Külön köszönöm az Apáczai Csere János Alapítvány támogatását.

Átírás

1 PETKOVICS IME A VILLAMOSSÁGTAN ALAPJAI TANKÖNYV KÉSZÜLT AZ APÁCZAI CSEE JÁNOS ALAPÍTVÁNY TÁMOGATÁSÁVAL SZABADKA,

2 ELŐSZÓ A szbdki Műszki Főiskolán 996 ót mindhárom szkon mgyrul is hllgthtó A villmosságtn lpji kötelező tntárgy. Az 996/97-es iskolévtől kezdve készül ez tnkönyv, mely lpozó jellegű hllgtók számár. Elsődleges célj, hogy villmosságtn lpfoglmit, lptörvényeit és nemzetközileg elfogdott normákt ismertesse. Főleg jelenségek fiziki oldlát igyekszik kidomborítni, nem belebonyolódv mtemtiki pprátus lbirintusib. Mtemtik nélkül, persze, nem lehet tnulni és tnítni villmosságtnt, de tnkönyv még Mxwell egyenletekig ( vektortér divergenciájánk és rotációjánk foglmáig) sem vezeti el z olvsóját. Megelégszik jelenségek mkroszkopikus szintű leírásávl. Elvétve tlálhtó csk egy-egy kirándulás z nygtechnológi világáb, hogy törvényszerűségek miértjére, más törvényszerűségekkel vló kpcsoltir rámutsson. Az z elenyésző számú mikroszkopikus szintű leírás (pl. z egyenármok megfoglmzásánál) pedig legelső közelítésre, legegyszerűbb modellre szorítkozik. A villmosságtn lpjit képező jelenségek és törvények már több, mint száz éve ismertek tudomány számár. Ezt témkört már ngyon sok kuttó és pedgógus feldolgozt, átdolgozt. Felvetődik kérdés, vjon mi szükség vn kkor erre könyvre? Hiszen z irodlombn szereplő könyvek-munkák jó része klsszikussá, meghtározó jellegűvé vált z utóbbi hrminc évben. A válsz sokkl hétköznpibb, mint bárki gondolná: mgyr nyelven itt, Jugoszláviábn, z érvényben lévő tntervnek megfelelő szkkönyv még nem készült. A villmosságtn lpji nevű tntárgy, nnk ellenére, hogy villmosságtn lpji már lssn másfél évszázd nem változnk, időről-időre módosul. Nem témkör változik, hnem tntervet szbogtják ki-kihgyv belőle egyes ( ngyléptékű műszki főleg számítástechniki-informtiki fejlődés következtében) háttérbe szoruló részeket. Ennek tnkönyvnek is vnnk olyn fejezet-részei, melyek megjelenés idejében már nem képezik tárgy okttndó tömegét. A kép teljességének érdekében zonbn nem csonkítottm meg z nygot. A tnkönyv természetesen elsősorbn leendő villmosmérnökök számár készült, de vélhetőleg hsználni tudj mjd mindenki, ki köszönőviszonyb kr kerülni villmosságtn lpjivl (kár önkéntesen, kár kényszerből). A tnkönyv nyg hllgtók megsegítése, és tntárgy jobb elsjátítás céljából z Interneten és CD-n is megjelenik. A tnkönyv rögzíti z órákon elődott, vlmint táblgykorltokon begykorolt nygot. A következő lépés, hálóztépítés és hálóztnlízis számítógépes szimulációj, remélhetőleg hmrosn beindul. Nem lenne jó, zonbn, h mindezek háttérbe szorítnák mássl igzából nem pótolhtó lbortóriumi gykorltokt. A tnkönyvben z áltlm legfontosbbnk és nehezebbnek vélt témköröknél szemléltető-mgyrázó példák tlálhtók. Minden fejezet végén ellenőrző kérdések sorkoznk felölelve tnnyg teljes egészét. Jó szolgáltok tehetnek zoknk, kik ellenőrizni szeretnék tudásukt. Kihsználom z lklmt, hogy köszönetemet fejezzem ki elsősorbn csládomnk, de kollégáimnk és munktársimnk is z nyg összeállításánál, illetve tnkönyv megírásánál nyújtott segítségért. Külön köszönöm z Apáczi Csere János Alpítvány támogtását. Szbdk,.7.5. Petkovics Imre peti@vts.su.c.yu

3 Alklmzott jelölések (szimbólumok) jegyzéke: Jelölés A jelölés jelentése Egység Az egység neve Q töltésmennyiség C coulomb Q próbtöltés C coulomb e z elektron töltésmennyisége C coulomb F erő N newton k Coulomb törvény rányossági N m tényezője ε r E σ vákuum permittivitás (dielektromos állndój) egységvektor villmos tér (térerősség-vektor) F m C C N m V m C m C z elektroszttikábn felületi töltéssűrűség ρ z elektroszttikábn térbeli töltéssűrűség 3 m A munk J joule V potenciál V volt U feszültség (potenciálkülönbség) V volt p dipólusnyomték (momentum) C m Ψ villmos tér fluxus V m C kpcitás F frd P polározás vektor C (polrizációvektor) m χ e villmos szuszceptibilitás - Q p kötött (látszólgos) töltések C coulomb D eltolási vektor C m W e villmos tér energiáj J joule w e villmos tér energiájánk térfogtsűrűsége J 3 m

4 TATALOMJEGYZÉK. BEVEZETŐ..... Történelmi áttekintés..... Az nygok felépítése, villmos (elektromos) erő és z elektromosság foglm A töltéssel rendelkező testek definiciój Az villmos (elektromos) töltés mértékegysége és jelölése Az tom méreteiről és két test érintkezéséről z tomelmélet szempontjából Vezetők, szigetelők és félvezetők Alp- és szármzttott mennyiségek és mértékegységek Alpismeretek vektormennyiségekről A vektormennyiségek definíciój Vektorlgebr Vektorok összege, különbsége, sklárszámml vló szorzt Sklárszorzt Vektorszorzt Vegyes szorzt Kétszeres vektorszorzt A felületelem mint vektor.... ELEKTOSZTATIKA Az elektroszttikus erők Coulomb törvénye A szuperpozíció-elv A villmos tér A villmos tér foglm és vektortermészete A villmos (elektromos) térerősség erővonli Felületi és térbeli töltéseloszlások és villmos terük Az elektromos tér potenciálj Az elektromos erő munkáj Az energimegmrdás törvénye és felhsználás z elektroszttikábn A villmos tér potenciáljánk definiciój és potenciálkülönbség Ekvipotenciális felületek, potenciál és térerősség-vektor közötti kpcsolt A dipólus potenciálj és térősségvektor A felületi és térbeli töltéseloszlás potenciálj Guss törvénye Guss törvényének levezetése Vezetők z elektroszttikus térben A vezető felszínén levő felületi töltéssűrűség és felszín közelében levő térerősség kpcsolt A töltésmennyiség eloszlás különböző lkú mgányos vezető testeken Influenci (elektroszttikus indukció vgy megosztás) A vezető testek töltése és potenciálj közötti kpcsolt, kondenzátorok és zok kpcitás A kondenzátorok soros és párhuzmos kötése A potenciál és térbeli töltéssűrűség-eloszlás közötti kpcsolt (Poisson egydimenziós egyenlete) Szigetelők z elektroszttikus térben A villmos polározás vektor (polrizációvektor) Kötött (látszólgos) villmos töltések A villmos tér homogén szigetelőkben (z bszolut és reltív permittivitás) Guss törvényének áltlános lkj Az erővonlk törési törvényei (htárfeltételek) Az eltolási vektor fluxuscstornáj A szigetelők kritikus (átütési) térerőssége A visszmrdt polrizáció Ferroelektromos (szenyetto-elektromos) nygok Elektretek Dörzsölési elektromosság Erők z elektroszttikus térben A feltöltött kondenzátor energiáj Az energisűrűség z elektroszttikus térben Az elektroszttikus erők számítás energi segítségével III

5 ..7. A változó villmos térben elhelyezkedő dielektrikumok veszteségei Villmos töltések mozgás elektroszttikus térben Villmos töltések mozgás homogén villmos térben A villmos töltések mozgás inhomogén villmos térben Ellenőrző kérdések EGYENÁAMOK ELEKTOKINEMATIKA Elektromos árm szilárd és folyékony vezetőkben Az árm sűrűsége és z árm erőssége Kirchhoff első törvénye Az elektromos árm ármlási tere A fjlgos ellenállás és fjlgos vezetőképesség A vezetőkben hővé lkuló villmos energi teljesítménysűrűsége A! J! E kifejezés elméleti levezetése ρ A fémek fjlgos ellenállás Az elektronok mozgékonyság fémekben A szuprvezetők Az elektrolitok vezetőképessége A dielektrikumok (szigetelők) vezetőképessége Az elektromos ellenállás és Ohm törvénye Az ellenállások soros, párhuzmos és vegyes kpcsolás Az ellenállás hőfokfüggése A feszültség referenciirány z ellenállásokon Földelések ellenállás A lépésfeszültség Joule törvénye Villmos generátorok A feszültséggenerátor forrásfeszültsége és belső ellenállás A generátor kpocsfeszültsége Ármerősség és feszültség z ármkörben Az ármerősség meghtározás z egy generátorból és egy ellenállásból álló ármkörben A több ármforrást és több ellenállást trtlmzó ármkörök ármerősségének meghtározás Feszültség és potenciál z ármkörben A villmos hálóztok és Kirchhoff második törvénye öviden villmos hálóztokról Kirchhoff második törvénye Ármgenerátorok Hálóztnlízis A hálózttopológi lpfoglmi Hálóztszámítás Kirchhoff-törvényekkel Hurokármok módszere Csomóponti potenciálok módszere A csillg-háromszög átlkítás A szuperpozíció elve A felcserélési tétel (eciprocitás tétele) Thèvenin- és Norton-tétel Feszültséggenerátorok kpcsolás A kompenzáció (helyettesítés) tétele A teljesítménymegmrdás tétele A hálózt egyéb meoldási eljárási Arányos mennyiségek eljárás (létrhálózt) A szimmetrikus hálóztok megoldás A nemlineáris ármköri elemek Átmeneti jelenségek z C hálóztbn Kondenzátorokt trtlmzó hálóztok Ellenőrző kérdések STACIONÁIS (IDŐBEN ÁLLANDÓ) MÁGNESES TÉ Két ármelem között htó mágneses erő IV

6 4.. A mágneses tér foglm, mágneses indukció vektor, Biot-Svrt törvénye Mágneses indukcióvektor z ármhurok síkjánk pontjibn A mágneses térben levő ármhurokr htó erő és forgtónyomték Villmos töltés mozgás mágneses és elektromos térben A ciklotron elvi működése Hll effektus A mágneses indukció vektoránk erővonli Mágneses indukció fluxus és mágneses fluxusmegmrdás törvénye Ampère törvénye Példák z Ampère-törvény lklmzásár Anyg mágneses térben Dimágneses, prmágneses és ferromágneses nygok Mágnesezettség vektor Az áltlános Ampère-törvény Az elemi Ampère-ármokkl ekvivlens mkroszkópikus ármok Htárfeltételek Áltlános foglmk ferromágneses nygokról A ferromágneses nygok mágnesezési görbéje A ferromágneses nygok permebilitásánk definíciój Mgnetosztrikció Mágneses körök Kirchhoff törvényei vékony mágneses körökre Légréssel rendelkező mágneses körök A mágneses körök számítás Egyszerű mágneses körök számítás Az összetett szimmetrikus mágneses körök számítás Az összetett nemszimmetrikus mágneses körök számítás Állndó mágnesből készült mágneses kör Ellenőrző kérdések IDŐBEN VÁLTOZÓ VILLAMOS (ELEKTOMOS) ÉS MÁGNESES TÉ Elektromágneses indukció Az indukált villmos tér Az elektromágneses indukció Frdy-törvénye Az elektromágneses indukció iskolpéldái Lenz törvénye A potenciál és feszültség z időben változó elektromos és mágneses térben Örvényármok A szkineffektus és közelhtás elve A kölcsönös indukció és z önindukció A kölcsönös indukció-együtthtó Az önindukció-együtthtó Induktív tekercs és ohmos ellenállás z ármkörben A mágneses indukció mérése próbtekerccsel Szuprvezetőből készült vezetőhurok mágneses térben A mágnesesen cstolt ármkörök ármi Energi és erő mágneses térben A mágneses tér energiáj Energieloszlás mágneses térben Hiszterézisveszteségek ferromágneses nygokbn A mágneses erők számításánk áltlános módszere Ellenőrző kérdések AZ IDŐBEN VÁLTAKOZÓ ÁAMÚ VILLAMOS HÁLÓZATOK Bevezető Különbségek z egyenármú és időben váltkozó ármú ármkörök között Alpelemek váltkozó ármú ármkörökben Kirchhoff törvényei váltkozó ármú ármkörökre Teljesítmény váltkozó ármú ármkörökben Alpfoglmk periodikus mennyiségekről A periodikus mennyiségek középértéke és effektív értéke Sinusos ármú hálóztok... 8 V

7 6.3.. A sinusosn változó árm és feszültség előállítás és lklmzás Az ármerősség meghtározás sinusos feszültségre kpcsolt psszív lpelemeken keresztül A sinusos mennyiségek ábrázolás forgóvektor segítségével A teljesítmény váltóármú hálóztokbn A váltóármú hálóztok megoldás komplex számítássl Kirchhoff törvényei komplex lkbn. Impednci és dmittnci Az elemek soros és párhuzmos kpcsolás. Az elemek csillg- és háromszög-kpcsolásánk zonosság A komplex feszültség és árm ábrázolás komplex síkbn Feszültség- és ármgenerátorok Hurokármok módszere komplex lkbn A csomóponti potenciálok módszere komplex lkbn A fogysztók és generátorok komplex teljesítménye Áltlános hálóztszámítási tételek A szuperpozíció elve A reciprocitás elve Thèvenin tétele Kompenzáció elve A komplex és pillntnyi teljesítmény megmrdásánk elve A fogysztó generátorr vló hngolás A fogysztók teljesítménytényezőjének feljvítás Néhány rendhgyó kpcsolás váltóármú ármkörökben Ármkörök mágnesesen cstolt ágkkl (légmgos trnszformátor) Villmos trnszformátor A trnszformátort helyettesítő Thèvenin-generátor A trnszformátor bemenő impednciáj Ideális trnszformátor A trnszformátor áltlános helyettesítő sémáj Autotrnszformátor ezgőkörök Egyszerű (soros) rezgőkör Párhuzmos rezgőkör Háromfázisú rendszerek Áltlános foglmk polifázisú rendszerekről Áltlános foglmk háromfázisú generátorokról A fogysztók háromfázisú generátorr vló kpcsolás A szimmetrikus háromfázisú rendszerek kivizsgálás A fogysztók csillgkpcsolás A fogysztók háromszög-kpcsolás A háromfázisú fogysztók és generátorok teljesítménye A háromfázisú és monofázisú rendszerek összehsonlítás z energiszállítás szempontjából Forgó mágneses tér létrehozás két- és háromfázisú ármrendszer segítségével Alpfoglmk z üzemmód-változás folymtiról villmos hálóztokbn Folymtok soros C-kör üzemmód változáskor A soros C-kör egyenfeszültségre kpcsolás A kondenzátor kisütése soros C-körben A soros C-kör váltófeszültségre kpcsolás Folymtok soros L-kör üzemmód-változáskor Soros L-kör egyenfeszültségre kpcsolás Az árm megszünése soros L-körben A Soros L-kör váltófeszültségre kpcsolás Ellenőrző kérdések MELLÉKLET Ferromágneses nygok mágnesezési görbéi Alpmágnesezési görbék Lemágnesezési görbe Ferromágneses nygok reltív permebilitás Prmágneses nygok reltív permebilitás Dimágneses nygok reltív permebilitás Egyes nygok reltív permittivitás Szigetelőnygok átütési szilárdság VI

8 7.9. Fémek fjlgos ellenállás és ellenálláshőmérsékleti tényezői Szigetelőnygok fjlgos ellenállás Ellenállás-lpnygok fjlgos ellenállás és hőmérsékleti tényezője A tnkönyvben lklmzott trigonometrikus összefüggések A tnkönyvben hsznált állndók értékei IODALOM... 9 VII

9 . BEVEZETŐ.. Történelmi áttekintés Az első felfedezés z elektromosság létezéséről 6 százddl ezelőtt történt. Miletoszi Thlész (i.e. ~64 i.e. 546) jón bölcselő és mtemtikus, ki Kis-Ázsiábn élt, i.e. 6 körül egy jelentéktelennek tűnő kísérletet végzett és írt le, mely m is elvégezhető: h egy borostyánrudt gypjúszőrmével megdörzsölünk, kkor rúd mgához vonzz könnyű tárgykt (ppírszeletkéket, hjszálkt vgy freszeléket ). A XVII. százdbn Villim Gilbert (54-63) Erzsébet királynő udvri orvos, fizikus z 6-bn megjelent munkájábn közzéteszi ddigi megfigyeléseit, felfedezéset, tudniillik, hogy sok tárgy, nemcsk borostyán, dörzsölés után vonzz könnyű tárgykt (pl. üveg, visz, kén, álltok szörméje és néhány drágkő is). Az "elektron" görög kifejezés lpján, mi borostyánt jelent Gilbert z ilyen állpotb hozott testeket elektromos testeknek nevezte el. A következő két évszázdbn rohmosn nőttek z ismereteink z elektromosságról. Kísérletek útján megállpították, hogy tárgyk, melyek elektromossá válnk, vgy vonzzák, vgy tszítják egymást. Ezzel tuljdonsággl testek nem rendelkeznek dörzsölés előtt és ezért ezt tuljdonságot vlmilyen nygtöbblettel vgy -hiánnyl mgyrázták, mely dörzsöléskor átjut egyik testről másikr. Sok vit és véleményegyeztetés után rr megegyezésre, illetve feltételezésre jutottk korbeli tudósok, hogy két "nyg", kétfjt töltés (elektromosság) létezik. Ennek következtetésnek z lpján h két test ugynzzl töltéstöbblettel rendelkezik, kkor ezek tszítják egymást. H pedig különböző töltésűek testek, kkor vonzzák egymást. Több elnevezése volt ennek két töltésnek, de "pozitív" és "negtív" z kettő, melyek mi npig megmrdtk. Ezeket z elnevezéseket minden különösebb ok, illetve mgyrázt nélkül Benjmin Frnklin (76-79) meriki természettudós, fizikus jánlott, illetőleg vezette be. Azt töltést, mely z üvegrúd és selyem dörzsölésekor z üvegrúdon jelenik meg pozitívnk nevezte el, zt pedig, mely borostyánrúdon keletkezik h gypjúvl dörzsöljük negtívnk. A további tudományos kuttások rohmos fejlődést biztosítottk z elektromosság és z elektromos (villmos) jelenségek terén. A XVIII. százd végén kisérletileg felfedezték és megfoglmzták két villmos (elektromos) test között fellépő erő pontos kifejezését, z elektroszttik tlán legfontosbb törvényét. A felfedezés Coulomb (Chrles Auguste de Coulomb , frnci fizikus, hdmérnök) nevéhez fűződik, ki 784 és 789 között végzett méréseivel igzolt z zót ról elnevezett Coulomb-törvényt: két pontszerű töltés között htó erő törvényét. A XIX. százd első felében gyrpodtk tlán legtöbbet z ismereteink villmos jelenségekkel kpcsoltbn. Az elektroszttikához hsonló eredményekkel elddig nem dicsekedhettek tudósok z elektromos árm vizsgálti terén, hiszen nem tudták biztosítni z állndó töltésármlát. Mgyrán nem volt egyenármú (egyenfeszültségű) generátoruk. Ezen nehézségen segítette át z kkori tudósokt Volt (Alessndro Volt , olsz fizikus, fiziológus), ki z ugyncsk olsz Glvni (Luigi Glvni , olsz ntómus, természettudós) kísérleti eredményeit ( békcomb rángtózás két különböző fémmel vló érintkezés ideje ltt) felhsználv meglkott z első egyenármú generátort (glván elemet). Az igzi áttörést tlán mégis Oersted (Hns Christin Oersted , dán fizikus és kémikus) felismerése jelentette, tudniillik, hogy z elektromos ármnk mágneses htás is vn. Megfigyelte, hogy mágnestű kitér eredeti helyzetéből, h közelében ármjárt vezeték vn. Ez felfedezés rámuttott villmos és mágneses jelenségek elválszthttln voltár. Addig ugynis Coulomb elméletére lpozv eleve kizárták, hogy villmos (elektroszttikus) és mágneses jelenségeknek közük lehet egymáshoz. Kísérjük hát most végig röviden mágneses jelenségekkel kpcsoltos felfedezéseket és ismereteket kezdetektől Oersted felfedezéséig. Azokt z erőket, melyeket m mágneses erőknek nevezünk, már z ntik idõszkbn észrevették. Megfigyelték, hogy kisázsii Mgnesi város közelében tlált mágneses vskő (

10 mgnetit) vonzz vstárgykt. A vsércdrbokt, melyek mágneses tuljdonsággl rendelkeznek, természetes mágneseknek nevezzük. Azokt vstárgykt, melyeket természetes mágnesekhez közelítünk és mguk is mágnesek lesznek, mesterséges mágneseknek hívjuk. A mágnes pólusi mágnes zon területei, hol mágneses erők legkifejezettebbek. Még régi Kinábn (i.e. ) megfigyelték, hogy vízszintesen elhelyezett mágnesrúd megközelítően földrjzi észk-dél irányb áll be (egész 6-ig zt hitték, hogy ez z észki srkcsillg htás mitt vn). Ennek megfelelően mágnesrúdnk z Észki srk felé muttó végét észki, másikt déli pólusnk nevezik. Az egynemű mágneses pólusok tszítják, különneműek vonzzák egymást. Az elektromos erőkhöz és töltésekhez hsonlón kezdetben zt hitték, hogy egy mágnes kettévágásávl külön lehet válsztni két pólust. Egy mágnes felezésével zonbn, mint tudjuk, két új kétpólusú mágnest kpunk. E tuljdonság mitt, és mitt, hogy mágnes nem ht nyuglombn levő elektromos töltésekre, egészen múlt százd elejéig (8-ig) úgy hitték, hogy z elektromos és mágneses jelenségek között nincs semmi kpcsolt. A mágneses jelenségekkel fogllkozó tudomány fejlõdése során sokáig z elektromos jelenségekrõl már előbb megszerzett tudásr támszkodott. A mágneses erők kiszámításár először Coulomb foglmzott meg egy kifejezést, mely z elektroszttikus erő képletének mintájár készült. Ez kezdet nem volt megfelelő mágnesesség további fejlődéséhez és megértéséhez. Különválsztott mágneses pólusok természetben nem léteznek, így mágnesesség elmélete, mely z elektroszttikávl vló hsonlóságon lpult, egyúttl sok érthetetlen definícióvl és megmgyrázhttln jelenséggel is párosult. Térjünk vissz 8-hoz. Ettől z évtől kezdve ugynis már teljesen egybefonódnk z elektroszttikus, elektrokinemtikus, mágneses, mjd kicsit későbbtől (83) z elektromágneses jelenségekkel kpcsoltos kuttások és eredmények is. Oersted felfedezése után még ugynebben z évben két frnci kísérleti fizikus, Biot (Jen Bptiste Biot ) és Svrt (Felix Svrt 79-84) kvntittív leírását dták vezetőben folyó árm mágneses terének. Az zót róluk elnevezett törvény pontos megfoglmzásábn honfitársuk Lplce (Pierre Simon Lplce , mtemtikus, fizikus, csillgász) segédkezett. Ampère (André Mrie Ampère , frnci fizikus, mtemtikus) még ugyncsk 8-bn felismerte és sok kísérlet lpján megfoglmzt két ármjárt vezető (két ármelem) között htó mágneses erő kiszámításár szolgáló kifejezést, melyet következő évben publikált is. Először 86-bn írt fel ról elnevezett törvényt Ohm (Georg Simon Ohm , német fizikus), mely villmos töltések ármlás (z elektromos árm) és z őt létrehozó elektromotoros erő között dj meg kpcsoltot. Furcs játék sorsnk, hogy elméletét csk tizenöt évvel később, 84- ben ismerték el véglegesen. Frdy (Michel Frdy , ngol kísérleti fizikus) 83- ben felfedezte z Oersted-i jelenség fordítottját, neki sikerült ugynis először átlkítni mágnesességet elektromossággá. Nevéhez sok más felfedezés fűződik, de ez vlmennyi közül legjelentősebb. Az indukált árm irányár vontkozó kvlittív törvényt foglmzt meg 833- bn Lenz (Heinrich Friedrich Emil Lenz , német szármzású pétervári fizikus) pétervári kdémikus, melyben kimondj, hogy z indukált árm olyn irányú, hogy mágneses terével kdályozz zt változást mely őt mgát létrehozt. 84-ben Joule (Jmes Prescott Joule , ngol fizikus) megjelentette z árm hőhtásár vontkozó munkáját, 845-ben pedig z energimegmrdás törvényét. Ez utóbbi munkájár csupán egyetlen lelkes fitl tudós Thomson (Willim Thomson, később Lord Kelvin 84-97, ír-skót fizikus) figyelt fel, kiről, h mást nem, zt illik tudni, hogy ő volt regőkör frekvenciáját megdó képlet tyj. Az ármelágzások problémáját csk Ohm törvényének végleges elismerése után oldott meg Kirchhoff (Gustv obert Kirchhoff , német fizikus), és Ohm törvényét áltlánosítv megfoglmzt bonyolult hálóztok megoldásánk módszerét ( ról elnevezett két törvényt). Az elektromágneses tér teljes elmélete XIX. százd legngyobb lángelméjéhez, legngyobb elméleti fizikusához Mxwellhez (Jmes Clerk Mxwell , skót elméleti fizikus) fűződik. Oersted, Ampère és Frdy felfedezéseit áltlánosítv fogllt egyenletrendszerbe (86-ben) z elektromosságtnt, mágnességtnt és fénytnt. Az elektromágneses hullámok

11 létezése Mxwell egyenleteiből könnyen leszűrhető, mit később Hertz (Heinrich udolf Hertz , német fizikus) 886-bn kísérletileg is igzolt. M már tudjuk, hogy mágneses jelenségek is (kárcsk villmos jelenségek) z elemi töltött részecskéktől szármznk. Az egyetlen különbség z, hogy z elektromos (elektroszttikus) jelenségek kkor jelentkeznek (és mérhetők) h ezek részecskék nyuglombn vnnk, míg mágneses jelenségek csk kkor figyelhetők meg, mikor részecskék megfigyelõhöz viszonyítv mozognk. Például két mágnes között htó mágneses erők tuljdonképpen két mágnes tomjibn mozgó elemi töltések (z tommg körül keringő elektronok) közötti erőket jelentik. A mélyebb ismeretszerzésre, z ok-okozti összefüggések megvilágításár zonbn csk z tom szerkezetének felfedezése után, múlt százd végén, illetve százdunk, XX százd elején kerülhetett sor. Az nyg szerkezetéről elsőként Démokritosz (Abderi Démokritosz, i.e. ~ 46 i.e. ~ 37, görög filozófus) foglmzott meg elméletet, melyről egyes tudománytörténészek elmrsztlón (elsietett, kiforrtln) mások viszont lelkesedéssel ( filozófitörténet legzseniálisbb gondoltcsíráj ) beszélnek. Démokritosz z nygot diszkrét (nem folytonos) felépítésű, prányi, tovább nem oszthtó ( görög tomosz szó jelentése oszthttln) részecskék hlmzánk tekinti, rámuttv vákuum (z üres) létezésének szükségszerűségére. A démokritoszi elképzelést Dlton (John Dlton , ngol fizikus és kémikus) fejlesztette tovább. ámuttott, hogy z tomok közötti vonzóerő nygonként változó, és z nygok hlmzállpot z tomok közötti távolságtól (z tomok közötti vonzóerőtől) függ. Atomsúlytábláztot is készített. Aztán z oszthttlnnk hitt tomkép is szertefoszlott Thomsonnk (Sir Joseph John Thomson , ngol fizikus) köszönve, ki 897-ben felfedezte z elektront, minden elem tomjánk lkotórészét. Az tom szerkezetének megismerésében sorsdöntő szerep jutott utherford (Ernest utherford , újzélndi születésű ngol fizikus) szórási kísérleteinek, melyekből egyértelműen kiderült, hogy z tom kisméretű és ngy tömegű mgból és mg körül keringő elektronokból épül fel. Az tommg és z elektronpályák között vákuum vn, z elektronok szám pedig megegyezik z elem rendszámávl, vgyis z tom kifelé elektromosn semleges. A klsszikus fizik törvényei szerint zonbn ez utherford áltl leírt tommodell, gykorlttól eltérően, nem stbilis képződményeknek ábrázolt z tomokt. Elvetve klszikus elektrodinmik törvényeit Bohr (Niels Henrik Dvid Bohr , dán elméleti fizikus) 93-bn új tommodellt írt le, mely szerint z elektronok csk meghtározott pályákon keringhetnek mg körül, és ilyenkor nem sugároznk. Az tom csk kkor sugároz, h vlmelyik (esetleg több) elektronj pályát cserél. Ezt z tommodellt fejlesztették tovább közösen Sommerfelddel (Arnold Sommerfeld , német fizikus, mtemtikus) 95 és 9 között. utherford 9-ben zonosított protont, z tommg egyik összetevőjét, és már 9-tól próbálták kimuttni protonnl körülbelül zonos tömegű semleges részecskének, neutronnk létezését Chdwickkel (Sir Jmes Chdwick , ngol fizikus). Chdwick neutron felfedezését bejelentő cikkét 93-ben jelentette meg. A kvntummechnik kidolgozásávl több tudós is fogllkozott: Heisenberg (Werner Krl Heisenberg 9 976, német elméleti fizikus), Schrödinger (Erwin Schrödinger , osztrák elméleti fizikus), Puli (Wolfgng Puli 9 958, osztrák-svájci elméleti fizikus) és Dirc (Pul Adrien Murice Dirc 9 984, ngol elméleti fizikus), hogy csk legismertebbeket említsük. Nekik köszönve újbb, bonyolultbb tommodellek születtek. M már több mint kétszáz felfedezett és ismert elemi részecskék szám. 3

12 .. Az nygok felépítése, villmos (elektromos) erő és z elektromosság foglm Minden mi körülvesz bennünket tomokból épül fel. Az tomok egyszerű eszközökkel nem oszthtók tovább. A természetben 9 fjt tom létezik. Mostni tnulmányozásunkhoz elég, h z tomot úgy képzeljük el, hogy zt egy központi, nehéz részecske (z tommg) és meghtározott számú könnyű részecske (elektron) lkotj. Ez utóbbik úgy keringenek központi mg körül, mint bolygók Np körül. A grvitációs erő htás révén bolygók nem távolodnk el Nptól. Az tom lkotórészei között elektromos erők htnk és ezek kényszerítik z elektronokt rr, hogy keringjenek mg körül. Az elektromos erő (mely lehet vonzó vgy tszító) z tomon belül sokkl erősebb mint grvitációs erő (mely csk vonzó lehet). Mint hogy z elektromos testekről, z elektromos erőkről is csk zt tudjuk, hogy léteznek, de nem tudjuk, hogy hogyn és miért htnk. Ugynígy nem tudjuk miért ht grvitációs erő két test között. Mégis, z egyszerűség kedvéért zt mondjuk, hogy z erő két villmos (elektromos) részecske között z elektromosságuk ( töltésük) következménye. A mg és z elektronok töltése különböző: pozitív és negtív. Az elektromos erők mtemtiki megfoglmzásánk szempontjából igen hsznos z egyik töltésnek pozitív, másiknk negtív előjelet dni, mivel ez lényegesen könnyít jelenségek mtemtiki mgyráztánál. Így már nevük is utl z előjelükre. Az elektronokt nem tudjuk felbontni kisebb részekre. Az elektron egyben legkisebb negtív töltésű részecske is, mely természetben előfordul. Az tommgot kétféle részecske lkotj: proton és neutron. A protonok pozitív töltésűek és számuk megegyezik z elektromok számávl. A neutronoknk nincs töltésük. Tömegük megközelítőleg egyform protonokévl és mjdnem -szer (835-ször) ngyobb z elektronokétól. Ez gykorltilg zt jelenti, hogy z tom szinte teljes tömege mgbn tlálhtó. Egyform vgy különböző vegyi elemek két vgy több tomj társulht. Például: egy vgy több elektron lehet közös elektronj ennek társulásnk, és ezek keringhetnek társult tomok mgji körül különböző összetett pályákon. Az ilyen tomok csoportját, társulását nevezzük molekulánk. A természetben legösszetettebb tom z urán tomj, mely 9 elektronnl rendelkezik. Atommgj 9 protonból és 46 neutronból áll. Mesterséges úton létrehoztk még néhány összetett tomot és ezeket trnszuránoknk (uránon túliknk) nevezzük..3. A töltéssel rendelkező testek definiciój Az tomokon belül z elektronok különböző szinteken helyezkednek el, melyeket elektronhéjknk nevezzük. Egyes esetekben és bizonyos körülmények között egy elektron sját tomj külső héjáról leválht és egy másik tom külső héjához cstlkozht. Ilyen esetekben mindkét tom elveszti semleges töltését és elektromos (villmos) erőkkel htnk egymásr, még kkor is h egymástól ránylg messze vnnk. Egy test, melynek minden tomj semleges, mg is semleges. Két ilyen test között semmilyen elektromos erő nem ht. H egy megfelelő számú tomból vlmilyen módon elveszünk egy-egy elektront, vgy hozádunk vlmenyi elektront test villmossá (elektromossá) válik. Két elektromosn töltött test között villmos (elektromos) erők htnk. Ezek z erők lényegében véve zon elektromos erők eredőjének tekinthetők, melyek testeken fellelhető töltéstöbbletek között htnk. 4

13 ec, 5 55!" " 6, A testek elektromossá tétele dörzsöléssel: dörzsölés folymán egy meghtározott számú elektron átjut z egyik test külső elektronhéjáról másik test külső elektronhéjár, így mindkét test elektromossá válik..4. Az villmos (elektromos) töltés mértékegysége és jelölése Ahhoz, hogy egy test elektromos töltését meg tudjuk htározni, ki tudjuk fejezni, ismernünk kell villmos töltés mértékegységét. Mivel testek villmos töltése mindig egész számú elektron vgy proton töltésével egyenlő, ezért természetes lenne, hogy z elemi villmos töltést vegyük mértékegységként. Tudjuk zonbn, hogy egy elektromos testnek áltlábn több milliárd elektron- vgy protontöbblete vn, ezért sokkl ngyobb mértékegységre vn szükség. Az elektromos töltés mértékegysége coulomb (C): A villmos töltés jeleként ngy Q jelet hsználjuk. A Q lehet pozitív vgy negtív, ezért zt mondjuk, hogy Q villmos töltés lgebri értéke..5. Az tom méreteiről és két test érintkezéséről z tomelmélet szempontjából H z tommgot úgy képzeljük el mint kis golyót, kkor sugr m és m között mozog. H ugynebben z lkbn elképzeljük z elektronokt (mint kis gömböket), zoknk sugr m. Mgánk z tomnk sugr m. Az tom térfogtábn részecskék ngyon kis térfogtrészt fogllnk el, z tom térfogtánk legngyobb részét üres tér képezi, melyet vákuumnk nevezünk. Felvetődik kérdés: h z tom ilyen "üres", kkor, hogyn lehet megmgyrázni két test összeütközését. Miért nem htolnk át test tomji másik test tomji között? Klpáccsl miért üthetünk z ujjunkr? Ilyen ütés lklmávl vlójábn nem kerül sor érintkezésre sem testek, sem z tomok, de még z tomok elektronji között sem. Amikor klpács tomji megközelítik kéz tomjit egy erős tszító erő kezd htni z elektronok között. Ez tszító erő átvivődik kéz tomjir (fájdlom kíséretében) egyetlen tom ütközése illetve érintkezése nélkül. Persze ez gyenge vigsz nnk, ki klpáccsl kezére üt. Így nem kell csodálkozni zon, hogy két, töltéssel rendelkező test már távolról ht egymásr, nélkül hogy vlmilyen test vgy közeg továbbítná ezt htást. A htástovábbítást villmos térnek tuljdonítjuk, mely minden fjt közegben, még vákuumbn is jelen vn töltéssel rendelkező test közelében. 5

14 .6. Vezetők, szigetelők és félvezetők Az összes kémii elemet, melyekkel tlálkozhtunk természetben, elektromos szempontból három csoportb oszthtjuk. Az első csoportb trtoznk zok z elemek, melyeknél normális feltételek mellett z elektronok külső pályán szorosn kpcsolódnk z tomhoz vgy tomcsoporthoz mely molekulát lkot. Ezeket z elemeket szigetelőknek, vgy dielektrikumoknk nevezzük. H ideális szigetelő közelébe egy elektromosn töltött test kerül, villmos erő htni kezd z tommgr is meg z elektronokr is szigetelőnygbn, de elektron nem távozik z tomból, csupán z tom kismértékű deformációját figyelhetjük meg. A vlóságbn előforduló szigetelőknél ilyen esetben elektronok szkdnk el némely tomtól vgy tomcsoporttól, és rendezett, irányított mozgásb fognk, de ezt mozgást, z elektronok elenyésző szám mitt, legtöbb esetben elhnygolhtjuk. A másik csoportb trtoznk vezetők. Ezek ngyszámú töltéssel (elektromosn töltött részecskével) rendelkeznek, melyek szbdon mozognk z nyg belsejében. A legjobb vezetők fémek (réz - Cu, luminium - Al, ezüst - Ag). Náluk z elektronok külső elektronhéjon ngyon lzán kötődnek z tomhoz. Így z elektronok tomtól tomig mozoghtnk és ezeket vezető elektronoknk nevezzük. Folyékony oldtok esetében z oldott nyg semleges molekulái z oldtbn két különböző töltésű részecskére esnek szét: úgynevezett pozitív és negtív ionokr. Ionok léteznek gázokbn is. H egy gázbn nincs ion kkor z szigetelőként viselkedik. H egy gázbn csk kis számú ion vn jelen (levegő), kkor ez gáz továbbr is szigetelő mrd, h nem túl ngyok benne htó elektromos erők. Ngy intenzitású villmos erők htásár gázokbn z ionok kkor sebességet kphtnk, hogy semleges molekulákkl vló ütközéskor zokt két különböző töltésű részre, ionr osztják (ütközési ionizáció). Az ionok szám gázokbn így növekszik, és zok mind jobb vezetőként viselkednek. A hrmdik csoportb trtoznk félvezetők. Ezeknél szbdon mozgó elektromos töltésű részecskék szám sokkl ngyobb, mint szigetelőknél, de kisebb mint vezetőknél Alp- és szármzttott mennyiségek és mértékegységek Válsszunk ki tetszőlegesen négy mennyiséget, melyet hsználunk z elektrotechnikábn (villmosságtnbn). A négy szbdon kiválsztott mennyiség segítségével kifejezhetjük z össz többit, és ezért lpmennyiségeknek nevezzük őket, mértékegységeiket pedig lpmértékegységeknek. A többi mennyiséget szármzttott mennyiségeknek, mértékegységeiket pedig szármzttott mértékegységeknek nevezzük. Az MKSA mértékrendszerben z lpmennyiségek következők: hosszúság, tömeg, idő és ármerősség. Ezeknek z lpmennyiségeknek mértékegységei rendre következők: méter (m), kilogrmm (kg), másodpec (s) és mper (A). A nemzetközi mértékrendszer SI rövidítése megjelölésére hsznált frnci kifejezés rövidítése ("Système Interntionl"). Alpmennyiségei közé fent említett négyen kívül még hőmérséklet, fényerősség vgy megvilágítás intenzitás (erőssége), és z nygmennyiség trtozik. Az SI rendszerben négy MKSA-lpmértékegység mellett még három szerepel: kelvin (K), kndel (cd), és mol. A mérnök számár ngyon fontos, hogy tudj z rányokt z lpvető fiziki mértékegységek és gykorltbn jelentkező értékek között. A mért vgy számított értékek villmosságtnbn gykrn z SI mértékrendszer (lp)egységeinek többszöröseit vgy csupán tört részeit teszik ki. Ilyenkor z SI egységeket megszorozzuk vgy elosztjuk vlmelyik htványávl, illetve z.. tábláztbn tlálhtó előtgokt illesztjük z SI egységjel elé.

15 v Az előtg Az előtg Szorzószám neve jele ex- E- 8 pet- P- 5 ter- T- gig- G- 9 meg- M- 6 kilo- k- 3 hekto- h- dek- D- deci- d- - centi- c- - milli- m- -3 mikro- µ - -6 nno- n- -9 piko- p- - femto- f- -5 tto táblázt.8. Alpismeretek vektormennyiségekről.8.. A VEKTOMENNYISÉGEK DEFINÍCIÓJA A villmosságtnbn lpvetően két fjt mennyiséggel tlálkozhtunk. Az első fjt mennyiséget sklármennyiségek képviselik, melyeket egyetlen számdttl megdhtunk illetve jellemezhetünk. Ilyen mennyiségek például villmos töltés (villmos töltésmennyiség), töltéssűrűség, feszültség, hőmérséklet, stb. A vektormennyiségek meghtározásár, definiálásár nem elegendő egyetlen számdt, mert bból nem tudjuk egyértelműen kiszámítni tőlük függő egyéb fiziki mennyiségeket. Vektormennyiségek például z erő, térerősség, nyomték, stb. Lássuk különbséget egy példán kereszül! H tér meghtározott P pontjánk hőmérsékletét írjuk le, kkor elégséges egyetlen t hőmérsékletet megdnunk. Amennyiben viszont P pontbn htó erőt krjuk jellemezni, kkor nem elégséges egyetlen érték megdás - pl. z erő ngyság -, hiszen h ez z erő egy pontszerű töltésre ht, z erő ngyságából még nem tudjuk, hogy milyen iránybn fogj elmozdítni pontszerű töltést. Vektor tehát minden olyn mennyiség, melynek egyértelmű meghtározásához egy megjelölt kezdő- és végponttl rendelkező (vgyis irányított) egyenesszksz szükséges. A vektormennyiségek három jellemzője következő: vektor bszolút értéke (intenzitás vgy ngyság), mely mindig pozitív szám (sklármennyiség), jelölése pedig,, vgy egyszerűen csk v, vektor irány, mely nem más, mint z v őt ábrázoló egyenesszksz irány, és vektor irányítás, melyet z egyenesszksz kezdő és végpontj htároz meg (z dott iránybn egyenesszkszon két lehetséges irány közül z egyik). Két vektort kkor tekinthetünk egyenlőnek, h egyenlő z irányuk, irányításuk és z intenzitásuk, vgyis egyenesszkszik hossz ( vektorok bszolút értéke) megegyezik, egyenesszkszik párhuzmosk egymássl, és zonos értelmű nyilll rendelkeznek. Nem szükséges tehát, hogy két vektor egybeessen, elég, h trnszláció (párhuzmos eltolás) útján egybeejthetőek. Az irányított egyenesszksz megdásához elég biztosítni z egyenesszksz vetületét Descrtes-koordinát rendszer három tengelyére. Jelölése: 7

16 vzy x.v v (v x, v y, v z ) A v x, v y, v z pozitív vgy negtív (sklár)számok v vektor koordinátái (rendezői). Nyilvánvló, hogy ugynzt v vektort bármilyen más három, egymástól független dttl is megdhtjuk, pl. vektor bszolút értékével (ngyságávl) és két különböző tengellyel bezárt szögével. A könyvben csk vektor rendezőivel tlálkozunk mjd, de kit érdekel vektoroknk hengeres és gömbszferikus koordinát rendszerben vló ábrázolás és z ott lkmzott vektorprmétereknek rendezőkkel vló kpcsolt, z nézzen után vektortnbn vgy W.H.Hyt könyvében [ 8. ]. Az irányított egyenesszksz hossz, vgyis v vektor bszolút értéke rendezők ismeretében következő módon számíthtó: H v, kkor v vektort egységvektornk nevezzük, jelölése v. H, kkor v vektort zérusvektornk (nullvektornk) nevezzük, jelölése (vstgon v szedve, megkülönböztetésül skláris nullától)..8.. VEKTOALGEBA Vektorok összege, különbsége, sklárszámml vló szorzt A vektorokt prlelogrmmszbály szerint djuk össze. A v és v vektor összegén zt vektort értjük, melyet úgy kpunk, hogy v vektort párhuzmos eltolássl úgy mozdítjuk el, hogy kezdőpontj egybeessen v vektor végpontjávl, mjd v vektor kezdőpontját egyenesszksszl összekötjük v vektor végpontjávl z így kpott vektor nem más, mint keresett vektorösszeg (v v ), irányítás (nyilzás) ; pedig v vektor kezdőpontjától v vektor végpontj felé mutt. A vektorok kivonás z összedásr vezethető vissz, h tudjuk, hogy mínusz jel vektor előtt csupán z irányítás megváltozttását ( nyilzás vgy nyil megfordítását) jelenti. Könnyen beláthtó, hogy vektor összedás kommuttív (v v v v ) és sszocitív ((v v )v 3 v (v v 3 )) művelet. A vektor és sklárszám szorztánk eredménye egy, z eredeti vektorrl párhuzmos vektor, mely rövidebb, hosszbb vgy z eredeti vektorrl egyenlő hosszúságú, irányítás pedig sklárszám értékétől függ: z eredeti vektorrl megegyező irányú, h pozitív sklárszám, illetve ellenkező nyilzású, h negtív sklárszám. Az eredményvektor ( vektor és sklárszám szorztánk eredménye) kkor lesz rövidebb, h sklárszám bszolút értéke kisebb egynél, egyenlő lesz z eredeti vektorrl, h sklárszám bszolút értéke egyenlő eggyel, és hosszbb lesz mint z eredeti vektor, h sklárszám bszolút értéke ngyobb mint egy. A sklárszámml vló szorzás disztributív művelet: (v v ) v v. λ λ λ Legyen v (v x, v y, v z ), v (v x, v y, v z ) és v 3 (v 3x, v 3y, v 3z ), hol zárójelben levő számok vektor sklár-összetevői, sklár-komponensei, vgy egyszerűen: derékszögű koordinátái. Ilyen jelölésmód mellett két vektor, v és v kkor és csk kkor egyenlő, h v x v x, v y v y, v z v z.

17 ,v,v(v γβα! ),,cos,(cos )v!. γ A v és v vektorok összege: v v (v x v x, v y v y, v z v z ). A v és v vektorok különbsége: v - v (v x -v x, v y -v y, v z -v z ). A vektor szorzás sklárszámml: v ( v x, v y, v z ). λ λ λ λ Vezessük be z x, y és z tengely irányáb muttó egységvektorokt, melyeknek jelölése: i, j, és k.ebben z esetben fenti vektorok következő lkbn írhtók fel: v v x i v y j v z k, v v x i v y j v z k, v 3 v 3x i v 3y j v 3z k. A villmosságtnbn fontos szerepet játszik tetszés szerinti irányb muttó, egységnyi hosszúságú vektor, más nevén egységvetor. Segítségével ugynis minden vektor felírhtó következő lkbn: v v v v v. Innen ztán könnyen kifejezhető v vektor egységvektor, v : hol α, β, γ v vektor és koordináttengelyek áltl bezárt szögek. Mgától értetődő, hogy:.8... Sklárszorzt Két vektor skláris szorztán zt sklárszámot értjük definíció szerint, melyet két vektor bszolút értékének és z áltluk bezárt szög koszinuszánk szorztávl kpunk meg: v v v v cos(v, v ) v v cos ϕ v x v x v y v y v z v z, hol ϕ v és v vektor áltl közrezárt szög. Két egymásr merőleges vektor sklárszorzt null, mi fenti kifejezésből is kitűnik. A vektorok skláris szorzás kommuttív művelet, és ezt tényt legegyszerűbben definícióból következtethetjük ki, vgyis érvényes, hogy: v v v v. Könnyen beláthtó geometrii ábrázolás lpján, hogy sklárszorzás művelete disztributív is, vgyis v (v v 3 ) v v v v 3. 9

18 Az.. ábr lpján látszik, hogy ugynzt kpjuk kár külön-külön vetítjük v és v 3 vektort v vektorr és úgy djuk össze, kár előbb djuk össze v és v 3 vektort és csk után vetítjük v vektorr.. ábr Az sszocitív tuljdonság viszont nem érvényes skláris szorzás esetében, vgyis v (v v 3 ) (v v )v 3. A fenti kifejezés igzolásár lássuk be, hogy bl oldlon egy, v vektor irányáb muttó vektor szerepel (hiszen v v 3 skláris szorzt eredménye egy sklárszám), jobb oldlon viszont egy, v 3 vektor irányáb muttó vektor áll Vektorszorzt A definíció szerint v és v vektorok v v vektoriális szorzt olyn vektor, melynek irány merőleges két vektor áltl kifeszített síkr (tehát mind v, mind v vektorr), z eredményvektor irányítás pedig bból feltételből htározhtó meg, hogy v, v, v v vektorhárms jobbsodrású rendszert lkot. Más szóvl vektorszorzt nyilzását jobbmenetű csvr hldási irány dj meg kkor, mikor forgási irányánk megfelelően z első vektort ( v vektort) második vektor ( v vektor) irányáb forgtjuk el (rotáljuk). A vektor bszolút értéke (intenzitás, ngyság) pedig két vektor bszolút értékének és közbezárt szög szinuszánk szorzt: v v v v sin ϕ hol ϕ v és v vektor áltl bezárt szög. Két párhuzmos vektor vektorszorzt zérusvektort eredményez, ez fenti kifejezésből is láthtó. A vektoriális szorzás művelete nem kommuttív, hiszen nyilvánvló, hogy v v v v. A tényezők felcserélésével ugynis megváltozik vektoroknk z egymásbforgtási irány, vgyis

19 z y x z y x vvivvvv () 3 v 3z 3y 3x z y x vvk vvj- vvvv v v - v v. Az sszocitív tujjdonság sem érvényes vektorszorztr, tehát v (v v 3 ) (v v ) v 3. A disztributív tuljdonság zonbn megmrd, tehát érvényes vektoriális szorzás műveletére is: v (v v 3 ) v v v v 3. Ismerve vektorszorzt egyes vektorink komponenseit, vektorszorzt komponenseinek kényelmes (könnyen megjegyezhető) kiszámítási módját nyújtj determináns lkbn felírt kifejezés:. A számítás végeredménye pedig természetesen következő: v v (v y v z v z v y ) i (v z v x v x v z ) j (v x v y v y v x ) k Vegyes szorzt Legyen v, v, v 3 három térbeli vektor. Nézzük hogyn értelmezhetjük e három vektor (v v )v 3 lkú vegyes szorztát. H v és v vektorok vektorszorztát sklárisn megszorozzuk v 3 vektorrl nyilvánvlón pozitív vgy negtív sklárszámot kpunk eredményül. Az v v, tehát vektorszorzt bszolút értéke v és v vektor áltl kifeszített prlelogrmm területével egyenlő, mg vektorszorzt pedig merőleges prlelogrmmát trtlmzó síkr. Ennek z eredményvektornk (vektorszorztnk) v 3 vektorrl vló skláris szorzt három vektor lkott prlelepipedon mgsságávl vló szorzást jelenti. Így felírt vegyes szorzt eredményeként három vektor áltl meghtározott prlelepipedon térfogtát kpjuk (igz ugyn, hogy térfogtérték sohsem lehet negtív). Az eredmény ( vegyes szorzt értéke) ttól függően lesz negtív vgy pozitív, hogy v, v, v 3 jobbsodrású vgy blsodrású rendszert lkot. Érdemes megjegyezni, hogy vegyes szorzt esetében csk vektorok sorrendjére kell ügyelni, nem pedig rr, hogy melyik két vektort szorozzuk vektoriálisn, ugynis (v v )v 3 v (v v 3 ) v (v 3 v ) - (v v )v 3 - v (v 3 v ) - v (v v 3 ) A vegyes szorzt értékének számítás determináns lkbn:

20 A vegyes szorzt kifejezéséből és mgyrázt lpján könnyen beláthtó, hogy vegyes szorzt értéke null lesz, h három dott vektor egy síkb (ugynbb síkb) trtozik Kétszeres vektorszorzt A v (v v 3 ) kétszeres vektorszorzt (dupl vektorszorzt) eredménye egy újbb vektor. Mivel v v 3 vektorszorzt merőleges v és v 3 áltl meghtározott síkr, kétszeres vektorszorzt eredményvektor mindenképpen v és v 3 áltl meghtározott síkb fog esni. Ennek köszönve dupl vektorszorzt eredményvektor felbonthtó v és v 3 menti összetevőkre mit kifejtési tételnek is hívnk: v (v v 3 ) (v v 3 )v (v v )v A felületelem mint vektor A vektoriális szorzt foglm illetve jelentése már sejteti lehetőséget, hogy felületet vektorként is ábrázolhtjuk. Két vektor vektorszorzt ugynis olyn vektor, melynek bszolút értéke egyenlő vektorok áltl kifeszített felület ngyságávl, irány pedig merőleges vektorok áltl meghtározott síkr. A felület vektoránk irányítását (nyilzását, értelmét) felület körüljárási irány szbj meg, melyet vektorszorztbn szereplő két vektor sorrendje diktál. A felületvektor irányítás úgy viszonyul felület körüljárási irányához, mint jobbmenetű csvr hldási irány nnk forgásirányához.

21 . ELETOSZTATIKA.. Az elektroszttikus erők Az elektromos töltésű testek közötti erők meghtározás: már mondtuk, hogy villmos (elektromos) erő két villmosn töltött test között, helyesebben szólv töltéstöbbleteik között jelentkező erők eredménye. H ismernénk minden részecske pontos helyét, meg tudnánk htározni z erőt minden részecskepár között és így megkphtnánk z eredő erőt két töltött test között. Ez módszer gykorltbn, töltéstöbbletet lkotó elemi töltések roppnt ngy szám mitt, lklmtln két töltött test közötti erő számításár. A problém könnyebb megoldás céljából átlgértékeket vezetünk be. A fizikábn és technikábn ez gykori jelenség. Például testek tömegsűrűségének meghtározásánál m/ V hánydos jelzi közép- vgy átlgsürűséget. Itt V térfogtelem nem lehet végtelen kicsiny, hiszen ily módon térben egy tetszés szerinti pontot kiválsztv hánydos értéke lehet kár null is, h V térfogtelem nem trtlmzz test egyetlen tomját sem. A fizikilg kis térfogtnk vgy térfogtelemnek tehát, z elektrotechnikábn, mkroszkópikus méretben kicsinynek kell lennie (ngyszámú elektromos részecskét kell trtlmzni), zz töltéssűrűség nem szbd hogy változzék lényegesen térelem szélső pontji között, mikroszkópikusn zonbn ngynk kell lennie, vgyis még mindig igen sok töltést kell mgáb fogllni. Amikor fiziki jelenségek megközelítésénél mikroszkópikus mennyiségek átlgértékeit vesszük figyelembe, kkor mkroszkópikus hozzáállásról beszélünk. A mennyiségek középértékeit mkroszkópikus mennyiségeknek is nevezzük ("mkroszkópikus" görög "szemmel láthtó"-ból). Kísérletek bizonyítják, hogy z erők nem egyformák, változnk h villmos töltések nyugsznk vgy h mozognk megfigyelőhöz visszonyítv. A legegyszerűbb, h z össz töltés mkroszkópikusn nyuglombn vn (mikroszkópikus szinten ez természetesen lehetetlen).... COULOMB TÖVÉNYE A villmos töltés (z elektromosn töltött test) egy olyn test, melyen pozitív, vgy negtív töltéstöbblet vn. A villmos töltések között fellépő villmos erő töltésmennyiségtől és távolságtól függ. Coulomb törvénye pontszerű töltések egymásr htását írj le. Az elektromosn töltött testeket kkor tekinthetjük pontszerűeknek, h testek dimenziój, ngyság elenyésző, elhnygolhtó közöttük levő távolsághoz viszonyítv (pl. egy kisebb méretű könyvet m-ről vgy távolbbról nyugodtn tekinthetjük pontszerű testnek). Coulomb törvénye, mely egyes vélemények szerint z elektroszttik lptörvényének számít kísérletek, kísérletsoroztok eredményeként jött létre és kpt meg számunkr ismert végső lkját: F k QQ r k 9 9 Nm C A villmos töltések közötti erő ngyság egyenesen rányos töltésmennyiségekkel és fordítottn rányos töltések közötti távolság négyzetével. Gykrn k rányossági tényezőt k lkbn írjuk fel, hol ε egy új állndó (konstns). 4πε 3

22 ε - vákuum dielektromos állndój, vgy vákuum permittivitás 9 C ε π F 36 Nm m F C ε 8, 854 m Nm QQ F 4πε r Ez Coulomb törvény lgebri lkj. A vektorlk pedig következő: QQ F r 4πε r Megegyezés:. z F erő z z erő, mellyel Q töltés ht Q töltésre,. pozitív és negtív töltésekhez megfelelő lgebri jelet is hozzárendeljük, 3. h zonos előjelűek töltések, z F erő képen megjelölt irányb ht, 4. ellentétes előjelű töltések esetén, fellépő erő irányát szggtott nyil jelzi ( r - nek ellenkezõ irány vn mint z r -nek)... Péld: Három elektromosn töltött kisméretű test, b és (b) távolságr vnnk egymástól, tehát egy egyenesen helyezkednek el. Mekkor kell, hogy legyen három test töltése ( töltésmennyisége és előjele) hhoz, hogy z eredő elektromos erő mind három testre null legyen? Megoldás: Az erők összege z egyes testekre péld szerint nullávl egyenlő, vgyis!! 3 F F F " F #!! " F # 3!! " F # 3 3 Mivel hrmdik egyenlet megkphtó z első kettő összedásávl, így z első kettő következményének is tekinthető, tehát semmiféleképp sem független és mint ilyet nyugdtn elhegyhtjuk (nem hordoz új információt számunkr) 4