HIDRODINAMIKAI PROBLÉMÁK

Átírás

1 IDRODINMIKI PROBLÉMÁK Egy érdekes paradoxon következő problémát két úton tárgyaljuk; az első megoldás rossz, de nem a matematikai levezetés miatt, hanem azért, mert nem stacionárius folyamatot stacionárius folyamatokból csak infinitezimális úton tehetünk össze Jelen esetben ez azt jelenti, hogy a Bernoulli törvény a szokott alakban nem használható Függőleges helyzetű, magasságú tartályban víz van lul az oldalán vagy a fenekén lévő csapot megnyitva, a víz a Bernoulli-egyenlet szerint v = g sebességgel áramlik ki ha utántöltéssel gondoskodunk az állandó magasságról a közben a szint csökken, akkor a mindenkori x magasság szabja meg a pillanatnyi sebességet lent a kifolyó csőnél: v = gx Mennyis idő alatt folyik ki a tartályból a víz? a a tartály keresztmetszete, a kifolyócsőé, akkor felírhatunk t időről (t+dt) időre vonatkozó összefüggést; a kifolyócsövön dt alatt eltávozott térfogat az keresztmetszetű tartály dx szintcsökkenését eredményezte E térfogatokat sebesség hosszúságú hasábok térfogatával írhatjuk fel dott x-re vonatkozó növekményekre: () gxdt = dx Differenciálegyenlet alakjában felírva: () x& + g x = ahol dx x& = < a lefelé mozgó folyadékszintnek a sebessége, a mindenkori szintsebesség dt változók szétválasztásával ez könnyen megoldható: dx = gt + C x v = gx értelmezése szerint alulról felfelé kell számítanunk a szintet és a tele tartály esetén x= Így a kezdőfeltétel: t=, x= megoldás figyelembe véve a kezdőfeltételt is: (3) x = gt Legyen c = x& ; így (3/a) c = g gt c szintsebesség x-szel is kifejezhető; akár közvetlenül ()-ből is: (3/b) c = gx c szintsebesség képletét értelmezve mondhatjuk, hogy minél kisebb a folyadékszint magassága, annál kisebb a kiáramlás sebessége, hiszen kisebb a folyadékoszlop nyomása Még kísérletben is azt látjuk, hogy pl egy bürettára gondolva, a szint egyre lassabban süllyed Valóban, az eddigi gondolatmenetet tartalmazza e jelenség leírását de csak közelítően Élezzük ki a helyzetet és iktassuk ki a belső súrlódás hatását, amennyire csak lehet, ugyanis a Bernoulli-egyenletből következő eredetileg felírt v = gx kifolyási sebesség képlet ezt nem tartalmazza Ezt úgy érhetjük el, hogy = feltételt veszünk, azaz a folyadék egy tartályból egyszerűen szabadeséssel kiesik Világos, hogy ilyenkor a c szintsebességnek növekednie kell, ahogy a szint süllyed De c- nek képlete szerint = re c = gx Ez már valóban paradox helyzet, hiszen a folyadéktömbnek magasságból való szabadesés esetén c = g( x) összefüggésnek kellene fennállnia Még van egy ellentmondás; a t= pillanatra a szint még nem mozog, tehát c= kellene (3/a) képlet szerint éppen maximum a sebesség Bernoulli-egyenlet stacionárius állapotot ír le, azaz a sebesség nem függvénye az időnek; adott helyen mindig ugyanakkora Mi most stacionárius állapotokat sorozatával írtuk le a szint mozgását, mintha az egymás utáni t pillanatokban x mindig egy-egy aktuális, de pillanatszerűen állandó érték lenne, holott x=x(t)

2 folytonos függvénye az időnek Éppen itt van a paradox helyzet kulcsa; reális-e az eredmény, ha különböző stacionárius állapotsorozattal írjuk le a nem stacionárius jelenséget? szint gyorsulása a fentiekből: && x = g Ez most (3)-ból úgy értendő, hogy a szint nem felfelé gyorsuló, hanem lefelé menet lassul kifolyás ideje (3)- ból: x= ra t=τ, τ = g z egész gondolatmenet még azért is látszik meggyőzőnek, mert = esetben a kifolyási idő τ-val adott képlete várakozásunknak megfelelő, és általában szűk nyílásra nagy érték adódik Fenti eredményeink többé-kevésbé jó numerikus közelítésnek tekinthetők, de elvileg mégis hibásak Mint már említettük a levezetésben a hiba ott van, hogy a Bernoulli-egyenlet egy szűkebb érvényű alakját alkalmaztuk, és ennek következménye a v = gx kifolyási sebesség stacionárius Bernoulli-egyenletet alkalmaztuk, amikor is a sebesség nem időfüggő Most azonban instacionárius jelenséggel állunk szemben De hiszen mondhatnánk, hogy () leírt a sebességre időfüggést Ez fennáll, de rossz az időfüggés () differenciál egyenletet úgy állítottuk fel, mintha a gyorsuló folyadék minden pillanatban különböző sebességű, de stacionárius állapotban lett volna Különböző stacionárius állapotok szuperpozíciójával akartuk leírni a kiáramlott infinitezimális térfogatokra felírt () egyenlettel az instacionárius állapotot Már a v = gx sebesség levezetésben kellett volna infinitezimálisan végtelen kicsiny időközökre figyelembe venni, hogy az áramlás nem instacionárius Ilyenkor a sebesség hely-és időfüggést egyszerre számítjuk Ekkor a Bernoulli-egyenlet levezetésében a sebességnek, mint kétváltozós függvénynek, c (x,t), vagy c (r,t) már eleve a teljes differenciálját kell írni E példa is igen szemléletesen mutatja az un szubsztanciális derivált jelentőségét sebességnek végtelen kicsiny időközökre felírt teljes változása a hely és idő szerint tehát tartalmazza azt a lehetőséget, hogy ne különböző stacionárius állapotok egymásutánjaként írjuk le az instacionárius folyamatot, hanem magát a folyamatot az egymásutánisággal szemben, mint új minőséget értelmezzük matematikai eljárás az, hogy a Bernoulli-egyenletet a sebesség teljes differenciáljával írjuk fel és utána a benn lévő változók szerint kiintegráljuk Ez esetben végtelen kicsiny mennyiségek addíciója mint mennyiségi változások felhalmozódása új minőséget állít elő, pontosabban új minőséget ír le; a folyamatot z analízis módszereivel jelenleg differenciálegyenlet kiintegrálásával így képesek vagyunk a folyamatot, mint olyat megragadni Jól látszik e példa kapcsán, hogy a folyamat minőségében új, valami több mint a stacionárius állapotsokaság Így az állapotsokaság addíciója, amit az () egyenlet ír le, nem állítja elő a természetben lejátszódó valóságos folyamatot, hanem valamilyen pszeudofolyamatra jutunk Tehát itt mennyiségi felhalmozódásból nem jön létre új minőség, olyan, ami valóságos lenne, hanem valamilyen hamis, elgondolt új minőség keletkezik, amit a () differenciálegyenlet megoldása ad Röviden; mennyiségi változás ez esetben nem megy át minőségi változásba De új fogalomalkotással élve mintegy a stacionaritást végtelen kicsi időközökre szűkítve le a sebességnek a hely és idő szerinti változását végtelen kicsiny időléptékben felírva, jó eredményre jutunk, addícióval, itt integrálással előlép az új minőség, a folyamat Tehát fogalmilag sikerült így megragadni a mennyiségi felhalmozódás új minőséget teremtő erejét minőség tehát többlet a mennyiségi felhalmozódáshoz képest, ebből tehát ()-ből nem vezethető le, ha a végső makroszkopikus állapotot tekintjük, de infinitezimálisan az új minőség születésében ott láthatjuk a mennyiségi változások új minőséget teremtő egyszerű matematikai addícióját, és az ilyen mennyiségi felhalmozódás már valóságos, empirikusan ellenőrizhető, azaz adekvát új minőséget teremt helyes megoldás tehát az instacionárius Bernoulli-egyenlettel adható meg, ahogy következik, de még itt is feltételezzük, hogy súrlódásmentes és összenyomhatatlan a folyadék a nem az energia-tételből indulunk ki, hanem egy elemi folyadék térfogatra egy áramvonal mentén felírjuk a Newton-féle mozgásegyenletet, akkor kapunk egy differenciális kifejezést: (4) ρcdc = dp ρgdh ahol ρ a folyadék sűrűsége, c a sebessége, dp és dh a helyi sztatikai nyomás-és magasságkülönbség változók szerint integrálva: (5) ρc + p + ρgh = konst ami a stacionárius Bernoulli-egyenlet a instacionárius az áramlás, azt már eleve (4)-ben kell figyelembe venni azzal, hogy c adott áramvonal mentén is és az idő szerint is változik, így

3 c c (6) dc = ds + dt ρ t (un szubsztanciális differenciál), ahol s az áramvonal egy íveleme Megengedhető formális átalakítással (4) bal oldala így is írható: ds dc ds ρ dc = ρ ds c = dt dt dt dc Ezután (6)-ból deriváltat előállítva, az előbbieket (4)-ben felhasználva, majd integrálva, jutunk a (5) dt egyenletnek megfelelő instacionárius alakra: c s c (7) ρ + ρ ds + p + ρgh = konst t Látható, hogy bejött a sebesség parciális deriváltját tartalmazó vonalintegrál Ezen integrál kiszámítását az edény alakjára vonatkozó integrál számítására vezethetjük vissza Tekintsük adott helyen a sebességet, így rögzítjük a helyet Jelöljük itt a sebességet c n -nel kontinuitási egyenlet szerint (az összenyomhatatlanságot is feltételezzük) tetszőleges helyen lévő sebesség így adható meg: c = c n n ahol tetszőleges helyen az áramlási keresztmetszet c ugyanitt a sebesség, míg n a rögzített helyen az áramlási keresztmetszet Ekkor c dc (8) = n n t dt mivel c n a rögzített helyen lévő sebesség, így ott az idő szerinti parciális deriváltja egyenlő az idő szerinti totális deriváltjával (8) képletből c dcn n (9) = t dt Ebben s-től (egy áramvonalon mért hosszúság) csak függ, mivel az áramvonal mentén az edény alakja változhat: = (s) (7)-beli integrál így (9) segítségével ilyen lesz: s c dc s n ds () ρ ds = ρn t dt () s Ezzel a (7) egyenlet többé nem parciális, hanem közönséges differenciálegyenlet, mely az áramlás időbeli változását írja le Ehhez a () alaki integrált kell kiszámítani, ami általában nem könnyű, de a probléma tárgyalását nagymértékben egyszerűsíti Térjünk vissza eredeti problémánkhoz, a szint x magasságának x(t) időfüggéséhez Láthatóan nem a gx képletet módosítjuk, hanem egészen más alapokon, a (7) egyenlet alapján számolunk s így nem a () egyenlet módosításáról van szó Tekintsük a ábra szerinti tartályt, melyre nézve a () alaki integrál egyszerű: hely rögzített hely, az hely változó, hiszen a szint süllyed Kezdetben x=

4 Írjuk fel a (7) képletet a változó és rögzített helyre Vegyük figyelembe, hogy most / konstans érték, bárhol is van a folyadékszint, míg pl változó keresztmetszetű, vagy fokozatosan szűkülő tartály esetén e hányados x-nek függvénye Jelenleg az x koordináta-differenciál egyenlő az s áramvonalon mért koordinátadifferenciál (-)-szeresével, dx=-ds, mert s az s= tól lefelé számít c c dc () ρ + p + xg = + p + dt () s ds ρ ρ ρ Általában az integrál áramvonal mentén értendő Eredetileg ()-ben () alapján a bal oldalon s kapjuk a () egyenletet p =p =p, és c kifejezhető c gyel a kontinuitás szerint: c = c és c x& =, mivel c s& = Ezeket figyelembe véve () ilyen lesz: gx () && x x& + = ds ds () s ds, a jobb oldalon s () s ds áll Rendezés után Most () alaki integrálját így számíthatjuk: Minden t pillanatban, azaz minden x-re ki kell számítani az integrált; /= lévén ds = dx, s s = x x Mivel s s = s és x x = x, ezért s = x és ds = x Így () az ábrabeli tartályra: (3) && x x& + g = x a most extrém helyzetben =, akkor (3)-ból (3/a) & x = g, vagyis a szint szabadeséssel süllyed, azaz a folyadék kiesik a tartályból (3) leírás a helyes és nem a (), természetesen (3) is tartalmazza a kiesés extrém esetét Nézzük most már ebből a helyes megoldást, vagyis a (3) egyenlet megoldását Legyen (4) k =, ekkor x& (5) & x k + g = x a megoldandó egyenlet Legyen az új változó: (6) x & = p( x) ahol p(x) most az x-től függő sebességet jelenti Ekkor & x = pp' és

5 p (7) pp ' k + g = x Ezt átalakítva: p ' x kp + g =, d( p ) mivel pp'= dx Ismét új változó: (6/a) z = p Ekkor (8) z ' x kz + gx = Ismét új változót vezetünk be: u(x), melyre (6/b) k z = x u k k Ebből z' = kx u + x u' Ezeket (8)-ba helyettesítve kapjuk, hogy (9) k u' = gx Felhasználva (6/b), (6/a) és a (6) összefüggéseket, miután (9)-t kiintegráltuk, kapjuk a B egyelőre szabad konstanssal a c szintsebességre, hogy () c = k x Bx g k kezdőfeltétel az, hogy a csap kinyitása pillanatában a felső szint még éppen nem mozog Tehát x=, c= Ezt g () képletbe helyettesítve: B = k k adódik Így a szint süllyedési sebességének végső formulája az alábbi: () k g x c = x k Másképpen: c = g x k k x Ez tehát a helyes formula (3/b)-vel szemben x= ra c valóban zérus hogy x csökken, a sebesség növekszik, azaz felgyorsul a folyadék De közben ellentétes hatás kezd érvényre jutni, a csökkenő folyadékszint magasság egyre kisebb nyomást biztosít alul, ezért egy maximum elérése után a sebesség csökken, amint ezt (3/b) is tartalmazza, de kizárólag a sebesség csökkenését, ezért is hibás Végül x= ra ()-ből c = Nincs kikötés a tartály és a kifolyócső keresztmetszetére nézve, sőt az a fejezetben alkalmazott meggondolás kell, hogy érvényes legyen > re is, vagyis amikor pl egy vékony csőből folyik ki a folyadék egy nagy keresztmetszetű tartályba Ezért a (4)-ben adott k bármilyen értékre nézve sem lehet ()- ben negatív szám a gyök alatt Ezt könnyen beláthatjuk, ha a () képlet egy részét így írjuk: () f ( k) k x x = k Nézzük meg, hogy a (,) intervallumon belül mikor pozitív a számláló Legyen tehát k x k x > a feltétel (Mivel x/h < ), Ez egyenértékű a < feltétellel Rögtön látjuk, hogy x x ez az egyenlőtlenség bármilyen lehetséges x-re k<, azaz k</ esetén teljesül De ekkor -k> ugyancsak fennáll asonló gondolattal f(k) számlálója akkor negatív bármilyen x-re, ha k>/, vagyis ugyanakkor a

6 nevező is negatív átra van még a k=/ eset vizsgálata, ami fizikailag érdektelen, de matematikailag nem k x x ()-t így írjuk most: lim (k /) k L ospital szabállyal az adódik, hogy ez a határérték: xln(/x) z / érték k=/ esetén / 5, így 4g c képlete ez esetben: c = x ln 5 x Fizikailag az az érdekes, mint extrém eset, mikor a folyadék szabadeséssel kiesik az edényből Ekkor =, tehát k= Jól látható ()-ből, hogy ekkor c = g( x), ami pontosan a szabadon eső test jelen esetben a folyadéktömb sebesség képlete, ha magasságból ejtettük Ugyanekkor (5)-ből az is látható, hogy k= feltétellel & x = g, ami szintén a szabadesést fejezi ki átra van még annak megvizsgálása, hogyha szűkítjük a kifolyócső keresztmetszetét ( ), hogy alakul a szint sebessége Erről a () formula ad felvilágosítást a, akkor (4)-ből következik, hogy k Mivel x/, azért ()-ből egyértelműen következik, hogy c, amint vártuk is Ugyanez következik a kevésbé pontos (3/b) képletből is Nézzük, mekkora a kifolyócsőben a kifolyás sebessége, c nagysága, ha Mivel c =( / )c tehát továbbá x/ < lévén (x/) k, azért lim ( ) c = gx, c = g ( k) x k x esetén k, ami a Bernoulli-törvényből következő kifolyási sebesség nnyiban érthető ez a hamis eredmény, hogy ebben a határesetben már nincs szó a folyadék felgyorsításáról, tehát egyre inkább stacionárius lesz az áramlás, nem jut szóhoz a (6)-tal adott dc mindkét tagja Ezzel azonban egy újabb probléma jelentkezik, ami most már mindkét meggondolás hiányosságára utal Lehetetlenség ugyanis, hogy a kifolyási sebesség határhelyzetben érzéketlen legyen a kifolyócső keresztmetszetére, hiszen ez ellentmond annak a ténynek, hogy egy csappal elzárhatjuk az áramlást egy beiktatott csap hatását modellezi Itt jön szóba a belső súrlódás szerepe Ezt egyik esetben sem vettük figyelembe, holott kis áramlási keresztmetszetnél egyre számottevőbb z áramlás intenzitása a keresztmetszet négyzetével arányos adott belső súrlódási együtthatójú folyadék esetén z áramlás intenzitása viszont a sebesség és a keresztmetszet szorzatával arányos Végül is az áramlás sebessége a keresztmetszettel arányos Mind ezek a egen-poiseuille törvény következményei v = gx kiömlési sebesség csak az x folyadékmagasság függvénye, azaz a nyomás függvénye és független a kiömlő nyílás méreteitől Valójában ez nem igaz, a súrlódásmentesség feltételével adódik csak csap hatását egyszerű modellel szemléltethetjük Illesszünk a tartály aljához egy vízszintes kifolyócsövet, mely elvékonyodik a a szűkület egyre kisebb (cseréljük a csöveket), az egyenértékű azzal, mintha az állandó keresztmetszetű kifolyócsőre egy elzáró csapot szerelnénk, és azt folyamatosan zárnánk el Úgy lehetne gondolkodni, hogy a kontinuitás miatt a vastagabb szakaszon időegység alatt bemegy, ugyanannyi megy ki a vékonyabbon is Képletben v =v a tehát, akkor a szűkületen nem megy át semmi, tehát a vastagabb csőszakaszon sem, s így természetes magyarázatát adtuk a csap hatásának a belső súrlódás figyelmen kívül hagyásával Gondoljuk meg azonban a következőt vastagabb szakaszon, amely tehát a tartállyal érintkezik, a vízhozam állandó, azaz az időegység alatt átfolyt víz mennyisége az, mivel a v = gx sebesség képlet alapján hacsak x= kezdeti szintet utántöltéssel tartjuk a sebesség és így a v szorzat, a vízhozam is állandó Természetesen a sebességnek ez a képlete csak súrlódásmentes áramlásra igaz Ezek szerint az előbbi v =v összefüggés alapján hiába csökken, a v szorzat változatlan Ez csak úgy lehet, hogy v növekszik, s a csapot hiába forgatjuk, az hatástalan valóságos, városi vízhálózatban és a csap állásától független a csőben a víznyomás, így értéke jó közelítéssel állandónak vehető, így ez a modell lényegében modellezi a valóságos helyzetet is Végül is tehát a csap hatása, azaz a szűkítéssel létrehozott vízhozam csökkentés az elzáráshoz közeli, kritikus helyzetben egyre inkább a belső súrlódás hatásának következménye

7 Bernoulli törvény néhány elemi, de nem szokványos esetben Tekintsük a ábra szerinti áramlást, ahol a végig állandó keresztmetszetű csőben a szintet hozzáöntéssel mindig tartjuk és az áramlás súrlódásmentes Milyen magasan áll a folyadék az helyre helyezett manométer csőben? lkalmazzuk a Bernoulli törvényt a - helyre ( hely a kifolyó nyílás), majd a és az helyre Ekkor p + ρ g = p v + ρ Ebből az összenyomhatatlanság miatt az egész csőben, v = g Továbbá p + ρ v = p + ρg Felhasználva az előbbit, p =p zaz az helyen a cső falát is a p légnyomással egyenlő nyomás éri belülről, ezért a manométer csőben zérus a vízoszlop magassága, nem emelkedik fel a víz egyáltalán z ilyen kísérletekben és a hivatkozott ábrákon a vízszintes csőszakasz mentén mindig lineárisan csökkenő folyadék magasságot láthatunk az egyes manométer csövekben Természetesen ez a helyes ogy a mostani számítás a helye, az azért van, mert feltételeztük a súrlódásmentes áramlást Ebben a határhelyzetben valóban így lenne Ennél a jelenségnél a súrlódás igen pregnánsan jelentkezik minden különösebb kísérleti technika nélkül atározzuk meg a 3 helyen a függőleges mentén az áramló folyadék nyomását p + ρ g = p v 3 + hρg + ρ sebesség képletét felhasználva kapjuk, hogy (9) p 3 = p hρg Látható, hogy a függőleges csőszakasz mentén a külső nyomásnál kisebb a nyomás Tekintsük most a 3 ábrát Függőleges helyzetű tartályból alul vékony kifolyó nyíláson áramlik ki súrlódásmentesen a folyadék tartály keresztmetszete, a kifolyócsőé atározzuk meg a nyomást a tetszőleges helyen, ha a folyadék kezdeti szintje állandó Felhasználva a stacionaritást, a sebességre a kifolyócsőben, annak kezdetén érvényes v = g képletéből a tartályban lévő áramlási sebességre kapjuk, hogy u = g

8 Bernoulli törvény a zérus szinten és az helyen, ha most a folyadék magasságokat a kifolyócső kezdetétől, mint alap szinttől számítjuk: ( ) p + ρ g = p + x ρg + ρ u Felhasználva az u sebesség képletét, végül is () p = p ρ g x a =, akkor () átmegy (9)-be a = és x=, akkor p a legkisebb a ezen felül a tartály magasságát egyre növeljük, = m esetén ()- ból p = lesz Ezt ad abszurdum tekintve, úgy lehetne értelmezni, hogy a folyadék mintegy leszakad a szintnél a viszont elzárjuk a kifolyócsövet, tehát =, akkor ()-ból p = p + ρgx, vagyis a szabad felszínű nyugvó folyadék sztatikai nyomását kapjuk Ez egyben a tanítási alaphelyzet is Másrészt még p =p, ha x = ( / ) kifolyócső alján (x=) már p<p, ellentétben (9)-cel, mivel ott = ra p3=p De = val már p =p Elemezzük most a szivornyát! Például hordóból bort akarunk kiszívni a a belehelyezett állandó keresztmetszetű gumicsőhordón kívüli vége lejjebb áll, mint a másik, akkor folyamatosan leszívja a bort a hordóból fizikai helyzetet a 4 ábra mutatja Ismét stacionárius, súrlódásmentes áramlást tekintünk Először a bal oldali csövön kiáramló folyadék sebességét határozzuk meg a a csőben lévő folyadékot, mint egészet tekintjük, ez egy rendszert képez, bár mindig más-más molekulák alkotják azt a a jobb oldali tartály elég nagy felületű és nem túl nagy a folyadéknak a kiáramlási sebessége a bal csővégen, akkor a jobb oldali tartálynál a beáramlási sebességet zérusnak tekinthetjük, a bal csővégen meghatározott v sebességgel áramlik ki a folyadék stacionaritás miatt az egész csőben v az áramlás sebessége csak éppen a jobb oldali bemenetnél zérus, ahol a cső keresztmetszete mintegy a tartály felületévé szélesedik két csővégre alkalmazva a Bernoulli törvényt, ( ) p + ρ g h = p v + ρ, amiből () v = g( h), vagyis a két cső csonk magasságkülönbsége szabja meg a kifolyási sebességet atározzuk meg a jobb és a bal oldali függőleges csőben tetszőleges x ill y magasságokban a sztatikus nyomást, miközben tart az áramlás szóban forgó hely és a megfelelő csővégre alkalmazva a Bernoulli törvényt: p x + ρ v + ρgx = ρv + p, = p ρgx p x p y Felhasználva a () összefüggést, = p ρg y + h () + v + ρg( y + h) = p + ρg( h) p y ρ (3) ( )

9 Látható, hogy p<p nyomások uralkodnak a függőleges csövekben, a bal oldaliban p -tól csökken fölfelé, míg a jobb oldaliban szintén csökken fölfelé, de még y= -ra is kisebb a nyomás p -nál Ez mutatja, hogy a jobb oldali tartálból nyomódik fel a folyadék, tehát a bal oldali csövön áramlik ki lefelé vízszintes csőszakaszon végig egyenlő a nyomás, amit az () és (3)-ból következik x= és y=h helyettesítéssel csőbe jutó mindenkori új folyadékelem felgyorsítása y=-nál, a tartályból a csőbe való belépéskor történik, így az egész csőben, bármely folyadékelemet is tekintsük, arra az áramlás irányába eső erő nem hat Ez természetesen összevág azzal, hogy az egész rendszerben ugyanaz az áramlási sebesség Nézzük meg számítással is, hogy tetszőleges folyadékelemre mekkora erő hat bal oldali csőben kiragadunk egy x magasságú oszlopot z erre ható erő a lehatárolt folyadékoszlop felületére ható erők és az ő súlyának vektori összege: F( x) = ( p ρgx) ρg x [ p ρg( x + x) ] Láthatóan F ( x) = Ugyanezt a számítást elvégezzük a jobb oldali függőleges csőre is F y = p ρ g y p y + y ( ) ( ) y y a (3)-ból p y megfelelő értékeit behelyettesítjük, látjuk, hogy F ( y) = egyenlő nyomás uralkodik, azért ott sem hat erő a folyadékra Mivel a vízszintes szakaszon végig 3 Néhány paradox helyzet az impulzus-tétellel kapcsolatban z előbbi problémában a rendszer kétszeresen megtört csőrendszer a ebben folyadék áramlik, a sebesség irányváltozását a csőfal részéről fellépő erő okozza Ezt pontosan az impulzus-tétel fejezi ki a áramlás irányú erő nincs, de a sebesség irányát megváltoztató erő van, a sebesség agysága marad állandó Általában a sebesség nagysága is változhat, és tetszőleges lehet az áramlási tér is, így az impulzus-tétel: r r r r r vρ vd = ρgdv pd, (4) V ha nincs súrlódás kifelé irányított felületi normális a pozitív, így beáramlás negatív, kiáramlás pozitív járulékot ad a baloldalon, azért ez az áramlási térben tekintett tetszőleges zárt, un ellenőrző felületen való másodpercenkénti teljes impulzusváltozást adja jobb oldalon az elzárt folyadék súlyát látjuk első tagként, a második tag a nyomásból adódó erő, aminek egy része a csőfaltól származó erő lkalmazzuk a (4) impulzus-tételt konkrétan a 4 ábrabeli elrendezésre úgy, hogy külön-külön a két függőleges csőszakaszra és a vízszintesre könyököket tehát kihagyjuk Láttuk, hogy bármelyik szakaszra az összes erő zérus, azaz (4) jobb oldala zérus ( vízszintes szakaszon a súlyt a csőfal reakciója kompenzálja) Tudjuk továbbá, hogy a v sebesség nagysága végig ugyanaz, azért a be-és kilépő impulzusok különbsége is zérus, így (4) bal oldali is zérus (4) tétel = azonosságba megy át, ami nem ellentmondás de a jelen helyzetben nem tudunk belőle következtetni a folyadékáramlás paramétereire, hiszen (4)-ben v és p értékét kívülről kellett vennünk p értékeihez /(), (3)/ úgy jutottunk, hogy előzőleg ki kell számolnunk a v sebességet z impulzus-tétel tehát nem minden körülmények között ad új információt Tekintsük most a fejezetben a függőleges csőből való kiáramlás esetét; ott a (7) és () Bernoulliegyenlet írja le az általános esetet Vizsgáljuk azt a kritikus helyzetet, mikor a csőből kiesik a folyadék, és alkalmazzuk az impulzus-tételt erre (3/a) egyenlet ad számot a folyadék szabadeséséről Most az esésben lévő folyadék belsejében kiszemelünk egy vékony hengeres oszlopot, és erre írjuk fel a mostani (4) impulzustételt Ki kell számítanunk tehát a fedő- és alaplapon jelentkező nyomásokat, majd a x magasságú henger súlyát:

10 Ehhez ismét a fejezet () egyenletét alkalmazzuk úgy, hogy a index most is a cső alját jelenti, az index viszont az egész eső folyadéktömeg belsejében egy helyet, mely x-re van a indexű helytől Tehát most az hely nem a ábra szerinti felső szint Figyelembe vesszük továbbá (3/a) értékét a dc / dt deriváltban Vegyük figyelembe végül, hogy c =c minden pillanatban, bár c és c állandóan növekszik Viszont a () egyenlet mindkét oldala ugyanarra a pillanatra vonatkozik Ilyen feltételek mellett (): p x + ρgx = p + ρ & x ; ( ) ( )x p x = p (3/a) szerint x = -g, tehát a keresett nyomás ( ) rra jutottunk, hogy p(x) független x-től, az egész, szabadon eső folyadékban a sztatikai nyomás a külső p nyomás Ez végül is természetes, mert a folyadék az un súlytalanság állapotában van a pl valaki az eső folyadék belsejében tartózkodna, nem hatna rá hidrosztatikai nyomásból származó erő a most az (, ) síkokkal határolt x vastagságú folyadékot tekintjük, arra p(x) erő hat felfelé, p(x+ x ) erő lefelé és ρg x súlyerő lefelé z első két erő összege az előbbiek szerint zérus, így (4) jobb oldala ρ g x Viszont (4) bal oldala zérus, hiszen a változó sebesség ugyanabban a pillanatban mindenhol ugyanaz Ezek szerint ebben a problémában a (4) impulzus-tétel már így nem is igaz Valóban, nem stacionárius áramlások esetén a (4) alakban adott impulzus-tétel nem is áll Ilyenkor a határoló felületek közé eső folyadéknak is ki kellene számítani az impulzus-változását; a / t( ρv)dvdt mennyiségeket és ezeket a vizsgált folyadékrészt határoló felületek bezárta térfogatra integrálni Ezzel azonban elvész az impulzus-tételnek az a nagy előnye, hogy az áramlást csak a határoló felületek mentén kell ismernünk 4 z impulzus-tétel egy alkalmazása Tekintsük egy szájával lefelé fordított egyenlő szárú, állandó keresztmetszetű () U csövet, mely vízzel telt tartályba merül Szivattyúval a csőben állandó sebességű áramlást tartunk fenn z U csövet középen egy rugóval a mennyezethez erősítjük Oldalirányú mozgásokat nem engedünk meg, az áramlás súrlódásmentes Mekkora legyen a víz sebessége, hogy a be- és kilépő helyeken csővégeken azonos sztatikai nyomás uralkodik vagyis a kis nyomáskülönbséget elhanyagoljuk akkor az áramló folyadékra két erő hat; a súlya és a két csőkönyöktől származó erő Legyen a körülzárt térfogat az egész áramlási cső térfogata, így az ellenőrző felület az U cső belső felülete s csak így érvényes az erőre tett kijelentés Szemléletesség kedvéért képzeljük el, olyan nagy az áramlási sebesség, hogy a rendszer megemelkedik és a rugó kissé összenyomódik z F r rugóerő nyomja lefelé a csövet, így az áramló folyadékot is, mint a csőfaltól származó erő, azon kívül a folyadékra hat még a saját súlya z impulzus-tétel szerint a 6 ábra alapján, vagy másképpen, figyelembe véve, hogy a ρv tömegű folyadék teljes sebességváltozása vagyis a csőbe való belépéstől annak elhagyásáig kapjuk, hogy (5) + G = ρv, F r

11 ahol G a csőben lévő folyadék súlya a F r =, akkor a rugó feszítetlen Ennek feltétele, hogy ρ v = G, mg vagyis v = legyen, ahol m a G súlyú folyadék tömege Mivel m=lg, ha L a cső hossza, így v ρ gl egyszerűbben írva: v = Láthatóan v nem függ a cső alakjától, csak az számít a jelenlegi v képlet érvényességét illetően, hogy be- és kilépéskor a sebességek ellentetten párhuzamosak legyenek Tehát pl ilyen cső is: a olyan kicsi kezdetben az áramlási sebesség, hogy a rugó kevéssé megnyúlt, akkor F r felfelé mutat és (5) ilyen: G Fr = ρv Ekkor v értékét növelni kell, hogy az F r = kritikus helyzetet elérjük