HIPERELASZTIKUS ANYAGMODELLEK KONTINUUM-MECHANIKAI HÁTTERE, OPTIMALIZÁLÁSI LEHETŐSÉG MOONEY-RIVLIN ANYAGÁLLANDÓKRA

Átírás

1 HIPERELASZTIKUS ANYAGMODELLEK KONTINUUM-MECHANIKAI HÁTTERE, OPTIMALIZÁLÁSI LEHETŐSÉG MOONEY-RIVLIN ANYAGÁLLANDÓKRA CONTINUUM MECHANICS BACKGROUND OF HYPERELASTIC MATERIAL MODELS, OPTIMIZATION POSSIBILITY OF MOONEY- RIVLIN S MATERIAL PERMANENTS HURI Dávid 1, MANKOVITS Tamás 2 egyetemi hallgató 1, adjunktus 2 Debreceni Egyetem Műszaki Kar 4028 Debrecen, Ótemető u huridav@fre .hu tamas.mankovits@eng.unideb.hu Kivonat: Jelen cikk összefoglalja a gumiszerű anyagok számítási lehetőségeit. A dolgozat második része bemutatja az NX NASTRAN megoldó által használt kontinuummechanikai összefüggéseket. Végül egy gumirugó végeselemes analízisének optimalizálási lehetőség kerül bemutatásra. Kulcsszavak: végeselem-módszer, gumirugó, Mooney-Rivlin anyagmodell Abstract: This paper presents the calculation possibilities for elastic materias. Continuum mechanics to be used for The NX NASTRAN solver which is also presented. Finally a finite element analysis of a rubber spirng is evaluted as a numerical example. Keywords: finite element method, rubber spring, Mooney-Rivlin material model 1. BEVEZETÉS A rugóknak nagyon jelentős szerepe van a gépészetben, és ez tovább bővül, ha fém helyett elasztikus anyagot használunk az adott feladatra. Ha egy tengelyszimmetrikus gumi tömbön nyomó igénybevétellel munkát végzünk, azt belső deformációs munka alakjában felhalmozza majd a terhelés megszűnése után újra külső mechanikai munkává tudja alakítani a tömb speciális alakkiképzése nélkül, akkor ezt a rugót anyagrugónak nevezzük. Ilyen esetben jellemzően progresszív rugókarakterisztikát kapunk, ami következtetni enged minket a tervezési nehézségekre. További problémát okoz, hogy a gumi rugalmasságát nagymértékben befolyásolja a tömb alakja, anyaga valamint alakváltozásának mértéke is. Fontos jellemzője a nagy fajlagosmunka-felvétel ami nagy pontosságot követel számításaink során [1]. A gépészetben az évek alatt elterjedt kézi számítások csak elhanyagolások útján, kis alakváltozások esetére (ε < 25%), korábban már felvett diagramokkal és tapasztalati tényezőkkel számíthatóak statikus terhelésekre. Ezen okok miatt mindig is megoldatlan probléma maradt a gumirugók tervezésének feladata. Azonban a számítógépes végeselemes szoftverek megjelenésével, soha nem látott lehetőségek nyíltak meg a gumiszerű anyagok analízisében. Cikkemben bemutatom a már ismert számításokat, majd összehasonlítom az általam használt végeselemes szoftver analízisének eredményeivel.

2 2. MÉRETEZÉS NYOMÓ IGÉNYBEVÉTELRE HAGYOMÁNYOSAN Az acéloknál jól ismert Hooke-törvény gumi esetén csak a τ nyírófeszültségre érvényes, a σ húzónyomó feszültségeket bonyolult elméleti összefüggések írják le. Nyomásnak kitett gumitömbben a feszültség eloszlása inhomogén. Az igénybevétel karakterisztikája progresszív, de azt a műszaki gyakorlatban a számítások megkönnyítése miatt a valóságot jól megközelítő egyenessel helyettesítik. A közelítő egyenest úgy vették fel, hogy nulla és 20%-as deformációnál megegyezzen a valós rugókarakterisztika értékével, így az egyenlete: F = f A E h ahol F a nyomóerő, f a rugóút, A a gumirugó nyomást átadó felülete, h a magassága végül E pedig a gumirugó látszólagos rugalmassági modulusza. A látszólagos E -modulusz függ a G- nyírómodulusztól és a gumi alakjától is. Az alaki függést a k alaki tényezővel vesszük figyelembe: k = (2) ahol A a deformációban gátolt, A pedig a deformációban résztvevő szabad felület. Szakirodalmakban találunk olyan diagramokat (1.ábra), melyek megteremtik a kapcsolatot E k között különböző keménységű gumik esetén. Ezen modulusz bevezetésével a számítás egyszerűvé válik és a közelítésből származó hiba nem jelentős 25%-os deformációig. (1) 1. ábra E k kapcsolata különböző Shore leménységekre 3. GUMISZERŰ ANYAGOK VÉGESELEMES LEÍRÁSÁHOZ ALKALMAZOTT KONTINUUM-MECHANIKAI ALAPOK A FEMAP 9.3 szoftver NASTRAN megoldója a gumiszerű anyagok vizsgálatához a mechanikában jól ismert elméleti alapokat tartalmazza. Ahhoz, hogy egy nagy alakváltozásra képes alkatrészt szimulálni tudjunk, tisztában kell lennünk az ide vonatkozó kontinuummechanikai háttérrel. A 2. ábra egy nagy alakváltozásra képes rugalmas testet ábrázol a t = 0 és t = t időpillanatban. A test nyomó igénybevételnek van kitéve, a mechanikai modellje pedig ideális állapotot modellez.

3 2. ábra rugalmas szilárd test nyomásának ideális esete Az ábra alapján kifejezhető a fajlagos megnyúlás, a három koordinátatengely irányában ε = ΔL L = L L L (3) ε = ε = ΔD D A deformáció meghatározására szolgáló nyúlási arányt (λ) bevezetve [2] = D D D (4) ahol ε < 0 λ = L L = L + L L L = 1 + L L L = 1 + ε (5) λ = λ = D D = D + D D D ahol ε, ε > 0, így nyomás esetén a nyúlási arány a három főirányban = 1 + D D D = 1 + ε = 1 + ε (6) λ = λ λ = λ λ = λ (7) A kapcsolatot a pillanatnyi és az azonosító állapot között az F az alakváltozási gradiens, szolgáltatja [3] dr = F dr (8)

4 Azonban az általunk tárgyalt ideális esetben a deformáció alatt nincs szögtorzulás, így a mátrixa leegyszerűsödik: λ 0 0 F = 0 λ 0 (9) 0 0 λ A gumi molekulájának elasztikus tulajdonságát legjobban az egységnyi térfogatra vonatkoztatott deformációs energia sűrűséggel lehet jellemezni W = W (J) + W (C) (10) ahol, W (J) a térfogatváltozásból származó deformációs energia sűrűség, míg W (C) a térfogatállandóságból származó deformációs energia sűrűség. A nemlineáris feladatokban tehát W függvénye C-nek azaz a jobboldali Cauchy-Green alakváltozási tenzornak, mely a kontinuum elem alakváltozási állapotának leírására szolgál, továbbá felírható C = F F (11) majd a mátrixszorzást elvégezve λ 0 0 C = 0 λ 0 (12) 0 0 λ Ahhoz, hogy általánosan kezelhető legyen a feszültség-deformáció összefüggése, feltételezem, hogy az anyag rugalmas tulajdonságai deformálatlan állapotban izotropok (azaz a vizsgált anyag minden irányban azonos tulajdonsággal bír és a deformáció alatt térfogata változatlan). Így a deformáció jellemzésére C három fő skalár invariánsa használható, melyek rendre I = λ + λ + λ (13) I = λ λ + λ λ + λ λ (14) I = detc = λ λ λ (15) A gumira jellemző, hogy közel összenyomhatatlan anyagként viselkedik, így alakváltozása során térfogata nem változik. Ezért felírható a nyúlás arányokra az alábbi összefüggés így következik, hogy λ λ λ = 1 (16) I = 1 (17) azaz a deformáció két független értékkel, I és I -vel jellemezhető. Ebből következik, hogy a W deformációs energiasűrűség csak ezen két változó függvénye W = f(i ; I ) (18)

5 A gumitest deformálatlan állapotára felírható az alábbi összefüggés így, λ = λ = λ = 1 (19) I = I = 3 (20) ahhoz, hogy fennállhasson az alábbi egyenlőség W = 0 (21) a deformációs energiasűrűség változóit módosítanom kell, így függvénye a W = f(i 3; I 3) (22) Az alakváltozás nemlineáris elméletének segítségével a W (C) deformációs energia sűrűséget kifejeztem. Ebből kiindulva különböző anyagmodellek definiálásával, a W egységnyi térfogatra vonatkoztatott deformációs energia sűrűség számítható. Ezt a kontinuummechanikai hátteret használva, a végeselemes diszkretizáció után a szoftver képes arra, hogy alakváltozási- és feszültségi állapotot számoljon a megfelelő peremfeltételek mellett. 4. HIPERELASZTIKUS ANYAGOK ANALÍZISE FEMAP 9.3-AL A hiperelasztikus anyagok az NX Nastran speciális, Advanced Nonlinear (solution 601 és 701) megoldó moduljában érhetőek el. Az alkalmazható anyagmodellek a Mooney-Rivlin, Ogden, Arruda- Boyce, Hyperfoam, és a Sussman-Bathe. Ezen anyagmodellek csak 2D-s térfogati és 3D-s térfogati elemek használata esetén elfogadottak [4]. 4.1 Mooney-Rivlin anyagmodell Ez esetben a térfogatváltozásból származó deformációs energia sűrűség W (J) = 1 2 κ(j 1) (23) ahol κ az ún. térfogati rugalmassági modulusz. Míg a térfogatállandóságból származó deformációs energia sűrűség W = C (I 3) + C (I 3) + C (I 3) + C (I 3)(I 3) + C (I 3) + C (I 3) + C (I 3) (I 3) + C (I 3)(I 3) + C (I 3) (24) ahol, C Mooney-Rivlin anyagállandók. Láthatjuk, hogy a Mooney-Rivlin anyagtörvény leírásához használható 9 C állandó, és a κ Bulk modulusz. De nem feltétlenül szükséges ennyire magasrendű anyagtörvényt alkalmazni. Ha úgy választunk, hogy csak C 0 akkor a neo-hookean anyagtörvényt kapjuk. Megkaphatjuk a hagyományos kétváltozós Mooney-Rivlin anyagtörvényt, ha úgy választunk, hogy csak C 0 és C 0 W = C (I 3) + C (I 3) (25)

6 MŰSZAKI TUDOMÁNY AZ ÉSZAK-KELET MAGYARORSZÁGI RÉGIÓBAN 2012 Ha feltételezzük, hogy κ = akkor az előző két állandó segítségével leírható a rugalmassági és nyírási modulusz: G = 2(C + C ) (26) E = 6(C + C ) (27) A κ Bulk modulusz az anyag összenyomhatóságát fejezi ki. Ha értéke nagyobb mint 2000 akkor összenyomhatatlan anyagot feltételezünk. Nagysága 601-es megoldó alakalmazása esetén, számítható közel összenyomhatatlan (ν = 0,499) anyagra: κ = 2G(1 + 2ν) 3(1 2ν) ahol G a nyírási rugalmassági modulusz, ν a Poisson-tényező (28) 4.2 Ogden anyagmodell Ez esetben a térfogatállandóságból származó deformációs energia sűrűség W = μ λ α + λ + λ 3 W = f(i 3; I 3)W = 0 (29) ahol μ és α az Ogden anyagállandók. Láthatjuk, hogy az Ogden anyagtörvény leírásához 19 állandó használható: μ, α, n = 1,,9 és a bulk modolusz. Ha úgy választunk, hogy a μ, α 0 csak n = 1,2,3 esetén akkor a hagyományos 3 változós Ogden anyagtörvényt kapjuk meg. Ha feltételezzük, hogy κ = akkor a rugalmassági és nyírási modulusz leírható az alábbi összefüggésekkel: G = 1 2 μ α (30) E = 3 2 μ α (31) A bulk moduluszra érvényesek a Mooney-Rivlin anyagtörvénynél elmondottak. 4.3 Arruda-Boyce anyagmodell W = N 1 2 (I 3) N (I 9) N (I 27) N (I ) N I 243 (32) ahol N egy anyagállandó, N egy paraméter mely képviseli a kapcsolatot az anyagi láncok között.

7 4.4 Hyperfoam anyagmodell W = μ λ α + λ + λ J 1 β (33) ahol az anyagállandók a μ, α, β, n = 1,, N ig. N maximális értéke 9. Ez az anyagmodell erősen összenyomható elasztomerekhez lett létrehozva, így ha a bulk modulusz nagy (nagyobb mint 10), más anyagmodellt kell alkalmazni. 4.5 Sussman-Bathe anyagmodell 5. NUMERIKUS PÉLDA W = w(e ) + w(e ) + w(e ) (34) Numerikus példának egy egyszerűen kezelhető hengeres gumi alkatrészt vettem melynek átmérője D = 25,3mm vastagsága pedig h = 17,8mm. A próbatest előírt elmozdulással lett összenyomva a szoftverben, melynek hatására a létrejött alakváltozást a 3.ábra szemlélteti 5.1 Anyagmodell optimalizálása 3. ábra Alakváltozás FEMAP-ban 5 mm-nél Egy optimalizálási lehetőséget fogok bemutatni Mooney-Rivlin anyagmodellre. Célom olyan C és C anyagállandók felvétele melyek helyesen írják le az anyag viselkedését nyomásra. Az optimalizálás lépései rendre: - Vizsgálatunk tárgyát egy 32 Shore A keménységű gumi képezi, melynek rugókarakterisztikája hagyományos méretezési módszerrel számítható. - Közel összenyomhatatlan állapotra a κ = 250 értéket veszem fel

8 - Felveszem C és C anyagállandók értékét úgy, hogy teljesüljön az alábbi egyenlőség C C = 4 (35) - Próbafuttatással felveszem a rugókarakterisztikát 20%-as deformációig - Mindaddig változtatom a C és C értékét, míg a 20%-as deformációhoz tartozó nyomóerő közel azonos nem lesz a hagyományos módszerrel számított értékkel - Így anyagállandókat rendelhetek adott Shore keménységű gumianyagokhoz 5.2 Eredmények 4. ábra Optimalizálás során felvett rugókarakterisztikák Végeselemes futtatásokkal az optimalizálást elvégezve, különböző keménységű gumidarabokra a rugókarakterisztikák az alábbi képet mutatják 5. ábra optimalizált rugókarakterisztikák

9 így, az alábbi összefüggések állapíthatóak meg Shore A[ ] C [MPa] C [MPa] 32 0,259 0, ,436 0, ,586 0, ,736 0, ,92 0,23 1. táblázat anyagállandók értékei Nagyobb alakváltozást modellezve, jól látszik a rugókarakterisztika progresszív jellege, és jelentős eltérések figyelhetőek meg a hagyományos számítás, és a végeselemes analízissel felvett karakterisztikák között 5. ÖSSZEFOGLALÁS 6. ábra Rugókarakterisztikák 40%-os összenyomásig Feldolgozva az NX NASTRAN által gumiszerű anyagokra alkalmazott kontinuummechanikai hátteret, az anyagmodellek és állandóik definiálása érthetővé vált. Optimalizálással sikerült anyagállandókat megállapítani Mooney-Rivlin anyagmodell esetén, és a végeselemes analízisből kiderült, hogy a valóságot reprezentáló rugókarakterisztika érhető el nyomó igénybevételre. KÖSZÖNETNYILVÁNÍTÁS A cikkben ismertetett kutató munka a TÁMOP-4.2.2/B-10/ jelű projekt részeként - az Új Magyarország Fejlesztési Terv keretében az Európai Unió támogatásával, az Európai Szociális Alap társfinanszírozásával valósul meg. 6. FELHASZNÁLT IRODALOM [1] DR. BARTHA ZOLTÁN, Gumiipari Kézikönyv I. kötet, Budapest, 1988 [2] MSC. SOFTWARE, Nonlinear Finite Element Analysis of Elastomers [3] BONET, J., WOOD R.D., Nonlinear Continuum Mechanics for Finite Element Analysis, Cambridge University Press, [4] NX NASTRAN 7.1, Advanced Nonlinear Theory and Modeling Guide