Gergely Arpad Laszlo

Átírás

1 KENYSZERES DINAMIKAI RENDSZEREK I Gergely Arpad Laszlo TARTALOM I. Bevezetes ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 2 II. A kenyszeres dinamikai rendszerek Lagrange elmelete ::::::::::::::::::::4 III. A kenyszeres dinamikai rendszerek Hamilton elmelete ::::::::::::::::::::7 III.a. Els}odleges kenyszerek, gyenge es er}os egyenl}oseg :::::::::::::::::::7 III.b. Legendre transzformacio, masodlagos kenyszerek :::::::::::::::::: 9 III.c. A kenyszerek uj osztalyozasa: els}o es masodosztalyu kenyszerek ::: III.d. A teljes es b}ovtett Hamilton fuggveny, a Dirac zarojel ::::::::::::3 IV. Elektrodinamika ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 5 IV.a. Kovarians targyalas ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::5 IV.b. Kanonikus targyalas :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::6 IV.c. Redukalt fazister el}oalltasa a szabadsagi fokok kivalasztasaval :::: 8 IV.d. Redukalt fazister el}oalltasa mertek tpusu kenyszerek segtsegevel : 9 Ajanlott irodalom ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::2 2

2 I. Bevezetes A klasszikus mechanika ritkan tapasztalt matematikai eleganciaju es hatekonysagu tudomanyterulette fejl}odott Lagrange, Hamilton, D'Alembert, Jacobi, Noether es masok munkassaga nyoman. A szazadunkban vizsgalt dinamikai rendszerek jelent}os resze azonban nem helyezhet}o el a klasszikus keretek kozott, gy szuksegesse valt a kenyszeres rendszerek dinamikajanak kidolgozasa. A kovetkez}okben roviden megkiserlem felvazolni a problema jelleget. Tekintsuk a Lagrange-fuggvenyekkel jellemzett dinamikai rendszereket. Kepezzuk a Lagrange-fuggvenyek altalanostott sebessegek szerinti masodik id}oderivaltjaibol allo matrixot. Ha ez a matrix szingularis, a dinamikai rendszert szingularisnak fogjuk nevezni. A klasszikus pontrendszerek mechanikajaban csak nagyon mesterkelt peldakat lehet talalni szingularis rendszerekre, gy a szokvanyos tananyagban nem is szerepel ez az eset. Ha viszont atterunk a pontrendszerek relativisztikus, illetve a mez}okkel valo lerasra, kiderul, hogy ilyen tpusu * a szabad relativisztikus reszecske Lagrange-s}ur}usege * az elektromagneses Lagrange-s}ur}useg *az altalanos relativitaselmeletben a gravitacio Lagrange-s}ur}usege *es az osszes fermiont lero Lagrange-s}ur}usegek Ezekben, a zikai szempontbol rendkvul fontos esetekben a Lagrange fuggveny szingularis jellege miatt az Euler-Lagrange egyenletek egyresze nem a mechanikaban megszokott masodrend}u dierencialegyenlet, aminek kovetkezmenyekent akezdeti ertekek megadasa eseten is csak tetsz}oleges fuggvenyek erejeig meghatarozott a megoldas. Ugyanakkor a Hamilton-formalizmusra valo atteres megszokott modja lehetetlenne valik. Ezen dinamikai rendszerek Hamilton formalizmusat gy a szokasostol elter}oen kell felepteni. A Hamilton formalizmusban adodo problemak megoldasa nelkul a kvantalas kanonikus utja jarhatatlan. Mindezekb}ol lathato, hogy a kenyszeres rendszerek dinamikajanak tanulmanyozasa rendkvuli fontossaggal br. Az ilyen rendszereket els}okent Dirac tanulmanyozta es kidolgozta a Dirac-zarojelek modszeret. Kesobb tokeletestettek 3

3 az eljarast es atemakorr}ol jelenleg rendkvul jo, angol nyelv}u konyvek allnak rendelkezesre. A szingularis rendszerek kozos jellemz}oje, hogy dinamikai kenyszerekkel rendelkeznek. A kenyszerek egyreszt megkotest jelentenek a kezdeti adatok lehetseges ertekeire, masreszt a dinamikai valtozok id}obeli fejl}odesenek egyertelm}useget sem teszik lehet}ove (egy kezd}oallapot tobb vegallapotba fejl}odhet). Mindez osszefugg a mertektranszformaciok jelenletevel. Kulonbseget kell tenni ketfele kenyszer: a mertekelmeletekben fellelhet}o kenyszerek, illetve a parameteres elmeletekben fellelhet}o kenyszerek kozott. El}obbiekben a kenyszer a fazisterben olyan fejl}odest general, mely ekvivalens allapotok soran visz vegig. Aparameteres elmeletek eseteben ez nem igaz: maga akenyszer generalhatja az id}ofejl}odest. Peldakent megemlthet}o, hogy a gravitacio dinamikaja egyetlen, hamiltoninak nevezett kenyszerben testesul meg. Ezenkvul tovabbi harom kenyszer is jelen van, ezek a mertekelmeletek kenyszereihez hasonlatosak: ekvivalens allapotokba valo fejl}odest generalnak. Az e teren fellelhet}o problemak kozul sok jelenleg meg kutatas targyat kepezi. A dolgozatban attekintjuk a kenyszeres dinamikai rendszerek altalanos Lagrange es Hamilton elmeletet. Alkalmazaskent az elektromagneses mez}ot targyaljuk, mint a legegyszer}ubb mertekelmeletet. Terjedelmi okoknal fogva parameteres elmeletekr}ol itt nem esik szo, valamint abevezet}oben emltett egyeb alkalmazasokrol sem. A kovetkez}okban tobb helyen is az Einstein fele osszegzesi konvenciot hasznaljuk: ha egy index egy kifejezesben ketszer ismetl}odik, egyszer also, egyszer meg fels}o indexkent, osszegezni kell ezen index szerint. A szerz}o koszonetet fejezi ki a Magyar Fels}ooktatasert es Kutatasert Alaptvanynak, melynek tamogatasaval ez az ras elkeszulhetett, valamint Dr. Benedict Mihalynak a kezirat atolvasasaert. 4

4 II. A kenyszeres dinamikai rendszerek Lagrange elmelete Ebben a paragrafusban az L(t q i _q i ) Lagrange-fuggvennyel jellemezhet}o kenyszeres dinamikai rendszerek altalanos elmeletet ismertetem. Az n darab altalanostott koordinata szerinti varialasbol szarmazo n darab Euler-Lagrange egyenlet reszletesen a kovetkez}o alakban rhato: 0 ; = i _q j +q _q _q i (2:) = V i (t q i _q i ) ; W ij (t q i _q i )q j Itt V es W a gyorsulasoktol nem fugg}o mennyisegek. Ha W matrix invertalhato, az egyenletrendszer olyan alakra hozhato, amelyben mindegyik gyorsulas kulon egyenletben szerepel. A Lagrange fuggvenyt akkor nevezzuk szingularisnak, ha: det(w ij 2 _q _q j Bar ez a klasszikus mechanikaban ritkan fordul el}o, =0 (2:2) a bevezet}oben felsorolt valamennyi kenyszeres dinamikai rendszer Lagrange fuggveny szingularis. tovabbiakban az egyszer}useg kedveert az id}ofuggest}ol eltekintunk (explicit id}ofugges eseten hasonloak a levezetesek). A Amennyiben rang W = R < n, a W matrixnak letezik (n ; R) darab nulla sajatertekhez tartozo sajatvektora, jelolje ezeket (r) r = n; R. (r)i W ij =0 (2:3) A (2.) Euler-Lagrange egyenleteket (r) -rel szorozva gy (n ; R) darab olyan osszefuggeshez jutunk, melyek nem tartalmaznak gyorsulasokat, gy ezek Lagrange-kenyszerek: (r) := (r)i V i =0 (2:4) Ezen egyenletek tulajdonkeppen az Euler-Lagrange egyenletek linearis kombinacioi, melyek nem a mechanikaban megszokott masodrend}u dierencialegyenletek, hanem vagy els}orend}uek, vagy pedig algebrai egyenletek. Lattuk, hogy a Lagrange-fuggveny szingularis volta es a dinamika kenyszeres jellege osszefuggenek egymassal. A kenyszerekr}ol azonban meg tavolrol sem mondtunk el mindent. 5

5 A (2.4) kenyszerek ismereteben ismet meg kell vizsgalni W rangjat. Amenynyiben ez kisebb R-nel, az eljarast meg kell ismetelni es gy ujabb kenyszerekhez juthatunk. Ezek elvben ismet csokkenthetik W rangjat, stb. Az ezzel az eljarassal el}oalltott kenyszereket nevezz}ok els}o generacios Lagrange kenyszereknek. A kovetkez}okben ezeket (I) -nek jeloljuk. Akenyszereket algebrai uton kombinalva egymassal, csak a koordinataktol fugg}o (A-tpusu), illetve a sebessegekt}ol is fugg}o (B-tpusu) osszefuggeseket nyerhetunk: A-tpusu : (A) (q) =0 (2:5) B-tpusu : (B) (q _q) =0 Az A-tpusu kenyszerek kozott el}ofordulhatnak azonossagok is. Tekintsunk peldaul egy n koordinataval jellemzett dinamikai rendszert, amelynek az Euler-Lagrange egyenleteib}ol egy azonossag kombinalhato ki. Emiatt az id}ofejl}odest (n ; ) egyenlet hatarozza meg, melyek kovetkez}o alakra hozhatok: q i =q i (q ::: q n; _q ::: _q n; q n _q n q n ) i = ::: n ; (2:6) A rendszer megoldasaban q n nyilvanvaloan tetsz}oleges fuggvenykent jelenkezik. Igy a rendszer id}ofejl}odese nem egyertelm}u akezdeti feltetelek megadasa eseten sem. Tegyuk ehhez hozza, hogy altalaban a kenyszerek miatt mar a kezd}ofeltetelek sem valaszthatok meg tetsz}olegesen, hanem csak ugy, hogyakenyszerek ne seruljenek. Mindezek jellemz}o tulajdonsagai a mertekelmeleteknek. Az els}o generacios kenyszerek A es B tpusu kenyszerekre valo szetvalasztasara mindossze azert volt szukseg, mert az A tpusu kenyszerek els}o id}oderivaltja nem tartalmaz gyorsulasokat, gy szinten kenyszer. A derivalassal el}oalltott kenyszereket masodik generacios Lagrange kenyszereknek nevezzuk. Ezek, illetve linearis kombinacioik lehetnek szinten A es B tpusuak. Uj A tpusu kenyszerekb}ol derivalassal ujabb kenyszerek nyerhet}ok, stb. Az eljarast mindaddig ismeteljuk, mg az osszes A tpusu kenyszer id}oderivaltja el}oall B tpusu kenyszerek linearis kombinaciojakent. A B tpusu kenyszerek id}oderivaltja gyorsulasokat tartalmaz, gy vagyamar meglev}o Euler- Lagrange egyenletek kombinacioja, vagy pedig uj dinamikai egyenlet. A kenyszerek 6

6 id}oderivaltjanak elt}uneset azert kell megkovetelni, mert a kenyszereknek nem csak kezdetben, hanem minden pillanatban teljesulniuk kell. A Lagrange formalizmusban tehat az els}o, illetve masodik generacios, illetve A es B tpusu osztalyozasok keresztezeseb}ol a kovetkez}o tpusu kenyszerek adodnak: (I A) (I B) (II A) (II B) : (2:7) Elvben az A tpusu (holonom) kenyszerek a konguracios ter megfelel}o sz}uktesevel kikuszobolhet}ok. Vegul nehany megjegyzes: i. A Lagrange fuggveny szingularis jellege a valasztott koordinatarendszert}ol fuggetlen alltas. ii. A Lagrange fuggveny szingularis jellege miatt a Hamilton formalizmusra valo atteres szokasos modja jarhatatlan. Ugyanis p i (q j _q _q i (2:8) egyenletek akkor es csakis akkor invertalhatok a _q sebessegekre nezve, ha det(w ) 6= 0, vagyis a rendszer nem szingularis. Ellenkez}o esetben valamennyi sebesseg nem fejezhet}o ki a kanonikus valtozok segtsegevel. iii. Fordtva, ha a Hamilton-formalizmusbol szeretnenk visszaterni a Lagrange formalizmushoz, a _q osszefuggeseket kell invertalni az impulzusokra nezve. ha 2 j (2:9) Ez akkor lehetseges, 6= 0 (2:0) teljesul. Belathato azonban, hogy ez utobbi koordinatarendszer fugg}o alltas. Minden Hamilton fuggveny szingularissa tehet}o alkalmas kanonikus transzformacioval. 7

7 III. A kenyszeres dinamikai rendszerek Hamilton elmelete III.a. Els}odleges kenyszerek, gyenge es er}os egyenl}oseg Az eddigiekb}ol kiderult, hogy a szingularis rendszerek Hamilton elmeletet nem lehet a szokasos modon felepteni. A megfelel}o Hamilton formalizmust az ebben a paragrafusban bemutatasra kerul}o Dirac-Bergmann algoritmus segtsegevel nyerhetjuk. Az el}oz}o paragrafusban mar lattuk azt, hogy a szingularitas (2.2) feltetelenek teljesulese eseten az impulzusok (2.8) kifejezesei csak reszben invertalhatok a sebessegekre nezve. A reszben vegrehajtott invertalas eredmenye: _q = (q i p _q A ) i = n = R p B = B (q i p ) A B = R + n (3:) Itt feltettuk, hogy a koordinatak alkalmas atrendezesevel pontosan az els}o R darab sebesseg fejezhet}o kiakanonikus valtozok es a tobbi sebesseg fuggvenyeben. (3.) masodik osszefuggesevel kapcsolatosan vegyuk eszre, hogy a sebessegekre nezve nem invertalhato (n ; R) egyenlet nem tartalmazhatja _q A -kat, ellenkez}o esetben ezek is kifejezhet}ok lennenek, gy rang(w ) > R lenne. A vizsgalt (n ; R) egyenlet tehat csak _q -kat tartalmaz, de ezek kikuszobolhet}ok (3.) els}o relacioinak segtsegevel. Az (n ; R) darab B := p B ; B (q i p )=0 (3:2) osszefuggesek els}odleges hamiltoni kenyszerek. Ezek a fazisteren egy feluletet hataroznak meg, az un. kenyszerfeluletet (). A hamiltoni kenyszereket -vel jeloljuk, a -vel jelolt Lagrange fuggvenyekt}ol valo megkulonboztetes celjabol. Akovetkez}okben bevezetjuk ezen kenyszerfeluletekhez kapcsolodo gyenge, illetve er}os egyenl}osegek fogalmat. Ket fuggveny, f es g gyengen egyenl}o, ha a kenyszerfeluletek pontjain azonos ertekeket vesznek fel: f(q p)g(q p) (3:3) Ket fuggveny, f es g er}osen egyenl}o, ha gyengen egyenl}oek es a 8

8 kenyszerfeluleten a gradienseik is egyenl}oek: 0 f(q p)g(q p) f(q @f @g Alltas: (fg) ) f ; g B bizonytas: tekintsunk -n ket innitezimalisan kozeli pontot. A ket pont koordinatainak kulonbsegei (3.2) kenyszerek miatt nem fuggetlenek: (3:5) Amennyiben f g, ugy (3.6) miatt f kovetkez}okeppen rhato: q i p p i q p (3:6) fg (3:7) f q B pb @q B q i @p B (3:8) Hasonlo kifejezes rhato fel g -re is. Mivel q i es p egymastol fuggetlenek, (3.7)- b}ol ketfele gyenge egyenl}oseg (3:9) amelyek (3.2) kenyszerek segtsegevel f @q B g B f @p g ; B Vegul eszrevesszuk, hogy utobbi egyenl}osegben az -t}ol R-ig futo index i = n indexre cserelhet}o, mert az (R + )-t}ol n-ig futo indexek eseteben (3.0) mindket oldala A f f B B 0 9

9 Q.E.D. Az el}obb bizonytott alltasnak van egy fontos kovetkezmenye. fuggvenyt nullanak valasztjuk: ; f 0 ) B Ha a g (3:2) vagyis a gyengen elt}un}o fuggvenyek a kenyszerek linearis kombinacioi! Megjegyezzuk meg, hogy a gyenge egyenl}osegeket csak a szamolasok legvegen szabad felhasznalni. Tehat a Poisson zarojeleket is az egesz fazisteren szamoljuk es csak ezutan sz}uktjuk le ertekuket a kenyszerfel}uletre. III.b. Legendre transzformacio, masodlagos kenyszerek Az impulzusoknak a sebessegekre nezve csak reszben lehetseges invertalhatosaga folytan a Legendre transzformacio vegeredmenye egy "hibrid", koordinataktol, impulzusoktol es sebessegekt}ol egyarant fugg}o kifejezes, amit a tovabbiakban kanonikus Hamilton fuggvenynek nevezunk: H C (q i p _q A )=p i _q i ; L(q _q) (3:3) Alltas: o H C = H C (q i p ) 2 o _q 3 o _p i = i ; A +_q i (3:4) bizonytas: felhasznalva _q es p A (3.) kifejezeseit a kanonikus Hamilton fuggveny (3.3) kifejezeseben, majd rendre a valtozoi szerinti parcialis derivaltakat C _q A A =_q i A +_q i! _q 0 ; A (3:5)

10 Az alltas els}o es masodik resze ezzel bizonytast nyert, a harmadik reszhez az impulzusok deniciojat, az Euler-Lagrange egyenleteket valamint (3.5) els}o egyenletet hasznaljuk: Q.E.D. _p i = _q i = i +_q i (3:6) Erdekes kovetkezmenye az el}obbi alltasnak, hogy a kanonikus Hamilton fuggveny csak a kenyszerfeluleten ertelmezett, mivel p B -t}ol nem, hanem csak (q i p )-tol fugg, es a p B valtozok csak a kenyszerfeluleten fejezhet}ok ki utobbiak fuggvenyeben. Mivel az egesz fazisteren ertelmezett Poisson zarojeleket kell hasznalnunk, celszer}u H C helyett egy valamilyen, az egesz fazisteren ertelmezett H Hamilton fuggvenyt hasznalni, amely H C -vel er}osen egyenl}o. Egyeb kikotes H-ra nincs, ez tulajdonkeppen tehat H C -nek tetsz}oleges kiterjesztese az egesz fazisterre. A kiterjesztes azert tetsz}oleges, mert a zikai tortenesek mindenkeppen akenyszerfeluleten zajlanak. A (3.5), (3.6) kanonikus egyenletek a (3.2) kenyszerek segtsegevel kovetkez}o alakra A _p i ; _q i (3:7) Az index az els}o egyenletben i-re valtoztathato, mert i = A esetekben mindket oldal _q A. Vezessuk be az els}odleges Hamilton fuggvenyt: H P = H + B _q B (3:8) Segtsegevel a kanonikus egyenletek a megszokott alakban rhatok: _q i _p i i = fq i H P g = fp i H P g (3:9) Agyakorlatban az els}odleges Hamilton fuggvenyben H helyett H C -t hasznalhatjuk.

11 Tetsz}oleges fuggveny id}ofejl}odeset gy df _q i i adja i = ff H P g (3:20) Az egesz fazisteren ertelmezett Poisson zarojelek hasznalatanak ara az, hogy a mozgasegyenletek gyenge egyenl}osegek, a kanonikus Hamilton fuggveny helyett pedig az els}odleges Hamilton fuggveny szerepel. Akarcsak a Lagrange formalizmusban, itt is biztostani kell azt, hogy a kenyszeregyenletek minden id}opontban teljesuljenek: 0 _ A = f A H P g = f A Hg +_q B f A B g (3:2) Ezen egyenletek vagy (gyenge) azonossagok, vagy meghatarozzak az ismeretlen _q A -k valamelyiket, vagy pedig uj kenyszerek. Utobbi esetben az id}oderivalast meg kell ismetelni, stb. Az gy el}oalltoott kenyszereket masodlagos hamiltoni kenyszereknek nevezzuk. Az eljaras soran az ismeretlen _q B egyutthatok egy resze meghatarozotta valhat. Bizonytas nelkul jegyezzuk meg, hogy az els}o generacios Lagrange kenyszerek az els}odleges hamiltoni kenyszerek id}oderivaltjainak linearis kombinacioi. Letezik, egy ezidaig meg helytallo sejtes is, miszerintazosszes Lagrange kenyszer ismereteben az osszes hamiltoni kenyszer kovetkezmenykent el}oall. III.c. A kenyszerek uj osztalyozasa: els}o es masodosztalyu kenyszerek A hamiltoni kenyszerek els}odleges, illetve masodlagos jellege nem annyira fontos, mint az ebben a paragrafusban bevezetend}o osztalyozasuk. Egy hamiltoni kenyszert els}oosztalyunak nevezunk (I), ha: f (I) B g0 (3:22) az osszes B-re. Akenyszert masodosztalyunak nevezzuk (II), ha (3.22) nem teljesul. A hamiltoni kenyszerekre a kovetkez}o jeloleseket vezetjuk be: els}oosztalyu els}odleges kenyszer : (I ) els}oosztalyu masodlagos kenyszer : masodosztalyu els}odleges kenyszer : masodosztalyu masodlagos kenyszer : 2 (I 2) (II ) (II 2) (3:23)

12 A (3.20) kanonikus egyenletekben szerepl}o (3.8) els}odleges Hamilton fuggveny tartalmazza az els}odleges kenyszerek sebessegekkel vett linearis kombinaciojat. Az uj osztalyozas ismereteben ez a kifejezes kovetkez}okeppen reszletezhet}o: _q B B = u C (I ) C + v c (II ) c (3:24) Itt a nagybet}us indexek az els}oosztalyu, a kisbet}usek pedig masodosztalyu kenyszerek szerinti osszegzeseket jelolik. Az els}odleges, illetve masodlagos kenyszerek id}omegmaradasa kovetkez}okeppen rhato: f (I ) D Hg0 f (II ) d f (I 2) D Hg0 f (II 2) d Hg + v c f (II ) d Hg + v c f (II 2) d c (II ) c (II ) g0 g0 (3:25) Mivel az u C egyutthatok elt}untek az egyenletekb}ol, ezek meghatarozasa mar nem lehetseges, gy tetsz}oleges fuggvenyek maradnak. A megoldasban szerepl}o tetsz}oleges fuggvenyek szama gy megegyezik az els}odleges els}oosztalyu kenyszerek szamaval. Konnyen belathato az, hogy a masodosztalyu kenyszerek egymassal vett Poisson zarojeleib}ol alkotott matrix regularis a kenyszerfeluleten. (Ellenkez}o esetben amasodosztalyu kenyszerek valamilyen linearis kombinacioja els}oosztalyu kellene hogy legyen, ami nem lehetseges.) Ez a matrix, mivel antiszimmetrikus, paros dimenzioju kell legyen, gy a masodosztalyu kenyszerek mindig paros szamban fordulnak el}o. Mivel a masodosztalyu kenyszerek egymassal vett Poisson zarojeleib}ol alkotott matrix invertalhato, (3.25) masodik es negyedik egyenleteb}ol: v c ;f (II ) (II) g ; cd f (II) d Hg f (II 2) (II) g ; cd f (II) d Hg0 (3:26) osszefuggesek adodnak. Ezeket majd a mozgasegyenletek egyszer}ubb alakban valo rasara hasznaljuk. 3

13 III.d. A teljes es b}ovtett Hamilton fuggveny, a Dirac zarojel Az id}ofejl}odest jellemz}o (3.20) gyenge egyenl}oseg (3.24) es (3.26) felhasznalasaval kovetkez}o alakot olti: df dt ff Hg + uc ff (I ) C g;ff (II) c gf (II) (II) g ; cd f (II) d Hg (3:27) Erdekes modon a masodosztalyu kenyszerek kozul ugy az els}odlegesek, mint a masodlagosak szerepelnek a fenti osszefuggesben, mg az els}oosztalyuak kozul csak az els}odlegesek. A (3.27) osszefugges egyszer}ubb alakjat nyerjuk a teljes Hamilton fuggveny bevezetese utan: H T = H + u C (I ) C (3:28) Dirac javasolta, hogy az els}odleges es masodlagos els}oosztalyu hamiltoni kenyszerek egyenranguan szerepeljenek egy b}ovtett Hamilton fuggvenyben: H E = H T + w C0 (I 2) C 0 (3:29) Jelenleg a kulonboz}o szerz}ok velemenyei elternek abban, hogy a teljes vagy pedig a b}ovtett Hamilton fuggvenyt kell-e hasznalni a dinamikai egyenletekben. A ketfele nez}opont szerint az is kulonbozik, hogy mit nevezhetunk meggyelhet}o menynyisegnek. Egy F meggyelhet}o mennyisegr}ol ugyanis joggal varjuk el azt, hogy klasszikus mereskor az elmelet alapjan megjosolhato erteket vegyen fel. Ez a feltetel azonban nem teljesulhet, ha az F id}ofejl}odeset lero egyenlet tetsz}oleges fuggvenyeket tartalmaz. Attol fugg}oen, hogy az egyenletben melyik Hamilton fuggveny szerepel, ezen fuggvenyek szama is valtozhat. Altalanosan elfogadott kriteriuma egy mennyiseg meggyelhet}osegenek az, hogy a teljes, illetve a b}ovtett Hamilton fuggvennyel vett Poisson zarojele legyen gyengen elt}un}o. Megjegyezzuk, hogy az eddig bevezetett Hamilton fuggvenyek: H C H H P H T es H E mind megegyeznek a kenyszerfeluleten. Vezessuk be a Dirac zarojel fogalmat: ff gg D = ff gg;ff c (II) gf (II) (II) g ; cd f (II) d gg (3:30) 4

14 Ennek segtsegevel a (3.27) dinamikai egyenlet df dt ff H P g = ff H T g D (3:3) alternatv alakokban rhato. A Dirac zarojel tulajdonkeppen egy altalanostott Poisson zarojel, vagyis a fundamentalis zarojelek megszokott ertekeit}ol eltekintve apoisson zarojel osszes tulajdonsagaval rendelkezik: -antiszimmetrikus - linearis mindket argumentumaban - ha egyik fuggveny allando, a Dirac zarojel nulla -ervenyes a Jacobi azonossag - szorzat Dirac zarojele: ffg hg D = ffg hg D + ff hg D g - a masodosztalyu kenyszerek tetsz}oleges fuggvennyel vett Dirac zarojele nulla. Az utobbi tulajdonsag fontossaga abban rejlik, hogy a masodosztalyu kenyszerek mar a Dirac zarojelek szamolasa el}ott nullava tehet}ok, szemben a Poisson zarojelekkel. Igy a masodosztalyu kenyszerek megoldasara lehet torekedni, amivel a fazister dimenzioja csokkenthet}o. Mivel a masodosztalyu kenyszerek paros szamban fordulnak el}o, a redukalt fazister paros dimenzioja biztostva van. 5

15 IV. Elektrodinamika A Maxwell egyenletek talan a legismertebb kenyszeres dinamikai rendszert rjak le. Ebben a reszben az el}oz}o ket fejezetben ismertetett altalanos elmeletet fogjuk alkalmazni az elektromagneses mez}o esetere. IV.a. Kovarians targyalas Jol ismert, hogy a vakuumbeli Maxwell egyenleteket megado hatas: Z I[A :: A 4 ]= d 4 xf ab (x)f ab (x) (4:) ahol a kanonikus koordinatak az A a =( A )askalar es vektor potencialokbol kepezett negyespotencial komponensei, F ab a A b b A a az elekromagneses tertenzor es az indexeket ab = diag(; ) Minkowski metrikaval, illetve ab = diag(; ) inverz metrikaval huzzuk le es fol. A latin indexek 0-tol 3-ig, a gorog indexek -t}ol 3-ig futnak. Az elektromos, illetve magneses mez}ok: E := F 0 A 0 0 A = ;@ ; _ A B := 2 F A (4:2) Vektor jelolesmodban fenti egyenletek a terer}ossegek jolismert kifejezeset adjak a potencialok fuggvenyeben. ~E = ;grad ; _ ~ A ~ B = rot ~ A (4:3) Az F ab illetve ~ E ~ B deniciojanak kovetkezmenye amaxwell egyenletek [c F ab] =0 illetve _~B = ;rot ~ E div ~ B =0 (4:4) melyek gy azonossagok. Fenti kepletben a szogletes zarojel az osszes index szerinti antiszimmetrizaciot jelenti. A (4.) hatas variacioja szolgaltatja a fennmarado Maxwell b F ba =0 div ~ E =0 illetve _~E = rot ~ B (4:5) 6

16 Lathato, hogy ezen egyenletek nem valtoznak meg, ha a potencialokat A a! A 0a = A a a (4:6) tetsz}oleges fuggvennyel kepezett mertek transzformacionak vetjuk ala. IV.b. Kanonikus targyalas A kanonikus targyalasmod lenyege, szemben a kovarians targyalasmodal az, hogy az id}okoordinatat megkulonboztetetten kezeli. Ez mindannyiszor szukseges, ha id}ofejl}odest tanulmanyozunk. Tekintsuk els}okent a Lagrange formalizmus kanonikus targyalasat. A (4.4) Maxwell egyenletek reszletesen a kovetkez}o alakban rhatok: a =0: 0=A (div A)=div ~ E ~ (4:7) a = : 0=; A +A div A ~ A 0 Mivel az els}o egyenletben nem fordul el}o masodik id}oderivalt, ez els}o generacios B-tpusu Lagrange kenyszer. A masodik egyenlet dinamikai egyenlet. A harmadik fejezetben lert altalanos eljaras segtsegevel is megtalalhatjuk a kenyszert, kovetkez}okeppen. W ab = diag(0 ) matrix szingularis, a nulla sajatertekhez tartozo sajatvektora = ( 0 0 0), melynek segtsegevel kepezett Lagrange kenyszer pontosan (4.7) els}o egyenlete. Ez a kenyszer nem mas, mint Gauss torvenye vakuumban. Mivel a kenyszer minden pillanatban kell hogy teljesuljon., megkoveteljuk az id}oderivaljanak az elt}uneset. Err}ol azonban belathato, hogy azonossag. Igy kenyszeres szempontbol az elektrodinamika az egyszer}ubb elmeletek koze tartozik, mindossze egy Lagrange kenyszerrel rendelkezik. (Egeszen pontosan a kenyszerek szama, mivel itt mar mez}okkel kell dolgozni, azaz minden pontban van egy kenyszer.) Bizonytas nelkul jegyezzuk meg, hogy a Gauss kenyszer a mertek invariancia kovetkezmenyekent egy un. altalanostott Bianchi azonossagkent is el}oall. Akovetkez}okben az elektrodinamika Hamilton formalizmusat vizsgaljuk. Az impulzusok: a = F 0a azaz 0 =0 = A _ A 0 (4:8) 7

17 Mint ahogyan az varhato volt, az altalanostott sebessegek kozul csak _ A fejezhet}ok ki a kanonikus valtozok segtsegevel, es talaltunk egy els}odleges Hamilton kenyszert is: () := 0 0 (4:9) A kanonikus Hamilton fuggveny (egy teljes divergencia elhagyasa utan): H C = Z d 3 x 2 ; A + 4 F F (4:0) Az els}odleges Hamilton fuggveny pedig: H P = H C + Z d 3 xu (x) 0 (x) (4:) Az els}odleges kenyszer id}oderivaltja: 0f () H P g = (2) (4:2) egy masodlagos kenyszer, ami nem mas, mint az (4.7)-ban felrt Gauss kenyszer. Ezen kenyszer id}oderivaltja azonossag. Igy a Hamilton formalizmusban mindossze ket kenyszer van. Mivel f () (2) g =0 (4:3) mindket kenyszer els}oosztalyu. Masodosztalyu kenyszerek hianyaban a Dirac es Poisson zarojelek kozott nincs kulonbseg. A megoldasban az egy darab els}odleges els}oosztalyu kenyszernek megfelel}o tetsz}oleges fuggveny szerepel majd. A potencialok egyertelm}u meg nem hatarozottsaga megint csak a mertek invariancia kovetkezmenye. A teljes es a b}ovtett Hamilton fuggvenyek: Z H T = H C + d 3 xu (x) 0 (x) =H P Z (4:4) H E = H C + d 3 x u (x) 0 (x) + u 2 (x)@ (x) Afazister dimenzioja 2 4 = 8. Mivel ket els}oosztalyu kenyszer van, a redukalt fazister dimenzioja 8 ; 2 2 = 4 = 2 2, azaz valojaban csak ket szabadsagi foka van az elektromagneses mez}onek. A szabadsagi fokok megkeresese 8

18 ketfelekeppen is tortenhet, ezeket tekintjuk at vazlatosan a kovetkez}o ket paragrafusban. IV.c. Redukalt fazister el}oalltasa a szabadsagi fokok kivalasztasaval Helmholtz nevehez f}uz}odik az az alltas, miszerint minden ~ A vektormez}o (egy allando vektor erejeig) egyertelm}uen bonthato fel egy forrasmentes (divergenciamentes) es egy orvenymentes (rotaciomentes) vektorra: A = A T + A T A L =0! AL (4:5) A reszletes szamolasok elvegzesevel belathatjuk a kovetkez}oket: a. A tranzverzalis modusok fundamentalis Poisson zarojelei: fa T (x) T (y)g x 0 =y 0 = (~x ; ~y) fa T (x) L (y)g x 0 =y 0 =0 fat (x) 0(y)g x 0 =y 0 =0 (4:6) fa L (x) T (y)g x 0 =y 0 =0 fa 0(x) T (y)g x 0 =y 0 =0 b. A T meggyelhet}o mennyisegek, mert: fa T () g x 0 =y 0 = fat (2) g x 0 =y0 =0 (4:7) c. A 0 nem meggyelhet}o mennyiseg, mert: fa 0 () g x 0 =y 0 = fa 0 0 g x 0 =y0 = (~x ; ~y) 6= 0 (4:8) d. vegul A L szinten nem meggyelhet}o mennyiseg, mivel (4.8) masodik egyenleteb}ol _ A L =L A 0! A L = f(a 0) (4:9) kovetkezik, es A 0 semmilyen fuggvenye nem lehet meggyelhet}o mennyiseg. Fentiekb}ol kovetkezik, hogy az elektromagneses mez}o szabadsagi fokait a potencial tranzverzalis modusai kepviselik. Ez utobbi kovetkeztetes lezarja azon vitakat, hogy a potencialok vagy pedig a terer}ossegek-e az els}odleges valtozoi az elmeletnek. Ez a kerdes felmerult az 9

19 Aharonov-Bohm eektus kapcsan is, amelyben szinten a potencial tranzverzalis resze jatszik szerepet. IV.d. Redukalt fazister el}oalltasa mertek tpusu kenyszerek segtsegevel A redukalt fazister el}oalltasanak masik modja az, hogy az elmelethez kvulr}ol kenyszereket adunk. Ez az eljaras jol ismert: a gyakorlatban Coulomb mertekben, Lorentz mertekben stb. szoktuk az elektrodinamikai szamolasokat vegezni, gy oldva fel az elmeletben jelenlev}o mertek szabadsagot. A leggyakrabban hasznalt mertekek az elektrodinamikaban: a. Lorentz a A a = 0. Ez nem szunteti meg teljesen a mertek szabadsagot, tovabbi mertek transzformaciok vegezhet}ok a = 0 feltetelnek eleget tev}o fuggveny segtsegevel. b. Coulomb A =0 c. Temporalis mertek: A 0 =0 d. Sugarzasi A =0es A 0 =0 e. Axial mertek: 3 3 A 0 =0es A 3 =0 Vizsgaljuk reszletesebben a sugarzasi merteket. Nemi szamolas utan belathato, hogy az elmelethez adott ket uj kenyszer = A 0 0 es 2 A 0 (4:20) megszunteti a mertek szabadsagot. A regi ( 2) kenyszereknek az uj 2 kenyszerekkel vett Poisson zarojelei mar nem t}unnek el, gy negy darab masodosztalyu kenyszert tartalmazo elmeletunk van. Agyenge egyenl}osegek er}os egyenl}osegge valo konvertalasa celjabol celszer}u a Dirac zarojeleket hasznalni, melyek most mar kulonboznek a Poisson zarojelekt}ol. Jelolje a masodosztalyu kenyszerek egymassal kepezett Poisson zarojeleib}ol allo matrixot M. Amatrix sor, illetve oszlopindexeit a kenyszerek () (2) 2 20

20 sorrendje hatarozza meg B ; C M A (~x ; ~y) (4:2) ; ahol a Laplace operator. Az M matrix (~x;~y) fuggvenyre nezve kepezett inverze: ;(~x ; ~y) ; M ; = B 4j~x;~yj (~x ; ~y) A j~x;~yj (4:22) Igy ket mennyiseg Dirac-zarojele: Z Z ff(x) g(y)g D = ff(x) g(y)g ; d~ud~vff(x) (u)gm ; f (v) g(y)g (4:23) ahol = () (2) 2 kenyszereket jeloli, es a Dirac illetve Poisson zarojeleket azonos x 0 = y 0 id}oben szamoljuk. Ebb}ol szarmaztathatok a fundamentalis Dirac zarojelek is, ugymint: fa a (x) b (y)g D =( b a + 0 a b0 )(~x ; ~y) a 4j~x ; ~yj fa a (x) A b (y)g D = f a (x) b (y)g D =0 (4:24) Az els}o fundamentalis Dirac zarojel nyilvanvaloan nem egyenl}o a Dirac delta fuggvennyel. Az a = b = esetben az egyenlet jobboldalat tranzverzalis delta fuggvenynek nevezzuk. Az elektrodinamika szokvanyos targyalasaban a tranzverzalis delta fuggvenyt "kezzel" vezetik be az elmeletbe, abbol a celbol, hogy feloldjak a potencialok terszer}ukomponenseinek Poisson zarojelei es a Gauss torveny kozott fennallo inkonzisztenciat. Az elektrodinamika kenyszeres targyalasmodjaban a tranzverzalis delta fuggveny termeszetes modon adodik. A sugarzasi mertekkel kapcsolatos targyalasunkat azzal a megjegyzessel zarjuk, hogy a szabadsagi fokokat kepvisel}o tranzverzalis potencialok es kanonikus impulzusaik kozotti Dirac zarojelek egybeesnek ezen mennyisegek Poisson zarojeleivel. 2

21 AJANLOTT IRODALOM [] Dirac: Lectures on Quantum Mechanics Yeshiva University Press (964) [2] Sudarshan, Mukunda: Classical Dynamics. A Modern Perspective Wiley (974) [3] Hanson, Regge, Teitelboim: Constrained Hamiltonian Systems Academia Nationale dei Lincei (976) [4] Sundermayer: Constrained Dynamics Springer (982) [5] Esposito: Quantum Gravity, Quantum Cosmology and Lorentzian Geometries, masodik kiadas, II. fejezet Springer (994) magyar nyelven: [6] Balog Janos: Relativisztikus terelmelet, Bevezetes a zika terelmeleti modszereibe, IV. fejezet ELTE Budapest 98 22

22 KENYSZERES DINAMIKAI RENDSZEREK II Gergely Arpad Laszlo TARTALOM I. Bevezetes :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::2 II. A kenyszeres dinamikai rendszerek bemutatasa egy egyszer}u peldan ::::::3 III. A pontmechanika parametrikus lerasa ::::::::::::::::::::::::::::::::::0 IV. A szabad relativisztikus reszecske :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::3 Ajanlott irodalom ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::7 2

23 I. Bevezetes Akenyszeres, mas neven szingularis rendszereknek ma mar nagy irodalma van [-5]. Ez a dolgozat folytatasa kvan lenni a hasonlo cm}u: Kenyszeres Dinamikai Rendszerek I Elmeleti Fizika Fuzetnek [6]. Az emltett fuzetben a kenyszeres, mas neven szingularis dinamikai rendszerek altalanos Lagrange- es Hamilton elmeletet rtuk le, majd egy fontos alkalmazast: az elektromagneses mez}ot targyaltuk. Az altalanos elmelet ismertetesekor mind a Lagrange mind a Hamilton formalizmus targyalasaban egy-egy algoritmust ismertettunk. Ezen algoritmusokat kvanjuk egy kivalasztott pelda kapcsan [7] konkretizalni a masodik paragrafusban. A felhozott pelda mesterkelt minden pontmechanikai jelleg}u pelda az lenne, de kvaloan alkalmas az altalanos eljarasok konkret esetben valo szemleltetesere. A deniciokat altalaban nem ismeteltuk meg, gy amunka emltett els}o reszenek ismerete elengedhetetlen. Ezutan a torteneti sorrendben els}okent felbukkanokenyszeres dinamikai rendszerrel foglalkozunk: a pontmechanika parameteres lerasaval [8]. Ez a parameteres elmeletek els}o reprezentansa, gyokeresen mas jelleg}u, mint az el}oz}oleg targyalt elmeletek. Egy parameteres elmeletben ugyanis a kenyszerek szerepe egeszen mas, mint a hagyomanyos mertekelmeletekben: mg itt magat az id}ofejl}odest generaljak, amott az ekvivalens allapotokat hatarozzak meg. A parameteres elmeletek legjelent}osebb peldaja az altalanos relativitaselmelet, ennek ismertetesere azonban e dolgozat kereteben nem kerul sor. Vegul a szabad relativisztikus reszecsket [4] targyaljuk, mint kenyszeres dinamikai rendszert. Ez egy aranylag egyszer}u parameteres elmelet. Emunka a 605 sz. FEFA projekt tamogatasaval keszult. A szerz}o koszonetet fejezi ki Dr. Gyemant Ivannak a kezirat atolvasasaert. 3

24 II. A kenyszeres dinamikai rendszerek bemutatasa egy egyszer}u peldan Ebben a paragrafusban a [7] hivatkozasban szerepl}o, de ott reszletesseggel ki nem dolgozott, egyszer}u peldan keresztul szemleltetjuk a kenyszeres dinamikai rendszerekkel kapcsolatosan felmerul}o uj fogalmakat, valamint az ilyen rendszerek kanonikus targyalasaban adodo, a szokvanyostol elter}o eljarasokat. Tekintsuk a q q 2 q 3 es q 4 altalanostott koordinatakkal jellemzett dinamikai rendszert, melynek Lagrange fuggvenye [7]: L = 2 _q2 + q 3 _q 2 ; q 4 V (q 2 q 3 ) (2:) ahol V (q 2 q 3 )amasodik es harmadik koordinatatol fugg}o tetsz}oleges potencialt jelol. Az Euler-Lagrange egyenletek: q =0 (I B) := _q =0 (I B) 2 := _q 2 ; 3 =0 (I A) :=V =0 (2:2) Lathato, hogy a (2.2) egyenletek kozott csak egy dinamikai, azaz masodik id}oderivaltakat tartalmazo egyenlet van. A tobbi Euler-Lagrange egyenlet: ket B- tpusu, azaz sebessegeket is tartalmazo, illetve egy A-tpusu, azaz csak koordinatakat tartalmazo els}o generacios Lagrange kenyszer. Ha a Lagrange fuggveny sebessegek szerinti masodik id}oderivaltjaibol kepezett matrixot vizsgaljuk, ugyanerre a kovetkeztetesre jutunk. A matrix rangja, gy a harom nulla sajatertekhez tartozo sajatvektor harom els}o generacios kenyszert hataroz meg [6]. Mivel a kenyszereknek minden pillanatban teljesulniuk kell, meg kell kovetelnunk id}oderivaltjaik elt}uneset is: 0=_ (I B) =q q _q 2 V _q 2 0= _ 2 V 2 =q 2 ; _q 4 ; q 4 _q = _ (I A) _q 2 _q 3 4 _q 3 (2:3)

25 Az els}o ket egyenlet uj dinamikai egyenlet (mivel olyan masodrend}u id}oderivaltakat tartalmaznak, melyek nem kuszobolhet}ok ki (2.2) felhasznalasaval sem), a harmadikrol pedig a ket B-tpusu kenyszer felhasznalasaval belathato, hogy azonossag. Igy ebben az esetben nincs masodik generacios Lagrange fuggveny. A Lagrange formalizmusban a negy koordinataval jellemzett rendszer viselkedeset harom dinamikai egyenlet valamint harom kenyszer hatarozza meg. Vizsgaljuk meg a negy koordinatahoz rendelt kanonikus impulzusokat is (az impulzusok indexei fels}o indexek): _q =_q p _q 3 =0 p _q 2 = q 3 p _q 4 =0 (2:4) A Hamilton formalizmusra valo atteres szokvanyos eljarasa szerint fenti osszefuggesekb}ol kellene kifejezni az altalanostott sebessegeket a koordinatak es impulzusok fuggvenyeikent. Nyilvanvaloan itt ez csak _q eseteben hajthato vegre. Az, hogy harom sebesseg kifejezese nem lehetseges, megint csakazels}o generacios Lagrange kenyszerek jelenletevel fugg ossze. Vegyuk eszre, hogy (2.4) masodik, harmadik es negyedik egyenlete kizarolag koordinatakat es impulzusokat tartalmaznak (sebessegeket nem) es mint ilyen, hamiltoni kenyszerek. foghato fel az A-tpusu Lagrange kenyszer is. Hamiltoni kenyszerkent A kovetkez}okben raterunk a (2.) dinamikai rendszer Hamilton formalizmusanak reszletes vizsgalatara. A (2.4)-ben talalt kenyszereket els}odleges hamiltoni kenyszereknek nevezzuk: () := p 2 ; q 3 =0 () 2 := p 3 =0 () 3 := p 4 =0 (2:5) Ezen kenyszerek egy kenyszerfeluletet ertelmeznek. Arra az esetre, ha ket fuggveny f es g csak a kenyszerfelulet pontjain vesz fel azonos erteket, a fuggvenyek gyenge egyenl}osegenek fogalmat hasznaljuk f g. (Itt jegyezzuk meg, hogy a gyenge egyenl}osegeket kizarolag a Poisson zarojelek szamolasa utan hasznalhatjuk fel.) Az altalanos Dirac-Bergmann algoritmus szerint a szokvanyos modon kepezett kanonikus Hamilton fuggvenyhez (H C ), mely esetunkben csak a kenyszerfeluleten 5

26 ertelmezett (lasd [6]), hozzaadva azels}odleges hamiltoni kenyszerek linearis kombinaciojat, az els}odleges Hamilton fuggvenyhez (H P ) jutunk. A linearis kombinacio egyutthatoi, az altalanos elmeletb}ol ismert modon, eppen a (2.4)-b}ol ki nem fejezhet}o sebessegek: H C = 2 (p ) 2 + q 4 V H P = H C +_q 2 () +_q 3 () 2 +_q 4 () 3 = = H C +_q 2 (p 2 ; q 3 )+ _q 3 p 3 +_q 4 p 4 (2:6) Tetsz}oleges f fuggveny id}ofejl}odeset az _ fff H P g (2:7) egyenlet rja le. Hasonloan a Lagrange formalizmushoz, a kenyszerek id}obeni megmaradasat itt is meg kell kovetelni, melynek kovetkezmenyekent ket ismeretlen egyutthato _q 2 es _q 3 meghatarozotta valik, valamint adodik egy uj, azaz masodlagos kenyszer is. A masodlagos kenyszer id}oderivaltja azonossag: = ;q 4 ; _q 3 0! _q 3 ;q = ;q 4 +_q 2 0! _q 2 q 3 _ (2) =_q 2 fv p 2 g +_q 3 fv p 3 g0 _ () 3 = ;V 0! (2) = V 0 azonossag (2:8) Ezzel a hamiltoni kenyszerek el}oalltasanak algoritmusa is befejez}odott. Vegyuk eszre, hogy a masodlagos hamiltoni kenyszert a Lagrange kenyszerek kozott is megtalaltuk. Ez egy altalaban is igaz alltas sajatos esete. A vizsgalt rendszernek egy erdekes tulajdonsagara is felgyelhetunk: az els}odleges Hamilton fuggveny (H P ) linearisan tartalmazza a masodlagos kenyszert is a kanonikus H C Hamilton fuggvenyen keresztul. Hatra van meganegy hamiltoni kenyszer egymassal vett Poisson-zarojeleinek 6

27 vizsgalata, a kenyszerek els}o, illetve masodik osztalyba valo besorolasanak celjabol: f () () 2 g = fp2 ; q 3 p 3 g = ; f () () 3 g = fp2 ; q 3 p 4 g =0 f () (2) g = fp 2 ; q 3 V(q 2 q 3 )g = fp 2 Vg 2 f () 2 () 3 g = fp3 p 4 g =0 f () 2 (2) g = fp 3 V(q 2 q 3 )g 3 f () 3 (2) g = fp 4 V(q 2 q 3 )g =0 (2:9) Mivel () 3 -nak az osszes tobbi kenyszerrel vett Poisson zarojele elt}unik, els}oosztalyu hamiltoni kenyszer. Atobbi harom kenyszer latszolag masodosztalyu, valojaban csak kett}o az kozuluk. Belathato ugyanis, hogy kepezhet}o bel}oluk () 2 + (2) (2:0) kombinacio, amely els}oosztalyu, azaz az osszes tobbi kenyszerrel vett Poisson zarojele nulla. Igy a rendszer ket els}oosztalyu ( () 3 es ), illetve ket masodosztalyu ( () es () 2 )kenyszerrel rendelkezik. Itt is teljesul az altalanos elmeletb}ol ismert alltas, miszerint masodosztalyu kenyszerek mindig paros szamban fordulnak el}o. A hamiltoni kenyszerek els}o-, illetve masodosztalyu besorolasanak jelent}osege messze tulmutat els}odleges, illetve masodlagos jelleguknel. A tetsz}oleges f fuggveny id}ofejl}odeset lero (2.7) egyenletben szerepl}o (2.6) els}odleges Hamilton fuggveny a (2.8) osszefuggesek gyelembevetele utan mar csak egy tetsz}oleges fuggvenyt tartalmaz: _q 4 -et, az els}odleges els}o osztalyu () 3 kenyszer egyutthatojat. _ fff H P g H P = H C + 3 (p 2 ; q 3 ) ; 2 p 3 +_q 4 p 4 = = 2 (p ) 2 + q 4 +_q 4 () 3 (2:) A kenyszeres rendszereknek ez egy igen fontos sajatossaga: a megoldas nem mindig egyertelm}u, jelen esetben _q 4 = _q 4 (q i p i ) tetsz}oleges fuggvenyt tartalmazza. Ezert ha egy elmeletben els}odleges els}oosztalyu hamiltoni kenyszerek vannak, csak azon mennyisegeket tekinthetjuk meggyelhet}onek, melyek maguk is els}o osztalyuak, gy az el}obb emltett tetsz}oleges jelleggel nem rendelkeznek. 7

28 Megjegyzes: Agyenge egyenl}osegekkel kifejezett _q 2 _q 3 -at a Poisson zarojelek szamolasa el}ott helyettestettuk be, ami latszolag ellentmond annak az altalanos szabalynak, hogy a gyenge egyenl}osegek csak a Poisson zarojelek szamolasa utan hasznalhatok fel. Valojaban nincs ellentmondas, mert azon Poisson zarojeleket, melyek _q 2 _q 3 -at tartalmazzak, mindig egy (gyengen elt}un}o) kenyszer szoroz meg, gy ezek a tagok nem befolyasoljak az eredmenyt. A (2.) fejl}odesegyenlet valamivel egyszer}ubb alakban rhato az un. teljes Hamilton fuggveny (H T )bevezetesevel, mely a kanonikus Hamilton fuggveny es az els}odleges els}oosztalyu kenyszer linearis kombinacioja: H T =H C +_q 4 p 4 = 2 (p ) 2 + q 4 (2) +_q 4 () 3 = = 2 (p ) 2 + q 4 ; 3 () + 2 () 2 +_q 4 () 3 =H P ; q 4 + q 4 () 2 (2:2) A Hamilton fuggvenyek hierarchiajaban utolsokent vegul bevezetjuk a b}ovtett Hamilton fuggvenyt (H E ) is, amit ugy nyerunk, hogy a teljes Hamilton fuggvenyhez hozzaadjuk a masodlagos els}oosztalyu kenyszerek linearis kombinaciojat is, (jelen esetben ez ): H E = H T + u (2:3) Egyes szerz}ok szerint ezt a b}ovtett Hamilton fuggvenyt celszer}u hasznalni H T helyett. Ebben az esetben az elteres minimalis a ket Hamilton fuggveny kozott, csak a kenyszer egyutthatoja kulonbozik. A fejl}odesegyenlet tovabb egyszer}usthet}o az un. Dirac zarojel bevezetesevel. Jelen esetben (2.9) gyelembevetelevel, az f kovetkez}o alakot olti: es g fuggvenyek Dirac zarojele a ff gg D = ff gg;ff () gf() 2 gg + ff () 2 gf() gg (2:4) Segtsegevel (2.) tomor formaban rhato: _ fff H P gff H T g D (2:5) a bizonytashoz (2.8), (2.9) es (2.2) osszefuggeseket kell felhasznalni. 8

29 A Dirac zarojel legfontosabb tulajdonsaga, hogy a masodosztalyu kenyszerek tetsz}oleges fuggvennyel vett Dirac zarojele mindig nulla. Ezert Dirac zarojelek hasznalata eseten a gyenge egyenl}osegek mar a zarojelek szamolasa el}ott felhasznalhatok, azaz gyakorlatilag mar kezdett}ol fogva a masodosztalyu kenyszerek megoldasara torekedhetunk. Legelegansabban akkor jarunk el, ha egy kanonikus transzformacio segtsegevel a masodosztalyukenyszereket kanonikus koordinatakkaalaktjuk. Jelen esetben ezt konny}u elerni a: q q 2 q 3 q 4 q Q p p 2 p 3 p 4! 2 = q 2 ; p 3 Q 3 = q 3 ; p 2 = ; () q 4 p P 2 = p 2 P 3 = p 3 = () 2 p 4 kanonikus transzformacioval, melynek inverze: (2:6) q 2 = Q 2 + P 3 q 3 = Q 3 + P 2 (2:7) A teljes Hamilton fuggveny azuj koordinatakban: H T = 2 (p ) 2 + q 4 V (Q 2 + P 3 Q 3 + P 2 )+ _q 4 p 4 (2:8) Mivel Q 3 P 3 koordinatak masodosztalyu kenyszerek, meg a Dirac zarojelek szamolasa el}ott nullava tehet}ok, gy a Dirac zarojelbe helyettestend}o teljes Hamilton fuggveny: H 0 T = 2 (p ) 2 + q 4 V (Q 2 P 2 )+ _q 4 p 4 (2:9) A kanonikus transzformacioutani koordinatak segtsegevel felrt Dirac zarojel: ff gg D = @P @Q 3 = ff gg 0 (2:20) Itt f g 0 asz}uktett fazister Poisson zarojelet jeloli. Vagyis az eredeti fazisteren ertelmezett Dirac zarojel a masodosztalyu kenyszerek megoldasa altal adodo sz}uktett fazister Poisson zarojelevel egyezik meg! A sz}uktett fazisteret a q Q 2 q 4 es p P 2 p 4 kanonikusan konjugalt koordinatak fesztik ki. A ket masodosztalyu kenyszer megoldasa kett}ovel csokkentette a fazister dimenziojat. A (2.5) fejl}odesegyenlet ezek utan: _ fff H P gff H T g D ff H 0 T g 0 (2:2) 9

30 A megmaradt kenyszerek: () 3 = p 4 =0 = V (Q 2 P 2 )=0 (2:22) az uj Poisson zarojelre nezve is els}oosztalyuak. Ezeket mertek tpusu kenyszerek bevezetesevel lehet masodosztalyuva tenni, majd megoldasukra torekedni. (Ezek az ujonnan bevezetett kenyszerek a terelmeletekben el}ofordulo mertek-kenyszerekhez hasonlo szerepet toltenek be.) Els}okent vezessuk be a = q 4 ; 0 (2:23) kenyszert ( konstans), ami a () 3 kenyszert masodosztalyuva teszi, mikozben tovabbra is els}oosztalyu marad: f () 3 g 0 = ; f () 3 g0 =0 f g 0 =0 (2:24) Az uj kenyszerre kirott konzisztenciafeltetel, azaz az id}oderivaltjanak az elt}unese megadja az ismeretlen _q 4 egyutthatot, mellyel a teljes Hamilton fuggveny tovabb egyszer}usthet}o: _q 4 =0 H 00 T = 2 (p ) 2 + V (Q 2 P 2 ) (2:25) Afazister dimenzioja ismet csokkent kett}ovel, jelenleg a q Q 2 p P 2 kanonikus koordinatak fesztik ki. A Hamilton fuggveny H 00 T es egyetlen els}oosztalyu kenyszer maradt: = V (Q 2 P 2 ) = 0, ami a szabadsagi fokok szamat kett}ovel csokkenti meg. Ez utobbi kenyszer is megoldhato az elobb vazolt modon, mertek tpusukenyszer bevezetesevel, abban az esetben, ha a V fuggveny alakjat megadjuk. Peldaul V = (Q 2) 2 +(P 2 ) 2 es 2 2 = Q 2 + P 2 = 0 eseten a Hamilton egyenlet: f _ = ff 2 (p ) 2 g lesz es nem maradt egyetlen kenyszer sem. 0

31 III. A pontmechanika parametrikus lerasa A legegyszer}ubb kenyszeres dinamikai rendszert a klasszikus mechanikai problemak un. parameteres lerasabol kapjuk [8]. Tekintsuk els}okent azn szabadsagi foku rendszert lero hatasfunkcionalt: Z t2 I[q :: q n t) = dt L(q ::: q n _q ::: _q n t) (3:) t ahol q i = q i (t) es _q i = _q i (t). A szogletes zarojelben talalhato argumentumok funkcional fuggest fejeznek ki. Vezessuk be a parametert a tortenesek id}orendi sorrendjenek jellemzesere. Ez a parameter gy az id}o tetsz}oleges monoton fuggvenye lehet, es a targyalasban az id}o szerepet jatssza, de termeszetesen nem azonos az orak altal mutatott id}ovel: q i = q i () _q i =_q i () t = t() : (3:2) A zikai id}ot nevezzuk ki (n + )-edik koordinatanak: q n+ = t (3:3) Mg a t szerinti derivalast ponttal, a szerinti derivalast vessz}ovel fogjuk jelolni. A ketfele derivalt kozotti kapcsolat tetsz}oleges f fuggvenyre: f 0 := df d = df dt dq n+ d = _ fq 0 n+ : (3:4) A hatas gy egy (n+) -dimenzios konguracios teren (az un. esemenyteren) ertelmezett funkcionalkent foghato fel: Z 2 I[q :: q n q n+ ]= d q 0 n+ L(q q 0 ::: q n q n+ q 0 q 0 n ::: n+ q 0 ) n+ = Z 2 d L (q ::: q n q n+ q 0 ::: q0 n q0 n+) (3:5) Fenti osszefuggesb}ol leolvashato az uj, parameterhez tartozo L Lagrange fuggveny. Az (n + ) valtozoval valo lerast parametrikus lerasnak, az uj fazisteret, amiben az id}o iskoordinata, b}ovtett fazisternek nevezzuk. Apontmechanika ilyen lerasa Lagrange-ig vezethet}o vissza.

32 A parametrikus lerasmodban adodo leglenyegesebb alltas az, hogy a b}ovtett 2(n +) dimenzios fazisteren ertelmezett Hamilton fuggveny azonosan nulla! Ezt konny}u belatni Euler homogen fuggvenyekre vonatkozo tetele alapjan. L ugyanis els}orend}u homogen fuggveny q 0 ::: q0 n+ valtozoiban, gy a 0 q 0 i = L i (3:6) 0 q 0 i ; L = L ; L = 0 i Fenti osszefuggesekben es a kovetkez}okban tobb helyen is az Einstein-fele osszegzesi konvenciot hasznaljuk: ha egy index egy kifejezesben ketszer ismetl}odik, egyszer also, egyszer meg fels}o indexkent, osszegezni kell ezen index szerint. Ebben a paragrafusban a latin karakterek -t}ol (n + )-ig, a gorog karakterek pedig -t}ol n-ig terjed}o ertekeket vesznek fel. Az uj Lagrange fuggvenynek erdekes tulajdonsaga, hogy az (n + )-dik koordinatahoz, vagyis az id}ohoz konjugalt kanonikus impulzus egy el}ojelt}ol eltekintve a rendszer energiaja: p n+ 0 = q _q p n+ n+ 0 = L + q 0 : _q n+ = L ; p _q = ;H _q A fenti levezetesekben a t es derivaltak kozotti (3.4) osszefuggest hasznaltuk fel. Itt talalkozunk az els}o kenyszerrel: (3.7) masodik egyenlete kizarolag a koordinatak es impulzusokat tartalmazza, gy megszortast jelent lehetseges ertekeikre. Nevezzuk eztakenyszert C 0 (q p)-nek: C 0 (q p) :=p n+ + H(p q) =0 : (3:8) Belathato, hogy a (3.6)-beli alltas, miszerint H =0,valamint ac 0 =0 kenyszer egymasbol is szarmaztathatok: 0 q 0 i ; L 0 q 0 L) n+ n+ 0 q 0 ; q0 n+ L =p n+ q 0 n+ + q 0 q 0 ; q 0 n+ L =q 0 n+ p n+ +(p _q ; L) = q 0 ; n+ p n+ + H = q 0 n+ C 0 : (3:9) 2

33 Mikent beszelhetunk Hamilton formalizmusrol, kanonikus egyenletekr}ol ha H Hamilton fuggveny elt}unik? Avalasz: modostani kell a hatasban az integrandust olymodon, hogy a tetsz}oleges N Lagrange szorzoval megszorzott kenyszert is hozzaadjuk. A helyes Hamilton egyenleteket megado hatas tehat: I[q :: q n q n+ N] = Z 2 d (p i q 0 i ; N C) (3:0) Itt C akenyszer, ami nem foltetlenul C 0,deC 0 gyokeivel egyez}o gyokei vannak. Fenti kifejezeshez az L Lagrange fuggvenynek (3.6) els}o egyenleteb}ol szarmazo kifejezeset, valamint az impulzusok szokasos deniciojat hasznaltuk fel. Az N Lagrange szorzo termeszetesen megjelenik az egyenletek megoldasaban is. Igy amellett, hogy a kezdeti adatok nem lehetnek tetsz}olegesek a (3.8) kenyszer miatt, a megoldas is tartalmaz tetsz}oleges fuggvenyt. Altalaban ketfele modszerrel oldhatjuk fel ezt a hatarozatlansagot: megoldjuk a kenyszeregyenletet, ezaltal csokkentve avaltozok szamat, es elt}untetve N-t az egyenletekb}ol. Az el}oallt hatast redukalt hatasnak, a Lagrange fuggvenyt pedig redukalt Lagrange fuggvenynek nevezzuk. Jelen esetben p n+ -t kuszoboljuk ki a tobbi kanonikus valtozo segtsegevel, (3.8) felhasznalasaval: I R = Z 2 d (p q 0 ; Hq 0 n+) = Z q (2) n+ q () n+ dq n+ p dq ; H dq n+ (3:) Ez pontosan az n szabadsagi foku rendszer kanonikus alakban felrt hatasfunkcionalja. Eszrevehet}o, hogy a q n+ -dik koordinata ugyanazt a szerepet jatssza, mint eredetileg az id}o, azaz a fuggetlen valtozo szerepet. A parameter pedig teljesseggel elt}unt akepb}ol. specialis koordinatavalasztassal elunk, ezaltal tuntetve elahatarozatlan- sagot. A q n+ = valasztas mellett a hatas (3.) alakja all el}o. Masik q n+ = q n+ () valasztas mellett q n+ -t}ol kulonboz}o fuggetlen valtozo veszi at az id}o szerepet. Apontmechanika parametrikus lerasmodja rendkvul hasznosnak bizonyul akkor, ha a kanonikus kvantalas utjat akarjuk jarni. Ha az impulzusok szokasos 3

34 operatoralakjat behelyettestjuk az operatorkent hato hamiltoni kenyszer (3.8) kifejezesebe, a kovetkez}o egyenlethez + ^H j >= 0 (3:2) Ez nem mas, mint aschrodinger egyenlet! Mindaz, amit ebben a fejezetben elmondtunk a pontmechanika esetere, altalanosthato mez}okkel torten}o lerasra is. Ilyenkor a hatasban az id}o szerepet anegy terid}o koordinata veszi at, melyek negy uj mez}onek tekinthet}ok, ;4 uj parameterek bevezetesevel egyidej}uleg. A b}ovtes soran a fazister 2n dimenziosrol (2n + 8) dimenziossa valik. IV. A szabad relativisztikus reszecske Tekintsunk egy szabadon mozgo relativisztikus reszecsket sk terid}oben [4]. A Minkowski metrikat jelolje: ab = diag(; ) (4:) areszecske koordinatait pedig x a (a terid}o koordinatakat latin, a terkoordinatakat gorog betukkel indexeljuk). A reszecske vilagvonalat monoton novekv}o valtozo parameterezi. A szabad reszecsket lero hatas: I = ;m Z 2 ahol m areszecske tomege, a pont _x a p d ;ab _x a _x b (4:2) = dxa d parameter szerinti derivalast jelol es a minusz el}ojel azert szukseges, mert id}oszer}u mozgasokat vizsgalunk, melyekre ab _x a _x b < 0. Tovabba feltesszuk, hogy a mozgas jov}oiranytott, azaz _x a > 0. A fenysebesseget egysegnyinek valasztjuk. A (4.2) hatas szingularis rendszert r le. Ha a Lagrange fuggveny sebessegek szerint vett masodik id}oderivaltjaibol allo matrixot kepezzuk, ennek determinansa 4