Memóriahabok viszko-hiperelasztikus anyagmodellezése

Átírás

1 Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Műszaki Mechanikai Tanszék Berezvai Szabolcs Memóriahabok viszko-hiperelasztikus anyagmodellezése TDK dolgozat Konzulens: Dr. Kossa Attila, adjunktus Műszaki Mechanikai Tanszék Budapest, 2015

2 Tartalomjegyzék 1. Bevezetés Előszó A dolgozat célja és motivációja A dolgozat tartalmi felépítése A dolgozatban használt legfontosabb jelölések Polimer habok hiperelasztikus modellezése Hiperelasztikus anyagmodellek áttekintése Ogden Hill-féle hiperelasztikus modell Az Ogden Hill-féle anyagmodell története Megoldás egytengelyű nyomás esetén Időfüggő anyagi viselkedés modellezése Viszkoelasztikus anyagi viselkedés A relaxáció mechanikai modellje A feszültség válasz függvény egydimenziós terhelés esetén Áttérés véges alakváltozásokra Mérések Bevezetés Próbatestek A mérési adatok feldolgozása Relaxációs teszt Eredmények Ciklikus teszt Eredmények Mérési eredmények összefoglalása Anyagparaméterek meghatározása Paraméterillesztés módszerei viszko-hiperelasztikus anyag esetén Paraméterek illesztése szétválasztott módszerrel Hiperelasztikus paraméterek Prony-sorozat paraméterei Ellenőrzés végeselemes analízissel Az illesztés eredménye Paraméterillesztés zárt alakban Zárt alakú megoldás Anyagparaméterek illesztése Eredmények összehasonlítása i

3 TARTALOMJEGYZÉK 6. Összefoglalás 39 Függelék 41 A. A Hyperfoam anyagmodell kapcsolata a Hooke-törvénnyel 42 B. A nemteljes gamma függvény 44 B.1. A (teljes) gamma függvény B.2. A felső nemteljes gamma függvény B.3. Speciális esetek Irodalomjegyzék 47 ii

4 Köszönetnyilvánítás Ezúton szeretnék köszönetet mondani konzulensemnek Dr. Kossa Attila adjunktusnak (Műszaki Mechanikai Tanszék) lelkiismeretes témavezetéséért és folyamatos segítségért a dolgozat megírása során. Köszönöm a több éves közös munka során nyújtott támogatását, ösztönzését és azt, hogy megismertette és megszerettette velem a polimer habok mechanikáját. A polimer habok gyártási technológiával és ipari felhasználásával a Furukawa Electric Technológiai Intézetnél (FETI Kft.) töltött szakmai gyakorlatom során ismerkedtem meg. Az itt szerzett tapasztalatok rendkívül hasznosnak bizonyultak a dolgozat megírása során. A kutatás az Országos Tudományos Kutatási Alapprogramok (OTKA) PD számú projektjének támogatásával valósult meg. A támogatást hálásan köszönöm. iii

5 1. fejezet Bevezetés 1.1. Előszó A polimer habok széles körben elterjedt sejtszerkezetű anyagok, köszönhetően mechanikai viselkedésüknek és nagy energiaelnyelő képességüknek. Szerkezeti felépítésükből adódóan tömegük kicsi, sűrűségük alacsony, melyhez szintén relatív alacsony értékű mechanikai anyagjellemzők tartoznak: rugalmassági modulusz, térfogatváltozási (bulk) modulusz és csúsztató rugalmassági modulusz. Jellemzőjük a nagy térfogati alakváltozással járó deformációk és elmozdulások. Ezek a tulajdonságok látszólag nem kedvezőek a gyakorlati felhasználás szempontjából. Azonban az ütésvédelem területén a nagy energiaelnyelő képesség mellett olyan kis merevségű és szilárdságú anyagokra van szükség, amely mechanikai tulajdonságait a gyártás során könnyen lehet szabályozni. A polimer habok ezeknek az igényeknek megfelelnek [1]. A fenti tulajdonságaiknak köszönhetően elsősorban a csomagolástechnika és az ütésvédelem területén találkozhatunk az ipari gyakorlatban polimer habokkal, amelyek elsődleges feladata, hogy védje a terméket szállítás és raktározás közben az ütésektől és sérülésektől, valamint csillapítsa a környezeti rezgéseket és szigeteljen. Az ipari alkalmazás mellett a hétköznapi termékekben is számos helyen előfordulnak polimer habok: például sportcipők, ágymatracok, ülések, bukósisakok vagy éppen füldugók. Ezekben az esetekben a fő funkció az emberi test megfelelő védelme, alátámasztása illetve szigetelése. Az emberi test nem megfelelő alátámasztása alvás, ülés vagy futás közben súlyos ortopédiai károsodást okozhat, illetve növelheti a trombózis kialakulásának kockázatát is [2]. A nagy energiaelnyelő képesség mellett a polimer habok fontos tulajdonsága, hogy mechanikai viselkedésük időfüggő ún. viszkoelasztikus. A viszkoelasztikus anyagtulajdonságok következtében a polimer habok anyagi viselkedését nem csak a terhelés nagysága, hanem annak időbeli lefolyása is befolyásolja. Emellett a habok jellemzője a feszültség relaxáció és a kúszás is. A viszkoelasztikus anyagi viselkedés miatt a hab viselkedésének leírásához szükséges pontosan megismerni a terhelés időbeli lefolyását, amely megnehezíti a tervezést. A viszkoelasztikus tulajdonságokat használják ki például autóülések esetében is, amikor az utak egyenetlensége okozta rezgések csillapítása is feladat [3]. Ezekkel az időfüggő jelenségekkel találkozhatunk például az ágymatracok memóriahab rétegében is, ahol az emberi test okozta terhelés időtartama több órás. A memóriahabokat a NASA kezdte fejleszteni az űrhajók üléseihez, majd a kezdeti kísérleteket követően kiadták a fejlesztéseket. Az első kereskedelmi forgalomban kapható memóriahab matracot a svéd Fagerdala World Foams alkotta meg. Azóta számos gyártó bekapcsolódott 1

6 Bevezetés a gyártásba és a fejlesztésbe. A memóriahab matracok viszkoelasztikus tulajdonságaiknak köszönhetően képesek a testvonal követésére, amely lehetővé teszi, hogy a matrac mindenhol egyenletesen alátámassza a testet (lásd 1.1. ábra). Így csökkentett nyomás nehezedik a gerincre és a testre, ennek következtében az alvás kényelmesebb és mélyebb lesz [4]. a) b) 1.1. ábra. Az ágymatracokban alkalmazott a) memóriahab és b) testhez illeszkedő alátámasztása Forrás: cardo.hu, matracguru.hu 1.2. A dolgozat célja és motivációja A polimer habok széleskörű alkalmazása miatt jelentős az igény arra, hogy pontos mechanikai modellt alkossunk viselkedésükről és így lehetővé tegyük a polimer habok végeselemes analízisét is. A véges rugalmas és viszkoelasztikus mechanikai viselkedés modellezésére a hiperelasztikus és a viszkoelasztikus anyagmodellek összekapcsolásával létrehozott ún. viszko-hiperelasztikus anyagmodell kellő pontosságú leírást biztosít. Ezen összetett anyagmodellek szinte az összes kereskedelmi végeselemes szoftverben, köztük az Abaqusban is elérhetőek [5]. Ebben a megközelítésben az időfüggő feszültség-relaxációs jelenséget Prony-sorozatok formájában, míg az végtelen lassú terheléshez tartozó sebesség-független viselkedést a hiperelasztikus anyagmodell segítségével írjuk le. Dolgozatom célja, hogy a matracokban előforduló poliuretán memóriahab alapanyag esetén vizsgáljam a viszko-hiperelasztikus viselkedés modellezését és analitikusan levezessem a fenti anyagmodellből adódó feszültség válaszfüggvényt egytengelyű nyomás esetén, majd mérési eredmények alapján meghatározzam az anyagmodellben szereplő anyagparamétereket. Ezen anyagmodelleknél görbeillesztés legelterjedtebb algoritmusa, hogy a végtelen lassú terhelésre adott válasz illetve a feszültség relaxáció esetén külön-külön illesztjük az anyagi paramétereket. Ez azonban jelentős hibát tartalmaz, így az illesztett anyagmodell nem lesz pontos [6],[7]. Az analitikusan meghatározott feszültség-válasz segítségével a teljes viszko-hiperelasztikus anyagmodell illesztését egy lépésben el lehet végezni a valós mérési eredmények alapján [8]. Ennek követkesztében a paraméterillesztés hibája csökken, az illesztett anyagmodell jelentősen pontosabb lesz. Dolgozatom fő motivációját az jelentette, hogy nyílt cellás polimer habok esetében lehetőség nyílik arra, hogy a feszültség választ zárt alakban felírjuk [9], [10]. Ez a zárt 2

7 Bevezetés alakú megoldás a szakirodalomban jelenleg nem fellelhető, így egy új lehetőség nyílik arra, hogy a polimer habok időfüggő viszkoelasztikus modellezése még pontosabb legyen. A zárt-alakú paraméterillesztés előnyeit, amely a dolgozat fő motivációját jelenti a 1.2. ábra szemlélteti. Az illesztések részeletes magyarázatát a dolgozat későbbi fejezetében részeletesen közlöm. Mérési eredmény feszültség idő Időfüggő Relaxáció modell illesztése Időfüggetlen Relaxáció modell illesztése illesztése feszültség Szétválasztott illesztés + feszültség Zárt alakú illesztés idő alakváltozás idő Illesztett modell Illesztett modell feszültség feszültség idő idő 1.2. ábra. A dolgozat motivációjának összefoglalása: a zárt-alakú illesztés előnyei 1.3. A dolgozat tartalmi felépítése A jelen TDK dolgozat 6 fejezetre tagolódik. Az 1. fejezetben bemutatom a polimer habok jelentőségét és vizsgálataim tárgyát: a memóriahabokat. Ezen felül megfogalmazom a dolgozat célját és motivációját, valamint összegzem a dolgozatban alkalmazott főbb jelöléseket. A 2. fejezetben áttekintem a polimer habok időfüggetlen viselkedést leíró hiperelasztikus anyagmodelleket és a leggyakrabban használt Ogden Hill-féle összenyomható anyagmodellt. A fejezetben részletezem a feszültség megoldást egytengelyű homogén összenyomás esetén. A 3. fejezetben bemutatom az időfüggő mechanikai viselkedést kísérő jelenségeket és azok leírására szolgáló viszkoelasztikus anyagmodellezés koncepcióját. Ezt követően ismertetem a polimer-habok esetén alkalmazható véges rugalmas viszkohiperelasztikus anyagmodellt. A 4. fejezet a vizsgált memóriahab alapanyagon végzett 3

8 Bevezetés egytengelyű relaxációs és ciklikus méréseket mutatja be, amelyek alapján a memória habok időfüggő mechanikai viselkedéét jellemezni tudjuk. Az 5. fejezet tartalmazza az anyagparaméterek meghatározására alkalmazott különböző paraméterillesztési lehetőségeket és az illesztés eredményeinek összehasonlítását. A fejezet tartalmazza az egytengelyű terhelés esetén levezetett zártalakú a feszültség válasz függvényt is. Az dolgozat eredményeit és a konklúziókat a 6. fejezetben foglalom össze A dolgozatban használt legfontosabb jelölések Latin betűk A 0 b C E e k F F G g i H 0 I 1,I 2,I 3 J K k i L 0 n (a) N (a) N P P S W Kezdeti keresztmetszet Baloldali Cauchy Green-féle deformációs tenzor Jobboldali Cauchy Green-féle deformációs tenzor Rugalmassági modulusz relatív rugalmassági modulusz Alakváltozási gradiens Terhelés, erő Csúsztató rugalmassági modulusz Relatív csúsztató rugalmassági modulusz Kezdeti befogási hossz C és b skalárinvariánsai Térfogatváltozás mértéke (F determinánsa) Térfogatváltozási (bulk) modulusz Relatív térfogatváltozási (bulk) modulusz Próbatest magassága b ortonormált sajátvektorai C ortonormált sajátvektorai Hiperelasztikus anyagmodell rendje Prony-sorozat rendje Első Piola Kirchhoff-féle feszültségi tenzor Második Piola Kirchhoff-féle feszültségi tenzor Fajlagos alakváltozási energia Görög betűk α i, β i, µ i Γ(ν,x) δ ε ε λ ν σ σ τ τ τ i Az Odgen Hill-féle anyagmodell paraméterei Felső nemteljes gamma függvény Relatív hiba Mérnöki alakváltozás Mérnöki alakváltozási sebesség Nyúlás Poisson-tényező Cauchy-féle feszültség Cauchy-féle feszültségi tenzor Krichhoff-féle feszültség Krichhoff-féle feszültségi tenzor Prony-paraméterek 4

9 2. fejezet Polimer habok hiperelasztikus modellezése A következő elméleti összefoglaló I. Dorghi (2000) [11], A. Bower (2010) [12], és E. A. de Souza et al. (2008) [13] munkáinak felépítését követi. A polimer habok deformációi viszkoelasztikus viselkedést mutatnak, azaz miután az alkalmazott terhelést eltávolítjuk, a test fokozatossan nyeri vissza eredeti alakját. A viszkoelasztikus anyagmodellek megértéséhez elengedhetetlen, az időfüggetlen, azaz a végtelen gyors illetve a végtelen lassú terhelés során mutatott anyagi viselkedést leíró hiperelasztikus anyagmodellek megismerése Hiperelasztikus anyagmodellek áttekintése Lineáris rugalmasságtanban a feszültség és az alakváltotás közti kapcsolatot a Hooketörvény segítségével írhatjuk fel: σ = E [ ε+ ν ] 1+υ 1 2ν ε II. (2.1) Az egyszerűbb felírási mód érdekében vezessünk be egy 4-ed rendű tenzort D e az ún. Hooke-operátort, amely definíció szerint D e = E 1+υ T + ν I I, (2.2) 3(1 2ν) ahol T egy negyedrendű tenzor, amely a deviátoros leképezést írja le. Felhasználva a Hooke-operátort a Hooke-törvény az alábbi alakra egyszerűsödik σ = D e : ε. (2.3) Egy másik megközelítést alkalmazva, a Hooke-törvényt kifejezhetjük az alábbi összefüggéssel is σ = ( ) 1 ε 2 ε : De : ε, (2.4) 5

10 Polimer habok hiperelasztikus modellezése amelyben W(ε) = 1 2 ε: De : ε egy skalár függvény, az egységnyi térfogaton definiált alakváltozási energiasűrűség. Következésképpen a feszültségtenzort kifejezhetjük a W skalár függvény ε alakváltozási tenzor szerinti paricális deriváltjaként: σ = W(ε) ε. (2.5) Hasonlóképpen, amikor az anyagi viselkedés már nem írható le kis alakváltozások segítségével, azaz át kell térünk nagy nyúlásokra, az ún. hiperelasztikus anyagmodellek konstitutív egyenletei szintén levezethető W(F) skalár függvényből, amely az alakváltozási energiasűrűséget fejezi ki egységnyi térfogatra viszonyítva a referencia konfigurációban az alakváltozási gradiens függvényeként, azaz W = W(F), (2.6) feltételezve, hogy létezik egy ilyen W(F) függvény a hiperelasztikus anyagmodell esetén. Ekkor a W(F) függvény idő szerinti deriváltja, azaz Ẇ, megadja a feszültség teljesítményét, amely kifejezhető a Cauchy- (σ), a Kirchhoff- (τ) valamint az első Piola Kirchhoffféle (P) feszültségi tenzorokkal a Ẇ = Jσ : d = τ : d = P : F (2.7) egyenlet segítségével. Az egyenletben J = det F a térfogati alakváltozás mértéke, d pedig a deformációsebesség tenzor. Ezen felül Ẇ felírható az alakváltozási energiasűrűség idő szerinti deriváltjaként, amelyet a lácszabály felhasználásával Ẇ = W(F) F : F (2.8) alakban fejezhetünk ki. Összehasonlítva Ẇ felírását a (2.7) és (2.8) egyenletekben, majd egyenlővé téve azokat P : F = W(F) : F (2.9) F adódik. Ez azt jelenti, hogy az első Piola Kirchhoff feszültségi tenzor (P) közvetlenül kifejezhető az alakváltozási energiasűrűségből, mint P = W(F) F. (2.10) Az alakváltozási gradiens objektív mennyiség, tehát ha egy további merev elforgatást (Q) adunk a deformációhoz, akkor F = QF írja le a módosult alakváltozási gradienst. Ebből következik, hogy a W(F) = W(QF) (2.11) is teljesül, hiszen a merev elforgatás során nem változik a tárolt rugalmas energia. Az alakváltozási gradiens felírható a jobboldali Cauchy Green deformációs tenzor C segítségével felhasználva a poláris felbontást, mint F = RU = R C. (2.12) 6

11 Polimer habok hiperelasztikus modellezése Amennyiben a merev elforgatást Q = R T alapján választjuk meg, ebben az esetben W kifejezhető U = C segítségével is. Következésképpen W felírható C függvényeként, azaz W(F) = W(C), (2.13) amelyből a feszültség teljesítményt a Ẇ = W(F) F : F = W(C) C C F : F, (2.14) egyenlet segítségével fejezhetjük ki. Felhasználva, hogy C = F T F szimmetrikus tenzor, a parciális derivált a C F = 2F (2.15) alakra egyszerűsíthető. Ezt felhasználva, a jobboldali Cauchy Green deformációs tenzor segítségével kifejezett W(C) alakváltozási energiafüggvény esetében az első Piola Kirchhoff-féle feszültségi tenzort a P = 2F W(C) C (2.16) egyenlet adja meg. Ezt felhasználva, a második Piola Kirchhoff- (S), a Kirchhoff- (τ) és a Cauchy-féle (σ) feszültségi tenzorok az alábbi módon fejezhetőek ki W(C) segítségével: S=F 1 P = 2 W(C) C, (2.17) τ=pf T = 2F W(C) C FT, (2.18) σ= 1 J PFT = 2 J F W(C) C FT. (2.19) Izotrop anyag esetében az alakváltozási energiasűrűség függvény W(C) a C tenzor skalár invariánsai (I 1,I 2 és I 3 ) vagy a főnyúlások (λ 1,λ 2 és λ 3 ) függvényeként is kifejezhető, azaz W = W(I 1,I 2,I 3 ) vagy W = W(λ 1,λ 2,λ 3 ). (2.20) ahol a skalár invariáns mennyiségek a I 1 = tr[c], I 2 = 1 2 (I2 1 tr[c2 ]), I 3 = det C = J 2. (2.21) összefüggések alapján számolhatóak. Mivel (λ i ) 2 értékek C tenzor sajátértékei, így a skalár invariánsok felírhatóak a főnyúlások (λ 1,λ 2 és λ 3 ) segítségével is, mint I 1 = λ 2 1+λ 2 2+λ 2 3, I 2 = (λ 1 λ 2 ) 2 +(λ 1 λ 3 ) 2 +(λ 2 λ 3 ) 2, I 3 = (λ 1 λ 2 λ 3 ) 2. (2.22) Feltételezzük, hogy az alakváltozási energiasűrűség függényt a főnyúlások segítségével definiáljuk, tehát W = W(λ 1,λ 2,λ 3 ). Ekkor alkalmazva a láncszabályt S=2 W(λ 1,λ 2,λ 3 ) C = 2 3 W(λ 1,λ 2,λ 3 ) λ k λ k C (2.23) 7

12 Polimer habok hiperelasztikus modellezése adódik, ahol a sajátértékekre vonatkozó deriválási szabály λ k C = 1 N (k) N (k), (2.24) 2λ k melyben N (k) a C tenzor ortonormált sajátvektorai. Ezután a (2.24) egyenletet visszahelyettesítve a (2.23) egyenletbe az S = 3 1 λ k W λ k N (k) N (k) (2.25) összefüggés adódik. Felhasználva a feszültségi tenzorok (2.17)-(2.19) egyenletekben felírt kapcsolatát a feszültségi tenzorokra az alábbi összefüggések adódnak: σ = τ = P = λ k J W λ k n (k) n (k), (2.26) λ k W λ k n (k) n (k), (2.27) W λ k n (k) N (k), (2.28) ahol n (k) a baloldali Cauchy Green deformációs tenzor (b) ortonormált sajátvektora, melyre N (k) = λ a F 1 n (k) teljesül. A (2.25) - (2.28) egyenletek alapján a főfeszültségeket az alábbi alakban fejezhetjük ki S k = 1 W, σ k = λ k W W, τ k = λ k, P k = W, k = 1,2,3 (2.29) λ k λ k J λ k λ k λ k 2.2. Ogden Hill-féle hiperelasztikus modell A szakirodalomban számos hiperelasztikus anyagmodell található, többségük ún. femonemológiai modell, de számos olyan modell is található, amelyek anyagszerkezeti alapokra épültek. Fontos hangsúlyozni, hogy általánosan elfogadott jó hiperelasztikus modell nincs. A hiperelasztikus anyagmodell választása során figyelembe kell mindig venni az anyag mechanikai viselkedését és jellemzőit, majd ennek ismeretében lehet megfelelő hiperelasztikus anyagmodellt választani. A hiperelasztikus anyagmodellek fejlődését elsősorban a gumiszerű anyagok mechanikai modellezésének igénye motiválta. A gumiszerű anyagok jellemzője, hogy nagy alakváltozásra képesek, ugyanakkor a térfogati alakváltozásuk közel zérust. Ekkor kis alakváltozások esetén a Poission-tényezőre a ν 0,5 közelítést lehet alkalmazni. Ez a kinematikai leírás szempontjából előnyös, hiszen csökken az ismeretlenek száma, ugyanakkor a végeselemes szimulációk során a térfogati alakváltozáshoz tartozó bulk modulusz értéke végtelen lesz. Emiatt a gumiszerű anyagokra felírt összenyomhatatlan (incompressible) hiperelasztikus modellek helyett egy módosítótt ún. közel összenyomhatatlan (nearlyincompressible) hiperelasztikus anyagmodellt használnak, amely egy egyszerű modell segítségével lehetővé teszi a kismértékű térfogati alakváltozást. 8

13 Polimer habok hiperelasztikus modellezése A gumiszerű anyagokkal szemben a polimer habok esetén a nagy deformációk nagy térfogati alakváltozással járnak, ezért a gumiszerű anyagokra kifejleszett hiperelasztikus anyagmodellek nem használhatóak a polimer habok modellezésére. A nagy térfogati alakváltozás olyan jelentős, hogy elsősorban az ún. nyílt cellás habok esetében egytengelyű nyomómérések esetén a keresztirányú alakváltozás elhanyagolható, emiatt a szakirodalomban a Poisson-tényezőt ν 0 (2.30) értékkel közelíthetjük [2], [3]. A vizsgálataink tárgyát képező memóriahabok is nyílt cellás habok, emiatt további számításaink során a (2.30) egyenletben szereplő közelítéssel élünk. A nagy térfogati alakváltozást kellő pontossággal modellező hiperelasztikus anyagmodellek csak korlátozott számban érhetőek el. Mindössze csak egy általánosan elfogadott ún. compressible hiperelasztikus anyagmodell érhető el a szakirodalomban, valamint a legelterjedtebb kereskedelmi végeselem szoftverekben (Abaqus [5], Ansys [14], Msc Marc [15]) is. Az anyagmodell elnevezése a végeselemes szoftverek esetében nem egységes Abaqus Hyperfoam, Ansys Ogden foam míg Msc Marc Rubber foam néven használja az anyagmodellt. Ennek oka, hogy az anyagmodell elnevezése a szakirodalomban sem egységes, mivel bevezetése több ember nevéhez fűződik. A legelterjedtebb elnevezése az Ogden Hill-féle hiperelasztikus modell Az Ogden Hill-féle anyagmodell története Ogden 1972-es publikációjában [16] összenyomható anyagok hiperelasztikus modellezését vizsgálja. Az általa felírt összenyomható hiperelasztikus anyagmodell olyan, hogy egy korábbi gumiszerű anyagokra felírt összenyomhatatlan hiperelasztikus anyagmodellt egészíti ki egy ismeretlen f(λ 1,λ 2,λ 3 ) függvénnyel, amely a térfogati alakváltozásból adód alakváltozási energiasűrűséget (W) adja meg. Ogden felírásában az anyagmodellhez tartozó alakváltozási energiasűrűség függvényt a W = N µ i α i (λ α i 1 +λ α i 2 +λ α i 3 3)+f(λ 1,λ 2,λ 3 ) (2.31) adja meg, amelyben N jelöli az anyagmodel rendjét, α i és µ i pedig anyagi paraméterek. Ezt követően 1978-ban Hill [17] munkájában az Ogden-féle modellben (2.31 egyenlet) szereplő volumetrikus tagra az alábbi javaslatot teszi: f(λ 1,λ 2,λ 3 ) = N µ i 1 2ν ) (J ν 1 2ν α i 1, (2.32) α i ν ezt visszaírva a (2.31) egyenletbe a modell N ( µ i W = λ α 1 2ν i 1 +λα i 2 +λα i 3 3+ (J ν 1 2ν α i 1) ) (2.33) ν α i alakú lesz. Ebben a felírásban három anyagi paraméter α i, µ i és ν található, melyek közül α i és µ i összetartozó anyagparaméterek, így összesen a modellben 2N+1 anyagparaméter szerepel. A felírt modellt 1986-ban Storakers [18] egy új anyagparaméter bevezetésével a N ( µ i W = λ α i 1 +λ α i 2 +λ α i ( J nα i 1 )) (2.34) n α i 9

14 Polimer habok hiperelasztikus modellezése alakban írja fel, ahol n = ν 1 2ν. (2.35) A (2.34) egyenleten alapul Abaqus [5] által használt felírás is, amelyben az alakváltozási energiasűrűség W = N 2µ i α 2 i ( λ α i 1 +λ α i 2 +λ α i β i ( J α i β i 1 )) (2.36) alakú. Fontos hangsúlyozni, hogy ebben a felírásban szereplő µ i értékek nem azonosak a (2.34) egyenletben használt µ i értékekkel. Emellett számottevő különbség az is, hogy az (2.34) felírásában szereplő n paramétert is α i és µ i paraméterekkel összefüggőnek definiálja, így n paraméterből is N db szerepel az anyagmodellben. Ennek megkülönböztetéséül vezeti be az Abaqus a β i paramétereket. Továbbá az Abaqus-ban található µ i paraméterekből a kezdeti csúsztatórugalmassági modulusz közvetlenül számítható, mint µ 0 = N µ i > 0, (2.37) amely egy feltételt is jelent a µ i paraméterek lehetséges értékeire nézve. Ennek részletes magyarázatát a A. függelékben közlöm. A további számításaink során az Ogden Hill-féle anyagmodell (2.36) egyenletben felírt alakját fogjuk használni Megoldás egytengelyű nyomás esetén Az időfüggetlen mechanikai viselkedés leírására használt Ogden Hill-féle hiperelasztikus anyagmodellhez tartozó alakváltozási potenciálfüggvényt (2.36 egyenlet) behelyettesítve a (2.29) egyenletbe a főfeszültségekre τ k = N 2µ i α i ( λ α i k J α iβ i ), (2.38) σ k = 1 J S k = P k = N N N 1 λ 2 k 2µ i α i ( λ α i k J α iβ i ), (2.39) 2µ i α i ( λ α i k J α iβ i ), (2.40) 1 λ k 2µ i α i ( λ α i k J α iβ i ), (2.41) adódnak. Az anyagi paraméterezések meghatározásához egytengelyű nyomó vizsgálatot alkalmazunk (lásd. később), emiatt az egytengelyű nyomáshoz tartozó feszültség-választ kell előállítani. Az egytengelyű nyomás kinematikáját az λ λ F = 0 λ 2 0 = (2.42) 0 0 λ 3 0 λ T λ T 10

15 Polimer habok hiperelasztikus modellezése E 1 e E 3 T e 3 E 2 1 e T 2 a) deformáció előtt b) deformációt követően 2.1. ábra. Az egytengelyű nyomás kinematikai leírása alakváltozási gradiens írja le, melyben az 1-es index jelöli a nyomás deformációt (lásd 2.1. ábra). Feltételezve, hogy izotrop anyagról van szó λ 2 = λ 3 = λ T, azaz a keresztirányú (transversal) nyúlások egyenlőek lesznek. Ekkor a térfogatváltozás mértéke J = detf =λ 1 λ 2 T. Mivel keresztirányban szabadon deformálódhat a test, a keresztirányú feszültség zérus lesz, azaz τ 2 = τ 3 = 0. Ezeket felhasználva, és behelyettesítve a (2.38) egyenletbe, a Kirchhoff-féle főfeszültségre az alábbi összefüggések adódnak: τ 1 = N 2µ ( i λ α i 1 ( ) ) λ 1 λ 2 αi β i T, (2.43) α i τ 2 = τ 3 = N 2µ ( i λ α i T α ( ) ) λ 1 λ 2 αi β i T = 0. (2.44) i A fenti egyenletrendszerből az anyagi paraméterek ismeretében meg lehet határozni adott λ 1 érték esetén a λ T keresztirányú nyúlást és τ 1 főfeszültséget. Azonban a vizsgált memóriahabok esetében (2.30) közelítéssel élhetünk, azaz a keresztirányú nyúlásokra λ T = 1 teljesül. Ez azt is jelenti, hogy β i = 0, amely alapján a longitudinális irányú főfeszültségre τ 1 = N 2µ i (λ α i 1 1) (2.45) α i adódik, amely segítségével a Kirchhoff-féle feszültségi tenzor az alábbi alakban írható fel: τ τ= (2.46)

16 3. fejezet Időfüggő anyagi viselkedés modellezése A polimer habok időfüggő viselkedése speciális viszkoelasztikus anyagmodellekkel írható le. Mivel ezeket az időfüggő (vagy sebességfüggő) deformációkat nagy nyúlások és elmozdulások jellemzik, a kis nyúlások esetén érvényes lineáris viszkoelasztikus anyagmodellek nem alkalmazhatóak. Véges deformációk esetén emiatt speciális ún. viszkohiperelasztikus modellezési eljárást kell követni. Az ilyen anyagmodellek két részből tevődnek össze: egy hiperelasztikus és egy viszkoelasztikus anyagmodellből [5]. A viszkohiperelasztikus anyagmodellek megismeréséhez először a kis nyúlások esetén alkalmazott lineáris viszkoelasztikus anyagmodelleket kell elemezni, majd ezután lehet áttérni nagy nyúlások esetére Viszkoelasztikus anyagi viselkedés A tisztán rugalmas anyagok jellemzője, hogy a terhelés során a rugalmas energiát tárolják, majd a terhelés megszüntetése után azonnal visszanyerik eredeti alakjukat. Ezzel szemben a viszkoelasztikus anyagok rendelkeznek ún. viszkózus tulajdonságokkal is, azaz a rugalmas energia egy része a terhelés során disszipálódik. Emiatt a mechanikai viselkedés időfüggő lesz, a terhelés megszüntetése után csak végtelen idő alatt nyeri vissza a test az eredeti alakját. Ez ciklikus egytengelyű terhelés esetén azt jelenti, hogy a feszültségalakváltozás (σ ε) diagrammon hiszterézis látható, azaz nem ugyanazon az úton történik a fel- és a leterhelés. Az időfüggőség azt is jelenti, hogy az deformáció sebessége ( ε) is befolyásolja az anyagi viselkedést. Az egytengelyű nyomás példájánál maradva, minél gyorsabban történik az összenyomás, annál nagyobb feszültségértékek adódnak. A fenti jelenségeket az 3.1. ábra szemlélteti [3]. a) b) ábra. A viszkoelasztikus anyagi viselkedést kísérő jelenségek: a) hiszterézis a ciklikus terhelés során és b) a növekvő deformációsebesség hatása 12

17 Időfüggő anyagi viselkedés modellezése A viszkoelasztikus viselkedés további jelenségei a feszültség relaxáció és a kúszás. A feszültség relaxáció esetében az alakváltozás értékét konstansnak(ε 0 ) tartva a feszültség exponenciális jellegűen csökken az idővel, míg kúszás esetén a feszültség értékét rögzítjük (σ 0 ), ekkor pedig exponenciális jellegűen fog növekedni az alakváltozás (lásd 3.2. ábra) [2]. Mindkét jelenség esetében meg lehet határozni egy τ időléptéket, amely jellemzi a jelenség időbeli lefutását. A fenti jelenségek a viszkoelasztikus modellezés szempontjából kiemelten fontosak, hiszen az időfüggő anyagi viselkedést a két jelenségre felírt modellek segítségével tudjuk leírni. Jelen dolgozatban a relaxáció modellezésén alapuló viszkoelasztikus anyagmodelleket használjuk [8]. ( ) ( ) ( ) ( ) a) relaxáció b) kúszás 3.2. ábra. A relaxáció és a kúszás jelensége A relaxáció mechanikai modellje A lineáris viszkoelasztikus anyagok viselkedése egydimenziós esetben rúgókból és csillapításokból álló modellek segítségével írható le. A rendszerünk állapotváltozói a σ(t) feszültség és az ε(t) alakváltozás. Az ideális rugó (Hooke-elem) esetében az állapotváltozók közti kapcsolatot a σ(t) = Eε(t) (3.1) összefüggés írja le, ahol E a rugalmassági modulusz. A lineáris csillapítás (dashpot) esetében az ε(t) alakváltozási sebesség és a σ(t) feszültség között a ε(t) = σ(t) η, (3.2) kapcsolat áll fenn, ahol η a viszkozitás [19]. A rugó és csillapítás soros kapcsolásából jön lérte az ún. Maxwell-elem (lásd 3.3/a ábra), amely esetében az állapotváltozók kapcsolatát leíró differenciálegyenlet ε(t) = σ(t) η + σ(t) E, (3.3) alakú, míg párhuzamos kapcsolással az ún. Kelvin-Voigt-elemet kapjuk (lásd 3.3/b ábra), amelyet a σ(t) = Eε(t)+η ε(t) (3.4) 13

18 Időfüggő anyagi viselkedés modellezése P P ( a) Maxwell ( b) Kelvin-Voigt ( c) Általánosított Maxwell 3.3. ábra. Időfüggő viselkedés leírására szolgáló modellek differenciálegyenlet ír le [19]. A fenti egyenletek a lineáris viszkoelasztikus anyagi viselkedés konstitutív egyenletei. A viszkoelasztikus anyagi viselkedés legelterjedtebb modelljét P darab Maxwell-elem és egy Hooke-elem párhuzamos kapcsolásából kapjuk (lásd 3.3/c ábra). Ezt a szakirodalomban általánosított Maxwell-elemnek (Generalized- Maxwell) nevezik. Ebben a felírásban a Hooke-elem a végtelen lassú terheléshez tartozó rugalmas anyagi viselkedést írja le, ahol E a végtelen lassú terheléshez tartozó rugalmassági modulusz [2] A feszültség válasz függvény egydimenziós terhelés esetén A viszkoelasztikus modellben szereplő P db Maxwell-elemben η k és E k paraméterek jelölik az anyagi paramétereket. A fenti mennyiségekből felírható egy új anyagparaméter az ún. relaxációs idő τ k = η k /E k. Ennek segítségével az időfüggő rugalmassági modulusz kifejezhető E(t) = E + P [ ] t E k exp τ k (3.5) alakban, ún. Prony-sorozatok formájában [19]. Előírt ε(t) bemenő alakváltozás jel esetén a feszültség válasz a fent definiált lineáris izotrop egydimenziós viszkoelasztikus modell megoldásával állítható elő. A megoldást az alakváltotási sebesség ε(t) és a (3.5) egyenletben felírt időfüggő rugalmassági modulusz konvulúciójakét áll elő, azaz σ(t) = t 0 E(t s) ε(s)ds. (3.6) A fenti kifejezéssel ekvivalens modell találgató meg az Abaqus [5] végeselemes szoftverben, amely a végtelen lassú helyett a végtelen gyors (pillanatnyi) terheléshez tartozó anyagi viselkedésből határozza meg a feszültség választ. Az Abaqus-ban lévő felírás alapján a feszültség válasz σ(t) = σ 0 (t) P τ k e t k 0 [ s σ 0 (t s)exp τ k ] ds, (3.7) ahol a pillanatnyi tisztán rugalmas feszültség válasz σ 0 (t) közvetlenül számítható a bemenő alakváltozás jelből és E 0 pillanatnyi rugalmassági modulszból, mint σ 0 (t) = E 0 ε(t). (3.8) 14

19 Időfüggő anyagi viselkedés modellezése Ezen felül a modell tartalmazza e k relatív rugalmassági moduluszokat, melyeket e k = E k E 0 alakban állíthatunk elő. (3.9) 3.2. Áttérés véges alakváltozásokra A vizsgálatunk tárgyát képező nyitott cellás polimer habok esetén a deformációk nagy alakváltozással és elmozdulássokal járnak, így a kis alakváltozások elméletéről át kell térnünk a nagy alakváltozásokra. Ennek következtében a (3.7) egyenletben felírt lineáris viszkoelasztikus anyagmodell nem alkalmazható. Helyette a nagy alakváltozások esetén érvényes ún. viszko-hiperelasztikus anyagmodellt használhatjuk, amely ötvözi a lineáris viszkoelasztikus és az időfüggetlen hiperelasztikus anyagmodelleket. Először a kis alakváltozásokra definiált viszkoelasztikus anyagmodellt kell felírni véges nyúlások esetére, majd a modellben szereplő pillanatnyi feszültség válasz függvényt időfüggetlen hiperelasztikus anyagmodell segítségével adjuk meg. A viszko-hiperelasztikus konstitutív egyenletek egy lehetséges felírását Abaqus dokumentációja tartalmazza. Fontos megemlíteni, hogy az Abaqus 6.9-es verzióban frissítették az anyagmodellt és egy új formalizmussal lett felírva, azonban a Hyperfoam hiperelasztikus anyagmodell esetén még a korábbi verzió van implementálva a végeselemes kódokban [9]. Az Abaqus felírása alapján konstitutív egyenlet a pillanatnyi Kirchhoff-féle feszültségi tenzorra van felírva, amelyet összenyomható anyagok esetén szétbonthatunk deviátoros és hidroszatikus részre [5]. Eszerint τ 0 (t) = τ D 0 ( F(t))+τ H 0 (J(t)), (3.10) amelyben a hidrosztatikus rész a J térfogatváltozás, míg deviátoros rész pedig az ún. torzulási alakváltozási gradiens (distorsional deformation gradient) ( F) függvénye. A torzulási alakváltozási gradiens közvetlenül számítható az alakváltozási gradiensből, mint F =FJ 1/3. (3.11) Az Abaqus 6.7-es verzója alapján [5], a nagy alakváltozáshoz tartozó viszko-hiperelasztikus anyagmodell konstitutív egyenlete az alábbi alakban írható fel: τ D (t) = τ D 0 (t)+symm t τ H (t) = τ H 0 (t)+ t 0 0 Ġ(s) G 0 F 1 t (t s)τ D 0 (t s)f t(t s)ds, (3.12) K(s) τ D 0 (t s)ds. (3.13) K 0 A deviátoros rész integrálása során az F t (t s) ún. pull-back operátor segítségével először visszatranszformáluk a referencia konfiguráción keresztül t s állapotba, majd az integrálás elvégzése után visszatértünk a pillanatnyi konfigurációba, végül a SYMM operátor segítségével vesszük a szimmetrikus részt. A pull-back operátor valójában egy relatív alakváltozási gradiens a t s és a t időpillanatok között (lásd 3.4. ábra), amely F t (t s) = F(t s)f 1 (t) (3.14) alakban számítható. 15

20 Időfüggő anyagi viselkedés modellezése - E 1 F(- ) F t (- ) =0 E 2 E 3 referencia konfiguráció F() 3.4. ábra. Az F t (t s) relatív alakváltozási gradiens A deviátoros részben (3.12 egyenlet) G(t) és G 0 az időfüggő valamint a pillanatnyi csúsztató rugalmassági modulusz, míg a hidrosztatikus részben szereplő (3.13 egyenlet) K(t) és K 0 az időfüggő valamint a pillanatnyi térfogati alakváltozási (bulk) modulusz. A (3.5) egyenlethez hasonlóan a moduluszok itt is felírhatóak Prony-sorozatok segítségével, azaz PG [ ] G(t) = G 0 (g ) ( t PK [ ] ) t + g k exp, K(t) = K 0 k + k k exp, (3.15) τ G k ahol g k és k k a relatív, míg g és k a végtelen lassú terheléshez tartozó moduluszok, melyekre a PG g + g k = k + PK k k = 1 (3.16) feltételnek teljesülnie kell. Visszahelyettesítve a (3.15). egyenletben lévő összefüggést a (3.12)-(3.13) egyenletekbe megkapjuk az anyagmodell konstitutív egyenletét: [ PG τ D (t) = τ D 0 (t) SYMM g t [ ] ] k s F 1 t (t s)τ D 0 (t s)f t(t s)exp ds, (3.17) τ H (t) = τ H 0 (t) PK τ G k k t k τ K k 0 0 [ ] s τ D 0 (t s)exp ds. (3.18) τk K Számításaink során feltételezzük, hogy a deviátoros és a hidrosztatikus részben a paraméterek száma megegyezik, azazpg = PK = P. Ezen kívül nyitott cellás polimer habok esetén élhetünk azzal a közelítésésel, hogy a megfelelő relatív csúsztatórugalmassági és bulk moduluszok megegyeznek g k = k k, valamint a relaxációs paraméterek is egyenlőek τk G = τk k = τ k. A feltételeket visszaírva a (3.17)-(3.18) egyenletekbe megkapjuk a nyílt cellás polimer habok esetén érvényes viszko-hiperelasztikus modellt τ D (t) = τ D 0 (t) SYMM [ P τ H (t) = τ H 0 (t) P g k τ k g k τ k t 0 t 0 F 1 t (t s)τ D 0 (t s)f t(t s)exp τ G k [ s τ k τ K k ] ] ds, (3.19) [ ] s τ D 0 (t s)exp ds, (3.20) τ k melyben a végtelen gyors terheléshez tartozó feszültség válasz τ D 0 (t) és τh 0 (t) a Ogden Hill-féle Hyperfoam modellből (2.46. egyenlet) adódik. 16

21 4. fejezet Mérések A polimer habok pontos mechanikai modellezéséhez szükséges az anyagmodellben ( egyenletek) szereplő paraméterek megadása, melyeket mérési eredményekből lehet meghatározni. Alkalmazási területükből kifolyólag a polimer habok jellemző terhelése az összenyomás, ezért egytengelyű teszteket végeztem annak érdekében, hogy kísérleti úton is vizsgáljam az időfüggő anyagi viselkedést, amelyből a paraméterillesztés útján meg lehet állapítani az anyagparamétereket Bevezetés A méréseket a Műszaki Mechanikai Tanszék laborjában lévő INSTRON 3345 egyoszlopos univerzális mérőrendszerrel végeztem. Az erőméréshez egy INSTRON erőmérőcellát használtam (méréshatár: 5kN). Annak érdekében, hogy a mérés során a lehető legnagyobb legyen a próbatest keresztmetszete egyedi kiegészítő nyomólapot alkalmaztam. A mérőrendszer felépítését az alábbi 4.1. ábra szemlélteti. Keresztfej Erőmérő cella Nyomólap Kiegészítő nyomólap Próbatest 4.1. ábra. A INSTRON mérőrendszer felépítése 17

22 Mérések e 1 0 e 3 e ábra. A próbatestek geometriája Az időfüggő viselkedés vizsgálatára két egytengelyű nyomóvizsgálatot végeztem el: 1. Relaxációs teszt 2. Ciklikus teszt fokozatos terheléssel Mindkét mérés esetében az elmozdulás u(t) volt a vezérelt jel, míg az erő F a kimenő jel, a mintavételi idő 0, 01 s. A méréseket azonos környzeti körülmények között végeztem, a levegő hőmérséklete 22 C, míg a relatív páratartalom 44% volt Próbatestek A vizsgált memória hab egy kereskedelmi forgalomban kapható poliuretán hab, amelyet a Csomeszk Kft. forgalmaz. A Memoryszivacs lapot elsősorban ágybetétek és egészségügyi eszközök gyártása során alkalmazzák. A memóriahabot ívben forgalmazzák. A próbatestek kialakításánál az ISO [20] nemzetközi szabványt követtem. A szabvány javaslata alapján a próbatestek szabályos téglatest alakúak, amelyben a szélesség/vastagság arány legfeljebb 2:1 lehet. A túl vékony anyag esetében a próbatestek egymásra halmozásával lehet növelni a kezdeti longitudinális hosszt (L 0 ). Emellett törekedni kell arra, hogy a próbatestek keresztmetszete a lehető legnagyobb legyen, azonban az nem lóghat túl a nyomóvizsgálat során használt nyomólapok területén. A szabványoknak megfelelve a mérések során 8 8 cm alapterületű próbatesteket használtam, összesen 8 darabot egymásra helyezve. A próbatest jellemzőit az 4.1. táblázat tartalmazza, míg a geometriáját a 4.2. ábra szemlélteti. Anyag Poliuretán Vastagság (t) 10 mm Próbatest szélessége (w) 80 mm Keresztmetszet (A 0 ) 6400 mm táblázat. A próbatest paraméterei 18

23 Mérések Próbatest 0 0 inflexiós pont 1 korrigált eredeti 4.3. ábra. A mérési elrendezés és a slack correction A mérési adatok feldolgozása A mérés eredményeképpen rögzítésre kerültek minden mintavételi időpillanatban az erő (F), és az elmozdulás ( L) értékek. Mivel a nyomólapok kezdeti távolsága H 0 = 110 mm nagyobb, mint a próbatestek magassága, így a mérés kezdetén a mért erő zérus, mivel a nyomólap nem ér a próbatesthez. A mérés tényleges kezdetét az ún. slack correction (lásd 4.3. ábra) módszer segítségével állapítottam meg. A módszer lényege, hogy a mérés elején a próbatest és a nyomólap nem pontos illeszkedése miatt egy inflexiós pont jelenik meg az F L diagrammon. Az inflexiós pont meghatározása után ez a hiba egy egyenessel korrigálható és a mérés kezdetéhez tartozó L 1 elmozdulás meghatározható. A próbatest pontos magasságát L 0 = H 0 L 1 (4.1) összefüggés segítségével számítható. A korrigált F L mérési eredményekből a longitudinális nyúlás és a feszültség értékek λ 1 = 1+ u L 0, P 1 = σ 1 = F A 0, (4.2) alapján meghatározhatóak, ahol a Cauchy- és az első Piola Kirchhoff-féle feszültségértékek megegyeznek, mivel a (2.30) egyenlet alapján a keresztirányú alakváltozás elhanyagolható, azaz λ T = 1. A mérés során alkalmazott alacsony mintavételi idő(0,01 s) miatt a mintavételi pontok olyan sűrűek, hogy a mérések eredményeket folytonos görbékkel lehet ábrázolni. 19

24 Mérések 4.2. Relaxációs teszt Az időfüggő anyagi viselkedés egyik jelensége a feszültség relaxáció (3.1 fejezet), ennek vizsgálatát ideális esetben az egységugrás elmozdulásjelre adott feszültség válasz alapján lehet elvégezni. Azonban a valóságban ehhez végtelen nagy alakváltozási sebesség tartozna, emiatt csak egység sebességugrás (ramp-test) bemenő jel valósítható meg. Ekkor egy nemzérus T idő alatt konstans alakváltozási sebességgel összenyomjuk a próbatestet, majd tartjuk ezt az elmozdulást, miközben a feszültség relaxálódik. Annak érdekében, hogy a relaxációs jelenség számottevő legyen, a felterhelés sebességét ( ε) a lehető legnagyobbra kell választani. A memóriahabon elvégzett relaxációs teszt során v = 1000 mm/min keresztfejsebességet és u max = 85 mm maximális elmozdulást használtam, majd ezt követően 600 s-ig hagytam relaxálódni a próbatestet. A bemenő alakváltozás jelet a 4.4. ábra személteti. ( ) 4.4. ábra. Az előírt elmozdulás jel a relaxációs teszt során A felterheléshez szükséges idő (T), a maximális nyúlásérték (λ max ) és az alakváltozási sebesség ( ε) a próbatest pontos mérete alapján (4.1. egyenlet) alapján számítható, melyet a 4.2. táblázat tartalmaz. A relaxációs mérés paraméterei Felterhelés ideje (T) 4,792 s Maximális nyúlás (λ max ) 0, Alakváltozási sebesség ( ε) 0, /s Próbatest kezdeti hossza (L 0 ) 104,082 mm 4.2. táblázat. A próbatest paraméterei Eredmények A relaxációs teszt eredményeként a relaxációs viselkedés a Cauchy-féle feszültség-idő (σ t) valamint a Cauchy-féle feszültség-nyúlás (σ λ) görbék segítségével szemléltethető. A görbéket a ábrák személtetik. 20

25 Mérések [ MPa] [ -] 4.5. ábra. A feszültség - nyúlás karakterisztika (σ λ) relaxációs mérés alapján [ MPa] [ s] 4.6. ábra. A feszültség válasz relaxációs mérés alapján a t [0,400] intevallumon [ MPa] [ s] 4.7. ábra. A feszültség válasz relaxációs mérés alapján a t [0,40] intevallumon 21

26 Mérések Az ábrákról jól látszik, hogy a memória hab anyag esetén a relaxáció mértéke jelentős, emiatt helytálló az a megközelítés, hogy az mechanikai viselkedést viszko-hiperelasztikus anyagmodell segítségével írjuk le Ciklikus teszt A relaxáxiós teszt mellett a viszkoelasztikus anyagi viselkedést ciklikus terheléssel lehet vizsgálni. A ciklikus terhelés során alacsony deformációsebességgel fokozatosan nyomjuk össze a próbatestet, minden lépés után időt hagyva a relaxációra. A felterhelést követően a leterhelés is fokozatosan történik. A viszkoelasztikus anyagtulajdonságok miatt a fel- és a leterhelés nem ugyanazon az úton fog történni, hiszen az anyagban tárolt rugalmas energia disszipálódik. Az anyag a relaxáció során a végtelen lassú (időfüggetlen) terheléshez tartozó feszültség válaszhoz tart, így a ciklikus teszt eredményét a későbbiekben fel tudjuk használni a időfüggetlen tisztán hiperelasztikus anyagmodell illesztésekor. A ciklikus teszt során a felterhelési szakaszok során az elmozdulás u = 8,5 mm, a keresztfejsebességsebesség v = 100 mm/min majd a relaxációs idő t REL = 30 s volt. A pontos bemenő elmozdulás jelet a 4.8. ábrán szemléltetem. A mérés során használt próbatest pontos méretei alapján (4.1. egyenlet) a pontos alakváltozási sebesség ( ε) és a ε alakváltozás lépések számíthatóak, melyeket a 4.3. táblázat tartalmazza. A ciklikus mérés paraméterei Maximális nyúlás (λ max ) 0,23183 Alakváltozási sebesség ( ε) 0, /s Alakváltozás az első lépésben ( ε 0 ) 0,0723 Alakváltozási lépés ( ε) 0,0773 Próbatest kezdeti hossza (L 0 ) 107,835 mm 4.3. táblázat. A ciklikus teszt paraméterei ( ) 4.8. ábra. Az előírt elmozdulás jel a ciklikus teszt során 22

27 Mérések Eredmények A ciklikus teszt során mutatott feszültség választ a Cauchy-féle feszültség-idő (σ t) valamint a Cauchy-féle feszültség-nyúlás (σ λ) görbék jellemzik. A görbéket a ábrák szemléltetik. Az eredmények ebben az esetben is igazolják, hogy a memória hab esetén lassabb deformációsebességnél is jelentős a feszültség relaxáció. Az időfüggő viselkedésre utal az is, hogy a σ λ grafikonon jól látható a hiszterézis, ami jelzi a disszipálódott energia mennyiségét. [ MPa] [ -] 4.9. ábra. A feszültség - nyúlás karakterisztika (σ λ) ciklikus mérés alapján [ MPa] [ s] ábra. A feszültség válasz ciklikus mérés alapján 23

28 Mérések 4.4. Mérési eredmények összefoglalása A viszkoelasztikus anyagi viselkedés vizsgálata során relaxációs és ciklikus tesztek jól bemutatták az anyag viszko-hiperelasztikus jellegét. A két mérés eredményeként kapott σ λ görbéket egy ábrán bemutatva (lásd ábra) látszik, hogy a nagyobb deformációsebességgel végrehajtott relaxációs mérés során a felterhelés lényegesen nagyobb, mint a ciklikus terhelés esetén. [ MPa] [ -] relaxációs mérés ciklikus mérés ábra. A feszültség - nyúlás karakterisztikák (σ λ) a két egytengelyű mérés alapján Emellett az is észrevehető, hogy a relaxáció során mindkét esetben a végtelen lassú terheléshez tartozó, sebesség-független feszültség-válaszhoz tartanak a görbék. A mérési eredmények tehát igazolták, hogy a memória habok esetében a viszkohiperelasztikus anyagmodellezés szükséges, ezen felül a mérés során felvett adatsorok lehetőséget biztosítanak az anyagmodell paramétereinek meghatározására is. 24

29 5. fejezet Anyagparaméterek meghatározása A paraméterillesztés a mechnikai anyagmodellezés utolsó lépése. Célja, hogy megállapítsuk az anyag viselkedését leíró konstitutív egyenletekben szereplő anyagi paramétereket, hogy később ezek segítségével komplex összetett terhelések esetén végeselemes módszer segítségével vizsgálhassuk a mechanikai viselkedést. A végeselemes analízis során az anyagi paraméterek nagy mértékben befolyásolhatják az eredményeket kvalitatív és kvantitatív szempontból is. Ezért, a lehető legnagyobb pontossággal kell meghatároznunk az anyagparamétereket, hogy a végeselemes analízis releváns eredményekkel szolgáljon. A paraméterillesztés során a mérések útján felvett adatpontokra próbáljuk illeszteni az anyagmodellt. Azonban a paraméterillesztésnek számos módszere és megközelítése van. Jelen vizsgálataim során a legkisebb négyzetek módszerén alapuló megközelítést alkalmazom, amelyben az illesztés hibája e = N [ f A (x i,p) f M (x i ) ] 2, (5.1) összefüggéssel írható fel, amelynek a minimumát keressük a paraméterek (p) által meghatározott térben. A fenti összefüggésben N a mérési pontok számát, f A az illesztendő analitikus függvényt, x i a mérési pontokhoz tartozó független változók értékeit, míg f M (x i ) ezekben a pontokban mért értékeket jelöli. Az esetek többségében a globális minimumkeresés nem végezhető el analitikusan ezért numerikus módszereket kell alkalmazni [2]. Számításaim során a Wolfram Mathematica programba beépített NMinimize algoritmus segítségével végeztem a minimumkeresést. Az NMinimize a legkisebb négyzetek módszerén alapuló minimumkereső algoritmus, amely sztochasztikus és determinisztikus eljárásokkal keresi a minimumot. A sztochasztikus eljárások SimulatedAnnealing, NelderMead és RandomSearch véletlenszerű pontokból kiindulva keresi a minimumot, míg az egyetlen determinisztikus eljárás DifferentialEvolution a hibafüggvény lokális gradiensei alapján halad. Fontos hangsúlyozni, hogy általánosan jó módszer a paraméterillesztésre nincs és az egyes módszerek jelentősen eltérő eredményeket adhatnak [21]. A memória hab mechanikai vizsgálatai során a paraméterillesztés célja, hogy a viszkohiperelasztikus anyagmodellben ( egyenletek) szereplő valamennyi paramétert meghatározzuk. Az anyagmodellben szereplő pillanatnyi feszültség-választ leíró hiperelasztikus Hyperfoam modellt 2N (α 1,α 2...α N ;µ 1,µ 2...µ N ), míg az időfüggő viselkedést 2P (g 1,g 2...g P ;τ 1,τ 2...τ P ) paraméter segítségével írjuk le. Ez összesen 2(N + P) darab paramétert jelent, amelyet illeszteni kell a 4. fejezetben felvett mérési adatokra. 25

30 Anyagparaméterek meghatározása 5.1. Paraméterillesztés módszerei viszko-hiperelasztikus anyag esetén Viszko-hiperelasztikus anyagok esetén a paraméterillesztés további problémába ütközik: a pontos feszültség-válasz függvény csak a (3.19)-(3.20) egyenletekben szereplő konvolúciós integrál megoldásával érhető el, általános alakban nem lehet kifejezni a viszkohiperelasztikus anyagmodell feszültség-válasz függvényét egyszerű homogén (pl. egytengelyű nyomás) esetén sem. Emiatt a szakirodalomban egy másik eljárást alkalmaznak az ilyen anyagok modellezésére [8]. A módszer lényege, hogy a paraméterillesztés során is szétválasztják az időfüggetlen hiperelasztikus, valamint az időfüggő viszkoelasztikus anyagi paraméterek illesztését. Ebben a megközelítésben az időfüggetlen hiperelasztikus modellt a végtelen lassú terheléshez tartozó-feszültség válasz, míg a viszkoelasztikus részt a relaxációs görbe alapján illesztik. A végtelen lassú terheléshez tartozó választ a ciklikus terhelés alapján lehet felmérni, amelyben a végtelen lassú terheléshez tartozó válasz a felterhelés és a leterhelés görbéi között helyezkedik el. Azonban ennek a görbének a meghatározása interpolációval történik, amely jelentős hibát okoz paraméterillesztés során. Továbbá, ebben a megközelítésben feltételezzük azt is, hogy a relaxációs mérést egységugrás terhelés esetén végeztük el. Azonban a valóságban csak az ún. "ramp teszt" végezhető el, amely következtében jelentős a hiba a relaxációs paraméterek illesztésében. A szétválasztott illesztésben felmerülő hibákat a 5.1. ábra személteti [7], [6]. Annak érdekében, hogy az illesztés hibáját csökkentsük a teljes viszko-hiperelasztikus modellt egy lépésben kell illeszteni a mérési pontokra. Ehhez szükséges azonban a zárt alakú analitikus feszültség-válasz függvény. A szakirodalomban jelenleg nagyon kevés hiperelasztikus modell esetében érhető el a viszko-hiperelasztikus anyagmodell analitikus megoldása, azok is mind csak egyszerű, főleg összenyomhatatlan modellek esetén. Az összenyomható Hyperfoam modell esetén a zárt alakú analitikus megoldás nem érhető el [9]. 0 a) b) c) hiba hiba Ideális terhelés Valós terhelés Ideális válasz Valós válasz Ciklikus teszt Becsült végtelen lassú válasz Végtelen lassú válasz 5.1. ábra. A szétválasztott paraméterillesztés során a) alkalmaztott bemenő jel illetve b)-c) az illesztések hibái 26

31 Anyagparaméterek meghatározása 5.2. Paraméterek illesztése szétválasztott módszerrel A szétválasztott paraméterillesztés során a végtelen lassú (időfüggetlen) terheléshez tartozó feszültség-válaszra, valamint az időfüggő relaxációs viselekedésre külön illesztjük az anyagmodellünkben szereplő paramétereket. A végtelen lassú terhelésre adott válaszból a hiperelasztikus anyagmodell paraméterei ( α i, µ i ), míg a relaxációs terhelésből a Prony-sorozatokban szereplő (g i,τ i ) paraméterek adhatók meg. Fontos megjegyezni, hogy az ilyenfajta illesztés során kapott ( α i, µ i ) paraméterek nem azonosak a viszkohiperelasztikus anyagmodell ( egyenletek) szereplő (α i,µ i ) paraméterekkel, hiszen azok a végtelen gyors (pillanatnyi) feszültség válaszhoz tartoznak. Azonban a végtelen gyors és a végtelen lassú terhelésre adott válaszok között a τ 0 (t) = 1 g τ (t) (5.2) összefüggés áll fenn, ahol g = 1 g i szintén anyagi paraméter. Az Abaqus [5] végeselemes szoftverben a hiperelasztikus anyagi paramétereket megadásakor ki kell választani, hogy azok a végtelen lassú vagy a végtelen gyors terheléshez tartoznak, így ez a fenti eltérés nem indukál hibát a paraméterillesztés során Hiperelasztikus paraméterek A hiperelasztikus anyagparaméterek illesztéséhez, a végtelen lassú terheléshez tartozó mérési pontokat kell meghatározni. Ezeket a ciklikus teszt eredményéből lehet előállítani. A ciklikus terhelés relaxációs szakaszai a végtelen lassú terheléshez tartozó feszültségértékekhez tartanak, tehát végtelen sok idő elteltével elérnék a keresett pontokat. Azonban a ciklikus terhelés során a relaxáció véges ideig tartott, így a fel- és leterhelés során a görbék nem érték el a végtelen lassú terhelés görbéjét. Emiatt a relaxáció végén mért lokális szélsőértékek meghatározásával, majd lineáris intepoláció segítségével állapíthatóak meg a végtelen lassú görbe pontjai, összesen tíz darab, melyekre a hiperelasztikus anyagmodellt illeszteni lehet. Az eredményül kapott mérési pontokat a 5.2. ábra személteti. A hiperelasztikus anyagmodell illesztését során másodrendű modelllel végeztem, tehát a (2.43) egyenlet alapján az illesztendő függvény τ 1 = 2 µ 1 α 1 ( λ ) + 2 µ 2 α 2 ( λ ), (5.3) amely négy anyagparamétert ( α 1, α 2, µ 1, µ 2 ) tartalmaz. A görbeillesztés során fel kellett használni a (2.37) egyenletben szereplő feltételt is, azaz µ 1 + µ 2 > 0. (5.4) A görbeillesztést az NMinimize beépített függvény segítségével végeztem, ahol az (5.1) egyenletben lévő hibafüggvényt ē = N [( 2 µ1 ( λ 2 α 1 1 ) + 2 µ 2 ( λ 2 1 α 1 1 ) ) ] 2 Pi M (5.5) 2 alakban írtam fel. A görbeillesztés eredményét a 5.2. ábrán személtetem, az illesztett paramétereket pedig a 5.1. táblázat tartalmazza. 27