XVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny

Átírás

1 XVIII. Nemzetözi Mgyr Mtemti Verseny Gyul, 009. március osztály egyenletet?. feldt: Oldju meg természetes számo hlmzán z y 009 Kántor Sándor (Debrecen) Megoldás: Megoldásént nyilván cs 009-nél ngyobb egész számo jöhetne szób. Az egyenlet evivlens z ( 009)(y 009) = 009 egyenlettel. Annyi megoldás vn, mennyi tényezője vn 009 -ne, mert ezeet tényezőet ( 009)-cel zonosítv -et megpju, és ehhez y egyértelmű. Mivel 009 = 7, zz 009 = 7, ezért 009 pozitív osztóin szám ( + ) ( + ) = 5. Tehát z egyenlet eresett megoldásin szám 5, melyehez z értéét z előbbie szerint z 009 ; 7 ;7 ;7 ;7 ;; ;7 ; 7 ; 7 ; 7 ; 7 ; 7 ; 7 ; 7, egyenlőségeből,z -hez trtozó y párt rendre z. y ;7 ;7 ; 7 ; 7 ; 7 ; 7 ;7 ; ;;7 ;7 ;7 ;7 ; osztópáro egyenlőségeiből pju.. feldt: B Az ABCD deltoidbn z A és C csúcsnál derészög vn, és BD átló cm. Az ábr szerint deltoidb három zonos oldlhosszúságú rombusz írhtó. Meor deltoid B és D csúcsánál levő szöge és z AC átló hossz? Ktz Sándor (Bonyhád) C D A

2 Megoldás: B α E α α F α α G H α α α C A D 5α Legyen DBA =α. Sorbn BEF, EFG, FGH, HAD egyenlő szárú háromszögeben szögeet, ill. BEF, BFG, BGH, BHA háromszögeben ülső szögeet iszámolv BDA =5α értéig jutun. Innen α+ 5α = 90º, zz α=5º. Tudju, hogy 5º-os szöggel rendelező (ABD) derészögű háromszögben z átfogóhoz trtozó mgsság z átfogó negyede, ezért AC= 6 cm. A deltoid B és D csúcsnál levő ét szöge 0º és 50º.. feldt: Adju meg z összes olyn n természetes számot, melyre 8 n négyzetszám! Megoldás: Mivel 8 8 8, Eigel Ernő (Gyul) n n or 8 ( eresett négyzetszám). Így 8 8, tehát 8 és 8 is -ne vlmilyen egész itevős htvány ell legyen, vgyis p q q p 8, 8. Egymásból ivonv, p q, 96 5, zz p n q p 5, pq vgyis h p 5, or n. Tehát n. feldt: Oldju meg z egyenlőtlenséget vlós számo hlmzán! Megoldás. Mivel q5 eresett természetes szám...., vgyis q 7, tehát , Blázsi Borbál (Beregszász) ezért z egyenlőtlenség bl oldl:

3 , zz z <0 egyenlőtlenséget ell megoldni. A megoldás: ; ; ;... ; 5. feldt: Húsz személy mindegyie húszból tíz másin üld levelet. Vn-e ét olyn személy, i özött volt levélváltás? Szbó Mgdoln (Szbd) Megoldás: A csoportbn vn olyn személy, i leglább 0 levelet pott, mert ellenező esetben legfeljebb 9 0 = 80 elüldött levél lenne, mely evesebb 00-nál, z összes elüldött levele számánál! Ez személy levelet üldött többi 9 személy özül 0-ne. H cs ttól 9-től pott voln levelet, ine ő nem üldött, or cs 9 levelet pott voln, pedig leglább 0-et pott, tehát ellett, hogy olyntól is pjon, ine ő üldött, zz volt levélváltás. 6. feldt: : Az ABCD tégllp DC oldl, mint átmérő fölé ( átmérőre ) ört rjzolun. Húzzun örhöz tégllp A csúcsából z AD egyenesétől ülönböző érintőt, z érintési pont legyen E. A tégllp BC oldlegyenesét z AE egyenes G pontbn, DE egyenes H pontbn metszi..) Bizonyítsu be, hogy z EGH háromszög egyenlő szárú! b.) Meor tégllp oldlin rány, h z EGH háromszög szbályos? c.) Bizonyítsu be, hogy h z EGH háromszög szbályos, or ör F özéppontj, z E érintési pont és tégllp B csúcs egy egyenesen vn! Nemecsó István (Budpest)

4 Megoldás:.) Legyen z EDF =. Mivel DFE háromszög egyenlő szárú, ezért DEF =. Így GEH =90 - és mivel DHC derészögű háromszög CHE =90 -. Tehát z EGH háromszög egyenlő szárú. H tégllp b oldl isebb vgy ugynor, mint /, tehát örvonl metszi vgy érinti AB oldlt, or is teljesül z állítás. Részletezzü metszés esetét; z állítás ugynzol lépéseel leolvshtó z ábráról.

5 b.) Elég b esetet nézni, mert ellenező esetben z EHG tompszögű, tehát nem lehet szbályos. derészögű vgy H z EGH háromszög szbályos, or minden szöge 60-os, tehát GHE =60 így HDF =0. Eor z AED háromszögne is minden szöge 60, tehát szbályos háromszög, így E pont rjt vn tégllp AB oldlávl párhuzmos szimmetritengelyén. Legyen z EGH szbályos háromszög oldlin hossz. Az FEGC négyszög deltoid, tehát GC=, szimmetri mitt BH= is teljesül. Így tégllp b oldl z EGH háromszög oldlán háromszoros (b=). A DHC háromszög szögei 0, 60 ill. 90 -os, befogói és. Tudju, hogy z ilyen derészögű háromszöge befogóin rány, tehát, vgyis eresett rány: b. c.) A BGE háromszög egyi szöge (EGH) 60-os és özrezárt oldl és, tehát ez egy derészögű háromszög. Vgyis BE merőleges z AG-re, de FE sugár és AG érintő, tehát FE is merőleges AG-re. Ezzel beláttu, hogy F, E és B egy egyenesbe esi.

6 XVIII. Nemzetözi Mgyr Mtemti Verseny Gyul, 009. március osztály. feldt: Egy háromszög belsejében felvett tetszőleges ponton át háromszög oldlivl párhuzmosn egyeneseet húzun. Eze z egyenese háromszög területét ht részre osztjá. A eletezett háromszöge területeit jelöljü t, t és t -ml és z eredeti háromszög területét pedig T-vel. Bizonyítsu be, hogy T t t t! Oláh György (Komárom) Megoldás. Legegyszerűbben úgy jutun célhoz, h felhsználju zt z ismert tételt, mely szerint hsonló háromszöge területeine négyzetgyöei úgy rányln egymáshoz, mint megfelelő oldl. Jelölje,, egy iszemelt oldlból megfelelő egyeneseel imetszett szszo hosszát. Eor t : T = : ( + + ) Összedv: honnn t T t : T = : ( + + ) t : T = : ( + + ) t T t t T t t T.,. feldt: Az f függvény értelmezési trtomány 0-tól ülönböző vlós számo hlmz. Az értelmezési trtomány minden elemére teljesül z f ( ) f összefüggés. Mely vlós számor áll fenn z f()=f(-) egyenlőség? Megoldás: Helyettesítsün helyére /-et! Eor f(/) = / - f(). Visszhelyettesítve z eredeti egyenletbe: f() + (/ - f()) =, miből - f() + 6/ =, zz f ( ), f ( ). Kántor Sándorné (Debrecen)

7 A egyenlet megoldási =, mi vlóbn megoldáso, és ebben z esetben fennáll z f() = f(-) egyenlőség. z egyenletet!. feldt: Legyen p egy dott prímszám. Oldju meg z egész számo hlmzán y y y p 009 Megoldás: y y y p y y p. H y p, or 009 y p, zz 009 p p 009 p p y, y egész, mivel 009 p, p 009 p p vgy 009 p p y 009 pártln, így / p p. Bencze Mihály (Brssó) 0,,,009.. feldt. Oldju meg pozitív vlós számo hlmzán övetező egyenletrendszert! y z 9 9 y z Megoldás: Kovács Bél (Sztmárnémeti) Az első egyenlet: + y + + z + = lbn írhtó. A ét egyenletet összeszorozv, számtni és hrmonius özéprányoso özötti egyenlőtlenség lpján: 9 = ( + y + + z + ) 9. y z Egyenlőség cs egyenlő számo esetén lehet. Követezi: = y + = z + =. Megoldás: 0,,, mi z egyetlen pozitív megoldás. 5. feldt. Jelölje H z ABC háromszög mgsságpontját, O pedig öré írt öréne özéppontját. Az A csúcsból BC egyenesre bocsájtott merőleges tlppontj rjt vn z AC CH oldl felező merőlegesén. Htározzu meg rányt! BO R. Sipos Elvir (Zent)

8 Megoldás:. eset: Tegyü fel, hogy 90. Legyen A z A csúcs merőleges vetülete BC oldlr, B z AC oldl felezőpontj, C pedig z AB oldl felezőpontj. A feldt feltételei lpján AA C háromszög derészögű, miözben A illeszedi z AC szsz szimmetritengelyére, vgyis egyenlőszárú is egyben. Tehát BCA=5. Ezért nei megfelelő özépponti szög BOA=90. Az AOB háromszög derészögű és egyenlő szárú (AO=BO=R: örülírt ör sugr), vgyis BOC =5, zz C O és BO z egyenlő szárú derészögű háromszög befogój és átfogój, zz CO OB.. eset: H 90, or hsonlón z előzőhöz 5, így is BOA 90, tehát BOC 5, így BO OC fennáll or is. H O-ból CB oldlr merőlegest bocsájtun és tlppontját C -vel jelöljü, or C OC hsonló z HCA-höz, hsonlósági rány :, így CH=OC, vgyis CH CO. BO BO Megjegyzés: H 90, or A =C, így z AC szimmetritengelyén nem lehet rjt A! 6. feldt. Leglább hány számot ell ihúznun z,,,, 009 számo özül hhoz, hogy megmrdó számo egyie se legyen ét mási, tőle ülönböző megmrdó szám szorzt? Megoldás: I.: A,,, számot elegendő ihúzni. Ktz Sándor (Bonyhád)

9 5 6=070, ezért megmrdó szorzt nem lehet megmrdó özött. II.: -nál evesebb szám nem elég. Képezzü övetező számhármst: (, 87, 87), (, 86, 86),, (, 5, 5), hol 5, 6,,87 legisebb db egytől ülönböző megmrdó szám. Eze mind ülönböző számo, mert z első és másodi eleme növevő, ill, csöenő soroztot lotn. A hrmdi eleme is növevő soroztot dn, mert <5 és h <y or (-)(y+) < y y-y+-< y < y+ vlóbn igz. H cs -nál evesebbet húzo i, or vlmelyi hárms együtt megmrdó özt lesz, tehát lesz olyn szám, melye szorzt is megmrdó özt lesz. Tehát leglább számot i ell húzni. Megjegyzés:,,, számot ihúzv 5=980 mitt, 5, 980 is megmrdó özt lenne.

10 XVIII. Nemzetözi Mgyr Mtemti Verseny Gyul, 009. március -6.. osztály. feldt: Állítsu öt párb z,,,, 5, 6, 7, 8, 9, 0 számot úgy, hogy párobn lévő számo ülönbségeine bszolút értéei rendre,,,, 5-t djn! Megtehető-e ez párosítás (természetesen ht párb), h z,,,, 5, 6, 7, 8, 9, 0,, számol dolgozun, úgy hogy eze ülönbsége,,,, 5, 6 legyene? Indoolju válszt! Megoldás: Az első esetben ért párosítás lehetséges. Íme egy megoldás: (-);(9-7);(6-);(8-);(0-5) Hjnl Péter (Szeged) A másodi esetben úgy ell ilítnun párot, hogy párobn szereplő számo ülönbségeine bszolút értéei rendre,,,,5,6 legyene. Legyen -di párbn szereplő ét szám özül isebb, így mási szám lesz, hol ;;;;5;6. A pott párobn szereplő számot összedv ( ), ( ), ( ), ( ), ( 5 5), ( 6) 6 összege éppen ell legyen. H X-el jelöljü számot pun, melyene 6 összeget, or X, innen 6 7 X X 78 X 57 A pott egyenletne nincs megoldás természetes számo hlmzán, tehát másodi esetben ért párosítás nem lehetséges.. feldt: Létezi-e ét olyn egymástól ülönböző, pozitív rcionális szám, melyene számtni, mértni és hrmonius özepe egy derészögű háromszög oldlhosszi? Megoldás: Legyen, b Q úgy, hogy b 0. Az b lpján z átfogó hossz cs lehet. Felírju Pitgorsz tételt b Olosz Ferenc (Sztmárnémeti) b b b b b b b, mjd özös nevezőre hozás után, egyenértéű átlításol rendre pju, hogy b b b 6 b egyenlőtlensége

11 b b b 6 b b b 6 b b 6 b honnn övetezi, hogy b b (mivel b ). Átrendezve z b b 0 egyenlethez jutun, melyet végigosztun b -el (mert b 0 ). Az 0 egyenletet megoldv pju hogy 5 b b b Az b 0 feltétel lpján cs z 5 lehetséges. b Az 5 Q ellentmond nn feltételne, hogy, b Q, zz Q. b b Tehát nem létezi feltételene megfelelő ét ülönböző pozitív rcionális szám.. feldt: Egy osztály minden tnulój vgy úszi, vgy osrzi, esetleg mindettőt csinálj. Lehetséges-e, hogy z osztálybn több lány, mint fiú övetező eseteben: ) h z úszón és osrson is 60 %- fiú? b) h z úszón 60 %- és osrson 75 %- fiú? Ktz Sándor (Bonyhád) Megoldás: Az érdés, hogy lehetséges-e, hogy d e f b c. Úszi Kosrzi ) b 0,6( b d e) és c b 0,6( c b f e) Fiú 0, 0,b 0,6d 0, 6e és 0,c 0,b 0,6 f 0, 6e b c d e b () és f e c b () d e f Lányo Az () és () lpján: d e f b c. Innen d e f b c e b c b c e ( d e f ) ( b c) b c e A ért egyenlőtlenség or teljesül, h b c e 0, zz b c e. Tehát úgy lehet teljes létszám ngyobb része lány, hogy fiú (mindegyie vgy ngy része) mindét sportot űzi, lányo meg cs z egyiet. H pl. c e 0, or b d f. Így, hogy osztálynyin legyene b 5 és d f 0. (De nem szüséges, hogy c e 0 legyen, pl. c, e, b 0 és d f 7 esetén még mindig több lány (5), mint fiú () z osztálybn). Összefogllv, tehát ennél z ránynál lehetséges, hogy több lány, mint fiú.

12 b) b 0,6( b d e) és c b 0,75( c b f e) 0, 0,b 0,6d 0, 6e és 0,5c 0,5b 0,75 f 0, 75e d e b () és f e c b () Az () és () lpján: d e f b c. Innen d e f b c e b c c e ( d e f ) ( b c) c e A ért egyenlőtlenség or teljesül, h c e 0, zz 0 c e, mi nyilván nem lehetséges. Összefogllv, tehát ennél z ránynál már nem lehetséges, hogy több lány, mint fiú.. feldt: Legyen ABCD egy olyn tégllp, melybe szbályos háromszög írhtó úgy, hogy háromszög egyi csúcs z A pont, mási ettő pedig tégllp egy-egy olyn oldlán feszi, melyen z A pont nincs rjt. Bizonyítsu be, hogy eor tégllpból szbályos háromszög áltl lemetszett háromszöge egyiéne területe ét mási lemetszett háromszög területéne összegével egyenlő! Pintér Ferenc (Ngynizs) I. Megoldás: Legyen AB és BC b, z M pont pedig z AFE szbályos háromszög AF oldlán felezőpontj. B E C F A K M D Mivel ABE 90 AME, ezért B és M ponto rjt vnn z AE szsz Thlészörén. De MAE 60, ezért erületi szöge tétele mitt z EBM 60. Mivel ECF 90 FME, ezért C és M ponto rjt vnn z FE szsz Thlészörén. De MFE 60, ezért erületi szöge tétele mitt z ECM 60. Az EBM 60 ECM, tehát BMC háromszög szbályos. b b Ez zt jelenti, hogy z M pont BC oldltól, míg z AD oldltól b vn. Az AFD háromszögben MK özépvonl, így DF b. távolságr

13 Hsonló gondoltmenettel vgy z ABE és z AFD háromszögeben felírt Pitgorsz tétel segítségével beláthtó, hogy BE b. Követezéséppen: T ABE T ADF b b b b b b b b b b TABE TADF TECF mit igzolni ellett. II. Megoldás. Legyen BAE. Felhsználv, hogy z AFE szbályos háromszög ( AE EF AF ) övetezi, hogy FAD 0, illetve CEF 0. B E C, F A M D Az ABE derészögű háromszögben AB cos( ) és BE sin( ), tehát sin( ) T sin( ) cos( ) ABE sin( ) (hol felhsználtu, hogy sin( ) cos( ) ) Az ADF derészögű háromszögben AD cos( 0 ) és FD sin( 0 ), tehát sin(0 )cos(0 ) T ADF sin(60 ). Az ECF derészögű háromszögben CE cos( 0 ) és FC sin( 0 ), tehát sin(0 ) cos(0 ) T ECF sin(60 ). Felhsználv, hogy sin( p q) sin( p q) cos( p)sin( q), övetezi, hogy T ECF T ADF sin(60 cos(60 )sin( ) ) sin( ) sin(60 ) sin( ) T sin(60 ABE ) sin(60 ) zz T ECF T ABE T ADF, mit igzolni ellett.

14 n 5. feldt: Bizonyítsu be, hogy lbn felírt négyzetszámoból végtelen so vn, hol és n ülönböző pozitív egész számo! Mi helyzet, h helyett, z 5, 6 és 7 számot írju? Kántor Sándor (Debrecen) Megoldás: Azt ell megvizsgálnun, hogy z m (hol m és,, m N ) lú m számo ért eseteben mior leszne négyzetszámo. H ugynis egy lú szám négyzetszám, or végtelen so ilyen lú négyzetszám vn, mert minden n pozitív egész mn n m n n n m n m szám esetén. Az eset Mivel , ezért végtelen so m lú négyzetszám vn. Az eset Az áltlánosság leszűítése nélül feltételezhetjü, hogy m. Eor m teljes négyzet. H m m m c, zz zt ell megvizsgálnun, mior lesz m m m m m, or c c c c. m Felhsználv, hogy c és egész számo, innen m 0 övetezne, mi nem lehetséges. Tehát ét ülönböző pozitív egész itevős htványán összege nem lehet négyzetszám. Az 5 eset n Az 5 szám minden n esetben 5-re végződi, míg 5 m 5. Eze lpján z 5 5 szám vgy 0-r vgy 50-re végződi. Viszont h egy négyzetszám 0-el oszthtó, or 00-l is oszthtó, így nem végződhet sem 0-r, sem 50-re. Tehát z 5 ét ülönböző pozitív egész itevős htványán összege nem lehet négyzetszám. Az 6 eset m A 6-n bármely pozitív egész htvány 6-r végződi. Így 6 6 szám utolsó számjegye lesz, de négyzetszám -re nem végződhet. Tehát 6 ét ülönböző pozitív egész itevős htványán összege nem lehet négyzetszám. Az 7 eset A 7-ne -l vló osztási mrdé, ezért 7 minden pozitív egész itevős htványán n n -ml vló osztási mrdé szintén (hiszen 7 M lú lesz). Így m 7 7 szám -l osztv -t d mrdéul. H c egy természetes szám és -n többszöröse, or c is többszöröse lesz, míg h c n lú, or négyzeténe -l vló osztási mrdé lesz. Összegezve, egy négyzetszám háromml osztv cs 0 vgy mrdéot dht. Tehát 7 ét ülönböző pozitív egész itevős htványán összege nem lehet négyzetszám.

15 6. feldt: Adott háromszögbe szeresztettün ét egybevágó, özös belső pont nélüli, mimális sugrú ört. Meor ez sugár? Hogyn történhet szeresztés? Bogdán Zoltán (Cegléd) Megoldás: Legyen ABC z dott háromszög, melyne oldli, b, c. Nyilván mindét ör érinti például z oldlt és z egyi b-t, mási c-t, vlmint egymást is érinti. Az egyi ör özéppontj B csúcsból, másié C csúcsból iinduló belső szögfelezőn lesz. A örö özéppontji legyene E és F, míg szögfelező metszéspontj ( háromszögbe írhtó ör özéppontj) pedig O. A b c E O F C M D N B Legyen háromszögbe írhtó ör sugr r, eresett sugár pedig. Eor z EM FN, illetve z EMN FNM 90 összefüggése lpján övetezi, hogy z EFNM négyszög egy tégllp. Mivel EF BC, önnyen beláthtó BCO és FEO háromszöge hsonlóság. Figyelembe véve, hogy OD r, ét háromszög hsonlóságából felírhtó, r r hogy, honnn z lesz. r r r H ifejezésében -vl egyszerűsítün, zz lesz, or z látszi, hogy r nevező or legisebb, h mindét ört érintő oldl három oldl özül legngyobb. Eor lesz z sugár z dott háromszögben mimális. Az egy lehetséges megszeresztése: - dott, b, c hosszúságú szszol megszeresztjü z ABC háromszöget - megszeresztjü háromszög ét belső szögfelezőjét, így zo metszéspontjából megpju háromszögbe írhtó ör özéppontját, illetve sugrát - egy szög egyi szárár felmérjü z r és z hosszúságú szszot, mási szárár pedig egy r hosszúságút, mjd párhuzmos szelő segítségével megpju z hosszúságú szszt - BC-vel párhuzmost húzun távolságr, párhuzmos és belső szögfelező metszéspontji megdjá eresett özéppontot.

16 XVIII. Nemzetözi Mgyr Mtemti Verseny Gyul, 009. március -6.. osztály. feldt: Igzolju, hogy tetszőleges vlós számr teljesülne övetező egyenlőtlensége! 5 sin cos sin. Megoldás: Legyen T sin cos sin. Eor T sin cos sin sin cos sin Kovács Bél (Sztmárnémeti) sin sin. Ebből z lból nyilvánvló, hogy T. T sin sin cos cos cos cos cos cos 5 cos cos cos. Ebből z lból nyilvánvló, hogy T 5/. Megjegyzés: Az lsó becslést T sin cos sin cos ugynis 5 sin cos jelöléssel T, mi T lból is ihozhtju, lr hozhtó.. feldt: 009 számjegyei három öz -t htározn meg: _0_0_9. A számon övetező átlítást végezzü: iválsztun egy tetszőleges 0-es számrendszerbeli számjegyet, z első özbe beírju, másodi özbe étszer írju be, hrmdi özbe háromszor. Így egy övetező számhoz jutun. Ez persze hosszbb és így számjegyei több özt htározn meg. Újból elvégezzü fenti átlítást: újból válsztun egy számjegyet és özöbe ezt írju (z i-edi özbe i drbot). Ezt z eljárást folyttju. Igzolju, hogy eljárásun során soh sem phtun -ml oszthtó számot. Bíró Bálint (Eger) Megoldás: H egy jegyű számon végezzü el z átlítást, or özbe írun számjegyeet, összesen drbot. A beírt számjegye szám -ml oszthtó, hiszen z ezt számot megdó összeg drb három tgú összeg összege ((++)+(+5+6)+ +( )), melyben minden tg három szomszédos egész összege, zz háromml oszthtó. (Természetesen beírt számjegye szám számtni

17 sorozt összegzési éplete lpján ( +) /, miből szintén önnyen láthtó háromml vló oszthtóság.) Így z új szám számjegyeine szám is mrdéot d háromml osztv. Sőt, h számjegye összegét nézzü, or z új szám régi számjegyeine összegéhez épest háromml oszthtó számml növeszi (z új számjegye ugynzo). Így z új szám ugynzt dj mrdéul háromml osztv, mint miből épeztü. A iinduló szám négyjegyű (=+). Így számjegye szám végig + lú szám lesz. A iinduló szám s+ lú. Így z átlításo során végig olyn számot pun, mi háromml osztv -t d mrdéul.. feldt: Jelölje AC és BD z egység sugrú ör ét merőleges átmérőjét. Az AB, BC, CD és DA negyedöríveen felvesszü P, Q, R és T pontot úgy, hogy APBQCRDT egy onve nyolcszög lesz. Hogyn válsszu meg P, Q, R, T pontot hhoz, hogy ilított nyolcszög oldlin négyzetösszege minimális legyen? I. Megoldás: Bíró Bálint (Eger) Elég egy (X és Y ponto áltl özrefogott) negyedör ívében megeresni zot Z pontot, melye z XZ +ZY ifejezést minimlizáljá. Ezen feldt megoldását z AB, BC, CD és DA negyedörívere llmzv meg tudju válszolni feldt érdését is. Jelöljü -vel ZOX-t. Legyen Z vetülete OX-re Z ', OY -r Z ''. Eor Z' O ZZ' ' cos és Z '' O ZZ ' sin. Így dódi, hogy XZ' cos és YZ' ' sin. Az XZ ZY cos sin cos sin Feldtun négyzet összeg ét Pitgorsz-tétel összegeént dódi: cos cos sin sin cos. cos cos sin sin sin mimlizálás, hol 0, /. Ez ifejezés or lesz mimális, h négyzete mimális, mi sin sin cos cos sin. Ez or lesz mimális, h sin, zz /, zz Z z XY ív felezőpontj. A negyedörre vontozó optimlizálási érdésre dott válszból övetezi, hogy négy ismeretlen csúcs válsztás or lesz optimális, h szbályos nyolcszöget lítn i (mindegyiü megfelelő negyedörív felezőpontj).

18 Megjegyzés: Hsonlón járhtun el úgy is, hogy z OXZ és z OYZ háromszögeben llmzzu oszinusz tételt ( megfelelő szöge, ill. 90 ). Eor szintén zonnl dódi, hogy sin cos mennyiség mimumát ell meghtározni, h 0;. II. Megoldás: jelölésein z ábrán láthtó. (Itt z egyes negyedöröön felvett pontot P, P, P és P jelöli.) Mivel OA OC R, ezért Pitgorsz-tétel mitt AC. A P -et nem trtlmzó AC ívhez 70-os özépponti szög trtozi, erületi és özépponti szöge összefüggése mitt ezért AP C 5. Ugyncs erületi és özépponti szöge összefüggéséből dódi, hogy h P CA, or P OA, hogy zt z ábrán is jelöltü. Felírhtju z AP C háromszögre oszinusztételt: () y y cos5 AC. Tudju, hogy AC és cos5, ezért ()-ből övetezi, hogy () y y. A () összefüggésből láthtó, hogy z és y számo mindegyie isebb -nél, erre z eredményre megoldás során ésőbb lesz szüségün. Az OAP háromszögre felírt oszinusztétel mitt cos, melyből

19 () cos. Egy trigonometrii zonosság szerint cos cos, zz ()-ból művelete elvégzése után () cos. Az AP C háromszögre ismét felírju oszinusztételt, de most mási oldlr. Eszerint y y y cos, ebből cos, y ebből pedig négyzetreemeléssel, egyszerűsítés után: (5) y y y cos. 8y y y A () és (5) egyenlőségéből 8y elvégzése és rendezés után y, melyből y, illetve művelete y (6) övetezi. Mivel fentie szerint z és y számo mindegyie isebb -nél, ezért (6) összefüggés bl oldlán éppen és y pozitív számo négyzetes özepe áll. Erről tudju, hogy ngyobb, vgy egyenlő érdéses számo számtni özepénél, vgyis y, melyből (7) y. A (7) eredmény zt jelenti, hogy z AP CP BP DP nyolcszög P A és C oldli négyzetösszegéne minimális értée, ezt minimumot P összeg or P A P C éri el, h négyzetes és számtni özép tgji egyenlő, zz, h y, vgyis, h PA y PC. Eor P éppen z AC negyedörív felezőpontj. Hsonlóéppen láthtó be, hogy P C P, P B P és P D P összege B D A mindegyiéne minimális értée is, ez pedig zt jelenti, hogy z APCP BP DP nyolcszög oldli négyzetösszegéne minimális értée 6 8, ez or vlósul meg, h P ; P ; P és P ponto megfelelő negyedöríve felezőpontji.. feldt: Az,,,,, 0, 0 z,,,,, 0, 0 számo egy tetszőleges sorbállítás. Igzolju, hogy z +, +, +, +,, 0 +0, 0 +0 számo özt lesz ét olyn, melye 0-vel osztv zonos mrdéot dn! Blázsi Borbál (Beregszász)

20 Megoldás: Tegyü fel, hogy,,, 0 ellenpéld z állításr. 0-vel osztv egy egész számot 0-féle mrdéot phtun. H 0 drb i +i számun özt nincs ettő ugynzzl mrdél, or z cs úgy lehet, hogy mindegyi mrdé pontosn egyszer fordul elő. Tehát z i +i számin összege ugynzt dj mrdéul 0-vel osztv, mint =50. Számin összege , hiszen z i - is -től 0-ig z egésze, cs esetleg más sorrendben. Tehát számin összege oszthtó 0-vel, míg nem. Ez ellentmondás, mi z állítást igzolj. 5. feldt: Egy ABCD négyzet lú ppír A csúcsát BC oldl egy X belső pontjához mozgtju és ppírlpot behjtju. A behjtott AD oldl z ábrán láthtó módon C csúcsnál levág egy XEC háromszöget. Hogyn válsszu meg z X pontot hhoz, hogy levágott háromszög beírt öréne sugr lehető legngyobb legyen? D N E C X A M B Egyed László (Bj) Megoldás: Az A csúcs z X pontb erül. A hjtás egyenese z AX szsz felező merőlegese. Erről önnyű látni, hogy z AB és DC oldlt metszi. A metszésponto legyene rendre M és N. Legyen XAB=. Az AMX háromszög egyenlőszárú, lpon fevő szögei ngyságú. Az XMB háromszög egyi ülső szöge, ngyság. Az EXC és z XMB merőleges szárú szöge, így EXC=XMB=. Legyen O z EXC háromszög beírt öréne özéppontj. A CX oldl beírt ört érintse z O' pontbn. Eor z XOO' háromszög egy derészögű háromszög és X-nél lévő szöge EXC/=. Így hsonló z ABX háromszöghöz. Legyen iinduló négyzet oldl és z XB hosszát jelöljü -szel. Így z ABX háromszög ét befogój és. H z EXC háromszög beírt öréne sugr r, or z OXO' háromszög befogói --r és r. A hsonlóság mitt :=r:--r. Ebből r ifejezhető: r.

21 Ez sugár or lesz legngyobb, mior -ból levont ifejezés legisebb. Ez ifejezés egy összeg, mely tgjin szorzt állndó. A számtni és mértni özép özötti egyenlőtlenségből és bbn z egyenlőség eseténe nlíziséből övetezi, hogy levont ifejezés pontosn or legisebb, mior, zz,. 6. feldt: Egy n elemű hlmz három elemű részhlmziból iválsztun néhányt úgy, hogy semelyi három ne trtlmzzon egynél több özös elemet. Igzolju, hogy n( n ) iválsztott hármso szám nem hldhtj meg -t! Ró Sándor (Nyíregyház) Megoldás: Alphlmzun összes ételemű részhlmzár írju fel iválsztott elemhármso özül zot, melye ét elemű hlmzt trtlmzzá. Feltételein szerint egy ételemű hlmz esetén se írhttun fel három vgy több n iválsztott elem-hármst, zz z elempár mindegyie legfeljebb elem-hármst d n listár. Így listán legfeljebb hosszú lesz. Másrészt minden iválsztott három-elemű részhlmz háromszor szerepel listán, három ét elemű részhlmz mitt. A étféle gondoltmenet összevetéséből pju, hogy iválsztott részhlmzo szám legfeljebb n nn.