kritikus érték(ek) (critical value).

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "kritikus érték(ek) (critical value)."

Átírás

1 Hipotézisvizsgálatok (hypothesis testing) A statisztikának egyik célja lehet a populáció tulajdonságainak, ismeretlen paramétereinek a becslése. A másik tipikus cél: valamely elmélet, hipotézis empirikus bizonyítása vagy cáfolata. Nullhipotézisnek (null hypothesis) (H0) nevezzük azt a hipotézist, amelyet pillanatnyilag nincs okunk megkérdőjelezni, amely a tudomány jelenlegi álláspontja szerint elfogadható, amelyet, ha a kísérlet/felmérés semmi újat nem hoz, továbbra is fenntartunk, amely helyett nekünk már jobb elméletünk van, és a kísérletet éppen ennek a bizonyítására (egyben a régi megcáfolására) szánjuk. Ellenhipotézisnek (alternative hypothesis) (H) nevezzük azt a hipotézist, amelynek bizonyítását a kísérlettől várjuk (az új elmélet ).

2 Megszoktuk, hogy általában valamely különbség, hatás, korreláció meglétét, azaz nemnulla voltát szeretnénk bizonyítani, tehát azt a hipotézist szoktuk H0-nak választani, hogy az illető dolog (különbség, stb.) egyenlő nullával. Teszt-statisztika (test statistic), próbastatisztika, próbafüggvény: az a mintából számított mennyiség, amelynek értéke alapján a döntést hozzuk. A teszt-statisztika mivel a mintából számítjuk véletlen változó. Olyan mennyiségnek kell lennie, amelynek eloszlása lehetőleg minél jobban eltér a H0 és a H fennállása esetén, például kisebb értékekre számíthatunk H0, nagyobbakra H esetén. Elutasítási vagy kritikus tartomány (rejection region): a döntési szabályt meghatározó számhalmaz, ha a teszt-statisztika értéke ide esik, a nullhipotézist elvetjük, ha nem, megtartjuk. A kritikus tartomány kiegészítő halmazát elfogadási tartománynak is nevezik. E két tartományt elválasztó érték(ek) az úgynevezett kritikus érték(ek) (critical value).

3 Elsőfajú hiba valószínűsége (Type I error rate), α, annak a valószínűsége, hogy H0-t elvetjük, pedig igaz. Az elsőfajú hiba, hogy a teszt-statisztika értéke a kritikus tartományba esik, bár a H0 igaz. α a teszt-statisztika null-eloszlásától * (null distribution) és a kritikus tartomány megválasztásától függ. Szokásosan a kritikus tartományt úgy választjuk, hogy α = 5% (vagy %, esetleg 0.%) legyen. Példa: Ha arra vagyunk kíváncsiak, hogy egy pénzérme szabályos-e, akkor H0: az érme szabályos, azaz P(fej)=P(írás)=0.5 H: az érme nem szabályos Minta: 6 dobás eredménye (csak a példa egyszerűsége kedvéért ilyen kicsi) * a teszt-statisztika eloszlása H0 fennállása esetén

4 Teszt-statisztika: a fejek száma a 6-ból Null-eloszlás: (a fejek számának eloszlása H0 fennállása, azaz az érme szabályossága esetén): binomiális eloszlás n = 6 és p = 0.5 paraméterrel, azaz érték valószínűség Döntési szabály: 0 vagy 6 fej esetén elvetjük H0-t. Az első fajú hiba valószínűsége: =0.03 Mivel a tesztek nevüket általában a null-eloszlás után kapják, ezt binomiális tesztnek nevezik. Másodfajú hiba (Type II error) : ha a H0-t megtartjuk, pedig H igaz. Valószínűségét β-val jelöljük, (-β) a teszt ereje power.

5 Egy- és kétoldali ellenhipotézis A céljainktól függően a legtöbb tesztben két fajta ellenhipotézissel dolgozhatunk. Az első esetben az elfogadási tartomány mindkét oldalán van elutasítási tartomány. Az eredmény értékelésekor a feltételezett értéktől való mindkét irányú eltérés érdekes. Ez a kétoldali ellenhipotézis. H0: p=p 0 H: p p 0 Időnként az egyik irányú eltérés érdektelen a kísérlet szempontjából, például ha egy új eljárást vizsgálunk a vércukorszint csökkentésére, akkor érdektelen az, hogy az érték nő vagy változatlan marad, csak a csökkenést van értelme kimutatni. Ez az egyoldali ellenhipotézis. H0: p p 0 H: p>p 0, vagy H0: p p 0 H: p<p 0 Figyeljük meg, hogy a nullhipotézisben mindig van egyenlőség. Az, hogy számunkra a nullhipotézis elutasítása vagy megtartása a kedvező, mindig a kísérleti elrendezéstől függ.

6 Normális eloszlású változó várható értékére vonatkozó próbák egy minta esetén z-próba vagy u-próba (u-test) Tartható-e az az álláspont, hogy a vizsgált változó populációátlaga egy feltételezett µ érték? 0 Feltétel: normális eloszlású változó, valamint (ismert σ szórás, vagy 30-nál nagyobb elemszám). Próba-statisztika: x µ z= u= 0, ahol Z ~ N( 0,) σ n

7 Nullhipotézis: H : µ = µ 0 0 Ellenhipotézis: H : µ µ 0 Nullhipotézis: H : µ µ 0 0 Ellenhipotézis: H : µ > µ 0 0,45 0,4 0,35 0,3 0,5 0,45 0,4 0,35 0,3 0,5 0, 0, 0,5 0, a/ a/ 0,5 0, a 0,05 0,05 0 -zkrit zkrit zkrit 58 6 Kritikus tartomány: K :{ z > } z krit Kritikus tartomány: K :{ z > } z krit

8 egymintás t-próba (one sample t-test) Feltétel: normális eloszlású változó (robosztus, elég ha szimmetrikus és unimodális) Próba-statisztika: x µ =, s n t 0 mely Student féle t eloszlású változó, n- szabadsági fokkal Minden más megegyezik a z-próbával. Az egyetlen különbség, hogy a szórás ismert, vagy a mintából kell becsülni. A t-próba értelemszerűen kevésbé hatékony, hiszen eggyel több becsült paramétert használ. Ha a mintaelemszám elég nagy (>30), akkor használható a z-próba is. A z-próbát csak a kézzel, táblázatból történő munka esetén preferáljuk. A számítógépes programokkal nyugodtan használhatjuk a t-próbát.

9 Normális eloszlású változó várható értékére vonatkozó próbák két minta esetén z-próba vagy u-próba Tartható-e az az álláspont, hogy a vizsgált változók átlaga megegyezik a két populációban? Feltétel: független, normális eloszlású változók, valamint (ismert szórások, vagy 30-nál nagyobb elemszámok). Próba-statisztika: Nullhipotézis: H : µ = µ 0 x x z = u =, ahol Z ~ N( 0,) σ σ + n n Minden más ugyanúgy megy, mint az egymintás esetben.

10 Kétmintás t-próba (two sample t-test) Feltétel: független, normális eloszlású változók ismeretlen, de vélhetően azonos szórással. Próba-statisztika: t =, ahol s x x + n n Szanadsági fokok száma: n + n Nullhipotézis: H : µ = µ 0 s = ( n ) s + ( n ) Ha a két szórás nem egyezik meg, akkor vagy megpróbáljuk transzformálni a mintákat, vagy közelítő próbát alkalmazunk. (Welch-próba) n + n s

11 Welch-próba (Welch-test) Feltétel: független, normális eloszlású változók. Próba-statisztika: n s n s x x t + = Szabadsági fokok száma: ( )( ) ( ) ( )( ) + = c n c n n n n W, ahol n s n s n s c + =

12 Nagy mintákra (mindkét elemszám nagyobb, mint 30) a szórások jól becsülhetőek és a z-eloszlás kritikus értékei elég közel vannak a t-eloszlás kritikus értékeihez, ezért a z- próba használható a mintából becsült szórások esetén is. A t-próbát és a Welch-próbát kis mintákra használjuk attól függően, hogy a szórásokat azonosnak gondoljuk-e. Ha nem tudjuk, használhatjuk az F-próbát a szórások tesztelésére. A statisztikusok egy része ezt nem fogadja el, szerintük a két szórás sosem tekinthető azonosnak. A Welch-próba is csak közelítő eredményt ad, de használata széles körben elfogadott. A fenti módszerekkel nem csak az átlagok egyenlősége tesztelhető, hanem a köztük levő eltérés is. A számítógépes programok általában csak a t-próbát ismerik, a Welch-próbát is abba építik be.

13 Várható értékre vonatkozó próba két összefüggő minta esetén Páros t-próba (paired t-test) Ha a két minta összefügg (például ugyanazon egyedeken végeztük a mérést a kezelés előtt és a kezelés után, vagy ikerpárokon mérünk, ), akkor a kétmintás t-próbánál jóval erősebb a páros t-próba (paired t-test). Technikailag egy mintát képzünk, kiszámolva mindenütt a két változó értékének különbségét, és arra egymintás t-próbát alkalmazunk. Megjegyzések: A páros t-próba azért erősebb, mert információt hordoz, hogy melyik mérés melyikkel áll párban. A kapott különbségek szórása jóval kisebb lehet, mint a kétmintás próbában előálló szórás. Ha kezelés előtti és utáni eredményeink vannak, akkor a különbséget célszerű úgy képezni, hogy a későbbi mérés eredményéből vonjuk ki a korábbiét, ez esetben ugyanis a pozitív eredmény jelenti a növekedést.

14 Feltétel: a mérések ugyanazon az egyedeken, vagy más módon párosítható mintákon történtek (a minták nem függetlenek), valamint a két változó különbsége normális eloszlású (a változók nem kell, hogy azok legyenek). Nullhipotézis: H 0 : µ d = µ 0 Próba-statisztika: d µ t= 0 s d n

15 Varianciaanalízis (ANOVA) Kettőnél több minta esetén annak a nullhipotézisnek a tesztelésére szolgál, hogy valamennyi részpopulációban, amelyekből a minták származnak, ugyanaz a várható érték. Az ellenhipotézis, hogy van olyan (egy vagy több) részpopuláció, melyben a várható érték eltér. A próba feltétele a változók normalitása és a szórásuk azonossága, valamint az adatok függetlensége. Számtalan módon előfordulhat az, hogy a nullhipotézis nem teljesül!

16 Populációban egy tulajdonság arányára vonatkozó próba z-próba Tartható-e az az álláspont, hogy a vizsgált tulajdonság előfordulási valószínűsége a populációban a feltételezett p 0 érték? Feltétel: mivel a próba a binomiális eloszlás közelítésén alapul, hagyományosan akkor tekintik elfogadhatónak, ha 5 nˆ p n 5, ahol pˆ a mintabeli relatív gyakoriság. Nullhipotézis: H 0 : p= p0 Próba-statisztika: z = p pˆ 0 ( p ) n p 0 0 Ha a feltételek nem teljesülnek, akkor egzakt binomiális próbát kell csinálni. (Lásd konfidencia-intervallum meghatározás )

17 Két valószínűség összehasonlítása Származhat-e a két független minta adott tulajdonságra vonatkozóan azonos előfordulási valószínűségű populációból? Nullhipotézis: H 0 : p = p Próbastatisztika: z pˆ pˆ =, ahol p ( p ) + p p n n p f+ f = p n + n Két valószínűség összehasonlítása homogenitás vizsgálatként, történhet. χ -próbával is

18 χ -próba Egy változó varianciájára vonatkozó próba Tartható-e az az álláspont, hogy a vizsgált változó populációbeli varianciája egy feltételezett σ érték? 0 Feltétel: a vizsgált változó normális eloszlású. Nullhipotézis: Próba-statisztika: 0 :σ = σ 0 H vagy χ Szabadsági fok: n- ( n ) = σ s 0 :σ σ 0 H vagy

19 Kritikus tartomány: :σ σ 0 H esetén :σ < σ 0 H esetén χ : χ χ : χ χ + p vagy χ χ p χ + p

20 Két változó varianciájának összehasonlítása F-próba (F-test) Tartható-e az az álláspont, hogy a vizsgált változók varianciája megegyezik a két populációban? Feltétel: normális eloszlású(!) független változók, Nullhipotézis: Próba-statisztika: 0 :σ = σ H vagy F = s s 0 :σ σ s s (sorszámozás kérdése ) H (harmadik nem lehet Szabadsági fok: n - a számlálóban, n - a nevezőben Kritikus tartomány: { F : F } illetve { F : F F p} F p A normalitás nagy mintaelemszám esetén is kell. s s miatt)

21 Nemparaméteres próbák Ha az eddig megismert paraméteres próbák nem alkalmazhatóak, mert nem teljesülnek a feltételeik, akkor nemparaméteres próbákat kell alkalmazni. Ezek általában sokkal egyszerűbbek, mint a paraméteres próbák, sokkal megengedőbbek (feltételek), viszont jóval kisebb az erejük. A paraméteres és a nemparaméteres próbák összehasonlítása Nemparaméteres próbák Nagyjából függetlenek a változó eloszlásától. DE: azért nem minden eloszlásra, csak egy tágabb körre. Feltételeket ellenőrizni kell. Mediánok összehasonlítása. Gyakoriságok elemzésére alkalmas. Származtatott adatok elemzésére is jó, pl. arányok. Paraméteres próbák Feltételezik, hogy ismert a változó eloszlása: (leggyakrabban) normális, exponenciális, binomiális, stb. Átlagok és varianciák összehasonlítása. A gyakoriságokat általában transzformálni kell előtte. Származtatott adatokat először transzformálni kell.

22 Előjelpróba (sign test) Tartható-e az az álláspont, hogy a vizsgált változó mediánja egy feltételezett med 0 érték? Feltétel: a vizsgált változó eloszlása folytonos. 6< n < 30 Nullhipotézis: H 0 : med = med0 Próba-statisztika: a med hipot -nál nagyobb mintaelemek száma., ha xi > med0 δ i =, B= n δ i 0, ha xi < med0 i= Vigyázat! n-be azokat nem számoljuk bele, ahol x i = med0! Kritikus tartomány: a null-eloszlás binomiális, n=mintaelemszám, p=0.5. A kritikus tartomány H -től függően egy- vagy kétoldali.

23 Megjegyzések: A próbát azért hívják előjelpróbának, mert eredetileg a medián(x) = 0 hipotézis tesztelésére találták ki, és ekkor a próbához a mintabeli értékeknek csupán az előjelét használjuk. Két párosított minta esetén a különbségekre alkalmazható. Feltételként az eloszlás folytonossága helyett elegendő annyi is, hogy P(med 0 ) = 0. Nagy mintára a binomiális eloszlást a szokásos módon közelíthetjük Poissonnal vagy normálissal. Ugyanígy megy medián helyett tetszőleges kvantilisre.

24 Wilcoxon-féle előjeles rang-próba (Wilcoxon signed rank test) Tartható-e az az álláspont, hogy a vizsgált változó mediánja egy feltételezett med 0 érték? Feltétel: a vizsgált változó eloszlása folytonos és szimmetrikus Szimmetrikus eloszlás esetén a medián és az átlag egybeesik, ezért mindegy, melyikkel fogalmazzuk meg a hipotéziseket. Csak hagyomány-tiszteletből írjuk fel mediánnal. Nullhipotézis: H 0: med = med 0 Próba-statisztika: a megfigyelt értékek med 0 -tól való eltéréseit abszolút értékük nagysága szerint sorba rendezzük, és rangszámokat rendelünk hozzájuk. A statisztika a pozitív eltérésekhez tartozó rangok összege. Párosított minták esetén a különbségre alkalmazható.

25 Példa: 0 elemű minta: med 0 = 9 Eltérések: Rangszámok: 9 8 6* 6* * 0 * Egyenlő abszolút eltérést adó értékek (ties) esetén mindegyikük az összesen rájuk jutó rangok átlagát kapja (kapcsolt rangok, tied ranks). A pozitív eltérések rangösszege: T + = 9.5 Kritikus tartomány: K { T } T krit : +. A null-eloszlást kis mintaelemszámokra kiszámolták, a kritikus értékeket táblázatba foglalták. (Csak akkor érvényes, ha nincsenek kapcsolt rangok!) Nagyobb mintákra a null-eloszlás a = n ( n+) µ, normálissal közelíthető, a kritikus értékek ebből számolhatók. 4 = n( n+ )( n+ ) 4 σ paraméterű

26 Mann-Whitney-féle U-teszt (vagy: Wilcoxon-féle rangösszeg-teszt) Tartható-e az az álláspont, hogy a vizsgált X és Y változókra igaz a P(X<Y)=P(X>Y) egyenlőség (azaz ha mindkét változót megfigyeljük, azonos esély van arra, hogy az egyik, illetve a másik lesz nagyobb)? Feltétel: a változók eloszlása folytonos, sűrűségfüggvényeik azonos alakúak (eltolással egymásba átvihetők, varianciák megegyeznek); a két változóra két független mintánk van. Nullhipotézis: H 0: a változók eloszlása megegyezik, azaz az eltolás 0. Ellenhipotézis: H : az eltolás 0 (ez kétoldali ellenhipotézis, de megfogalmazható egyoldali is)

27 Ellenhipotézis: H : F( X ) / F(Y) Kolmogorov-Smirnov próba Tartható-e az az álláspont, hogy a vizsgált X és Y változók eloszlása azonos? A kétmintás t-próba megfelelője nem egyező varianciák esetére. Feltételek: Ordinális vagy folytonos változók, független minták, azonos alakú eloszlások. Nullhipotézis: H : F( X ) F( ) 0 Y Próbastatisztika: A két eloszlásfüggvény közötti maximális differencia. Nagyon kevéssé hatékony teszt.

28 Medián (Mood) próba Tartható-e az az álláspont, hogy a két minta ugyanakkora mediánú populációból származik? Nullhipotézis: H 0 : med= med Számítás menete: Kiszámítjuk az összes adat közös mediánját. Készítünk belőle egy -es kontingencia táblázatot, és abból kiszámítjuk az alábbi χ értéket: Próba-statisztika:. minta. minta > Közös medián f f Közös medián f f χ = ( f + f )( f + f )( f + f )( f + f ) f f f f n

29 Kritikus tartomány: H : med med esetén { χ : χ χ α / vagy χ χ α / }, H : med < med esetén { χ : χ χ α }, H : med > med esetén { χ : χ χ α }, ahol α az elsőfajú hiba megengedett szintje, χ α, χ α / és χ α / pedig az n- szabadsági fokú χ -eloszlás megfelelő kritikus értékei. Megjegyzés: Sokkal gyengébb teszt, mint a kétmintás t-próba, illetve a M-W teszt, ha azok is alkalmazhatók. Ha néhány gyakoriság nagyon kicsi, akkor a Fischer-féle egzakt teszt alkalmazandó.

30 Példa: X-re 8 elemű minta:, 3, 7, 8, 9, 5, 6, 7 Y-re 0 elemű minta: 5, 6, 8, 0,, 5, 8,, 3, 5 Összevont minta:, 3, 5, 6, 7, 8, 8, 9, 0,, 5, 5, 6, 7, 8,, 3, 5 Közös medián = χ = =. minta. minta > Közös medián f =3 f =6 Közös medián f =5 f =4 ( f + f )( f + f )( f + f )( f + f ) n ( 3+ 5)( 6+ 5)( 3+ 6)( 5+ 4) f f f f n 8 9 = = 0, 045< χ 0, 05 = 3, H 0 -t nem vetjük el

31 Kruskal-Wallis-féle H teszt (Kruskal-Wallis H-test) Több mint két minta esetén használjuk, hasonlóan az ANOVA-hoz. Feltétel: a változók eloszlása folytonos, sűrűségfüggvényeik azonos alakúak (eltolással egymásba átvihetők); k változóra k független mintánk van. Nullhipotézis: H 0: mind a k változó eloszlása megegyezik Ellenhipotézis: H : nem mind azonos eloszlásúak Próba-statisztika: bonyolult (lásd lejjebb) Kritikus tartomány: a null-eloszlás aszimptotikusan χ ebből kaphatjuk a kritikus értékeket (k szabadsági fokkal),

32 Példa: Egy biológus 4 mezőn (A, B, C, D) 5-5 véletlenszerűen kiválasztott kvadrátban számolja az orchideákat. Van-e különbség bármelyik két mező között az orchideák számát tekintve? megf/mező A B C D 7 () 48 (6) (6) 44 (5) 4 (7) 8 (9,5) 0 () 7 (9) 3 8 (4,5) 3 (3) 3 () 8 (0) 4 8 (9,5) 5 (7) 5 (8) 55 (8) 5 7 (3) () 8 (4,5) 39 (4) A Kruskal-Wallis próba menete: Készítsük el a fenti táblázatot. Oszloponként vannak a minták, zárójelben a megfigyelések rangja (összes mintaelemre együtt kiszámítva). Számítsuk ki mintánként a darabszámokat (n i ) és adjuk össze: N. Számítsuk ki mintánként a rangösszeget: R i. Emeljük négyzetre: R i.

33 Ri Osszuk el a mintaelemszámmal és adjuk össze:. n A próbastatisztika ( χ eloszlású): K Hasonlítsuk össze K-t a megfelelő χ krit (4-=3).χ krit = K krit Ri = 3 N ni N( N+ ) i ( + ) értékkel. A szabadsági fok: a minták száma- >χ elutasítjuk a H 0 -t. Ezek szerint az orchideák számát tekintve a mezők nem tekinthetők egyformáknak. Csak azt tudjuk, hogy valamelyik kettő között biztos van különbség. Biztos, hogy a Ri legnagyobb és a legkisebb átlagos rangszámú különbözik, jelen példában a C és ni D mezők.

34 Megjegyzések: Két minta esetén ugyanaz mint a Mann-Whitney próba. Szignifikancia esetén nem tudjuk megmondani, hogy ténylegesen melyikek különböznek (legkisebb-legnagyobb biztos). Ha a H 0 : med = med =... = medk hipotézis szeretnénk tesztelni, a medián próba kiterjeszthető több minta esetére. Nem független minták esetén a Friedman teszt használható.

35 Gyakoriságok elemzése Leszámolásos mintákra alkalmazható próbák. Klasszikus módszer: χ próba. Alkalmazzák homogenitás, véletlenszerűség, függetlenség és illeszkedésvizsgálatra. Alapelv: megfigyelt gyakoriságokat összehasonlítása nullhipotézis alapján várt gyakoriságokkal. Ha az eltérés egy bizonyos kritikus értéknél nagyobb, akkor elutasítjuk a nullhipotézist. Lényeg: hogyan számítsuk ki a várt gyakoriságokat?

36 Illeszkedés vizsgálat (goodness-of-fit, GOF) Tartható-e az az álláspont, hogy a vizsgált változó populációbeli eloszlása (eloszlásfüggvénye) egy feltételezett F hipot eloszlás (eloszlásfüggvény)? χ -próba Feltételek: a próbához a változó értékkészletét osztályokba kell sorolni és minden osztályra meghatározni az e i ún. várt gyakoriságot (a gyakoriság illeszkedés esetén várható értékét): a mintaelemszámot meg kell szorozni annak az i. osztálynak a feltételezett eloszlás szerinti valószínűségével. Akkora mintával kell dolgozni, vagy az osztályokat úgy megválasztani, hogy az e i -k ne legyenek 3-nál kisebbek, és 5-nél kisebbek is legfeljebb az osztályok 0%-ában. P χ H : 0 : F F0 H F F 0

37 Próba-statisztika: ( e ) χ k i i = f i= gyakoriság, k pedig az osztályok száma. Kritikus tartomány: K: { χ χkrit} megfelelően kell kikeresni. e i, ahol fi a megfigyelt gyakoriság, ei a várt >. A kritikus értéket a szignifikancia szintnek Tiszta illeszkedésvizsgálat: A feltételezett eloszlás típusa és paraméterei is ismertek. Szabadsági fok: k -. Becsléses illeszkedésvizsgálat: Csak az eloszlás típusa ismert, a paramétereit becsüljük. Szabadsági fok: k--(becsült paraméterek száma). Normalitást is ezzel a próbával vizsgálhatunk. df = esetén szokták az ún. Yates korrekciót alkalmazni: χ = k ( fi ei 0.5), i= ei de erről a statisztikusok véleménye különbözik, azt a módszert kell használni, amely a tudományterületen, vagy az adott folyóiratban szokásos.

38 Példa: Kockadobás. Az az elképzelésünk (modellünk), hogy a kocka szabályos, azaz minden szám egyforma (/6) valószínűséggel fordulhat elő. A modell teszteléséhez dobáljuk a kockát, számoljuk az egyes előfordulások gyakoriságát, majd elvégezzük a χ -próbát. Formálisan felírva a hipotéziseket: H 0 : A kocka szabályos H : Nem szabályos ( e ) χ k i i = f i= e i, ahol fi a megfigyelt gyakoriság, ei a várt gyakoriság, k pedig az osztályok száma. Behelyettesítve a képletbe: ( 8 0) ( 6 0) ( 4 0) 4 χ = = = 4.. > χ krit = elutasítjuk a nullhipotézist! érték megfigyelt (f i ) várt (e i ) gyakoriság

39 Kolmogorov-Szmirnov próba Az eloszlásfüggvények legnagyobb abszolút eltérését veszi csak figyelembe. Példa: Házi rövidszőrű macskák étkezési preferenciáinak tesztelése. Ugyanaz a táp 5 féle nedvességtartalommal. 35 éhes macskát letettek egyenként az 5 táptól ugyanolyan távolságra. Melyiket választják? H 0 : A macskáknak nincs nedvesség preferenciája H : Legalább egyfélét preferálnak Próba-statisztika: d max =7 Táblázatból: d krit(0.05, 5, 35) =7 K:{d max d krit } H 0 -t elutasítjuk. Nedves száraz táp f i e i kum f i kum e i d i

40 Függetlenségvizsgálat khi-négyzet próba Tartható-e az az álláspont, hogy a két vizsgált változó független egymástól? A próbához mindkét változó értékkészletét osztályokba kell sorolni (nem feltétlenül ugyanannyi osztályba!) és minden osztály-kombinációra (cellára) meghatározni az ún. várt gyakoriságot (e ij ) az alábbi képlettel: e ij = ( I f ij i= I )( J i= j= J j= f ij f ij ), ahol I és J az egyik, illetve másik változó szerinti osztályok száma, f ij pedig az i,j-edik cella mintabeli gyakorisága J-ik osztály Feltételek: Akkora mintára van szükség, hogy az e ij várt gyakoriságok ne legyenek 3- nál kisebbek, és 5-nél kisebbek is legfeljebb a cellák 0 %-ában.... I-ik oszt. ez a (, 3)-ik

41 Nullhipotézis: H0: a két vizsgált változó független egymástól Ellenhipotézis: H: nem függetlenek Próba-statisztika: ( ) = I J fij eij χ, ahol f ij a megfigyelt, e ij a várt gyakoriság az e i= j= ij i,j-edik cellában, I és J pedig az egyik, illetve a másik változó szerinti osztályok száma. Elutasítási tartomány: {χ :χ χ α}, ahol χ -eloszlás megfelelő kritikus értéke. χ α az (I )(J ) szabadsági fokú

42 Ha nem független két változó, akkor hogyan tudjuk mérni a kapcsolat erősségét? kontingencia táblázatok (nominális változók esetén) pl. asszociációs mértékekkel, ordinális skálák esetén pl. rangkorrelációval, intervallum skála esetén pl. a korrelációs együtthatóval.

43 Homogenitásvizsgálat Tartható-e az az álláspont, hogy a vizsgált változó eloszlása (eloszlásfüggvénye) azonos a két populációban? Függetlenségvizsgálat A vizsgálatot visszavezethetjük függetlenségvizsgálatra egy új változó segítségével, amelynek értéke minden mintaelemre annak a populációnak a sorszáma, amelyből a mintaelem származik ( vagy ). Az, hogy a vizsgált változó ugyanolyan eloszlást követ a két populációban, ekvivalens azzal, hogy a vizsgált változó független ettől a sorszám-változótól. A sorszám-változónak természetesen két osztálya van, a vizsgált változó értékeit pedig a függetlenségvizsgálat feltételeinek megfelelően kell osztályokba sorolni. osztály (populáció) 3... J-ik osztály

44 Feltételek: lásd a függetlenségvizsgálatnál. Nullhipotézis: H0: F =F, ahol F és F az ismeretlen eloszlásfüggvények. Ellenhipotézis: H: F F Próba-statisztika: lásd a függetlenségvizsgálatnál. Elutasítási tartomány: lásd a függetlenségvizsgálatnál. Ezzel a módszerrel kettőnél több populációra is végezhető homogenitásvizsgálat. Ha nem lett volna érthető: mindkét mintát osztályokba soroljuk, azonos határokkal. A táblázat első sorába az első mintából, a második sorába a második mintából írjuk be a megfigyelt gyakoriságokat. Így az első sor az első mintára, a második a második mintára vonatkozik. Ha a két sorban az eloszlás azonos, az ugyanazt jelenti, mintha a két minta független lenne.

45 Fisher egzakt teszt x-es kontingencia táblázatokra Ha túl kicsik a gyakoriságaink, akkor a χ próba nem ad helyes eredményt (csak közelítés, nagy mintákra működik jól.) A Fisher egzakt teszt azt számítja ki, hogy az adott marginális eloszlások mellett mekkora az adott, illetve annál extrémebb táblázatok valószínűsége, ha feltételezzük a változók függetlenségét. Ha ez a valószínűség kicsi (<5%), akkor nem fogadjuk el a nullhipotézist. Példa: Van 40 betegünk, akik részben pszichotikusok, részben neurotikusok, illetve részben éreznek öngyilkossági hajlamot, részben nem. Öngyilkossági pszichotikus neurotikus Összes hajlam Igen 6 8 Nem Összes Egy adott táblázat valószínűségét a hipergeometrikus eloszlás adja meg:

46 Az adott marginálisok mellett a táblázat valószínűsége: Mit jelent az, hogy extrémebb? Kiválasztjuk azt az átlót, amelyben a gyakoriságok összege nagyobb, és azt még tovább növeljük (az adott irányú összefüggés irányába megyünk tovább.)

47 Itt úgy tűnik, mintha a neurotikusok kicsit hajlamosabbak lennének az öngyilkosságra, mint a pszichotikusok. Megnézzük, hogy mi a helyzet, ha még jobban eltoljuk ebbe az irányba a táblázatot: Öngyilkossági pszichotikus neurotikus Összes hajlam Igen 7 8 Nem Összes Öngyilkossági pszichotikus neurotikus Összes hajlam Igen Nem 0 3 Összes

48 A példabeli táblázat valószínűsége, illetve a nála extrémebbeké: Összesen: Következtetés. A két tünet függetlennek tekinthető.

Biomatematika 15. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János

Biomatematika 15. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar Biomatematikai és Számítástechnikai Tanszék Biomatematika 15. Nemparaméteres próbák Fodor János Copyright c Fodor.Janos@aotk.szie.hu Last Revision Date: November

Részletesebben

1. Adatok kiértékelése. 2. A feltételek megvizsgálása. 3. A hipotézis megfogalmazása

1. Adatok kiértékelése. 2. A feltételek megvizsgálása. 3. A hipotézis megfogalmazása HIPOTÉZIS VIZSGÁLAT A hipotézis feltételezés egy vagy több populációról. (pl. egy gyógyszer az esetek 90%-ában hatásos; egy kezelés jelentősen megnöveli a rákos betegek túlélését). A hipotézis vizsgálat

Részletesebben

Két diszkrét változó függetlenségének vizsgálata, illeszkedésvizsgálat

Két diszkrét változó függetlenségének vizsgálata, illeszkedésvizsgálat Két diszkrét változó függetlenségének vizsgálata, illeszkedésvizsgálat Szűcs Mónika SZTE ÁOK-TTIK Orvosi Fizikai és Orvosi Informatikai Intézet Orvosi fizika és statisztika I. előadás 2016.11.09 Orvosi

Részletesebben

Kiválasztás. A változó szerint. Rangok. Nem-paraméteres eljárások. Rang: Egy valamilyen szabály szerint felállított sorban elfoglalt hely.

Kiválasztás. A változó szerint. Rangok. Nem-paraméteres eljárások. Rang: Egy valamilyen szabály szerint felállított sorban elfoglalt hely. Kiválasztás A változó szerint Egymintás t-próba Mann-Whitney U-test paraméteres nem-paraméteres Varianciaanalízis De melyiket válasszam? Kétmintás t-próba Fontos, hogy mindig a kérdésnek és a változónak

Részletesebben

BIOMETRIA (H 0 ) 5. Előad. zisvizsgálatok. Hipotézisvizsg. Nullhipotézis

BIOMETRIA (H 0 ) 5. Előad. zisvizsgálatok. Hipotézisvizsg. Nullhipotézis Hipotézis BIOMETRIA 5. Előad adás Hipotézisvizsg zisvizsgálatok Tudományos hipotézis Nullhipotézis feláll llítása (H ): Kétmintás s hipotézisek Munkahipotézis (H a ) Nullhipotézis (H ) > = 1 Statisztikai

Részletesebben

Biostatisztika Összefoglalás

Biostatisztika Összefoglalás Biostatisztika Összefoglalás A biostatisztika vizsga A biostatisztika vizsga az Orvosi fizika és statisztika I. fizika vizsgájával egy napon történik. A vizsga keretében 30 perc alatt 0 kérdésre kell válaszolni

Részletesebben

biometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás

biometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás Kísérlettervezés - biometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás A matematikai-statisztika feladata tapasztalati adatok feldolgozásával segítséget nyújtani

Részletesebben

GVMST22GNC Statisztika II. Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet

GVMST22GNC Statisztika II. Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet GVMST22GNC Statisztika II. 3. előadás: 8. Hipotézisvizsgálat Kóczy Á. László Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet Hipotézisvizsgálat v becslés Becslés Ismeretlen paraméter Közeĺıtő

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 4 IV. MINTA, ALAPsTATIsZTIKÁK 1. MATEMATIKAI statisztika A matematikai statisztika alapfeladatát nagy általánosságban a következőképpen

Részletesebben

Khi-négyzet eloszlás. Statisztika II., 3. alkalom

Khi-négyzet eloszlás. Statisztika II., 3. alkalom Khi-négyzet eloszlás Statisztika II., 3. alkalom A khi négyzet eloszlást (Pearson) leggyakrabban kategorikus adatok elemzésére használjuk. N darab standard normális eloszlású változó négyzetes összegeként

Részletesebben

Varianciaanalízis 4/24/12

Varianciaanalízis 4/24/12 1. Feladat Egy póker kártya keverő gép a kártyákat random módon választja ki. A vizsgálatban 1600 választott kártya színei az alábbi gyakorisággal fordultak elő. Vizsgáljuk meg, hogy a kártyák kiválasztása

Részletesebben

egyetemi jegyzet Meskó Balázs

egyetemi jegyzet Meskó Balázs egyetemi jegyzet 2011 Előszó 2. oldal Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 4 1.1. A matematikai statisztika céljai.............................. 4 1.2. Alapfogalmak......................................... 4 2.

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.29. A statisztika típusai Leíró jellegű statisztika: összegzi egy adathalmaz jellemzőit. A középértéket jelemzi (medián, módus, átlag) Az adatok változékonyságát

Részletesebben

Nemparametrikus tesztek. 2014. december 3.

Nemparametrikus tesztek. 2014. december 3. Nemparametrikus tesztek 2014. december 3. Nemparametrikus módszerek Alkalmazásuk: nominális adatok (gyakoriságok) esetén, ordinális adatok esetén, metrikus adatok esetén (intervallum és arányskála), ha

Részletesebben

STATISZTIKA. A maradék független a kezelés és blokk hatástól. Maradékok leíró statisztikája. 4. A modell érvényességének ellenőrzése

STATISZTIKA. A maradék független a kezelés és blokk hatástól. Maradékok leíró statisztikája. 4. A modell érvényességének ellenőrzése 4. A modell érvényességének ellenőrzése STATISZTIKA 4. Előadás Variancia-analízis Lineáris modellek 1. Függetlenség 2. Normális eloszlás 3. Azonos varianciák A maradék független a kezelés és blokk hatástól

Részletesebben

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1 Statisztika - bevezetés 00.04.05. Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc Bevezetés Véletlen jelenség fogalma jelenséget okok bizonyos rendszere hozza létre ha mindegyik figyelembe vehető egyértelmű leírás általában

Részletesebben

Eloszlás-független módszerek (folytatás) 14. elıadás ( lecke) 27. lecke khí-négyzet eloszlású statisztikák esetszámtáblázatok

Eloszlás-független módszerek (folytatás) 14. elıadás ( lecke) 27. lecke khí-négyzet eloszlású statisztikák esetszámtáblázatok Eloszlás-független módszerek (folytatás) 14. elıadás (7-8. lecke) Illeszkedés-vizsgálat 7. lecke khí-négyzet eloszlású statisztikák esetszámtáblázatok elemzésére Illeszkedés-vizsgálat Gyakorisági sorok

Részletesebben

Populációbecslés és monitoring. Eloszlások és alapstatisztikák

Populációbecslés és monitoring. Eloszlások és alapstatisztikák Populációbecslés és monitoring Eloszlások és alapstatisztikák Eloszlások Az eloszlás megadja, hogy milyen valószínűséggel kapunk egy adott intervallumba tartozó értéket, ha egy olyan populációból veszünk

Részletesebben

TARTALOMJEGYZÉK. 1. téma Átlagbecslés (Barna Katalin) téma Hipotézisvizsgálatok (Nagy Mónika Zita)... 23

TARTALOMJEGYZÉK. 1. téma Átlagbecslés (Barna Katalin) téma Hipotézisvizsgálatok (Nagy Mónika Zita)... 23 TARTALOMJEGYZÉK 1. téma Átlagbecslés (Barna Katalin).... 7 2. téma Hipotézisvizsgálatok (Nagy Mónika Zita)... 23 3. téma Összefüggések vizsgálata, korrelációanalízis (Dr. Molnár Tamás)... 73 4. téma Összefüggések

Részletesebben

Adatok statisztikai értékelésének főbb lehetőségei

Adatok statisztikai értékelésének főbb lehetőségei Adatok statisztikai értékelésének főbb lehetőségei 1. a. Egy- vagy kétváltozós eset b. Többváltozós eset 2. a. Becslési problémák, hipotézis vizsgálat b. Mintázatelemzés 3. Szint: a. Egyedi b. Populáció

Részletesebben

Biomatematika 13. Varianciaanaĺızis (ANOVA)

Biomatematika 13. Varianciaanaĺızis (ANOVA) Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar Biomatematikai és Számítástechnikai Tanszék Biomatematika 13. Varianciaanaĺızis (ANOVA) Fodor János Copyright c Fodor.Janos@aotk.szie.hu Last Revision Date:

Részletesebben

Kabos: Statisztika II. t-próba 9.1. Ha ismert a doboz szórása de nem ismerjük a

Kabos: Statisztika II. t-próba 9.1. Ha ismert a doboz szórása de nem ismerjük a Kabos: Statisztika II. t-próba 9.1 Egymintás z-próba Ha ismert a doboz szórása de nem ismerjük a doboz várhatóértékét, akkor a H 0 : a doboz várhatóértéke = egy rögzített érték hipotézisről úgy döntünk,

Részletesebben

Matematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája

Matematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája Matematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája 2015 Tematika Matematikai statisztika 1. Időkeret: 12 héten keresztül heti 3x50 perc (előadás és szeminárium) 2. Szükséges előismeretek:

Részletesebben

y ij = µ + α i + e ij STATISZTIKA Sir Ronald Aylmer Fisher Példa Elmélet A variancia-analízis alkalmazásának feltételei Lineáris modell

y ij = µ + α i + e ij STATISZTIKA Sir Ronald Aylmer Fisher Példa Elmélet A variancia-analízis alkalmazásának feltételei Lineáris modell Példa STATISZTIKA Egy gazdálkodó k kukorica hibrid termesztése között választhat. Jelöljük a fajtákat A, B, C, D-vel. Döntsük el, hogy a hibridek termesztése esetén azonos terméseredményre számíthatunk-e.

Részletesebben

Intervallumbecsle s Mintave tel+ Hipote zisvizsga lat Egyminta s pro ba k Ke tminta s pro ba k Egye b vizsga latok O sszef.

Intervallumbecsle s Mintave tel+ Hipote zisvizsga lat Egyminta s pro ba k Ke tminta s pro ba k Egye b vizsga latok O sszef. Intervallumbecsle s Mintave tel+ Hipote zisvizsga lat Egyminta s pro ba k Ke tminta s pro ba k Egye b vizsga latok O sszef. Feladatok Gazdaságstatisztika 7. Statisztikai becslések (folyt.); 8. Hipotézisvizsgálat

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Középértékek és szóródási mutatók

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Középértékek és szóródási mutatók Matematikai alapok és valószínőségszámítás Középértékek és szóródási mutatók Középértékek A leíró statisztikák talán leggyakrabban használt csoportját a középértékek jelentik. Legkönnyebben mint az adathalmaz

Részletesebben

A biostatisztika alapfogalmai, hipotézisvizsgálatok. Dr. Boda Krisztina Boda PhD SZTE ÁOK Orvosi Informatikai Intézet

A biostatisztika alapfogalmai, hipotézisvizsgálatok. Dr. Boda Krisztina Boda PhD SZTE ÁOK Orvosi Informatikai Intézet A biostatisztika alapfogalmai, hipotézisvizsgálatok Dr. Boda Krisztina Boda PhD SZTE ÁOK Orvosi Informatikai Intézet Hipotézisvizsgálatok A hipotézisvizsgálat során a rendelkezésre álló adatok (statisztikai

Részletesebben

kritikus érték(ek) (critical value).

kritikus érték(ek) (critical value). Hipotézisvizsgálatok (hypothesis testig) A statisztikáak egyik célja lehet a populáció tulajdoságaiak, ismeretle paramétereiek a becslése. A másik tipikus cél: valamely elmélet, hipotézis empirikus bizoyítása

Részletesebben

STATISZTIKA. András hármas. Éva ötös. Nóri négyes. 5 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 ANNA BÉLA CILI 0,5 MAGY. MAT. TÖRT. KÉM.

STATISZTIKA. András hármas. Éva ötös. Nóri négyes. 5 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 ANNA BÉLA CILI 0,5 MAGY. MAT. TÖRT. KÉM. STATISZTIKA 5 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 MAGY. MAT. TÖRT. KÉM. ANNA BÉLA CILI András hármas. Béla Az átlag 3,5! kettes. Éva ötös. Nóri négyes. 1 mérés: dolgokhoz valamely szabály alapján szám rendelése

Részletesebben

K oz ep ert ek es variancia azonoss ag anak pr ob ai: t-pr oba, F -pr oba m arcius 21.

K oz ep ert ek es variancia azonoss ag anak pr ob ai: t-pr oba, F -pr oba m arcius 21. Középérték és variancia azonosságának próbái: t-próba, F -próba 2012. március 21. Hipotézis álĺıtása Feltételezés: a minta egy adott szempont alapján más populációhoz tartozik, mint b minta. Nullhipotézis

Részletesebben

Matematika III. 9. Statisztikai hipotézisek Prof. Dr. Závoti, József

Matematika III. 9. Statisztikai hipotézisek Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 9. Statisztikai hipotézisek Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 9. : Statisztikai hipotézisek Prof. Dr. Závoti, József Lektor : Bischof, Annamária Ez a modul a TÁMOP - 4.1.2-08/1/A-2009-0027

Részletesebben

Kabos: Statisztika II. ROC elemzések 10.1. Szenzitivitás és specificitás a jelfeldolgozás. és ilyenkor riaszt. Máskor nem.

Kabos: Statisztika II. ROC elemzések 10.1. Szenzitivitás és specificitás a jelfeldolgozás. és ilyenkor riaszt. Máskor nem. Kabos: Statisztika II. ROC elemzések 10.1 ROC elemzések Szenzitivitás és specificitás a jelfeldolgozás szóhasználatával A riasztóberendezés érzékeli, ha támadás jön, és ilyenkor riaszt. Máskor nem. TruePositiveAlarm:

Részletesebben

A konfidencia intervallum képlete: x± t( α /2, df )

A konfidencia intervallum képlete: x± t( α /2, df ) 1. feladat. Egy erdőben az egy fészekben levő tojásszámokat vizsgáltuk egy madárfajnál. A következő tojásszámokat találtuk: 1, 1, 1,,,,,,, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 7. Mi a mintának a minimuma, maximuma,

Részletesebben

Biostatisztika VIII. Mátyus László. 19 October

Biostatisztika VIII. Mátyus László. 19 October Biostatisztika VIII Mátyus László 19 October 2010 1 Ha σ nem ismert A gyakorlatban ritkán ismerjük σ-t. Ha kiszámítjuk s-t a minta alapján, akkor becsülhetjük σ-t. Ez további bizonytalanságot okoz a becslésben.

Részletesebben

Statisztika I. 11. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre

Statisztika I. 11. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre Statisztika I. 11. előadás Előadó: Dr. Ertsey Imre Összefüggés vizsgálatok A társadalmi gazdasági élet jelenségei kölcsönhatásban állnak, összefüggnek egymással. Statisztika alapvető feladata: - tényszerűségek

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,

Részletesebben

Biometria az orvosi gyakorlatban. Korrelációszámítás, regresszió

Biometria az orvosi gyakorlatban. Korrelációszámítás, regresszió SZDT-08 p. 1/31 Biometria az orvosi gyakorlatban Korrelációszámítás, regresszió Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu Korrelációszámítás

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Statisztikai becslés Statisztikák eloszlása

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Statisztikai becslés Statisztikák eloszlása Matematikai alapok és valószínőségszámítás Statisztikai becslés Statisztikák eloszlása Mintavétel A statisztikában a cél, hogy az érdeklõdés tárgyát képezõ populáció bizonyos paramétereit a populációból

Részletesebben

Statisztikai alapismeretek (folytatás) 4. elıadás (7-8. lecke) Becslések, Hipotézis vizsgálat

Statisztikai alapismeretek (folytatás) 4. elıadás (7-8. lecke) Becslések, Hipotézis vizsgálat Statisztikai alapismeretek (folytatás) 4. elıadás (7-8. lecke) Becslések, Hipotézis vizsgálat 7. lecke Paraméter becslés Konfidencia intervallum Hipotézis vizsgálat feladata Paraméter becslés és konfidencia

Részletesebben

Statisztika I. 9. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre

Statisztika I. 9. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre Statisztika I. 9. előadás Előadó: Dr. Ertsey Imre Statisztikai hipotézis vizsgálatok elsősorban a biometriában alkalmazzák, újabban reprezentatív jellegű ökonómiai vizsgálatoknál, üzemi szinten élelmiszeripari

Részletesebben

Egyszempontos variancia analízis. Statisztika I., 5. alkalom

Egyszempontos variancia analízis. Statisztika I., 5. alkalom Statisztika I., 5. alkalom Számos t-próba versus variancia analízis Kreativitás vizsgálata -nık -férfiak ->kétmintás t-próba I. Fajú hiba=α Kreativitás vizsgálata -informatikusok -építészek -színészek

Részletesebben

V. Gyakorisági táblázatok elemzése

V. Gyakorisági táblázatok elemzése V. Gyakorisági táblázatok elemzése Tartalom Diszkrét változók és eloszlásuk Gyakorisági táblázatok Populációk összehasonlítása diszkrét változók segítségével Diszkrét változók kapcsolatvizsgálata Példák

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 9 IX. ROBUsZTUs statisztika 1. ROBUsZTUssÁG Az eddig kidolgozott módszerek főleg olyanok voltak, amelyek valamilyen értelemben optimálisak,

Részletesebben

Korreláció és lineáris regresszió

Korreláció és lineáris regresszió Korreláció és lineáris regresszió Két folytonos változó közötti összefüggés vizsgálata Szűcs Mónika SZTE ÁOK-TTIK Orvosi Fizikai és Orvosi Informatikai Intézet Orvosi Fizika és Statisztika I. előadás 2016.11.02.

Részletesebben

Statisztikai következtetések Nemlineáris regresszió Feladatok Vége

Statisztikai következtetések Nemlineáris regresszió Feladatok Vége [GVMGS11MNC] Gazdaságstatisztika 10. előadás: 9. Regressziószámítás II. Kóczy Á. László koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet A standard lineáris modell

Részletesebben

e (t µ) 2 f (t) = 1 F (t) = 1 Normális eloszlás negyedik centrális momentuma:

e (t µ) 2 f (t) = 1 F (t) = 1 Normális eloszlás negyedik centrális momentuma: Normális eloszlás ξ valószínűségi változó normális eloszlású. ξ N ( µ, σ 2) Paraméterei: µ: várható érték, σ 2 : szórásnégyzet (µ tetszőleges, σ 2 tetszőleges pozitív valós szám) Normális eloszlás sűrűségfüggvénye:

Részletesebben

IV. Változók és csoportok összehasonlítása

IV. Változók és csoportok összehasonlítása IV. Változók és csoportok összehasonlítása Tartalom Összetartozó és független minták Csoportosító változók Két összetartozó minta összehasonlítása Két független minta összehasonlítása Több független minta

Részletesebben

Segítség az outputok értelmezéséhez

Segítség az outputok értelmezéséhez Tanulni: 10.1-10.3, 10.5, 11.10. Hf: A honlapra feltett falco_exp.zip-ben lévő exploratív elemzések áttanulmányozása, érdekességek, észrevételek kigyűjtése. Segítség az outputok értelmezéséhez Leiro: Leíró

Részletesebben

Variancia-analízis (folytatás)

Variancia-analízis (folytatás) Variancia-analízis (folytatás) 7. elıadás (13-14. lecke) Egytényezıs VA blokk-képzés nélkül és blokk-képzéssel 13. lecke Egytényezıs variancia-analízis blokkképzés nélkül Az átlagok páronkénti összehasonlítása(1)

Részletesebben

Virág Katalin. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet

Virág Katalin. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet Függetleségvizsgálat Virág Katali Szegedi Tudomáyegyetem, Bolyai Itézet Függetleség Függetleség Két változó függetle, ha az egyik változó megfigyelése a másik változóra ézve em szolgáltat iformációt; azaz

Részletesebben

Mi az adat? Az adat elemi ismeret. Az adatokból információkat

Mi az adat? Az adat elemi ismeret. Az adatokból információkat Mi az adat? Az adat elemi ismeret. Tények, fogalmak olyan megjelenési formája, amely alkalmas emberi eszközökkel történő értelmezésre, feldolgozásra, továbbításra. Az adatokból gondolkodás vagy gépi feldolgozás

Részletesebben

Statisztikai módszerek 7. gyakorlat

Statisztikai módszerek 7. gyakorlat Statisztikai módszerek 7. gyakorlat A tanult nem paraméteres próbák: PRÓBA NEVE Illeszkedés-vizsgálat Χ2próbával MIRE SZOLGÁL? Illeszkedés-vizsgálat Ryan-Joiner próbával A val.-i vált. eloszlása egy adott

Részletesebben

Gyakorló feladatok. Az alábbi feladatokon kívül a félév szemináriumi anyagát is nézzék át. Jó munkát! Gaál László

Gyakorló feladatok. Az alábbi feladatokon kívül a félév szemináriumi anyagát is nézzék át. Jó munkát! Gaál László Gyakorló feladatok Az alábbi feladatokon kívül a félév szemináriumi anyagát is nézzék át. Jó munkát! Gaál László I/. A vizsgaidőszak második napján a hallgatók %-ának az E épületben, %-ának a D épületben,

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:

Részletesebben

MÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI

MÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI MÉRÉSI EREDMÉYEK POTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI. A mérési eredmény megadása A mérés során kapott értékek eltérnek a mérendő fizikai mennyiség valódi értékétől. Alapvetően kétféle mérési hibát különböztetünk

Részletesebben

ALÁÍRÁS NÉLKÜL A TESZT ÉRVÉNYTELEN!

ALÁÍRÁS NÉLKÜL A TESZT ÉRVÉNYTELEN! A1 A2 A3 (8) A4 (12) A (40) B1 B2 B3 (15) B4 (11) B5 (14) Bónusz (100+10) Jegy NÉV (nyomtatott nagybetűvel) CSOPORT: ALÁÍRÁS: ALÁÍRÁS NÉLKÜL A TESZT ÉRVÉNYTELEN! 2011. december 29. Általános tudnivalók:

Részletesebben

A valószínűségszámítás elemei

A valószínűségszámítás elemei A valószínűségszámítás elemei Kísérletsorozatban az esemény relatív gyakorisága: k/n, ahol k az esemény bekövetkezésének abszolút gyakorisága, n a kísérletek száma. Pl. Jelenség: kockadobás Megfigyelés:

Részletesebben

H0 hipotézis: μ1 = μ2 = μ3 = μ (a különböző talpú cipők eladási ára megegyezik)

H0 hipotézis: μ1 = μ2 = μ3 = μ (a különböző talpú cipők eladási ára megegyezik) 5.4: 3 különböző talpat hasonlítunk egymáshoz Varianciaanalízis. hipotézis: μ1 = μ2 = μ3 = μ (a különböző talpú cipők eladási ára megegyezik) hipotézis: Létezik olyan μi, amely nem egyenlő a többivel (Van

Részletesebben

Modern műszeres analitika szeminárium Néhány egyszerű statisztikai teszt

Modern műszeres analitika szeminárium Néhány egyszerű statisztikai teszt Modern műszeres analitika szeminárium Néhány egyszerű statisztikai teszt Galbács Gábor KIUGRÓ ADATOK KISZŰRÉSE STATISZTIKAI TESZTEKKEL Dixon Q-tesztje Gyakori feladat az analitikai kémiában, hogy kiugrónak

Részletesebben

Q1 = 1575 eft Me = 2027,7778 eft Q3 = 2526,3158 eft

Q1 = 1575 eft Me = 2027,7778 eft Q3 = 2526,3158 eft Gyak1: b) Mo = 1857,143 eft A kocsma tipikus (leggyakoribb) havi bevétele 1.857.143 Ft. c) Q1 = 1575 eft Me = 2027,7778 eft Q3 = 2526,3158 eft Gyak2: b) X átlag = 35 Mo = 33,33 σ = 11,2909 A = 0,16 Az

Részletesebben

A khi-négyzet próba és alkalmazásai: illeszkedésés függetlenségvizsgálat. khi-(χ 2 )-négyzet próba

A khi-négyzet próba és alkalmazásai: illeszkedésés függetlenségvizsgálat. khi-(χ 2 )-négyzet próba A khi-négyzet próba és alkalmazásai: illeszkedésés függetlenségvizsgálat khi-(χ 2 )-négyzet próba Khi-(χ 2 )-négyzet próba A χ 2 -négyzet próbát leggyakrabban a következő problémák megoldásánál alkalmazzák:

Részletesebben

Dr. Karácsony Zsolt. Miskolci Egyetem november

Dr. Karácsony Zsolt. Miskolci Egyetem november Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika Dr. Karácsony Zsolt Miskolci Egyetem, Alkalmazott Matematikai Tanszék 2013-2014 tanév 1. félév Miskolci Egyetem 2013. november 11-18 - 25. Dr. Karácsony

Részletesebben

Többváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek

Többváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek Többváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek tesztelése I. - A hibatagra vonatkozó feltételek tesztelése - Petrovics Petra Doktorandusz Többváltozós lineáris regressziós modell x 1, x 2,, x p

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.15. Esemény Egy kísérlet vagy megfigyelés (vagy mérés) lehetséges eredményeinek összessége (halmaza) alkotja az eseményteret. Esemény: az eseménytér részhalmazai.

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.22. Valószínűségi változó Véletlentől függő számértékeket (értékek sokasága) felvevő változókat valószínűségi változóknak nevezzük(jelölés: ξ, η, x). (pl. x =

Részletesebben

Több valószínűségi változó együttes eloszlása, korreláció

Több valószínűségi változó együttes eloszlása, korreláció Tartalomjegzék Előszó... 6 I. Valószínűségelméleti és matematikai statisztikai alapok... 8 1. A szükséges valószínűségelméleti és matematikai statisztikai alapismeretek összefoglalása... 8 1.1. Alapfogalmak...

Részletesebben

Matematikai statisztika Tómács Tibor

Matematikai statisztika Tómács Tibor Matematikai statisztika Tómács Tibor Matematikai statisztika Tómács Tibor Publication date 2011 Szerzői jog 2011 Hallgatói Információs Központ Copyright 2011, Educatio Kht., Hallgatói Információs Központ

Részletesebben

Statisztika I. 8. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre

Statisztika I. 8. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre Statisztika I. 8. előadás Előadó: Dr. Ertsey Imre Minták alapján történő értékelések A statisztika foglalkozik. a tömegjelenségek vizsgálatával Bizonyos esetekben lehetetlen illetve célszerűtlen a teljes

Részletesebben

Bevezetés a biometriába Dr. Dinya Elek egyetemi tanár. PhD kurzus. KOKI,

Bevezetés a biometriába Dr. Dinya Elek egyetemi tanár. PhD kurzus. KOKI, Bevezetés a biometriába Dr. Dinya Elek egyetemi tanár PhD kurzus. KOKI, 2015.09.17. Mi a statisztika? A sokaság (a sok valami) feletti áttekintés megszerzése, a sokaságról való információszerzés eszköze.

Részletesebben

Gyakorlat 8 1xANOVA. Dr. Nyéki Lajos 2016

Gyakorlat 8 1xANOVA. Dr. Nyéki Lajos 2016 Gyakorlat 8 1xANOVA Dr. Nyéki Lajos 2016 A probléma leírása Azt vizsgáljuk, hogy milyen hatása van a család jövedelmének a tanulók szövegértés teszten elért tanulmányi eredményeire. A minta 59 iskola adatait

Részletesebben

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1. Statisztika I. 4. előadás Mintavétel http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.htm Kóczy Á. László KGK-VMI koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Sokaság és minta Alap- és mintasokaság A mintasokaság az a részsokaság,

Részletesebben

A mérési eredmény megadása

A mérési eredmény megadása A mérési eredmény megadása A mérés során kapott értékek eltérnek a mérendő fizikai mennyiség valódi értékétől. Alapvetően kétféle mérési hibát különböztetünk meg: a determinisztikus és a véletlenszerű

Részletesebben

VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA TANÍTÁSA

VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA TANÍTÁSA VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA TANÍTÁSA A VALÓSZÍNŰSÉGI SZEMLÉLET ALAPOZÁSA 1-6. OSZTÁLY A biztos, a lehetetlen és a lehet, de nem biztos események megkülünböztetése Valószínűségi játékok, kísérletek események

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás Matematikai alapok és valószínőségszámítás Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás Bevezetés A tudományos életben megfigyeléseket teszünk, kísérleteket végzünk. Ezek többféle különbözı eredményre

Részletesebben

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1. Statisztika I. 4. előadás Mintavétel http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.htm Kóczy Á. László KGK-VMI koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Sokaság és minta Alap- és mintasokaság A mintasokaság az a részsokaság,

Részletesebben

Kutatásmódszertan és prezentációkészítés

Kutatásmódszertan és prezentációkészítés Kutatásmódszertan és prezentációkészítés 10. rész: Az adatelemzés alapjai Szerző: Kmetty Zoltán Lektor: Fokasz Nikosz Tizedik rész Az adatelemzés alapjai Tartalomjegyzék Bevezetés Leíró statisztikák I

Részletesebben

Asszociációs szabályok

Asszociációs szabályok Asszociációs szabályok Nikházy László Nagy adathalmazok kezelése 2010. március 10. Mi az értelme? A ö asszociációs szabály azt állítja, hogy azon vásárlói kosarak, amik tartalmaznak pelenkát, általában

Részletesebben

Gyakorló feladatok a 2. dolgozathoz

Gyakorló feladatok a 2. dolgozathoz Gyakorló feladatok a. dolgozathoz. Tíz darab tízforintost feldobunk. Mennyi annak a valószínűsége hogy vagy mindegyiken írást vagy mindegyiken fejet kapunk? 9. Egy kör alakú asztal mellett tízen ebédelnek:

Részletesebben

Biometria gyakorló feladatok BsC hallgatók számára

Biometria gyakorló feladatok BsC hallgatók számára Biometria gyakorló feladatok BsC hallgatók számára 1. Egy üzem alkalmazottainak megoszlása az elért teljesítmény %-a szerint a következı: Norma teljesítmény % Dolgozók száma 60-80 30 81-90 70 91-100 90

Részletesebben

III. Kvantitatív változók kapcsolata (korreláció, regresszió)

III. Kvantitatív változók kapcsolata (korreláció, regresszió) III. Kvantitatív változók kapcsolata (korreláció, regresszió) Tartalom Változók kapcsolata Kétdimenziós minta (pontdiagram) Regressziós előrejelzés (predikció) Korreláció Tanuló Kétdimenziós minta Tanulással

Részletesebben

STATISZTIKA ELŐADÁS ÁTTEKINTÉSE. Mi a modell? Matematikai statisztika. 300 dobás. sűrűségfüggvénye. Egyenletes eloszlás

STATISZTIKA ELŐADÁS ÁTTEKINTÉSE. Mi a modell? Matematikai statisztika. 300 dobás. sűrűségfüggvénye. Egyenletes eloszlás ELŐADÁS ÁTTEKINTÉSE STATISZTIKA 7. Előadás Egyenletes eloszlás Binomiális eloszlás Normális eloszlás Standard normális eloszlás Normális eloszlás mint modell /56 Matematikai statisztika Reprezentatív mintavétel

Részletesebben

Centura Szövegértés Teszt

Centura Szövegértés Teszt Centura Szövegértés Teszt Megbízhatósági vizsgálata Tesztfejlesztők: Megbízhatósági vizsgálatot végezte: Copyright tulajdonos: Bóka Ferenc, Németh Bernadett, Selmeci Gábor Bodor Andrea Centura Kft. Dátum:

Részletesebben

KÖVETKEZTETŐ STATISZTIKA

KÖVETKEZTETŐ STATISZTIKA ÁVF GM szak 2010 ősz KÖVETKEZTETŐ STATISZTIKA A MINTAVÉTEL BECSLÉS A sokasági átlag becslése 2010 ősz Utoljára módosítva: 2010-09-07 ÁVF Oktató: Lipécz György 1 A becslés alapfeladata Pl. Hányan láttak

Részletesebben

Készítette: Fegyverneki Sándor

Készítette: Fegyverneki Sándor VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y

Részletesebben

Mérési hibák 2006.10.04. 1

Mérési hibák 2006.10.04. 1 Mérési hibák 2006.10.04. 1 Mérés jel- és rendszerelméleti modellje Mérési hibák_labor/2 Mérési hibák mérési hiba: a meghatározandó értékre a mérés során kapott eredmény és ideális értéke közötti különbség

Részletesebben

A mérés problémája a pedagógiában. Dr. Nyéki Lajos 2015

A mérés problémája a pedagógiában. Dr. Nyéki Lajos 2015 A mérés problémája a pedagógiában Dr. Nyéki Lajos 2015 A mérés fogalma Mérésen olyan tevékenységet értünk, amelynek eredményeként a vizsgált jelenség számszerűen jellemezhetővé, más hasonló jelenségekkel

Részletesebben

Elemi statisztika fizikusoknak

Elemi statisztika fizikusoknak 1. oldal Elemi statisztika fizikusoknak Pollner Péter Biológiai Fizika Tanszék pollner@elte.hu Az adatok leírása, megismerése és összehasonlítása 2-1 Áttekintés 2-2 Gyakoriság eloszlások 2-3 Az adatok

Részletesebben

6. Előadás. Vereb György, DE OEC BSI, október 12.

6. Előadás. Vereb György, DE OEC BSI, október 12. 6. Előadás Visszatekintés: a normális eloszlás Becslés, mintavételezés Reprezentatív minta A statisztika, mint változó Paraméter és Statisztika Torzítatlan becslés A mintaközép eloszlása - centrális határeloszlás

Részletesebben

EuroOffice Modeller felhasználói útmutató

EuroOffice Modeller felhasználói útmutató EuroOffice Modeller felhasználói útmutató 1 Bevezetés...5 EuroOffice Modeller: ANOVA felhasználói útmutató...5 Előkészítés...5 Egyutas ANOVA...5 Kétutas ANOVA...8 EuroOffice Modeller: Egymintás Z-próba

Részletesebben

STATISZTIKA I. Változékonyság (szóródás) A szóródás mutatószámai. Terjedelem. Forgalom terjedelem. Excel függvények. Függvénykategória: Statisztikai

STATISZTIKA I. Változékonyság (szóródás) A szóródás mutatószámai. Terjedelem. Forgalom terjedelem. Excel függvények. Függvénykategória: Statisztikai Változékonyság (szóródás) STATISZTIKA I. 5. Előadás Szóródási mutatók A középértékek a sokaság elemeinek értéknagyságbeli különbségeit eltakarhatják. A változékonyság az azonos tulajdonságú, de eltérő

Részletesebben

1. tétel. Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség.

1. tétel. Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség. 1. tétel Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség. A valószínűségszámítás tárgya: véletlen tömegjelenségek vizsgálata. véletlen: a kísérlet kimenetelét

Részletesebben

11. Matematikai statisztika

11. Matematikai statisztika 11. Matematikai statisztika 11.1. Alapfogalmak A statisztikai minta valamely valószínűségi változóra vonatkozó véges számú független kisérlet eredménye. Ez véges sok, azonos eloszlású valószínűségi változó

Részletesebben

biometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Hipotézisvizsgálat

biometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Hipotézisvizsgálat Kísérlettervezés - biometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert u-próba Feltétel: egy ormális eloszlású sokaság σ variaciájáak számszerű értéke ismert. Hipotézis: a sokaság µ várható értéke

Részletesebben

Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem.

Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Elemi esemény: a kísérlet egyes lehetséges egyes lehetséges kimenetelei.

Részletesebben

A bergengóc lakosság szemszín szerinti megoszlása a négy tartományban azonos:

A bergengóc lakosság szemszín szerinti megoszlása a négy tartományban azonos: A. Matematikai Statisztika 2.MINTA ZH. 2003 december Név (olvasható) :... A feladatmegoldásnak az alkalmazott matematikai modell valószínűségszámítási ill. statisztikai szóhasználat szerinti megfogalmazását,

Részletesebben

Bevezetés. 1. előadás, 2015. február 11. Módszerek. Tematika

Bevezetés. 1. előadás, 2015. február 11. Módszerek. Tematika Bevezetés 1. előadás, 2015. február 11. Zempléni András Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék Természettudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem Áringadozások előadás Heti 2 óra előadás + 2 óra

Részletesebben

A Statisztika alapjai

A Statisztika alapjai A Statisztika alapjai BME A3c Magyar Róbert 2016.05.12. Mi az a Statisztika? A statisztika a valóság számszerű információinak megfigyelésére, összegzésére, elemzésére és modellezésére irányuló gyakorlati

Részletesebben

Kutatásmódszertan és prezentációkészítés

Kutatásmódszertan és prezentációkészítés Kutatásmódszertan és prezentációkészítés 8. rész: Statisztikai eszköztár: Alapfokú statisztikai ismeretek Szerző: Kmetty Zoltán Lektor: Fokasz Nikosz Nyolcadik rész Statisztikai eszköztár: Alapfokú statisztikai

Részletesebben

A szórások vizsgálata. Az F-próba. A döntés. Az F-próba szabadsági fokai

A szórások vizsgálata. Az F-próba. A döntés. Az F-próba szabadsági fokai 05..04. szórások vizsgálata z F-próba Hogya foguk hozzá? Nullhipotézis: a két szórás azoos, az eltérés véletle (mitavétel). ullhipotézishez tartozik egy ú. F-eloszlás. Szabadsági fokok: számláló: - evező:

Részletesebben