Rugalmas, szálerősítésű, rétegelt, vékony kompozit forgáshéjak érzékenységi vizsgálata és alakoptimalizálása

Átírás

1 MISKOLCI EGYETEM GÉPÉSZMÉRNÖKI KAR Rugalma, zálerőítéű, rétegelt, vékoy kompozt forgáhéjak érzékeyég vzgálata é alakoptmalzáláa Ph.D. ÉRTEKEZÉS Kézítette: Coka Béla oklevele gépézmérök GÉPÉSZMÉRNÖKI TUDOMÁNYOK DOKTORI PROGRAM, GÉPÉSZMÉRNÖKI ALAPTUDOMÁNYOK ALPROGRAM, SZILÁRD TESTEK MECHANIKÁJA RÉSZPROGRAM DOKTORI PROGRAM VEZETŐ: Dr. Páczelt Itvá AZ MTA RENDES TAGJA, A MŰSZAKI TUDOMÁNY DOKTORA Témavezető: Dr. Kozák Imre MTA levelező tagja Mkolc, 999

2 Tartalomjegyzék. Bevezeté... Tudomáyo előzméyek... Az értekezé kutatá célktűzée... Vzgálat módzerek... Alkalmazott jelöléek.. Forgáhéjak alakváltozááak kematka egyelete.. 4. A zálerőítéű kompozt rétegek ayagegyelete Egy réteg ayagegyelete 4.. Tökremeetel krtérumok 5. Magaabb redű modell a yírá alakváltozá fgyelembevételére. 5.. Az elmozdulámező. 5.. A végeelem geometra jellemző Az elmozdulámező közelítée Alakváltozá eerga, varácó elv, egyeúly egyelet Érzékeyég vzgálat Az alapözefüggéek tervezé paraméter zert derváltja. 6.. A térfogat érzékeyége 6.. Az elmozdulámező érzékeyége 6.4. A fezültégek érzékeyége Az alakváltozá eerga érzékeyége Sple-ok hazálata A tökremeetel krtérumok érzékeyége

3 7. Optmalzálá A célfüggvéy Az optmalzálá feltételek Az optmalzálá feladat megfogalmazáa, megoldá módzerek. 8. Özefoglalá Példák példa. Forgáhéj zámítáa példa. A kapcolt cavará feladat példa. Nemforgázmmetrku feladat példa. Érzékeyég vzgálat példa. Alakoptmalzálá A zámítá eredméyek értékelée.. Függelék A.. Függelék B... Függelék C.. Irodalom

4 . Bevezeté.. Tudomáyo előzméyek A zálerőítéű, rétegelt kompozt forgáhéjak par felhazáláa - kedvező mechaka tulajdoágakak é k tömegükek közöhetőe - jeletőe megövekedett. A hatékoy par alkalmazáok felvetk a zükégeégét olya mechaka é umerku modellek kdolgozááak, melyek a zálerőítéű kompozt rétegekből álló forgáhéj mechaka velkedéét jól közelítk, ezáltal a forgáhéjakál jeletkező mechaka problémákra jó megoldáokat adak. Az elmúlt évekbe zámo publkácó foglalkozott ezzel a problémával, az 99-9 évekbe megjelet dolgozatokat özefoglalóa mertet []. Rétegelt kompozt zerkezetek építőeleme a zálerőítéű réteg, amely mátrx ayagból é ebbe elhelyezett zálakból áll. A zálak hozáak megfelelőe megkülöböztethetők rövd é hozú zálú kompoztok. Rövd zálak eeté a zálazá ráya általába véletlezerű. A továbbakba cak hozú zálú kompoztokat vzgáluk, azzal a feltételezéel, hogy a zálazá ráya jól meghatározott, é a rétege belül álladó. Ha egy kompozt réteg ayagtulajdoágat potról potra vzgáljuk, ezekbe ugráokat, zakadáokat találuk. Aak érdekébe, hogy a kotuummechaka ezközet é módzeret tudjuk alkalmaz, zükége a réteg ayagáak homogezáláa, am a fezültégalakváltozá kapcolat magaabb, makroztű vzgálatát követel meg, azaz olya méretű kotuumelemek fgyelembevételét, amelyekhez képet a mkrozerkezet méretek (zálak vatagága, távolága) elhayagolhatóa kck. A fet okokból következőe az tt alkalmazott módzerek eredméye em adhatak elfogadható eredméyeket a rétegeket alkotó ayagok (zálak, mátrxayagok) határfelületé kalakuló vzoyokra, de az egéz zerkezet velkedééek meghatározáához elegedő formácót zolgáltatak. A homogezálá törtéhet az u. keveré zabályok alapjá, vagy az egye ayagok mechaka jellemzőek meretébe, a térfogatok aráyába ([], [], [4], [5]), vagy a 4

5 rétegelt kompozt lemeze végzett kíérletekkel ([6]), de mde eetbe leár kapcolatot feltételezve az ayagegyeletekbe zereplő alakváltozá é fezültég jellemzők között. A homogezálá eredméyeképpe a rétegekre jellemző leár ayagegyeletek tulajdoága eltérek a mechaka vzgálatok jelető rézébe hazált zotrop ayagmodelle alapuló fezültég-alakváltozá kapcolattól. Az ayagjellemzőket a rétege belül álladóak tételezzük fel (homogezálá), értékük azoba a tér külöböző ráyaba változk. Még az egye ráyokba meglévő zmmetra tulajdoágok é az ayagtulajdoágok ktütetett ráyaak megfelelőe megválaztott koordáta-redzerek lehetővé tezk az egymától függetle ayagtulajdoágok zámáak cökketéét. A kompoztokba a mátrxayag é a zálak ayagáak mechaka tulajdoága léyegee eltérek, eek következtébe a homogezált ayagjellemzők egyk főráya megegyezk a zálak ráyával. Mák, a vzgálatok zempotjából léyege következméy, hogy a rugalmaág é a cúztató rugalmaág modulu aráya - az zotrop ayagokkal özevetve - agy. Ez utóbb következméy azt eredméyez, hogy a yírá hatáa okkal jeletőebb ([7]). Több, egymától eltérő tulajdoágú kompozt rétegből álló héjzerkezet vzgálatához zükége a héjelméletek zokáo feltételezée túlmeőe egy kegézítő feltételezé, vagy az, hogy a rétegek egymától em válak el (delamácó) é két réteg potja - melyek a terheletle állapotba értkezek - az alakváltozá orá együtt mozogak. Ez utóbb feltételezé tez lehetővé, hogy a feladat változót a középfelületre redukáljuk. A kegézítő feltétel háyába az meretleek záma a rétegek zámáak aráyába jeletőe övekede ([8]). A rétegelt kompozt zerkezet ajátoágat zem előtt tartva olya kematka feltételezéeke alapuló héjmodell megfogalmazáára va zükég, amely llezkedk md a kompozt ayagok jellemzőhez, md a rétegelt zerkezetek tulajdoágahoz. 5

6 A héjelméletek, így a forgáhéjakra érvéye elmélet alapfeladata olya egyeletredzer előállítáa a kotuummechaka háromdmezó learzált özefüggéeből, geometra, kematka é damka feltételezéek fgyelembevételével, amelyek változó a héj középfelületé értelmezettek. Az alkalmazott kematka feltételezéek alapjá a héjmodellek elő agy coportja Krchhoff-Love-féle (K-L) feltételezée alapzk ([9],[0],[]), amely zert a középfelület ormála, mt merev egyeeek mozdulak é fordulak el, é az alakváltozá utá merőlegeek maradak a megváltozott középfelületre. Eek következtébe a modell a yírá eergát em vez fgyelembe. A máodk agy coport a Reer-Mdl-féle (R-M) feltételezée alapzk ([], []), amely zert a középfelület ormála a középfelülethez képet merev egyeekét elfordulak. A yírából zármazó alakváltozá é fezültég a ormál meté álladóra adódk, am elletétbe áll azzal a feltételezéel, hogy a yírából zármazó alakváltozá é fezültég a lemez vagy héj aló lletve felő palátjá zéru. Ezért a yírá eerga fgyelembevételéhez zükége a yírá együttható meghatározáa ([4], [5]). Lemezekre Reddy ([6], [7]), Noor é Burto ([8]) állított elő magaabb redű modelleket (HOST), ahol a ormál potjaak értő ráyú elmozduláát harmadfokú polomokkal közelítették. Az meretleek zámáak cökketéére ad lehetőéget az a damka feltétel, hogy a lemez vagy héj aló lletve felő palátjá a yírából zármazó fezültégek é eek következtébe a megfelelő alakváltozáak el kell tűe. Ebbe az eetbe a yírá együttható meghatározáára c zükég, a yírából zármazó fezültég elozláa parabolku. A fet alapgodolat általáoítáa forgáhéjakra a [9] közleméy, amelybe a merdá ráyú elmozdulá közelítée magaabb redű. Fgyelemre méltó tulajdoága az ortotrop rétegekből álló forgáhéjakak, hogy forgázmmetrku terhelé eeté a forgázmmetrku feladat megoldáa em válaztható 6

7 el a forgáhéj cavará problémájától. Eek a téyek a vzgálata Shema é Wema [0] evéhez fűződk. Az egye héjmodellek középfelületre redukált meyégekkel felírt dfferecálegyelet-redzeréek umerku megoldáára zéle körbe alkalmazzák a végeelem módzert. Ezért az egye elméleteket zükége a umerku megvalóítáok zempotjából áttekte. Az K-L feltételezée alapuló végeeleme eljáráok hátráya, hogy megvalóítáuk C folytoo függvéyek hazálatát követel meg, amely léyegee lezűkít az alkalmazható approxmácó lehetőégek zámát. Ez utóbb feltétel feloldható ([],[]), ha a K-L alapfeltevé cak az elemek határá érvéye, de az egyeúly egyelet felíráához zükége varácó elvbe cak a hajlítából é membrá állapotból zármazó eerga zerepel. A R-M feltételezée alapuló végeeleme eljáráok hátráya, hogy ha a héj vatagága kc, az egyeletredzer kodícója jelető mértékbe romlk ([],[4]). A probléma a magaabb fokzámú lokál approxmácó (p verzó [5],[6]) megvalóítáával orvoolható. A p verzó alkalmazáa egybe lehetőéget bztoít a végeeleme zámítáok hbaaalízére, a zámítáok dzkretzácó hbáak vzgálatára ([7]). A rétegelt kompozt ayagokból előállított zerkezetek tervezée orá felvetődő géy az ayagok kedvező tulajdoágat a lehető legagyobb mértékbe kakázó kotrukcók létrehozáa. Ezt a célt zolgálja olya ezközök kdolgozáa, melyek egítégével valamely zempotból optmál, adott feltételekek eleget tevő zerkezet kalakítáok határozhatók meg. Ebbe az eetbe a tervező feladata az eléredő cél (célfüggvéy) megfogalmazáa, é a kotrukcót befolyáoló, változtatható paraméterek (tervezé paraméterek) megválaztáa. Szerkezetek alakoptmalzáláa emleár programozá (NLP) feladathoz vezethető. Az NLP megoldáára zámo algortmu terjedt el. A továbbakba az előredű módzerekkel foglalkozuk, amelyek em cak a célfüggvéy é a feltételek, de ezek tervezé 7

8 paraméter zert derváltjáak (érzékeyégéek) meretét megkíváják. Az rodalomba ([8],[9],[0],[],[]) é a kerekedelm forgalomba ([],[4],[5],[6]) található zámo előredű módzert megvalóító megbízható, hatékoy programcomag. A fet említett optmalzálá eljáráok eredméyeégét é a zükége zámítá kapactá meyégét jeletőe befolyáoló téyező az érzékeyég vzgálat, azaz az u. érzékeyég grade előállítáa. A vzgálat célja, aak meghatározáa, hogy a zámított mechaka jellemzők (alakváltozá, elmozdulá, fezültég) meyre érzékeyek a tervezé paraméter változáára. Az egye mechaka jellemzők érzékeyégéből, mt a jellemzők tervezé paraméter zert parcál derváltjaból felépíthető vektor az érzékeyég grade. Az optmalzálá orá eze érzékeyég grade egítégével állítható elő az az ráy, amely meté az teratív optmalzálá eljárá adott lépébe az eredméy kereedő. A legegyzerűbbe megvalóítható, de agy zámítá géyű megoldá a globál vége dfferecák módzere, ahol az érzékeyég a feladat kezdet helyzetébe vett megoldááak é a tervezé paraméterek által megváltoztatott helyzetéhez tartozó megoldáaak özevetééből határozható meg ([7],[8],[9]). Haoló eljárá a zemaaltku megoldá, amkor a zámítáokak cak bzoyo rézét végzk el vége dfferecák módzerével, a többt aaltkua, az özefüggéek tervezé paraméter zert dfferecáláával ([40],[4]). Ez utóbb eljárá lehetőéget bztoít a catlakozó zerkezetek módzeréek felhazáláára, ahol a merevég mátrx vertáláa elkerülhető a catlakozó zerkezethez tartozó feladat megoldáával ([4],[4]). Az érzékeyég vzgálat aaltku eljáráa két coportra ozthatók ([44]): dzkrét grade módzer, dzkretzált grade módzer. 8

9 Az elő eetbe az érzékeyég grade a dzkretzált kotuum modellhez tartozó leár egyeletredzer tervezé paraméter zert derváláával állítható elő. Míg a máodk eetbe md a célfüggvéy, a feltételek, md a mechaka peremérték-feladathoz tartozó varácó elv tegrálok formájába adott. A tervezé paraméter zert materál dervált bevezetéével az érzékeyég grade tegrál alakba állítható elő ([45],[46],[47],[48],[49],[50],[5]). A zerző a Lzabo Műzak Egyeteme C. A. Mota Soare profezor ráyítáával magaabb redű forgáhéjmodellt alkalmazott (a héj vatagága meté a potok merdágörbe met értő ráyú elmozdulááak magaabb redű közelítéével, a Reddyféle lemezmodell em telje körű általáoítáával), aaltku dfferecáláo alapuló érzékeyég vzgálatra é tetzőlege, térbel erőredzerrel terhelt vékoy, rugalma, rétegelt, kompozt forgáhéjak alakoptmalzáláára ([9], [5])... Az értekezé kutatá célktűzée Az értekezé fő célktűzée eljáráok kdolgozáa tetzőlege, térbel erőredzerrel terhelt, rétegelt, zálerőítéű kompozt forgáhéjak valamely zempotból (mmál tömeg, maxmál merevég) optmál, bzoyo feltételekek (adott térfogat, adott maxmál fezültég) eleget tevő alakjáak meghatározáára. Az e cél érdekébe elvégzedő kutatómuka az alábbakba foglalható öze:. Harmadfokú polomok alkalmazáával - a Reddy-féle, lemezekre megfogalmazott magaabb redű modell általáoítáa forgáhéjakra, ezzel a Reer-Mdl-féle elméletbe zereplő yírá együttható kküzöbölée. 9

10 . A fet elmozdulámező alapuló vékoy, rugalma, kompozt forgáhéjak tatka vzgálatára alkalma, a merdágörbe meté a p verzó alakfüggvéyeket, a paralell körök meté Fourer orfejtét alkalmazó végeeleme eljárá kdolgozáa.. Algortmu kdolgozáa a végeeleme eljárá özefüggéeek lletve a zámítáok eredméyeek a tervezé paraméterek változáa rát érzékeyége meghatározáára. 4. A tervezé paraméterek zámáak cökketée ple-ok alkalmazáával. 5. Programredzer kdolgozáa a fet végeeleme é érzékeyég vzgálat alapjá rugalma, vékoy, rétegelt kompozt forgáhéjak alakoptmalzá-láára. A kdolgozott eljáráokat példák zemléltetk... A vzgálatok módzere Az értekezé a ktűzött feladatok megoldáára elmélet módzereket alkalmaz. A godolatmeet kfejtéébe felhazálja a kotuummechaka, a matematka é kemelte a umerku aalíz, a varácózámítá é a végeelem-módzer mert eredméyet. 0

11 . Alkalmazott jelöléek (,, z) ϕ a forgáhéj középfelületé értelmezett termézete koordáta- ( r,, Z) redzer ϕ globál koordáta-redzer (hegerkoordáta-redzer) ( x x x ),, a réteg termézete koordáta-redzere α k a termézete koordáta-redzer tegelye é az ayagtulajdoágok ktütetett ráya által bezárt zög β 0 a középfelület ormálaak elforduláa az e ϕ tegely körül * ** * ** β, β, θ, θ a magaabb redű tagok együttható az elmozdulá koordá- ták z zert orfejtéébe $ε az alakváltozá tezor elemeből képzett vektor (ozlopmátrx) $ ε, $ ε, $ γ, $ γ, $ γ ϕ ϕ z ϕz az alakváltozá tezor eleme a termézete koordátaredzerbe ε, ε, ε, ε, γ határértékek a tökremeetel krtérumokba φ ( ξ ) az -dk függvéy az elmozdulámező közelítéére ϕ γ η Λ zögkoordáta a paralellkör meté a középfelület ormála é az r ugár által bezárt zög ormál ráyba a réteghez tartozó, ormalzált koordáta gyűrűelem alakváltozá eerga ν, ν, ν a Poo téyezők θ 0 a középfelület ormálaak elforduláa az e tegely körül $ σ a fezültég tezor elemeből képzett vektor (ozlopmátrx)

12 $ σ, $ σ, $ τ, $ τ, $ τ ϕ ϕ z ϕz a fezültég tezor em zéru eleme a termézete koordáta-redzerbe σ, σ, τ, τ, τ + a Hll-Ta krtérumba zereplő álladók τ τ τ tervezé paraméter tervezé paraméter, ha az comópot meyég a tervezé paraméterek vektora ( ) τ k a tervezé paraméterek vektora a k-dk terácóba (ozlopmátrx) ξ az elemhez tartozó, ormalzált lokál koordáta a merdágörbe meté A a kotuummechaka learzált elméletébe az alakváltozá tezor A(, z), B(, z), C(, z), D(, z), E(, z), F(, z) az elmozduláközelítéébe hazált függvéyek ( ) a k a lépéhoz a k-dk terácóba B c ( ξ η ) B ( ξ η ),,, a módoított alakfüggvéyek mátrxa C klm az ayagjelemzők tezora D k a k-dk réteg ayagálladóak mátrxa a héj termézete koordáta redzerébe ( ) d k a tervezé paraméterek terébe kjelölt ráy a k-dk terácóba (ozlopmátrx) E, E, E a rugalmaág moduluz a ktütetett ráyokba e, eϕ, e bázvektorok a forgáhéj középfelületé, egyégvektorok z

13 Fr, Fz, Fϕ, M, M ϕ a külő erőredzer középfelületre redukált felülete megozló vektorkettőéek koordátá f a tehervektor (ozlopmátrx) G, G, G a cúztató rugalmaág moduluz a ktütetett ráyokba H h h a héj vatagágát meghatározó ple kotroll potja a héj vatagága a héj vatagága az jelű comópotba h h k k k, h a k-adk réteget határoló felületek ormál ráyú koordátája k, h a k-adk réteget határoló felületek ormál ráyú koordátája é a héj vatagágáak aráya K L M j a merevég mátrx a rétegek záma a merdágörbét meghatározó ple kotroll potja N N( ξ ) N f a Fourer orfejtébe a tagok záma az alakfüggvéyek mátrxa a feltétel egyelőtleégek záma N ( ξ ) az -dk alakfüggvéy N p a comópotok záma N t P j a tervezé paraméterek záma a középfelület ormála (em egyégvektor) a j-dk Legedre-polom Q az ayagtulajdoágok mátrxa az ayagtulajdoágok ktütetett ráya által kjelölt koordáta-redzerbe

14 q R R ϕ a comópot elmozduláok vektora (ozlopmátrx) a merdágörbe görbület ugara a merdágörbére merőlege ormálmetzet görbület ugara r S j r ugár ráyú koordáta a merdágörbét meghatározó ple együttható mátrxa S j h a héj vatagágát meghatározó ple együttható mátrxa ívkoordáta a merdágörbe meté T trazformácó mátrx a termézete é az ayagtulaj- doágok ktütetett ráya által kjelölt koordáta- redzerek között Τ t t U tervezé paraméter, ha az ple kotroll pot a merdágörbe értővektora (em egyégvektor) az értővektor hoza a fajlago alakváltozá eerga (térfogategyégre) u, v, w a héj tetzőlege potjáak elmozdulákoordátá a globál koordáta-redzerbe u tetzőlege pot elmozdulávektora u, v, w a héj tetzőlege potjáak elmozdulákoordátá a termézete koordátaredzerbe u0, v0, w0 a középfelület potjaak elmozduláa termézete koordátaredzerbe u0, v0, w0 a középfelület elmozdulávektoráak koordátá a globál koordáta-redzerbe 4

15 u a Fourer orfejtébe az -dk taghoz tartozó meretleek vektora (ozlopmátrx) Z z W a héj forgátegelye meté mért koordáta koordáta a középfelület ormála meté a külő erőredzer mukája Operátorok: Σ a Hamlto-féle operátor jelöl a végeeleme özezerelét A zorzáok jelölée: tezorál (dadku) zorzá: o kalár zorzá: vektorál zorzá: 5

16 . Forgáhéjak alakváltozááak kematka egyelete A forgáhéjak zlárdágtaáak learzált elmélete az alább feltételezéekkel zármaztatható: a héj má méretevel özehaolítva vékoy, az elmozduláok é alakváltozáok kck, a középfelület ormálaak hoza em változk az alakváltozá orá, é a ormálráyú, $σ z fezültég elhayagolható. Az értekezé em él azzal a feltételezéel, hogy a középfelület ormála az alakváltozá orá a deformálódott középfelületre ormál marad. A kotuummechaka learzált elméletébe a kematka egyeletek teremtk meg a kapcolatot az alakváltozátezor koordátá é az elmozdulávektor koordátá között ([5]): A = ( u o + o u) (.) ahol a termézete koordáta-redzerbe = z + R e + eϕ + e z, (.) z r ϕ z + R ϕ a Hamlto-féle dfferecáloperátor Fgyelembe véve azt a feltételezét, hogy a héj má méretevel özehaolítva vékoy, az alább feltételezéek tehetők: z z + é +. (.) R R ϕ 6

17 .. táblázat. Az egyégvektorok derváltja e e e ϕ e z e e γ e z ϕ 0 R e ϕ 0 γ e coγ e z 0 e z R e coγ e ϕ 0 A forgáhéj tetzőlege potjáak elmozduláa a középfelülete értelmezett termézete koordáta-redzerbe (.. ábra). ( ϕ ) ( ϕ) ( ϕ ) ( ϕ) ( ϕ ) ( ϕ) u$ = u$,, z e, $,, e $ + v z ϕ + w,, z e z,. (.4) Tektettel a. táblázatba özefoglalt zabályokra, az elmozulámező parcál derváltja: u$ u$ w$ v$ w$ u$ = + e eϕ e z R + +, (.5) R u$ u$ $ $ = γ e $ γ $ coγ eϕ coγ e ϕ ϕ v ϕ w v u w + v z ϕ (.6) u$ u$ v$ w$ = e + eϕ + e z. z z z z (.7) Az alakváltozá tezormező koordátát meghatározó kematka egyeletek a fetek alapjá felírhatók ([54]). Pl.: 7

18 $ = ( $ + $ ) e uo o u e, (.8) ε melyből a megfelelő zorzáok elvégzée utá következk: u$ w$ $ ε = +. (.9) R Haolóa eljárva a több kereett kematka egyelet előállítható: $ $ ε = v $ γ $ ϕ coγ ϕ + + u w (.0) r $ γ ϕ u$ v$ = v$ γ + r ϕ (.) $ γ z u$ w$ u$ = + (.) z R $ γ ϕz w$ v$ = v $coγ + r ϕ z (.) A globál é a termézete koordáta-redzerekbe az elmozdulá-koordáták között kapcolat az alább: u$ = u γ w coγ (.4) w$ = u coγ + w γ (.5) $v 0 = v0 (.6) 8

19 Z R e e z ϕ γ ϕ e r.. ábra. A termézete- é a globál-koordáta-redzerek 9

20 4. A zálerőítéű kompozt rétegek ayagegyelete 4.. Egy réteg ayagegyelete Tetzőlege háromtegelyű fezültég állapotba lévő pot jellemzéére a fezültég tezor σ kl klec koordátája, az alakváltozá leíráára az alakváltozá tezor ε m klec koordátája hazálható. A közöttük lévő leár kapcolat a legáltaláoabb formába az alább [57]: σ = C ε kl klm m m= =. (4.) Ebbe az eetbe a C klm tezorak 8 függetle koordátája lehet. Fgyelembe véve, hogy az alakváltozá é a fezültég tezor zmmetrku, az alább azooágok állak fe: C klm = C é C = C, (4.) lkm klm kl m vagy a függetle változók záma 6. Tovább lehetőég adódk a függetle ayagálladók zámáak cökketéére a fajlago alakváltozá eerga vzgálatával. A fajlago alakváltozá eerga: U = σ klε kl = Cklmε klε m. (4.) k = l= k = l= m= = Képezve a fajlago alakváltozá eerga máodk derválját az alakváltozá tezor koordátá zert: U ε ε kl m = C, (4.4) klm é felhazálva, hogy a parcál derváltak orredje felcerélhető, következk: 0

21 C klm = C (4.5) mkl azaz a 6 ayagjellemzőből cak függetle. Vzgálatak körét az u. ortotrop ayagokra zűkítve a fezültég-alakváltozá kapcolat tovább egyzerűíthető. Határozzák meg a réteg termézete derékzögű koordátaredzerét ( x x x ),, az ayagjellemzők ktütetett ráya. Szálerőítéű kompoztok eeté, mvel a zálak ayagjellemző zálráyba léyegee meghaladják a mátrxayag jellemzőt, az egyk ktütetett ráy, x egybeek a zálak ráyával. Ebbe a redzerbe zmmetrák állak fe az x x, az x x é az x x íkokra. Így a függetle jellemzők záma 9. A 4.. táblázat foglalja öze az egye ayagtípuokra jellemző ayagálladók mátrxáak tulajdoágat. 4.. táblázat. Az egye ayagtípuokhoz tartozó ayagjellemzők Ayag típua Koordáta-redzer A em zéru elemek záma az ayagálladók mátrxába A függetle ayagjellemzők záma azotrop 6 ortotrop em termézete koord. Red. 6 9 ortotrop termézete koord. red. 9 zotrop ortotrop réteg em termézete kord. red. 6 ortotrop réteg termézete koord. red. 7 6 zotrop réteg 7 A továbbakba a fezültég é az alakváltozá tezorok koordátát vektorokba, az ayagjellemzők tezoráak koordátát mátrxba redezve, a mérök kotaok felhazáláával az ayagegyelet a következő [5]:

22 ν ν E E E ν ν ε ε E E E ν ν ε = E E E γ γ G γ G G σ σ σ. (4.6) τ τ τ A zmmetra tulajdoágból következk, hogy ν j ν j =, (4.7) E E j azaz a függetle ayagjellemzők E, E, E, ν, ν, ν, G, G é G. Imeretükbe ν, ν é ν zámítható. Egy réteg vzgálata eeté (zotrop lemezek, héjak vzgálatához haolóa) egy geometra ( ε = 0) é egy damka ( σ 0) = (em elletmodá mete) feltételezé felhazáláával é a (4.6) egyeletbe zereplő ayagjellemzők mátrxáak vertáláával a fezültég-alakváltozá kapcolat a réteg tetzőlege potjába a ktütetett ráyok által adott koordáta-redzerbe a következő [5]: ha σ Q Q σ Q Q τ = 0 0 Q 0 0 τ Q44 0 τ Q 55 ε ε γ, (4.8) γ γ

23 akkor (4.8) kfejezé tömörebbe: σ σ σ = τ τ τ ε ε é ε = γ, γ γ σ = Q ε, (4.9) ahol é E Q =, ν ν (4.0) E Q = Q = νν ν (4.) E Q = ν ν, (4.) Q Q Q = G (4.) = G (4.4) = G (4.5) Ha már az ayagálladók mátrxa a réteg termézete koordátaredzerébe mert, akkor egy egyzerű trazformácóval a rétegre merőlege tegely körül α k zöggel elforgatott koordáta-redzerbe trazformálható. Az α k zöget a k-adk rétegbe a zálak értője é a merdágörbe értője között mérjük (4..ábra). Teremte meg az alább trazformácó mátrx c c 0 0 c c 0 0 T = c c c 0 0, (4.6) c c melybe

24 c = co α, = α, k a kapcolatot az alakváltozá tezor koordátából álló, a réteg ktütetett ráya által adott koordáta-redzerébe é a forgáhéj termézete koordáta-redzerébe képzett vektorok között, vagy k $ε = T ε. (4.7) A T trazformácó mátrx ortogoál (forgát ír le), azaz T = T Τ ( T dex a trazpoáltat jelöl). Így a forgáhéj termézete koordáta-redzerébe az ayagegyelet a következő: T k $ σ = T QT$ ε = D $ ε, (4.8) ahol $ ε $ σ $ ε $ ϕ σ ϕ $ ε = $ γ ϕ é $ σ = $ τ ϕ. $ γ z $ τ z $ γ $ ϕz τ ϕz A fet egyeletbe zereplő D mátrx em zéru eleme: 4 4 ( ) 4 4 ( 4 ) ( ) 4 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 ( ) ( ) D = Q c + Q + Q + Q c (4.9) D = D = Q + Q Q c + Q c + (4.0) 66 D = Q + Q c + Q + Q c (4.) D = D = Q Q Q c Q Q Q c (4.) D = D = Q Q Q c Q Q Q c (4.) D = Q + Q Q Q c + Q + c (4.4) D = Q c + Q (4.5) ( ) D45 = D54 = Q44 Q55 c (4.6) D = Q + Q c (4.7)

25 z, x x α k ϕ x 4.. ábra. A zálak ráyáak értelmezée 4.. Tökremeetel krtérumok Az egye optmalzálá feladatokba feltétel egyeletkét zerepelhet, hogy a zerkezet elbírja a terheléeket, ezért foto olya tökremeetel krtérumokat talál, amelyek jól jellemzk az egye kompoztok velkedéét ([],[4]). A rétegelt, zálerőítéű kompoztok terhelhetőégéek meghatározáa az ayagjellemzőkhöz haoló módo a réteg termézete koordáta-redzerébe törték. Termézetee ezek a jellemző meyégek ráytól függőek (zálak ráyába é arra merőlegee), de értékek külöbözhetek húzá é yomá eeté A maxmál fezültég Ez a feltétel a réteg tökremeetelét a réteg termézete koordáta-redzerébe a ktütetett ráyokba egyzerű kíérletekkel meghatározott fezültég határokkal adja meg. 5

26 Vagy a réteg terhelée a határérték alatt va, amkor a homogezált ayagtulajdoágok egítégével zámított fezültégekre gazak az alább egyelőtleégek: + σ < σ < σ + σ < σ < σ τ τ τ + < τ + < τ + < τ (4.8) ahol az x é x ráyba σ é σ a yomához, σ + é σ + a húzához tartozó értékek. A τ +, τ + é τ + a cúztatófezültégek maxmál értéke A maxmál alakváltozá A krtérum azo a feltételezée alapzk, hogy a réteg tökremegy, ha a yúláok vagy a zögtorzuláok elérek egy előre meghatározott értéket, azaz a terhelé em érte el a krtku értéket, ha a következő egyelőtleégek teljeülek: + ε < ε < ε + ε < ε < ε γ γ γ + < γ + < γ + < γ (4.9) ahol az x é x ráyokba a ε, ε, ε + é ε + a yomához lletve a húzához tartozó megegedett maxmál yúláok, γ + γ + é γ + a megegedett maxmál zögtorzuláok. 6

27 4... Kvadratku feltételek A fetekbe bemutatott feltételek em tartalmazak olya elemeket, melyek fgyelembe vezk az egye fezültég, vagy alakváltozá kompoeek egymára hatáát. Hll [58] javaolta a Me feltétel olya bővítéét, amely lehetővé tez eek alkalmazáát ortotrop rétegek eeté. Háromdmezó fezültég állapothoz az azotropa főtegelyeek redzerébe a tökremeetel felület (folyá felület) az alább: ( ) ( ) ( ) A σ σ + B σ σ + C σ σ + Dτ + Eτ + Fτ = 0, (4.0) ahol A, B, C, D, E é F kíérlet úto meghatározható értékek. A fet godolatmeet alkalmazáa ortotrop rétegekre a rétegelt kompoztok eetébe leggyakrabba hazált feltétel, a Hll-Ta krtérum [59]: σ σ σ σ τ τ τ G = (4.) ( σ ) ( σ ) ( σ ) ( τ ) ( τ ) ( τ ) melybe σ 0 vagy σ +, vagy σ (=,) az géybevételek (húzá, yomá) megfelelőe. 7

28 5. Magaabb redű modell a yírá alakváltozá fgyelembevételére 5.. Az elmozdulámező A héj tetzőlege potjáak elmozduláát a középfelülete értelmezett termézete koordátaredzerbe közelítük az alább módo: ( ϕ ) = 0( ϕ) + β0( ϕ) * + β ( ϕ) ** + β ( ϕ) ( ϕ ) = 0( ϕ) + θ0( ϕ) * + θ ( ϕ) ** + θ ( ϕ) w$ (, ϕ) w$ (, ϕ) u$,, z u$,, z, z, z, (5.) v$,, z v$,, z, z, z, (5.) = 0, (5.) ahol $u 0, $v 0 é $w 0 jelöl a középfelület elmozduláát, β 0 é θ 0 a középfelület ormáláak elforduláa az é ϕ tegelyek körül. β *, β **, θ * é θ ** a magaabb redű tagok az elmozdulá orfejtéébe. Abból a téyből, hogy a héj palátjá a cúztató fezültégekek el kell tűük, következk, hogy a megfelelő zögtorzuláok értéke zéru tt, vagy ha h z = ±, akkor $ γ = $ = 0. z γ zϕ A fet feltételeket az (.)-(.) kematka egyeletekbe helyetteítve az elmozdulámező magaabb redű tagja ( β *, β **, θ * é θ ** ) kfejezhetők: θ ** = β * 4 $ β = 0 4R h ** 4 $ w0 = ( ) β ( 4 h R 0 R h ) h R w0 β R + $ u0, (5.4) R u $ 0, (5.5) γ * 4co w $ 0 θ = $ v0 coγ + rθ0, (5.6) 4r h co γ ϕ 4 ( 4 co γ ) r h h $ 0 ( h co γ 8r ) θ $ 0 r w rv 0 coγ ϕ. (5.7) 8

29 Így az elmozdulámező közelítée a következő alakot ölt: melybe ( ϕ) w$ 0, u$ (, ϕ, z) = A(, z) u$ 0 (, ϕ) + B(, z) β 0 (, ϕ) + C(, z), (5.8) w$ 0 (, ϕ) v$ (, ϕ, z) = D(, z) v$ 0 (, ϕ) + E(, z) θ0 (, ϕ) + F(, z), (5.9) ϕ (, ) D z (, ) E z (, ) F z ( ϕ) ( ϕ) 4z A(, z) = + 4R h w$, = w$ 0,, (5.0) 8Rz B(, z) = z + 4R h 4Rz C(, z) = 4R h + 4z co γ = + + 4r h co γ 8rz coγ = z + 4r h co 4z coγ = 4r h co γ γ Rz R h h, (5.) ( 4 ) 4( 8 ) ( 4 ) R h z R h h, (5.) R z R h h, (5.) ( 4 ) rz coγ ( 4 co γ ) 4( co γ + 8 ) ( 4 co γ ) r h h h r z r h h rz ( 4 co γ ) r h h, (5.4), (5.5). (5.6) A fet özefüggéekbe A =, B az R-M modell adódk. = z, C = 0, D =, E = z é F = 0 helyetteítéel A (.4)-(.6) felhazáláával felírhatók a héj egy tetzőlege potjáak elmozdulá koordátá a globál koordáta-redzerbe: (, ϕ) (, ϕ) u( z) u ( ) C u C w 0 0, ϕ, = 0, ϕ + γ coγ + γ + Bβ0 (, ϕ) γ (5.7) (, ϕ) (, ϕ) w( z) w ( ) C u C w 0 0, ϕ, = 0, ϕ co γ γ co γ Bβ0 (, ϕ) coγ (5.8) (, ϕ) (, ϕ) v( z) Dv ( ) F u F w 0 0, ϕ, = 0, ϕ + coγ + γ + Eθ0 (, ϕ) (5.9) 9

30 5.. A végeelem geometra jellemző Forgáhéjak végeeleme zerkezet vzgálatához zükége a zerkezet feloztáa comópotjakál catlakozó gyűrű elemekre (5.. ábra). A vzgálatok orá a forgázmmetrából következőe elegedő a merdágörbe geometra vzoyat elemez. A geometrát a merdágörbé lévő comópotok helyzete határozza meg. A forgázmmetrku héjelem geometra jellemzőek meghatározáa az [55] alapjá a rétegek fgyelembevételével az alább módo törték. A merdágörbe a comópotok globál koordáta-redzerbe felírt koordátá egítégével: ( ξ) = ( ξ) r + ( ξ) r N r e N Z e = = Z (5.0) ahol N az zoparametrku elemek eeté alkalmazott ([56]) alakfüggvéyeket jelet: é ξ ( ξ ) ( ) ξ ξ N =, N = ξ, ( + ) ξ ξ N = az elem lokál koordátája a merdá meté., (5.) A héj vatagágáak közelítéére zté a fet alakfüggvéyeket alkalmazva adódk: ( ξ ) = ( ξ ) h N h = (5.) A merdágörbe értője é ormála: r N t = = r er + ξ ξ = = N Z e ξ N N = t eϕ = Z er + r e ξ ξ = = Z, (5.) A merdágörbe ormáláak vetületeből a γ zög ua é coua meghatározható: Z. (5.4) 0

31 γ = t coγ = t = = N r ξ, (5.5) N Z ξ, (5.6) ahol N t = r + ξ = = N Z ξ. A h k é a h k ormálkoordátájú felületekkel határolt k-dk réteg tetzőlege potjáak koordátá a globál koordátaredzerbe: ( ξ η) ( ξ) r, = N r = ( ξ η) ( ξ) Z, = N Z + = = = N t N ( ξ) t h ( ξ) h k k k k h + h h h N + η Z = ξ k k k k h + h h h N + η r = ξ (5.7) (5.8) ahol h k h = N = k ( ξ ) h é h k k h =, (5.9) N ( ) ξ h = é η ( η ) az elem lokál koordátája a rétegbe ormál ráyba.

32 Z R h + h r(ξ) z, η R t, ξ h(ξ) 5.. ábra. A gyűrűelem geometra jellemző A globál koordáták é az elem ormalzált koordátá között leképezé Jacob mátrxa a merdá görbé ( η = 0 ), ( ξ) J k = k k h h t γ t coγ, (5.0) k k h h coγ N ( ξ) h γ N ( ξ) h = =

33 eek determáa, ( ) ( ) det J k k k = t h h N ξ h. (5.) Az elem h k é h k felületek által határolt réteg ormalzált koordátá é a forgáhéj középfelületé értelmezett koordáták között özefüggé a következő: = = t ξ (5.) k k k k h + h h h z = + η N ( ) ξ h (5.) = Az elem comópotjáak koordátá egítégével az elem meté álladó görbület ugara meghatározható ( R ) (lád Függelék A). 5.. Az elmozdulámező közelítée Az elmozdulámező leíráát a végeeleme közelíté é a Fourer-orfejté özekapcolt hazálata jellemz. A paralel ráyú elmozduláok közelítéére alkalmazott Fourer-orok trgoometrku függvéyeek ortogoál tulajdoága révé a háromdmezó feladat zétek egymától függetleül megoldható egyeletredzerek orozatára. A forgáhéj középfelületé értelmezett radál ráyú elmozdulákoordáták közelítée a paralel körök meté: c ( ϕ) = ( ( ) ϕ + ( ) ϕ) u0, u co u (5.4) Haolóa közelítve a or -dk tagjához tartozó meretleek vektora (a három elmozdulákoordáta, valamt β 0 é θ 0 ) a globál ( R, Z) koordáta-redzerbe: T u 0 [ u c u c v c v c w c w ] = β β θ θ, (5.5)

34 ahol a c é dex jelöl, hogy az meretle a Fourer-orfejtébe, mely trgoometrku taghoz tartozk. Az elmozdulámező u c koordátájáak a közelítée a merdágörbe meté a p verzó végeeleme techkáak megfelelőe: u c p+ ( ) = φ ξ u = c. (5.6) ahol p ( p ) a közelíté fokzámát határozza meg, φ ( ξ) az alakfüggvéy (lád függelék B), c é u az -edk alakfüggvéy együtthatója. A fetekhez haolóa a (5.5) vektor mde eleme előállítható. Tömöre felírva a vektor elemeek közelítéét: melybe q T ( ξ ) ( ξ ) u = N q. (5.7) [ u ] c u v c v w c w β c β θ c θ L u c K θ p p = + + Az meretleek fet approxmácóját az (5.7)-(5.9) elmozdulámezőbe helyetteítve felírhatók a (.9)-(.) kematka egyeletek. A zükége matematka átalakítáok elvégzéére zmbolku mapulátor ([60]) egítégével törtét. A levezetett egyeleteket vektor-mátrx formalzmual felírva: ahol N ( ) = ( + ) c = 0 ε$ ξ, η, ϕ $ ε ( ξ, η) co ϕ $ ε ( ξ, η) ϕ c ( ξ η) ( ξ η) ( ξ η) ( ξ η) (5.8) c ε$, = B, q (5.9) ε$, = B, q (5.40) melybe zereplő ( ξ, η ) é B ( ξ η ) B c, mátrxok rézlete mertetée a függelék C-be található. A zmbolku mapulátor alkalmazáával mód yílt arra, hogy az előállított özefüggéek közvetleül C programyelve íródjaak, é így program kódba llezthetők 4

35 ([6],[6]) Alakváltozá eerga, varácó elv, egyeúly egyelet Alakváltozá eerga Az egyeúly egyelet előállítáához zükége a forgáhéj alakváltozá eergájáak é a külő erőredzer mukájáak a meghatározáa. Az L rétegből álló gyűrű elem alakváltozá eergája a (4.8.)-at felhazálva: Λ = L π k = 0 k $ ε D $ ε det k ( J ) dξdηdϕ. (5.4) A fet kfejezébe behelyetteítve az (5.8), (5.9) é az (5.40) egyeletet, felhazálva a trgoometrku függvéyek ortogoál tulajdoágat az alakváltozá eerga a következő: Λ = N = 0 T q K q (5.4) ahol K a Fourer-or -dk tagjához tartozó merevég mátrx: k T k k ( ) rd d ( ) c ct k c K = δ B D B det J ξ η + δ B D B det J rdξdη, (5.4) L k = k = L melybe π ha = 0 c δ = π ha 0, δ 0 ha = 0 = π ha 0. A merevég mátrx elemeek umerku előállítáa érdekébe az tegráláok Gauféle kvadratúra egítégével törtéek. Külö fgyelmet érdekel az = 0 eet, ez forgázmmetrku alakváltozát é ezzel - az ortotrop rétegek tulajdoágáak közöhetőe - özekapcolt cavará feladatot jelet. 5

36 Az (5.4) kfejezé máodk tagja zéru, ekkor a dexű meyégek em hordozak fzka tartalmat, ezért a hozzájuk tartozó orokat é ozlopokat elmál kell A külő erők mukája Feltételezzük, hogy a külő terhelé középfelületre redukált vektorkettőe mert. Ha a (5.)-(5.6) özefüggéekbe a z-be magaabb redű tagokat elhayagoljuk, fgyelembe véve, hogy a héj má méretevel özehaolítva vékoy, azaz az elmozdulá mező közelítéébe A =, B = z, C = 0, D =, E = z é F = 0, akkor a külő erőredzer mukája a középfelülete felírt meyégekkel egy eleme a következő: π ( 0 r 0 Z 0 ϕ 0 ϕ 0 ) W = u F + w F + v F + β M + θ M r t dϕ dξ, (5.44) 0 ahol F (, ϕ), F (, ϕ), Fϕ (, ϕ), Mϕ (, ϕ) é M ( ) r Z redukált vektorkettőéek koordátá.,ϕ a külő erőredzer közép-felületre Feltételezzük, hogy a külő erőredzer redukált vektorkettőe Fourer-orba fejthető a ϕ koordáta meté N c (, ϕ) = ( co ϕ + ϕ r r ) F F F r = 0. (5.45) Az ampltúdókál az dex jelöl az -dk tagot. Tömör formába a külő erők mukájára következő özefüggé adódk: W = q f, (5.46) T ahol f T = N T c c c c c c ξ δ Fr δ Fr δ Fϕ δ Fϕ δ FZ δ FZ ( ) [ δ M δ M δ M δ M r t dξ c c c c ϕ ϕ ] (5.47) 6

37 Az egyeúly egyelet A zerkezet telje potecál eergája az alakváltozá eerga é a külő erők mukájáak meretébe felírható: Π = Λ W. (5.48) Σ Σ Σ p A dzkretzált meyégeket helyetteítéével a végeeleme özezerelé utá a fet fukcoál az alább alakot ölt: q K q q f. (5.49) N Π Σ Σ T Σ Σ Σ T Σ p = = 0 Felhazálva a fukcoál zélőértékéek zükége feltételét, az egyeúly egyeletekek orozata adódk, melyek -dk tagja: K q = f. (5.50) Σ Σ Σ A peremfeltételekről Az (5.)-(5.6) özefüggéekbe a z-be magaabb redű tagokat elhayagolva (A =, B = z, C = 0, D =, E = z é F = 0 ) a peremfeltételek az R-M héjmodellhez haolóa kezelhetők ([54]). A pereme vagy a külő erőredzer vektorkettőéek koordátára, vagy az elmozdulákoordátákra lehet előírát te. A leggyakorbb eetek:. Szabad perem: Fr = FZ = Fϕ = Mϕ = M = 0,. Befalazá: u = w = v = β = θ =, Cukló: u 0 = v 0 = w 0 = θ 0 = Mϕ = M = 0. 7

38 6. Érzékeyég vzgálat A hatékoy optmalzálá módzerek megkíváják a célfüggvéy é az alkalmazott feltételek érzékeyégéek, vagy az u. érzékeyég gradeek a meghatározáát a tervezé paraméter változáakor, vagy a célfüggvéy é a feltételek tervezé paraméterek zert parcál derváltjaak zámítáát. Dzkrét grade eeté a mechaka redzer dzkretzált modelljéhez tartozó egyeletredzert kell a tervezé paraméterek, jele eetbe a héj comópotbel vatagága lletve a comópotok ugár ráyú koordátá zert dfferecál. 6.. A végeelem geometra jellemzőek tervezé paraméter zert derváltja A továbbakba vzgáljuk meg éháy, elemre voatkozó alapözefüggé derváltját, ha a tervezé paraméter a comópot r j ugár koordátája. A j dex a comópot lokál, eleme belül zámozáára utal. A héj k-dk rétegébe egy tetzőlege pot koordátá a (5.7)-(5.8) zert adottak. Ezek derváltja: r r j t = N j ( ξ) + r Z = r j t r j = = N N t j t = ( ξ) ( ξ) N t ( ξ) h k k k k h + h h h N + η Z, (6.) = ξ h k k k k h + h h h N j + η + ξ (6.) h k k k k h + h h h N + η r, = ξ ahol az értő vektor hozáak változáa: 8

39 t r j = N j ( ξ) N r = ξ t. (6.) Haolóa a merdágörbe ormálaak vetületeből a γ zög uáak é couáak dfferecálja: γ N j t = r t ξ r t j coγ t = r r t j j j = = N r, (6.4) ξ N Z. (6.5) ξ A globál koordáták é az elem ormalzált koordátá között leképezé Jacob mátrxáak determáa: ( ) det J k r j t = r j h k h k = N ( ξ) h. (6.6) Abba az eetbe, ha a tervezé paraméter a héj vatagága h az jelű comópotba, a fet meyégek dfferecálja: r h j Z = h N j = t j ( ξ) ( ξ) h h j ( ξ) = N (6.7) j k k k k h + h h h N + η Z, (6.8) = ξ N k k k k j h + h h h N + η r t, = ξ (6.9) det( J) t h k h k = N j ( ξ). h (6.0) j 9

40 6.. A térfogat érzékeyége A héj térfogata az egye elemek térfogatáak özegzéével zámítható, azaz: M L k V Σ = π r det( J ) dξdη, (6.) e= k = e ahol M az elemek záma. A továbbakba a tervezé paramétert τ -val jelöljük, adott etbe helyére vagy az - dk comópot ugár koordátáját, vagy a comópotba a héj vatagágát kell érte. Az I dex a comópot globál orzámára utal. A héj térfogatáak érzékeyége: Σ V τ I L r det k = π det( J ) + r e k = τ τ k ( J ) e dξdη. (6.) Az özegzét azokra az elemekre kell elvégez, amelyek tartalmazzák azt a comópotot, melyekhez a tervezé paraméter tartozk. Az dex felvez mdazo értékeket, amelyek a globál redzerbe I-vel jelölt pothoz a lokál zámozába tartozak. 6.. Az elmozdulámező érzékeyége Az elmozdulámező vzgálatához az egyeúly egyeletek orozatáak mde tagját dfferecál kell a tervezé paraméterek zert. Az -dk tag eeté: Σ Σ Σ K q f q Σ K Σ + =. (6.) τ I τ I τ I A fet özefüggéből az elmozdulámező derváltja a K q Σ Σ = f *, (6.4) τ I leár egyeletredzer megoldáával zámítható, ahol Σ Σ f K f * = q Σ. (6.5) τ τ I I 40

41 Az (6.5) kfejezé jobb oldalá álló tagok előállítáa az elemek ztjé, az alább módo törték: L ct c K c B δ D k B B c ( J k ) B ct D k k = ( J ) τ r det + r det + k = τ τ ct k c r k ct k + B D B det( J ) + B D B τ det r τ k ( J ) L T B δ D k B B ( J k ) B ct D k k + r det + r det( J ) + k = τ τ T k r det k T k + B D B det( J ) + B D B r τ τ c k ( J ) +. (6.6) A dfferecálá utá a mátrx özezerelée a merevég mátrxhoz haolóa törték. Termeztée azokhoz az elemekhez tartozó rézek, amelyek em tartalmazzák azt a comópotot, amelybe a tervezé paraméter értelmezett, zéruok. A c B τ é a B τ mátrxok a függelék C-be megtalálhatók mdkét eetre, ha τ a comópot vatagág lletve a comópot ugár koordátája. A tehervektor értékeek dfferecálááál fgyelembe kell ve a külő erőredzer függéét a tervezé paraméterektől, T f = τ N T ξ δ c δ δ c δ δ c δ F c r F r F c ϕ F ϕ F c Z F τ τ τ τ τ τ ( ) δ M c δ δ δ c ϕ M ϕ M c c M r t + τ τ τ τ [ c c c c c c δ F δ F δ F δ F δ F δ F r r ϕ ϕ Z Z c c c c δ M δ M δ M δ M ] r t t r dξ τ τ ϕ ϕ +. Z (6.7) 4

42 5. 4. A fezültégek érzékeyége A fezültég tezor koordátáak Fourer-együttható az -dk tag eeté a héj termézete koordáta-redzerébe a k-dk réteg tetzőlege potjába: k c ( ξ η) ( ξ η) k ( ξ η) ( ξ η) $, = D B, q, (6.8) σ c $, = D B, q. (6.9) σ Az elmozdulámező érzékeyégéek a brtokába a fet özefüggéeket dfferecálva a fezültégek érzékeyége az alább módo zámítható: ahol a D k B c q τ I é a D k $ σ c τ I $ σ τ I B q τ I c k k c = D B q + D B q, (6.0) τ τ I I k k = D B q + D B q, (6.) τ τ I I kfejezéek cak akkor külöbözek zérutól, ha a comópot, amelyhez a tervezé paraméter tartozk, comópotja az adott elemek, amelye a fezültég zámítáa törték Az alakváltozá eerga érzékeyége Az elem (5.4) zert alakváltozá eergájáak érzékeyége a tervezé paraméterek zert derváláal állítható elő: τ N Σ T = q K q + q = 0 τ I Λ Σ Σ I ΣT K τ Σ I q Σ. (6.) Felhazálva az egyeúly egyelet dfferecáláával előállított (6.) kfejezét az alább özefüggé adódk: Λ τ I N Σ ΣT f = q q τ = 0 I ΣT K τ Σ I q Σ. (6.) 4

43 6. 6. Sple-ok hazálata Sple-ok egítégével md a forgáhéj merdágörbéje, md a merdágörbe met vatagágelozlá felírható. Így az optmalzálá feladatba zereplő tervezé paraméterek záma jeletőe cökkethető, mert a comópotok koordátá vagy comópot vatagágok helyett elegedő a kotrollpotokat felhazál. A comópotok ugár koordátá tetzőlege ple (a legelterjedtebb a B vagy Bezer ple) eeté a kotrollpotokat felhazálva ( M j vagy H j ) az alább formába adható meg ([6],[64]): A comópot vatagágok: r I = Z r j= r S M Ij j. (6.4) h I = Z h j= h S H Ij j, (6.5) r ahol S Ij é S Ij h a ple-ok együttható mátrxa. A ple valamely kotrollpotjat hazálva, mt tervezé paramétert az egye mechaka jellemzők érzékeyége vzgálható. A tervezé paramétert Τ j -vel jelölve (vagy a ugár koordátákat vagy a vatagágot meghatározó ple kotrollpotjat) az elmozdulámező érzékeyége: Σ N Σ N Σ p p q q τi q = = Τ τ Τ τ j I = I j = I S Ij, (6.6) ahol S Ij a tervezé paraméter megválaztáától függőe S Ij r vagy S Ij h. A fet godolatmeetet felhazálva (6.4) leár egyeletredzerből az elmozdulámező ple kotrollpot zert érzékeyége az alább egyeletredzer megoldáával zámítható: K q N p f Σ K Σ Σ Σ = SIj q. (6.7) Τ I = τ τ j I I 4

44 Az elmozdulámező érzékeyégéek brtokába a fezültégek ple kotrollpot zert érzékeyége meghatározható: $σ c Τ j $σ Τ j N p c k k = S c IjD B q + D B q τ Τ I = N I p k k = S IjD B q + D B q τ Τ I = I j j, (6.8), (6.9) A tökremeetel krtérum érzékeyége A fezültégek érzékeyégéek a meghatározáa utá a tökremeetel krtérum érzékeyége zámítható. Elő lépébe a T trazformácó mátrx egítégével a fezültégeket a réteg ayagtulajdoágaak főráya által meghatározott koordátaredzerbe kell trazformál, majd eze értékekkel a Hll-Ta krtérum érzékeyége: G σ σ σ σ σ σ τ τ = ( σ ) + ( σ ) + + Τ j 0 Τ j 0 0 ( σ ) Τ + j ( τ ) Τ j τ τ τ τ +. Τ + ( τ ) Τ + j ( τ ) j (6.0) 44

45 7. Optmalzálá 7.. A célfüggvéy A tervező zámára az optmalzálá feladathoz zükége egy kválaztott kalár jellemző, amely alapjá az egye tervváltozatok özevethetők é umerkua értékelhetők. Az optmalzálá keréek elegedhetetle feltétele, hogy a kválaztott jellemző függjö a tervezé paraméterektől, vagy a tervezé paraméterek megváltoztatáa hao a kválaztott jellemző értékére. A tervezé folyamat célja a tervezé paraméterek értékéek olya megválaztáa, hogy a kválaztott jellemző a "legjobb" legye. A kválaztott jellemzőt f célfüggvéyek evezzük. A továbbakba a célfüggvéyt mdg mmalzáljuk. Ha a feladat maxmálá, akkor a célfüggvéy az elletettjével (-f) helyetteíthető. Az elkézült programredzerbe a célfüggvéy a forgáhéj térfogata, vagy az alakváltozá eerga lehet. 7.. Az optmalzálá feltételek A tervezedő zerkezettel zembe megfogalmazhatók olya krtérumok, amelyeket vagy a zerkezet geometrájáak, vagy terhelé alatt a mechaka jellemzőkek teljeíteük kell. A krtérumok két coportra ozthatók. Az elő coport a határfeltételek, am azt jelet, hogy a tervezé paraméterek értéke cak egy előre meghatározott tartomáyo belül változhatak. A feltételek mák coportját azok a krtérumok képezk, melyek a zerkezet mechaka tulajdoágara voatkozak, é cak a zerkezet vzgálatok elvégzée utá értékelhetők k. A programredzerbe ez a feltétel az, hogy az elmozduláok em lehetek agyobbak egy adott értékél. 45

46 A zerkezet tökremeeteléek megelőzéére Hll-Ta krtérum került alkalmazára. 7.. Az optmalzálá feladat megfogalmazáa, megoldá módzerek 7... Az általáoított optmalzálá feladat Jelölje a τ [ ] T = τ,, τ N t K az N t tervezé paraméterből előállított vektort, é g ( τ ) j =... N az N f darab feltétel egyelet. Ekkor az optmalzálá feladat: j f m f ( τ ) (7.) g ( τ ) 0 j = K N (7.) j f a f τ τ τ = K N (7.) A fet feladat megoldáára zámo algortmut dolgoztak k ([65],[66]). Általáo etbe, amkor em a célfüggvéy, em a feltételek emleárak, ezek az algortmuok teratív eljáráok Megoldá módzerek Szekvecál leár programozá eeté a emleár feladatot a k-dk lépébe a tervezé paraméter zert orbafejtve é a magaabb redű tagokat elhagyva leár programozá feladat adódk, amely feladat a mplex módzerrel ([67],[68]) megoldható. A következőkbe tárgyalt előredű optmalzáló eljáráok általáoított algortmua az alábbakba foglalható öze:. A kezdet paraméterek megválaztáa ( ) τ 0.. A tervezé paraméterek terébe egy ráy ( d k ) meghatározáa, amely meté a célfüggvéy értéke cökke. Ez általába megkívája a célfüggvéy értékét é ezek tervezé paraméterek zert derváltjat, a feltételek értéket é ezek derváltjat. 46

47 . Az ( ) a k lépéhoz meghatározáát a ( ) d k ráyú egyee meté. 4. A tervezé paraméterek zámítáa a következő lépéhez: τ ( k + ) ( k ) ( k ) ( k ) = τ + a d (7.4) 5. Kovergeca vzgálata, ha em teljeül, k=k+ é vza a. lépéhez. Az algortmu. potjába zereplő ráy meghatározááak legegyzerűbb módja, ha azt a célfüggvéy gradeéből zármaztatjuk, ez a grade módzer. Az ráy zámítáához az előző lépé eredméyet felhazálja a kojugált grade módzer ([]). A feladat megoldáára alkalmazható a zekvecál kvadratku programozá. Ebbe az eetbe mde terácó lépébe egy kvadratku programozá feladatot kell megolda ([69]). A. potba említett lépéhoz meghatározáa egy egyváltozó optmalzálá feladat, melyek megoldáára zámo eljárá mert. A leggyakrabba hazált módzerek: polom llezté, az egyelő tervallumok módzere é az aray metzé. Az elkézült programredzer a VMA Egeerg által kfejleztett programcomagot ([4]) alkalmazza. A programcomagba redelkezére álló ezközök közül (zekvecál leár, kvadratku programozá, é a módoított lehetége ráyok módzere) a példák megoldáa orá az u. módoított lehetége ráyok módzere bzoyult a legcélravezetőbbek. 47

48 8. Özefoglalá Az értekezé célktűzée egy olya magaabb redű modell kdolgozáa volt a vatagág meté rétegelt, zálerőítéű, vékoy, rugalma kompozt forgáhéjakra, amely fgyelembe vez a középfelület ormálá lévő potok ormálra merőlege elmozdulá koordátáak emleár elozláát. A godolatmeet az alakváltozá learzált elméletét é a rugalma tetek leár ayagegyeletét tételez fel. Az elmozdulá- é alakváltozámezőt leíró egyeletek előállítáa é a dfferecáláok elvégzée zmbolku mapulátor egítégével törtét. Az előállított egyeletek zolgálak alapjául a kfejleztett, forgáhéj elemeket alkalmazó végeeleme kódak, amely a geometra leíráára elemekét három comópotot alkalmaz é képe térbel erőredzerrel terhelt forgáhéjak tatka vzgálatára. A kód tarlamazza az aaltku dfferecáláal előállított özefüggéeke alapuló, a tervezé paraméterek változáához tartozó érzékeyég vzgálatok eljáráat. A értekezébe kdolgozott új tudomáyo eredméyek a vékoy, rugalma forgáhéjak learzált zlárdágta elméletéek feltételezéével a következők:. A lemezekre megfogalmazott magaabb redű Reddy-féle modell általáoítáa forgáhéjakra (a héj vatagága meté a potok értő ráyú elmozduláak harmadfokú polommal való közelítée). Az elmozdulámezőbe zereplő meretleek zámát az a damka feltétel cökket, hogy a héj aló é felő palátjá a yírából zármazó cúztató fezültég é alakváltozá zéru. A harmadfokú polom alkalmazáa kküzöböl a Reer-Mdl-féle elméletbe zereplő yírá együttható alkalmazááak zükégeégét.. A fet elmozdulámező alapuló, tetzőlege térbel erőredzerrel terhelt, zálerőítéű, rétegelt, vékoy kompozt forgáhéjak tatka vzgálatára alkalma végeeleme eljárá kdolgozáa. Az eljárá az elmozdulámező közelítéére a 48

49 merdágörbe meté p verzó alakfüggvéyeket, a paralell körök meté Fourerorfejtét alkalmaz.. Algortmu kdolgozáa a végeeleme eljárá özefüggéeek a tervezé paraméterek változáa rát érzékeyége meghatározáára zmbolku mapulátort alkalmazáával. 4. Az egye mechaka jellemzőkek a ple-ok vezérpotja változáa rát érzékeyégéek előállítáa, ha a merdágörge é a vatagág elozlááak leíráa ple-okkal törték. Ezzel a tervezé paraméterek zámáak jelető cökketée valóítható meg. 5. Programredzer kfejleztée a fet végeeleme eljárá é érzékeyég vzgálat alapjá tetzőlege térbel erőredzerrel terhelt zálerőítéű, rétegelt, vékoy kompozt forgáhéjak alakoptmalzálára. A kfejleztett modell, végeeleme eljárá é algortmu alapjá kfejleztett programredzer alkalmazáát a 9. fejezetbe umerku példákkal zemléltet. 49

50 9. Példák 9... példa. Forgáhéj zámítáa Z F R 866 ω r 9.. ábra Az. példa geometrája é terhelée A 9.. ábra három rétegű kompozt héj geometráját é terheléét zemléltet. A geometrát comópot, 5 végeelem írja le. Az ayagjellemzők: E =5 GPa, E = GPa, G =G = 0.5 GPa, G =0. GPa, ν =0.5 A geometra adatok: R=000 mm, h=0 mm,ω = A rétegek:[0/90/0]. A terhelé: F=500 kn/m A peremfeltétel: a Z=0 helye befalazá (u 0 =v 0 =w 0 = β 0 = θ 0 =0), a Z=866 mm helye zabad perem, a 9.. ábra zert adott terheléel. A megoldá orá az elmozdulámezőt approxmáló függvéyek fokzáma (p) -től 8- g változott. A 9.. táblázat tartalmazza a felő paralell kör potjaak axál elmozdulá koordátáját (w 0 ) külöböző p értékek eeté. A táblázat tartalmazza a R-M é az értekezébe bemutatott héjmodellel zámított eredméyeket. 50

51 9.. táblázat w 0 [mm] p Jele modell R-M példa. A kapcolt cavará feladat Z F L R r 9.. ábra. A. példa geometrája é terhelée A 9.. ábrá látható, egyetle rétegből álló heger geometra adata a következők: L= 000 mm, R= 50 mm, h= 5 mm. Az erő: F= 666 N/m. A kompozt héj ayagjellemző: E = 6 Gpa, E = 8 Gpa, G = 4.4 Gpa, G = 4 GPa, G = 4.4 GPa, ν = 0.5. Az alkalmazott peremfeltételek: a Z= 0 helye v 0 = w 0 = 0, a Z=L helye zabad perem adott terheléel. 5

52 A zálak ráyát a feladat megoldáa orá 0 0 é 60 0 között változtatjuk. A zámítáok elvégzéére a geometrát 5 leár (p=) elem írja le. A 9..ábrá a Z=L koordátájú potok egye elmozdulá koordátá láthatók zálak ráyáak a függvéyébe. 0, u koordáta -x- v koordáta - - w koordáta elmozdulß-koordßtßk [mm] 0,5 0, 0,05 0-0, , zálak ráya 9.. ábra. Az Z=L koordátájú potok elmozdulá-koordátá a zálráy függvéyébe 9... példa. Nemforgázmmetrku terhelé Vízzte tegelyű folyadékkal (űrűég: 9800 N/m ) töltött rétegelt kompozt tartály vzgálatát mertet a [7] rodalom a dzkrét Krchhoff hpotéze alapuló háromzögelemek alkalmazáával, a geometra leíráára 90 elemet hazáltak é 566 zabadágfokú feladatot oldottak meg. A tartály.5 m hozú,0.5 m ugarú heger. Az ayagtulajdoágok E =6 GPa, E =8 GPa, G =G = 4.4 GPa, G =4 GPa, ν =0.5 A rétegred [α/-α/α/-α/α/-α/-α/α/-α/α/-α/α]. A zámítáok orá az ayagtulajdoágok ktütetett ráya (α) é a heger tegely által bezárt zög külöböző értéke mellett a középő kereztmetzet aló potjáak elmozduláát zemléltet a 9.4. ábra. A feladatot 5 (p=8) elem alkalmazáával oldottuk meg, az eredméyeket a 9.4. ábra zemléltet. 5

53 Radál elmozdulá (µm) Jele modell Mota Soare [7] Az ayagtulajdoágok ktütetett ráya é a heger tegelye által bezért zög ( ) 9.4. ábra. A tartály középő keretmetzetéek legagyobb radál elmozduláa az ayagtulajdoágok ktütetett ráya é a heger tegelye által bezárt zög külöböző értéke mellett példa. Érzékeyég vzgálat A 9.5. ábrá látható a feladat geometrája é a terhelé. A peremfeltételek: Z=L helye befalazá (u 0 =v 0 =w 0 =β 0 =θ 0 =0), Z=0 helye zabad perem adott radál terheléel. A Love-Krchhoff feltételezéel a feladatak zárt alakú megoldáa mert: u Q = µ D e 0 µ z co µ z, (9.) ahol ( ν ) µ = R h 4 (9.) 5

54 é Eh D = ν ( ). (9.) Z L Q Q r Q R 9.5. ábra. A. példa geometrája A geometra adatok, a terhelé é az ayagjellemzők: R= 000 mm, h= 0 mm, L= 600 mm, Q= 80 N, E= 00 GPa, ν= 0.. A zámítáok orá 5 parabolku (p=) elemet alkalmaztuk. A 9.6. ábra a zártalakú é a jele modell egítégével zámított radál elmozduláokat (u 0 ) mutatja a heger hoztegelye meté. 54