számot a Z felosztáshoz tartozó integrálközelít összegnek nevezzük. Jelöljük Z-vel a s i -számok leghosszabbikát.

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "számot a Z felosztáshoz tartozó integrálközelít összegnek nevezzük. Jelöljük Z-vel a s i -számok leghosszabbikát."

Klaudia Vörös
7 évvel ezelőtt
Látták:

1 MEMIKI KÖZBEEÉ: INERÁLÁ I. Bronstejn-zemengyajev: Matematikai Zsebkönyv Elsfajú görbementi integrálok Legyen K szakaszonként sima görbedarab, kezdontja, végontja B és uf(x,y) a K görbét tartalmazó tartományban értelmezett korlátos függvény. együk fel a K görbén az 0, 1,, n B ontokat. Jelöljük ezt a felosztást Z-vel. Jelöljük s i -vel az i-1 és i ontok közötti görbedarab ívhosszát. z elemi görbeszakaszok mindegyikében vegyünk fel egy tetszleges i, i koordinátákkal megadott M i ontot. n σ ( Z ) f ( ξ, η ) s számot a Z felosztáshoz tartozó integrálközelít összegnek nevezzük. Jelöljük Z-vel a s i -számok leghosszabbikát. i 1 i i i határozott integrál értelmezéséhez hasonlóan elsfajú görbementi integrálnak nevezzük az I számot, ha tetszleges >0 számhoz megadható ()>0 úgy, hogy minden olyan Z felosztásra, amelyre (Z)<, a M i ontok választásától függetlenül σ ( Z) I < ε teljesül. Jelölése: I ( K ) f ( x, y) ds XI/1

2 Másodfajú görbementi integrálok Legyen K szakaszonként sima görbedarab, kezdontja, végontja B és uf(x,y) a K görbét tartalmazó tartományban értelmezett korlátos függvény. együk fel a K görbén az 0, 1,, n B ontokat. Jelöljük ezt a felosztást Z-vel. felosztás elemi görbeszakaszainak mindegyikében vegyünk fel egy tetszleges i, i koordinátákkal megadott M i ontot. megfelel koordináták: i (x i, y i ), M i ( i, i ) n σ ( Z ) f ( ξ, η ) x számot a Z felosztáshoz tartozó integrálközelít összegnek nevezzük. Jelöljük Z-vel az i-1 és i ontok távolságának legnagyobbikát. i 1 i i i határozott integrál értelmezéséhez hasonlóan másodfajú görbementi integrálnak nevezzük az I számot, ha tetszleges >0 számhoz megadható ()>0 úgy, hogy minden olyan Z felosztásra, amelyre (Z)<, a M i ontok választásától függetlenül σ ( Z) I < ε teljesül. Jelölése: I ( K ) f ( x, y) dx Ha a görbe kezd- és végontja egybeesik, akkor zártgörbementi integrálról beszélünk. Jelölése: I ( K ) f ( x, y) dx XI/

3 KÉ ÚJ ÁLLPOFÜÉNY: ZBDENERI É ZBDENLPI FUNDMENÁLI EYENLEEK, PONÁN FOLYMOK KRIÉRIUMI É Z ÁLLPOFÜÉNYEK ERMÉZEE ÁLOZÓI Bels energia: UU(, ) (Fundamentális egyenlet energia rerezentációban.) Entalia: HH(, ) Entróia: (U, ) (Fundamentális egyenlet entróia rerezentációban.) De hát szeretnénk olyan függvénnyel dolgozni, amelyek természetes változói a és, vagy és. Ezen változók alkalmazása nehézkes, nem elég informatív a bels energia vagy az entalia esetén! Emlékezzünk, láttuk már ezeket az eseteket! Ez a sejtés adja a motivációt arra, hogy új állaotfüggvények után nézzünk! XI/3

4 (HELMHOLZ-FÉLE) ZBDENERI ezessük be az U- állaotfüggvényt! Neve: szabadenergia (Helmholtz szabadenergia). szabadenergia kis megváltozására: d du d d Clausius egyenltlenség állandó térfogaton, és ha nincs egyéb munkavégzés, (dqdu): Átrendezve: du/ d du d Állandó hmérsékleten az egyenlet bal oldala éen a szabadenergia kis megváltozásával egyenl: d, Állandó és mellett tehát biztosítja az önként lejátszódó folyamatok kritériumát (ha nincs egyéb munkavégzés). ejthetjük mik lesznek természetes változói XI/4

5 ZBDENLPI (IBB ZBDENERI, IBB- ENERI) ezessük be a H-U+- állaotfüggvényt! Neve: szabadentalia (ibbs szabadenergia, ibbsenergia). szabadentalia kis megváltozására: d dh d d Clausius egyenltlenség állandó nyomáson, és ha nincs egyéb munkavégzés, (dqdh): Átrendezve: dh/ d dh d Állandó hmérsékleten az egyenlet bal oldala éen a szabadentalia kis megváltozásával egyenl: d, Állandó és mellett tehát biztosítja az önként lejátszódó folyamatok kritériumát (ha nincs egyéb munkavégzés). ejthetjük mik lesznek természetes változói XI/5

6 ZBDENERI É MXIMÁLI MUNK Ismét vizsgáljunk meg egy D-i rendszert, a rendszer változását két állaot között. szabadenergia megváltozása: Használva az I. ftételt: 1 U U1 1 ( ) q + w ( ) 1 Most egy olyan folyamatot (l. kémiai reakció, stb.) vizsgálunk meg, amikor a folyamat mellett hfelvétel történhet egy állandó hmérséklet htartálytól, és közben a rendszer hmérséklete állandó, a htartály hmérsékletével egyezik meg. Clausius egyenltlenséget újra alkalmazhatjuk a rendszer által felvett hre: dq/ d Integrálva, állandóságát feltételezve q ( 1) Behelyettesítve a szabadenergia változásának egyenletébe (ahol 1 ): w ( ) 1 z egyenletben w a rendszer által végzett munka. z egyenlség a reverzibilis változásnak, az egyenltlenség az irreverzibilis folyamatnak felel meg. Mivel a jobb oldal állaotfüggvény, értéke adott, akár reverzibilis, akár irreverzibilis folyamatról van szó. XI/6

7 rendszer által elvégezhet maximális munka tehát egyenl a szabadenergia változásának negatívjával. Ezt csak reverzibilis esetben lehet kinyerni. ( w) ( ) max szabadenergia tehát úgy fogható fel, mint a bels energia izoterm folyamatokban történt megváltozásának azon része ami munkavégzésre maximálisan felhasználható! lternatív módon: w ( ) 1 Ez a felírás nem annyira informatív! z azonban mégis látszik, hogy ha nincs egyéb munka és a térfogat állandó (azaz nincs térfogati munka sem), akkor az egyenltlenség a sontán lejátszódó folyamatok kritériumát adja (állandó és mellett)! 0 1 XI/7

8 ZBDENLPI É MXIMÁLI MUNK Ismét vizsgáljunk meg egy D-i rendszert, a rendszer változását két állaot között. szabadentalia megváltozása: Használva az I. ftételt: + ( 1 1) ( 1 1) 1 U U1 1 q + w + ( 1 1) ( 1 1) Most egy olyan folyamatot vizsgálunk meg, amikor a folyamat mellett a) hfelvétel történhet egy állandó hmérséklet htartálytól, és b) közben a rendszer hmérséklete állandó, a htartály hmérsékletével egyezik meg. ovábbá c) a rendszeren kívüli egyetlen testnek, ami térfogatváltozáson mehet keresztül, állandó a nyomása,, és d) a rendszer nyomása állandó a folyamat során, ( 1 ), (bár térfogata változhat). Clausius egyenltlenséget újra alkalmazhatjuk a rendszer által felvett hre: dq/ d Integrálva, állandóságát feltételezve q ( 1) Behelyettesítve a szabadenergia változásának egyenletébe (ahol 1 ): w 1 ) ( ) ( 1 z egyenletben w a rendszer által végzett munka, míg ( 1 ) rendszeren végzett térfogati munka, azaz a rendszer által végzett térfogati munka negatívja. Ha van a térfogati munkán kívül más munka is, akkor a XI/8

9 w ) ( 1 w egyéb. ehát w egyéb ( ) 1 z egyenlség a reverzibilis változásnak, az egyenltlenség az irreverzibilis folyamatnak felel meg. Mivel a jobb oldal állaotfüggvény, értéke adott, akár reverzibilis, akár irreverzibilis folyamatról van szó. rendszer által elvégezhet maximális egyéb (azaz nem-térfogati) munka tehát egyenl a szabadentalia változásának negatívjával. Ezt csak reverzibilis esetben lehet kinyerni. lternatív módon: ( w) ( ) egyéb,max 1 w egyéb ( ) 1 Ez a felírás nem annyira informatív! z azonban mégis látszik, hogy ha nincs egyéb munka, akkor az egyenltlenség a sontán lejátszódó folyamatok kritériumát adja (állandó és mellett)! 0 XI/9

10 XI/10 FUNDMENÁLI EYENLE: ZBDENERI É ZBDENLPI szabadenergia szabadenergia megváltozása a definiáló egyenletbl: ddu-d()du-d-d bels energia fundamentális egyenletét beírva kajuk az szabadenergiára vonatkozó fundamentális egyenletet: d -d-d z egyenlet sugallja a szabadenergia hmérséklet, illetve nyomásfüggését, (, ). megfelel teljes differenciálból d d d + kifejezhet újabb két arciális differenciálhányados: és megfelel Maxwell-egyenlet:

11 XI/11 szabadentalia szabadentalia megváltozása a definiáló egyenletbl: ddu+d()-d()du+d+d-d-d bels energia fundamentális egyenletét beírva kajuk az szabadentaliára vonatkozó fundamentális egyenletet: d -d+d z egyenlet sugallja a szabadentalia hmérséklet, illetve nyomásfüggését, (, ). megfelel teljes differenciálból d d d + kifejezhet újabb két arciális differenciálhányados: és megfelel Maxwell-egyenlet:

12 ÁLLPOFÜÉNYEK (POENCIÁLFÜÉNYEK) EYZER ERMODINMIKI RENDZEREK Jele, származtatása, mértékegysége Bels energia U (I. ftétel) extenzív J Entalia HU+ extenzív J zabadenergia U- extenzív J zabadentalia U+- extenzív J Entróia (II. ftétel) extenzív JK -1 Moláris mennyiségek Moláris bels energia U m intenzív Jmol -1 Moláris entalia H m intenzív Jmol -1 Moláris szabadenergia m intenzív Jmol -1 Moláris szabadentalia m intenzív Jmol -1 Moláris entróia m intenzív Jmol -1 K -1 ermészetes változók, fundamentális egyenletek, sontán lejátszódó folyamatok kritériuma Bels energia U(, ) dud-d d U, Entalia H(, ) dh d+d d H, zabadenergia (, ) d -d-d d, zabadentalia (, ) d -d+d d, Entróia (U, ) 1 d du + d 0 d U, Fontos megjegyzés: vegyük észre a táblázat utolsó két oszloa közötti látszólagos ellentmondást! XI/1

Hasonló dokumentumok

A BELS ENERGIÁRA VONATKOZÓ ALAPVET EGYENLET. du=w+q

A BELS ENERGIÁRA VONATKOZÓ ALAPVET EGYENLET. du=w+q AZ I. É II. FÉEL EGYEÍÉE A BEL ENERGIÁRA ONAKOZÓ ALAPE EGYENLE ekintsük a D. I. ftételét: Mi a jelentése? wq a egy egyszer zárt (nincs anyagcsere) D-i renszert vizsgálunk és a renszer változásai (h és