleskörű hallásteszteket végzett. Ennek eredménye, hogy a sztereo, 16 bitre kvantált, 48 khz-es, 256 kbps-os tömörített állományt és az eredeti jelet meghallgatva nem tudták megkülönböztetni a két hangmintát a tesztelő alanyok.

37 4. fejezet Beszédkódolás A zenei tömörítés mellet a másik fontos és gyakran használt tömörítő eljárás a beszédtömörítés, mely bár sokban hasonlít az előzőre, mégis mivel kihasználja a tömörítés a beszéd egyes fizikai tulajdonságait, érdemes a beszédtömörítést, vagy ismertebb nevén a beszédkódolást külön fejezetben tárgyalni. A beszédkódolás alapvetően nem az eredeti hangzás pontos visszajátszását tűzi ki célul, hanem a jó érthetőséget és a beszélő felismerhetőségét. A teljes fejezethez a segítségemre voltak a [20] és [21] források Mintavételezés A beszédkódolásnál a mintavételezés hasonlóan működik, mint a hangtömörítésnél, azzal a különbséggel, hogy más értékek tartoznak hozzá az emberi beszéd fizikai jellemzői miatt. A konkrét értékeket a 4.6. fejezetben tárgyaljuk Lineáris predikció A lineáris predikciót a matematikában arra használjuk, hogy egy jelenség korábbi időpillanatokban kapott értékeiből megbecsüljük az aktuális időpillanathoz tartozó értékeket, és a becslést az értékek lineáris függvényeként tudjuk felírni. A fejezethez az eddigiekhez még a [22] forrást használta fel. 35

38 FEJEZET 4. BESZÉDKÓDOLÁS 36 A beszéd mintavételezése közben jó néhányszor megfigyelhető, hogy két egymást követő minta csak kicsit különbözik egymástól. Ezért, ha csak a minták különbségét fogjuk majd kvantálni, akkor az adatok tömörítését érjük el. Ezért a beszédjel n-edik mintáját az őt megelőző p db minta lineáris kombinációjával becsüljük: s(n) = A p a predikció fokszáma, az a i hordozzák. p α i s(n i). i=1 együtthatók pedig az előzetes tapasztalatokat Az n-edik időpillanatban a becslés hibája: e(n) = s(n) s(n). Gyakorlati feladatoknál azt tapasztalták, hogy a legjobb választás a négyzetes hiba várható értékének a minimalizálása. Vagyis a hiba az [n 0, n 1 ] tartományon: E = n 1 n=n 0 e 2 (n) = n 1 n=n 0 [ s(n) p, αis(n i) A modell kódolása során elég lesz csak ezeket az együtthatókat eltárolni. Most számoljuk ki az a i predikciós együtthatókat a beszédjel mintáiból. Tehát a feladat az, hogy az adott s(0), s(1),..., s(n 1) mintákból határozzuk meg azokat az α i együtthatókat, melyekre az E négyzetes predikciós hiba minimális. Vezessük be az α 0 = 1 jelölést, majd alakítsuk úgy az összefüggést, hogy a deriváláskor majd az α i együtthatók minél kevesebbszer szerepeljenek: E = n 1 n=n 0 [ 2 p α i s(n i)] = i=0 = n 1 n=n 0 [ p p n 1 α i α j i=0 j=0 i=1 ] 2 [[ p ] [ p ]] α i s(n i) α j s(n j) = i=0 n=n 0 s(n i)s(n j) Vezessünk be egy jelölést: Φ(i, j) = n 1 n=n 0 s(n i)s(n j), mely csak az adott jeltől függ. Ezáltal írjuk át az összeget a következő alakba: ] j=0. E = p p α i α j Φ(i, j). i=0 j=0

39 FEJEZET 4. BESZÉDKÓDOLÁS 37 Ezután csoportosítsuk az összeget egy tetszőlegesen választott k indexű α k együttható megjelenése szerint: E = α 2 kφ(k, k)+α k p i=0;i k α i Φ(i, k)+α k = α 2 kφ(k, k) + 2α k p i=0;i k p j=0;j k α i Φ(i, k) + α j Φ(k, j)+ p p i=0;i k j=0;j k Mivel szélsőértéket keresünk, ezért nézzük a deriváltját: E α k = 2α k Φ(k, k) + 2 p i=0;i k α k Φ(i, k) = 2 p i=0;i k j=0;j k p α i α j Φ(i, j). p α i Φ(i, k) = 0. i=0 α i α j Φ(i, j) = Majd az α 0 = 1-ből következően p darab egyenletünk van: Φ(1, 1) Φ(1, 2)... Φ(1, p) α 1 Φ(0, 1) Φ(1, 2) Φ(2, 2)... Φ(2, p) α 2 Φ(0, 2). = Φ(1, p) Φ(2, p)... Φ(p, p) Φ(0, p) α p. Ebből a p darab α i már általában meghatározható Kovariancia módszer Ebben a predikciótól azt kívánjuk meg, hogy az n 0 = p és n 1 = N 1 határok között legyen jó, vagyis a p-nél kisebb indexű elemek hibájával nem törődünk. Ebben az esetben belátható, hogy Φ( ) nem tehető egyváltozóssá, tehát csak annyit állíthatunk, hogy a fenti mátrix szimmetrikus Autokorrelációs módszer Ez a módszer a 0 n N 1 indextartományon kívüli elemeket 0-nak tekinti, a hibát pedig n 0 = és n 1 = között értelmezi. Ez problémát nem okoz, hiszen a 0 értékű mintákból a lineáris kombináció bármely a-ra 0-t ad. A 0 és p 1 indexek esetén a becslés csonka, N és N + p között pedig nem 0-ból kellene 0-t kapnunk, tehát a határoknál a hiba várhatóan megnő.

40 FEJEZET 4. BESZÉDKÓDOLÁS 38 A kiterjesztés miatt a következő formára hozható: Φ(i, j) = s(n i)s(n j) = Φ( i j ), n= amiből következően a fenti mátrix Toeplitz-mátrix alakú (főátlóval párhuzamos átlókban azonos elemeket tartalmaz). Továbbá azt is elmondhatjuk, hogy pozitív definit. Ezáltal az egyenletrendszer felírásához is csak p + 1 darab együtthatót kell meghatározni az alább leírtak szerint. A lineáris predikciós egyenlet megoldása A fenti lineáris egyenletrendszert meg lehetne oldani Gauss-eliminációval, aminek a műveletigénye O(p 3 ), ám most inkább a Cholesky-felbontást és a mátrix speciális tulajdonságait felhasználva oldjuk meg az egyenletrendszert ugyancsak O(p 3 ) műveletet, de már kevesebb tárhelyet felhasználva. Az együttható mátrix Cholesky-felbontása: φ = V DV T, ahol V alsó háromszög mátrix, diagonál elemei 1-ek, D pedig egy diagonál mátrix. Elvégezve a beszorzásokat d i és v ij meghatározására az alábbi rekurzió adódik: d 1 = Φ 1,1 v i,j = Φ i,j j 1 k=1 v i,kd k v j,k d j (j = 1... p, i = 2... p) i 1 d i = Φ i,i vi,kd 2 k. k=1 Ezután definiáljuk a következő oszlopvektort: y = DV T α. Ennek y i elemei a V y = φ összefüggésből (φ az inhomogén vektor) rekurzióval számolhatók: y i y 1 = φ 1 i 1 = φ i v i,j y j (i = 2... p). j=1 Majd az egyenlet V T α = D 1 y átrendezéséből adódik az alábbi rekurzió: α p = y p /d p